Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PRATİK BİLGİLER
SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VEAÇIKLAMALARI
VİDEO DESTEKLİ
KONU ANLATIMLI
GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR
GEOMETRİ
KPSS 2019 120 sorudaSORU86
Komisyon
KPSS Geometri Konu Anlatımlı
ISBN 978-605-241-274-9
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ’ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
1. Baskı: 2018, Ankara
Proje-Yayın Yönetmeni: Mehmet Ali TutluDizgi-Grafik Tasarım: Dilara Çetiner
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]
ÖN SÖZ
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Pegem Akademi
Uygulama İndirme
Aktivasyon
QR Kod Okutma
Uygulamanızı
Üye girişi yaptıktan sonraaçılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz.
QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz.
mağazalarından “Pegem Kampüs”yazarak indirebilirsiniz.
ÜyelikÜyelik ekranını eksiksiz
doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz.
AktifKitaplar
Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı
Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı
izlemeye başlayabilirsiniz.
v
İÇİNDEKİLER
1. Bölüm Geometrik Kavramlar ve Doǧruda
AçılarGeometrik Kavramlar .....................................................1
Tanımsız Kavramlar ...................................................1
Açılar .........................................................................1
Açı Çeşitleri ...............................................................2
Açıortay .....................................................................3
Tümler Açılar .............................................................4
Bütünler Açılar ..........................................................4
Ters Açılar .................................................................4
Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ......4
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar ..........................................5
Kenarları Paralel Açılar ..............................................7
Kenarları Dik Açılar ...................................................7
Üçgenler ......................................................................11
Üçgen Çeşitleri .......................................................11
Açılarına Göre Üçgenler .....................................11
Kenarlarına Göre Üçgenler.................................11
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ..................12
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ............................13
Dik Üçgen ...............................................................19
Üçgende Açıortay Teoremleri .................................25
Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................29
Özel Üçgenler .........................................................34
İkizkenar Üçgen .................................................34
Eşkenar Üçgen ..................................................37
Üçgende Alan .........................................................41
Üçgende Benzerlik .................................................47
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları .............................57
Üçgen Eşitsizliği......................................................57
Cevaplı Test 1 – 13 �����������������������������������������������������63
2. Bölüm Çokgenler ve Dörtgenler
Çokgenler ....................................................................89
Dörtgenler ....................................................................95
Dörtgenlerde Alan ...................................................97
Paralelkenar .................................................................99
Paralelkenarda Alan ..............................................100
Eşkenar Dörtgen ........................................................103
Dikdörtgen ................................................................105
Kare ...........................................................................108
Yamuk .......................................................................110
Deltoid .......................................................................115
Cevaplı Test 1 – 5 �����������������������������������������������������116
3. Bölüm Çember ve Daire
Çember ve Daire ........................................................126
Çemberde Açı .......................................................126
Çemberde Yardımcı Elemanlar .............................126
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ...........................128
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ..............................133
Çemberde Uzunluk ....................................................134
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ....................134
İki Çemberin Ortak Teğetleri ......................................139
Üçgenin Çemberleri ...................................................142
Teğetler Dörtgeni .......................................................143
Dairede Alan ..............................................................143
Dairenin Alanı ve Çevresi ......................................143
Çemberde Benzerlik ..................................................147
Cevaplı Test 1 – 3 ����������������������������������������������������150
vi
İÇİNDEKİLER
4. Bölüm Analitik Geometri
Noktanın Analitik İncelenmesi ...................................156
Analitik Düzlem .....................................................156
İki Nokta Arasındaki Uzaklık .................................157
Doğrusal Noktalar .................................................158
Doğrusal Olmayan Noktalar ..................................161
Doğrunun Analitik İncelenmesi ..................................164
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi .............................164
Doğrunun Grafiğinin Çizimi ...................................165
Doğrunun Denklemleri ..........................................166
Özel Doğrular ........................................................168
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ..................169
Doğru Demeti .......................................................171
Simetriler ...................................................................173
Noktanın Simetriği ................................................173
Doğrunun Simetriği ...............................................177
Eşitsizlikler .................................................................179
Cevaplı Test ��������������������������������������������������������������186
5. Bölüm Katı Cisimler
Prizma .......................................................................188
Dikdörtgenler Prizması ..............................................189
Küp ............................................................................191
Silindir ........................................................................192
Piramit .......................................................................195
Koni ...........................................................................196
Küre ...........................................................................198
Cevaplı Test 1 – 2 �����������������������������������������������������199
1
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar 1.Bölüm
GEOMETRİK KAVRAMLAR
Tanımsız KavramlarNokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kav-ramlardır.
Nokta
Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya iz-dir. Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.
Örneğin;A B
A noktası B noktası
Doğru
İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.A B d
Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğ-rusu veya AB diye sembolize edilebilir.
Doğru Parçası
İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların bir-leşim kümesine doğru parçası denir.
A B
doğru parçası AB6 @ sembolü ile gösterilir.CD CD"6 @ doğru parçasıCD CD" doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.
Işın
Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza gi-den noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.
A B d
AB "6 AB yarı doğrusu diye okunur.
Yarı Doğru
AB6 ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çı-kartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir.
A B d
AB AB"@ yarı doğrusu diye okunur.
Düzlem
Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluşturduğu kümeye düzlem denir.
AÇILAR Başlangıç noktaları
A
B
C
[AB ∪ [AC = VA
aynı olan iki ışının birleşimine “Açı” denir.
Yani, AB ve AC6 6 ışınlarının birleşimi ile oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.
BAC açısı BAC% ya da CAB% şeklinde gösterilir.
Açının Ölçüsü
AB ve AC6 6 ışınları ara-
A
B
C
α
sında kalan bölgeye AW nın ölçüsü denir. Her AW na 0 ile 360 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel sayıya BAC açısının (ya da CAB açısının) ölçüsü denir.
Yani BAC açısının ölçüsü α dır.
ve ( ) ( )BACm m A a= =W% veya( ) ( )BACs s A a= =W% ile gösterilir.
Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
Yani, ( ) ( )m mA B &=W W A ile B açıları eş açılardır.Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır.
Bu bölgeler
I. Açının kolları
A
B
C
α
I.
II.
III.
II. Açının iç bölgesi
III. Açının dış bölgesi
Açı Ölçü Birimleri
Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. ° °, ,...20 40 şeklinde
gösterilir.
Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöy-le verebiliriz.
D: Derece
G: Grad
R: Radyan olmak üzere
D G R180 200 r= = bağıntısı vardır.
2
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
NOT
Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürül-mesi ile oluşan açı 360°, 400 Grad ve 2π Radyandır.
Derecenin Alt Birimleri
1° → Bir derece
14243
1° = 60ʹ
1ʹ → Bir dakika 1ʹ = 60ʹʹ
1ʹʹ → Bir saniye 1° = 3600ʹʹ dir.
AÇI ÇEŞİTLERİDar Açı
Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.
Yani, < < 900° +a ac dar açıdır.
A
B
C
α
Dik Açı
Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.
Yani, °90 + aa = dik açıdır.
A
B
C
α
Geniş Açı
Ölçüsü 90°ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.
Yani,
° < < 18090 ° +a a geniş açıdır.
A
B
C
α
Doğru Açı
Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.
Yani, °180 +a a= doğru açıdır.
AB C
α=180°
Tam Açı
Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.
Yani,
°360 +a a= tam açıdır.
AB
α=360°
ÖrnekA, O ve B noktaları
OA B2α
7α3α
DC
doğrusal,
( )DOBm 2a=%
( )CODm 7a=% ve
( )AOCm 3a=%
Yukarıdaki verilenlere göre, α kaç derecedir?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
Çözüm:
A, O ve B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180°lik açı meydana getirirler.
Yani, °3 7 2 180a a a+ + = dir.
12 180°a =
°15& a = bulunur.
Komşu Açılar
Köşeleri ve birer kenarı ortak
A
BC
O
olan iç bölgelerinin kesişim-leri boş küme olan açılara komşu açılar denir.
Yani, COB% ile BOA% komşu iki açıdır.
3
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
AÇIORTAYAçıyı iki eşit açıya ayıran ışına
A
B
C
O
açıortay denir.
Yani, ( ) ( )COB BOAm m=% % dır.
OB6 ye COA% nın açıortayı de-nir.
[OC ile [OA ya açıortayın kolları (kenarları) denir.
ÖrnekA, O ve B noktaları doğrusal
A BO
80°C
D E
FOC6 ile OF6 açıortay ( )DOEm 80o=%
Yukarıdaki verilenlere göre, ( )COFm % kaç derece-dir?
A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140
Çözüm:
A, O ve B noktaları doğrusal olduğundan meydana ge-len açıların ölçüleri toplamı 180°dir.
( ) ( )AOC CODm m a= =% %
( ) ( )EOF FOBm m b= =% %
dersek
A BO
80°C
D E
Fββ
αα
° 180 2 2 100 502 2 80 ° ° °& &= + = + =a b a ba b+ +
m( ) 130( )COF COFm 80° °&a b= + + =% % bulunur.
ÖrnekKomşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54°dir.
Buna göre, bu iki açının ölçüleri toplamı kaç de-recedir?
A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110
Çözüm:
A
O
C54° D
B
E
ββαα
BOC% ile COA% komşu iki açıdır. OD6 ile OE6 açıortaydır. ( )DOEm 54°=% olduğundan
( ) ( )BOD DOCm m a= =% % ve
( ) ( )COE EOAm m b= =% % dersek
( )DOEm 54°a b= + =% dir.
Buradan ( ) ( )BOC COAm m 2 2a b+ = +% %
( )2 108°54°a b+ => bulunur.
NOT
Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.
OD6 açıortay, OB6 ile OA6 açıortayın kolları olmak üzere
, ,CK OB DL OB= =6 6 6 6@ @] veCE OA DF OA= =6 6 6 6@
çizilirse
O
C
D
B
AE F
L
K .
,
,
CK CE DL DF ve
KO EO LO FO dur
= =
= =
4
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
TÜMLER AÇILAR
O
B
A
C
αβ
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı-ya tümler iki açı denir.
Yani, α ile β bulundukları açıla-rın ölçüleri olmak üzere
°90 + aa b+ = ile β tümler iki açıdır.
α nın tümleri 90° – α
β nın tümleri 90° – β dır.
BÜTÜNLER AÇILAR
OA B
Cβ
α
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.
Yani, α ile β bulundukla-rı açıların ölçüleri olmak üzere
°180 + aa b+ = ile β bütünler iki açıdır.
α nın bütünleri 180° – α
β nın bütünleri 180° – β dır.
ÖrnekBir açının 4 katının 5° fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre, açının bütünleri kaç derece-dir?
A) 157 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165
Çözüm:
Açı Tümleri
α 90° – α dır.
Denklem kurulursa
4α + 5° = 90° – α dır.
5α = 85° ⇒ α = 17° bulunur.
O hâlde, açının bütünleri
° 180 17 163180 ° ° °- = - =a bulunur.
ÖrnekBütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10° dir.Buna göre, küçük açı kaç derecedir?
A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40
Çözüm:
Bütünler iki açı
α ile β olsun.
O hâlde, α + β = 180° dir.
Verilen denklem yazılacak olursa
α β
410°
⇒ α = 4β + 10° dir.
Buradan °4 10a b= + denklemi
°180a b+ = denkleminde yerine yazılacak olursa
4β + 10° + β = 180° ⇒ 5β = 170°
⇒ β = 34°
⇒ α = 146°dır.
O hâlde, küçük açı β = 34° bulunur.
TERS AÇILARKesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan birbirine komşu olmayan açılara ters açılar denir.
d1
d2
ab
cd
Yani, Kesişen d1 ve d2 doğrularında at ile ct , bt ile dt
açıları ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir.
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESEN İLE YAPTIĞI AÇILAR d1 // d2 ve a, b, c, d, x, y, z, t bulundukları açıların ölçüleridir.
ab
c d
xy
z t
d1
d2
5
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
(i) Yöndeş açılar
d1 // d2 ise
at ile xt , bt ile yt , dt ile tt , ct ile zt yöndeş açılardır. Yön-deş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Yani, ., , , dira x b y c z d t= = = =
(ii) İç ters açılar
d1 // d2 ise
ct ile xt ve dt ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların öl-çüleri birbirine eşittir.
Yani, c x= ve d y= dir.
(iii) Dış ters açılar
//d d1 2 ise
at ile zt ve bt ile tt dış ters açılardır.
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Yani, a = z ve b = t dir.
(iv) Karşı durumlu açılar
d1 // d2 ise
ct ile yt ve dt ile xt karşı durumlu iki açıdır. Karşı du-rumlu açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
Yani, °c y 180+ = ve °d x 180+ = dir.
NOT
Karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.
Yani, d1 // d2 AC6 ile BC6 A
B
C
d1
d2
d3
açıortay AC BC& =6 6 dir.
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ AÇILAR
(i) // ved d d d B1 2 3 4+ = " ,α, δ, β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
α + δ = β dır.
A
B
C
d3
d1
d2
d4
α
β
δ
(ii) d1 // d2
α, δ, β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere
α + β + δ = 360°dir. A
B
C
d1
d2δ
β
α
NOT
Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana gelen
aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n · 180° dir.
(iii) d1 // d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açı-lardır.
Aynı yöndeki açıların ölçüleri toplamı ile bu açılara göre, ters yönde olan aynı yönlü açıların ölçülerinin toplamları birbirine eşittir.
x
d1
d2
yδ
β
α
Yani, α, δ, β, x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğu-na göre x ya b d+ + = + dir.