Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika, 2012

LEÍRÓ STATISZTIKA GYAKORLAT

Gazdaságstatisztika

2013. szeptember 19. 2013. szeptember 19.


Példatár 2. feladatA 100 g-os Omnia kávé töltési folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértékei az alábbiak (a mérések a gyártási folyamatot követve, sorrendben történtek, kb. 1/2 óra alatt, egy négymérleges Hesser gép 2.sz. mérlegének töltését figyelve):

2

101,8 100,7 101,0 101,2 100,1 100,4 100,5 100,2 103,3 100,1101,1 102,2 101,2 101,2 101,3 101,1 100,9 101,3 101,2 102,1101,3 101,7 100,6 100,6 101,5 102,8 101,8 101,4 101,8 102,3100,6 101,4 99,7 101,3 101,4 101,2 100,2 102,1 101,9 101,0101,4 101,8 100,9 102,4 100,8 100,6 101,3 101,4 102,1 101,4

100,4 99,3 100,5 100,2 100,7 100,4 99,6 100,3 99,4 101,2100,2 100,3 99,6 100,2 100,1 98,6 101,3 99,1 99,5 100,398,5 100,2 100,4 99,8 100,4 99,7 100,0 101,2 100,8 98,799,7 99,8 98,1 101,6 100,5 99,9 100,2 101,4 100,3 99,699,0 100,7 99,2 100,5 102,2 100,1 100,8 100,2 100,3 99,8

1. nap

2. nap


Adatok osztályba sorolása

3

99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2100,1 100,5 100,7 101,0 101,2 101,3 101,4 101,7 101,9 102,3100,1 100,6 100,8 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,4100,2 100,6 100,9 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,8100,2 100,6 100,9 101,2 101,3 101,4 101,4 101,8 102,1 103,3

98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,298,5 99,2 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,398,6 99,3 99,6 99,8 100,2 100,2 100,3 100,5 100,8 101,498,7 99,4 99,7 99,9 100,2 100,3 100,4 100,5 100,8 101,699,0 99,5 99,7 100,0 100,2 100,3 100,4 100,5 101,2 102,2

R=103,3-99,7=3,6g

R=102,2-98,1=4,1g


4

Gyakorisági táblázat -1.nap

Osztályhatárok fi fi' gi gi'

99.5≤x<100.0 1 3 0.02 0.02

100.0≤x<100.5 5 6 0.10 0.12

100.5≤x<101.0 9 15 0.18 0.30

101.0≤x<101.5 20 35 0.40 0.70

101.5≤x<102.0 7 42 0.14 0.84

102.0≤x<102.5 6 48 0.12 0.96

102.5≤x<103.0 1 49 0.02 0.98

103.0≤x<103.5 1 50 0.02 1.00

50 100,00

R=103,3-99,7=3,6g


Gyakorisági táblázat – 2.nap

5

Osztályhatárok fi fi' gi gi'

98.0≤x<98.5 1 1 0.02 0.02

98.5≤x<99.0 3 4 0.06 0.08

99.0≤x<99.5 5 9 0.10 0.18

99.5≤x<100.0 10 19 0.20 0.38

100.0≤x<100.5 18 37 0.36 0.74

100.5≤x<101.0 7 44 0.14 0.88

101.0≤x<101.5 4 48 0.08 0.96

101.5≤x<102.0 1 49 0.02 0.98

102.0≤x<102.5 1 50 0.02 1.00

50 100,00

R=102,2-98,1=4,1g


Ábrázolás

6

Alsó határ

Felső határ osztályközép fi fi' gi gi'

99,5 100 99,75 1 3 0,02 0,02100 100,5 100,25 5 6 0,1 0,12

100,5 101 100,75 9 15 0,18 0,3101 101,5 101,25 20 35 0,4 0,7

101,5 102 101,75 7 42 0,14 0,84102 102,5 102,25 6 48 0,12 0,96

102,5 103 102,75 1 49 0,02 0,98103 103,5 103,25 1 50 0,02 1

50 100


Alsó határ Felső határ Osztályközép fi fi' gi gi'

98 98,5 98,25 1 1 0,02 0,0298,5 99 98,75 3 4 0,06 0,0899 99,5 99,25 5 9 0,1 0,18

99,5 100 99,75 10 19 0,2 0,38100 100,5 100,25 18 37 0,36 0,74

100,5 101 100,75 7 44 0,14 0,88101 101,5 101,25 4 48 0,08 0,96

101,5 102 101,75 1 49 0,02 0,98102 102,5 102,25 1 50 0,02 1

50 100

7

Ábrázolás


1. nap – középérték mutatók

8

99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2100,1 100,5 100,7 101,0 101,2 101,3 101,4 101,7 101,9 102,3100,1 100,6 100,8 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,4100,2 100,6 100,9 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,8100,2 100,6 100,9 101,2 101,3 101,4 101,4 101,8 102,1 103,3

Medián: (101,3+101,3)/2=101,3

Módusz: =101,4

27,10150

3,1038,102...1,1001,1007,991

n

xx

n

ii


1. nap – középérték mutatók becsléssel

9

Alsó határ


99,5 100 99,75 1 3 0,02 0,02100 100,5 100,25 5 6 0,1 0,12

100,5 101 100,75 9 15 0,18 0,3101 101,5 101,25 20 35 0,4 0,7

101,5 102 101,75 7 42 0,14 0,84102 102,5 102,25 6 48 0,12 0,96

102,5 103 102,75 1 49 0,02 0,98103 103,5 103,25 1 50 0,02 1

50 100

25,1015,020

1525101

2ˆ

'1

0,

meme

me

me hf

fN

YeM

23,1015,01311

11101ˆ 0,

mo

fa

amo h

dd

dXoM

29,10150

25,1031...25,100575,9911

n

xfx

r

iii


1. nap - ingadozásmutatók

10

99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2100,1 100,5 100,7 101,0 101,2 101,3 101,4 101,7 101,9 102,3100,1 100,6 100,8 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,4100,2 100,6 100,9 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,8100,2 100,6 100,9 101,2 101,3 101,4 101,4 101,8 102,1 103,3

6,37,993,103minmax XXR

71,0

50

)27,1013,103(...)27,1011,100()27,1017,99( 2221

2

N

XXs

N

ii

7183,0

150

)27,1013,103(...)27,1011,100()27,1017,99(

1

2221

2

N

XXs

N

ii

%7,027,101

71,0

X

sV


11

1. nap – ingadozásmutatók becslésselAlsó határ


99,5 100 99,75 1 3 0,02 0,02100 100,5 100,25 5 6 0,1 0,12

100,5 101 100,75 9 15 0,18 0,3101 101,5 101,25 20 35 0,4 0,7

101,5 102 101,75 7 42 0,14 0,84102 102,5 102,25 6 48 0,12 0,96

102,5 103 102,75 1 49 0,02 0,98103 103,5 103,25 1 50 0,02 1

50 100

6844,0

50

)29,10125,103(1...)29,10125,100(5)29,10175,99(1 222

1

1

2

r

ii

r

iii

f

XXfs

%676,029,101

6844,0

X

sV


1. nap - kvantilisek

12

99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2100,1 100,5 100,7 101,0 101,2 101,3 101,4 101,7 101,9 102,3100,1 100,6 100,8 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,4100,2 100,6 100,9 101,1 101,2 101,3 101,4 101,8 102,1 102,8100,2 100,6 100,9 101,2 101,3 101,4 101,4 101,8 102,1 103,3

775,100)7,1008,100(75,07,1001 Q

8,101)8,1018,101(25,08,1013 Q

22,100)2,1004,100(1,02,1001 D

19,102)1,1022,102(9,01,1029 D

1/ Nk

is ki

kikiki sskiski YYsYY/// 1//

75,121504

14/1 s

25,381504

34/3 s

1,515010

110/1 s

9,4515010

910/9 s


1. nap - alakmutatók

13

127,071,0

)3,10127,101(3)(3

s

MexP

2601,094,3

025,1

)22,10019,102(2

775,1008,101

)(2 19

13

DD

QQK

Enyhe jobb oldali aszimmetria

Csúcsosabb, mint a normális eloszlás

Moátlag Me


14

2. nap – középérték mutatók

98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,298,5 99,2 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,398,6 99,3 99,6 99,8 100,2 100,2 100,3 100,5 100,8 101,498,7 99,4 99,7 99,9 100,2 100,3 100,4 100,5 100,8 101,699,0 99,5 99,7 100,0 100,2 100,3 100,4 100,5 101,2 102,2

Medián: (100,2+100,2)/2=100,2

Módusz: =100,2

1,100096,10050

2,1026,101...6,985,981,981

n

xx

n

ii


15

2. nap – középérték mutatók becslésselAlsó határ Felső határ Osztályközép fi fi' gi gi'

98 98,5 98,25 1 1 0,02 0,0298,5 99 98,75 3 4 0,06 0,0899 99,5 99,25 5 9 0,1 0,18

99,5 100 99,75 10 19 0,2 0,38100 100,5 100,25 18 37 0,36 0,74

100,5 101 100,75 7 44 0,14 0,88101 101,5 101,25 4 48 0,08 0,96

101,5 102 101,75 1 49 0,02 0,98102 102,5 102,25 1 50 0,02 1

50 100

167,1005,018

19251002ˆ

'1

0,

meme

me

me hf

fN

YeM

21,1005,0118

8100ˆ 0,

mo

fa

amo h

dd

dXoM

14,10050

25,1021...75,98325,9811

n

xfx

r

iii


16

2. nap - ingadozásmutatók98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,298,5 99,2 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,398,6 99,3 99,6 99,8 100,2 100,2 100,3 100,5 100,8 101,498,7 99,4 99,7 99,9 100,2 100,3 100,4 100,5 100,8 101,699,0 99,5 99,7 100,0 100,2 100,3 100,4 100,5 101,2 102,2

1,41,982,102minmax XXR

796,0

50

)1,1002,102(...)1,1005,98()1,1001,98( 2221

2

N

XXs

N

ii

841,0

150

)1,1002,102(...)1,1005,98()1,1001,98(

1

2221

2

N

YYs

N

ii

%79,01,100

796,0

X

sV


17

2. nap – ingadozásmutatók becslésselAlsó határ Felső határ Osztályközép fi fi' gi gi'

98 98,5 98,25 1 1 0,02 0,0298,5 99 98,75 3 4 0,06 0,0899 99,5 99,25 5 9 0,1 0,18

99,5 100 99,75 10 19 0,2 0,38100 100,5 100,25 18 37 0,36 0,74

100,5 101 100,75 7 44 0,14 0,88101 101,5 101,25 4 48 0,08 0,96

101,5 102 101,75 1 49 0,02 0,98102 102,5 102,25 1 50 0,02 1

50 100

77,0

50

)14,10025,102(1...)14,10075,98(3)14,10025,98(1 222

1

1

2

r

ii

r

iii

f

XXfs

%769,014,100

77,0

X

sV


18

2. nap - kvantilisek

98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,298,5 99,2 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,398,6 99,3 99,6 99,8 100,2 100,2 100,3 100,5 100,8 101,498,7 99,4 99,7 99,9 100,2 100,3 100,4 100,5 100,8 101,699,0 99,5 99,7 100,0 100,2 100,3 100,4 100,5 101,2 102,2

75,121504

14/1 s

25,381504

34/3 s

1,515010

110/1 s

9,4515010

910/9 s

6,99)6,996,99(75,06,991 Q

5,100)5,1005,100(25,05,1003 Q

01,99)0,991,99(1,00,991 D

2,101)2,1012,101(9,02,1019 D


19

2. nap - alakmutatók

Enyhe jobb oldali aszimmetria

Csúcsosabb, mint a normális eloszlás

3768,0796,0

)2,1001,100(3)(3

s

MexP

2055,038,4

9,0

)01,992,101(2

6,995,100

)(2 19

13

DD

QQK

Moátlag Me


Egy internetszolgáltató vállalkozásnál 280 napon keresztül vizsgálták az ügyfelek napi reklamációinak számát. A megfigyelések eredményiből az alábbi gyakorisági eloszlást készítették.

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból az 5. osztályhoz tartozó értéket!

2. Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat!

3. Mekkora a napi reklamációk átlagos száma?

4. Mekkora a napi reklamációk tipikus értéke?

5. Mekkora a medián értéke?

6. Mekkora az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga (szórás)?

7. Mekkora a relatív szórás?

Példa

20

Reklamációk száma (reklamáció naponta)

Napok száma

0 311 452 653 774 325 216 9


1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból az 5. osztályhoz tartozó értéket!

A megfigyelések során 32 napon volt a napi reklamációk száma 4.

250 napon volt a napi reklamációk száma 4, vagy annál kevesebb.

Az esetek 11,4%-ban volt napi 4 reklamáció.

Az esetek 89,3%-ban volt a napi reklamációk száma 4, vagy annál kevesebb.

Példa – megoldás (1)

21


Napok száma

0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig

'ig

5f'

5f

5g'5g



Gyakoriság:

Relatív gyakoriság:

Kumulált relatív gyakoriság:


22


Napok száma

0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig

'ig

if

ig'ig



Gyakorisági hisztogram


23




24

0,111

0,271

0,504

0,779

0,8930,9681,000

0 1 2 3 4 5 6Napi reklamációk száma

Kumulált relatív gyakoriság 'ig


3. Mekkora a napi reklamációk átlagos száma?


25

r

ii

r

iii

f

xfx

1

1

475,2280

69521432377265145031


4. Mekkora a napi reklamációk tipikus értéke?

A napi reklamációk tipikus értéke a módusz.

A módusz értéke 3.

Azért tipikus, mert ez a leggyakoribb érték.


26


Napok száma

0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig

'ig


5. Mekkora a medián értéke?

Páros számú adat esetén a sorbarendezett adatok között a két középső átlaga a medián. Esetünkben a 140. és a 141. adat a növekvő sorrendbe rendezett adatok között a két középső. E két adat értéke rendre a 2 és a 2. Ezért a medián értéke 2.

Miért nem ezzel számoltunk?


27


Napok száma

0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig

'ig

meme

me

me hf

fN

XeM

'1

0,2ˆ


6. Mekkora az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga (szórás)?



28


Napok száma

0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if 'if ig

'ig

280

475,269...475,2145475,2031 2222 S

299,22 S 516,1S

613,0475,2

516,1

x

S


Egy áramszolgáltatónál 650 megfigyelést végeztek a szolgáltatásban bekövetkező áramkimaradásokra vonatkozóan. A megfigyelések eredményeit az alábbi táblázatban rögzítették.

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból a 4. osztályhoz tartozó értéket!

2. Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet!

3. Mekkora az áramkimaradások átlagos időtartama?

4. Mekkora a tipikusnak tekinthető áramkimaradás időtartama?

5. Becsülje meg és értelmezze a mediánt!

6. Adjon becslést a szórásra!


Példa

29

Áramkimaradás időtartama

(perc)

Áramkimaradások száma

[0;10) 40[10;20) 190[20;30) 350[30;40) 40[40;50) 20[50;60) 10


Áramkimaradás időtartama (perc)


[0;10) 40 40 0.062 0.062[10;20) 190 230 0.292 0.354[20;30) 350 580 0.538 0.892[30;40) 40 620 0.062 0.954[40;50) 20 640 0.031 0.985[50;60) 10 650 0.015 1

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból a 4. osztályhoz tartotó értéket!

A megfigyelések során 40 esetben volt az áramkimaradás időtartama 30 percnél hosszabb vagy azzal egyenlő és 40 percnél rövidebb.

620 esetben volt az áramkimaradás időtartama 40 percnél rövidebb.

Az esetek 6,2%-ban volt az áramkimaradás időtartama 30 percnél hosszabb vagy azzal egyenlő és 40 percnél rövidebb.

Az esetek 95,4%-ban volt az áramkimaradás időtartama 40 percnél rövidebb.


30

if'if ig

'ig

4f

'4f

4g'4g




31



[0;10) 40 40 0.062 0.062[10;20) 190 230 0.292 0.354[20;30) 350 580 0.538 0.892[30;40) 40 620 0.062 0.954[40;50) 20 640 0.031 0.985[50;60) 10 650 0.015 1

if'if ig

'ig

ig

10 20 30 40 50 60

Időtartam szerinti megoszlás(relatív gyakorisági

hisztogram )

Áramkimaradások időtartama(perc)




32



[0;10) 40 40 0.062 0.062[10;20) 190 230 0.292 0.354[20;30) 350 580 0.538 0.892[30;40) 40 620 0.062 0.954[40;50) 20 640 0.031 0.985[50;60) 10 650 0.015 1

if'if ig

'ig '

ig

10 20 30 40 50 60

Tapasztalati eloszláskép

Áramkimaradások időtartama(perc)


ix

3. Mekkora az áramkimaradások átlagos időtartama? Az áramkimaradások átlagos értékének becsléséhez szükségünk van az osztályközepekre.

Átlag becslése:


33

if'if ig

'ig



[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

538,22650

5510540

1

1

r

ii

r

iii

f

xfx


ix

4. Mekkora a tipikusnak tekinthető áramkimaradás időtartama? A leggyakrabban előforduló időtartamú áramkimaradást tekintjük tipikusnak, ez a módusz.

Módusz: folytonos ismérv esetén a gyakorisága görbe maximum helye(i). Módusz becslése: tudjuk, hogy a 3. osztályközben van.


34

if'if ig

'ig



[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

mofa

amo h

dd

dXoM

0,ˆ 310403501 momof ffd

1601903501 momoa ffdA móduszt tartalmazó osztály

bal végpontja

A móduszt tartalmazó osztály hossza

404,2310310160

16020ˆ 0,

mo

fa

amo h

dd

dXoM


5. Becsülje meg és értelmezze a mediánt!

meme

me

me hf

fN

XeM

'1

0,2ˆ



[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

ix


35

if'if ig

'ig

A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja

A mediánt tartalmazó osztály hossza

N a megfigyelések száma:650

me Az első olyan osztályköz sorszáma, amelyhez tartozó kumulált gyakoriság nagyobb vagy egyenlő, mint a megfigyelések számának fele. Most a 3. osztály.

714,2210350

2302

650

202ˆ

'1

0,

meme

me

me hf

fN

XeM


6. Adjon becslést a szórásra!




[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

ix


36

if'if ig

'ig

95,8

650

538,225510538,22540 22

S

538,22x

%7,39397,0538,22

95,8

x

SV

r

ii

r

iii

f

xxfS

1

1

2

Documents

Gazdaságstatisztika