KPSS2017

30.Eğitimde

yıl

önce bİz sorduk

soru92120 Soruda

GEOMETRİkonu anlatımlı

pratik bilgiler

sınavlara en yakın özgün sorular ve açıklamaları

çıkmış sorular ve açıklamaları

GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR

Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu

KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI KİTAP

ISBN 978-605-318-483-6

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

34. Baskı: 2016, AnkaraYayın-Proje: Özlem Sağlam

Dizgi-Grafik Tasarım: Didem KestekKapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;

GEOMETRİ

- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar,- Çokgenler ve Dörtgenler,- Çember ve Daire,- Analitik Geometri ve

- Katı Cisimlerbölümlerinden oluşmaktadır.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.

Her ünitenin sonunda,

- çıkmış sorular ve

- cevaplı testlere;

yer verilmiştir.

Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu

SUNU

1. BÖLÜM

GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR ...................................................1Geometrik Kavramlar ...............................................2Tanımsız Kavramlar ..................................................2Açılar..........................................................................2Açının Ölçüsü ...........................................................2Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler .........................2Açı Ölçü Birimleri .....................................................2Derecenin Alt Birimleri .............................................3Açı Çeşitleri ...............................................................3Dar Açı .......................................................................3Dik Açı .......................................................................3Geniş Açı ...................................................................3Doğru Açı ..................................................................3Tam Açı ......................................................................3Komşu Açılar ............................................................3Açıortay .....................................................................3Tümler Açılar .............................................................4Bütünler Açılar ..........................................................4Ters Açılar .................................................................5Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar .............................................................5Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ....................................5Kenarları Paralel Açılar ............................................7Kenarları Dik Açılar ..................................................7Üçgenler ....................................................................10Üçgen Çeşitleri .........................................................10Açılarına Göre Üçgenler...........................................10Kenarlarına Göre Üçgenler ......................................10Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ..................11Yükseklik ...................................................................11Açıortay .....................................................................11Kenarortay.................................................................11Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ...........................12Dik Üçgen ..................................................................16Pisagor Teoremi ........................................................16Öklid Bağıntıları ........................................................17Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler .......................18Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler ...........................19Üçgende Açıortay Teoremleri ..................................21İç Açıortay Teoremi...................................................22Dış Açıortay Teoremi ................................................23Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................25

Ağırlık Merkezi ..........................................................25Kenarortay Bağıntıları ..............................................27Özel Üçgenler............................................................29İkizkenar Üçgen ........................................................29Eşkenar Üçgen..........................................................31Üçgende Alan ............................................................35Üçgende Benzerlik ...................................................40Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ...............................40Tales Teoremi ............................................................42Temel Orantı Teoremi ...............................................42Çapraz Tales Teoremi ...............................................43Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı .....................44Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı .................45Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları .............................48Üçgen Eşitsizliği .......................................................48Çıkmış Sorular ..........................................................53Cevaplı Test - 1 ........................................................56Cevaplı Test - 2 ........................................................58Cevaplı Test - 3 ........................................................60Cevaplı Test - 4 ........................................................62Cevaplı Test - 5 ........................................................64Cevaplı Test - 6 ........................................................66Cevaplı Test - 7 ........................................................68Cevaplı Test - 8 ........................................................70Cevaplı Test - 9 ........................................................72Cevaplı Test - 10 ......................................................74Cevaplı Test - 11 .......................................................76Cevaplı Test - 12 ......................................................78Cevaplı Test - 13 ......................................................80

2. BÖLÜMÇOKGENLER VE DÖRTGENLER .............................83Çokgenler ..................................................................84Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................84Düzgün Çokgen ........................................................85Dörtgenler .................................................................90Dörtgenlerde Alan ....................................................91Paralelkenar ..............................................................93Paralelkenarda Alan .................................................94Paralelkenarın Alan Özellikleri ................................94Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler .............96Eşkenar Dörtgen .......................................................97Dikdörtgen ................................................................98

İÇİNDEKİLER

Kare............................................................................100Yamuk – Deltoid ........................................................102İkizkenar Yamuk ........................................................105Dik Yamuk .................................................................107Deltoid .......................................................................107Çıkmış Sorular ..........................................................108Cevaplı Test - 1 ........................................................110Cevaplı Test - 2 ........................................................112Cevaplı Test - 3 ........................................................114Cevaplı Test - 4 ........................................................116Cevaplı Test - 5 ........................................................118

3. BÖLÜMÇEMBER VE DAİRE ..................................................121Çemberde Açı ...........................................................122Çemberde Yardımcı Elemanlar ................................122Çemberde Yay ve Açı Özellikleri .............................123Merkez Açı .................................................................123Çevre Açı ...................................................................124Teğet Kiriş Açı ...........................................................125İç Açı ..........................................................................125Dış Açı .......................................................................125Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ................................127Kirişler Dörtgeni .......................................................127Çemberde Uzunluk ...................................................128Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ................128Kuvvet Ekseni ...........................................................130İki Çemberin Ortak Teğetleri ....................................131İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ...................133Üçgenin Çemberleri..................................................133Üçgenin İç Teğet Çemberi ........................................133Üçgenin Dış Teğet Çemberi .....................................134Teğetler Dörtgeni ......................................................134Dairede Alan ..............................................................135Dairenin Alanı ve Çevresi ........................................135Daire Diliminin Alanı .................................................135Çember Yayının Uzunluğu .......................................135Daire Kesmesinin Alanı ............................................135Daire Halkasının Alanı ..............................................136Çemberde Benzerlik .................................................137Çıkmış Sorular ..........................................................139Cevaplı Test - 1 ........................................................140Cevaplı Test - 2 ........................................................142Cevaplı Test - 3 ........................................................144

4. BÖLÜMANALİTİK GEOMETRİ ...............................................147Noktanın Analitik İncelenmesi .................................148Analitik Düzlem .........................................................148İki Nokta Arasındaki Uzaklık ....................................149Doğrusal Noktalar.....................................................150Doğrusal Olmayan Noktalar ....................................152Doğrunun Analitik İncelenmesi ...............................155Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ...............................155Doğrunun Grafiğinin Çizimi .....................................157Doğrunun Denklemleri .............................................158Özel Doğrular ............................................................160İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ..................160Doğru Demeti ............................................................162Simetriler ...................................................................165Noktanın Simetriği ....................................................165Doğrunun Simetriği ..................................................168Eşitsizlikler ................................................................170Çıkmış Sorular ..........................................................172Cevaplı Test ...............................................................173

5. BÖLÜMKATI CİSİMLER .........................................................175Prizma ........................................................................176Dikdörtgenler Prizması ............................................177Küp .............................................................................179Silindir .......................................................................179Dönel Silindir ............................................................180Piramit .......................................................................182Düzgün Piramit .........................................................182Kesik Piramit .............................................................183Koni ............................................................................183Küre ...........................................................................185Çıkmış Sorular ..........................................................186Cevaplı Testler - 1 ....................................................187Cevaplı Testler - 2 ....................................................189

Geometrİk Kavramlar ve Doğruda Açılar� GEOMETRİK KAVRAMLAR

� DOĞRUDA AÇILAR

� ÜÇGENLER

� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR

� ÜÇGENDE AÇILAR

� DİK ÜÇGENLER

� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ

� ÜÇGENDE ALAN

� ÜÇGENDE BENZERLİK

� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI

... ren her an özlemlerimize açıktır; ama onun dilini e bu dilin yazıldığı har leri öğrenmeden e ka ramadan anlaşılamaz. ren matematik diliyle yazılmıştır; har leri üç enler, daireler e diğer eometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.

Galıleo

Yıllara Göre Çıkmış

Soru Analizleri

20121

20111

20101

20091

20082

20072

2006-

20052

20131

20141

2015-2016

1

2PEGEM AKADEMİ

GE ME İK KA AM A E D DA A A

GEOMETRİK KA RAMLAR

Tanımsı Kavramlar

okta, doğru, düzlem ibi ka ramlar tanımsız ka ram-lardır.

N ta

Kalem ucunun k ğıt üzerine bıraktığı işaret eya izdir. oktanın belli bir alanı, hacmi eya boyutu yoktur. okta

büyük har le österilir.

rneğin;

A noktası B noktasıB

D ru

İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.

A B d

Doğrular enelde küçük har le temsil edilirler. d doğrusu eya AB diye sembolize edilebilir.

D ru Parçası

iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birle-şim kümesine doğru parçası denir.

A B

doğru parçası AB6 @ sembolü ile österilir.

CD CD"6 @ doğru parçası

CD CD" doğru parçasının uzunluğu olarak österilir.

Işın

Bir ucu başlan ıç noktası olup diğer ucu sonsuza iden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.

A B d

AB "6 B ışını diye okunur.

Yarı D ru

AB6 ışınından başlan ıç noktası yani noktasının çı-kartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB arı d rusu denir.

A B d

AB AB"@ ışını diye okunur.

D lem

Bir masanın üstü, dur un su yüzeyi ibi tamamen düz e aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluştur-duğu kümeye d lem denir.

AÇILAR

Başlan ıç noktaları aynı olan iki ışının bir-leşimine Açı denir.

Yani; AB ve AC66 ışınlarının birleşimi ile oluşan açı B ya da

B açısıdır.

B açısı BAC% ya da CAB% açısı ile österilir.

Açının lç s

AB ve AC6 6 ışınları arasında kalan böl eye At nın ölçüsü de-nir. er At na ile arasında bir tek reel sayı karşılık elir. Bu reel sayıya B açısının ya da

B açısının ölçüsü denir.

Yani B açısının ölçüsü α dır.

ve ( ) A( )BACm m α = =t% eya

( ) ( )BAC As s α = =t% ile österilir.

Eş Açılar lçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

Yani; ( ) ( )m A m B A ileBaçýlarý&=t t eş açılardır.

Açının D lemde A ırdı ı Böl eler

erhan i bir açı düzlemi üç arklı böl eye ayırır. Bu böl-eler

. çının kendisi

. çının iç böl esi

. çının dış böl esi

Açı lç Birimleri

Dere e Grad Rad an açı ölçü birimleridir. enelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. , ,...20 40o o şeklinde

österilir.

Bu üç arklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle erebiliriz,

D: Derece

G: Grad

adyan olmak üzereD G R180 200 π

= = bağıntısı ardır.

A

B

C

[ [ AB AC A∪ =

A

B

C

α

A

B

C

αII.

I.

III.

3

NotBir ışının başlan ıç noktası etra ında bir tur dön-dürülmesi ile oluşan açı 360o , 400 Grad ve 2π

adyandır.

Dere enin Alt Birimleri

'

.'''

' '''' dýr

Bir dereceBir dakikaBir saniye

60111

11 601 3600

o o

o

"

"

"

===

_

`

a

bb

b

AÇI ÇE İTLERİ

Dar Açı

lçüsü 0o ile 90o arasında olan açılara dar açı denir.

Yani; < < 90 dar açýdýr.0o o +a α

Di Açı

lçüsü 90o olan açıya di açı de-nir.

Yani; dik açýdýr.90o +α α=

Geniş Açı

lçüsü 90o ile 180o arasında olan açılara eniş açı denir.

Yani; < < 180 geniþ açýdýr.90o o +a α

D ru Açı

lçüsü 180o olan açıya d -ru açı denir.

Yani; doðru açýdýr.180o +α α=

Tam Açı

lçüsü 360o olan açıya tam açı denir.

Yani;

tam açýdýr.360o +α α=

A

B

C

α

A

B

C

α

A

B

C

α

180α = °

AC B

360α = °A

B

Örnek

, O, B noktaları doğrusal, ( ) ,DOBm 2α =% ( )CODm 7α =%

ve ( )AOCm 3α =%

Yu arıda i verilenlere öre α aç dere edir

B D

Çö m, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı ereği 180o lik açı meydana etirirler.

Yani; 3 7 2 180oα α α+ + = dir.

.bulunur

12 180

15

o

o

&

&

α

α

=

=

K mşu Açılar

Köşeleri e birer kenarı ortak olan iç böl elerinin kesişimleri boş küme olan açılara mşu açılar denir.

Yani; COB% ile BOA% komşu iki açıdır.

AÇIORTAY

çıyı iki eşit açıya ayıran ışına açı-rta denir.

Yani; ( ) ( )COB BOAm m=% % dır.

OB6 ye COA% nın açıortayı denir.

OC6 ile OA6 ye açıortayın kolları ke-narları denir.

Örnek

, O, B noktaları doğru-sal OC6 ile OF6 açıortay ( )DOEm 80o=%

Yu arıda i verilenlere öre ( )COFm % aç dere edir

B D

C D

A BO

7α α 2α

A

BC

O

A

BC

O

A BO

80°C

D E

F

4

Çö m

, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana elen açıların ölçüleri toplamı 180o

dir.

( ) ( ) ,AOC CODm m α = =% %

( ) ( )EOF FOBm m β = =% %

dersek

180 2 2 100 502 2 80o o o o& &= + = + =a b a bα β+ +

m( ) 130( )COF COFm 80o o&α β= + + =% % bulunur.

Örnek

Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54o dir.

Buna öre u i i açının ölç leri t lamı aç dere e-dir

A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110

Çö m

BOC% ile COA% komşu iki açıdır. OD6 ile OE6 açıortaydır. ( )DOEm 54o=% erilmiş ( ) ( ) ,BOD DOCm m α = =% %

( ) ( )COE EOAm m β = =% % dersek ( )DOEm 54oα β= + =% dir.

Buradan ( ) ( )BOC COAm m 2 2α β+ = +% %

( )2 108o

54o& α β+ =S bulunur.

Notçıortay üzerinde alınan herhan i bir noktanın,

açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.

OD6 açıortay, OB6 ile OA6 açıortayın kolları ol-mak üzere

, ,CK OB DL OB= =6 6 6 6@ @veCE OA DF OA= =6 6 6 6@

çizilirse

.,,

CK CE DL DF veKO EO LO FO dur

= =

= =

O

C

D

B

AE F

L

K

A BO

80°C

D E

Fαα

ββ

T MLER AÇILAR

lçüleri toplamı 90o olan iki açıya t mler iki açı denir.

Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

90o + aα β+ = ile β tümler iki açı-dır.

’α nın tümleri 90o - a

nın tümleri 90o - b dır.

B T NLER AÇILAR

lçüleri toplamı 180o olan iki açıya t nler açılar denir.

Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

180o +α β α+ = ile β bü-tünler iki açıdır.

’α nın bütünleri 180o - a

’β nın bütünleri 180o - b dır.

Örnek

Bir açının atının 5o a lası a nı açının t mlerine eşit ldu una öre açının t nleri aç dere edir

B D

Çö m

Açı T mleri

α 09 o - a dır.

Denklem kurulursa;

90 dýr.

.bulunur

4 5

5 85 17

o o

o o&

= -α α

α α

+

= =

O halde açının bütünleri

180 17 163180o o o o- = - =α bulunur.

Örnek

Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm , kalan 10o dir.

Buna öre ç açı aç dere edir

B D

A

B

αβ

C

O

A BO

βα

C

5

Çözüm:

Bütünler iki açı

α ile β olsun

O halde 180oα β+ = dir.

Verilen denklem yazılacak olursa

10�4 4 10 dir.= �

Buradan 4 10oα β= + denklemi

180oα β+ = denkleminde yerine yazılacak olursa

180 5 170

dýr.

4 10

34

146

o o o

o

o

&

&

&

+ = =b bβ

β

α

+

=

=

O halde küçük açı °34β = bulunur.

TERS AÇILAR

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan açılara ters açılar denir.

Yani; Kesişen d1 ve d2 doğrula-rında at ile ct , bt ile dt açıları ters açılardır.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a c= ve b d= dir.

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESEN İLE YAPTIĞI AÇILAR

// ,d d1 2 a, b, c, d, x, y, z, t bulun-dukları açıların ölçüleridir.

(i) Yöndeş açılar

//d d1 2 ise

at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; ., , , dira x b y c z d t= = = =

1d

2d

ab

cd

1d

2d

abc d

xyz t

(ii) İç ters açılar

//d d1 2 ise

ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; c x= ve d y= dir.

(iii) Dış ters açılar

//d d1 2 ise

at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.

Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Yani; a z= ve b t= dir.

(iv) Karşı durumlu açılar

//d d1 2 ise

ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180o dir.

Yani; c y 180o+ = ve d x 180o+ = dir.

NotKarşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.

Yani; //d d1 2 AC6 ile BC6

açıortay AC BC& =6 6 dir.

2d

1d

3d

B

C

A

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR

(i) // ;d d d d B1 2 3 4+ = " ,,α ,δ β bulundukları açıların

ölçüleri olmak üzere α δ β+ = dır.

(ii) // ;d d1 2

,α ,β δ bulundukları açı-ların ölçüleri olmak üzere

360oα β δ+ + = dir.

NotParalel doğrular n doğruyla kesilirse meydana ge-

len aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n 180o: dir.

2d

1dA

3d

B

C4d

2d

1dA

B

C