Generalitat de Catalunya Departament d’Ensenyament Departament de Matemàtiques Institut Jaume Balmes MA - 2n de Batx Funcions i límits Nom: Grup:

1.- Trobeu totes les solucions de les equacions següents:

a) 4 tan (5x) = 16

b) 5 220 3 100· x+ =

(1 punt) 2.- Defineix la funció y= arctan(x), dibuixa la seva gràfica, indica quin és el seu domini, el seu

recorregut i si té asímptotes indica quines són. (1,25 punts)

3.- A la vista de la gràfica de la funció y=f(x) trobeu:

a) Domini (f) = b) Recorregut (f)= c) les imatges del –6, – 4, – 3, 0 i 1 d) Les antiimatges del

—1, +1, 4 i 5

e) ( )4

lim−→−

=x

f x ( )4

lim+→−

=x

f x ( )3

lim→−

=x

f x ( )0

lim−→

=x

f x

( )0

lim+→

=x

f x ( )lim→+∞

=x

f x

f) On la funció és contínua. g) Indica en els punts on Y = f(x) no és contínua, el tipus de discontinuïtat de cada cas i les

asímptotes que presenta.

(0,25 · 3 + 0,4 +0,6 +0,25 +0,5 = 2,5 punts)

4.- Calcula els límits següents:

a) 3

23

7 62 3

limx

x xx x→

− −− −

b) 3 2 4 3

3 4

3 22 4 10x

x x x xlím

x x x→ +∞

+ ++ − + −

c) 2

3log( )

x

xlím

x→ +∞

d)

81

1

54 1

−

→

+

x

x

xlím

x e) ( )4 2 4 22 8

→+∞− − +

xlím x x x x f)

3 2

7 2

3 143 ln( )xx

x xlím

x−→ −∞

+−

(1+0,75·2+1·2+0,75= 5,25 punts)

Generalitat de Catalunya Departament d’Educació Departament de Matemàtiques Institut d’Educació Secundària MA - 2n de Batx Jaume Balmes Funcions i límits Nom: Grup:

1.- Trobeu totes les solucions de les equacions següents:

a) 4 tan (5x) = 16

5 4 5 4 1804 1805

4 18015 19 36

5

0 275

tan( ) arctan( ) · ºarctan( ) · º

arctan( ) · º, º · º

·,

x x k k Zk

x k Z

kx k Z x k k Z

ko x rad rad k Z

π

= ⇒ = + ∀ ∈ ⇒+

⇒ = ∀ ∈ ⇒

+⇒ = ∀ ∈ ⇒ = + ∀ ∈

= + ∀ ∈

b) 5 220 3 100· x+ =

( )5 2 5 2 5 220 3 100 3 5 3 5

5 55 2 3 5 5 2 5 2

3 35 2

0 10705 3 5

· ln ln( )

ln( ) ln( )( )ln( ) ln( )

ln( ) ln( )ln( )

,·ln( )

x x x

x x x

x

+ + += ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

⇒ = − −;

(1 punt) 2.- Defineix la funció y= arctan(x), dibuixa la seva gràfica, indica quin és el seu domini, el seu

recorregut i si té asímptotes indica quines són. (1,25 punts)

És la funció inversa de la funció y=tan(x) considerada amb domini = (–90º, 90º) =

2 2,rad rad

π π−

Per dibuixar la gràfica de la funció inversa de Y=tan(x) només cal recordar la gràfica de la tangent en el domini anterior

i fer la seva simetria respecte la recta Y=X Així doncs, la gràfica de la funció Y=arctan(x) és la següent

Domini = R, Recorregut = (–90º, 90º) =2 2

,rad radπ π−

i té dues asímptotes

per x → −∞ la recta 2/Y π= − i per per x → +∞ la recta 2/Y π=

3.- A la vista de la gràfica de la funció y=f(x) trobeu:

h) Domini (f) = =[–6,0)∪ (0,+∞ ) i) Recorregut (f)= =(–1,+ ∞ ) j) les imatges del – 6, – 4, —3, 0 i 1 f(–6)= 0; f(–4)=2, f(–3)=4; ∃/ f(0); f(1)=1 k) Les antiimatges del

—1, +1, 4 i 5 Anti (–1) no hi ha Anti (1)= {–5, –2,5, 1 } Anti (4) = { –3, 0,2} Anti (5) = 0,1

l) ( )4

lim−→−

=x

f x 2 ( )4

lim+→−

=x

f x 1 ( )3

lim→−

=x

f x –1 ( )0

lim−→

=x

f x 2

( )0

lim+→

=x

f x +∞ ( )lim→+∞

=x

f x 0+

m) On la funció és contínua.

f(x) és contínua 6 4 4 3 3 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x∀ ∈ − − ∪ − − ∪ − ∪ +∞ , n) Indica en els punts on Y = f(x) no és contínua, el tipus de discontinuïtat de cada cas i les

asímptotes que presenta. En X= – 4 té una discontinuïtat de salt En X= – 3 té una discontinuïtat evitable En X = 0 té una discontinuïtat asimptòtica per la dreta. La recta X=0 és asímptota per la dreta i la recta Y=0 és asímptota quan x → +∞

(0,25 · 3 + 0,4 +0,6 +0,25 +0,5 = 2,5 punts)

4.- Calcula els límits següents:

a) 3

23

7 62 3

limx

x xx x→

− −− −

3 2 2

23 3 3

7 6 0 ( 3)· ( 3 2) ( 3 2) 20lim lim lim 5

2 3 0 ( 3)·( 1) ( 1) 4→ → →

− − − + + + += = = = =

− − − + +x x x

x x x x x x xx x x x x

b) 3 2 4 3

3 4

3 22 4 10x

x x x xlím

x x x→ +∞

+ ++ − + −

3 2 4 3 3 4

3 4 3 4

3 2 3 2 3 21

2 4 10 2 4 2 4x x

x x x x x xlím lím

x x x x x→ +∞ → +∞

+ ++ = + = − + = − − + − −

c) 2

3log( )

x

xlím

x→ +∞

2

3log( )

x

xlím

x→ +∞

+∞= +∞

però com l'ordre de l'infinit del numerador és major que el de

l'infinit del denominador podem dir que 2

3log( )

x

xlím

x→ +∞

= +∞

d)

81

1

54 1

−

→

+

x

x

xlím

x

81

1

51

4 1

− ∞

→

= ⇒ +

x

x

xlím

x així doncs anem a fabricar el número e

1

8 8 81 1 1

1 1 1

8 1·4 1 8 1 4 1 1 4 1· ·

1 1 4 1 18lim

4 1

1 1

5 5 5 4 11 1 1

4 1 4 1 4 1

1 11 1

4 1 4 11 1

→

− − −

→ → →

−+ − + − +

− − + −

+

→ →

− − = + − = + = + + +

= + = + = + + − −

x

x x x

x x x

xx x x x x

x x x x

x

x x

x x x xlím lím lím

x x x

lím lím ex x

x x

8 / 5 = e

e) ( )4 2 4 22 8→+∞

− − +xlím x x x x ∞ − ∞

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

2 24 2 4 2

2

4 2 4 2 4 4

2

2

2 82 8

2 8

2 8 10

2 8

105 5

2

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− + +− − + =

− + +

− − + −= = =

− + + +

−= = − = −

x

x x

x x

x x x xlím x x x x

x x x x

x x x x xlím lím

x x x x x x

xlím lím

x

f) 3 2

7 2

3 143 ln( )xx

x xlím

x−→ −∞

+−

Aquí primer fem el canvi de variable de x per – x per tal que els límit sigui de x → +∞

3 2 3 2 3 2 3

7 2 7 2 7 7

3 14 3 14 3 14 30

3 3 3 3ln( ) ln( )x x x xx x x x

x x x x x x xlím lím lím lím

x x−

−→ −∞ → +∞ → +∞ → +∞

+ − + − + −= = = =

− − I posteriorment:

q al denominador utilitzem que Ordre(exponencial)> Ordre (logaritme) q al numerador ens quedem amb el monomi de major grau i finalment q que Ordre (potència)<Ordre (exponencial)

(1+0,75·2+1·2+0,75= 5,25 punts)