GENETİK KOPYA YÖNTEMİ - ALPASLAN CERAN · Geometri uzamsal kavramlarla ilgilenir. Fizik, astronomi, mühendislik vs. problemleri sadece uzayı değil, genellik-le zamanı da içerir

��

��

��

��

��

��

�� !�"�#

�$%�&��" "'(!"

��%)��*!

�!

��

��

+%,��-��

��

��.��%�*�!*

��!��"�

�/0��,��1223

��

��#��

�4��%��/��

52�671��638�76�9:;

��$��%��

71��

Saygıdeğer Öğretmenler

Sevgili Öğrenciler

Matematik çoğu öğrencinin eğitim hayatı boyunca korkulu rüyası olmuştur. Birçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesin-de olumsuz bir imaja sahiptir. Buna karşılık matematiği tutkuyla sevenler de vardır.

Matematiğe karşı duygusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek “matematik olma-dan olmayacağı” gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz!

NEDEN MATEMATİK VADİSİ?Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeyen herkesin matematikte en azından yeteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için hayata geçirdiği bir projedir.

Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şey, ana sını-fından akademik hatta ansiklopedik düzeye kadar Matematik Vadisi’nin ilgi alanı içindedir.

Bu projenin bel kemiği, okullara takviye ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış yayınlar olacaktır.

Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi’nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt yapıyı hemen hissedeceksiniz.

Kısaca, Matematik Vadisi’nin uzmanlığını fark edeceksiniz.

GENETİK KOPYA YÖNTEMİGenetik Kopya Yöntemi ülkemizde yaygın olan, “matematik korkusu”nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir

yöntemtir.

Temel tezi “Bu çözümü anladıysan çok benzerini de yapabilirsin, yapabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin.”

şeklinde özetlenebilir.

Bu kitabın sistematiğinde temel bilgiyi vermek amacıyla ayrıntılı şekilde çözdüğümüz soruyu, DNA diye adlandırıyo-

ruz. ikonu ile verilen sorular ise, DNA’da verilen soruya bire bir benzeyen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopyası-

dır. Böylece DNA için yapılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. Böylece öğrencinin, yapılan

çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iyice özümsemesi hedefl enmiştir. İnanıyoruz ki “Genetik Kop-

ya” yöntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme yöntemidir.

MATEMATİK VADİSİ’NİN KADROSUMatematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmış-

tır. Ankara’dan Alpaslan Ceran ve Saygın Dinçer, İstanbul’dan Eyüp Kamil Yeşilyurt, İzmir’den İbrahim Kuşcuoğlu,

Konya’dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir.

Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede yayınlanacak onlarca özgün eserle, yeşerecektir.

Alpaslan CERAN

Matematik Vadisi Yayın Editörü

KİTABIMIZIN ORGANİZASYON ŞEMASI

DNA da kullanılan sorunun biraz de-

ğiştirilmiş şekli, yani Genetik Kopyası

bu ikonla gösterilmiştir.

Hazine Avı’ndan elde ettiğimiz ve

DNA çözümlerinde işimize en çok

yarayacak olan, teorem niteliğindeki

değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiş-

tir.

Hazine 1

Bir Noktan n Orijine Uzakl : A(a) noktas n n orijine

uzakl , koordinat n n mutlak de erine e ittir.

|OA| = |a|

Bazen Hazine Avı’ndan, bazen de Hazine

Avı’na ihtiyaç duyulmadan elde edilen ve

DNA çözümlerinde yolumuza IŞIK tutacak

olan, küçük teorem niteliğindeki değerli

bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.

Orta Nokta:

A(a), B(b) ve G(x) olmak üzere,

|AG| = |GB| |x – a| = |b – x|

x – a = b – x

I k 4

Kendinden hemen önce verilen DNA

ve IŞIK’ların kullanımını gerektiren

KÖK SORU’lar bu ikonla gösteril-

miştir.

DNA 14

E imi 1 ve 13

olan do rular aras ndaki geni

aç n n ölçüsü kaç derecedir?

A) 105 B) 120 C) 135 D) 150 E) 165

DNA için verilen ayrıntılı çözümler bu

ikonla gösterilmiştir.Çözüm

Soruyu çözerken öğrencinin yapabi-

leceği muhtemel hataya düşmemesi

için yapılan öğütler bu ikonla göste-

rilmiştir.

Uyarı

I IK 2’nin kar t do ru de ildir.

|AB| + |BC| = |AC| a b c

dir. Noktalar n çak k olmas durumu ihmal edilmeme-

lidir.

Soruyu çözebilmek için gerekli olan

ancak farklı konularla ilgili olan bilgi-

ler bu ikonla gösterilmiştir.

Hatırlatma

�

��

�

h2 = p k

Euclid Teoremi’ni

sa layan üçgen

dik üçgendir.

HAZİNE ve IŞIK’lar kadar yoğun kul-

lanılmayan, ancak yine de bilinmesi

gereken bazı bilgiler bu ikonla gös-

terilmiştir.

Bir üçgensel bölgenin a rl k merkezi kenarortayla-

r n n kesi im noktas d r.

��

��

�

Kısayol

Say do rusunda, |ax + b| c e itsizli ini sa layan

x lerin olu turdu u do ru parças n n uzunlu u 2ca

birimdir.

Sadece o tip soruda kullanılabilecek

kestirme çözüm yolu için kullanılabi-

lecek bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.

Not NOT etmemiz gereken, IŞIK ve HAZİNE’lere nazaran daha az ihti-yaç duyacağınız bilgiler, bu ikonla

gösterilmiştir.

Öğrenciyi dinlendirmek, biraz da bil-

gilendirmek için hazırlanmış yazılar

bu ikonla gösterilmiştir.

��

Zaman Hesab

Her sabah hesab n za 86.400 TL yat ran bir banka dü ünün. Gün boyu istedi iniz kadar paray harca-makta veya harcamamakta serbestsiniz. Fakat sa-

Kitabımızın Organizasyon Şeması ............................................................. Sayfa: 4 - 5

BÖLÜM - 00

Giriş .......................................................................................................... Sayfa: 7 - 8

BÖLÜM - 01

Sayı Doğrusu ........................................................................................... Sayfa: 9 - 18

BÖLÜM - 02

Eksenler ve Bölgeler ............................................................................... Sayfa: 19- 40

BÖLÜM - 03

Orta Nokta ............................................................................................ Sayfa: 41 - 60

BÖLÜM - 04

Alan ve Ağırlık Merkezi ......................................................................... Sayfa: 61 - 86

BÖLÜM - 05

Eğim .................................................................................................... Sayfa: 87 - 112

BÖLÜM - 06

Doğru Denklemleri ........................................................................... Sayfa: 113 - 168

BÖLÜM - 07

Simetri .............................................................................................. Sayfa: 169 - 190

BÖLÜM - 08

Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri ......................................................... Sayfa: 191 - 207

EK - Grafi kler ............................................................................................. Sayfa: 208

12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ 7

GİRİŞ

Okuma yazmayı yeni öğrendiğimde, ilkokul öğretmenimiz

hepimizden defterlerimize adresimizi yazmamızı istemiş-

ti.

Örneğin ben, “Yeşilpınar Mahallesi, Canan Sokak,

No: 13/6 Eyüp, İstanbul” yazmıştım.

Çocukluk bu ya! Yanımdaki arkadaşım, öğretmenimize

“Öğretmenim, neden hepimizin bir adresi var?” diye sor-

du.

Öğretmenimizin “Eğer kimsenin adresi olmasaydı, çok

büyük karmaşa çıkardı. Mesela, kimseye mektup gönde-

remezdik.” cevabını verdiğini iyi hatırlıyorum.

Gerçekten de, neden hepimizin bir adresi olduğunu hiç

düşündünüz mü? Adres nedir?

Ben bu sorunun cevabının şu olduğunu düşünüyorum:

“Adres, içinde yaşadığımız dünyada, istediğimiz yere gi-

debilmek, nesnelerin konumlarını net olarak belirleyebil-

mek ve tarifte kolaylığı sağlayabilmek amacıyla tanımlan-

mış yapıdır.”

Adresleme sistemi olmadan önce, şu gibi konuşmalar

muhtemelen çok yaygındı:

Ahmet Ağa:

“Akşama sizi çocuklarla yeni yaptırdığım eve yemeğe

bekliyorum. Tamam mı, Dursun Ağa?”

Dursun Ağa:

“Yeni evini nereye yaptırdın ki Ahmet Ağa?”

Ahmet Ağa:

“Dereboyundaki ikinci söğütten yukarı doğru çık. Dosdoğ-

ru yürü, bizim evi bulursun.”

Zannediyorum, bu diyalog adresleme sisteminin ne kadar

önemli ve gerekli olduğunu anlatmaktadır.

İşte analitik geometri de, geometrik şekillerin birer adresi-

nin olmasını sağlayan yapıdır.

Analitik geometri, geometrik problemlerin çözümünde bir

koordinat sistemi kullanır ve bir geometrik şeklin her bir

noktasını, koordinatlar adı verilen bir takım sayılarla eş-

ler. Böylece her bir nokta tarafından sağlanması gereken

koşullar, denklemler veya eşitsizliklerle ifade edilebilir. Bu

anlamda geometrik bir problem, cebirsel bir probleme in-

dirgenmiş olur ki, çoğu insan cebirsel bir problemle çok

daha kolay bir biçimde baş edebilir.

Cebirsel çözüm elde edildikten sonra, bu çözümün geo-

metrik yorumunun belirlenmesi gerekir. Bu yöntem, René

Descartes tarafından 1636 yılında yayınlanan La Géo-

metrie kitabında kullanılmıştır.

Descartes’tan önce geometrik muhakeme sadece geo-

metride kullanılıyordu. Descartes’ten itibaren geometrik

fi kirlerin gelişimi çoğunlukla, Descartes’ın yöntemi saye-

sinde gerçekleşmiştir.

Geometri uzamsal kavramlarla ilgilenir. Fizik, astronomi,

mühendislik vs. problemleri sadece uzayı değil, genellik-

le zamanı da içerir. Bu problemleri çözmek için kullanılan

yöntem, analitik geometrinin kullandığı yönteme benzer.

Fakat geometrik problemler, zaman kavramı olmadığın-

dan, biraz daha kolaydır.

Bu kitabın amacı, okuyucuya matematiksel düşünmesi

için ilham vermektir.

DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 00 GİRİŞ

12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ8

Giriş Doğrunun Analitiği - Bölüm 00


Doğrunun Analitiği - Bölüm 01 Sayı Doğrusu

TANIM

Sayı Doğrusu

Doğru üzerindeki her noktaya karşılık, reel sayılar kümesi-

nin bir elemanı eşleştirilmiş doğrulara Sayı Doğrusu veya

Eksen denir.

Nokta ile eşleşen reel sayıya o noktanın koordinatı denir.

Sıfır sayısının eşlendiği noktaya sayı doğrusunun orijini

veya başlangıç noktası denir ve O harfi ile gösterilir. O

noktasının koordinatı sıfır olduğu için O(0) biçiminde gös-

terilir.

��

��

��

�

�

��

�

�

�

�

��

A(1), B(2), C(3), ..., A′(–1), B′(–2), C′(–3),...

Hazine 1

Bir Noktanın Orijine Uzaklığı: A(a) noktasının orijine

uzaklığı, koordinatının mutlak değerine eşittir.

|OA| = |a|

DNA 1

Sayı doğrusunda orijine uzaklığı 5 birim olan nok-

taların koordinatlarının oranı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

Çözüm

Orijinden 5 birim uzaklıkta olan nokta A(a) olsun.

|OA| = 5 ⇒ |a| = 5 ⇒ a = 5 veya a = –5

Koordinatlar oranı − = −55

1 dir.

Doğru Seçenek B

Sayı doğrusunda A(–3) noktasının orijine uzaklığı kaç

birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) –2 E) –3

İki Nokta Arasındaki Uzaklık:

A(a) ve B(b) noktaları arasındaki uzaklık, koordinatlar

farkının mutlak değerine eşittir.

|AB| = |a – b|

Işık 1

Uyarı

|a – b| = |b – a| olduğundan |AB| = |BA| dır.

DNA 2

Sayı doğrusunda A(–4) ve B(7) olduğuna göre,

|AB| kaç birimdir?

A) 3 B) 4 C) 10 D) 11 E) 12

Çözüm

IŞIK 1’den,

|AB| = |–4 –7| = |–11| = 11 birim

buluruz.

Doğru Seçenek D

Sayı Doğrusu


Doğrunun Analitiği - Bölüm 01

Sayı doğrusunda A(–3) ve |AB| = 7 birim olduğuna

göre, B noktasının koordinatı en az kaçtır?

A) 10 B) 4 C) –10 D) –4 E) 0

DNA 3

Sayı doğrusunda A(3) ve B(x) noktaları veriliyor. A ile

B arasındaki uzaklık en çok 5 birimdir.

Buna göre, x in tam sayı değeri kaç tanedir?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

Çözüm

IŞIK 1’den,

|AB| ≤ 5 birim

|x – 3| ≤ 5

–5 ≤ x –3 ≤ 5

–5 + 3 ≤ x ≤ 5 + 3

–2 ≤ x ≤ 8

buluruz. [–2, 8] aralığındaki tam sayılar, {–2, –1, 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8} olduğundan, x in alabileceği değerler 11

tanedir.

Doğru Seçenek A

Kısayol

a ve b birer tam sayı olmak üzere;

a ≤ x ≤ b aralığında b – a + 1 tane tam sayı vardır.

a < x < b aralığında b – a – 1 tane tam sayı vardır.

a ≤ x ≤ b aralığındaki tam sayıların toplamı

a b b a+ − +2

1( ) dir.

Sayı doğrusunda A(–7) ve B(x) noktaları veriliyor. A ile B

arasındaki uzaklık en çok 20 birimdir.

Buna göre, x in tam sayı değeri kaç tanedir?

A) 37 B) 38 C) 39 D) 40 E) 41

TANIM

Arada Olma: Sayı doğrusunun farklı üç A, B, C noktası

için, |AB| + |BC| = |AC| ise B noktası, A ile C nin arasın-

dadır denir.

� �

A(a), B(b), C(c) olmak üzere,

a < b < c ⇒ |AB| + |BC| = |AC|

dir. Yani, B(b) noktası, A(a) ile C(c) arasındadır.

Işık 2



Uyarı

IŞIK 2’nin karşıtı doğru değildir.

|AB| + |BC| = |AC| ⇒ a ≤ b ≤ c

dir. Noktaların çakışık olması durumu ihmal edilmeme-

lidir.

� �

� � ��

|AB| + |BC| = |a – b| + |b – c|

= b – a + c – b = c – a = |AC|

DNA 4

Sayı doğrusunda A(2), B(–4), C(x) ve C noktası, A ile

B arasındadır.

Buna göre, x in tam sayı değerlerinin toplamı kaç-

tır?

A) –7 B) –5 C) 3 D) 5 E) 8

Çözüm

–4 < x < 2 ve x tam sayı olduğundan –3 ≤ x ≤ 1 yazılabilir.

DNA 3’te verdiğimiz KISAYOL’dan,

x in tam sayı değerleri toplamı,

1 32

1 3 1 5− + + = −( )

ya da (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 = –5 buluruz.

Doğru Seçenek B

Sayı doğrusunda A(–20), B(–40), C(x) ve C noktası, A ile

B arasındadır.

Buna göre, x in tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) –570 B) –609 C) –610

D) –619 E) –620

DNA 5

Sayı doğrusunda A(x) noktası, B(3) ile C(–5) arasında

ve |AB| – |AC| = 7⋅|BC| dir.

Buna göre, |AB| kaç birimdir?

A) 24 B) 28 C) 29 D) 30 E) 32

Çözüm

IŞIK 2’den, |BA| + |AC| = |BC| eşitliğini yazarız.

| | | | | |

| | | | | |

| | | |

| | | |

AB AC BC

BA AC BC

AB BC

AB biri

− =

+ + =

=

= +

7

4

4 3 5

⋅

⋅

⋅ mm birim= 32

dir.

Doğru Seçenek E

Sayı Doğrusu



Sayı doğrusunda A(x) noktası, B(–3) ile C(–5) arasında ve

|AB| – |AC| = 5⋅|BC| dir.

Buna göre, |AB| kaç birimdir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

TANIM

Doğru Parçası:

Bir sayı doğrusunun farklı iki noktası A ve B olsun. A, B ve

bunların arasında kalan noktaların kümesine AB doğru

parçası denir ve [AB] sembolü ile gösterilir. A ve B nokta-

larına doğru parçasının uç noktaları denir.

AB: AB doğrusu

��

[AB]: AB doğru parçası

��

a ≤ x ≤ b veya x ∈ [a, b]

]AB[: AB açık doğru parçası

��

a < x < b veya x ∈ ]a, b[ veya x ∈ (a, b)

[AB[: AB yarı açık doğru parçası

��

a ≤ x < b veya x ∈ [a, b[ veya x ∈ [a, b)

Doğru Parçasının Uzunluğu:

A(a) ve B(b) olmak üzere,

|AB|: AB doğru parçasının uzunluğu

|AB| = |a – b|

dir.

Işık 3

DNA 6

Uç noktaları A(3 – x) ve B(–4 – x) olan [AB] nın

uzunluğu kaç birimdir?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 2 E) 1

Çözüm

IŞIK 3’ten,

|AB| = |3 – x – (–4 –x)| = |3 – x + 4 + x| = 7 birim

buluruz.

Doğru Seçenek A

Uç noktaları A(6) ve B(–4) olan AB doğru parçasının

uzunluğu kaç birimdir?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Not

|AB| = 0 ise A ile B noktaları çakışıktır.

Farklı bir deyişle; |AA| = 0 dır.

TANIM

Işın:

Uzunluğu sıfırdan farklı bir [AB] doğru parçası verilsin.

B noktası, A ile P noktası arasında kalacak biçimdeki P

noktalarının kümesi ile [AB] nın birleşim kümesine AB ışı-

nı denir ve [AB biçiminde gösterilir.

A noktasına ışının başlangıç noktası denir.

[AB: AB ışını

��

a ≤ x veya x ∈ [a, ∞)



TANIM

Yarı Doğru:

Başlangıç noktası dahil edilmemiş ışına yarı doğru de-

nir.

]AB: AB yarı doğrusu

��

a < x veya x ∈ (a, ∞)

DNA 7

Sayı doğrusunda A(1) ve B(3) noktaları veriliyor.

B noktası, A ile P(x) noktası arasında kalacak bi-

çimde P noktalarının kümesi aşağıdakilerden han-

gisidir?

A) {x ∈ R: x ≥ 1} B) {x ∈ R: x ≥ 3}

C) {x ∈ R: x > 1} D) {x ∈ R: x > 3}

E) {x ∈ R: x < 1}

Çözüm

��

��

Doğru Seçenek D

Eğer P noktalarının geometrik yeri sorulsaydı, cevap; yarı

doğru olurdu.

K = {x ∈ R: |2x – 3| ≥ 7}

kümesinin sayı doğrusundaki görüntüsü aşağıdaki-

lerden hangisidir?

��

��

��

��

��

Kısayol

Sayı doğrusunda, |ax + b| ≤ c eşitsizliğini sağlayan

x lerin oluşturduğu doğru parçasının uzunluğu 2 ⋅ca

birimdir.

TANIM

Orta Nokta:

Bir doğru parçasının üzerindeki, uç noktalarına eşit uzak-

lıkta bulunan noktaya, o doğru parçasının orta noktası

denir.

��

Orta Nokta:

A(a), B(b) ve G(x) olmak üzere,

|AG| = |GB| ⇒ |x – a| = |b – x|

⇒ x – a = b – x

⇒ x a b= +2

dir.

Işık 4

Sayı Doğrusu



TANIM

Eş Doğru Parçaları, Simetri, Ağırlık Merkezi:

Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına, eş doğru parça-

ları denir.

|AB| = |CD| ⇔ [AB] ≅ [CD]

[AB] nın orta noktası G ise A ve B noktaları G noktasına

göre simetriktir denir.

Doğru parçasının orta noktasına, doğru parçasının ağırlık

merkezidir denir.

Ağırlık Merkezi:

A(a), B(b) için [AB] nın ağırlık merkezi G a b+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

dir.

Işık 5

Not

Sayı doğrusunda, |ax + b| ≤ c eşitsizliğini sağlayan x lerin

oluşturduğu doğru parçasının orta noktasının koordinatı

− ba

dır.

DNA 8

Uzunluğu 2008 birimden büyük ve ağırlık merkezi G

olan bir doğru parçası veriliyor. Doğru parçasının bir

ucundan 12 birim kesildiğinde kalan doğru parçasının

ağırlık merkezi G′ noktası oluyor.

Yukarıda verilenlere göre, |GG′| kaç birimdir?

A) 1007 B) 998 C) 24

D) 12 E) 6

Çözüm

IŞIK 5’ten,

��

��

��

��

| |GG a b a b′ = + − + − = =2

122

122

6 birim

buluruz.

Doğru Seçenek E

Kısayol

Bir doğru parçası her iki uçtan m birim kesildiğinde ağır-

lık merkezinin koordinatı değişmez.

.......................................................................................

Bir doğru parçasının yalnız bir ucundan m birim kesildi-

ğinde ağırlık merkezi diğer uca doğru m2

birim kayar.

.......................................................................................

Bir uçtan m birim diğer uçtan n birim kesildiğinde ağır-

lık merkezi kesilen büyük parçadan küçük olana doğru

m n−2

birim kayar.

A(–96), B(112) ve C(120) noktaları veriliyor. AB doğru

parçasının ağırlık merkezi G, AC doğru parçasının ağırlık

merkezi H noktasıdır.

Yukarıdaki verilenlere göre, |GH| kaç birimdir?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24



TANIM

Bölen Nokta:

� �

B, [AC] doğru parçasını | || |BABC

oranında içten bölen nok-

tadır.

A, [BC] doğru parçasını | || |ABAC

oranında dıştan bölen

noktadır.

C, [AB] doğru parçasını | || |CBCA

oranında dıştan bölen

noktadır.

Sayı doğrusunda, A(a), B(b) ve C(c) noktaları verilsin.

a < b < c olsun.

��

O zaman,

| || |ABBC

b ac b

= −−

dir. Benzer şekilde,

| || |ABAC

b ac a

= −−

eşitliği de yazılabilir.

Işık 6

DNA 9

A(–1), B(5) ise [AB] doğru parçasını dıştan

| CA || CB |

= 13

oranında dıştan bölen C(x) noktasının

koordinatı kaçtır?

A) –4 B) –3 C) –2 D) 8 E) 10

Çözüm

IŞIK 6’dan,

��

| || |CACB

xx

x

= ⇒ − −−

=

⇒ = −

13

15

13

4

��

� �

2k parçada 6 azalma varsa, k parçada 3 azalma vardır.

Buna göre, x = –1 –3 = –4 tür.

Doğru Seçenek A

A(–10), B(15) ise [AB] doğru parçasını dıştan | CA || CB |

= 12

oranında dıştan bölen C(x) noktasının koordinatı kaç-

tır?

A) –40 B) –35 C) –30 D) 25 E) 35

TANIM

Doğrudaşlık:

Aynı bir doğrunun üzerindeki noktalara doğrudaş veya

doğrusal noktalar denir.

� � � �

Yukarıdaki şekilde, A, B, C, D, E noktaları doğrudaştır.

Sayı Doğrusu



DNA 10

Sayı doğrusunda A(–1), B(13) ve değişken bir P(x)

noktası veriliyor.

Buna göre, |AP| + |PC| toplamı en az kaç birimdir?

A) 16 B) 14 C) 12 D) 7 E) 6

Çözüm

P ∈ [AB] ise |AP| + |PB| = |AB|

P ∉ [AB] ise |AP| + |PB| > |AB| olduğundan

|AP| + |PB| toplamının en küçük değeri |AB| dir.

|AB| = |–1 –13| = 14 birimdir.

Doğru Seçenek B

Not

Sayı doğrusu üzerindeki her A, B, P noktası için,

|AP| + |PB| ≥ |AB|

dir.

Sayı doğrusunda A(5), B(–7) ve koordinatı tam sayı olan

P noktası veriliyor.

|AP| + |PB| toplamını en küçük yapan kaç tane P nok-

tası vardır?

A) 13 B) 12 C) 11 D) 3 E) 2

TANIM

Geometrik Yer:

Geometride geometrik yer, geometrik şekil anlamında kul-

lanılan bir kavramdır.

Analitik geometride, noktaların koordinatlarının bileşen

sayısı kadar değişken içeren bağıntılar geometrik bir şekil

belirtir, hem bu şekle hem de bağıntısına geometrik yer

denilir. Matematikte değişkenler için genellikle x, y, z,...

harfl eri kullanılır.

Örneğin;

Sayı doğrusunda sadece bir tane değişken olduğundan,

x < 4 eşitsizliği yarı doğru,

1 ≤ x ≤ 2 aralığı bir doğru parçası,

x = 3 eşitliği bir nokta belirtir.

DNA 11

Sayı doğrusunda A(5), B(12) dir. |AP| + |PB| = 7 bi-

rimdir.

Buna göre, P noktasının geometrik yeri aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) AB B) (AB) C) [AB] D) [AB E) ]AB

Çözüm

|AP| + |PB| = |AB|

olduğundan P ∈ [AB] dir.

Doğru Seçenek C

A(5) ve B(2) noktaları arasında bulunan noktaların ge-

ometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) AB ışını

B) BA ışını

C) AB açık doğru parçası

D) AB kapalı doğru parçası

E) AB doğrusu



TEST - 1

1. Sayı doğrusunda A(x + 1) ve B(x – 9) noktaları veri-liyor.

Buna göre, AB doğru parçasının uzunluğu kaç birimdir?

A) 14 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

2. Sayı doğrusunda,

A noktasının koordinatı 5,

B noktasının koordinatı –3 ve |AC| = 2|AB| dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordi-natı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A)–11 B) –3 C) 13 D) 23 E) 27

3. Sayı doğrusunda, başlangıç noktası orijin olan ve B(–4) noktasından geçen OB ışını üzerinde ve C(3) noktasına uzaklığı 5 birim olan bir K noktası verili-yor.

Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordi-natı kaçtır?

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) –5

4. Sayı doğrusunda A(3), B(7) ve C(5) noktaları verili-yor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) A, B ve C noktaları doğrudaştır.

B) A noktası, B ile C arasındadır.

C) C, [AB] nın orta noktasıdır.

D) |AB| = 4 birimdir.

E) |AB| = 2|BC| dir.


B noktasının koordinatı –4,

C noktasının koordinatı 6 ve |BC| = 2|AB| dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordi-natının negatif değeri kaçtır?

A) –1 B) –5 C) –6 D) –9 E) –10


A noktasının koordinatı –3,

B noktasının koordinatı 6

C noktasının koordinatı x ve

|AC| + |BC| = |AB| dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, x in tamsayı değerle-ri kaç tanedir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Sayı Doğrusu




A noktasının koordinatı –6,

B noktasının koordinatı 4,

C noktasının koordinatı x ve

[AC] ≅ [BC] dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, x kaçtır?

A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

8. Sayı doğrusunda A(5), B(2) ve B, AC doğru parçası-nın orta noktasıdır.

Buna göre, C noktasının koordinatı kaçtır?

A) –1 B) 1 C) 4 D) 6 E) 8

9. Sayı doğrusunda A(–3) noktasının B(2) noktası-na göre simetriğinin koordinatı kaçtır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

10. A(–1), B(5) ve C(x) olmak üzere, |x + 1| – |x – 5| farkı aşağıdaki verilenlerden hangisine eşittir?

A) |AC| + |BC| B) |AB| – |BC|

C) |AB| – |AC| D) |BC| – |AC|

E) |AC| – |BC|

11. Sayı doğrusunda birbirinden farklı A, B ve C noktala-rı veriliyor.

Buna göre, |AB| + |BC| toplamının en küçük de-ğeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) –|AC| B) |AA| C) |AB|

D) |AC| E) |BC|

12. Sayı doğrusunda A(–3), B(4), C(x) ve

T = |x + 3| + |x – 4| veriliyor.

Buna göre, –T nin en büyük değerini alması için aşağıdakilerden hangisi yeterli değildir?

A) A, B ile C arasında olmalıdır.

B) C, A ile B arasında olmalıdır.

C) A ile C aynı nokta olmalıdır.

D) B ile C aynı nokta olmalıdır.

E) T = 7 olmalıdır.

1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.E 7.D 8.A 9.B 10.E 11.D 12.A

12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ

DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 02 EKSENLER VE BÖLGELER

19

TANIM

Analitik Düzlem:

Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki sayı doğrusu-

nun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi veya kar-

tezyen koordinat sistemi denir.

Yatay konumda olan sayı doğrusuna x ekseni, düşey

konumda olan eksene y ekseni, bu eksenlerin kesiştiği

noktaya dik koordinat sisteminin başlangıç noktası (ori-

jin) ve bu doğruların belirlediği düzleme analitik düzlem

denir.

Analitik düzlem R2 veya R x R biçiminde ifade edilir.

�

�

��

��

��

��

�

�

�

�

x eksenine, yatay eksen, apsisler ekseni veya Ox ekseni

ve y eksenine de, düşey eksen, ordinatlar ekseni veya Oy

ekseni denildiği de olur.

R2 = R x R = {(x, y): x ∈ R ve y ∈ R} kümesinin (x, y)

biçimindeki elemanlarına reel sayı ikilisi denildiğini ha-

tırlayınız.

Analitik düzlemin her noktasına bir reel sayı ikilisi ve her

reel sayı ikilisine de analitik düzlemin bir noktası karşılık

gelir; yani noktalarla reel sayı ikilileri birebir eşleşir.

Bu eşleşmenin nasıl yapıldığını anlamak için aşağıdaki

şekle bakınız.

� �

�

�

K noktasının x eksenindeki dik izdüşümüne karşılık a, y

eksenindeki dik izdüşümüne karşılık b sayısı varsa, düz-

lemdeki K noktasına karşılık (a,b) reel sayı ikilisi eşleşmiş

demektir. Bu eşleşme K(a,b) biçiminde gösterilir ve (a,b)

ikilisine K noktasının koordinatları veya kartezyen koor-

dinatları denir.

(a,b) ikilisindeki birinci bileşen olan a sayısına, K noktası-

nın apsisi, ikinci bileşen olan b sayısına da, K noktasının

ordinatı denir.

Hazine 2

Eksen üzerindeki nokta:

Apsisi sıfır olan noktalar y ekseni üzerindedir.

K(0,y) noktası y ekseni üzerindedir.

Ordinatı sıfır olan noktalar x ekseni üzerindedir.

K(x,0) noktası x ekseni üzerindedir.

Koordinatları (0,0) olan nokta, hem y hem de x ekseni

üzerindedir. Yani eksenlerin kesiştiği ortak noktadır.

Bu nokta koordinat sisteminin başlangıç noktası veya

orijindir ve O(0,0) biçiminde gösterilir.

DNA 1

A(a + b – 2, a – b + 8) noktası analitik düzlemin

başlangıç noktası olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı

kaçtır?

A) –16 B) –15 C) –12 D) 12 E) 15

Çözüm

A noktasının koordinatları (0,0) olduğundan,

a ba b

a a ve ba b

+ − =+ − + =

+ = ⇒ = − =⇒ = −

2 08 0

2 6 0 3 515⋅

Doğru Seçenek B

Eksenler ve Bölgeler



A(a + b + 4, a – b + 6) noktası analitik düzlemin başlan-

gıç noktası olduğuna göre, ab

oranı kaçtır?

A) –6 B) –5 C) –2 D) 2 E) 5

DNA 2

Analitik düzlemde A aa

aa

5 201

3 32

2 2−−

−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, noktası x

ekseni üzerinde ve B(a – b, a + b) noktası y ekseni

üzerindedir.

Yukarıdaki verilenlere göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –1 C) 0 D) 1 E) 4

Çözüm

A noktasının ordinatı, B noktasının apsisi 0 olmalı,

a – b = 0 ⇒ a = b dir.

3 32

0 1 0 12

2−+

= ⇒ − = ⇒ = ±aa

a a

dir.

a = 1 değeri A noktasının apsisini tanımsız yaptığından,

a ≠ 1 dir. Dolayısıyla a = –1 olur.

a = b = –1 olduğundan, a ⋅ b = (–1) ⋅ (–1) = 1 dir.

Doğru Seçenek D

Analitik düzlemde, Aaa

aa

5 201

3 32

2 2−−

−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, noktası y ekse-

ni üzerinde ve B(a – b, a + b) noktası x ekseni üzerinde-

dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –1 C) 0 D) 1 E) 4

DNA 3

Analitik düzlemde A(a, 5a) noktasının koordinatları

aralarında asal doğal sayılardır.

Buna göre, A noktasının koordinatları toplamı kaç-

tır?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30

Çözüm

Aralarında asal olan iki doğal sayının OBEB’leri 1 olmalı-

dır. a ile 5a nın OBEB’lerinin a olduğu âşikârdır.

Demek ki, a = 1 dir.

a = 1 olduğundan A noktasının koordinatları toplamı;

a + 5a = 1 + 5 = 6

dır.

Doğru Seçenek A

Analitik düzlemde A(a + b, 3a – c) noktasının koordinatları

aralarında asal doğal sayılardır. A noktasının apsisinin or-

dinatına oranı 108

dir.

Buna göre, A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18


Doğrunun Analitiği - Bölüm 02 Eksenler ve Bölgeler

Hazine 3

Noktanın Eksenlere ve Orijine Uzaklığı:

��

�

�

�

�

��

��

��

��

x ekseni üzerindeki A(a,0) noktasının orijine uzaklığı

|a| birim, y ekseni üzerindeki B(0,b) noktasının orijine

uzaklığı |b| birimdir.

K(a,b) noktasının x eksenindeki dik izdüşümü A nok-

tası, y eksenindeki dik izdüşümü B noktası ise KAOB

dikdörtgendir.

Dikdörtgenin, karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğun-

dan,

|KA| = |BO| = |b| birim

|KB| = |AO| = |a| birimdir.

Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir, Pisagor

Teoremi’nden,

|AB| = |KO| = a b2 2+ birimdir.

KAOB dikdörtgeninin çevresi 2 ⋅ (|a| + |b|) birim ve alanı

|a ⋅ b| birim karedir.

K(a,b) noktasının,

x eksenine uzaklığı |b| birim

y eksenine uzaklığı |a| birim

orijine uzaklığı |KO| = a b2 2+ birimdir.

DNA 4

Analitik düzlemde A(4, –3) noktasının eksenlere ve

orijine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir?

A) 7 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

Çözüm

A(4,–3) noktasının,

x eksenine uzaklığı |–3| = 3 birim

y eksenine uzaklığı |4| = 4 birim

orijine uzaklığı |AO| = 4 3 52 2+ − =( ) birim

olup, bu uzunlukların toplamı 3 + 4 + 5 = 12 birimdir.

Doğru Seçenek C

Analitik düzlemde A(–3, 4) noktasının eksenlere ve

orijine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir?

A) 7 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

DNA 5

Analitik düzlemde köşeleri O(0,0), A(5,0), B(5,–2),

C(3,–2), D(3,–5) ve E(0,–5) olan OABCDE altıgeni-

nin çevresi kaç birimdir?

A) 10 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30




Çözüm

Verilen noktaları analitik düzlemde işaretleyelim.

�

��

��

��

��

��

��

Çevre(OABCDE) = |OA| + |AB| + |BC| + |CD| + |DE| + |EO|

= 5 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5

= 20 birim

Çevre(OABCDE) = Çevre(KAOE)

olduğuna dikkat ediniz.

Doğru Seçenek B

Analitik düzlemde köşeleri O(0, 0), A(2, 0), B(2, 1),

C(3, 1), D(3, 2) ve E(0, 2) olan OABCDE altıgeninin çev-

resi kaç birimdir?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

DNA 6

Analitik düzlemde

[BA] ⊥ [AC]

A(0, 2), C(1, 0) ve B

noktası x ekseni üzerin-

dedir.

Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının apsisi

kaçtır?

A) –5 B) −2 6 C) −3 2

D) −2 3 E) –4

�

�

� �

�

Çözüm

ABC dik üçgeninde Euclid Teoremi’ni yazalım:

�

�

� �

�

�

�

�

|AO|2 = |BO| ⋅ |OC| ⇒ 22 = k ⋅ 1 ⇒ k = 4

Şekle göre, B noktası x ekseni üzerinde orijinden 4 birim

uzaklıkta olduğundan B noktasının apsisi –4 tür.

Doğru Seçenek E

�

�

� �

�

Analitik düzlemde

[BA] ⊥ [AC]

A(0, 6), C(4, 0) ve B

noktası x ekseni üzerin-

dedir.

Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının apsisi kaç-

tır?

A) –9 B) −3 2 C) −2 2

D) −2 3 E) –4

��

Dünyada her dakika iki

tane düşük şiddette dep-

rem olmaktadır.



TANIM

Bölgeler:

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört ayrık bölgeye

ayırır. Bu bölgeler saatin ters yönünde I. bölge, II. bölge,

III. bölge ve IV. bölge olarak isimlendirilir.

Verilen bir noktanın koordinatlarının işaretlerine bakarak

noktanın hangi bölgeye ait olduğunu söyleyebiliriz.

Bölgelerin ayrık olmasından kastedilen, herhangi iki bölge-

nin kesişiminin boş küme olmasıdır. Değişik bir ifadeyle,

herhangi bir nokta iki bölgede birden bulunamaz. Eksen-

ler üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye dahil edilmemiştir.

�

�

��

��

��

��

��

��

Uyarı

Matematikte bir sayının işareti, o sayının 0 dan büyük

veya küçük olmasıyla ilgilidir. İşaret incelemek, eşitsiz-

lik veya eşitsizlik sistemi çözmek demektir.

Analitik geometride eşitsizlik sistemleri belli bir taralı

bölge ifade eder. Bunları ilerleyen bölümlerde detaylı

inceleyeceğiz.

Hazine 4

Bölgeler:

K(x,y) noktası verildiğinde,

x > 0 ve y > 0 ⇔ K(x,y) noktası 1. bölgededir.

x < 0 ve y > 0 ⇔ K(x,y) noktası 2. bölgededir.

x < 0 ve y < 0 ⇔ K(x,y) noktası 3. bölgededir.

x > 0 ve y < 0 ⇔ K(x,y) noktası 4. bölgededir.

I II III IV

Apsis (x) + – – +

Ordinat (y) + + – –

DNA 7

A(–2, 1), B(3, –3), C(0, –7), D13

, 6−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ve

E(–1, –9) noktalarından kaç tanesi analitik düzle-

min II. bölgesindedir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Çözüm

A(–2, 1) noktası II. bölgede,

B(3, –3) noktası IV. bölgede,

C(0, –7) noktası y ekseni üzerinde,

D 13

, 6−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ noktası II. bölgede,

E(–1, –9) noktası III. bölgededir.

II. bölgede 2 tane nokta vardır.

Doğru Seçenek D

A(2, 2), B(2, –2), C(–2, 2), D(–2, –2) ve E(–2, 0) noktala-

rından kaç tanesi analitik düzlemin II. bölgesindedir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

DNA 8

a > 0, b < 0 olduğuna göre, A(3 – b, –2a) noktası

analitik düzlemin hangi bölgesindedir?

A) I B) II C) III

D) IV E) x ekseni




Çözüm

a > 0 ⇒ –2a < 0

b < 0 ⇒ –b > 0

⇒ 3 – b > 3

⇒ 3 – b > 0

A(3 – b, –2a) noktası (+, –) olduğundan IV. bölgededir.

Doğru Seçenek D

a > 0, b < 0 olduğuna göre, A(–b, –a) noktası analitik

düzlemin hangi bölgesindedir?

A) I B) II C) III

D) IV E) x ekseni

DNA 9

A(a, b) analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna

göre, B(a ⋅ b, a + b) hangi bölgededir?

A) I B) II C) III

D) IV E) Orijin

Çözüm

A noktası III. bölgede olduğundan a < 0, b < 0 dır.

a ⋅ b > 0 ve a + b < 0

B noktası, (+, –) olduğundan IV. bölgededir.

Doğru Seçenek D

A(a, b) analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna

göre, B(a + b, a ⋅ b) hangi bölgededir?

A) I B) II C) III

D) IV E) Orijin

DNA 10

A(a + 1, 1) ve B(4, 4 – a) noktaları analitik düzlemin

aynı bölgesinde olduğuna göre, a nın tam sayı de-

ğeri kaç tanedir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Çözüm

A noktasının ordinatı pozitif olduğundan B noktasının da

ordinatı pozitif olmalıdır.

4 – a > 0 ⇒ a < 4

B noktasının apsisi pozitif olduğundan A noktasının da ap-

sisi pozitif olmalıdır.

a + 1 > 0 ⇒ a > –1

–1 < a < 4

aralığındaki tam sayılar 4 tanedir.

Doğru Seçenek B

A(a – 5, 3) ve B(–3, 12 – a) noktaları analitik düzlemin

aynı bölgesinde olduğuna göre, a nın en büyük tam

sayı değeri kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1



Hatırlatma

a x bc x de x

x f

< << <<

<

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

gibi birden fazla eşitsizliklerin ortak çözüm aralığı; max{a, c, e} < x < min{b, d, f} (Yani, küçüklerin büyüğü ile büyük-

lerin küçüğü olan aralık alınır.)

DNA 11

A(a2 – 9, a + 1) noktası analitik düzlemin II. bölge-

sinde olduğuna göre, B(a – 4, a + 4) noktası hangi

bölgededir?

A) I B) II C) III

D) IV E) x ekseni

Çözüm

A noktası II. bölgede olduğundan

a2 – 9 < 0 ve a + 1 > 0

olmalıdır.

a2 < 9 ⇒ |a| < 3 ⇒ –3 < a < 3

a + 1 > 0 ⇒ a > –1 olduğundan

–1 < a < 3

Bu eşitsizlikte her tarafa –4 ekleyerek B nin apsisinin işa-

retini tespit edelim. Benzer şekilde +4 ekleyerek ordinatın

işaretini bulalım.

–1 – 4 < a – 4 < 3 – 4 ⇒ –5 < a – 4 < –1

⇒ B nin apsisi negatif

–1 + 4 < a + 4 < 3 + 4 ⇒ 3 < a + 4 < 7

⇒ B nin ordinatı pozitif olduğundan B noktası, II. bölge-

dedir.

Doğru Seçenek B

A(a2 – 16, a – 4) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde

olduğuna göre, B(a + 3, 3 – a) noktası hangi bölgede-

dir?

A) I B) II C) III

D) IV E) x ekseni

Hatırlatmaax2 + bx + c = 0 denkleminin kökü yoksa

(Δ = b2 – 4ac < 0 ise)

a nın işareti ile ax2 + bx + c nin işareti aynıdır yani,

a < 0 ise ax2 + bx + c < 0

a > 0 ise ax2 + bx + c > 0

DNA 12

x ∈ R olduğuna göre, A(–x2 – 1, x2– x + 2) noktası

analitik düzlemin hangi bölgesindedir?

A) I B) II C) III

D) IV E) x ekseni

Çözüm

–x2 – 1 = 0 denkleminde Δ = b2 – 4ac < 0 olduğundan kökü

yoktur, bu durumda, her x için –x2 – 1 < 0 dır.

x2 – x + 2 = 0 denkleminin Δ < 0 olduğundan kökü yoktur,

bu durumda, her x için x2 – x + 2 > 0 dır.

A noktası, (–, +) olduğundan II. bölgededir.

Doğru Seçenek B




x ∈ R olduğuna göre, A(x2 + 1, x2 – x + 1) noktası ana-

litik düzlemin hangi bölgesindedir?

A) I B) II C) III

D) IV E) x ekseni

TANIM

Ötelenme:

Analitik düzlemde bir noktanın, eksenlere paralel olan

doğrular üzerinde konum değiştirmesine ötelenme denir.

Ötelenme: Bir noktanın ötelenmesi o noktanın koordi-

natlarına bir sayı eklendiğinde olur. Koordinatlara ekle-

nen sayı pozitif ise nokta eksenin pozitif yönüne, negatif

ise, eksenin negatif yönüne ötelendiği düşünülür.

i. Yatay eksene göre öteleme:

a > 0

�!��"�#��

$%&��"�#��

��

��'�(�)& ��'�'!)&

ii. Düşey eksene göre öteleme:

b > 0

�!��"�#��

$%&��"�#��

��

��

��

��'�

'!)&

��'�

(

�)&

Işık 7

Aşağıdaki şekilde A(–7, 9) noktasının A′(–5, 8) nokta-

sına ötelenişini inceleyiniz.

�!��"�#

$%&��"�#

��*�+�

��,�

��

��'�'!)&

�*

,

+��'�(�)&

��+�

DNA 13

Birim karelerden oluşan yan-

daki şekil analitik düzlemin

bir parçasıdır.

A(–2, –1)

Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının koordi-

natları toplamı kaçtır?

A) –2 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7

�

�

Çözüm

��

��

-��'�'!)&

��'�

'!)&

Şekil, analitik düzlemin bir parçası olarak verildiğinden,

yatay kenarlar analitik düzlemin x eksenine, düşey kenar-

lar y eksenine paraleldir.

A(–2, –1) noktası, B noktasına ötelenmiş diye düşünelim.

Şekle göre yatay eksende (x ekseninde) 4 br artış, düşey

eksende (y ekseninde) 3 br artış olmuş.

B(–2 + 4, –1 + 3) ⇒ B(2,2) nin koordinatları toplamı,

2 + 2 = 4 tür.

Doğru Seçenek C



�

�Birim karelerden oluşan

yandaki şekil analitik düz-

lemin bir parçasıdır.

A(–1, –2)

Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının koordinatla-

rı toplamı kaçtır?

A) –2 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7

��

Delikanlı Öğrenciden İnciler

– Delikanlı öğrenci uzun boylu öğretmenlerin tahtaya

yazdığı sorulara cevap vermeyebilir; çünkü; delikanlı

öğrenci boyundan büyük işlere karışmaz.

DNA 14

$�

$�

$�

$-

$�

�� - �� .

�

Analitik düzlemin bir

parçası olan yandaki

şekil birim karelerden

oluşmaktadır. A nok-

tasının koordinatları

(–2, –5) dir.

Yukarıdaki verilenlere göre, hangi iki doğrunun

kesişim noktasının koordinatları (3, –3) dür?

A) d5, k3 B) d4, k6 C) d2, k4

D) d3, k6 E) d3, k3

Çözüm

$�

$�

$�

$-

$�

�� - �� .

��

��

Yatay doğrular analitik düzlemin x eksenine, düşey doğru-

lar y eksenine paraleldir.

A(–2, –5) noktası ötelendiğinde koordinatları (3, –3) olan

nokta elde edilsin.

(–2 + a, –5 + b) = (3, –3)

–2 + a = 3

a = 5

⇒ A noktası yatayda 5 birim arttırılmalı,

–5 + b = –3 ⇒ b = 2

⇒ A noktası düşeyde 2 birim arttırılmalıdır.

Şekilde B olarak gösterdiğimiz bu nokta d3 ile k6 nın kesi-

şim noktasıdır.

Doğru Seçenek D

$�

$�

$�

$-

$�

�� - �� .

�

Analitik düzlemin bir

parçası olan yandaki

şekil birim karelerden

oluşmaktadır. A nok-

tasının koordinatları

(–1, 0) dır.

Yukarıdaki verilenlere göre, hangi iki doğrunun kesi-

şim noktasının koordinatları (3, 3) tür?

A) d5, k4 B) d4, k5 C) d2, k4

D) d3, k6 E) d3, k3




Uyarı

Sorularda ızgaraları oluşturan kareler her zaman birim

kare olarak verilmez. Bunun yerine özdeş karelerden

oluştuğu ifade edilir.

Analitik düzlemde x ekseni üzerinde apsisi 1 olan nok-

tanın orijine uzaklığı ne kadar olursa olsun 1 birim ola-

rak kabul edilir.

Yine her soruda karelerin karşılıklı kenarları eksenlere

paralel olmak zorunda da değildir.

DNA 15

�

�

� Birim karelerden oluşan

yandaki ızgarada A(3, –2),

B(1, 1) ve C noktaları şe-

kildeki gibi işaretlenmiştir.

Karelerden birinin bir ke-

narı, koordinat eksenlerin-

den birine paraleldir.

Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordi-

natları çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –1 C) 0 D) 1 E) 4

Çözüm

��

��

�

��"�#/

��"�#/ ��'�'!0

��'�

(

�0

Şekilde verilen yatay doğruların x eksenine mi yoksa y

eksenine mi paralel olduğunu bilmiyoruz. Bu nedenle hem

noktaların koordinatlarına hem de şekildeki birim karelerin

kenar sayısına dikkat etmemiz gerekecek.

A(3, –2) noktasının B(1, 1) noktasına ötelendiğini düşü-

nelim, koordinatlara göre apsis 2 br azalmış, ordinat 3 br

artmış. Bu duruma uygun öteleme şekilde taralı olarak

gösterilmiştir.

Şekle bakarak A noktasını C ye öteleyelim. A noktasının

apsisi 4 br azalırsa –1 elde edilir. A nın ordinatı 2 br artar-

sa 0 elde edilir. O halde C(–1,0) olduğundan, C nin koor-

dinatları çarpımı (–1) ⋅ 0 = 0 dır.

Doğru Seçenek C

�

�

� Birim karelerden oluşan

yandaki ızgarada A(2, 1),

B(0, 4) ve C noktaları şekildeki

gibi işaretlenmiştir. Karelerden

birinin bir kenarı, koordinat ek-

senlerinden birine paraleldir.

Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatla-

rı çarpımı kaçtır?

A) –6 B) –4 C) –2 D) 0 E) 4

DNA 16

�

�-��-�

�� Dört özdeş karelerden oluşan


B(12, 0) ve C noktaları işa-

retlenmiştir. Karelerden biri-

nin bir kenarı, koordinat ek-

senlerinden birine paraleldir.

Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının apsisi

kaçtır?

A) –12 B) 4 C) 8

D) 12 E) 16



Çözüm

�

�-��-�

��

��

�

��"�#/

Şekilde verilen yatay doğru-

ların x eksenine mi yoksa y

eksenine mi paralel olduğunu

hatta karenin bir kenar uzun-

luğunun kaç birim olduğunu

bilmiyoruz. A dan B ye ötele-

me düşünelim.

Verilen koordinatlara göre apsis 8 birim artmış, ordinat

4 birim artmış. Şekle baktığımızda 2k ve k birimlik öteleme-

nin olduğunu görüyoruz. O halde, apsis 2k birimde 8 artar-

sa k birim de 4 artar ve C noktasının apsisi 4 + 4 = 8 olur.

Doğru Seçenek C

�

�-��-�

�� Dört özdeş karelerden oluşan


B(12, 0) ve C noktaları işaret-

lenmiştir. Karelerden birinin bir

kenarı, koordinat eksenlerinden

birine paraleldir.

Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının ordinatı kaçtır?

A) –12 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16

��

Mekansal Zeka:

Kişinin yönünü bulup bulamadığı

mekansal zekanın göstergesidir.

Mimarlar ve futbolcular için olduk-

ça gerekli bir yetenektir.

DNA 17

��

� �

[AD], x eksenine paraleldir. Birim karelerden oluşan

yukarıdaki şekilde A, B, C, D noktaları veriliyor.

Yukarıdaki verilenlere göre, C ile D noktalarının

koordinatları toplamı, A ile B noktalarının koordi-

natları toplamından kaç fazladır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

Herhangi bir noktayı orijin seçip tüm noktaların koordinat-

larını yazarak sonuca gidebilirsiniz.

Noktaların koordinatlarını tek tek yazmadan da koordi-

natlar toplamındaki artışı tespit etmek mümkündür. Bunun

için analitik düzlemde keyfi bir referans noktası seçip en

kısa yoldan, A ve B noktalarına gidebilecek yolları topla-

mak ve çıkarmak yeterlidir.

��

� �

Referans noktamız A noktası olsun. A dan A ya 0 br,

A dan B ye 6 br yol alındığından A ve B noktalarının ko-

ordinatları toplamı 6 + k dır. (k referans noktasının koordi-

natları toplamıdır.) Şimdi C ve D için aynı şeyleri tekrarla-

yalım. A dan C ye 3 br, A dan D ye 6 br yol alındığından

C ile D noktalarının koordinatları toplamı 9 + k dır. C ile

D nin koordinatları toplamı, A ile B nin koordinatları topla-

mından 3 fazladır.

Doğru Seçenek A




��

� �

[AD], x eksenine paraleldir. Birim karelerden oluşan yuka-

rıdaki şekilde A, B, C, D noktaları veriliyor.

Yukarıdaki verilenlere göre, C ile D noktalarının ko-

ordinatları toplamı, A ile B noktalarının koordinatları

toplamından kaç fazladır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Uyarı

Analitik düzlemde A noktasının koordinatları toplamı a,

B noktasının koordinatları toplamı b ise orijin herhangi

bir noktaya ötelendiğinde, a – b farkı değişmez.

TANIM

Şekli Öteleme:

Analitik düzlemde verilen bir şeklin tüm noktalarının aynı

yönde aynı miktar ötelenmesine geometrik şeklin öte-

lenmesi denir. Şekillerin ötelenmesinde geometrik öze-

likler (açılar ve uzunluklar) korunur. Yani meydana gelen

şekil ilk şekle eş ve karşılıklı kenarları paraleldir.

Aşağıdaki ABC dik üçgeninin A(2,1) noktası, orijin olacak

şekilde ötelenmesi için, şeklin tüm koordinatlarının apsis-

lerine –2, ordinatlarına –1 eklenmelidir.

��

��

��

��

��-�

��

[AB] // [A′B′], [BC] // [B′C′], [AC] // [A′C′]

[AB] ≅ [A′B′], [BC] ≅ [B′C′], [AC] ≅ [A′C′] ve

ABC A B C dir≅ ′ ′ ′ .

DNA 18

A(a, b) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde ol-

duğuna göre, B(a – 2, b + 1) noktası aşağıdaki ta-

ralı bölgelerden hangisindedir?

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

�

�

�

��



Çözüm

I. bölgedeki A(a, b) noktasının apsisi negatif yönde 2 bi-

rim, ordinatı pozitif yönde 1 birim ötelenirse B(a – 2, b + 1)

noktası elde edilir. Buna göre, A noktasının bulunduğu I.

bölgenin grafi ği x ekseninde 2 birim negatif yöne, y ekse-

ninde 1 birim pozitif yöne ötelenmiş olur.

�

�

�

�

�

��

Başka bir yol olarak; O(0,0) noktası I. bölgeye dahil ol-

mayan sınırdaki noktadır, öteleme sonucunda O′(–2,1)

noktası da istenen bölgeye dahil olmayan sınır nokta ola-

caktır.

Doğru Seçenek B

A(a, b) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğu-

na göre, B(a + 1, b + 2) noktası aşağıdaki taralı bölge-

lerden hangisindedir?

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

��

�

�

��

�

��

�

�

�

��

DNA 19

�

�

��

�

��

�

Analitik düzlemde A(x, y)

noktalarının meydana getir-

diği grafi k yanda verilmiştir.

Buna göre, B(x + 2, y – 1)

noktalarının oluşturduğu

grafi k aşağıdakilerden

hangisidir?

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

�

� �

��

�

�

��

�

� �

��

�

�

��

� �

Çözüm

A(x, y) noktasının üzerinde bulunduğu grafi ğin apsislerini

pozitif yönde 2 birim, ordinatlarını negatif yönde 1 birim

ötelersek B noktasının, üzerinde bulunduğu grafi k elde

edilecektir.

�

�

��

�

��

�

�

�

��

� �

A(x,y) noktalarından

oluşan grafi k

B(x + 2, y – 1) noktaların-

dan oluşan grafi k (A nokta-

larının ötelenmiş hali)

Doğru Seçenek E




�

�

��

�

��

�

Analitik düzlemde A(x, y) noktalarının meydana getirdiği

grafi k yukarıda verilmiştir.

Buna göre, B(x + 2, y) noktalarının oluşturduğu grafi k

aşağıdakilerden hangisidir?

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

�

� �

��

�

�

��

�

� �

��

�

�

��

� �

DNA 20

�

�

��

��

Analitik düzlemde

A(–2, 1)

B(1, –3)

K(–2, –3)

noktaları veriliyor.

Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının AB doğ-ru parçasına uzaklığı kaç birimdir?

A) 125

B) 2 C) 95

D) 35

E) 1

Çözüm

K noktasını orijine gelecek biçimde öteleyelim. K nokta-

sının AB doğru parçasına uzaklığının değişmemesi için

[AB] doğru parçasını da aynı miktarda ötelemek gerekir.

Bu durumda,

K(–2, –3) → K′(0,0) (apsislere 2, ordinatlara 3 eklenir.)

A(–2, 1) → A′(0,4)

B(1, –3) → B′(3, 0)

K′ yani orijin noktasının [A′B′] doğru parçasına uzaklığına

h dersek Euclid Teoremi’nden h hesaplanabilir.

�

�

��

��

-�

��

1

|A′B′| = 3 42 2+ = 5 birim

(Pisagor Teoremi)

a ⋅ h = b ⋅ c (Euclid Teoremi)

5 3 4 125

⋅ ⋅h h= ⇒ = birimdir.

Doğru Seçenek A



�

�

�

��

Analitik düzlemde

A −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

52

12

,

B 12

72

, −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

K − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

52

72

,

noktaları veriliyor.

Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının AB doğru parçasına uzaklığı kaç birimdir?

A) 125

B) 2 C) 95

D) 35

E) 1

TANIM

İki Nokta Arasındaki Uzaklık:

[AB] doğru parçasının uzunluğuna A ile B noktaları ara-

sındaki uzaklık denir ve |AB| şeklinde gösterilir.

Bir noktanın orijine olan uzaklığını Pisagor Teoremi’yle

hesaplamayı öğrenmiştik. [AB] doğru parçasını A veya B

noktalarından birini orijine öteleyerek A ile B noktalarının

arasındaki uzaklığı bulabiliriz.

�

��

��

��

��

Uç noktaları A(x1, y1), B(x2, y2) olan [AB] doğru parçasını

A noktasını orijine gelecek şekilde ötelersek,

B′(x2 – x1, y2 – y1) elde ederiz. (ABB′O dörtgeninin paralel-

kenar olacağına dikkat ediniz.)

|OB′| = |AB| = ( ) ( )x x y y2 12

2 12− + − birim

dir.

Hazine 5

İki nokta arasındaki uzaklık:

�

�

��

�

��

��

��

��

��

�

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık,

|AB| = ( ) ( )x x y y2 12

2 12− + −

dir.

Not

Analitik geometride formüllerin akılda kalması ve etkin kul-

lanılması için zihnimizde çağrışım yapacak ve bizi yönlen-

direcek kodlamalar yapmak gerekir.

Örneğin, iki nokta arasındaki uzaklık formülü için; "x ler

farkı ile y ler farkına Pisagor uygulanır" gibi zihninizde

bir kodlama yapabilirsiniz.

Analitik geometride formül yazılmaz, verilen değerlerle

hemen uygulanır. Ancak böyle davrandığınız sürece ana-

litik geometrinin formül yığını olmadığını düşünürsünüz.

DNA 21

Analitik düzlemde A(8, –2) ile B(5, 2) noktaları ara-

sındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 5 B) 2 6 C) 3 2

D) 2 3 E) 1




Çözüm

|AB| = ( ) ( )8 5 2 22 2− + − −

= 3 42 2+

= 5 birimdir.

Doğru Seçenek A

Analitik düzlemde A(2, –2) ile B(5, 2) noktaları arasın-

daki uzaklık kaç birimdir?

A) 5 B) 2 6 C) 3 2

D) 2 3 E) 1

DNA 22

Analitik düzlemde A(1, 2) noktasından 5 birim

uzaklıkta ve III. bölgede bulunan B(k, –1) noktası-

nın apsisi kaçtır?

A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5

Çözüm

|AB| = ( ) ( )1 2 12 2− + +k

5 1 92= − +( )k

(k – 1)2 = 16

k – 1 = ± 4

k = 5 veya k = –3

B noktası III. bölgede olduğundan, B nin apsisi –3 tür.

Doğru Seçenek C

Analitik düzlemde A(1, 2) noktasından 5 birim uzak-

lıkta ve IV. bölgede bulunan B(k, –1) noktasının apsisi

kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

DNA 23

Analitik düzlemde A(–1, 2) ve B(2, 3) noktalarından

eşit uzaklıkta olan, x ekseni üzerindeki noktanın

apsisi kaçtır?

A) 43

B) 2 C) 83

D) 3 E) 103

Çözüm

x ekseni üzerindeki nokta K(k, 0) olsun, |AK| = |BK| ise

( ) ( ) ( ) ( )− − + − = − + −

⇒ + + + = − + +

⇒ =

⇒ =

1 2 0 2 3 0

2 1 4 4 4 9

6 8

43

2 2 2 2

2 2

k k

k k k k

k

k

Doğru Seçenek A

Hatırlatma(a – b)2 = (b – a)2

|a – b| = |b – a|



Analitik düzlemde A(0, 3) ve B(3, 4) noktalarından eşit

uzaklıkta olan, x ekseni üzerindeki noktanın apsisi

kaçtır?

A) 3 B) 83

C) 73

D) 2 E) 53

Hazine 6

Apsisler ya da Ordinatlar eşitse:

�

�

��

2

��2�

��2�

Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık ordinat-

lar farkının mutlak değerine eşittir. (Apsisleri eşit olan

noktalar x eksenine dik olan doğru üzerindedir.)

A(a, b), B(a, c) ⇒ |AB| = |b – c| birimdir.

�

�

��

�2��

��2�

�

Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık apsis-

leri farkının mutlak değerine eşittir. (Ordinatları eşit olan

noktalar x eksenine paralel olan doğru üzerindedir.)

A(a, b), B(c, b) ⇒ |AB| = |a – c| birimdir.

DNA 24

Analitik düzlemde A(5, –1), B(1, –1), C ∈ AB ve

|AB| = |AC| veriliyor.

Yukarıda verilenlere göre, orijine en yakın C nokta-

sının koordinatları toplamı kaçtır?

A) 10 B) 8 C) 4 D) 0 E) –6

Çözüm

A(5, –1) ve B(1, –1) noktalarının ordinatları eşit olduğun-

dan AB doğrusu x eksenine paraleldir. C ∈ AB olduğun-

dan C noktasının da ordinatı –1 dir.

C noktasının apsisi x olsun,

|AB| = |AC|

|5 – 1| = |5 – x|

|x – 5| = 4

x – 5 = 4 veya x – 5 = –4

x = 9 veya x = 1

C(9, –1) veya C(1, –1) dir.

Orijine C(1, –1) noktası daha yakın olduğundan koordinat-

ları toplamı; 1 + (–1) = 0 dır.

C noktasının B ile çakışık olduğuna dikkat ediniz.

Doğru Seçenek D

Analitik düzlemde A(5, –1), B(5, –3), C ∈ AB ve

|AB| = |AC| veriliyor.

Yukarıda verilenlere göre, orijine en yakın C noktası-

nın koordinatları toplamı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8




DNA 25

�

�

�

�

�

��

- �

Analitik düzlemde

ABC dik üçgen

[AB] ⊥ [AC]

|AB| = 4 5 br

B(–11,0) ve C(–1,0)

Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının orijine

uzaklığı kaç birimdir?

A) 2 3 B) 3 2 C) 2 5

D) 2 6 E) 5

Çözüm

�

�

�

�

�

��

- �

�

-

,

��/'/03

|AB|2 = |BH| ⋅ |BC|

( )4 52 = |BH| ⋅ 10

|BH| = 8 birim

|HC| = 10 – 8 = 2 birim

|AH|2 = |BH| ⋅ |HC|

|AH| = 8 2 4⋅ = birim

AHO dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden,

|AO| = 4 3 52 2+ = birim

buluruz.

Doğru Seçenek E

�

�

� �

��-��-�

Analitik düzlemde

ABC dik üçgen

[AB] ⊥ [AC]

|AC| = 5 birim

A(–4, 4)

Yukarıda verilenlere göre, |BC| kaç birimdir?

A) 163

B) 203

C) 253

D) 283

E) 12

DNA 26

�

�

�

�

�

�

Analitik düzlemde

ABCD kare

A ve B noktaları

eksenler üzerindedir.

Yukarıda verilenlere göre, C noktasının apsisi, D

noktasının ordinatından kaç fazladır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

Çözüm

�

�

�

�

�

�

�

3

�

�

[DK] ⊥ Oy

[CH] ⊥ Ox

|AO| = a

|BO| = b olsun.

AOB, BHC ve DKA üçgenleri eşittir.

C noktasının apsisi a + b

D noktasının ordinatı a + b

olup, bu ikisi birbirine eşit olduğundan fark 0 dır.

Doğru Seçenek C



�

�

�

�

�

�

Analitik düzlemde

ABCD kare

A(0, 3)

B(4, 0)

Yukarıda verilenlere göre, C noktasının koordinatları

toplamı kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

��

Zaman Hesabı

Her sabah hesabınıza 86.400 TL yatıran bir banka düşünün. Gün boyu istediğiniz kadar parayı harca-makta veya harcamamakta serbestsiniz. Fakat sa-dece bir şart var. Harcamadığınız para ne kadar olursa olsun ertesi güne devredemez. Ama ertesi gün bir önceki günün parasını harcasanız da harcamazsa-nız da yine 86.400 TL alacaksınız.

Böyle bir durumla karşılaşsaydınız ne yapardınız? Herhalde bu parayı her gün harcamak için çabucak bir yol bulurdunuz. İhtiyacınız olan her şeyi almaya başlardınız. Ancak zeki iseniz bu parayı her gün ya-tıracak bir yer bulup uzun vadede en büyük getiriyi almaya çalışırdınız.

Farkında olun ya da olmayın hayatınızın her günün-de böyle bir durumla karşı karşıyasınız. Zaman bir “banka”dır ve size her gün istediğiniz şekilde har-cayabileceğiniz 86.400 saniye veriyor. Bu zamanı kullanmayı başaramazsanız onu ebediyen kaybede-ceksiniz.

Başarılı insanlar, zamanın değerinin farkındadır.

DNA 27

�

�

�

�

�

�

�-��

Analitik düzlemde

ABC üçgen

[DE] // Ox

|AD| = 2|DB|

E(4, 1)

Yukarıda verilenlere göre, C noktasının apsisi, B

noktasının apsisinden kaç fazladır?

A) 2 10 B) 6 C) 2 7

D) 2 6 E) 4

Çözüm

Thales Teoremi’nden,

| || |

| || |

ADAB

DEBC

=

olduğunu biliyoruz.

|ED| = 2k birim ise |BC| = 3k birim olur.

|ED| = 4 birim olduğundan, |CB| = 6 birimdir.

Doğru Seçenek B

�

�

�

�

�

�

��

Analitik düzlemde

ABC üçgen

[DE] // Ox

|AD| = 3|DB|

E(3, k)

Yukarıda verilenlere göre, C noktasının apsisi, B nok-

tasının apsisinden kaç fazladır?

A) 12 B) 8 C) 6 D) 4 E) 3




TEST - 1

1. A(3m – 2n, n – m – 1) noktası analitik düzlemin baş-langıç noktasıdır.

Buna göre, m + n kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) –2 E) –6

2. A(m2 – 2m + 1, –m2 – m – 1) noktası herhangi bir eksen üzerinde değildir.

Buna göre, A noktası analitik düzlemin hangi böl-gesindedir?

A) I B) II C) III

D) IV E) Orijin

3.

�

�

� �

�

��

Yukarıdaki şekle göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) A noktası analitik düzlemin I. bölgesindedir.

B) B noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir.

C) C noktası analitik düzlemin III. bölgesindedir.

D) D noktası analitik düzlemin IV. bölgesindedir.

E) E noktası I. ve IV. bölgelerin kesiştiği eksen üze-

rindedir.

4. A(m + n, m ⋅ n) noktası analitik düzlemin II. böl-gesinde olduğuna göre, B(m, n) noktası hangi bölgededir?

A) I B) II C) III

D) IV E) Orijin

5. p ∈ Z olmak üzere, A(p – 5, 4p – 12) noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir.

Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordi-natları toplamı kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3

6. Analitik düzlemde koordinatları tam sayı olan nokta-lara kafes noktası denir.

K(3a – 21, a + 2) noktası II. bölgede bir kafes nokta-sıdır.

Yukarıdaki verilenlere göre, kaç tane K noktası vardır?

A) 64 B) 49 C) 36 D) 9 E) 8

7. Analitik düzlemde koordinatları tam sayı olan nokta-lara kafes noktası denir.

A(a, –2) ve B(2a, a – 4) noktaları analitik düzlemin aynı bölgesinde bulunan kafes noktalarıdır.

Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordi-natlarının çarpımı en az kaçtır?

A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) 0



8. A = {(x, y): –2 ≤ x < 0, y = 2 ve x ∈ Z}

kümesinin analitik düzlemde görüntüsü aşağıda-

kilerden hangisidir?

��

�

�

��

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

��

�

��

�

�

�

��

��

�

�

��

�

��

9. A = {x ∈ R : 2 ≤ x < 3} ve B = {–1, 1}

olduğuna göre, A x B kümesinin analitik düzlem-

deki görüntüsü nedir?

��

�

�

��

� �

�

��

�

�

��

� �

�

��

�

�

��

� �

�

��

�

�

��

� �

�

��

�

�

��

� �

�

10. A = {x ∈ R: |x| ≤ 1} ve B = {x ∈ R: |x| = 1} dir.

Buna göre, B x A kümesinin analitik düzlemdeki

görüntüsü nedir?

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

11. A(x + 1, y – 1) noktası analitik düzlemin II. bölge-sinde olduğuna göre, B(x, y) noktası aşağıdaki

taralı bölgelerden hangisindedir?

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��




12. A(–2, a + 4) noktası analitik düzlemin III. bölge-sinde olduğuna göre, B(a, 2) noktası aşağıdaki


��

�

�

�

�- -

��

�

�

�

�- -

��

�

�

�

�- -

��

�

�

�

-

��

�

�

�

�-

13. A(m, n + 2) noktası analitik düzlemin I. bölgesin-de olduğuna göre, B(m + 1, n) noktası aşağıdaki


��

�

�

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

14. A = {(x, y): |x| ≥ 1, |y| > 1}

kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir?

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

15. A = {(x, y): |x – 2| < 2, |y + 2| ≤ 2}

kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir?

��

�

�

��-

�-

��

� -

�

-

��

�

�

��-

�-

��

� -

�

-

��

�

�

��-

�-

��

� -

�

-

��

�

�

��-

�-

��

� -

�

-

��

�

�

��-

�-

��

� -

�

-

1.A 2.D 3.E 4.C 5.E 6.E 7.B 8.A 9.C 10.B 11.D 12.E 13.D 14.C 15.E

12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ

DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 03 ORTA NOKTA

41

TANIM

Paralelkenar:

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar

denir.

Paralelkenar oluşturma şartları:

ABCD paralelkenar ise

[AB] // [CD], [AD] // [BC], |AB| = |CD| ve |AD| = |BC|

dir.

Karşılıklı iki kenarı eşit uzunlukta ve paralel olan dört-

genler paralelkenardır.

��

��

��

��

[AD] doğru parçasını A noktası orijine gelecek biçimde

ötelersek, A′(0,0) ve D′(x4 – x1, y4 – y1) olur.

[BC] doğru parçasını B noktası orijine gelecek biçimde

ötelersek, B′(0,0) ve C′(x3 – x2, y3 – y2) olur.

A′ ve B′ çakışık ise D′ ve C′ çakışıktır yani koordinatları

eşittir.

x4–x1 = x3–x2 ve y4–y1 = y3–y2 (karşılıklı artışlar eşit)

x1+x3 = x2+x4 ve y1+y3 = y2+y4

A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) ve D(x4, y4) noktalarını köşe

kabul eden ABCD dörtgeninin paralelkenar olması için,

x1 + x3 = x2 + x4 ve y1 + y3 = y2 + y4 olmalıdır.

(Karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı eşittir.

Karşılıklı köşelerin ordinatları toplamı eşittir.)

Paralelkenara ait tüm özellikler, eşkenar dörtgen, dik-

dörtgen ve karede geçerlidir.

Işık 8

DNA 1

Analitik düzlemde köşeleri A(4, 3), B(1, 2), C(–1, 5)

ve D(x, y) olan ABCD dörtgeni paralelkenar oldu-

ğuna göre, x + y kaçtır?

A) 12 B) 8 C) 0 D) –4 E) –8

Çözüm

A ile C, B ile D karşılıklı köşeler olduğundan,

4 + (–1) = 1 + x ve 3 + 5 = 2 + y

x = 2 ve y = 6

x + y = 2 + 6 = 8 dir.

B den A ya ve C den D ye koordinatlardaki artışlar sabit-tir.

��

��

Apsisler için, 1 den 4 e 3 artış, –1 den x e 3 artış olmalı

x = –1 + 3 = 2

dir.

Ordinatlar için, 2 den 3 e 1 artış, 5 den y ye 1 artış olmalı

y = 5 + 1 = 6

x + y = 2 + 6 = 8 dir.

Doğru Seçenek B

Orta Nokta



Analitik düzlemde köşeleri A(1, –1), B(2, –2), C(–3, 3)

ve D olan ABCD dörtgeni paralelkenar olduğuna göre,

D noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?

A) –16 B) –8 C) –4 D) 0 E) 12

TANIM

Orta Nokta:

G ∈ [AB] olmak üzere |AG| = |GB| ise

G noktası, [AB] doğru parçasının orta noktasıdır.

A(x1, y1), B(x2, y2) olsun.

��

��

��

��

[AG] doğru parçasını A noktası orijine gelecek biçimde

ötelersek, A′(0, 0) ve G′(x0 – x1, y0 – y1) olur.

[BG] doğru parçasını G noktası orijine gelecek biçimde

ötelersek, G′′(0, 0) ve B′′(x2 – x0, y2 – y0) olur.

A′ ve G′′ çakışık olduğundan G′ ve B′′ çakışıktır.

x0 – x1 = x2 – x0 ve y0 – y1 = y2 – y0 (karşılıklı artışlar eşit)

x x x ve y y y0 1 2 0 1 22 2=

+=

+

dir.

Hazine 7A(x1, y1), B(x2, y2) olmak üzere,

[AB] doğru parçasının orta noktası

G x x y y1 2 1 22 2+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

,

dir.

G noktasına, [AB] doğru parçasının ağırlık merkezi de-

nir.

A ve B noktalarına G noktasına göre simetriktir denir.

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığından, köşe-

genlerin kesişim noktasına paralelkenarın simetri merke-

zi denir.

Simetri merkezi paralelkenarın ağırlık merkezidir.

�

��

�

Birbirini ortalayan iki doğru parçasının uç noktaları para-

lelkenar oluşturur.

A(x1, y1) noktasının G(x0, y0) noktasına göre simetriği B

noktası ise B(2 ⋅ x0 – x1, 2 ⋅ y0 – y1) dir.

(Ortadakinin iki katı eksi uçtaki)

DNA 2

Analitik düzlemde A(–1, 4), B(5, 10) olmak üzere

[AB] doğru parçasının orta noktasının koordinat-

ları çarpımı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

Çözüm

[AB] doğru parçasının orta noktası

G − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 52

4 102

,

G(2, 7) ise G nin koordinatları çarpımı 2 ⋅ 7 = 14 tür.


Doğrunun Analitiği - Bölüm 03 Orta Nokta

A dan G ye, G den B ye 1 br deki artış miktarı eşit oldu-

ğundan, A dan B ye yani 2 birimdeki artış miktarı 2 kat

olacaktır. Yani orantılı artış söz konusudur.

��

��

��

��

�� Apsisler için,

–1 den 5 e 6 br artış (2 br de)

1 br de 3 br artış olur.

x = –1 + 3 = 2

Ordinatlar için,

4 den 10 a 6 artış (2 br de)

1 br de 3 artış olur.

y = 4 + 3 = 7

G nin koordinatları çarpımı 2 ⋅ 7 = 14 tür.

Doğru Seçenek E

Analitik düzlemde A(1, 6), B(5, 8) olmak üzere [AB]

doğru parçasının orta noktasının koordinatları topla-

mı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

DNA 3

Analitik düzlemdeki A(2m – 5, m – 2) ile B(m + 1, –2)

noktası, x ekseni üzerindeki C noktasına göre simet-

riktir.

Buna göre, C noktasının apsisi kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) –2 E) –4

Çözüm

x ekseni üzerindeki nokta C(a, 0) olsun. A ile B noktaları

C noktasına göre simetrikse, C noktası [AB] doğru parça-

sının orta noktasıdır.

C m m m2 5 12

2 22

− + + − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, ( )

C m m ve C a3 42

42

0− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, ( , )

Ordinatların eşitliğinden

m m− = =42

0 4, ve

apsislerin eşitliğinden

a m= − = − = =3 42

3 4 42

82

4⋅

tür.

Doğru Seçenek A

Analitik düzlemde A(3, 5) ile B(5, 7) noktası, C noktasına

göre simetriktir.

Buna göre, C noktasının apsisi ordinatından kaç faz-

ladır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) –2 E) –4

DNA 4

Analitik düzlemde A(–9, 15), B(m – 2, m + 4),

C(–6 – m, 2 – m) dir.

Buna göre, ABC üçgeninin [BC] kenarına ait ke-

narortayının uzunluğu kaç birimdir?

A) 5 B) 10 C) 13 D) 15 E) 20

Orta Nokta



Çözüm

[BC] kenarının orta noktası D olsun,

��

��

D m m m m− + − − + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 62

4 22

( ),

D(–4, 3)

|AD| = ( ( )) ( )− − − + − =9 4 15 3 132 2 birim

dir.

Doğru Seçenek C

Analitik düzlemde A(2, 2), B(2, 4), C(–1, –1) dir.

Buna göre, ABC üçgeninin [AB] kenarına ait kenaror-

tayının uzunluğu kaç birimdir?

A) 5 B) 10 C) 13 D) 15 E) 20

Not

�

�

� ��

��

�

��

� ��

�

�

�

�

� ��

��

�

��

� ��

�

�

| || |

| || |

| || |

ABBC

A BB C

A BB C

x x

x x

y y

y y= =

Eksenlere dik olmayan bir doğru üzerinde bulunan A,

B, C noktaları ve bu noktaların eksenler üzerindeki iz-

düşümleri Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy olmak üzere, noktalar

arasındaki uzaklıkların oranı ile izdüşümlerinin arasın-

daki uzaklıkların oranları eşittir.

�

�

� ��

��

�

��

�

� | || |

| || |

ABBC

A BB C

y y

y y=

Özel olarak, A, B, C noktalarının apsisleri eşitse bu

noktalar x eksenine dik olan doğru üzerindedir. Nokta-

lar arasındaki uzaklıklar oranı, y eksenindeki izdüşüm-

leri arasındaki uzaklıklar oranına eşittir.

�

�

� ��

��

� �

� ��

| || |

| || |

ABBC

A BB C

x x

x x=

Aynı mantıkla, A, B, C noktalarının ordinatları eşitse

bu noktalar y eksenine dik olan doğru üzerinde sırala-

nır. Noktalar arasındaki uzaklıklar oranı, x ekseninde-

ki izdüşümleri arasındaki uzaklıklar oranına eşittir.

Bu NOT’un hemen ardından, aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.

��

��

��

��

Yukarıdaki şekilde,

| || |ABBC

x xx x

y yy y

=−−

=−−

2 1

3 2

2 1

3 2

dir.

Işık 9


Doğrunun Analitiği - Bölüm 03 Orta Nokta

DNA 5

�

��

�

��

Analitik düzlemde

ABC üçgen

[AD] ∩ [BE] = {F}

|AE| = |EC|

A ile C noktalarının apsislerinin toplamı –8n, ordinatla-

rının toplamı 10 dur.

B(2n, k) ve F(–

Documents

GENETİK KOPYA YÖNTEMİ - ALPASLAN CERAN · Geometri uzamsal kavramlarla ilgilenir. Fizik, astronomi, mühendislik vs. problemleri sadece uzayı değil, genellik-le zamanı da içerir