D. F. G.ANIMADVERsIONEs sUBITANEA?

PRINCIPIUMUNIVERsA

OPTICALEIB NITIANUM

QJJATENUs IDEM

CATOPTRICAADHIBETUR,

Q_U AsConsensu Ampliss. Facult. Philosoph.

in Regia Academia Aboensi,PR^ sIDE

MARTINO JOHANNEIFALLENIO,

Matheseos Prosessore Reg. et Ord,PUBLICAE CENsURAE sUBJICIT

Andreas Johannes LexellAECA Fenno

Die >x XXJun<l Anni MDCCLIi^XLOCO HORIsQUE A. M, sOLITIs.

HOLMIiE,Typis LAURENT. LUDOV. GREFINGII.

PaRle-FiskertINsPECTOREM och JOUVELERAREN

ADEL och HOGAKTADHE R R

JONAs LEXELL,Min Huldaste Fader.

Den nara sorbindelse, som emellan ForAldraroch barn, i sielsva naturen ar stiktad; okes iden mohn, som de sorre rate vsrda barnens

valsard och desse a sin sida tilborligen erkanna denvAlgarning dem derutinnan bevises.

J, min Huldaste Fader , hasven visierligen iymnigaste msttupsylt, ait hvad nagonsin sordras kan,at hos mig upvacka sor Eder en den vordsammastekarlek. Tyutom det, at jag, nist Gud, Ar Eder skyl-dig mitt lis; sa har jagock at helt och hallit tilskrisvaEder min upsostran, uppa hvilken J sa mycket arbe-te, (a mycken omsbrg anvant. Ingen ting har varitEder hogre om hjertat, an min sallhet, och som Ederegen ersarenhet har lArt, at dess sastaste grund Ar endygdig vandel; sA hasven J isr§n mina sorsta barnaar mAst sysselsatt Eder med, at hos mig inplanta de

tankesttt, som leda til en sann och osbrsalskad dygd.Huru mohn hasven J icke varir om min undervisningi lardoms osningar, til hvilkas sortEttjande i hast aliomkostnad ospard?

Men sorgasves sysselsatter jag mig at asskildraEder godhet, den jag dock med tanckarna e) kansatta; mycket mindre med orden utnarhna. Haldrepsrninner jag mig den vordnadssulla tacksamhet, tilhvilken jag, i soljeasEdra vulgerningar, sinn-er migvara hugst sorbu.nden. En sa angenam plikt; som isjelsva varket svar at asborda.

TilEten, Huldaste Fader, at detta ringa arbetema sa tolka den barnstiga vordnad, som jag hysersorEder valvilja emot mig. Anskjont det i sig sjelst arnog otilrackeligt at visa min djopa erkansla 5 sa til-agnas det dock med ratta Eder, sasom den, uppahvilkens frikostighet det trader i Ijuset. Uptagendennagasva med asven sa stor benagenhet, som J al-tid behagat visa mig omhet och karlek.

Den Hogste Guden krone Eder min karaste Fa-der med ali andelig och timmelig Ellhet, samt skan-ke Eder et sa ymnigt matt as sornojelse, som Ederdygd sortjent hasver. Han sorEnge Eder lesnad,uppa hvilken mitt val bygges, och gore Eder slder-dom nojsam, sa at J uti ro matte kunna se mognarefrugter as Eder hasda moda. Framhardar ouphor-ligen

Min Huldaste Faders

Lydigr.ste sonAnders Johan Lexell.

AUCTORI.

jVim modo disjectis tenebris Aurora rubebat,Ortquc purpureo jam dabat alma diem;

Floraque per campos svaves spirabat odores,Nec procul a nido laeta canebat avis:

Castalidum subeo syivas & amoena vireta,Haec ubi vox Phcebi reddita nube suit :

Ipse ego, qui sueram Rex inviolabilis orbis,Quem coluit scmper magna corona Deum:

Ipse ego, qui mitto cunctis mea lumina terris.In terris naevos dicor h.ibere meos.

Nempe meis audet radiis prxscribere leges,Me servire sibi caeca caterva cupit.

Plura locuturo vehemens dolor obserit ora,Ergo cum tenebris hunc jubet ire diem.

Continuo at Pallas deseendit culmine Pindi,sicque Dei vanas increpat alma minas.

Musarum Pncses, quae Te dementia cepit,Cur Te LEXELLI cura laborque coquit ?

LEXELL assiduos inter celebrandus alumnos ,

Qui claret studiis ingenioque suo.Visere si tentat tremulae penetralia lucis.

Da veniam placidus namque ea culpa levis.Arte patent tali sublimia facta Tonantis,

Ingenuos juvenes hic labor usque decet.Interea Phoebus commotam temperat iram,

Atque viam solitam currere mandat equos.Talibus auguriis ego ovans, perdulcis Amice,

Ossicium duxi visa reserre Tibi.Quos radiis addit radios Tua docta Thalia

Laudibus hos dextera Fama Tuis.Perge Tuo studio, studiis obstringere Musas,

sic tandem curis prxmia digna seres.Frid. Pryss,

D. A.

D. A,

'ecentior setas cum ad incrementum omnium sere! scientiarum plurimum contulit, tum eam inprimispromovit, qua; in investigandis corporum qualitati-

bus occupata csl. Hanc enim, quum plerique veterum ste-rilem & non nisi commentis absurdissimis resertam, recen-tioribus traderent, jam mirum sere in modum auctam esse,in vulgus notum esl. Non enim ea solum, quae apud an-tiquiores saniora suere, egregie jam perpolita sunt, sedetjam nova quoeque & multisaria experimenta adeuratissimaaddita, & quod maximum est, his experimentis ingeniosaepariter ac solidie superstructse sunt demonstrationes, adeout noslro tevo Phyfica inter elegantissimas reserri debeatscientias. Tanta autem quamvis sini in lianc scientiam re-centiorum merita; satebitur tamen facile, quisquis vel ali-quantulum in physicis versatus, nec hos omne tulisse pun-ctum. Dantur enim adhuc plurima; corporum affectiones,quae nos vel latent plane, vel nonnisi obscure innotuere.Adeo scilicet arctis limitibus circumscriptum est humanumingenium, ut non nisi magna cum dissicultate ad abstrusasaliquantum veritates pertingere queat. Ea quoque vastitasest rerum naturalium, qu® noslram merentur attentionem,ut paucis solummodo rimandis sufficiat industria humana.Loquitur hoc, ut reliquas Physicoe partes transeamus, Opti-ca ; quippe in qua, quamvis a viris maxime eruditis impri-mis illustri Newtono egregie lit laboratum, multa tamenadhuc desicere, etjam hi ipsirnet sateri coguntur. Ita no-vimus eruditos in varias abire sententias, cum qucestio oria-

2

tur de principio, ex quo- phcenomena circa luminis resle-xionem explicari debeant. Cartesius scilicet atque ejus as-sectae; luminis reslexionem tribuunt globulorum , quos vo-cat secundi elementi elastkitati, atque in solidas supersi-ciei reflectentis particulas impuIsui (a). Alii eam derivantex inflammabili & oleoso spiritu in corporibus reflectenti-bus agente. De explicatione reslexionis Newtoniana inseq. §. i. injiciemus mentionem. Cum de Maupertuis (b)alii ad generale illud in physica principium, quod actionisminimae vocari solet confugiunt. sub hoc autem principiotanquam generali, continetur illud a nonnullis adoptatum,vi cujus lumenreslexum via serri brevissima & ex assumtahac hypothesi reslexionis legem recte deduci posse existi-mant. Hanc operam egit inprimis Illustris Leibnitius quip-pe qui, in Actis Eruditorum Lipsiens. Anni 16&2. p. 185. ptouniversae Opticae, Catoptricae atque Dioptricae unico prin-cipio hoc assumit; quod lumen a puncto radiante ad pun-ctum illustrandum via perveniat facillima i. e. si de lumineper idem medium propagato sermo fuerit, via brevissima.scilicet cogitans magnus hic Vir, non admittenda esse ea,quae sini obtinendo parUm congrua videntur; facile in eaminductus est opinionem, quod sapientia Divina esset indi-gnum , eas non condere naturae leges, ut lumen viam im-penderet facillimam. Hanc de motu luminis hypothesin,quam a Leibnitio denominare in posterum , placet, nontamen ante aetatem Ipsius plane suisse ignotam facile offen-di potessi Praeterquam enim quod quidam veterum, ut Vi-tellio , Ptolemaeus & Hero Mechanicus de via luminis re-slexi minima locuti suerint; ex recentioribus Fermatiusaliique illam hypothesin adhibuere (c), quem quidem ut& snellium ipse Leibnitius suspicatur similes meditationesad Dioptricam quoque adplicuisse; & certum omnino est,ex Fermatii sententia omnem luminis etjam refracti, mo-tum tempore brevissimo absolvi debere (d),

3

Quicquid autem sit, tantum abest, ut hypothesis haecpro principio quodam totius Optices assumi queat 5 ut po-tius facillimis offendi possit exemplis eam, quod ad resle-xionem luminis attinet, universaliter non esso veram, seddari casus haud paucos, in quibus via luminis non minimased maxima ess, immo alios quoque, in quibus neutra ha-rum legum obtinet. sistit praesens haec dissertatio nonnul-las easque subitaneas in principium hoc Leibnitianum, qua-tenus idem in Catoptricis adhibetur , animadversiones.subitaneas inquam & sparsim collectas, non autem ejus-modi , quae ad plenariam & omnimodam principii comme-morati discussionem pertinerent. Ea enim, qua premimurtemporis angustia prohibuit, quo minus ex voto officio no-stro vacare potuerimus. Fatemur etjam ingenue nos, oc-casione a praebenti argumento data, ad leves quasdam me-ditationes ab inssituto aliquantum remotas, esse dilapsos;unde factum, ut nonnulla heic sini allata quae ad ipsamrem propositam si non nihil sacere non tamen adeo neces-saria videbuntur; multa etjam forte neglecta, quae addu-xisle magis ere suisset. sed hujus desectus, eo facilius nosimpetraturos esse veniam speramus, quod solummodo perspecialia quaedam exempla salsitatem hypotheseos Leibni-tianae offendere voluerimus. si de caetera Ben. Lector,nosfrum qualemcunque laborem tuo savore sueris dignatus,habebimus de quo nobis magnopere gratulabimur.

(a) Princip. Philos. P. III. §. 63. & 64. Dioptr. Cap. I. ?. (h) Mati-pertuis estais de cosmologie pag. 41. (s) Vitellio Perspectiv. Prop. 20.Ptolemens in Lib. I. de speculis. Acta Erudit. Lips. Anni l6%z. p. 185.nec non Anni 1701. p.20. {d) Krast Prxlect, Phys. P. III. $ $.124,170,

*. I.

Generalis lex, secundum quam omnem luminis resle-xionem fieri testantur experimenta, &ad quam exi-gendae sunt omnes hypotheses, quae ad reslexionem

4

islam explicandam adhibentur, haec est, quod angulus re-slexionis aqualis Jit angulo incidentia, uterque autem in pia-tio lommini , rt J supersiciem reflectentem perpendiculari. Pri-mi hujus principii Catoptrici, quod communi legi resle-xionis corporum elaflicorum in obicem immotum impin-gentium, congruit, convenientiam cum hypothesl viaebre-vissimse ostensuri, tacite supponunt lumen in ipsam super-siciem reflectentem impingere & quidem motu serri recti-iineo. Enim vero lumen, quod reflectitur, non impin-gere in partes solidas corporis reflectentis, argumentis ma-gni ponderis evictum ivit Newton in Optica Lib. II P. III,prop. g, qui & mPhilos. Natur, princip. Mathemat. P. Lprop.p>6 hujusque scbol. maxima cum vero similitudine caus-sam reslexionis (aeque ac refractionis, csr. etjam Optic,Lib. I. P. l.prop.6j derivat avi repellente aut attrahente,qua corpora ad minutissimam aliquam disiantiam in radiosluminis agerent in lineis ad supersicies suas perpendiculari-bus & quidem ad aequales distantias aequaliter; unde etjamsieret, ut radii, in accessu ad corpus atque receslli ab eo-dem , incurventur. Concedamus tamen posle istius incur-vationis ut & negatae impactionis, in praebenti negotio, ubide caussa reslexionis nulla instituitur qutestio, nullam’ ha-beri rationem ; & ponamus potius radios luminis omninoin rectis lineis moveri atque ipsam supersiciem reflecten-tem attingere. Quibus admissis, ex stabilita &ab omni-bus physicis adprobata reslexionis lege, cujus supra men-tionem secimus, dijudicari debet, num via luminis sem-per sit minima. Ossendemus autem viam luminis in super-sicies planas aut convexas incidentis, semper quidem mi-nimam esso, at si de radiis a speculo cavo reslexis sermosit, hoc adeo non universaliter valere; ut potius via islat$m maxima interdum, tum quoque nec ma»ma nec mi-nima sit.

5

Fig. i.

2.Ut kaque particulares nonnullos indicemus casus,

in quibus Leibnitii principium aut locum habet aut non,primum attendere convenit ad viam luminis in supersiciesplanas nec non convexas illapsi. Quem in sinem sequen-tem adseremus propolitionem. IuJuperscie plana aut con- 1vexa determinarepunctum Citasilum, ut rectarum AC CBex datis duobus punitis A ts B extra eandem postis, ad Cduitarum summa sit minima, qu<e esso possit. Primum qui-dem evidens est, punctum illudC silum esise debere in pla-no, quod per A & B transiens, sit supersiciei dataerectum,adeoque in communi illiusplani atque hujus supersiciei se-ctione. Nam si plana fuerit supersicies, & in ea aliud quod-dam punctum K sumatur extra sectionem, quae jam erit li-nea recta sitque illa DE, ducta ad hanc normali KC & jun-ctis KA KB CA CB , erit KC perpendicularis plano ACBidcoque & rectis CA CB (Euclid. Element, Lib. XI. Desio.IV. IU.). In triangulis igitur rectangulis ACK BCK estAK > AC & BK > BC (Euclid. elem. Lib. I, 19. vel 47.)hineque AK-s-BK >AC + CB. Ex quo patet, punctumillud non esse quaerendum extra sectionem DE, ergo in ipsasectione. si supersicies fuerit convexa, eadem ratione hocdemonstrari poterit. sit igitur sectio illa aut linearecta DE,aut curva quaedam GCc convexitatempunctis A B obvertens.sit in plano ABDE ad eam ac proinde ad ipsam quoque su-persiciem perpendicularis ducta CF, & AF BH perpendi-culares ipsi CF. sitpuncto C aliud sectionis punctum c in-finite vicinum quare Cc semper haberi poterit pro recta.Ductis porro Ac Bc centris A & B radiis AC & Bc descri-bantur arcus Cn , Ls, qui ad AC Ac &CB normales erunt&ob infinitam suam parvitatem pro rectis habendi. Tuncquia angulus BFICizCrc uterque enim rectus, & rCcm HBC, nam HCB utriusque complementum est ad re-ctum ; erit triangulum HBC co rCc & proinde BH: BC

6

:: Cr ; Cc. Eodem modo offenditur A AFC c/> Cnc adeo-que AF ; AC:: en: Cc. (Haec vero ctjam, si placet, sa-cile sequuntur ex Mac-Laur. Traite des Fluxions § 106Quando jam quantitas fluens AC + CB minima ess, aequa-les erunt ipsarum AC&CB fluxiones videlicet en~Cr,sicquc AF : AC ; ;BH : BC, nec non (Euclid. Lib. VI. 7.)angulus ACFmBCH & proinde ACDuECE Oportetergo punctum C ita simul situm esse, tit rectae AC, BC es-siciant cum supersicie subjecta, vel & cum recta eidem inC perpendiculariter insistente , angulos ecquales (e).

Jam igitur, <i fuerit ista supersicies plana & proindesectio linea recta DE, facile punctum issud C determinaripotest, si secundum notissimam consfructionem, cx alter-utro datorum punctorum utB in planum subjectum demitta-tur normalis (quae in sectionem cadit angulumque cum earectum efficiet Eucl. XI. 3g. & Desin. 3.) BE producenda, utsit ELzi BE, & jungaturAL, haec enim occurret plano inpuncto quaesita C. Ad hanc autem consfructionem dedu-cimur quoque investigato valore ipsius AFziDCzix velEC~HB~a — x (si ponatur DE, quae jam datur, “a).Dantur nempe jam quoque AD, BE, quae dicantur b, c,respective. Et per demonffr. A AFC oq BHC vel A ADCeo REC, erit b:x :: c:a — x indeque b+c; b::a:x, ut&b+c :c ;: a:a —x. Igitur x vel a— x per dictam con-structionem facile inveniuntur. si enim ducta intelligaturLN paralclla DE, quae: AD continuatae occurrat in N, ellELziDN adeoque AN (b+c): AD (b) :: NL seu DE: DC (x) quo ipso determinaturpunctum C.

Quod sic quidem analytice invenimus, summamAC +CB minimam esse, si angulus ACFzrBCH vel ACDIZBCE, autviciisim; id quoque ex primis Geometriae ele-mentis facillime demonstratur; si supersicies scilicet fueritsimo plana, eo modo, quo passim ex. gr, inMuschenbroc-kii Element, Phys. §. 1036. Institut, Phys, $. 1237. Krastii

7

Praelect. Phys. P. III. §. T24 videre licet, si nempe ea his ad-dantur , quae supra adducta suere de puncto C extra sectio-nem non quaerendo. si autem Udo convexa , sequenti ra-tione ; In supersicie convexa GCc sumto puncto quocun-que < diverso aC ,

& junctis IA, IB, dico csse AC +CB<AI+ IB Quia supersicies ponitur convexa, punctum I

nunquam silum esse potest a parte AB plani DE eam in Ctangentis, sed vel a parte opposita vel saltem in ipso hocplano (s). st hoc, erit AC +CB<AI +IB per Casumsimum. sin illud, AI & IB transibunt idem planum, insuo quaelibet puncto. sit O punctum in quo AI plano istioccurrit ,

8c jungatur BO; erit per Cas, I, AC +■ CB<;AO+OB & (Euclid, elera. I. 20.) AI + 1B> AO + OB,quare a sortioriAI + IB > AC + CB.

(e) Quamvis dum curva GCc concavitatem punctisA B obvertit, analysis supra adhibita non minus valeat;eo tamen in casu punctum illud C sic definitum, non sem-per summam AC +CB minimam, sed etjam maximam de-terminat, uti in sequentibus offendetur. Haec enim me-thodus per se aeque apta ess ad determinandum maximumquid, ac minimum; utrum vero in casu speciali locum ha-beat, ex ipsius rei natura ac indole dijudicari debet.

(s) Posterius obtinet, si supersicies fuerit cylindricavel coniformis, dantur enim in illa puncta plano tangenticommunia.

& ?♦Consiat ex §. praecedenti, si A B suerint duo puncta

ex quorum uno emistum lumen oporteat, reslexione inspeculo plano vel convexo facta, ad alterum pervenire; exsupposita via luminis brevissima sequi aequalitatem angulo-rum incidentiae & reslexionis, aut vicistim ex hac aequali-tate , viam illam minimam. Quemadmodum itaque hypo-thesis Leibnitii omnino vera elt cum sermo fuerit de lumi-ne , quod in unico speculo plano vel convexo reslexionem

8

Fig. 2, isubit, sio eadem Eque locum habet, si repetatur reslexioin pluribus ejusmodi speculis. sic extrasaecula aliquot pla-na, in diversis planis po/ita, dentur duo puntia. Oporteatradium lucis ex altero horum punctorum egrejjum , reslexio-ne in smgulis speculis sasta , ad alterum pervenire.

"

Qu£.

rantur puncta incidentiae vel reslexionis ipsaque radii via.sint primum duo specula FG, GH & puncta A, b, unumradians alterum illuminandum. si radius cx A emissus inFG primum incidere debet, demissa ex A in FG perpendi-cularis AF producatur ab altera parte ut sit AF~Fa. si-militer ex puncto b demissa normalis ad GH (aut ejus pla-num

,si opus sit continuandum, id, quod etjam de alio

quovis calli simili dictum esso,) producatur donecK/3 siataequalis bss. Ducatur jamrecta a/3; haec occurret speculisin punctis quaevis C, D, & junctis AC, bD habetur viaradii ACDb — a/3 (g). Quum scilicet angulus AFC ~ aFC&aF —AF, erit (Eucl. 1. 4.15.) angulus ACFzz(aCF—)DCG; & similiter ang. bDK — CDG, id est anguli resle-xionis utrobique aequales sunt angulis incidentiae. Porroquia aC ~AC , bD H /3D , erit AC +CD+Db zz(aC +CD+D/3zi) a/3. sint jam tria specula FG GH HI,puncta autem data A B. Determinato ut antea puncto ademissoque ex B ad speculum HI, in quo ultima siat re-slexio, cathetoreslexionis ad b producendo ita ut JB~ Ib,iterum ex b ad GH demissum perpendiculum produceturad /3 ut sit K/3~Kb, Jam ducta a/3 dabit puncta C & Ddesiderata ,

& juncta porro Db determinabit punctumquaesitum E in speculo HI. Tumque ductis AC, BE,erit radii via ACDEBlza/3, quod pari ratione ac supraoffenditur. Quodsi autem specula adhuc, suerint plura,similis sed repetita adhibeatur operatio, quae quemadmo-dum instituenda sit, ex dictis facile intelligitur. Eandemquoque solutionem locum habituram esse apparet, si pun-cta A, B (vel b) coincidant, hoc est, li lumen cx A

9

Fig. 5,

egressum ad idem, unde exierat, punctum redire debeat.In omnibus autem his casibus, est via luminis semper mi-nima. Nam sijponatur radium luminis in alia quaecunquespeculorum puncta ut c d impingere, ex A e. g ad b per-venturus

,via ipsius Acdb > soret ACDb. Est enim

(Eucl Elem. 1. 20.) ac +cd + d/3> a/3, adeoque propterAc ~ac& bd~ /3d, Ac +cd+db>AC+CD -sDb. Idemvalet, si consideremus viam luminis, ut ACDEB, in plu-ribus speculis reslexi.

(g) supponitur heic, lineam a/3 occurrere speculis,FG, GH, hoc enim nisi obtineret, impofflbile esset, lu-men reslexione ejusmodi, qualis supposita suit, ex A adb pervenire.

5. 4*Examinata reslexione in speculis planis & convexis

ad concava accedimus. Et primum quidem ut de via lumi-nis a speculis cavis sphaericis reslexi pronunciari queat, unaalterave propositio per modum lemmatum praemittenda vi-detur. Prima autem haec esso :In diametro circuli, vel ea-dem producta ,

duobus punctis ut cunquesumtis , Jed xque acentro di/iantibus, quadrata rectarum ab his punitis, adquodcunque punctum peripherice ductarum, ubique efficientsurmnam conslantem (h) ecqualem scilicet quadratis semidia-metri dissamia alterutrius iflorum punitorum a centro bissumtis ,

aut vero summee quadratorum ex Jegmentis diametri,in quae ab alterutro iflorum punitorum dividitur. sit EIFcirculus in cujus diametro EF puncta A B sumta sint sequea centro C distantia, ex quibus ad quodcunque peripheriaepunctum G ductae sint rectae GA, GB, Ducatur CG &

demittatur ex G ad diametrum perpendicularis GD. Igi-tur quia AGq ~AC„ +CG?+2AC >< CD & 5 +CB?

— 2CB*CD (Euclkl. EI. II. 12. 13.); erit ob ACzzCB,summa AG q -isGs q —2CG q +2ACq adeoque constans

, datonimirum circulo atque punctis A, B. Ulterius quia CG~CF,

10

Fig- 9*

erit CGh— CV.j unde AG, + GB,; H 2CFq + sAC* ; sed

(per Euclid, II. ic. vel 9.) cst AFs + BF? seu AF* + AE?

~2AC5 + 2CF? ; ergo AG q+GBq —Asq4-AEq4 (i)(h) Curvam, cujus haec sit proprietas, circulum es-se, mutata paululum serie demonstrationis in hac $pho ad-

hibita, facile probatur. scilicet propositum esso : datispuncti s Ats B, invenire curvam EGF, a cujus punsto quo-cunque Gad A B dussarum rettarum quadrata efficiantsummam conslantem. Jungatur AB, in quam, productamsiopusesl, demittatur perpendicularis GD; bisecta sit ABin C & jungatur CG. His pnemissis, demonstrabitur utin hac §pho, esse 0A q 4- GBq

— iCGq +-o.CA n _ Adeoque quumex hypothesi GAq +- GBq sit conslans

, conslans ctjam erit2CGq + 2CA q vel ejus dimidium CG,, + CA ?. Quare quumdetur CA ideoque CA ? , conslans quoque erit reliquumCG? , consequentcr recta CG a dato puncto Cad quodli-bet curvae punctum ducta, conslantis erit magnitudinis.Unde patet curvam quaesitam esse circulum cujus centrumesl C radius autem CG. si calculo uti placuerit, dicanturABa, CDx, GDy; erit ADziI a+x , BD~ia — x velx — |a; & sint AG ?

+BGs~ dato quadrato bb. Igitur AGq

~

( AD4-h GD*~) +- ax +-xx +- yy, BG?

~ BD ? +-GDs“)■i aa —ax+- xx -t- yy , consequentcr AG? -*-[BG? seubb ~

-aa-1-2xx+-ayy unde yy-j-xx ~ .jbb—iaa, quasesl aequatio ad circulum. Curva igitur quaesita est circuluscentro C, radio ~y/\bb —~aa hunc in modum delcriben-dus. Ex A transferatur, in rectam CA productam,AK—ih cui aequalis & perpendicularis siat KH. Tumcentro A intervallo AH describatur arcus perpendicularemex C erectam secans in I. si jam centro C radio C1 de-scribatur circulus, satisfaciet hic problemati.

(i) sistit praesens propositio casum maxime simplicem& (pedalem, contentum sub generali & admodum memora.

11

Fig- 4

bili circuli proprietate, in Marchionis Hospitalii Analysedes infiniment petits $. 33. demonstrata.

§. 5-Altera propositio practiminaris haec esso : Inter trian-

gula innumera ABC )uper eadem baji AB constituta datumhabentia angulum ACB basi oppojkum , quaeritur illud, quod

summatn crurum AC-t-CB maximam habeat. Producta sitBC versus D usque dum siat CD ~ CA , consequenterAC-hCBziBD, & jungatur AD. Erit itaque (Eucl. I. 5,& 32.) angulus ACB duplus anguli D. Quare propter da-tum ang. ACB, datus etjam est D. Omnia itaque punctaD per (Eucl. III. 21. convers.) collocantur in circumserentiacirculi ADEB, cujus Tegmentum super recta AB consic-tum capit angulum datum, aequalem scilicet dimidio datiACB. Omnium vero chordarum BD in hoc circulo maxi-ma est (Eucl. III. 15.) diameter. Quando autem BD estipsa diameter non potest non punctum ejus C esse (Eucl.III. 7.) circuli centrum, propter aequales (ex conslruct.)CA, CD. Erit itaque in hoc casu, ubi nimirum BD seuAC +-CB maxima elt, CAZlCB, h. e. triangulum Isosce-les prae omnibus, quorum eadem est basis idemque angu-lus basioppositus, summam crurum maximum habet.

Hoc ipsum vero etiam per methodum de maximis &

minimis (k) calculo fluxionum super structam, facile in-venietur. sit basis AB conslans~b, AC ~x - CB ~y.Ducta concipiatur in crus unum BC, productum si opusest, ex vertice anguli ei oppositi perpendiculum AF. Obang. C conslantem, conslans est ratio inter AC & CF(Eucl. VI. 4.) quae ponaturquare CF~«x. Jamvero (Eucl. II. 12. vel 13.J jz.2CB x CF.i. e. xx +-yy±12nxy ~bb. Hinc sumendo fluxiones, &

dividendo omnes terminos per 2, erit xdx -s-ydy±lnydx+- nxriy o. Quando jam summa AC 4-CB ponitur ma-xima , esl ejus fluxio dx +- dy ~o. Qyare pro dy substi-

12

tuendo —- dx & dividendo per dx, sit xZsnx ~ y ny,& dividendo per I :jT n, x~ y. Est ergo A:m! quaesitumIsosceles, facile hoc modo construendum. super data basiAB deseribatur segmentum circuli, quod capiat angulumdato aequalem, & arcu silius Tegmenti, qui est locus verti-cum AA;orum illorum numero infinitorum, bisecto, ha-betur vertex quaesiti (Euclid. III. 33. 21. 30.). Hinc autemvicissim colligere licet, ex omnibus eandem cru-rum summam, aequales angulos compsedentiam habenti-bus, aequicrurum basi insistere minimae, (1) quod vero et-jam novo calculo invenitur. sit summa illa a, crus AC~x>BClZa —x, CF ut antea ~ nx, & AC 9 -s-2 CBxCFzzAB? hoc est aa — oax -t-2xx ±L2nax4T2nxx~ABs,

Posita jam AB omnium minima, erit etiam ipsius quadra-tum minimum; ideoque hujus fluxio“(—ca-H4xjz.2na

dxizo unde dividendo per sdx <k transferendoterminos , sit 2x snx Z a^Tna &x ~

~)

| azia — x.(k) In praesenti quidem negotio facile intelligrtur

bae methodo determinari casum, in quo summa crurummaxima sit, nec omnino dari minimam, sed decrescere is-Jam posse usque dum excessus ipsius supra basin minor siatquavis assignabili quantitate, adeoque ipsum Adum evane-scat (Eucl. I. ao. 22.), & vicissim (1) evidens est, data sum-ma crurum cum angulo iis comprebenso, non dari casum,in quo balis maxima sit, sedposse hanc tantam esse, ut quan-tumvis prope ad ipsam crurum summam accedat.

§• 6-Consicleraturi jam casus nonnullos circa reslexio-

nem luminis, in speculis cavis sphsericis factam, primumoffendemus: sumtis in diametro EFJpeculi concavi sphteri-ci, duobus punBis A(s B a centro <eque dislantibus , radiosab uno eorum emijsbs ad alterum reslexos viam impendere

F*g. 3-

13

longissunnm, exceptis tamen illisAF +-FB, vel AE +-EB y qui

resiexi insemer ipjos redeunt (*), hi enim hrevijsshna serunturvia. In circulo sphaerae maximo quocunque per EF trans-eunte, (quippe ad speculum normali) diameter supra EFperpendiculariter erectus dabit in circumserentia circulipuncta I incidentiae luminis (id quod ex aequalitate angu-lorum CIA CIB per Eud. I, 4, manisesle sequitur); adeout AI+-1B sit via radii incidentis ac reslexi, quae quidemerit longisIima. Nant si descripta intelligatur Ellipsis socisA & B, per I transiens, cadet illa tota extra circulum,quippe quae habet centrum C & semiaxem minorem CI.Ductis jam ex AB ad punctum quodcunque circuli a C di-versum ut G, rectis AG, GB, quarum una ut AG con-cipiatur producta donec occurrat ellipsi in O, & junctaOB, erit i per propriet, ellipseos) AI+-IB (—AO-i-OB)> AG+-GB, (Eucl I. 21.) Idem sic quoque evincitur. Con-cipiantur triangula rectangula, quorum crura lint AI IB&AG GR; habebunt illa hypothenusas aequales (Eud,I 47.) quoniam (§. 4.) AI 3 -s-IBszz AG?

-i-GB,;. Ergo quumsit AlziIB, erit (vi §. 5.) Al+- IB >AG +-GB. Et qui-dem summa AG-i-GB eo evadit minor, quo longiusab aequalitate recedunt AG & GB i. e. (Eud. III, 7.) quoproprius est punctum G ipsi E vel F, in quae puncta EFcum inciderit, critAF-t-FB scilicet via radii, qui in seip-sum reflectitur, minima omnium AG+- GB. Potest quo-que haec proposctio sequenti ratione demonstrari. sumtoalio puncto Gin circulo, producatur AG ad L donec ALsiat ~2AI vei A1 +- IB, & bisecetur AL in Nut sitAN ~AI.Quare propter (Eud, III 7,) AG >AI erit AG > AN; &

quidem quo proprior fuerit AG diametro EF, eo major(Euclid. loc. citat.) sit AG adeoque etjam NG. Et quiaAL in N secta est in partes aequales, in G autem in inae-quales, erunt (Eucl. H. 9.) AG3 +-GL3 “aAN3 +-sNGs;vel ob sAN3

~ (2AI3~ AI 3 +- IBs

~ 4.) AG3 +- GB? ,

14

Fig. 5.

erit AG q -i- GL?~ AG? +- GB* +- qNG* , consequenter

GLq~GBcl +-2NG? ; adeo ut semper sit GL> GB ideoqueaddita communi AG, AL seu AI-s-lB> AG+-GRt Ulte-rius eNGj —(GL? —GB?

“ Eucl. II. 5- cor.) GL-t-GB xGL — GB

. Prout jam punctum G propius accedit ad F ex-tremitatem diametriEF sibi propiorem * ob crescentem tunc(per demonstr) NG, conslantes vero AL & AN, ideo-que decrescentes GL & (Eucl. Ili. 7.) GB ac proindeGL+-GB crescit 2NG?

& ipsi aequale (per demonstr.) rect-angulum sub GL+-GB & GL — GB contentum; ergo (obdecrescentem GL+-GB per demonstr.) crescit Gct —

adeoque crescit etiam ipsius (AG-s-GL seiO AI+-IB exces-sus supra AG+-GB vel AG+-GR minor sit continue donecsiat AF+- FR

, quae proinde minima erit. Adparet veroomnes radios ex A emiflos, &in peripheriae! circuli sphae-rae maximi, diametrum EF perpendiculariter secantis, in-cidentes ad B reflecti & per viam longissimam moveri; istaenim peripheria locus esl omnium punctorum I.

(*} Hoc autem locum habere nequit, nisi quncta ista A B cadant intrasphteram.

§• 7-Quod in §. praecedenti demonslravimus, viam lumi-

nis maximam dari, cum in ipsa diametro speculi cavi sphae-rici sumuntur puncta a centro aeque dissamia radians & illu-minandum ; idem in variis etjam casibus aliis valere cen-sendum cst. Ita sumtis duobus punstis R , s, in supersiciespecuh cavi sphterici , radius ex uno horum puncioruui emis-jus & per reslexionem a Jpeculofactam ad alterum perveniens,viam impendit longijjhnam , si reslexio, siat ad easdem partesplani per Rs , qued plano sphxrte anuli maximi per Rstranseunti rectumsit , ad quas cadit centrum /pharce , sini adoppositas , via luminis nec minima nec omnino maxima esiJungatur Rs super qua in K bisariam secta erigatur norma-lis iT in plano circuli sphaerae maximi per Rs transeuntis,

15quare erit IT ad sphaerae supersiciem perpendicularis; oc-currat autem peripheriae hujus circuli in binis punctis I drTin quibus punctis reslexionem fieri debere ex lege/ resle-xionis manisestum est, cum (Euclid. I. 4.) in Act RIK,sIK sit ang. RIK “ s1K, & simili ratione ang. RTK ZZ sTK,recta autem IT sit diameter (Eucl. 111. 1. Cor.) ac proindenormalis ad circulum (Eucl. III. ig.). sumto jam primumquidem in circumserentia circuli ad eandem partem recteRs ad quam cadit centrum circuli sive sphaerae & ad quamscilicet silum sit I, alio quocunque puncto G seductis RG,sG, erit RI4-Is > RGt Gs. Quum enim ang. RlsuRGs(Euclid. HI. 21,) RI autem—sit Is sequitur inde (§ 5 )

A:o aequicruro RIs summam crurum RI + Is esse > RG + Gs(*). Deinde assumto alio quolibet supersiciei sphaericae pun-cto Oin circumserentia circuli RIs non posito, & ductisRO sO, dico adhuc etjam sore RI +1s > RO-s Os. se-ectur enim sphaera plano per ROs, eritque sictio circulussphaerae minor, qui circa Rs revolvatur donec planum ejusin planum circuli maximi RIsT cadat & punctum quidemO ad partes I plani praedicti per Rs; quo facto facile intel-ligitur, circuli illius minoris, quippe maximum in Rs se-cantis , segmentum ROs cadere debere intra circumseren-tiam RIGs, reliquum vero segmentum sNR extra reliquamcircumserentiam sTR. sumatur itaque in RIGs aliquodpunctum G tale; ut junctis RG Gs, O cadat intra ARGs;unde erit (Euclid. I. 20 ) RO + Os<RG + Gs; at (perdemonstr.) Rl +Is > RG + Gs, ergo multo magis Rl+-Js> os - Ossensum itaque est

,esse RI +Is summam

maximam rectarum a punctis Rs ad quodlibet in supersiciesphaerae punctum ducendarum. Deinde quod ad alterumcasum attinet; sumto primum in circumserentia RTs aliout lubet puncto H praeter T, & ductis RH Hs; eodem,quo supra dictum modo patet (§. 5.) esse KT +- Ts RH-s-Hsadaeque non minimam, sed respective maximam. Non ta-

16

Fig. 5.

men absolute maxima esl. si enim circulus quicunque sphae-rae minor per-Rs transiens revolvi concipiatur circa rectamRs immotam, usque durn in planum ipsius RisT cadat il-lius circuli minoris, Ut supra jam monitum, utrum/Iibetsuper recta Rs constitutum segmentum cadet extra circum-serentiam RTs. Cadat ut RNs; quare sumi poterunt inRNs punctaN ejusmodi, ut ductis rectis jRN, Ns, T ca-dat intra A RNs , ideoque sit RT+- Ts <j RN-i~Ns\ ErgoU T-i- 7.s' nec minima nec prorsus maxima esl. st autempunHa PQ_-, ex quorum uno P egrejjum lumen , reslexione inspeenli puncto IJacta , ad alterum Q_pervenerit, cum obti-neant litum vel intra vel extra Jiipersiciem sph<er<e ,

cujus por-tionem constituit speculum , ut utrumque iflorum punctorumPQ_, rejpcctu ipstus 1 , cadat ad opposttam partem diametriEF, qii£ in circulo /phcerce maximo per PIQ transeunte, pa-ralella ducitur retice eUndem in punito incidentice l tangenti;rurjus longijjtma erit luminis via PI+-ICF Nam ducta per1 semidiameter IC perpendicularis erit (tangenti per I adeo-que rectae quae huic paralella esl videlicet) ipsi EF; quare,si occurrant Rl Is diametr® EF (producti 11 opus sit) inAB punctis, in AA ICA ICB, propter angulos ad C re-ctos & angulos ad I (per leg, reslex.) aequales, erit (Eucl.I. ,26.) AC ~ CB; hinc sumto alio quocunque, praeter I,peripheriae EIF puncto G & junctis AG BG, erit (§. 6.)AI+-1B > AG-t-GB, unde additis utrinque AP-i-BQ., sietPI -t- IQ > AP +-AG 4- GE 4- Esl vero (Euclid. 1.20.)AP4-AG > PG&GB4-BQ> GQergo a sortiori erit PI 4- /j3>PG4-GQt Atque probari etjam posset PI4-IQ_ majo-rem esse rectis simul sumtis, quae e punctis PQ_ad punctumquodcunque speculi extra circumserentiam EIF assumtumducuntur; enimvero ut nimia vitetur prolixitas, hac de-monstratione supersedemus, & sufficiat jam offensum esse,quod via luminis PI 4-IQJmevissima haud sit.

(*) Eandem hanc propositionera Milliet Dechales in Mundo Mathemat,Tom, III. Catopt. Lib. I.p. 570. facillima denionstratione probavit.

17$. 8-

Miliis igitur speculis cavis sphairicis, casus simplicis-simos reslexionis facto: in speculis cavis revolutione sectio-nis cujuscunque Conica: circa axem formatis, conliderabi-mus. Et primum quidem quod ad specula parabolica authyperbolica attinet, radius liminis e soarFJpectdi paroholui iFig.6s<mt hyperbolici egrejjus , &ad punctum quodcunque 1reslexusaut vicijsjtm , viasertur brevsssima. secetur scilicetconoidcshocparabolicum authyperbolicum secundumaxem AD, pla-no per I transeunte, quippe in quo erit radius tam incidens,quam reslexus per §. x, eritque lectio parabola aut hyper-bola scil. Apolloniana, cujus socus est F. Dico primum,sumto extra hanc sectionem puncto speculi quocunque, di-catur v & per mentem ductis Fv , vi, non posse summamFv +vl esse [minimam. si scilicet Fv concipiatur revolvicirca axem curva:, describet punctum v peripheriam cir-culi, per cujus centrum transit AD & plano ejusdem cir-culi perpendiculariter insistit. Postquam (quod fieri deberegenesis conoidcs loquitur) v sectionemABG attigit, in quaFv situm FV obtinuit, jungatur IV, quae utpote in eodemplano cum axe AD exislans, cum illa aut convergit, autipsi paralellaest. si, hoc ponatur, erit IV ad planum cir-culi perpendicularis (Eucl. XI. g) adeoque juncta per men-tem Vv, IVv angulus rectus, quare IV < Iv. sin vero il-lud, producatur VI donec axi occurrat in puncto P; & sijuncta intelligatur Pv, erit PU~ Fv (vid sis Wols Elem.Gemet. §. 487)- Ergo quia in A;lo PIv (Eucl. I. 20.)Pv 4- vi >P1(ctig. 6.) , vel (Fig 7. P1 +Iv > PV) erit PI—PV(vel PV — PI) id est IVructus < Iv. Hinc FV +VI < Fv+vl.Unde adparet summam Fv+vl non posse esse minimam*His prxemissis, in parabola ducatur per I diameter IB para-ibois occurrens in puncto B, quod erit punctum inciden-ti®, juncta autem FB, FBI ipsa luminis via, ceu ex pro-prietate parabolae & lege reslexionis satis constat. Dico ii-

■Fig. 5.

18

lam esse brevissunam seu FB+BI < FV -s VI, sumto in cur-va alio quocunque puncto V & ductisFV, VI. Nam du-catur diameter VE, cui In F, occurrat recta ID, quae per Iad axem AD perpendicularis ducitur. Producantur IB, EV,ut occurrant drrectrici CG; propter paralellas IG EC necnon GC IE, erit IGizEC (Eucl. 1. 34). Adeoque quumex natura parabolae sit FB ~BG ,

& FV~VC eruntsP.js-M — (IGztECiz ) FV+-VE, adeo ut omnes radii etoco speculi parabohei egressi & ad idem planum axi per-pendiculare reslexi, aequalem absolvant viam. At in trian-gulo rectangulo VEI, latus VI p- VE (Eucl. I. ig. vel 47,)hineque Fv 4- VI > (FV -sVElZ) sR +-Bl. Quod vero adhyperbolaei attinet; e soco ejus externo, qui sit s, duca-tur ad punctum I recta si, occurrens hyperbolae in B, eritper proprietatem hyperbolae & legem reslexionis, B pun-ctum incidentiae vel FB +B1 via radii incidentis & reslexi.

Fi§.?.

sit V aliud quodcunque punctum curvae, ductis FV VI, eritFB .s_BI < FV+-VI. Ducta enim per s V recta, quae inC occurrat circulo DICG centro s intervallo si deseripto,est sB+-Bl~tV+-VC &per naturam hyperbolaea— FB— axi transvectio “) sV—FV, qua aequatione subducta apriori erit FB -s-si/ Ys' sed (Euclid, 111- 7.) VC ■< VI,ergo FV+-VC vel FB+-B1 <3 FV +-VI. Ex allatis etjamsequitur, radios omnes e soco speculi hyperbolici cavi egres-sos & a speculo reslexos, ad supersiciem sphaericam, cujuscentrum est socus hyperbolae oppositus .perveniendo aequa-lem consicere viaturAD+-AF, li rD sit semidiametersphaerae, \

§. 9-Verum st e soco alterutro F speculi concavi elliptici

emittanturradii adpun&um A resellendi , hrevtjstma huc viaperveniet is , qui ab eadem axeos majoris parte movetur adquam silum est A , longisima vero , qui ab altera. Necesseest, utpuncta speculi, in quibus reslexio sit radiorum, sint

Fig &

19

Fig. g

in plano per puncta F A transeunte& ac! speculum ellipti-cum perpendiculari §. i. adeoque in sectione supersiciei el-lipsoidis, plano secundum axem BD & per A secta;, quaeTectio BCD itaque erit ellipsis scii Apolloniana. Ducta perpunctum A & alterum socum, qui sit s, recta bisoccurrensellipsi, determinabit bina illa puncta C, c, in quibus (po-sito A esse intra ellipsoidem) supposita isla reslexio peragitur.Ductis proinde FC, Fc, habentur viae radiorum quaesitaeFC 4-CA & Fc-t-cA , id quod ex natura eliipseos & legereslexionis stuit. Dico jam viam FC +CA minimam esse,sed Fc+-cA maximam. scilicet sumto alio quocunque pun-cto V sive in curva sectionis sive extra eandem &. ductis VAVF Vs, erit FC 4-CA < FV+- VA. Etenim quia per pro-prietatem eliipseos FV-+- VszzFC+-Cs atqui VA-t-AT> Vs(Eucl. I. 20.), erunt FV-t-VA-r-As FC+-CT adeoquedemta utrinque communi As, erit FC+-CA <3 FV-t-VA,adeoque minima, quae esse possit. Ex aclverso autem dico,esse Fc-t-cA maximam. Nam quareaddito utrinque sA, FV-j-Vs-+-sA~Fc4-cA. sed (Eucl.I. 20) Vs-*-sA> VA ideoque Fc+-cA > s'V4-Va. Con-sequitur ergo Fc-*-cA esse viam maximam. Patet vero si-mul disserentiam viae longissimae & brevistimae aequalem esse2As, quoniam FC +-CA +- As ZZ Fc +- cA —As (videlicetFC 4-CsZZ Fc +-cs per proprietat. ellips.) indeque FC 4-CA+-2AszzFc+-cA. Caeterum evidens esl, si speculum ca-vum, ut VCD fuerit portio quaedam supersiciei ellipsoicUs,& extra integrae hujus ambitum positum sit punctum quod-cunque a , lumen esoco Fad hoc punitum a reslexum mt vi-cijsjtm non nisi unica eaque longissima via FC +- CA perve-nire. Ductis enim FV, VA, Vs, est FC+-Cs__;FV4-Vsadeoque addita sa, erit FC +- Ca (— FV -+-Vs+-sa;> FV+v*(Eucl. h 20.). §. 10.

Quodst in axe speculi cavi Elliptici ,revolutione scili-

cet Ellipjeos circa alterutrum axem Juumformandi , simum-

20

tur duo punssa HI utnnque a centro &que dissamia , ctr’ qui-dem,Ji axis speculi fuerit axis major Ellipseos ,

nitra socossita; lumen, quod cx altero illorum punGorwn emijskm , re-slexione ad alterum perveniet, maximam emetiri viam , pres-ter quam in eo cajit , quo lumen in se ipsum , Ji Jieri possit ,

reflectitur , pari ratione demonslratur, qua de speculo cavosphaerico idem supra ostensum esl, § 6. circa initium. Ne-que minus quae in §. 7. de speculo sphaerico dicta sunt, mu-tatis nonnihil aut novis additis determinationibus, ad’ spe-culum ellipticum adplicari possunt.

§■. ir.Descripta concipiatur socis F & s atque semiaxe mi-

nore EG ellipiis BGD. Esso GLM sectio quaecunque Co-nica axem habens (transversum quidem, si de byperbolasermo fuerit,) GE positione, verticem G, sitque latusre-ctum ad hunc axem pertinens minus latererecto axis minoris Ellipseos BGD. Quoniam igitur omnis sectio conica invertice axis eandem habet curvaturam eum circulo, cujusdiameter aequalis esl parametro ejusdem axis; sequitur indeCurvae GLM, quippe in G minorem quam eilipsis BGDcurvaturam habentis, saltem aliquam circa G portionemut GL intra Ellipsin cadere. Quamobrem FG+-GJ superatsummam rectarum e punctis F & s ad idem quodlibet pun-ctum arcus GL ducendarum. Neque ideo tamen FG+-G/excedit summam rectarum, quae ex F & sad punctum cur*vae GLM utcunque assumptum duci possunt; nisi haec toraintra ellipsin BGD ceciderit. Et quidem st GLM fuerit Pa-rabola vel Hyperbola, summam ejusmodi rectarum conti-nue majorem sumerc licet, cum hae curvae ad dislantiam abF& s quavis data majorem extendi queant. si jam fueritGLM speculum concavum, vel potius sectio facta planoper axem speculi, adeoque ad hoc ipsum perpendiculari;sumen quod ex alterutro punctorum F s exiens, in speculijunctum G incidit, atl alterum rustecti patet. Atque ex

Fig- 8-

21dictis constat, hanc luminis viam FG+G/ neque brevisH-mam nedum longisHmam essc. Quin imo, cum possibilessint aliae curvae infinitae, axem habentes GE e jusque verti-cem G, in quo tangens sit axi perpendicularis, & quae con-cavae sint versus axem atque ab eodem longius continue re-cedant cruribus divergentibus, quarum vero portio aliquaintra elHpsin BGD cadat; evidens elt vel ex islhoc capitecasus dari innumeros, in quibus luminis ex F ad s, autvicistim reslexionem in speculis cavis subeundo, pervenien-tis via nec minima est nec maxima.

§■• l2.Vidimus itaque principium viae brevissimae in Catop-

tnca, etjamsi veritati scepe consentancum (§. §. q. g. 8-) mul-tis £amen exceptionibus csle obnoxium, videlicet lumen sae-pe longissimam impendere viam (§. 6. 7. 9. 10. n.) & qui-dem interdum non nili longissimam (§. §. 6. 9. io.) non-nunquam vero vel brevissimam vel longissimam (§. §. citt);dari denique casius frequentes, in quibus via illa nec mini-ma sit nec absolute maxima (§. §. 7. ir.), idque sive sermofuerit de dislantiis, quibus (§. n.) puncta speculi in ipsa ejussectione (facta plano per puncta radiens & illustrandum adspeculum perpendiculari), sivequibus singula universim spe-culi puncta ($. 7.) a binis hisce punctis datis dislant. Ulti-mum hoc unico adhuc exemplorum genere facillimo, plu-res casus singulares complectente, comprobare lubet. sitspeculum cavum cylindriforme, motu parallelo vel circulivael ellipseos, vel alius eurvae ejus indolis ac in n. dixi-mus ,

secundum lineam rectam plano ipsius perpendicula-rem formatum , adeo ut quaelibet sectio communis speculiatque plani, quod curvae generanti parallelum ideoque spe-culo perpendiculare est, huic ipsi curvae prorsus aequalis &

sinalis sit sumtis jam in plano cujuscunque hujusmodi se-ctionis duobus punctis radiante & illustrando, quorum sil-ius respective determinetur eo modo, quo ipsorum A & B

22

in § 6, H & I §. io, P st Q_ vel R & s §. 7, F &a§. g,F & s §. n j ex $ §, citatis constat dari viam lumins, quae,dum ratio habetur punitorum speculi ia ipsa illa sectionepolitorum, maxima (saltem §. n. non minima) erit. Ean-dem tamen absolute maximam haudesse, vel inde mox ad-paret, quia sumto in recta illa linea, quam durante motupraedicto dcseribit ia supersicie speculi ipsum punctum resle-ctens, puncto aliquo X, hujus a punctis radiante & illu-minando dissamiae majores continue siant, prout remotiusfuerit X a puncto reflectente. scilicet hypothenusa maxi-mum elt laterum Adi rectanguli; atque manente uno cru-rum , altero autem crescente, cresit etjam hypothenusa.

Pertinet allatum jam exemplorum genus ad speculacava, revolutione curvae alicujus circa axem suum nonforme&ida. Quod vero aeque in speculis, quae rotationeeju modhorta concipiuntur, via luminis semper vel abso-lute maxima sit vel minima, exemplum loquitur in §. 7.memoratum, ubi RT +Ts non omnino maximam nedumminimam esse offensum suit.

$• T 3-At ne quid distimulemus, etjam mentio nobis inji-

cienda videtur alicujus refugii, quo desensores hypothe-seos Leibnitianae omnes dissicultates, quibus silum princi-pium premi sorsitan intellexere ipsi , eludere conantur.scilicet ea est, qua Dechales (*) a semet ipso allatae obje-ctioni contra hypothesin viae minimae obviam ire vult,quod nempe Ipeculum curvum non debeat considerari utunicum aliquod speculum, sed ut ex infinitis planis specu-lis compositum. In qua | explicatione ipsum Leibnitiumquoque praesidium quaerere velle, innuere, obscurius li-cet, videntur verba, quibus adfirmat suam hypothesin adsupersicies concavas aut convexas adplicari, considerandoearum planas tangentes (**) Verum quicquid sit, vide-itur haec responsio revera non adeo magni esse momenti.

23

Praeterquam enim quod adcurate loquendo supersicies cur-va vix ac ne vix quidem possit eonsiderari, ut ex infinitisplanis oriunda, cum potius ipsa genesis curvarum loqua-tur, quamlibet partem earum, utcunque exiguam, reapscesso curvam, ctsi obsummam parvitatem quoque pro rectahaberi queat; non satis equidem intelligo quomodo, etjamhac admissa explicatione, Leibnitii hypothesis in salvo po-natur. Etjamsi enim verum sit, viam luminis, a speculocavo reslexi, minorem esse summa rectarum, quae ex pun-cto radiante & illustrato ad diversum a reflectente pun-ctum plani, speculum in puncto reflectente tangentis, du-ci ponunt; hoc tamen non aeque valet, si comparatio in-stituatur inter viam luminis & summam ductarum ex hispunctis ad aliud quoddam curvae seu caeterorum planorumtangentium punctum. Adeo ut supposvta explicatione ista,frustranea omnino esset adplicatio principii commemoratiad specula concava. Qyatenus enim haec ut plana spectan-tur, locum quidem haberet, non item si tanquam curvaconsiderentur. Qiiodli autem visum fuerit idem princi-pium ad specula cava adplicandum, hunc in modum intel-ligere atque enunciare: Reslexionem luminis fieri in illospeculi puncto, in quo si planum tangat supersiciem spe-culi, ejusdem puncti disiantiae a punctis radiante & illu-strando simul sumtae minores* sint horum dislantiis ab alioquovis ejusdem plani tangentis puncto; veritatem ejus sa-cilemconcedimus. Quemadmodum vero hunc sensum excitatis Leibnitii verbis non tam facile exsculpseris, ita necratio adparet cur specula convexa in eundem ac concavacensum ipsi veniant, cum de illis valeat hypothesis viaebrevistimae absolute posita (§. 2.) de his non item. Caete-rum si cui videbuntur ca, quaein his pagellis disputata sunt,universalitatem principii Leibnitiani infringere, eo ipso li-mul satebitur vacillare etjam principium actionis minimaeab Illust* de Maupertuis propositurru Quum enim quan-

24titas actionis aestimetur facto ex macta corporis moti in ce-leritatem & spatium percurlum, macta autem & celeritasluminis in negotio reslexionis maneant invariatse, adparetprincipium actionis minimae hoc in casu coincidere cum

principio viae minimae, adedque quae advectus hocrecte moventur dubia, etjam contra

illud valere.(*) Munci. Matlvemat. Totn. III. Catopt. Lib. I. p. 570.(**) Acta Eruditor. Lipsiens. A. 1682. p. i8j-

Errata.In p. I. quaeque & multisaria: kgc: multisaria.

p, 2. quam a Leibnitio denominare in postcrum, lege: quam m pes*-rum a Leibnuto. &c.