Geo Me Triai Prof 2013

7/17/2019 Geo Me Triai Prof 2013

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Universidad de El Salvador

Facultad de Ciencias Naturales y Matematica

Escuela de Matematica

Profesorado en Tercer Ciclo y Educacion

Media para la Ensenanza de la Matematica.

GEOMETRIA I

Equipo de Diseno:Nahomy Jhopselyn Hern´ andez Cruz ,

Gabriel Alexander Chicas Reyes ,Eduardo Arnoldo Aguilar Ca˜ nas ,Hector Enmanuel Alberti Arroyo,

Humberto Alfonso Serme˜ no Villalta ,Ernesto Americo Hidalgo Castel lanos ,

Juan Agustın Cuadra ,Claudia Patricia Corcio L´ opez de Beltr´ an ,

Carlos Mauricio Canjura Linares ,

Oscar Armando Hern´ andez Morales ,Aar´ on Ernesto Ramırez Flores ,Manuel Alejandro Mundo Due˜ nas ,

Francisco Asdrubal Hern´ andez Ramırez

Abstract

En el presente apunte se examinan los conceptos geometricos basicos, y a partir de estosse construye el modelo denominado Geometrıa Euclidiana. Las tematicas se desarrollan dela forma mas elemental y tienen una base importante en la observacion y la construccion. El

estudio de la Geometrıa y especıficamente de este modelo es importante, porque en primerlugar, desarrolla habilidades vitales para cualquier estudiante de matematica y ciencias, talescomo el descubrimiento de patrones, invariantes y el desarrollo de una logica aguda; ensegundo lugar, porque se rescata lo que historicamente fue el nacimiento de la Matematicacomo un sistema logico riguroso.

Por otro lado, este documento es un apunte de clase de Geometrıa Plana que se estudianen la asignatura Geometrıa I, desde los conceptos fundamentales y las propiedades basicasde los triangulos, cuadrilateros y circunferencias, hasta el estudio detallado de las rectas ypuntos notables de un triangulo. Ademas, se estudian tanto problemas metricos como de in-cidencia: medidas de segmentos, angulos, areas, paralelismo, perpendicularidad, concurrencia

1



Geometrıa I.

y colinealidad. Y, ha sido elaborado con la colaboracion de ex alumnos del Programa JovenesTalento y docentes de la escuela de Matematica. Esta recopilacion de informacion extraıdade distintos libros, cubre en un buen porcentaje los contenidos exigidos en el programa deestudio.

UES-FCNM-Escuela de Matematica-Profesorado en Matematica para Tercer Ciclo de EducacionBasica y Educacion Media pag. 2



Geometrıa I. CONTENTS

Contents

1 Aspectos historicos 5

2 Segmentos 82.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Lıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Segmento de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Operaciones con segmentos colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Angulos 153.1 Angulos formados por dos rectas y una trasversal a ellas. . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 triangulos 214.1 Clasificacion de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Teoremas Fundamentales del Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Rectas Notables de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Congruencia de Triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6.1 Criterios de Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6.2 Teorema de la Base Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Cuadrilateros 395.1 Clasificacion de Cuadrilateros (De acuerdo a sus diagonales . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Rombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5 Trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.6 Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 La Circunferencia 49

6.1 Elementos de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Angulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Cuadrilateros Concıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.4 Rectas y Circunferencias tangentes a una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 536.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55




Geometrıa I. CONTENTS

7 Semejanza de Triangulos. 657.1 Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Criterios de Semejanza de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Potencia de Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8 ISOMETRIAS 818.1 Traslaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.1.1 Propiedades de las Traslaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.2 Rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.2.1 Rotacion en el plano orientado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2.2 Propiedades Esenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.3 Simetrıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3.1 Simetrıas Centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3.2 Propiedades de las simetrıas centrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.3.3 Simetrıas Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.3.4 Propiedades de las simetrıas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.4 La Isometrıa Directa mas simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.5 Descomposicion de Traslaciones y Rotaciones como Composicion de Simetrıas Axiales. 93

9 Similitudes 959.1 Similitudes: Teoremas Fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2 Similitud de figuras geometricas fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.3 Descomposicion de una similitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.4 Problemas de Similitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10 Rectas y Planos 10810.1 Posiciones relativas entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.2 Rectas coplanares y rectas alabeadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.3 Recta paralela a un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.4 Recta perpendicular a un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.5 Planos paralelos, planos secantes y planos perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . 11010.6 Teorema de las Tres Perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.7 Teorema de Thales en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.8 Angulo entre un plano y una recta secante al plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.9 Angulo diedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11410.10Medida de un angulo diedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114




Geometrıa I. 1 Aspectos historicos

1 Aspectos historicos

Euclides y Arquımedes son las dos figuras mas importantes de la Matematica griega. Mientrasque Arquımedes es el investigador por excelencia, que incrementa de forma muy considerable elcaudal matematico griego, la trascendente tarea de Euclides estriba en estructurar el patrimoniomatematico griego en un entramado consistente, claramente organizado mediante una concate-

nacion logica de los resultados – Los Elementos –.A Euclides le cabe el inmenso merito de la ordenacion y sistematizacion de la Geometrıa griega

elemental, de manera que con independencia de sus aportes originales, su mayor contribucion se lereconoce como gran compilador y creador de un estilo de exposicion –el metodo axiomatico–, demodo que en lenguaje actual dirıamos que Euclides es un gran maestro y su obra fundamental unLibro de Texto, que establece un ferreo paradigma de exposicion y de demostracion en Matematicas,una especie de norma academica de obligado respeto para todo matematico.

Las referencias mas fiables sobre Euclides serıan las que relata Proclo (siglo V d.C.) en suComentario al Libro I de Los Elementos de Euclides.

Aproximadamente 300 anos antes de Cristo Euclides de Alejandrıa escribio un tratado en trecelibros llamado Los Elementos. Proclo nos dice: “ Euclides, el autor de los Elementos ordenodiversos trabajos de Eudoxo, mejoro los de Teeteto y produjo tambien demostraciones irrefutablespara aquello que sus predecesores no habıan probado de manera rigurosa. Vivio en la epoca delprimer Tolomeo, quien una vez le pregunto si habıa en geometrıa un camino mas corto que loselementos, y el respondio que no hay un camino real a la geometrıa.”

Los Elementos de Euclides constan de 465 Proposiciones organizadas en trece libros. De lostrece libros, los primeros seis se pueden describir como los que tratan con triangulos, rectangulos,cırculos, polıgonos, proporcion y semejanza respectivamente. Los Libros VII, VIII y IX tratan deTeorıa de Numeros, es decir de las propiedades de los numeros enteros y la divisibilidad. El Libro Xintroduce el Metodo de Exhaucion y clasifica de forma sistematica los segmentos inconmensurables.En estos ultimos dos libros se prueba que hay infinitos numeros primos, y que

√ 2 es irracional.

Los Libros XI y XII estudian la geometrıa de solidos aplicando el Metodo de Exhaucion de Eudoxoal calculo del area del cırculo y algunos volumenes. Finalmente el Libro XIII esta dedicado alestudio exhaustivo de cinco poliedros regulares.

Ası pues, aunque no hay ninguna introduccion o preambulo de la obra, previamente, en el LibroI, Euclides introduce unos preliminares a base de veintitres definiciones, cinco postulados y cinconociones comunes o axiomas.

Definicion 1.1

1. Punto es lo que tiene posicion pero no dimensiones.

2. Lınea es la longitud sin anchura.

3. Los extremos de la lınea son puntos.

4. Lınea recta es la que yace por igual sobre sus puntos.

5. Superficie es lo que solo tiene largo y ancho.

6. Los extremos de la superficie son lıneas.

7. Superficie plana es la que yace por igual sobre sus rectas.





8. Angulo plano es la inclinacion de dos lıneas que se encuentran en un plano y no yacen lasdos sobre una recta.

9. Si las dos lıneas que contienen el angulo son rectas, el angulo se llama rectilıneo.

10. Si una recta trazada sobre otra forma con ella dos angulos contiguos iguales cada uno deellos es recto, y la recta se llama perpendicular a aquella sobre la cual se traz o.

11. Angulo obtuso es el mayor que el recto.

12. Angulo agudo es el menor que el recto.

13. Lımite es el extremo de algo.

14. Figura es lo comprendido por uno o varios lımites.

15. Cırculo es una figura plana limitada por una sola lınea que se llama periferia [circunferencia],respecto de la cual son iguales las rectas que inciden sobre ellas trazadas desde uno de lospuntos situados en el interior de la figura.

16. Este punto se llama centro del cırculo.

17. Diametro del cırculo es una recta cualquiera que pase por el centro y cuyas dos partes tengansus extremos en la periferia. Esa recta divide al cırculo en dos partes iguales.

18. Semicırculo es la figura limitada por un diametro y la periferia. El centro del semicırculo esel mismo que el del cırculo.

19. Figuras rectilıneas son las limitadas por rectas. Trilateras si lo estan por tres, cuadrilateraspor cuatro y multilateras por mas de cuatro.

20. Entre las figuras trilateras el triangulo es equilatero si tiene los tres lados iguales, isoscelessi solo tiene dos lados iguales y escaleno si sus tres lados son desiguales.

21. Entre la figuras trilateras, el triangulo rectangulo es el que tiene un angulo recto; obtusangulo,el que tiene un angulo obtuso, y acutangulo, el que tiene sus tres angulos agudos.

22. Entre las figuras cuadrilateras, el cuadrado es equilatero y equiangulo; el rectangulo, equiangulo,pero no equilatero; el rombo es equilatero, pero no rectangular; el romboide, sin ser equilateroni equiangulo, tiene iguales los lados y los angulos opuestos. Las demas figuras cuadrilaterasse llaman trapecios.

23. Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongadas al indefinidamente,no se encuentran.

Con base en estas definiciones, Euclides presenta a continuacion una lista de cinco postuladosy cinco nociones comunes (o axiomas).





Postulados

1. (Es posible) trazar una lınea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.(Cuando se considera una lınea recta contenida entre dos puntos fijos, que son sus extremos,tal porcion se llama una lınea recta finita).

2. (Es posible) prolongar de una manera ilimitada en lınea recta una recta limitada.

3. (Es posible) describir un cırculo para cada centro y cada radio.

4. Todos los angulos rectos son iguales.

5. Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del mismo lado angulos internos menores quedos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en que estenlos angulos menores que dos rectos.

Nociones Comunes:(Axiomas)

Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sı.

Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los totales son iguales.

Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

Las cosas que se superponen una a la otra son iguales entre sı.

El todo es mayor que la parte.

La primera de estas Nociones Comunes es la ley transitiva que podemos considerar como elsilogismo fundamental de la Geometrıa. Las dos siguientes se refieren a la legitimidad de sumar

y restar cosas iguales. La ultima introduce la desigualdad. La cuarta de las Nociones Comunesmerece una atencion. Euclides viene a decir que si una figura se puede trasladar sobre el planode modo que al colocarse sobre otra, ambas figuras coinciden perfectamente –se superponen–,entonces las dos figuras son iguales en todos sus aspectos, es decir, tiene los mismos angulos, losmismos lados y demas elementos.




Geometrıa I. 2 Segmentos

2 Segmentos

2.1 Introduccion

Una figura geometrica es una combinacion de puntos, lıneas y planos. Los conceptos de punto,lınea y plano son conceptos primitivos, que no se definen, unicamente pueden describirse. Por

ejemplo, un punto es un objeto que solo tiene posicion. No tiene longitud, anchura ni espesor. Setrata pues, de una idealizacion matematica.La Geometrıa es la ciencia que estudia la posicion, forma y magnitud de las figuras geometricas.

La geometrıa plana estudia las figuras cuyos puntos se encuentran en el mismo plano (triangulos,cuadrados, cırculos, etc.). La geometrıa solida estudia las figuras que pueden estar en distintosplanos (piramides, cubos, esferas, etc.).

2.2 Lıneas

Una lınea es una figura geometrica que tiene longitud, pero no tiene anchura ni grosor.

A

B

Figure 1: Una linea recta

Se puede considerar que una lınea se genera con el movimiento de un punto.Con este enfoque, una lınea recta se genera con el movimiento de un punto que se mueve siempre

en la misma direccion (ver Figura 1), mientras que una lınea curva se genera con el movimientode un punto que cambia continuamente de direccion (ver Figura 2).

A

B

Figure 2: Una linea curva

Otro punto de vista consiste en considerar una lınea como formada por infinitos puntos. Enparticular, una lınea recta (llamada por brevedad recta) queda completamente determinada pordos cualesquiera de sus puntos y se considera ilimitada en extensi on.

Notacion: Si A y B son dos puntos que pertenecen a una recta, dicha recta se denota como←→AB.





2.3 Rayos

Dada una lınea recta, a una porcion de dicha recta que se origina en un punto O y que se extiendeilimitadamente por el extremo que contiene a un punto A, se le llama rayo OA (ver Figura 3) y se

denota por −→OA.

O

A

Figure 3: rayo OA

2.4 Segmento de recta

Dados dos puntos distintos A y B en una recta, se le llama segmento a la figura formada por A,B y todos los puntos que se encuentran entre ellos dos (ver Figura 4).

A B

Figure 4: Segmento AB

Se denota por AB (o simplemente AB ) y se lee “segmento AB”. Los puntos A y B se llamanextremos y los otros puntos forman el interior del segmento.

La medida de un segmento AB se denota m(AB) o simplemente AB y es un numero positivoque se compara con la longitud de un segmento unitario.

2.5 Punto medio de un segmento

Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C esta entre A y B y se verifica queAC = CB (ver Figura 5).

A BC

Figure 5: C punto medio del segmento AB

Todo segmento posee un punto medio el cual lo biseca, es decir, lo divide en dos segmentos deigual longitud.





x

ba

A BC

Figure 6:

2.6 Operaciones con segmentos colineales

Medir es comparar una magnitud con otra de su misma clase que sirve como patron y a la quese llama unidad de medida. Para medir los segmentos se utilizan diversos instrumentos, siendo elmas sencillo una regla graduada. En la Figura 6 se cumplen las siguientes relaciones:

AB = AC + CB ⇒ x = a + b (1)

AC = AB − CB ⇒ a = x − b

CB = AB − AC ⇒ b = x − a

Observacion:La relacion de adicion (1) se puede generalizar ası: Tomemos “n” puntos consecutivos A1, A2, A3, . . . , An

en una misma recta, entonces se verificara la siguiente relacion:

A1An = A1A2 + A2A3 + A3A4 + · · · + An−1An

Este resultado se conoce como el Teorema de Chasles. Debemos notar que los segmentos consid-

erados son consecutivos.

Ejemplo 2.1 Ejemplos de problemas con segmentos

a) Sobre una recta estan ubicados los puntos A, B, C y D. Si AD = 24 cm, AC = 15 cm yBD = 17 cm, ¿cuanto mide B C en cm?

Solucion

Segun los datos del problema (ver Figura 7), se tiene que:

CD = AD − AC = 24 − 15 = 9 cm

y puesto que: BC = BD − CD, se tiene que B C = 17 − 9 = 8 cm.

b) Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta. Si AC + BD = 16 m, y BC = 4 m,¿cual es el valor de AD en m?

Solucion

Construimos la figura segun las condiciones del problema y se observa que:

AD = AC + CD, pero CD = BD − 4.

Luego, AD =

AC + BD −4 = 16 − 4 = 12 m





A DB C

Figure 7:

c) M , A, O y B son puntos consecutivos sobre una recta, siendo O el punto medio de AB. SiMA = 2 y AB = 6, calcular (MO)2.

Solucion

Ya que O es el punto medio de AB , se tiene:

AO = OB = AB

2

= 6

2

= 3

Luego, M O = M A + AO = 2 + 3 = 5

Por lo tanto, (MO)2 = 25

d) Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y D. Entre los puntos B y D se tomaun punto C tal que AC = CD/4. Determinar B C , sabiendo que B D − 4AB = 20.

Solucion

Sea x = BC . Del dato AC = CD4

y llamando AC = a, se tiene C D = 4a.

Reemplazando los literales x y a en la igualdad BD − 4AB = 20, se tiene (dibujar la figura):

(x + 4a) − 4(a − x) = 20x + 4a − 4a + 4x = 20

5x = 20

x = 4

Es decir, B C = 4.

e) Al dividir un segmento en partes cuyas medidas son directamente proporcionales a 1/3, 1/4y 1/2 se obtienen tres segmentos, el segundo de los cuales mide 12 cm. ¿Cual es la suma encm de las medidas del segundo y tercer segmento?

SolucionSean los segmentos AB, B C y AC . Segun las condiciones del problema:

AB = k

3, BC =

k

4 y CD =

k

2

ya que BC = 12 entonces k4

= 12, de donde k = 48.

Esto nos permite calcular el valor del tercer segmento C D, ası C D = 48

2 = 24.

Luego, la suma pedida es B C + CD = 36.





2.7 Ejercicios

1) Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C . Si AB = 8 cm y BC = 12 cm,hallar AC .

2) Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tales que AB = 7, BC = 8 yAD = 24, calcular C D.

3) En una lınea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C tales que AC = 25 yBC = 15. Calcular AB.

4) A, B, C y D son puntos ubicados en una lınea recta de modo que AB = B C , CD = 20 yAB = 5. Hallar AD.

5) Dado el segmento AB y su punto medio O, si P es un punto interior al segmento OB , OP = 1y P B = 5, calcular AB .

6) En una lınea recta se ubican los puntos consecutivos A, B , C y D de modo que AB = 2BC y C D = 3BC . Si B C = 1, calcular AD.

Definicion 2.1 1. Raz on : se llama raz´ on, al cociente de dos cantidades, expresadas en la

misma magnitud, por ejemplo a

b.

2. Proporci on : se llama proporci´ on a la igualdad de dos razones. Por ejemplo a

b =

c

d, a los

terminos a y d se les llama extremos y los terminos b y c se les llama medios, al termino dse le llama cuarta proporcional entre a, b y c en este orden.

3. Un punto P ∈ AB divide al segmento AB en una raz´ on r si P A

P B = r. Si r = 1 entonces P

es el punto medio de AB. 1

A BP

Figure 8:

4. Sean AB y CD y sean X ∈ AB y Y ∈ CD, decimos que X e Y dividen a AB y CD en segmentos proporcionales si

XA

XB =

Y C

Y D

Ejemplo 2.2

8 2A BP

P divide AB en la razon P A

P B =

8

2 = 4

Consideremos las divisiones siguientes:

1Cuando el puntos P esta entre los puntos A y B decimos que P divide interiormente al segmento AB en larazon r. Si P no esta entre los puntos A y B, decimos que P divide exteriormente a segmento AB.





A BX

C DY

Figure 9:

x 2 x

3 x3 x

A BP

A BN

P A

P B =

x

2x =

1

2

NA

N B =

3x

6x =

1

2

Dado un segmento AB y una razon k = 1, conseguimos encontrar dos puntos que dividen ABen esta razon: una interior y otra exterior. Cuando AB esta dividido por dos punto P y N , en lamisma razon, decimos que el segmento AB esta dividido armonicamente. Y, los puntos P y N se

llaman conjugados armonicos con respecto a A y B .

Definicion 2.2 ( Divisi´ on arm´ onica)Decimos que los puntos P y N dividen arm´ onicamente al segmento AB cuando

P A

P B =

N A

NB. A BN P

Esta definicion de division armonica es equivalente a los sigueinte: Se dice que dos puntosdividen un segmento de lınea armonicamente si lo dividen interna y externamente en la mismarazon.

2.8 Ejercicios

1. Sobre una linea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B,C y D; tal queAC = 19 y B D = 23. Encuentre la longitud del segmento que une los puntos medios de ABy C D.

2. Sobre una linea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B,C y D; siendoC el puto medio de B D; displaystyle CB

CA = 2

3 y AD = 12. Encuentre C D.

3. Sobre una lınea recta se consideran los puntos consecutivos M, N , P, Q tal que: P Q = 3NP y 3MN + MQ = 4. Encuentre la longitud del segmento M P

4. Sobre una lınea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C y luego se ubican lospuntos medios M y F de AB y MC respectivamente. Encuentre la longitud de AF . SiAB + F C − AM = 2

√ 5.

5. Sobre una lınea recta se consideran los puntos consecutvos A, B,C,D y luego se toman M yF puntos medios de AB y C D respectivamente. Encuentre M F , si: AC = 18 y BD = 34.

6. Dado el segmento AB y un punto M interior a el. Demuestre que si el producto AM · MB,es maximo entonces M es el punto medio de AB .





7. A,B,C y D son puntos colineales y consecutivos tal que: AB ·CD = AD ·BC ; AB · .BC = x;AD · CD = y. Calcule BD.

8. Sobre una ınea recta se consideran los puntos consecutivos A, B,C,D y D tal que: DC =2 · AB; AB = a y B D = b. Encuentre AC .

9. A,B,C y D son puntos colineales y consecutivos. Si AC es la media proporcional2 entre AD

y B D. Calcular k, si: k = 2AD

AC

AB

CD − 1

.

2Dados dos segmentos de longitudes a y b se llama media proporcional a un segmento de longitud x, talque

verifique a

x = x

b.




Geometrıa I. 3 Angulos

3 Angulos

Definicion 3.1 Definimos como ´ angulo a la figura geometrica formada por dos rayos (o semir-rectas) distintas que tienen el mismo origen. Ese origen se l lama vertice del ´ angulo. Al ´ angulo de vertice O y rayos OA y OB se le denota ∠AOB.

Angulo agudo Angulo rectoAngulo obtuso

A

O

B

A

O

B

A

O

B

A

O

B

Figure 10: Ejemplo de angulos

Dos angulos ∠AOB y ∠BOC son adyacentes si y solo si tienen un lado comun OB y los ladosno comunes OA y OC estan en semiplanos distintos, determinados por el lado comun.

A

O

C

B

Figure 11: Ejemplo de angulos adyacentes

Bisectriz de un angulo es la semirrecta que lo “divide” en dos angulos adyacentes iguales.

La construccion con regla y compas de la bisectriz, se hace de la siguiente manera:Hacemos centro en el vertice O del angulo y abriendo el compas la medida que se quiera, se trazaun arco que corta a los lados del angulo en los puntos C y D, Ahora tomamos una abertura delcompas, un poco mayor a la mitad del arco comprendido entre los puntos C y D. La abertura puedeser cualquiera pero tiene que ser un poco mayor a la mitad del citado arco. Con esta abertura setrazar un arco desde C y otro desde D. Se cortan en el punto E. Uniendo E con el vertice O delangulo, obtenemos la BISECTRIZ

Dos angulos son:





Figure 12:

Congruentes o Iguales : si tienen igual medida.

Suplementarios : si su suma es 180 .

Complementarios : si su suma es 90 .

Por otra parte, dos rectas en el plano pueden ser secantes o paralelas ,3

dependiendo si se cortano no; ademas, si las rectas son secantes, el punto de corte es unico, y definen cuatro angulos, quese agrupan por parejas en angulos opuestos por el vertice (las parejas de angulos tales que unoesta formado por la prolongacion de los lados del otro).

C

AD

B

O

Los angulos opuestos por el vertice son iguales (Justifique). Por ejemplo, ∠AOB = ∠COD.Por lo que dos rectas secantes forman cuatro angulos que definen dos parejas de angulos iguales,y si tomamos un miembro de cada pareja, se tienen dos angulos suplementarios. En particular, silas rectas son secantes y forman cuatro angulos iguales, seran llamadas rectas perpendiculares ,4 ylos angulos ası generados son llamados ´ angulos rectos . Y como es muy conocido, un ´ angulo agudoes aquel cuya medida es menor a la de un angulo recto, y un ´ angulo obtuso es aquel cuya medidaes mayor que un angulo recto; en particular, un angulo obtuso sera llamado ´ angulo llano si sumedida es el doble que la de un angulo recto.

3.1 Angulos formados por dos rectas y una trasversal a ellas.

Al intersecar un par de rectas por una recta llamada transversal o secante , se forman los siguientestipos de angulo:

3Si la recta AB es paralela a la recta CD , se denota AB CD .4Si la recta AB es perpendicular a la recta CD , se denota AB ⊥ CD.





α β

γ θ

ε φ

ψ δ

L1

L2

L

´ Angulos internos : γ,θ,ε,φ

´ Angulos externos : α, β, ψ, δ

´ Angulos Correspondientes : Son dos angulos no adyacentes situados en el mismo lado de lasecante, uno en el interior y otro en el exterior: α y ε; β y φ; θ y δ ; γ y ψ .

´ Angulos Alternos Internos : Son dos angulos no adyacentes situados en el interior, y endistintos lado de la secante: γ y φ; θ y ε.

´ Angulos Alternos Externos : Son dos angulos no adyacentes situados en el exterior, y endistintos lado de la secante: α y δ ; β y ψ .

´ Angulos Conjugados : Son dos angulos internos o externos, no adyacentes y situados delmismo lado de la secante:

a) Angulos conjugados internos: γ y ε; θ y φ.

b) Angulos conjugados externos: α y ψ ; β y δ .

Cuando las rectas L1 y L2 son paralelas (L1 L2 ) se cumple que:

1. Los angulos correspondientes soniguales entre sı.

2. Los angulos alternos internos soniguales entre sı.

3. Los angulos alternos externos soniguales entre sı.

4. Los angulos conjugados son suplemen-tarios.

α β

γ θ

ε φ

ψ δ

L1

L2

L





3.2 Problemas

1. Tres angulos adyacentes forman un semiplano y tienen sus medidas proporcionales a losnumeros 5, 7 y 8. Hallar la medida del menor angulo.

2. Demostrar que las bisectrices de dos angulos suplementarios son perpendiculares.

3. En la figura adjunta, L1 L2 yL3 L4. Calcular x.

4. Con ayuda de la figura 13, demuestre que: Si L1 L2 entonces γ = α + β .

Figure 13:

5. En la figura 14, AB F G. Hallar el angulo x si el ∠AMF = 90 y el ∠MAB = 110 .

Figure 14:





6. Calcular el ∠OP Q, si OP es bisectriz del angulo O, L1 L2 y P Q ⊥ L1. Ver figura 15.

Figure 15:

7. En la figura 16, L1

L2 y L3

L4, calcular α.

Figure 16:

8. En la figura 17, calcular x, si L1 L2.

Figure 17:





9. Calcular la medida θ del grafico anexo, si lasrectas L1 y L2 son paralelas.

10. En la figura 18, L1 L2 y L3 L4. Hallar el valor del angulo θ.

Figure 18:

11. Sea ∠AOB = 24 , en la region exterior a dicho angulo se traza el rayo OC. Hallar la medida

del angulo formado por las bisectrices de los angulos AOC y B OC .

12. Del grafico 19, calcular y , cuando x tome su maximo valor entero.

x−

y

x + y

2y−

x

Figure 19:




Geometrıa I. 4 triangulos

4 triangulos

Diremos que tres puntos que pertenecen a una misma recta son puntos colineales ; de maneraanaloga, si tres rectas pasan por un mismo punto, ser an llamadas rectas concurrentes . Si tomamos“al azar” tres puntos en el plano, en muy raras ocasiones estos puntos estaran alineados,5 y diremosentonces que son los vertices de un triangulo; analogamente sucede con las rectas, tres rectas por

lo general no concurren, y la figura geometrica que estas definen es tambien un triangulo.6 Unadefinicion completa para nuestros intereses es la siguiente:

Definicion 4.1 (Definici´ on de Tri´ angulo)

Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales (Ver figura 20), entonces la reunion selos segmentos AB, BC y AC se llama triangulo ABC y se denota por ABC . Los puntosA, B y C se llaman vertices y los segmentos AB, BC y AC se llaman lados . Simbolicamente:ABC = AB ∪ BC ∪ AC .

4.1 Clasificacion de Triangulos

1. Con relacion a sus lados:

(a) Escaleno: si sus tres lados no son congruentes.

(b) Is´ osceles : si por lo menos dos de sus lados son congruentes.

(c) Equil´ atero: si sus tres lados son congruentes (note un triangulo equilatero es tambienisosceles, y que los tres angulos internos son iguales entre sı e iguales a 60)

2. Con relacion a sus angulos internos:

(a) Acut´ angulo: si su angulo mayor es agudo (note que entonces los tres angulos son agudos)(b) Rect´ angulo: si su angulo mayor es angulo recto (note que el angulo en cuestion es unico

y que los otros dos angulos son agudos; ası, en un triangulo rectangulo, la hipotenusaes mayor a los catetos)

(c) Obtusangulo, si el angulo mayor es angulo obtuso (note que el angulo en cuestion esunico y que los otros son agudos; ası, en un triangulo obtusangulo, el lado que se oponeal angulo obtuso es el lado mayor)

Todo triangulo ABC determina tres ´ angulos internos o interiores : ∠ABC , ∠ACB y ∠BAC ,y se llamara ´ angulo externo o exterior , al angulo determinado por un lado y la prolongacion del

lado adyacente, en la figura 20, α, β y θ son angulos exteriores.Dado el ABC , se tiene que AB + BC + CA = p = 2s, donde p es llamado el perımetro y s el

semiperımetro del triangulo. Para abreviar, suele asociarse a cada vertice un lado opuesto, y vicev-ersa, por ejemplo, el lado opuesto de A es BC , y es frecuente que se denote por a; analogamenteb = CA, c = AB.

5En teorıa de probabilidades, ¡la probabilidad que esto ocurra es cero!6El termino mas riguroso para esta figura es tril´ atero. En este caso, habrıa que hacer una consideracion: si hay

un par de rectas paralelas, el trilatero definido ya no es “normal” segun nuestro sentido comun, sin embargo, ¡siguesiendo un trilatero!





Figure 20: Elementos del Triangulo

4.2 Teoremas Fundamentales del Triangulo

(Cada teorema lo demostraremos en clase)

Teorema 1 En todo tri´ angulo, la medida de un ´ angulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ´ angulos interiores del tri´ angulo no adyacentes a el.

La demostracion de este teorema se basa en las relaciones de angulos entre paralelas; se deja allector que haga la demostracion (Sugerencia: por un vertice, trace una recta paralela al lado op-uesto)

Teorema 2 En todo tri´ angulo, la suma de las medidas de sus tres ´ angulos internos es igual a 180 .

Teorema 3 (Desigualdad Triangular) En todo tri´ angulo, la longitud de uno de sus lados est´ a comprendido entre la suma y la diferencia de los otros dos.

Sin ser muy rigurosos, suponga que dado el segmento AB se traza con centro en A una cir-cunferencia de radio r1, y con centro en B una circunferencia de radio r2; si A B < r1 + r2,las circunferencias se cortaran en dos puntos, y cualquiera de ellos puede ser el vertice C , asıAB < BC + CA; en cambio, si AB = r1 + r2 o peor aun, si AB > r1 + r2, la construccion delABC no es posible.

La Desigualdad Triangular es un resultado fundamental, a partir de esta y de su modelo de de-mostracion se generan los Criterios de Congruencia de Tri´ angulos ; a groso modo, si dadas ciertascondiciones, la construccion de una figura geometrica (un triangulo en particular) queda deter-minada de manera unica, entonces dos figuras que reunen las mismas condiciones seran llamadas

figuras congruentes .

Ası, si se tienen tres segmentos (cuyas longitudes cumplen la desigualdad triangular), dejandouno fijo y construyendo las circunferencias con centros en los extremos de este segmento y radioslas longitudes de los otros segmentos, por construccion, solo sera posible obtener dos triangulos(uno con cada punto de interseccion de las circunferencias), que son basicamente el mismo pero





la orientacion de los angulos es contraria; ası, si se sabe que dos triangulos cumplen tener ladosrespectivamente iguales, por construccion, deben de ser iguales. Este es el conocido criterio LLLde congruencia de triangulos; mas adelante se detallaran el resto de criterios, pero a partir de esteprobaremos el siguiente resultado:

Teorema 4 En todo tri´ angulo, se cumple que a lados iguales se oponen ´ angulos iguales, y vicev-ersa.

Suponga que ABC es tal que AB = AC , entonces, por criterio LLL, ABC es congruenteal ACB (en ese orden, porque AB = AC , BC = CB y C A = BA), entonces, los angulos que seoponen a los angulos iguales son iguales. Para el recıproco necesitamos otro criterio de congruen-cia, por lo que la demostracion se dejara incompleta; retome esto en la seccion de congruencia detriangulos.

Teorema 5 En todo tri´ angulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ´ angulo y viceversa.

Este teorema se deja como ejercicio para el lector (Sugerencia: utilice el teorema anterior, tomeel lado mayor y defina un punto adecuado que genere un triangulo con dos lados iguales.)

4.3 Perpendicularidad

Mediatriz de un segmentoSe llama mediatriz del segmento AB a la recta que es perpendicular a este segmento y que pasapor su punto medio. La mediatriz divide al segmento AB en otros dos segmentos de igual longitud.La recta mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de cualquier punto de esa recta acada uno de los dos extremos del segmento AB es la misma.

Construccion de la mediatriz.Vamos a construir la mediatriz de un segmento utilizando, como en casos anteriores, la regla yel compas. Para ello representa dos puntos y traza el segmento que los une utilizando la regla.Coloca el compas sobre uno de los extremos del segmento y abrelo para que coincida con el otroextremo. Traza ası una circunferencia. Haz la misma operacion apoyando el compas sobre elotro extremo. Une ahora los puntos donde se cortan las dos circunferencias que acabas de trazar.El nuevo segmento es perpendicular al inicial y si lo prolongas obtendras la recta mediatriz quebuscabas.

Distancia de un punto a una recta. En la figura 22, sea P un punto exterior a una recta

L, la longitud de la perpendicular P M a la recta L es la distancia del punto P a dicha recta . Estaperpendicular tiene la propiedad de ser unica y su longitud es la distancia mınima del punto a larecta (Pruebelo utilizano el hecho que la hipotenusa es mayor que los catetos). Los segmentos P Ay P B no son perpendiculares a L y se llaman oblicuas.

Altura de un triangulo.la altura es la menor distancia entre un vertice y el lado opuesto (o su prolongacion), por lo que acada vertice le corresponde una altura. Tambien utilizamos el nombre de altura para referirnos ala recta que pasa por un vertice y es perpendicular al lado opuesto, pues es sobre esta recta sobrela que medimos esa distancia.Construccion de la altura.





Figure 21:

Figure 22:

Con C como centro y un radio suficientemente grande, construya un arco que corte a AB en P y Q.Con P y Q como centros y un radio mayor que la mitad de P Q, construya arcos que se intersectenen R. Trace C R que intersecta a AB en N. C N es la altura con respecto al lado AB.

Figure 23:

Teorema de PitagorasAbordamos el estudio de las Relaciones Metricas , del cual solo realizaremos el analisis del famosoTeorema de Pit´ agoras , cuyo enunciado es el siguiente:





Teorema 6 (Teorema de Pit´ agoras) En un tri´ angulo rect´ angulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Una demostracion de este teorema es debida a Thabit ibn Qurra (836-901), la cual consiste endiseccionar la figura que se forma al construir dos cuadrados de lados respectivamente iguales alos catetos de un triangulo rectangulo, como se muestra en el grafico 24.

Figure 24:

Teorema 7 (Recıproco del teorema de Pit´ agoras) Si en un tri´ angulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el tri´ angulo es rect´ angulo.7.

4.4 Rectas Notables de un triangulo

1. Altura: Se llama altura de un triangulo al segmento que parte de uno de sus vertices y llegaen forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongacion.

2. Mediana: Se llama Mediana al segmento que une un vertice con el punto medio del ladoopuesto.

3. Mediatriz: Se denomina mediatriz de un lado de un tri angulo es la recta perpendicular adicho lado en su punto medio.

4. Una Bisectriz: La bisectriz es la recta que “divide” en dos angulos iguales a un angulo dado;en particular, es bisectriz interna si es la bisectriz de un angulo interno de un triangulo, ybisectriz externa si es la bisectriz de un angulo externo de un triangulo.

4.5 Ejercicios

1. En la figura adjunta ambos triangulos sonequilateros. Encuentre el valor de ϕ.

7Ver demostracion en la seccion de congruencia de triangulos (pagina 32)





2. En la figura 25, calcular el ∠x si el ∠AOB = 100 y L1 L2.

Figure 25:

3. (*) En la figura 26, ABDE es un cuadrado y BCD es un triangulo isosceles con B D = DC .

Si ∠ABC = 160 , determinar la medida de ∠AEC .

Figure 26:

4. (*) (XV Competencia de Clubes Cabri Primera Ronda) En la figuraadjunta, ABCD es un rectangulo tal que AB = 2BC . M es elpunto medio de AB y los triangulos AM E y M BF son equilateros.Si P es la interseccion de las rectas DE y CF , encuentre los angulos

del CDP .

5. Probar que una bisectriz exterior de un triangulo es paralela al lado opuesto si y solo si eltriangulo es isosceles.

6. Si AB y F G son rectas paralelas, el ∠ABC = ∠CDE = θ, el ∠DEF = θ2

y el ∠GF H = 150 .Calcule θ. Figura 27





Figure 27:

7. (*) Hallar la suma de los angulos α + + θ + φ en la figura 28.

Figure 28:

8. Determine el valor de la suma ∠A + ∠B + ∠I + ∠H + ∠F + ∠G. Figura 29.

Figure 29:

9. En el ABC el ∠BAC = 36 y AC = AB. Probar que la bisectriz interior BD (D en AC )es congruente con el lado BC .





10. Sea ABC un triangulo rectangulo en B con AB = BC , se construye exteriormente eltriangulo equilatero B CD. Encuentre el angulo ∠DAB.

11. En el ABC , AB = AC y D un punto sobre la recta AC , tal que BC = BD = DA.Determine la medida del angulo ∠ABD, si:

(a) D esta entre A y C .(b) A esta entre D y C .

12. En un ABC , D es un punto sobre el lado AC tal que AB = AD. Si ∠ABC −∠ACB = 90 ,hallar el ∠CBD.

13. Se tiene un triangulo isosceles ABC , AB = BC en el cual se traza al altura AF tal queBF = 6 y F C = 2. Hallar AC .

14. En la figura 30, el ∠ABC = ∠ACE , DC = EC , ¿Que lınea notable es AD del BC A?

Figure 30:

15. ¿Cual es el valor de b − a en la figura 31?

Figure 31:

16. (*) Sea ABC un triangulo tal que las medianas respectivas a B y C son perpendiculares.Demuestre que se cumple la relacion.

5BC 2 = CA2 + AB2.





17. La hipotenusa BC de un triangulo rectangulo ABC se divide en 4 segmentos congruentespor los puntos G, E y H . Si B C = 20, encuentra la suma de los cuadrados de las longitudesde los segmentos AG, AE y AH . Figura 32.

Figure 32:

18. (*) Dado un cuadrado ABCD, se construyen los triangulos equilateros ABP (exteriormente)

y ADQ (interiormente). Probar que C , P y Q estan alineados.

19. (*) Sea ABC un triangulo rectangulo con ∠CAB = 90 . D es un punto sobre la prolongacionde B C tal que B D = BA. E es un punto en el mismo semiplano que A respecto de BC , talque C E ⊥ BC y ademas C E = CA. Mostrar que A, D y E estan alineados.

20. El cuadrilatero ABCD mostrado en la figura 33 cumple que AB CD y B C DA.8 Sobrelas prolongaciones de AB y AD se construyen puntos E y F tales que BC = BE y DC = DF .Demuestre que C , E y F estan alinedos.

Figure 33:

21. (*) En la figura adjunta, AB = BC = CD =DE = EF = F G = GA. Calcule la medida del∠DAE .

8El cuadrilatero ABCD es un paralelogramo.





22. (*) (XXVIII Olimpiada Brasilena de Matematica) En la figura 34, AB = AC , AM = AN y∠CAM = 30 , encuentre el valor del ∠BM N .

Figure 34:

23. Los lados de un triangulo isosceles son 12 y 5 metros, ¿cual es su perımetro?

24. Muestre que los lados de un triangulo cumplen que |a − b| < c y que c < a+b+c2

.

25. Muestre que es posible construir un triangulo con segmentos de longitudes a, b, c si y soloexisten numeros positivos x, y, z tales que: a = x + y, b = y + z , c = z + x.

26. (*) (Etapa semifinal Estatal de XXII Olimpiada Mexicana de Matematicas) En la figura35 se muestra un hexagono regular ABCDEF de lado 1. Los arcos del cırculo que estandibujados tienen centro en cada vertice del hexagono y radio igual a la distancia al verticeopuesto. P , Q, R, S , T y U son los puntos de corte de estos arcos. ¿Cuanto mide cada ladodel hexagono PQRSTU ?

Figure 35:

4.6 Congruencia de Triangulos.

Definicion 4.2

El ABC es congruente al ABC si: AB = AB, AC = AC , BC = B C , ∠ABC = ∠ABC ,∠ACB = ∠AC B y ∠BAC = ∠BAC . Simbolicamente: ABC = ABC . Vease figura 36.





Figure 36: Definicion de Igualdad de Triangulos.

La definicion anterior establece que dos triangulos son congruentes si tanto los lados como losangulos se presentan en pares respectivos congruentes. Esto, segun la vision de Euclides, significaque un triangulo es posible superponerlo sobre el otro (se puede desplazar, girar o reflejar) y coin-cidira de manera perfecta. Sin embargo, es importante mencionar que en muy raras ocasiones setendra a disposicion tanta informacion, de allı la importancia de los criterios de congruencia, queestablecen los requisitos mınimos para garantizar que dos triangulos son congruentes.

4.6.1 Criterios de Congruencia de triangulos

El siguiente es el primero de los tres criterios de congruencia de triangulos, y se denomina criteriode LADO-ANGULO-LADO, en sımbolos: L-A-L.

Criterio L-A-L. Si los triangulos ABC y ABC presentan las congruencias: AB = AB,AC = AC y ∠BAC = ∠BAC , entonces ABC = ABC .

Figure 37: Criterio LAL

Segun el criterio L-A-L, dos triangulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados yel angulo (comprendido entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el angulo(comprendido entre dichos lados), en el otro triangulo.

Criterio A-L-A. Sean ABC y ABC dos triangulos tales que: AC = AC , ∠BC A =∠BC A y ∠BAC = ∠BAC , entonces ABC = ABC .





Figure 38: Criterio ALA.

Criterio L-L-L. Si un triangulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los treslados de otro triangulo, entonces estos dos triangulos son congruentes.

Figure 39: Criterio LLL.

Ahora demostraremos el Recıproco del Teorema de Pit´ agoras (pagina 25).

Demostracion: Sea ABC un triangulo talque BC 2 = AB2 + AC 2, por construccion sea elABC rectangulo en A tal que AB = AB y AC = AC , entonces por el teorema de PitagorasBC 2 = AB2+AC 2, ası que B C 2 = BC 2, de donde B C = BC y por el criterio LLL, se deduce

que el ABC = ABC , por lo tanto el ∠BAC = ∠BAC = 90

.

4.6.2 Teorema de la Base Media

En todo triangulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado eigual a su mitad.

Figure 40: Teorema de La Base Media.

En la figura 40, M N es el segmento que une los puntos medios de los lados AB y BC del ABC ,

a este segmento se le llama BASE MEDIA DEL TRI ´ ANGULO . Se verifica que M N = AC

2 y que





MN AC .Demostracion:

1. Prolongar el segmento MN hasta el punto P tal que M N = N P .

2. Los triangulos M N B y P NC son congruentes, ya que BN = N C , M N = N P y el ∠CN P =∠MN B, por consiguiente, el ∠NCP = ∠MBN , por lo tanto, CP

MB (Por angulos

alternos internos iguales). Ademas, P C = M B = M A; con lo cual se tiene que: MA = P C .

3. Uniendo el punto A con el punto P se forman los triangulos congruentes AM P y AC P (porL A L) ya que MA = P C , AP = AP , ∠MAP = ∠AP C (por angulos alternos internosentre las paralelas MA y P C ). Luego, MP = AC , entonces NP = 1

2MP = 1

2AC . Ademas,

∠P AC = ∠MP A, de donde M P AC o que M N AC .

Corolario: Menor mediana de un triangulo rectangulo. En todo triangulo rectangulo,la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la longitud de la hipotenusa y es la menor delas tres medianas del triangulo.

Demostracion: En la figura 41, BM es la mediana relativa a la hipotenusa AC del ABC ,probaremos que BM = AC

2 ; (con lo cual se tendra que BM = AM = MC ). Si por M se traza

una paralela al lado AB, que corte al lado BC en N , entonces N es el punto medio de BC y el ∠MN C = 90 , los triangulos BN M y CNM son congruentes por el criterio L-A-L, luegoMB = M C = AM .Probar que BM es la menor mediana (Ejercicio).

Figure 41: Menor Media en un Triangulo Rectangulo.

4.6.3 Ejercicios

1. (*) En la figura adjunta, ABC es un triangulo equilateroy CDEF es un cuadrado. Se construye un punto G talque CF = CG y ademas ∠CF G = 15 . Probar que∠AGC = ∠BDC .

2. Dado un triangulo equilatero ABC , se construye un triangulo equilatero DE F cuyos verticesestan sobre los lados del ABC , tal como muestra la figura 42. Demuestre que los triangulosADF , B ED, C F E son todos congruentes entre si.





Figure 42:

3. ABCD es un cuadrado, E , F , G y H son puntos sobre los lados AB, BC , CD, DA,respectivamente, tal que EFGH tambien es cuadrado. Demuestre que los triangulos AEH ,BF E , C GF , DHG son todos congruentes entre si. Figura 43.

Figure 43:

4. ABCDE y F GHIJ son pentagonos regulares (Vease figura 44). Demuestre que los triangulosAF J , B GF , CHG, DIH , EJ I son todos congruentes entre si.

Figure 44:





5. Si AB CD y AB = CD entonces, AD = BC y AD BC 9.

6. Demuestre que dos triangulos desplazadosson congruentes. Sugencia: Utilice el prob-lema anterior.

7. Demuestre que dos triangulos rotados son congru-entes.

8. Demuestre que dos triangulos reflejados con respecto a un punto 10 son congruentes.

9. Demuestre que dos triangulos reflejados con respecto auna recta son congruentes.

9El cuadrilatero ABCD se denomina paralelogramo.10La reflexion con respecto a un punto es equivalente a una rotacion de 180





Importante: Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no cambian el tamano ni la forma deun triangulo.

10. (*) En la figura adjunta, ABCD un cuadrado y EF ⊥ GH .Demuestre que que E F = GH .

11. Dos cuadrados ABCD y EHGF , ambos de lado l,estan colocados en manera tal que un vertice de unoesta en el centro del otro (como en la figura anexa).

Demuestre que el area del cuadrilatero EJBK es l2

4y por ende no depende de la posicion de J (o K ).

12. En un ABC el ∠B = 2∠C , la mediatriz del lado AC corta en F al lado B C . Hallar AB,si F C = 9.

13. En la figura 45, AC = 12 AF = 4 y ∠BAF = 30. Hallar B F si AG = GC .

Figure 45:

14. En la figura 46, AG = GC , el ∠AF G = 20 . Hallar el ∠F AC , si AC = 2BF .





Figure 46:

15. (*) (Examen final de XVI Olimpiada Mexicana de Matematica) Los angulos de un trianguloABC estan en progresion aritmetica (∠B −∠A = ∠C −∠B = θ), D, E , y F son los puntosmedios de los lados BC , CA y AB, respectivamente. Llamamos H al pie de la altura trazadadesde C (que cae entre B y F ) y G a la interseccion entre DH y EF . Hallar los angulos delF GH .

16. (*) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen triangulos equilateros ADP y ABQ como semuestra en la figura 47. Sea M la interseccion de CQ con AD y N la interseccion de CP con AB . Demuestre que C MN es un triangulo equilatero.

Figure 47:

17. En la figura 48, ABC , CDE y EF A son triangulos isosceles, con el ∠ABC = ∠CDE =∠EF A = 120 . Probar que el BDF es equilatero.





Figure 48:

18. (*) ABC es un triangulo isosceles con ∠ABC = ∠ACB = 80 . D es un punto en AC talque ∠ABD = 10 . Demuestre que AD = BC .




Geometrıa I. 5 Cuadrilateros

5 Cuadrilateros

5.1 Clasificacion de Cuadrilateros (De acuerdo a sus diagonales

Los cuadrilateros pueden clasificarse de acuerdo a sus diagonales de la siguiente forma:

Cuadrilatero Convexo: Es un cuadrilatero con las dos diagonales en su interior.A

BC

D

Cuadrilatero Entrante: Es un cuadrilatero con una diagonal en el interior y otra en el ex-terior.

A

BC

D

Cuadrilatero Cruzado Es un cuadrilatero con las diagonales en su exterior.

AB

C

D

11

Es muy frecuente que se considere que un cuadrilatero es convexo, a menos que se especifiquelo contrario. Esto es ası porque muchos resultados son mas claros en un cuadrilatero convexo, sinembargo, es importante darse cuenta que existen teoremas que no se cumplen para cualquier tipode cuadrilateros, por ejemplo:

Teorema: La suma de los angulos internos de un cuadrilatero no cruzado es 360◦.

La demostracion de este resultado se basa en la diseccion del cuadrilatero en dos trianguloscuyos angulos internos conforman los angulos internos del cuadrilatero, sin embargo, estas condi-ciones no pueden lograrse en un cuadrilatero cruzado; de hecho, la suma de los angulos internos

11Tanto los cuadrilateros convexos como los entrantes son cuadrilateros simples , que son los cuadrilateros cuyoslados no se cortan salvo en los extrenos; en contraposicion, los cuadrilateros cruzados no son simples.





puede hacerse arbitrariamente pequena cuando el cuadrilatero es cruzado.

Tambien hay otras clasificaciones de cuadrilateros de acuerdo a sus lados y angulos.

Cuadrilatero Equiangulo: un cuadrilatero (convexo) es equiangulo si todos sus angulos in-ternos son iguales; dado el teorema anterior, los angulos son iguales a 90◦, por ello este cuadrilatero

es llamado rect´ angulo.

Cuadrilatero Equilatero: un cuadrilatero (convexo) es equilatero si todos sus lados soniguales. A este cuadiratero tambien se le conoce como rombo.

Cuadrado: es un cuadrilatero que es equiangulo y equilatero.

A

BC

D

Paralelogramo: es un cuadrilatero con los lados opuestos paralelos.

Trapecio: es un cuadrilatero con un par de lados opuestos paralelos.12

5.2 Paralelogramos

Es el cuadrilatero que tiene sus lados opuestos paralelos y congruentes. En todo paralelogramo secumple que sus angulos opuestos son congruentes y sus diagonales se bisecan. El paralelogramotambien se conoce como romboide.

AB

C D

E

F

Dado el paralogramo ABCD, por propiedades de angulos entre paralelas es posible probar elsiguiente resultado:

Teorema: Los angulos opuestos son iguales y los angulos consecutivos son suplementarios:∠ABC = ∠CDA = θ y ∠BC D = ∠DAB = 180 − θ.

12Note que un paralelogramo es tambien un trapecio.





Por otra parte, por criterio ALA, ABC ≡ CDA; esto implica que AB = CD y BC = DA,i.e.

Teorema: Los lados opuestos de un paralogramos son iguales.

A partir de esto, si M es la interseccion de AC con BD, por criterio ALA,

ABM

≡ CDM ,

por lo que AM = CM y BM = DM , i.e.

Teorema: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Ademas, se cumple un resultado sofisticado y muy importante:

Teorema: Ley del Paralelogramo. Si ABCD es un paralelogramo entonces el doble de lasuma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, es decir

2

AB2 + BC 2

= AC 2 + BD2

. Demostracion: Aplicando la Ley del Coseno a ABC y ABD se tiene

AC 2 = AB2 + BC 2 − AB · BC cos θ

DB2 = AB2 + AD2 − AB · AD cos(180 − θ)

⇒ AC 2 + DB2 = 2

AB2 + BC 2− AB · BC (cos θ + cos(180 − θ))

y dado que cos θ = − cos(180 − θ) el resultado se sigue inmediatamente.

5.3 Rectangulos

Rectangulo: Sus cuatro angulos son igual a 90 , sus lados opuestos son iguales y paralelos.

A B

C D

En primer lugar, es importante notar que todo rectangulo es paralelogramo (por angulos entre

paralelas), por lo que todos los resultados probados anteriormente son heredados a todo rectangulo;pero los rectangulos tienen propiedades adicionales:

Observe que por criterio LAL, ABC ≡ ABD, por lo que AC = BD y entoncesTeorema: Las diagonales de un paralelogramo son iguales; ademas, el punto de interseccion

de estas equidista de los cuatro vertices y por tanto es el centro de una circunferencia que pasapor todos los vertices.

Por otra parte, observe que si se aplica la ley del paralelogramo a un rectangulo se obtiene elTeorema de Pit´ agoras .





5.4 Rombos

Rombo: Sus cuatro lados son iguales.

A

B

C

D

Dado un rombo ABCD, por criterio LLL, ABC ≡ CDA, y por lo tanto ∠BAC = ∠DAC y ∠BC A = ∠DAC , lo cual implica BC AD y AB CD, i.e., todo rombo ABCD es un paralel-ogramo. Ademas, por las mismas congruencias se tiene

Teorema: Las diagonales de un rombo cumplen ser una mediatriz de la otra.

Teorema: Las diagonales de un rombo bisecan a los angulos interiores del rombo; esto implicaque el punto de corte de las diagonales equidista de los cuatro lados del rombo y es el centro deuna circunferencia tangente a estos.

Observaciones.

1. Un cuadrilatero es un para lelogramo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

(a) Sus lados opuestos son paralelos.(b) Sus lados opuestos son congruentes.

(c) Dos lados son congruentes y paralelos.

(d) Sus angulos opuestos son congruentes.

(e) Sus diagonales se bisecan entre sı.

2. Se cumple la siguiente relacion de inclusıon.

Paralelogramo

Rectangulos Cuadrados

Rombos





5.5 Trapezoides

Es un cuadrilatero que no tiene pares de lados paralelos. Los trapezoides se clasifican en:Trapezoide asimetrico: No tiene ningun par de lados paralelos o congruentes.

A

BC

D

Trapezoide simetrico: Dos pares de lados consecutivos son congruentes; ademas una de lasdiagonales es mediatriz de la otra.

B

C A

D

5.6 Trapecios

Es el cuadrilatero que tiene dos lados paralelos denominados base y los otros dos no son paralelos.La distancia entres sus bases se llama altura, y el segmento que une los puntos medios de los ladosno paralelos se denomina mediana.

Sea M y N los puntos medios de AD y B C . AB DC .

Base Menor

Base MayorA

B

C D

E F

G

Los trapecios se clasifican en: Trapecio escaleno: Es aquel en que sus lados no paralelos sondiferentes.





AB

C D

Trapecio isosceles:Es aquel en sus lados no paralelos son congruentes. AB = CD

AB

C D

Trapecio rectangulo: Cuando uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

AB

C D

Dado el trapecio ABCD (con AB CD), se construyen los puntos medios de BC y DA, M y N , respectivamente. Si el cuadrilatero MNAB se rota con centro en M y angulo 180 se generaun cuadrilatero MN AC ; observe que ND = N A y N D N A, por lo que DN N A es unparalelogramo y

N N = DA

2MN = DC + CA

2MN = DC + AB

⇒ MN = AB + CD

2

El segmento M N es llamado base media del trapecio, y por lo recien demostrado se tiene

Teorema: La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases.

Por otra parte, hay ciertos trapecios que reciben nombres particulares; el trapecio rect´ anguloes aquel que las bases son perpendiculares a alguno de los otros lados; y por otra parte, el trapeciois´ osceles es aquel que los lados (distintos de las bases) tienen igual longitud. 13

13Los trapecios isosceles son muy importantes cuando se estudian los angulos en la circunferencia; resulta que untrapecio es isosceles si y solo si los cuatro vertices se ubican sobre una misma circunferencia.





Area de un cuadrilatero: ¿ Que es el area de una figura plana ?Vamos a llamar area a la medida de la superficie que hay dentro de una figura en dos dimensiones,es decir, una figura plana. Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

Figure 49:

Para calcular el area de una superficie debemos compararla con otra que elegimos como unidadde superficie, y averiguar el numero de unidades que contiene. Teniendo en cuenta la definicion quehemos visto para el area de una figura, podemos aplicarla a figuras sencillas y obtener expresiones

generales para cada una de ellas. Consideremos el siguiente rectangulo de 8cm de ancho y 4cm dealtura. Realizamos un analisis similar al del cuadrado. Si tomamos como unidad de medida lasuperficie que ocupa un cuadrado que tiene lados de longitud 1, podemos observar que el cuadradopequeno cabe 32 veces en el rectangulo. Entonces el area del rectangulo es igual a 32.

5.7 Problemas

1. Dado el trapecio ABCD con AB CD, demuestre que la bisectriz interior del ∠A es paralelaa la bisectriz exterior del ∠D.

2. A un rombo ABCD se le construyen exteriormente los cuadrados ABEF y BCGH . De-

muestre que ABD = EB H .

3. (*) Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen triangulos equilateros exteriores CDP yADQ. Demuestre que el BP Q es equilatero.

4. Demuestre que las bisectrices interiores de un paralelogramo forman un rectangulo (¿quesucede si el paralelogramo es ademas rombo?).

5. Demuestre que las bisectrices exteriores de un paralelogramo forman un rectangulo.

6. Sea ABCD un paralelogramo. La bisectriz interna del ∠CDA corta a BA en M , y la bisectrizinterna del ∠BAD corta a C D en N . Demuestre que ADNM es un rombo.

7. Demuestre que si por el punto de interseccion de las diagonales de un rombo se trazan perpen-diculares a los lados del rombo, entonces los puntos de interseccion de dichas perpendicularescon los lados del rombo forman un rectangulo.

8. Demuestre que las bisectrices de los angulos definidos por las diagonales de un rombo, cortana los lados del rombo en cuatro puntos que forman un cuadrado.

9. En un ABC sea G la interseccion de las medianas BB y CC . Sean B , C las reflexionesde G respectivas a los puntos B y C .





a) Demuestre que AGCB y AGBC son paralelogramos.

b) A partir de lo anterior, demuestre que B CBC tambien es paralelogramo.

c) Demuestre que A pertenece a la recta AG, y concluya que las tres medianas de untriangulo concurren en el punto G, llamado el centroide del ABC .

d) Demuestre que C G = 2GC ; relaciones similares se cumplen para las otras dos medianas.

10. Teorema de Varignon: Dado un cuadrilatero ABCD (no necesariamente convexo), seconstruyen los puntos medios L, M , N , O, P , Q, de los segmentos de recta AB, BC , CD,DA, B D, AC , respectivamente. Figura 50.

a) Demuestre que LMNO, LPN Q, OPM Q, son paralelogramos.

b) Demuestre que LN , OM , P Q concurren en un punto, llamado el centroide del cuadrilateroABCD.

c) Demuestre que el perımetro de LMNO es igual a AC + B D; resultados similares secumplen para los otros paralelogramos.

Figure 50: Teorema de Varignon

11. Sea ABCD un paralelogramo tal que existe un punto E sobre el lado AB que cumple∠CED = 90. Sean M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde A y B hacia DE y C E , respectivamente. Demuestre que AC , B D y M N concurren.

12. (*) (Hector Alberti) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen los triangulos equilateros BDA,ACB, B DC y ACD . Demuestre que el ABC D es tambien un cuadrado.

13. (*) (II Olimpiada Matematica del Cono Sur) En la figura 51 ABCD y AECF son paralelo-gramos. Demuestre que BEDF es paralelogramo.

14. (*) ABCD es un cuadrilatero convexo y O es un punto en su interior. Sean P , Q, R, S , lospuntos medios de los lados AB, BC , C D, DA, respectivamente. Por P se traza una paralelaa OR, por Q se traza una paralela a OS , por R se traza una paralela a OP , y por S se trazauna paralela a OQ. Demuestre que estas cuatro rectas concurren.

15. (*) Un trapecio isosceles tiene diagonales perpendiculares y su area es 2010, determine sualtura.





Figure 51:

16. (*) (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea ABCDEF un hexagono regular

cuyo centro es O. Se construyen los cuadrados FSOP y ORCQ. Demuestre que APQB ySEDR son rectangulos. Figura 52.

Figure 52:

17. (*) Sobre los lados del ABC se trazan exteriormente los cuadrados ABPQ, CARS y

BCTU . Luego se trazan los paralelogramos AQAR, C SC T y B U BP .(a) Sean A, B , C los centros de los cuadrados BCTU , CARS , ABP Q, respectivamente.

Demuestre que estos centros estan sobre los lados del ABC .

(b) Demuestre que AA, B B, C C concurren.

18. (*) Se dibujan cuadrados exteriores a los lados de un paralelogramo, demuestre que:

(a) El cuadrilatero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.

(b) Las diagonales de ese cuadrado son concurrentes con las del paralelogramo.





19. (*) Dado un ABC , se construyen exteriormente los triangulos rectangulo isosceles ACP y BC Q, con AC y B C como hipotenusas. Si M es el punto medio de AB, demuestre queel MP Q tambien es un triangulo rectangulo isosceles.




Geometrıa I. 6 La Circunferencia

6 La Circunferencia

6.1 Elementos de la circunferencia

Una circunferencia es el lugar geometrico de puntos que equidistan de un punto dado, llamado elcentro de la circunferencia; la distancia de cada punto de la circunferencia al centro es el radio.

Por otra parte, todos los puntos que estan a una distancia del centro menor o igual al radioforman el cırculo; estos puntos quedan “al interior” o sobre la circunferencia.

Si A y B son dos puntos de una circunferencia, el segmento de recta AB define una cuerda ;en particular, si el centro de la circunferencia pertenece a la cuerda, esta es llamada di´ ametro.Es importante mencionar que para cada punto de la circunferencia existe exactamente un puntodiametralmente opuesto.

En la figura 53, se tiene una circunferencia de centro O y radio r = OA = OB = OA; AB yAA son cuerdas, pero AA es tambien diametro, i.e, A es diametralmente opuesto a A y viceversa.

Observe que por la desigualdad triangular aplicada al triangulo isosceles AOB

Figure 53:

AB < AO + BO

= r + r

= AA

Si A es un punto fijo, esta desigualdad es valida para cualquier punto B sobre la circunferencia

(excepto cuando B = A lo cual implica AB = AA). Esto quiere decir que el diametro es la mayorde todas las cuerdas.

6.2 Angulos en la circunferencia

A las porciones de circunferencia que quedan entre dos puntos ubicados en la circunferencia, seles llama arcos de circunferencia ; note que dos puntos sobre una circunferencia definen dos ar-cos de circunferencia. Tambien, si un angulo tiene vertice sobre el centro de la circunferencia yesta formado por dos radios, sera llamado ´ angulo central ; de nuevo, ∠AOB hace referencia a dosangulos, cuya suma es 360, y subtienden respectivamente a uno de los arcos AB. Finalmente, si





un angulo tiene el vertice sobre la circunferencia y esta formado por dos cuerdas, sera llamado´ angulo inscrito; en la figura anterior, ∠AAB es un angulo inscrito que subtiende al arco AB .

Teorema: El angulo central es el doble del angulo inscrito que subtiende el mismo arco.

Demostracion: Considere la figura 54, se demostrara que ∠AOB = 2∠AP B en los tres casos

mostrados. En la circunferencia de la izquierda, sea P el punto diametralmente opuesto a P ;observe que AP O y BP O son triangulos isosceles, y por el teorema del angulo externo se tiene

∠AOB = ∠AOP + ∠BOP

= (∠AP O + ∠OAP ) + (∠BP O + ∠OBP )

= 2∠AP O + 2∠BP O

= 2 (∠AP O + ∠BP O)

= 2∠AP B

Figure 54:

El caso de la circunferencia del medio es mas sencillo y se deja como ejercicio para el lector.Para la circunferencia de la derecha, el trabajo es analogo y solo cambia en un pequeno arregloalgebraico

∠AOB = ∠BOP − ∠AOP

= (∠BP O + ∠OBP ) − (∠AP O + ∠OAP )

= 2∠BP O − 2∠AP O

= 2 (∠BP O − ∠AP O)

= 2∠AP B

Corolario: Todos los angulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales (Ver figura

55). En particular, los angulos internos son iguales a 90 si subtienden a una semicircunferencia.

Demostracion: Todos los angulos mostrados en la figura 55 son iguales a la mitad del ∠AOB,y por tanto, son iguales entre sı. En particular, si AB fuera un diametro, ∠AOB = 180 y portanto ∠AP B = 90 . 14

Hay un par de angulos mas que son importantes: Si un punto P es interno a la circunferencia,el angulo de vertice P formado por dos cuerdas que pasan por P se llama angulo interior . De

14Observe que en cualquier triangulo rectangulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vertices.





Figure 55:

forma similar, si P es exterior y dos cuerdas de la circunferencia (al prolongarse) pasan por P , elangulo con vertice P es llamado angulo exterior .

Dejamos como ejercicio demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Los angulos interior y exterior mostrados en la figura 56 cumplen las formulassiguientes:

∠AQC = ∠BOD + ∠AOC

2

∠AP C = ∠BOD − ∠AOC

2

Figure 56:

6.3 Cuadrilateros Concıclicos

Ahora suponga que sobre una circunferencia se ubican cuatro puntos A, B, C , D, como se muestraen la figura 57. Al cuadrilatero ABCD se le llama cuadril´ atero cıclico o concıclico. Observe que

∠ABC + ∠CDA = α

2 +

β

2 = 180◦.





Figure 57:

Y analogamente ∠DAB +∠BC D = 180 . Esto significa que si ABCD es un cuadrilatero cıclicoy convexo, entonces los angulos opuestos son suplementarios. Tambien, es posible demostrar por

contradiccion el recıproco de este resultado: si suponemos que ABCD es tal que ∠B + ∠D = 180pero no es cıclico, se define el punto D como la otra interseccion de AD con el circuncırculo delABC , y como ABCD es cıclico (por construccion) entonces ∠B +∠D = 180, luego, ∠D = ∠D,lo cual implica la contradiccion CD CD (rectas paralelas que se cortan en C ). Ası, se ha de-mostrado el siguiente teorema:

Teorema: El cuadrilatero convexo ABCD es un cuadrilatero cıclico si y solo si

∠A + ∠C = 180◦ = ∠B + ∠D

Tambien, otro criterio muy util y cuya demostracion tambien se basa en el corolario anterior

es

Teorema: El cuadrilatero convexo ABCD es un cuadrilatero cıclico si y solo si se cumplealguna de las siguientes igualdades

∠ABD = ∠ACD

∠BC A = ∠BDA

∠BAC = ∠BDC

∠CAD = ∠CBD

Es importante recalcar que NO todo cuadrilatero puede ser inscrito en una circunferencia; porejemplo, un paralelogramo no sera cıclico a menos que sea rectangulo.

Teorema de Miquel: Si D, E, F son tres puntos cualesquiera en los lados BC,CA, AB deltriangulo ABC , entonces las circunferencias que pasan por las tercias de puntos B , D, F ; C, E, D; A,F,Etienen un punto en comun. Ver figura 58

Prueba: (Ejercicio, Use concıclicos )Teorema: La Recta de Simson-Wallace. Sean X , Y y Z los pies de las alturas trazadas

desde un punto P en el circuncırculo del ABC hacia AB, BC y CA, respectivamente, soncolineales.





Figure 58:

6.4 Rectas y Circunferencias tangentes a una circunferencia

Dada una circunferencia, una recta puede ser tangente o secante a la circunferencia, dependiendosi la corta en uno o dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso, se dice que la recta nocorta a la circunferencia.15

Sea l una recta secante a la circunferencia que corta a la circunferencia en A y B (A = B);como el AOB es isosceles, ∠OAB < 90. Recıprocamente, si por A se traza una recta l tal queuno de los angulos que forma con OA es menor que 90, se puede construir un punto B sobre l talque ∠OAB = ∠ABO < 90 y A = B (basta proyectar O sobre l y luego reflejar A con respecto aeste punto, el resultante es el punto B); entonces el AOB es isosceles, por lo que OA = r = OB,i.e. B pertenece a la circunferencia y por tanto l corta a la circunferencia en dos puntos distintos.Ası

Teorema: Una recta l corta a una circunferencia de centro O en dos puntos distintos A y Bsi y solo si un angulo entre l y OA es agudo.

Corolario: Si l es una recta tangente en A a una circunferencia de centro O, ninguno de losangulos entre l y OA puede ser agudo, y por tanto l ⊥ OA.

A partir de este resultado se prueban otros resultados muy conocidos y utiles, que dejamos deejercicios para el lector.

Teorema: Dado un punto P externo a una circunferencia de centro O, si P A y P B son seg-mentos tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente, entonces el cuadrilatero P AOBes cıclico y bisosceles.

Corolario: Dado un punto P externo a una circunferencia de centro O, la circunferencia dediametro P O corta a la circunferencia dada en dos puntos A y B tales que P A y P B son rectastangentes.

Definicion: El angulo semi-inscrito en una circunferencia es aquel que se forma con unacuerda y la recta tangente en alguno de los extremos de la cuerda.

15Cuando la recta es tangente a la circunferencia puede considerarse como un caso muy peculiar en el cual los“dos” puntos de corte coinciden.





Teorema: La media del angulo semi-inscrito definido por la cuerda AB es igual a la medidade un angulo inscrito que subtiende al arco AB .

Demostracion: Considere la figura 59. Como APBO es cıclico, entonces ∠P AB = ∠P OB;ademas, como P O es la mediatiz de AB , ∠P OB = ∠P OA, por lo que

∠P AB = ∠AOB

2 = ∠AQB

Figure 59:

Por otra parte, dada una circunferencia, otra circunferencia puede ser secante o tangente a laprimera, dependiendo si la corta en uno o dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso sedice que las circunferencias no se cortan.16

Ademas, dos circunferencias pueden posicionarse una dentro de la otra, y claramente, la cir-cunferencia de radio mayor es la externa mientras que otra es la interna ; particularmente, silas circunferencias tienen el mismo centro se llaman concentricas . Finalmente, combinando estas

definciones se tienen las circunferencias tangentes exteriormente y las tangentes interiormente .

Teorema: Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2 que se cortan en dos puntos distintosA y B , se cumple que O1O2 ⊥ AB.

Teorema: Si dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes en A, se cumple que O1, Ay O2 estan alineados.

Teorema:

a) Dos circunferencias, una dentro de la otra, no tienen rectas tangentes en comun.

b) Dos circunferencias tangentes interiormente tienen una recta tangente comun.

c) Dos circunferencias secantes (en dos puntos distintos) tienen dos rectas tangentes en comun.

d) Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen tres rectas tangentes en comun.

e) Dos circunferencias no secantes y tal que ninguna contiene a la otra, tienen cuatro rectastangentes en comun.

16Tambien aca puede considerarse a las circunferencias tangentes como un caso especial de circunferencias secantesen el cual los puntos de corte coinciden.





6.5 Problemas

1. Si el ∠MP Q = 20, determine el valor del ∠QON en la figuraadjunta.

2. Dado un angulo inscrito BAC , y su angulo central BOC , se sabe que ∠BAC +∠BOC = 180 .Calcular el ∠OBC .

3. En la figura 60, BCDO es un rombo. Determine el valor del angulo θ y la medida de las

diagonales de BCDO si el radio de la circunferencia mide 6.

Figure 60:

4. Un cuadrilatero cıclico ABCD satisface ∠ABC = 2∠CDA = θ. Calcule θ .





5. En la figura 61. Calcule el valor del ∠P QR.

Figure 61:

6. En la figura adjunta, el ∠AF E = 100 y el ∠BC D =150 . Calcule el ∠AGB.

7. Dado un angulo ∠AOB, se trazan dos rectas l y m perpendiculares a los lados del anguloen A y B respectivamente. Si P es el punto de corte de l y m, demuestre que A, B , O, P se

ubican sobre una misma circunferencia.

8. En la figura 62 se ha tomado un punto C sobre la circunferencia de centro O; AC y BC cortan a la segunda circunferencia en D y E respectivamente. Probar que OC ⊥ DE .

Figure 62:





9. (*) Dada la figura 63, demuestre que AB AB.

Figure 63:

10. En la figura 64 CR es una recta tangente en C , demuestre que AB CR.

Figure 64:

11. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 son tangentes (interior o exteriormente) en P (Ver figura 65).Dos rectas que pasan por P cortan a Γ1 y Γ2 en A y C , y en B y D, respectivamente.Demuestre que AB CD.

Figure 65:





12. (*) Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en unpunto P ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en Ay B , respectivamente. Demuestre que AO1 BO2.

13. Dos circunferencias son tangentes externamente en el punto A. Una tangente exterior comuntoca a una circunferencia en B y a la otra en C . Demostrar que ∠BAC = 90 .

14. En la figura 66, DE es tangente en D, y C es el punto medio del arco AD. Encuentre elvalor del angulo seminscrito ADE .

Figure 66:

15. Determine el valor del ∠

DCF , sabiendo BE es tangente en el punto D a la circunferenciade centro O. Ver Figura 67.

Figure 67:

16. Si el ∠AEB = 30, ∠ADE = 20 y ∠ACE = 35, calcule el ∠AF B. Vease figura 68.





Figure 68:

17. Dada una circunferencia de diametro BC , se toma un punto P en la prolongacion de BC , yse traza la tangente AP . Si AP = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre queel AOC es equilatero.

18. (*) Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunesexternas forman segmentos iguales; analogamente, las tangentes comunes internas formansegmentos iguales.

19. (*) Teorema de Pithot. Demuestre que en todo cuadrilatero inscribible, la suma de ladosopuestos es igual.

20. (*) Teorema de Steiner. En todo cuadrilatero exinscrito a una circunferencia, la diferenciade las longitudes de lados opuestos es igual.

21. En la figura 69, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferencia

paralela a AB . Demuestre que C D es bisectriz del ∠

ACB .

Figure 69:

22. (X OMCC - P2, Aaron) Sea ABCD un cuadrilatero concıclico con diametro AC , y sea O elcentro de su circunferencia. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF . Demuestreque si E y F estan sobre la circunferencia entonces ABCD es rectangulo.





23. Cuatro cilindros de diametro 1 estan pegados apretadamente poruna cuerda muy fina, como en la figura adjunta. Demostrar que lacuerda tine longitud 4 + π. Demostrar tambien que el area som-breada entre los cilindros es 1 − π

4.

24. En la figura 70, ABCD es un trapecio isosceles con AB C D y DA = B C = 2; tomandoDA y BC como diametros, se construyen dos circunferencias tangentes. Si DC = 3AB,calcule el area del trapecio.

Figure 70:

25. La figura 71 esta formada por un paralelogramo y dos circunferencia tangentes entre sı ytangentes a tres lados del paralelogramo. Sabiendo que el radio de las mismas mide la cuartaparte del lado menor del paralelogramo, calcule la razon entre el lado mayor del paralelogramoy el radio de las circunferencias.

Figure 71:

26. (*) Sea ABC un triangulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del angulo A conel lado BC y el circuncırculo de ABC respectivamente. Construimos la interseccion M del

circuncırculo de ABL con el segmento AC . Prueba que los triangulos BMN y BMC tienenla misma area.

27. (*) Sea AB el diametro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre lasemicircunferencia y sobre AB, respectivamente.17 Sea P el centro de la circunferencia quepasa por A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B , K y M . Demuestreque MPK Q es concıclico.

17M y K son distintos de A y B.





28. En la figura 72, ABCDEF es un hexagono regular y las circunferencias de centro en losvertices son tangentes dos a dos. Si las circunferencias sobre los vertices B, D, F son iguales,demuestre que las circunferencias restantes son iguales.

Figure 72:

29. (*) Las circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en los puntos A y B. Por el punto A se traza unarecta que corta nuevamente a las circunferencias Γ1 y Γ2 en los puntos C y D, respectiva-mente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortanen el punto M . Demuestra que MCBD es cıclico.

30. (*) El ABC cumple que ∠A = 90 y AB = AC . Se toma un punto E del segmento AB,se construye interiormente un triangulo equilatero AEF . EF corta B C en I , y se construyeexteriormente un triangulo equilatero B IJ . Encuentre ∠EJ B.

31. (*) En la figura 73, se sabe que ∠AO1B −∠AO2B = 70◦ y ademas la tangente EB forma eltriangulo isosceles ABE , con AB = AE . Encuentre ∠EB C .

Figure 73:

32. (*) Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en A y B. Una recta por A corta a Γ1 y Γ2 en C y D, respectivamente, y la paralela a CD por B corta Γ1 y Γ2 en E y F , respectivamente.Demuestre que CDB ≡ EAF .





33. (*) Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que ∠AP C = 90◦, Q es la interseccionde AB y P C , y R el pie de la perpendicular por Q a CA. Demuestre que P , R y D estanalineados.

34. En la figura 74, ABCD es un trapecio rectangulo tal que la circunferencia de diametro AB(y centro O) es tangente a C D. Demostrar que O pertenece a la circunferencia de diametro

CD y que esta circunferencia es tangente a B A.

Figure 74:

35. El ABC es rectangulo en C , la circunferencia de centro O es tangente a cada uno de loslados del ABC en los puntos P , Q y R (como se muestra en la figura 75), y se cumple queAP = 20 y BP = 6. Calcule OP .

Figure 75:

36. Los vertices A y B de un triangulo equilatero ABC estan sobre una circunferencia deradio 1 y el vertice C esta en el interior de la circunferencia. Un punto D (distinto de B)que esta en la circunferencia es tal que AD = AB. La recta DC corta por segunda vez a lacircunferencia en E . Encuentre la longitud del segmento C E . Ver figura 76.

37. En la figura 77 se muestran tres semicircunferencias, una de diametro AB (de centro O yradio r), otra de diametro AO y la ultima de diametro OB. Determine la razon entre elradio de la circunferencia tangente a estas tres semicircunferencias y r .

38. El segmento AB es diametro de un semicırculo con centro en O. Un cırculo con centro en P es tangente a AB en O y tambien al semicırculo. Otro cırculo con centro en Q es tangente aAB, al semicırculo y al cırculo de centro en P . Si AB = 2, ¿cual es el radio del cırculo concentro en Q?





Figure 76:

Figure 77:

Figure 78:

39. (*) (OIM 2002, P-4) En un triangulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior B D, con Dsobre AC . Sean E y F puntos sobre la recta BD tales que (AE CF ) ⊥ BD, y sea M elpunto sobre el lado B C tal que DM ⊥ BC . Demuestre que ∠EM D = ∠DM F .

40. (*) (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diametro de ella. Sea t la rectatangente a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean E y F las intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con CF y

DE . Demuestre que AH = AG.

41. (*) (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadradoABCD y un punto E sobre el lado AB . La diagonal AC corta al segmento DE en el puntoP . La perpendicular por P a DE corta al lado B C en F . Probar que E F = AE + CF .

42. (*) Teorema de Arquımedes: En la figura 79, la region delimitada por tres semicircunfer-encias mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o ´ arbelos . Demostrarque las circunferencias sombreadas son congruentes.





Figure 79: Teorema de Arquımedes.

43. Demuestre que las rectas de Simson-Wallace de dos puntos diametralmente opuestos sonperpendiculares.




Geometrıa I. 7 Semejanza de Triangulos.

7 Semejanza de Triangulos.

7.1 Proporcionalidad

Definicion

1. Razon: se llama razon, al cociente de dos cantidades, expresadas en la misma magnitud, porejemplo a

b.

2. Proporcion: se llama proporcion a la igualdad de dos razones. Por ejemplo ab

= cd

, 18 a losterminos a y d se les llama extremos y los terminos b y c se les llama medios, al termino d sele llama cuarta proporcional entre a, b y c en este orden.

Propiedades de las proporciones:

1. a

b =

c

d si y solo si a· c = b· d.

2. a

b =

c

d si y solo si

b

a =

d

c o

a

c =

b

d.

3. a

b =

c

d si y solo si

a ± b

b =

c ± d

d .

4. a

b =

c

d si y solo si

a + b

a − b =

c + d

c − d.

Proporcion Armonica.Cuaterna Armonica: Los puntos colineales y consecutivos A,B,C y D forman una cuaternaarmonica si y solamente si AB

BC = AD

CD.

Propiedades

1. AB > BC .

2. Relacion de Descartes 2

AC = 1

AB + 1

AD.

3. Relacion de Newton. Si O es punto medio de AC entonces: (OC )2 = OB.OD.

4. Si los segmentos determinados por la cuaterna armonica, verifican la relacion ABBC

= n ADCD

,donde n > 0 entonces n+1

AC = n

AB + 1

AD.

Seccion Aurea de un segmentoSe dice que un punto C divide al segmento AB en la proporcion aurea cuando, siendo AC la partemayor en la que AB queda dividido por el punto C , se cumple: AB

AC = AC

CB. A la parte mayor en

la que AB queda dividido por C se la llama segmento aureo del segmento AB . El problema de ladivision aurea de un segmento fue resuelto por Euclides en los Elementos II. 11, y desde entoncesha sido asunto de interes para los matematicos de todos los tiempos.Propiedades

1. AB = AC √ 5+1

2 .

18En algunos textos de geometrıa se utiliza la notacion de proporcion ası a : b :: c : d que se lee “a es a b como ces a d”.





2. AC = AB√ 5−12

3. Numero Aureo Φ =√ 5+1

2

7.2 Teorema de Thales

Definicion

1. Un punto P ∈ AB divide al segmento AB en una razon dada r, si P AP B

= r.

2. Sean AB y CD dos segmentos, y sean P ∈ AB y Q ∈ CD, decimos que P y Q dividen aAB y CD en segementos proporcionales si AP

P B = CQ

QD.

Figure 80:

Teorema de Thales. Si tres paralelas cortan a dos secantes entonces los segmentos que de-terminan en ellas son proporcionales. 19

Antes de demostrar el Teorema de Thales, se enunciaran dos teoremas que a pesar de suaparente sencillez es de mucha utilidad en problemas que involucran Areas y Proporcionalidad.

Lema 1. Sea AB CD. Demuestre que: (ABC ) = (ABD).

Lema 2. Sea P un punto sobre el lado AB (o su prolongacion) del ABC . Pruebe que:

AP

P B =

(AP C )

(P BC )

A continuacion se enuncian los pasos a seguir en la demostracion del teorema de Thales.

Demostracion. Sean AA, BB y CC rectas paralelas que cortan a dos secantes en los puntosA, A, B, B , C , C respectivamente (ver figura 81).

Pruebe que:

1. AB

BC =

(ABB )

(BC B)

19El teorema de Thales puede enunciarse de manera general como sigue: Si tres o mas paralelas cortan a dos omas secantes entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.





Figure 81: Teorema de Thales

2. AB

BC =

(ABB)

(BC B).

3. (ABB ) = (ABB) y (BC B) = (BC B).

Con ayuda de las igualdades demostradas concluya que:

AB

BC = AB

BC .

Observacion Importante: Utilice las propiedades de las proporciones para demostrar las equiv-alencias siguientes (interpretelas geometricamente):

AB

BC =

AB

BC ⇔ AC

AB =

AC

AB ⇔ AC

BC =

AC

BC

SeaABC un triangulo, sabemos que su area puede calcularse al multiplicar la longitud deuno de sus lados por la longitud de la altura correspondiente a ese lado. Si denotamos por a lalongitud de un lado del ABC y ha la longitud de la altura correspondiente, el area del ABC

se denota por (ABC ) y es igual a:

a · ha

2

Ahora estamos en condiciones de probar el siguiente lema:Lema:Si dos triangulos tienen una misma altura entonces la razon entre sus areas es igual a

la razon de las bases donde se levanta la altura comun.Demostracion:Sean ABC y ABC triangulos con alturas iguales h. Sean D y D los pies

de las alturas trazadas de los vertices A y A a los lados B C y B C respectivamente. Entonces:

(ABC ) = BC · h

2

(ABC ) = BC · h

2La razon entre las areas es:

(ABC )

(ABC ) =

BC ·h2

BC ·h2

= BC

BC

Como queriamos demostrar.El siguiente lema se puede probar de manera analoga al anterior:Lema:Si dos triangulos tienen una base igual entonces la razon de sus areas es igual a la razon

entre las alturas que se levantan sobre la base igual.





Corolario (Teorema de Thales en el triangulo). Toda recta paralela a un lado de un trianguloy que corte a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

Recıproco del Teorema de Thales. Si tres rectas cortan a dos secantes en segmentos pro-porcionales y dos de estas rectas son paralelas entonces las tres rectas son paralelas.

Demostracion. Sean AA, BB y CC rectas que cortan a dos secantes en los puntos A, A,

B, B, C , C respectivamente, tales que AA CC y AB

BC =

AB

BC . Por el punto B tracemos

una recta paralela a AA, la cual interseca a AC en el punto D (ver figura 82). Entonces, por el

Teorema de Thales se tiene que: AB

BC =

AD

DC . De donde,

AB

BC =

AD

DC , ası por las propiedades

de las proporciones AC

BC =

AC

DC , por lo que BC = B D + DC = DC y por tanto BD = 0, o

equivalentemente B = D y por lo tanto, B B AA.

Figure 82: Recıproco del Teorema de Thales

Corolario (Recıproco del Teorema de Thales en el triangulo.) Si una recta interceptados lados de un triangulo en segmentos proporcionales entonces la recta es paralela al tercer ladodel triangulo.

Teorema:Sea ABC un triangulo y sean D y E puntos en los lados AB y AC respectivamente.Si se cumple que:

AB

AC =

AC

AE entonces DE es paralela a B C .

Supongamos que, por el contrario DE no es paralela a BC . Sea C un punto en AC , distintode C , tal que B C es paralela a DE , entonces por el teorema de Thales, AB

AD = AC

AE . Pero ademas,

se cumple por hipotesis del problema, que ABAD

= AC AE

. Podemos entonces decir que

AC = AB · AE

AD = AC

AC = AC

Por tanto, los puntos C y C deben ser iguales y DE es paralela a B C .Teorema: Consideremos tres rectas paralelas y dos rectas transversales a estas como se muestra

en la figura. Tenemos que si AD, BE y CF son paralelas entonces ABBC

= DE EF

. Reciprocamente, siABBC

= DE EF

y dos de las rectas AD, BE o CF son paralelas entonces las rectas son paralelas.Demostracion. Diremos que G es el punto de interseccion de AF con BE . Si aplicamos el

teorema de Tales y su reciproco en los triangulos ACF y F DA, vemos que las rectas AD, BE,CF son paralelas si y solo si





ABBC

= AGGF

y F GGA

= F E ED

Luego, son paralelas si y solo si ABBC

= AGF G

= DE EF

.Ahora, supongamos que BE y C F son paralelas y que la otra recta AD cumple que AB

BC = DE

EF .

Definimos G como el punto de interseccion de AF con BE . Como BE y CF son paralelas, secumple que AB

BC = AG

GF . Ahora bien, como AB

BC = DE

EF tenemos que, AG

GF = DE

EF . Luego, el primer

teorema de Thales, GE es paralela a AD y de ahi que B E es tambien paralela AD.

7.3 Criterios de Semejanza de Triangulos

Triangulos semejantes. Decimos que el ABC es semejante al ABC (Ver figura 83), locual denotamos ası AB C ∼ ABC , si:

AB

AB = AC

AC =

BC

BC

y∠BAC = ∠BAC ,∠ABC = ∠ABC ,∠ACB = ∠AC B.

Figure 83: Definicion de Semajanza de Triangulos.

En los tres teoremas que se muestran a continuacion (los cuales son una consecuencia directadel Teorema de Thales) se establecen las condiciones mınimas para demostrar que dos triangulosson semejantes, a los cuales denominaremos: Criterios de Semejanza de Tri´ angulos .

Primer criterio de semejanza de triangulos: Angulo-Angulo A-A. Si dos angulos deun triangulo son congruentes con dos angulos de otro triangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.

Demostracion. Supongamos que en el ABC y ABC se tiene que ∠ABC = ∠ABC y∠

ACB =∠

AC B, entonces∠

BAC =∠

BAC (Por la suma de angulos internos en un triangulo).Sea D ∈ AB y E ∈ AC tales que AD = AB y AE = AC , dado que ∠DAE = ∠BAC =∠BAC , se sigue por L-A-L que ADE = ABC , por consiguiente ∠ADE = ∠ABC =∠ABC , de donde DE BC (por ser iguales los angulos correspondientes) y por el teorema deThales

AB

AD =

AC

AE

y por consiguienteAB

AB = AC

AC (2)





Sea F ∈ BC tal que DF AC , entonces F C = DE = B C (porque DECF es paralelogramoy por ser ADE = ABC ) y por el teorema de Thales

BA

DA =

BC

F C

o lo que es lo mismoAB

AB = BC BC

(3)

Luego, de (1) y (2) se tiene que:

AB

AB = AC

AC =

BC

BC .

Ası, se ha demostrado que los tres pares de angulos son congruentes y los tres pares de lados sonproporcionales, por lo tanto, ABC ∼ ABC .

Segundo criterio de semejanza de triangulos: L-A-L. Si un angulo de un triangulo es

congruente con otro angulo de otro triangulo y los lados que comprenden al angulo en el primertriangulo son respectivamente proporcionales a los lados que comprende al angulo en el segundotriangulo, entonces los dos triangulos son semejantes.

Demostracion. Suponga que el ∠BAC = ∠BAC y que AB

AB = AC

AC . Considere los

puntos D y E , como en la demostracion del teorema anterior. Entonces por el criterio L-A-L,ADE = ABC , de lo cual se deduce que ∠ADE = ∠ABC . Por otra parte tenemos que:AB

AD =

AC

AE , y al aplicar el recıproco del teorema de Thales, se puede afirmar que DE BC , de lo

cual a su vez se deduce que ∠ADE = ∠ABC , por angulos correspondientes entre paralelas. Fi-nalmente por transitividad se concluye que ∠ABC = ∠ABC . Por lo tanto, ABC ∼ ABC

(Por el criterio A-A.)

Tercer criterio de semejanza de triangulos: L-L-L. Si los tres lados de un triangulo sonrespectivamente proporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.

Demostracion. Por hipotesis se tiene que: AB

AB = AC

AC =

BC

BC y como antes sean D y

E puntos sobre AB y AC respectivamente tales que AD = AB y AE = AC . Entonces por elrecıproco del teorema de Thales se tiene que DE BC y por consiguiente el ∠ABC = ∠ADE

y el ∠ACB = ∠AED, de donde ABC ∼ ADE (por el criterio A-A). Por ende AB

AD =

BC

DE ,

luego por transitividad BC

DE = BC

BC , de donde DE = B C . En consecuencia ADE = ABC

(por el criterio L-L-L), de lo cual se sigue que ∠ABC = ∠ADE y ∠AC B = ∠AED, y portransitividad ∠ABC = ∠ABC y ∠AC B = ∠ACB =. Por lo tanto, ABC ∼ ABC (Porel criterio A-A.)

7.4 Potencia de Punto

Proposicion.





Si dos cuerdas AB y CD de una circunferencia se intersectan en un punto P , entoncesP A · P B = P C · P D.

Demostracion. Si P es un punto sobre la circunferencia esta claro que ambos productosson 0 y por tanto iguales. Si P es un punto dentro de la circunferencia entonces el cuadrilateroADBC es cıclico con los angulos ∠BAD = ∠BC D y ∠ADC = ∠ABC y por tanto los triangulos

AP D y BP C y por tanto se cumple las proporciones P AP C = P D

P B y despejando obtenemos queP A · P B = P C · P D.

Si P es un punto fuera de la circunferencia el cuadrilatero ABDC es ciclico y los angulos ∠CAP y ∠BDP son iguales y los triangulos P AC y P BD son triangulos semejantes con lo que secumple de nuevo en este caso que P A

P C = P D

P B y por tanto, P A · P B = P C · P D.

Proposicion 2. Si A, B y C son puntos sobre una circunferencia y si la tangente en C, inter-secta en un punto P a la prolongacion de la cuerda AB , entonces P C 2 = P A · P B.

Demostracion. Sabemos que un angulo seminscrito es igual a un angulo inscrito que sostengael mismo arco asi pues, el angulo ∠P CA = ∠CBP y dado que, ∠CP A = ∠CP B los triangulosP CA y BC P son semejantes y se cumple la razon P A

P C = P C

P B y por tanto, P C 2 = P A · P B.

Ahora veremos los inversos de las proposiciones anteriores.

Proposicion 3. a. Si AB,CD son dos segmentos que se intersectan en P de manera que,como segmenteos dirigidos, P A · P B = P C · P D entonces A,B, C y D se encuentran sobre unacircunferencia.

b. Si A, B, C, y P son puntos tales que P, A y B estan alineados y P C 2 = P A.P B, entonces

P C es tangente en C al circuncırculo del triangulos ABC .

Demostracion. Denotemos por Γ la circunferencia que inscribe al triangulo AB C .

a. Supongamos que D no esta sobre la circunferencia y sea D la interseccion de P C con Γ.Por la proposicion 1 P A · P B = P C · P D y dado que la hipotesis dice que P A · P B = P C · P D,tenemos que P D = P D, por lo que D y D son iguales. Contradiccion. Por tanto, D debe estarsobre la circunferencia.

b. Sea C la otra interseccion de P C con Γ. Por la primera proposicion, P A · P B = P C · P C

y como por hipotesis P A·

P B = P C 2, obtenemos que P C = P C y entonces C coincide con C .Podemos concliur que P C es tangente a Γ en C .

Para cualquier punto P , una circunferencia C y cualquier recta trazada por P que corte a C en puntos A y B (A y B pueden ser iguales) que: el producto P A · P B es constante y se denominala potencia de punto del punto P con respecto a C .

Otra forma de calcular la potencia de un punto se comentara a continuaci on. Si P es exteriora C y P C es tangente a C por P , la potencia es P C 2. Si O es el centro de la circunferencia C yradio r, tenemos que, por el teorema de Pitagoras: P C 2 = P O2 − r2.





Ahora bien, si P es un punto dentro de la circunferencia y que est a sobre un diametro AB,podemos calcular la potencia como P A·P B. Pero vemos que P A lo podemos escribir como r −P Oy P B como r + P O, o viceversa, dependiendo de si P esta mas cerca de A o de B. De ahı queP A · P B = (r − P O)(r + P O) = r2 − P O2. Si un punto esta sobre la circunferencia sabemos quesu potencia es cero, lo cual tambien es descrito por r2

−P O2 .

Para teminar podemos decir que la potencia de punto de P con respecto a la circunferenciaC = (O, r) es P O2 − r2. Ademas, la potencia es positiva, cero o negativa, dependiendo si P seencuentra fuera, sobre o dentro de la circunferencia.

Eje RadicalProblema. ¿Cual es el lugar geometrico de los puntos cuya potencia de punto con respecto a

dos circunferencias no concentricas?

7.5 Problemas

1. Los puntos A, B,C y D forman una cuaterna armonica. Si aAB

+ bAD

= cAC

; hallar a + b + c.

2. Dados los puntos A,B,C,D y E son colineales y consecutivos de modo que AB > BC yBD > DE . Se sabe que AB y B D son secciones aureas de AC y B E respectivamente. SiBC = 2CD y AE = 3−

√ 5

2 ; calcular AC .

3. Sean AB y CD las bases del trapecio ABCD, cuyas diagonales se intersecan en E perpen-dicularmente. Si AD = 13, AE = 12 y C E = 4 encuentre las longitudes de C D y AB .

4. En la figura 84, el ABC es equilatero, sus lados tienen longitud 3 y P A es paralela a B C .Si P Q = QR = RS , encontrar la longitud de C S .

Figure 84:

5. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD, sus diagonales se cortan en E . Si BE = 3,ED = 4 y C E = 2, determine la medida de AE .

6. Las bases de un trapecio miden 3 y 5, y si su altura mide 4. Encontrar la distancia desde elpunto de corte de las diagonales hasta la base mayor.





7. En la figura adjunta, el ABC es rectangulo en A y el ADBes rectangulo en D. El punto E es el punto de interseccion delos segmentos AD y BC . Si AC = 15, AD = 16 y BD = 12,calcule el area del

ABE .

8. El ABC es rectangulo en B. Se dibuja un rectangulo BEDF con D sobre la hipotenusa,E y F sobre B C y AB , respectivamente. Si AB = 1, demuestre que BC

BE = 1

1−DE .

9. Considerese los puntos A, B, C y D tales que A y B estan sobre el segmento OC y OD respec-tivamente, donde O es el centro de la circunferencia de radio r (Ver figura 85). Si OA· OC =

r2 = OB · OD, demuestre que el AOB DOC y que CD =

r2

OA· OB

AB.20

Figure 85:

10. Sobre la circunferencia de centro O , se trazan los diametros AB y C D tales que AB ⊥ CD.Sea P un punto sobre el arco CBD y Q el punto de interseccion de las cuerdas AP y CD.Si DO = 1, demuestre que AP · AQ = 2.

11. Un segmento de recta AB es divido por los puntos interiores K y L de manera que AL2 =AK · AB. Sea P un punto exterior al segmento AB tal que AP = AL. Pruebe que ∠KP L =∠LP B. Figura 86.

Figure 86:

12. En la figura 87, AB y AC son tangentes a la circunferencia, y CE ⊥ BD, siendo BD undiametro. Probar que B E B O = AB C E .

20La medida del segmento CD se denomina Distancia Inversa .





Figure 87:

13. Demostrar que 1

AX +

1

BY =

1

CZ si se cumple que AX BY CZ . (Ver figura 88.)

Figure 88:

14. En la figura 89, el ABC es rectangulo. Se construyen exteriormente los cuadrados ABEF y BCPQ. Demostrar que B M = BN .

Figure 89: .

15. Sean O, P y R los centros de las tres circunferencias. Si OR = r y Q es la interseccion deP O con la circunferencia de centro R, demuestre que OP · OQ = r2. Ver figura 90.





Figure 90:

16. Si en un triangulo rectangulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces:

(a) Los dos nuevos triangulos que resultan, son semejantes entre si y semejantes al tri angulooriginal.

(b) La altura es media proporcional 21 entre los segmentos que ella determina sobre lahipotenusa.

(c) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccion del cateto sobrela hipotenusa.

(d) Demuestre el teorema de Pitagoras.

17. Si dos triangulos tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendicu-lares, entonces los dos triangulos son semejantes.

18. Sean AB C y ABC dos triangulos semejantes con ABAB = BC

BC = CAC A = k. Demuestre que:

la razon entre los perımetros de los triangulos es k y que la razon entre sus areas es k2.

19. Teorema de Menelao. Dado el ABC , sea P un punto sobre la recta AB, Q un puntosobre la recta BC , R un punto sobre la recta CA. Si los puntos P , Q, R estan alineados

entonces AP

P B

BQ

QC

CR

RA = 1.

Figure 91: Teorema de Menelao.

21Si b es una magnitud tal que a

b = b

c, entonces decimos que b es media proporcional entre a y c,o de manera

equivalente: b es media proporcional entre a y c si y solo si b2 = a· c.





Para demostrar este teorema, sea W un punto sobre la recta P QR tal que B W AC :

(a) Demuestre que los triangulos AP R y B P W son semejantes.

(b) Demuestre que los triangulos C QR y B QW son semejantes.

(c) De los literales a ) y b ) deduzca que AP

P B

BQ

QC

CR

RA = 1.

20. Teorema de Ceva. Dado el ABC , seaP un punto sobre el recta AB, Q un puntosobre la recta BC y R un punto sobre la rectaCA. Si las rectas AQ, CP , BR concurren,

entonces AP

P B

BQ

QC

CR

RA = 1.

Para demostrar este teorema, sean W y V los puntos de interseccion de la recta que pasapor B paralela a AC , con las rectas C P y AQ, respectivamente.

(a) Demuestre que AP C ∼ BP W y que AQC ∼ V QB.

(b) Demuestre que BW O ∼ RCO y que BV O ∼ RAO.

(c) Utilice los literales a ) y b ) para probar que AP

P B

BQ

QC

CR

RA

= 1.

21. Sea ABC un triangulo, con D sobre AB, E sobre AC y F sobre BC , tal que DE es paraleloa B C , Demuestre que B F = F C

22. Sea ABC un triangulo, con D sobre AB, con E sobre BC y F sobre AC , tal que AD = 2BDy F A = 2CF . Demuestre que E es punto medio de B.

23. Sea Γ una circunferencia y dado un triangulo ABC , sean L, L, M , M , N , N los puntos decorte de la circunferencia con el triangulo , sobre los lados BC,AC,AB respectivamente.

Demostrar que si AL, BM,CN concurren, entonces AL, BM , CN concurren.

24. En el triangulo AB C , rectangulo en A , se consideran las circunferencias inscritas y circun-scritas. La recta AM es tangente a la circunferencia circunscrita en el punto A (M es puntode B C ). S y R son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos AC y AB, respectivamente. La recta RS corta a la recta BC en N . Las rectas AM y SR secortan en U . Demostrar que el triangulo U MN es isosceles.





25. Demuestre que si ABC es un triangulo y AA es su bisectriz externa (con A sobre BC )entonces BA

AC = AB

AC

26. Demuestre que si ABC es un triangulo y suponga que las bisectrices internas de B y C cortan a C A y AB en b y C respectivamente y que la bisectriz externa de A corta a B C en

A. Demuestre que A, B, C son colineales.

27. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia entonces el producto de lasmedidas de los segmentos determinados por el punto de interseccion en una de las cuerdases igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra cuerda.

28. Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos segmentosy el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de interseccionen el primer segmento es igual al producto de las medidas de los segmentos determinadospor el punto en el segundo segmento,entonces los extremos de los segmentos estan sobre una

circunferencia.29. Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas secantes que

cortan a la circunferencia en los puntos A, B y C , D respectivamente, entonces P A· P B =P C · P D.

30. Si desde un punto P se trazan dos semirrectas con los puntos A, B sobre una y los puntos C ,D sobre la otra, tales que P A· P B = P C · P D, entonces los puntos A, B, C , D estan sobreuna circunferencia.

31. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas, una tangente y laotra secante, entonces el segmento entre el punto y el punto de tangencia es media propor-

cional entre los segmentos determinados entre el punto exterior y los puntos de intersecci onde la secante con la circunferencia. 22

32. Si P es un punto sobre el mismo plano que una circunferencia de centro O y radio r, y d esla distancia del punto P al centro O de la circunferencia, demuestre que:

(a) Si P esta en el interior de la circunferencia, entonces la potencia de P es r2 − d2.

(b) Si P esta en el exterior de la circunferencia, entonces la potencia de P es d2 − r2.

(c) Si P esta sobre de la circunferencia, entonces la potencia de P es cero.

33. En un triangulo ABC los puntos D y E estan en los lados AC y AB de forma tal que losangulos ∠ADE = ∠ABD. Si AE = 2 y B E = 3 encuentre AD.

34. El cuadrilatero ABCD es cıclico y la interseccion de los lados AC y B D es P . Halle BP siP C = 4, DP = 2 y AP = 8.

22Los problemas anteriores nos permite establecer la siguiente definicion de Potencia de un punto con respecto

a una circunferencia: La potencia de un punto P con respecto a una circunferencia de centro O y radio r es elproducto PA·PB, donde A y B son los puntos de interseccion de la circunferencia con una recta que pasa por P .





35. En un cuadrilatero ABCD los angulos en ∠A y en ∠C son rectos. Si los lados AB = 3,AD = 4 y DP = 2, hallar hallar AP · P C .

36. Por un punto P sobre la cuerda comun AB de dos circunferencias que se intersectan setrazan las cuerdas KM sobre el primer cırculo y LN sobre el segundo cırculo. Pruebe que

el cuadrilatero KLMN es concıclico.

37. En el triangulo ABC con circuncentro O, las alturas BE y CF se cortan en H. Las rectasOB y H C se cortan en P . Si H P = 3, OP = 2 y P C = 5, ¿cuanto vale OB?

38. La recta OA es tangente a una circunferencia en el punto A y la cuerda BC es paralela aOA. Las rectas OB y OC intersectan a la circunferencia por segunda vez en los puntos K yL, respectivamente. Pruebe que la recta KL divide al segmento OA por la mitad.

39. Dada una circunferencia S , los puntos A y B sobre esta y C en la cuerda AB. Para cualquiercircunfenrencia S tangente a la cuerda AB en el punto C y que intersecta a S en P y Q,considere el punto de interseccion M de las rectas AB y P Q. Pruebe que la posicion de M no depende de la elecccion de S

40. Desde A se trazan una recta tangente a la circunferencia S en C y una recta que corta a S en los puntos B yD. Sea E otro punto en la circunferencia tal que C E es tangente a AD. SiCA = 6, AB = 12 y CE = 4BD hallar CE y BD. Si P es el punto de interseccion de CDcon B E cual es la potencia de punto de P con respecto a S .

41. Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B y sea M N su tangente comun. Pruebeque la recta AB divide a MN por la mitad.

42. Pruebe que el eje radical de dos circunferencias es el lugar geometrico de los puntos P talesque al trazar las tangentes a las circunferencias la distancia de P a ambos puntos de tangen-cia es la misma.

43. A partir de un punto P exterior a una circunferencia de centro O se trazan las tangentesP Q y la secante P BA, tal que P Q = AB = 2, si el radio de la circunferencia mide 1 +

√ 5 ,

hallar ∠BOP .

44. Dado el ABC se construye un cuadrado PQRS con P en AB, Q en AC , R y S en BC .Sea H el pie de la altura desde A hacia B C . Demuestre que:

(a) 1

P Q =

1

AH +

1

BC

(b) (ABC ) = 2(PQRS ) si y solo si AH = BC .





45. Sea P un punto en el interior del ABC . Se trazan por P las paralelas a los lados deltriangulo, que queda dividido en tres triangulos y tres paralelogramos. Si las areas de lostres triangulos de la subdivision son, en algun orden, 9, 16 y 25, hallar el area del ABC .

46. Las tres circunferencias de la figura 92 tienen el mismo radio r, sus centros son colineales y

la circunferencia de centro O2 es tangente a las otras dos. Por A se traza una tangente a lacircunferencia de centro O3. Obtenga el valor del segmento B C en funcion de r.

Figure 92:

47. Sea ABCD un rombo, con AC = 6 y BD = 8. Se construyen exteriormente los cuadradosADEF y CDHG, cuyos centros son O1 y O2, respectivamente (Vea figura 93). Calcular lamedida del segmento O1O2.

Figure 93:

48. Sea ABCD un cuadrado con P y Q sobre AB y BC tales que BP = BQ. Sea H el pie dela perpendicular de B a P C . Demuestre que DHQ = 90 .

49. Alrededor de una circunferencia se construyen diez circunferencias tangentes a la originaly tangentes entre sı (Vease figura 94). Demuestre que la suma de las areas de las diezcircunferencias es el doble del area de la circunferencia mayor.





Figure 94:

50. En un ABC el ∠CAB = 120. Encuentre la medida de la bisectriz interna del ∠CAB en

funcion de los lados adyacentes.

51. El ABC tiene lados de 13, 14 y 15 unidades. El ABC esta dentro del ABC conlados paralelos a los de este y a 2 unidades de distancia de los lados del mismo. Calcule(ABC ) − (ABC ).




Geometrıa I. 8 ISOMETRIAS

8 ISOMETRIAS

Consideremos el conjunto P de puntos del plano y Φ : P −→ P una aplicacion. Se dice que Φ es unaISOMETRIA si tiene la propiedad de conservar la distancia entre puntos; es decir, si dos puntos P y Q guardan entre sı una distancia l, la distancia que guardan sus imagenes por la transformaciones tambien l. Ası, d(P, Q) = d(Φ(P ), Φ(Q)) = l. En este curso estudiaremos las traslaciones,

las rotaciones, simetrıas centrales, simetrıas ortogonales o reflexiones; que tienen todas ellas lapropiedad de conservar distancias.

8.1 Traslaciones.

Definicion: Sea −→u un vector, se llama traslacion del vector −→u a la asociacion de los puntos M y

M del plano tales que: −−−→MM = −→u .

En general se denota t−→u a la traslacion del vector −→u a la traslacion del vector −→u , y escribimos:

M = t−→u M o M t−→u−→ M

8.1.1 Propiedades de las Traslaciones.

Las traslaciones poseen las siguientes propiedades:

La imagen de una recta, es otra recta paralela a ella.

La imagen de un segmento, es otro segmento de igual longitud.

La imagen de una circunferencia de centro O, es otra circunferencia del mismo radio, cuyocentro es la imagen de O por la traslacion.

Conservacion del alineamiento de puntos.

Dado que la imagen de una recta es otra recta, tambien se cumple que si tres puntos A, B,C estan alineados, las imagenes respectivas A, B, C estan tambien alineados.

Conservacion del paralelismo.

Si d1 y d2 son dos rectas paralelas, las imagenes respectivas d1 y d

2 son paralelas tambien.De esta propiedad es facil deducir que: “La imagen de un paralelogramo, es otro paralelo-gramo ”.

Conservacion de las distancias y las areas.

La imagen de un segmento, es tambien un segmento de la misma longitud.

La imagen D de una superficie D , tiene la misma area que D.

Conservacion del punto medio de un segmento.

Sea I el punto medio del segmento AB, si AB es la imagen del segmento AB, entonces I

es la imagen de I , ademas I es el punto medio del segmento AB.

Conservacion de la medida de angulo y de la ortogonalidad.

La imagen xAy del angulo xAy tiene la misma medida que xAy.

En particular cuando dos rectas d1 y d2 son perpendiculares sus respectivas imagnes d1 y d

2

son tambien perpendiculares.





Ejemplo 8.1 A, B, C son tres puntos tales que C es la imagen de B por la traslaci´ on de −→AB.

Haga una figura de esta situaci´ on y responda ¿Cu´ al es el punto medio de AC ?

Prueba 1 −→u =−→AB luego por definici´ on tu(A) = B, y de acuerdo a las propiedades de las trasla-

ciones la imagen de AB es otro segmento de la misma longitud, y como AB = BC , entonces B es el punto medio de AC .

A Bu C

Ejemplo 8.2 ABC es un tri´ angulo cualquiera. Denotaremos por B a la imagen de B por la simetrıa central de centro A. Trazamos la recta d paralela a AB y que pasa por C , y la recta ∆paralela a BC y que pasa por A. Las rectas d y ∆ se cortan en C . Demostrar que el tri anguloBAC es la imagen del tri´ angulo ABC por traslaci´ on.

Prueba 2 De acuerdo a la forma del ABC (Ver figura), transformamos el ABC en el BAC

por la traslaci´ on del vector −→BA hacia

−−→AB o

−−→CC . Por lo cual, ser´ a suficiente demostrar que

tu(A) = B , tu(B) = A y tu(C ) = C .

tu(B) = A, este resultado se obtiene de la definici´ on de traslaci´ on del vector −→u .

tu(A) = B , en efecto, B es la imagen de B, por la simetrıa central de centro A. Como A

es el punto medio de B B, se tiene que −→BA =

−−→AB. Es decir

−−→AB = −→u y esto por definici´ on

es tu(A) = B .

tu(C ) = C , en efecto, los lados opuestos del cuadril´ atero AC CB son dos a dos paralelos, es

decir se trata de un paralelogramo, esto es: −−→CC = −→BA =⇒ −−→CC = −→u , lo cual significa que tu(C ) = C .

A

B C

∆

d

C

B

Ejemplo 8.3 Dado el ABC sea H su ortocentro. BCDE es un rect´ angulo construido exterior-mente. Se trazan, por D la perpendicular a AB, y por E la perpendicular a AC . Estas dos rectas

se cortan en I . Utilice la traslaci´ on t−→u del vector −→u = −−→EB para demostrar que A, H e I est´ an

alineados.

Prueba 3 Dado −→u =−−→EB , por definici´ on tu(E ) = B, y dado que BCDE es un rect´ angulo tambien

se cumple tu(D) = C . Como la imagen por una traslaci´ on de una recta es otra recta paralela a la primera, la recta BM es la imagen por −→u de la recta ER, dado que al ser ambas perpendiculares a





AC resulta inmediato que ER BM . An´ alogamente, la imagen de la recta DS por −→u es la recta CP .

La intersecci´ on de ER y DS es I , como la traslaci´ on es biyectiva (en el sentido de que es punto a punto) esta lleva intersecciones de rectas a intersecciones de rectas, luego t−→u (I ) = H y

esto implica que IH

⊥ B C (dado que

−→IH =

−→u por definici´ on de traslaci´ on, y este ´ ultimo vector

evidentemente es perpendicular a BC dada la forma c´ omo se defini´ o). Como H es el ortocentrodel ABC , AH ⊥ BC . Ası IH AH (ambas son perpendiculares a BC ) y esto obliga a que A,H , I esten alineados.

A

B C

DE

RS

M P

I

H





8.2 Rotaciones.

8.2.1 Rotacion en el plano orientado.

Un ejemplo es util ahora para entender la importancia de trabajar en el plano orientado. En estecaso el centro de rotacion es O y el angulo es π

2. En la figura adjunta, ademas de la ortogonalidad

indicada, suponga que, OM 2 = OM 1 = OM . La formulacion: “Un punto M asociado a M talque

OM = OM y ∠MOM = π2” es ambigua, dado que los puntos M 1 y M 2 cumplen con la condicion.

M

OM 2 M 1

En cambio, en el plano orientado, la formulacion: “Un punto M asociado a M tal que OM =

OM y (−−→OM ,

−−→OM ) = π

2” no deja ninguna duda: un solo punto cumple con la condici on, M = M 1.

Por lo que en adelante, se utilizara el plano orientado.

Definicion 8.1 M es la imagen de M ( M = O) por la rotaci´ on de centro O y ´ angulo α si:

OM = OM y (−−→OM ,

−−→OM ) = α.

O M

M

α

Notacion: RαO es la rotacion de centro O y angulo α.

Puntos Invariantes:

Si α = 0 entonces todos los puntos son invariantes.

Si α = 0 entonces el centro O de la rotacion es el unico punto invariante.

Biyectividad y Rotacion Inversa: RαO es biyectiva y la rotacion inversa es la rotacion de

centro O y de angulo −α.

Prueba 4 Basta demostrar que: RαO(M ) = M si y s´ olo si R−α

O (M ) = M .





8.2.2 Propiedades Esenciales.

Teorema 8 La rotaci´ on conserva distancias y ´ angulos.

1. La rotaci on envıa a un segmento AB a otro AB, igual en longitud, siendo A imagen de A,B imagen de B. Mas a´ un el segmento AB se transforma en el segmento AB.

2. La rotaci on transforma a una recta en otra, siendo el ´ angulo entre ellas α.

Prueba 5 Sea A = RO,α(A) y B = RO,α(B), entonces, OA = OA, OB = OB y ∠AOB =∠AOB − ∠AOA = ∠AOB − ∠BOB = ∠AOB, ası por LAL el AOB es congruente con AOB, por tanto, la longitud del segmento AB es la misma que la del segmento AB.

A continuaci´ on demostramos que la imagen del segmento AB es el segmento AB. Sea C un punto del segmento AB o su prolongaci´ on, y C = RO,α(C ), se demuestra como antes que AC = AC y BC = BC , por consiguiente AC + B C = AC + CB = AB = AB, dado que A, B y C estan alineados, por lo tanto, AC + C B = AB lo que demuestra que A, B y C

alineados. En consecuencia, el segmento AB es la imagen de AB y la recta AB es la imagen de

la recta AB.Ahora, determinamos el ´ angulo entre la recta y su imagen. Defina D como la intersecci´ on de las rectas AB y AB. Por la congruencia de los tri´ angulos AOB y AOB , se tiene que ∠BAO = ∠BAO y por ende el cuadril´ atero ADAO es cıclico, por consiguiente, si E es un punto sobre la recta AD entonces, ∠EDA = ∠AOA = α.

A

B

O

A

BC

C

Corolario 9 Suponga que: A = RO,α(A), B = RO,α(B) C = RO,α(C ), demuestre que:

La imagen del punto medio de AB es el punto medio de AB.

La rotaci´ on transforma a un cırculo de centro C y radio r en otro de igual radio y centro C .

Si AB es di´ ametro del cırculo de centro C , entonces AB es el di´ ametro del cırculo de centro C .

La rotaci´ on transforma un tri´ angulo ABC en otro igual ABC

La rotaci´ on transforma a un ´ angulo en otro igual e igualmente orientado.

Dos rectas ortogonales tiene por imagen dos rectas ortogonales.

Dos rectas paralelas tienen por imagen dos rectas paralelas.

Prueba 6 Dejamos esta prueba como ejercicio.





Ejemplo 8.4 Considere dos tri´ angulos rect´ angulos is´ osceles ABC y ABC como en la figura adjunta. Demuestre que BB = CC y que las rectas BB y CC son ortogonales.

Soluci´ on 1 Dado que por hip´ otesis AB = AC , AB = AC y el ∠BAC = ∠BAC = π2

, entonces,C = RA,π

2(B) y C = RA,π

2(B). Ası aplicando las propiedades de conservaci´ on de distancias y

´ angulos de las isometıas se concluye que BB = CC y como el ´ angulo de rotaci´ on es π2

, BB ⊥ CC .

A

B

C

B

C

Ejemplo 8.5 Utilizaci´ on de una rotaci´ on Sea ABCD un cuadrado de centro O. M es un punto del segmento AB, y N es un punto del segmento AD tal que DN = AM . Considere la rotaci’on de centro O y de ´ angulo π

2 en sentido positivo. Demuestre que OM = ON y el

∠MON = π2

.

Soluci´ on 2 Recuerde que en todo cuadrado las diagonales son mediatrices mutuamente, ası que OA = OD y el ∠AOD = π

2, en consecuencia D = RO, π

2(A), de la misma forma se verifica que:

A = RO,π2

(B), ası por las propiedades de conservaci´ on de la rotaci´ on la imagen del segmento AB se transforma en el segmento DA, y por consiguiente M = RO, π

2(M ) es el punto del segmento DA tal

que DM = AM , por lo tanto M = N , por definici´ on de rotaci´ on se tiene que OM = OM = ON y el ∠MOM = ∠MON = π

2.

D C

BA

O

M

N

Ejemplo 8.6 En la figura adjunta, ABCD es un rombo y los tri´ angulos DC I y BC J son equil´ ateros.Defina una transformaci´ on geometrica y demuestre que A, I y J est´ an alineados.





Soluci´ on 3 La presencia de dos tri´ angulos equil´ ateros del mismo vertice C nos sugiere definir la rotaci´ on de centro C y ´ angulo π

3. Por esta rotaci on B es la imagen de J , D la imagen de I .

Ahora definimos A como la imagen de A, por consiguiente, el tri´ angulo CAA es equil´ atero. Estodemuestra que B, D y A est´ an alineados, dado que pertenecen a la mediatriz de AC , puesto que:BA = BC , DA = DC y AA = AC . Ahora solo falta considerar la rotaci on inversa de centro C y ´ angulo

−π3

para demostrar que J = RC,

−π

3(B), I = RC,

−π

3(D), A = RC,

−π

3(B) est´ an alineados

las propiedades de conservaci´ on de colinealidad de las isometrıas.

D C

A B

J

I

Ejemplo 8.7 Dada una circunferencia Γ de centro C y radio CO. Demuestre que: Si Γ =RO,α(Γ ), P ∈ Γ , Q ∈ Γ

Γ y P = RO,α(P ) entonces, P , Q y P est´ an alineados.

Soluci´ on 4 Por propiedades de conservaci´ on de isometrıas sabemos que Γ es la circunferencia de centro C = RO,α(C ) y radio C O, ya que O es el punto invariante de la rotaci´ on. Adem´ as,dado que las rotaciones conservan ´ angulos se tiene que el ∠P CO = ∠P C O = 2θ, entonces,el ∠OQP = 180◦ − θ por ser inscrito en la circunferencia Γ cuyo ´ angulo central es ∠P CO,

y el ∠

P QO = θ por ser inscrito en la circunferencia Γ cuyo ´ angulo central es ∠

P CO. Por consiguiente, ∠OQP + ∠P QO = 180◦ − θ + θ = 180◦ y por lo tanto, P , Q y P son colineales.

1800

−θ

2θ

2θ

C

O

P

P C

Q

θ





8.3 Simetrıas.

Estudiaremos en este apartado dos tipos de simetrıas, las centrales y las axiales. En las primeras lasimetrıa ocurre respecto a un punto denominado centro, mientras que en las segundas la simetrıase da respecto a una recta que es denominada eje de simetrıa.

8.3.1 Simetrıas CentralesConsidere los puntos del plano P y un punto C que denominaremos centro. La simetrıa central decentro C es una transformacion del plano que envıa cada punto p del plano en otro punto p delplano de manera tal que el punto C es el punto medio del segmento [ p, p].

P C P

Hay muchas figuras usuales en Geometrıa que poseen un centro de simetrıa en el sentido quecuando se les aplica la transformacion la figura queda globalmente invariante, es decir que a pesar

de que sus puntos no quedan fijos, la figura como tal si permanece la misma. Tal es el caso de lassiguientes figuras:

1. Los paralelogramos respecto a su centro O, esto es respecto al punto en donde se cortan susdiagonales. Recuerde que los rombos, rectangulos, rombos y cuadrados son casos particularesde paralelogramos.

P Q

P Q

O

2. Las circunferencias cuando se simetrizan respecto a su centro.

Cuando se utiliza un sistema de coordenadas y se conocen las coordenadas del centro de simetrıaC (c1, c2), las coordenadas de la imagen P (x, y) de un punto P (x, y) estan determinadas de formatal que se satisfagan las ecuaciones:

x + x

2 = c1

y + y

2 = c2

Ecuaciones que responden a la condicion de que el centro sea punto medio del segmento entre elpunto P y su imagen P .





8.3.2 Propiedades de las simetrıas centrales.

Las simetrıas centrales tienen la propiedad de conservar:

1. Distancias, es decir la distancia entre dos puntos y sus correspondientes imagenes es la misma,es decir d(P, Q) = d(P , Q).

2. Puntos medios. Esta propiedad significa que dados dos puntos P y Q y sus respectivas imagenesP y Q, el punto medio M del segmento [P, Q] tiene por imagen a M que es el punto medio de[P , Q].

3. El alineamiento de puntos. Esto significa que si tres o mas puntos estan alineados, sus imagenesestan igualmente alineadas.

4. Los angulos y su orientacion. Es decir, si P QR = α, entonces P QR = α

5. Las areas. Es decir si una figura F tiene area A, la imagen F que se obtiene despues de lasimetrizacion es siempre igual a A.

Prueba 7

1. Tomando en cuenta que la distancia de d(C, P ) = d(C, P ) y d(C, Q) = d(C, Q) y la igualdad

de ´ angulos P CQ = P CQ, por el criterio LAL de congruencia de tri´ angulos se deduce que los tri´ angulos P CQ y P CQ son congruentes y en consecuencia d(P, Q) = d(P , Q).

P Q

C

P Q

2. Como en la prueba anterior, los tri´ angulos P CM y MCQ son respectivamente congruentes con los tri´ angulos P CM y M CQ, respectivamente; en consecuencia P M = P M =MQ = M Q, de donde se deduce que P M = M Q, es decir M es el punto medio de P Q.

P Q

C

P Q

M

M

3. Sean P , Q y R tres puntos alineados, condici´ on que significa que P Q + QR = P R. Por la primera de las propiedades de las simetrıas centrales, ya demostrada, de conservar distancias,sabemos que P Q = P Q, QR = QR y P R = P R, en consecuencia se tiene: P Q + QR =P Q + QR = P R = P R y en consecuencia P , QyR est´ an alineados





4. Considere el ´ angulo P QR. Verifique que el tri´ angulo P QR es congruente con el tri anguloP QR y que en consecuencia sus ´ angulos correspondientes son iguales, en particular tendremos

la igualdad P QR = P QR.

Ademas, las simetrıas centrales tiene la propiedad de que la composicion con ella misma dacomo resultado la identidad. Es decir si S c es la simetrıa de centro c, entonces S 2c (P ) = I (P ) = P.;

por otra parte las simetrıas centrales tiene la propiedad de que el segmento[P, Q] y el segmentoimagen [P , Q] son paralelos.

Se dice que un punto P es invariante por una transformacion cuando su imagen P coincide conP . Se dice tambien que el punto es un punto fijo por la transformacion. En el caso de las simetrıascentrales el unico punto que permanece invariante por ella es el centro mismo de la transformacion;para cualquier otro punto P del plano se tiene que su imagen P es diferente a P .

8.3.3 Simetrıas Ortogonales

Sea D una recta del plano. Llamamos simetrıa axial ortogonal o reflexion a la transformacion

del plano que a cada punto P del plano lo transforma en el punto P que satisface las siguientescondiciones:

1. El punto medio del segmento [P, P ] pertenece a la recta D.

2. El segmento [P, P ] es ortogonal o perpendicular a la recta D.

D

P

P

Si se tiene definido un sistema de coordenadas en el plano con P (x.y), P (x, y) y la ecuacionde la recta D viene dada en dicho sistema por Ax + By + C = 0, entonces se tiene que:

1. Las coordenadas del punto medio P m x + x

2 ,

y + y

2 del segmmento [P, P ] satisfacen la

ecuacion de la recta D : Ax + By + C = 0,

2. La pendiente del segmento [P, P ] es la recıproca negativa de la pendiente de la recta D. Ası

la pendiente del segmento [P, P ] debe ser el cociente B

A.





8.3.4 Propiedades de las simetrıas ortogonales

Las propiedades son similares a las propiedades de las simetrıas centrales, salvo que la propiedadde conservacion de los angulos se reduce solo a la conservacion de la medida de los angulos, no asıla orientacion de los mismos que en las simetrıas ortogonales la orientacion se invierte. Todas lasdemas propiedades son identicas.

Una figura se dice que tiene un eje de simetrıa ortogonal de eje D, cuando la figura quedainvariante al aplicarle la simetrıa. De las figuras usuales en geometrıa las siguientes poseen eje desimetrıa:

1. Los rombos. Sus ejes de simetrıa son sus diagonales.

D

D’P R

S

Q

S D(P ) = R, S D(Q) = Q, S D(R) = P y S D(S ) = S .

S D(P ) = P , S D(Q) = S , S D(R) = R y S D(S ) = Q.

2. El triangulo ABC isosceles en A tiene como eje de simetrıa la altura que sale de A.

3. El triangulo equilatero tiene sus tres alturas como ejes de simetrıa.

4. El rectangulo admite como ejes de simetrıa a las rectas que unen los puntos medios de suslados paralelos.

5. El cuadrado admite como ejes a sus diagonales y a las rectas que unen puntos medios de sus

lados paralelos.

P Q

RS

D2

D1

E 1

E 2





En este caso, por ejemplo, se tienen las siguientes correspondencias:S D1

(Q) = Q, S D1(S ) = S , S D1

(R) = P y S D1(P ) = R.

S E 1(Q) = R, S E 1(S ) = P , S E 1(R) = Q y S E 1(P ) = S .

Las simetrıas ortogonales ademas tienen, como las simetrıas centrales, la propiedad de que lacomposicion con ella misma es la identidad; es decir que S 2D(P ) = I (P ) = P ; sin embargo, en

las simetrıas ortogonales, un segmento [P, Q] y su segmento imagen [P , Q], en general, no sonparalelos.

En las simetrıas ortogonales los puntos fijos son todos los puntos que pertenecen a la recta desimetrizacion.

8.4 La Isometrıa Directa mas simple.

Teorema 10 Dados dos segmentos congruentes AB y AB, existe una isometrıa directa que transforma a A en A y a B en B. Adem´ as, de todas las isometrıas que cumplen esta condici´ on, las m´ as simple siempre ser´ a una rotaci´ on, o una traslaci´ on en caso excepcional.

Prueba 8 Si ABBA forma un paralelogramo, claramente la traslaci´ on de vector −−→AA transforma

A en A y B en B . Si en cambio ABAB forma un paralelogramo, tomando O como la intersecci´ on de AA con BB , una rotaci´ on de centro O y ´ angulo 180◦ funciona.23

A B

A B

A B

B’ A’

O

En cualquier otro caso (es decir, AB ∦ AB), sea P la intersecci´ on de AB con AB, y sea Ola otra intersecci´ on de los circuncırculos de los tri´ angulos AAP y BB P . Note que OPAA

y OPBB son cuadril´ ateros concıclicos, entonces ∠OAB = ∠OAB y ∠OBA = ∠OB A, y dadoque por hip´ otesis AB = AB se concluye que ABO ≡ ABO y tienen igual orientaci´ on. Note adem´ as que si llamamos α al ´ angulo que la recta AB forma al rotarse con centro P hasta coincidir con la recta AB, de nuevo por los cuadril´ ateros concıclicos se obtiene α = ∠AOA = ∠BOB.Ası, una rotaci on de centro O y ´ angulo α funciona como Isometrıa Directa que transforma a A en A y a B en B.

A B

A

B

P

O

α

α

α

23Observe que esta rotacion es una reflexion puntual respecto a O.





8.5 Descomposicion de Traslaciones y Rotaciones como Composicionde Simetrıas Axiales.

Ya se estudio el hecho que una Simetrıas Axial es una Isometrıa Indirecta, esto quiere decir que apesar que mantiene invariante las distancias cambia la orientacion de los angulos. En particular,si los vertices de un triangulo

ABC se recorren en sentido antihorario, los vertices del triangulo

imagen tras una simetrıa axial ABC se recorren en sentido horario. Si ahora se aplica otrasimetrıa axial (o la misma reflexion axial anterior, si se quiere) al ABC , el triangulo imagenABC cumple que sus vertices se leen en sentido antihorario. Ası, el ABC y el ABC

son triangulos congruentes y con la misma orientacion, esto significa que existe una isometrıa di-recta que transforma al ABC en el ABC .

Por otra parte, ya se sabe que una isometrıa directa siempre puede resumirse a una sola rotacion,o una sola traslacion en caso excepcional. A pesar que no es evidente, las Reflexiones Axialespueden utilizarse para generar Rotaciones y Traslaciones, lo que las convierte en las isometrıasmas fundamentales. Esto significa que cualquier isometrıa puede escribirse como la composicionde reflexiones axiales. Mas impresionante aun es que la cantidad de reflexiones axiales necesariases unicamente 2.

Teorema 11 Una Traslaci´ on puede descomponerse como el producto de dos Reflexiones Axiales.

Prueba 9 Si la traslaci´ on est´ a determinada por el vector −→AB, al tomar dos rectas paralelas entre

sı l1 y l2, y perpendiculares a −→AB, tales que la distancia desde l1 hasta l2 es igual a la mitad de

la longitud del vector −→AB, se cumple que la composici´ on de reflexiones axiales Rl2 ◦ Rl1 es igual a

la traslaci´ on T −→AB

.

l 1 l 2

2d

d

A B

P P 1P 2

Teorema 12 Una Rotaci´ on puede descomponerse como el producto de dos Reflexiones Axiales.

Prueba 10 Dada la rotaci´ on de centro O y ´ angulo α, se construyen dos rectas l1 y l2 que pasan

por O, y que cumplen que el ´ angulo desde l1 hasta l2 es igual a

α

2 . Es relativamente sencillomostrar que la composici´ on de reflexiones axiales Rl2 ◦ Rl1 es igual a la rotaci´ on de centro O y ´ angulo α.





l 1

2

O

A

A1

A2

B

B1

B2

α

A partir de estos dos teoremas anteriores es evidente el siguiente corolario:

Corolario 13 Toda Isometrıa Directa puede descomponerse como el producto de 2 Reflexiones Axiales.

Mas aun, una Isometrıa Indirecta o bien es una Reflexion Axial o bien la composicion de unaIsometrıa Directa con una Reflexion Axial, por lo tanto, toda Isometrıa Indirecta puede escribirsecomo la composicion de a lo sumo tres Reflexiones Axiales. De aquı se deriva el siguiente resultado,que es fundamental en la teorıa de Transformaciones Geometricas.

Teorema 14 Toda Isometrıa puede escribirse como la composici´ on de a lo sumo 3 Reflexiones Axiales.

8.6 Problemas de Traslaciones.

1. Sean ABCD un paralelogramo de centro O, la paralela a BD que pasa por A corta a laparalela AC que pasa por D en el punto E . ¿Cuales son las imagenes de A y D bajo la

traslacion del vector −−→EO?

2. Considere el triangulo ABC isosceles en A, I el punto medio de BC , D = t−→AC

(B) yE = t−→

BI (D). Estudie la naturaleza de los cuadrilateros ABDC y DECI .

3. Sean ABCD un paralelogramo de centro O, M y N los puntos medios de los segmentos DAy B C respectivamente. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones?

(a) Los puntos M, O y N son alineados.

(b) Los segmentos AB y C D son simetricos con respecto a la recta M N .(c) La traslacion que transforma D en C , transforma M en N .

(d) La rotacion de centro O y angulo AOD, transforma C en B .

(e) La traslacion de vector −→AC es igual a la traslacion de vector

−−→BD.

4. Construya un triangulo ABC , en seguida el punto D, simetrico de A con respecto a B, y

el transformado E de B por la traslacion de vector −→AC . Mostrar que el triangulo ABC es

el transformado del triangulo BDE por una traslacion la cual debe precisarse el vector.





5. Sea ABC un triangulo rectangulo en B, y H la proyeccion ortogonal de B sobre AC . Sedenotan por A y C los puntos tales que HBAA y HBCC son dos paralelogramos. ¿Cuales la naturaleza del cuadrilatero C AAC ?Sugerencia: Utilice la traslacion de vector

−−→BH .

6. Traslacion de una circunferencia:

(a) Sean Γ y Γ dos circunferencias de igual radio, centros respectivos O y O, y que secortan en A y B . Demuestre que Γ = T −−→

OO(Γ).

(b) Demuestre que A = T −−→OO(A) es el punto diametralmente opuesto a B en Γ.

(c) Dado un punto M sobre Γ, sea M = T −−→OO(M ) perteneciente a Γ. Demuestre que

MA ⊥ BM .

(d) Demuestre que A es el ortocentro del triangulo variable BM M .

(e) A partir de lo anterior, demuestre que si tres circunferencias de radios iguales pasanpor un punto H , y A, B, C , son las otras intersecciones al tomarlas dos a dos, H esel ortocentro del

ABC . Demuestre ademas que el circunradio del

ABC tiene la

misma longitud que los radios de las tres circunferencias.

7. Dado un punto fijo O, una circunferencia de radio constante que pasa por O gira tomandoO como centro de rotacion. Sea l una recta fija; para cada posicion de la circunferencia, setrazan las rectas tangentes a la circunferencia que son paralelas a l. ¿Que lugar geometricodescriben los puntos de tangencia de estas rectas?

8. Dado un rectangulo ABCD, se construye en su exterior un tri angulo cualquiera ABE .Demuestre que la recta perpendicular a AE que pasa por C , la recta perpendicular a EBque pasa por D, y la recta perpendicular a AB que pasa por E , concurren.Pista: Hay una traslacion que es la clave... y un ortocentro.

9. Dado un cuadrado ABCD, sean E y F puntos sobre los lados AB y BC , tales que AE = BF .Sea H la interseccion de AF con C E . Demuestre que H es el ortocentro del DEF .Pista: Trabaje con una rotacion de centro O para comparar los triangulos ABF y DAE ,donde O es el centro del cuadrado.

10. El cuadrado ABCD es de centro O y de lado a. Determine los puntos M sobre el lado AB ,N sobre el lado CD, tales que MN BC y que minimicen la poligonal OMNB, y expreseeste mınimo en funcion de a.Pista: Sea O = T −−→

BC (O).

11. Consdiere dos circunferencias de radios iguales Γ de centro O, y Γ de centro O, que se cortanen A y en B. Considere dos rectas paralelas l y l :

l pasa por A, corta nuevamente a Γ en P , y a Γ en P ;

l pasa por B , corta nuevamente a Γ en Q, y a Γ en Q.

Demuestre que P P QQ es un paralelogramo.

12. Demuestre que la composicion de dos traslaciones es otra traslacion.





8.7 Problemas de Simetrıas Centrales o Reflexiones Puntuales.

1. ¿Cuales son las figuras simetricas de la figura siguiente con respecto a las cuatro esquinasdel rectangulo?

2. Sean las rectas d y d secantes en O y el punto I no perteneciente a ninguna de las rectasanteriores.

(a) Construya el punto interseccion A de la recta d con la imagen de la recta d por lasimetrıa de centro I .

(b) La recta AI corta a d en B . Precise la posicion de los puntos I , A y B .

(c) Aplicacion: Construya un segmento de punto medio I , con uno de sus extremos en d yel otro en d .

3. Dado un triangulo ABC , sea M el punto medio de BC . D y E son las proyeccionesortogonales respectivas de B y C sobre la mediana AM . Utilizando propiedades de simetrıaspuntuales aplicadas a la simetrıa respecto a M , demuestre que B D = CE , ie, los vertices By C equidistan de la mediana AM .

4. Sea ABCD un paralelogramo de centro O. Especificar las imagenes de los puntos A, B, C y D por S 0.

5. El triangulo ABC es rectangulo en A; denotamos por D = S A (B) y E = S A (C ). ¿Cuales la naturaleza del cuadrilatero BCDE ?

6. Si ABCD y AECF son paralelogramos, ¿que tipo de cuadrilatero es BEDF ?

7. Dado un paralelogramo ABCD de centro O, se trazan dos rectas paralelas l y l pasandorespectivamente por A y C . Si l corta a la recta BC en E , y l corta a la recta DA en F ,

determine la naturaleza del cuadrilatero BEDF .8. Dado el paralelogramo ABCD de centro O, sean I y J puntos en el exterior del paralelogramo

tales que ADI y CBJ son triangulos rectangulos isosceles, con angulo recto respectivoen D y B . Demuestre que I , O y J estan alineados.

9. Dado un triangulo ABC , sean B1 y C 1 las proyecciones ortogonales respectivas de B y C sobre la mediana AA. Demuestre que BB1CC 1 es un paralelogramo.

10. Dado el triangulo ABC , encuentre el lugar geometrico de las simetrıas con respecto a C de los centros de las circunferencias que pasan por A y por B .





11. Dos circunferencias de radios iguales Γ y Γ son tangentes externamente en el punto T . Seanl y l dos rectas que pasan por T .

l corta nuevamente a Γ en M y a Γ en M .

l corta nuevamente a Γ en N y a Γ en N .

(a) Demuestre que M NM N es un paralelogramo.(b) ¿Que condiciones hay que imponer a las rectas l y l para obtener especıficamente: un

rombo, un recctangulo, un cuadrado.

(c) Demuestre que la composicion de dos reflexiones puntuales es una traslacion. En par-ticular, si los centros de reflexion coinciden, el resultado es la transformacion identidad.

8.8 Problemas de Rotaciones.

1. Dada la figura siguiente, construya las imagenes del cuadrado, triangulo y segmento obtenidospor la rotacion de centro O y de angulo 90◦ (en ambos sentidos).

O

2. Sean d una recta, O un punto no perteneciente a d y r la rotacion de centro O y angulo 120◦,en el sentido directo. Construir, en el siguiente orden:

(a) La proyeccion ortogonal de H de O sobre d.

(b) La imagen H de H por r.

(c) La imagen d de d por r .

(d) Si denotamos por I el punto interseccion de d y d, mostrar que O, I, H y H estansobre un mismo cırculo.

3. Sean: ζ un cırculo de centro O, r la rotacion de centro O y angulo de 50◦. El punto A

pertenece a ζ , denotemos por B la imagen de A por r y por C la imagen de B por r.

(a) Ilustre la situacion anterior.

(b) Exprese en grados los angulos del triangulo ABC .

4. Trace el segmento AB de 4cm. Ubique el punto O de tal forma que la rotacion de centro Oy angulo 90◦, muevan el punto A al punto B. ¿Cual es la distancia del punto O a la rectaAB.

5. (a) ¿Como trazar los vertices de un hexagono regular, utilizando solo el compas?





(b) Aplicacion: Dados dos puntos O y A: Construir utilizando solo el compas, el puntosimetrico de A con respecto a O y el transformado A por la rotacion de centro O yangulo 120◦.

6. Sea el cuadrado ABCD de centro O en sentido directo. M un punto del segmento AD y N su imagen por una rotacion de 90◦ en sentido directo y de centro O.

(a) Demostrar que N pertenece al segmento AB .

(b) Comparar las distancias de BM y CN , los angulos AOM y BON y las areas de lostriangulos BDM y CAN .

7. Dada una recta l y un punto O que no pertenece a l, demostrar que las imagenes de l alhacer todas las rotaciones de centro O, son las tangentes a una circunferencia fija.

8. Dada una recta l y un punto O fuera de ella, se construye un triangulo equilatero OABde tal forma que A varıa sobre l. ¿Que lugar geometrico describe B ?

9. Sobre los lados de un n-agono regular A1A2 · · · An se dibujan puntos B1, B2, . . . , Bn tal queA1B1 = A2B2 = · · · = AnBn. Demuestre que B1B2 · · · Bn tambien es n-agono regular.

10. Dado un cuadrado ABCD nombrado en sentido horario, sea I un punto en su interior talque DCI es equilatero, y J un punto en su exterior tal que BC J tambien es equilatero.Demuestre que A, I , J , estan alineados. Para ello:

(a) Construya las imagenes de J , I , A tras la rotacion Rπ

3

C y demuestre que estas tresimagenes estan alineadas.

(b) Concluya por propiedades de rotaciones que J , I , A, estan alineados.

11. Los triangulos ABC y ABC son triangulos rectangulos isosceles y con la misma ori-entacion. Demuestre que ABB ≡ ACC .

12. Rotacion de una circunferencia tomando un punto sobre la circunferencia comocentro de rotacion:Sean Γ y Γ dos circunferencias de radios iguales y centros respectivos O y O. Supongaque las circunferencias se cortan en los puntos A y B. Se traza una recta por B que cortanuevamente a Γ en P , y a Γ en P . Demuestre que

(a) AOP ≡ AOP .

(b) AOO AP P .

(c) La rotacion de centro A y angulo ∠OAO transforma a O en O y a P en P .(d) Concluya a partir de lo anterior que esta rotacion transforma a Γ en Γ.

13. ABCD es un cuadrado de centro O. Sean I , J , K , L, los puntos medios de los lados AB,BC , C D, DA. Demuestre que las rectas DI , AJ , BK , CL, se cortan en cuatro puntos queson los vertices de un cuadrado. Para ello, utilice una rotacion de centro O y angulo 90◦.

14. Sea ABCD un cuadrado en sentido directo. Sea M un punto de la recta BC . La rectaperpendicular en A a AM corta a C D en M . Se designa por r a la rotacion de centro A yde angulo 90◦ en sentido directo.





(a) Precisar las imagenes de las rectas AM y B C por r.

(b) ¿Cual es la naturaleza del triangulo AMM ?

M

A

M

D

C B

15. Sean los triangulos rectangulos isosceles OAB y OAB, con vertice comun O. Sea I elpunto medio de AB. Queremos establecer que las rectas OI y AB son ortogonales (dichode otra manera, que la mediana que sale de O en el triangulo OBA es la altura que desdeO se traza en el triangulo OB A).

(a) Sea r una rotacion de 90◦ en sentido directo de centro O y C el punto r (B). Demuestreque O es el punto medio de AC y que B C ⊥ AB.

(b) ¿Que representa la recta OI en el triangulo BAC ? Deducir que OI ⊥ AB.

B

O A

B

A

I

16. El cuadrado ABCD de lado a tiene por centro O . Otro cuadrado se ubica de tal forma queuno de sus vertices coincide con O. ¿Cual es el valor del area comun de los dos cuadrados?

17. El triangulo OAB es isosceles respecto a O, y ABCD es un paralelogramo. Se construyeE = R∠AOB

O (D). Demuestre que BC E es isosceles con respecto a B y que ∠AOB =∠CBE .

18. El paralelogramo y los cuadrados:

(a) Dado un paralelogramo ABCD, sea I un punto en el exterior tal que ABI es untriangulo rectangulo isosceles. Se construye tambien en el exterior el cuadrado BCFE .Demuestre que la rotacion de centro I y angulo de 90◦ transforma a D en E .





(b) Dado el paralelogramo ABCD, se construyen exteriormente los cuadrados ABPQ,BCSR, CDUT , DAWV , cuyos centros respectivos son I , J , K , L. Utilizando elproblema anterior, demuestre que IJKL es un cuadrado.

19. El triangulo ABC es equilatero en sentido directo y M es un punto interior en el triangulotal que M A = 5, M B = 4, MC = 3. Determine la medida del lado del ABC , para ello:

(a) Sea N = Rπ3

A (M ), determine las longitudes de los lados del triangulo CMN y precisela naturaleza de este triangulo.

(b) Con la ayuda de las relaciones metricas en el triangulo ACN , deduzca la longitud dellado del triangulo equilatero ABC .

20. La recta l y el punto A son fijos. Un punto M es escogido sobre l, se trazan dos circunferencia,una de centro A y de radio AM , y la otra de centro M y radio AM . ¿Cual es el lugargeometrico de los puntos de interseccion de las circunferencias cuando M varıa sobre l?

21. Sea ABCD un cuadrado. Se construye un rectangulo APQR tal que:

P y R estan sobre los lados AB y AD, respectivamente;

AP = DR.

El problema tiene por objeto mostrar que los segmentos CQ y P R son perpendiculares eiguales. Para ello:

1 Demostrar que B , Q, D, estan alineados.

2 Construya O , el punto medio B Q.

3 Determine las imagenes de C y Q tras la rotacion R90◦O .

4

Concluya.22. Sea ABCD un cuadrado tal que un punto P en su interior cumple que P A = 1, P B = 2 y

P C = 3. Determine la medida del angulo ∠AP B. Para ello

1 Defina P = R90◦B (P ).

2 Estudie la naturaleza del triangulo BP P y determine sus angulos.

3 Analice la naturaleza del triangulo P CP .

4 Con la informacion anterior, deduzca la magnitud de ∠AP B.

23. El triangulo equilatero

ABC tiene sentido horario y esta inscrito en una circunferencia de

centro O. Considere un punto M en el arco AB que no contiene a C . Se trata de compararMA + MB y M C .24

(a) Calcular la medida del angulo AMC .

(b) Sea M la imagen de M por la rotacion r de centro A y de angulo 60◦ (en sentidohorario). ¿Cual es la naturaleza del triangulo AMM ? Compare entonces AM conMM .

24Este problema tambien puede ser resuelto utilizando el Primer Teorema de Ptolomeo.

UES-FCNM-Escuela de Matematica-Profesorado en Matematica para Tercer Ciclo de EducacionBasica y Educacion Media pag.




(c) Precisar r (B).

(d) Demostrar con ayuda de los literales anteriores que M pertenece al segmento MC .Concluya que M A + MB = M C .

24. Los puntos E y F estan sobre los lados BC y CD de un cuadrado ABCD y son tales queBE = CF . Demostrar que el punto de interseccion H de las rectas BF y DE es el ortocentro

del triangulo AEF . Para ello: Sea O el centro de una cuadrado y r la rotacion de centroO y angulo 90◦ en sentido directo. Buscar las imagenes de AE y DE por r y explotar queluego de esta transformacion, una recta y su imagen....

25. Puntos de Fermat: Dado un triangulo ABC , se busca el punto P en su interior tal que lasuma de segmentos P A + P B + P C sea mınima. Para ello:

1 Dado un punto P cualquiera en el interior del triangulo ABC (consideramos los verticesse nombran en sentido antihorario), construya P = R60◦

A (P ) y C = R60◦A (C ). ¿El

triangulo ACC tiene algo especial?

2 Compare la suma P A + P B + P C , la poligonal BP P C y BC . ¿A que recta deberıa

pertenecer P para minimizar la suma de segmentos en cuestion?

3 Si B es un punto al exterior del ABC y cumple que BAB es triangulo equilatero,¿que relacion guarda el punto P que minimiza la suma con la recta CB.

4 Concluya la ubicacion exacta del punto P buscado.

5 Demuestre que si sobre los lados de un triangulo, se construyen exteriormente triangulosequilateros, las rectas que van de un vertice del triangulo dado al vertice mas alejado deltriangulo equilatero construido sobre el lado opuesto, son concurrentes. Este punto recibeel nombre del Primer Punto de Fermat ; el Segundo Punto de Fermat se obtiene cuandose dibujan tres triangulos equilateros pero hacia el “interior” del triangulo dado, y se

definen las rectas tal como en el caso anterior. En ambos casos, las rectas que concurrense relacionan una respecto a la otra con un giro de 60◦ de centro el punto de concurrencia.

26. Dados dos vectores no paralelos−→AB y

−−→AB, demuestre que la rotacion que transforma a uno

en el otro tiene por centro a la intersecci on de las mediatrices de los segmentos AA y BB .

27. Demuestre el teorema conocido como la Recta de Steiner . Para ello

1 Dado un triangulo ABC cuyo ortocentro es H , demuestre que los circunradios de lostriangulos ABH , BC H y CAH , son iguales.

2 Dado un punto P sobre el circuncırculo del triangulo ABC , construya P A, P B, P C , las

reflexiones axiales del punto P con respecto a las rectas BC , C A, AB .3 Utilizando la descomposicion de una rotacion como el producto de dos reflexiones axiales,

demuestre que P A se transforma en P B mediante una rotacion de centro C y angulo derotacion 2∠BC A.

4 A partir de lo anterior y utilizando propiedades referentes a la rotacion de una circunfer-encia cuando el centro de rotacion pertenece a ella misma, demuestre que P A, H y P Bestan alineados.

5 Repitiendo el proceso anterior, demuestre que P B, H y P C estan alineados, y analogamenteP C , H y P A.





6 Concluya que P A, P B, P C y H estan alineados. Esta recta se conoce como la Recta deSteiner respectiva al punto P .

28. Demuestre que la composicion de dos rotaciones es otra rotacion cuyo angulo de rotacion esigual a la suma docde los angulos de rotacion de cada rotacion componente, a excepcion queesta suma sea 360◦ o un multiplo de 360◦ en cuyo caso el resultado es una traslacion.

(a) Demuestre el caso cuando los angulos de rotacion suman 360◦k con k ∈ Z.

En los siguientes dos literales, se asume lo contrario al literal anterior: que la suma delos angulos no es de la forma 360◦k.

(b) Si los dos centros de rotacion originales coinciden, la rotacion resultante tambien tienedicho punto como centro de rotacion.

(c) En caso contrario, si O1 y O2 son los centros de rotacion originales, y los angulos derotacion respectivos son α y β , construya un cuadrilatero bisosceles OO1OO2 de tal

forma que O1O = O1O, O2O = O2O, y ademas ∠OO1O = α y ∠OO2O = β . Observeque al aplicar la primera rotacion a O se transforma en O, y al aplicar la segundarotacion a O se transforma en O, por lo que O queda invariante tras esa composicionde rotaciones y por tanto es el centro de rotacion.

8.9 Problemas de Reflexiones Axiales.

1. Determine los ejes y centros de simetrıa de cada figura:

(a) Un punto y un cırculo.

(b) Un cırculo que pasa por dos puntos dados.

(c) Un segmento y un punto.

(d) Dos rectas paralelas y un punto.

2. Dado un hexagono regular ABCDEF , encontrar seis rotaciones y seis simetrıas que lo dejaninvariante.

3. ¿Puede suceder que al quitar 2011 puntos a un cırculo, se obtenga una figura que admita uneje de simetrıa?, ¿y un centro de simetrıa?

4. Dadas dos circunferencias de radios iguales y centros O y O, demuestre que tanto la recta OO

como la mediatriz del segmento OO funcionan como ejes de simetrıa de la figura geometricaformada por las circunferencias.

5. Sea ABCD un rombo: ¿Cuales son los puntos simetricos de A, B , C y D:

(a) con respecto a AC ?

(b) Con respecto a B D?

6. Construya con el compas el punto simetrico de un punto P con respecto a una recta dada,con solo dos trazos.





7. Sea d una recta y S d la reflexion de eje d. Para dos puntos A y B , se establece: A = S d (A)y B = S d (B). En cada uno de los casos siguientes, coloque los puntos A y B de manera que:

(a) AABB sea un rectangulo;

(b) AABB sea un rectangulo;

(c) AB y AB sean ortogonales.

8. El triangulo ABC es rectangulo en A. I y J son los puntos medios de BC y AC , finalmente∆ AC . P y Q son las intersecciones de ∆ con I C e I A, respectivamente.

(a) Probar que AI y IC son simetricas con respecto a I J .

(b) Demuestre que el triangulo P IQ es isosceles.

9. Trace el cuadrado ABCD y determine en cada caso los ejes de simetrıa que intercambia lasrectas D y D.

(a) D = AC y D = BD.

(b) D = AB y D = AD.

(c) D y D son las medianas de un cuadrado.

10. Considere el triangulo ABC . Construya los puntos M que esten a igual distancia de ABy AC , y ademas sean equidistantes de B y C .

11. Sean las rectas D y D tangentes al cırculo C de centro O. Encuentre los puntos M de larecta ∆ , tales que la reflexion de eje OM intercambie D y D .

12. En los siguientes problema conteste si es Verdadero o Falso:

(a) Un triangulo equilatero admite un centro de simetrıa.

(b) Ningun triangulo tiene exactamente dos ejes de simetrıa.

(c) La figura siguiente, admite dos centros de simetrıa.

(d) En una rotacion de 60◦, el centro de la rotacion, un punto y su imagen tras la rotacion,son los vertices de un triangulo equilatero.

(e) Si las tangentes en dos puntos A y B de un cırculo de centro O son perpendiculares,entonces el triangulo AOB es rectangulo isosceles.Para los ejercicios siguiente, considere el cuadrado ABCD de centro O, M y N lospuntos medios de los lado B C y DC respectivamente.

(f) La imagen de M por la reflexion de eje CA y la de C por la rotacion de centro O yangulo de 45◦ coinciden.

(g) La rotacion de centro A y angulo de 45◦, transforma M en N .





(h) OM y ON son las bisectrices de las diagonales del cuadrado.

13. A y C son los simetricos de A y de C con respecto a la diagonal BD del paralelogramoABCD.

(a) Sea O el centro de del paralelogramo. Demostrar que la simetrıa de centro O transforma

A en C . (Utilice este hecho para justificar que la imagen de la mediatriz de un segmentoes la mediatriz de su segmento imagen).

(b) Deduzca que AACC es un rectangulo.

14. En la siguiente figura, ABCD es un rectangulo. Nos proponemos establecer que IJKL esun rombo.

(a) Sea ∆ la mediatriz de AB y S ∆ la reflexion de eje ∆. Determine las imagenes de AK y DI por S ∆ y deducir que I y K pertenecen a ∆.

(b) Demostrar que J y L pertencen a la mediatriz de B C .

(c) Concluya.

A

CD

B

K

I

JL

15. Sea l una recta fija, y A y B dos puntos distintos que no pertenecen a l. Para cada puntoM en l, se construyen dos circunferencias: la primera centrada en A y que pasa por M , yla segunda con centro en B pasando tambien por M . Estas dos circunferencias se cortannuevamente en M . ¿Cual es el lugar geometrico que describe M cuando M varıa?





16. Problemas de Optimizacion: En cada uno de los problemas siguientes, de un algoritmopara construir los puntos convenientemente.

(a) Principio de Heron: Dada una recta l y dos puntos A y B que no pertenecen a esta,¿que punto M en l minimiza la suma de segmentos AM + MB?

(b) Dadas dos rectas l y l , sea M un punto variable sobre l, y M un punto variable sobre

l. Fijado un punto A, ¿que posiciones deben tomar M y M para que la suma desegmentos AM + MM sea mınima?

(c) Dadas dos rectas l y l , el punto M varıa sobre l mientras que M varıa sobre l . Dadosdos puntos A y B, ¿que posiciones deben ocupar M y M para que la poligonal AM M Btenga longitud mınima? Considere dos casos: cuando l l y cuando l ∦ l .

(d) Sean A y B dos ciudades divididas por un rıo. Las alcaldıas de las ciudades han decididoconstruir un puente, pero si escogen una ubicacion inadecuada, los costos se elevaraninnecesariamente. El costo depende principalmente de la longitud del recorrido. ¿Quepuntos deben escogerse como extremos del puente para minimizar el recorrido?Nota: Suponga que el rıo tiene orillas paralelas y el puente debe ser construido perpen-

dicular a las orillas.

17. Sea ABCD un rectangulo, y se construyen las imagenes P y Q de B y D al hacer unareflexion con respecto a AC . Precise la naturaleza de los cuadrilateros AP CQ y BPDQ.

18. Sean Γ y Γ dos circunferencias de igual radio y tangentes exteriormente en un punto I .Sea Γ1 una circunferencia concentrica a Γ y de radio mayor. Sea A uno de los puntos deinterseccion de Γ con Γ1, la recta AI corta nuevamente a Γ en B, y a Γ1 en C . Demuestre

que AI = I B = BC .Pista: Utilice el eje de simetrıa de las circunferencias para concluir un igualdad de segmentos,y la simetrıa puntual en I para la otra igualdad.

19. La carrera de las banderas: En el terreno rectangular ABCD con dimensiones AB = 90m yBC = 60m, sea I el punto medio del lado AB. Cada concursante participa individualmente,iniciando su recorrido en el punto I , debe colocar la primer bandera en la lınea AD, despuesuna segunda en la lınea DC , una tercera en la lınea CB y la ultima bandera en la esquinaA. ¿Donde deben los concursantes colocar sus banderas para que el trayecto recorrido seamınimo? ¿cual es la longitud de ese trayecto?





20. El Problema de Fagano: Dado un triangulo acutangulo ABC , sean P , Q, R, puntos sobrelos lados BC , C A, AB , respectivamente. Determine la ubicacion exacta de los puntos P , Q,R, para que el triangulo variable P QR tenga perımetro mınimo. Para ello:

1 Construya P , la reflexion de P con respecto a CA, y P , la reflexion de P con respectoa AB. Luego, compare la longitud de P P , la longitud de la poligonal P QRP y el

perımetro del P QR.2 Demuestre que independientemente de la ubicacion de P , el ∠P AP es constante, ¿que

valor toma? Determine a partir de esta informacion que ubicacion debe tener P para queP P se minimice.

3 Fijado el punto P del numeral anterior, construya convenientemente los puntos Q y Rpara que la poligonal P QRP se minimice.

4 Concluya. ¿Que nombre recibe el triangulo encontrado?

5 ¿Que sucede si el triangulo ABC no es acutangulo?

21. Golf en miniatura. Se trabajara con la hipotesis siguiente: “Las trayectorias de la bolasde golf tienen las mismas propiedades que las taryectorias de las bolas de billar”. Encontrarpara cada una de las bolas 1 y 2 una trayectoria que permita entrar en el agujero T .

BOLA UNO

BOLA DOS

T




Geometrıa I. 9 Similitudes

9 Similitudes

9.1 Similitudes: Teoremas Fundamentales.

Lema 15 Coordenadas Triangulares o Triangulaci´ on: Dado un tri´ angulo de referencia ABC , a cada punto del plano P corresponde una terna de n´ umeros no negativos ( pa, pb, pc), que

representan las tres distancias de P a los vertices A, B y C ; recıprocamente, dada una terna de n´ umeros no negativos ( pa, pb, pc), existe a lo sumo un punto P cuyas distancias a los vertices de ABC vienen dadas por eso n´ umeros.

Prueba 11 La primera parte es evidente, se demostrar´ a a continuaci´ on el recıproco: Dada la terna ( pa, pb, pc), se construyen dos circunferencias, la primera con centro en A y radio pa, y la segunda con centro en B y radio pb, las cuales se cortan en a lo sumo dos puntos P 1 y P 2. Note que AB es la mediatriz de P 1P 2, y como se ha supuesto que el ABC es un tri´ angulo propio (nohay vertices que coinciden, y los tres vertices no est´ an alineados), el punto C no pertenece a la mediatriz de P 1P 2; por lo tanto las distancias C P 1 y C P 2 son forzosamente distintas, y en el mejor de los casos, alguna de estas tiene el mismo valor que pc y el punto P quedarıa entonces definido.25

Definicion 9.1 Similitud: Es una transformaci´ on de puntos del plano al mismo plano tal que las razones de las distancias se mantienen constantes. Esto quiere decir que dados dos puntos

25Este recurso es muy utilizado en la navegacion tanto aerea como marıtima; por ejemplo, para saber la ubicacionde un avion en las cercanıas de un aeropuerto, basta con tener los datos que arro jan tres radaras no alineados.





cualesquiera A y B, sus im´ agenes tras la similitud A y B cumplen que AB = k · AB, con k una constante positiva fija llamada la Raz on de Similitud .

Obseraciones:

La constante k se ha restringido a los positivos, porque se esta hablando de cociente entredistancias, no de segmentos dirigidos; es decir, en la definicion, los segmentos son considerados

como segmentos usuales, ademas, no tendrıa sentido hablar de segmentos dirigidos, porqueno hay garantıa que AB y AB se encuentren sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

Si k = 1, la similitud se degenera en una Isometrıa o Movimiento.

Teorema 16 Las similitudes mapean segmentos en segmentos.

Prueba 12 Sea S una similitud de raz´ on k que mapea A en A y B en B; si P es un puntocualquiera del segmento AB, y se define P como su imagen tras la similitud, se tiene que

AB = k · AB

= k (AP + P B)

= k · AP + k · P B

= AP + P B

Porlo que P est´ a en el segmento AB.

A partir de este resultado se deriva facilmente el siguiente corolario, su demostracion se dejacomo ejercicio.

Corolario 17 La similitud de una recta es otra recta.

Teorema 18 La similitud de un ABC es un tri´ angulo semejante ABC .

Prueba 13 Note que k = AB

AB = BC

BC = C A

CA = y el resultado se sigue por el criterio de semejanza

lll.Definicion 9.2 Similitud Directa, Similitud Opuesta: Dada una similitud,si los tri´ angulos preimagen e imagen tienen la misma orientaci´ on, decimos que la similitud es una Similitud Directa;en cambio, si la orientaci´ on de los tri´ angulos es opuesta, se le llama Similitud Opuesta.

Teorema 19 La similitud de una circunferencia de centro O y radio r es otra circunferencia cuyocentro es la imagen de O tras la similitud, y el radio es kr.





Prueba 14 La justificaci´ on es muy simple: si P es un punto cualquiera sobre la circunferen-cia preimagen, O y P son las im´ agenes de O y P , respectivamente, entonces al mover P , P

tendr´ a la caracterıstica P O = k · P O que es una cantidad constante, por lo que P describe una circunferencia de centro O y radio k · P O.

Teorema 20 Una similitud queda perfectamente definida si se conoce el efecto sobre los vertices

de un tri´ angulo.

Prueba 15 Denotemos por S a la similitud. Dado el ABC , suponemos conocidas sus im´ agenes A = S (A), B = S (B) y C = S (C ). Sea P un punto cualquiera, por lo discutido en el lema de la triangulaci´ on, P es la intersecci´ on de tres circunferencias de centros A, B, C , y radios P A, P B,P C ; luego, las similitudes de estas tres circunferencias son respectivamente tres circunferencias,de centros A, B, C , y radios k · P A, k · P B, k · P C , que se cortan en exactamente un punto P .Por lo tanto, tomando P = S (P ), la similitud queda perfectamente definida para cada punto P .

Corolario 21 Dados dos segmentos AB y AB, existen exactamente dos similitudes que transforman a un segmento en el otro, una de ellas es una similitud directa y la otra es similitud

opuesta.

Prueba 16 Tomando un punto arbitrario C que no este sobre AB, existen dos puntos C 1 y C 2tales que ABC ABC 1 y ABC ABC 2, en una de las semejanzas los dos tri´ angulos tienen la misma orientaci´ on y en la otra tienen orientaci´ on opuesta; entonces, por el teorema anterior, para cada caso existe exactamente una similitud, una de ellas es una similitud directa y la otra es una similitud opuesta.

Teorema 22 Composici´ on de Similitudes: El producto de dos similitudes de razones respec-tivas k1 y k2 es otra similitud cuya raz´ on es k1k2. En particular, el producto de dos similitudes directas es otra similitud directa.

Prueba 17 Dadas las similitudes S 1 y S 2, y un segmento AB cualquiera,

S 1 (AB) = A1B1 = k1 · AB

S 2 ◦ S 1 (AB) = S 2 (A1B1) = A2B2 = k2 · A1B1 = k2k1 · AB

Dado que esto se cumple para todos los segmentos, S 2 ◦S 1 es otra similitud cuya raz´ on de similitud es k1k2. En particular, si las similitudes son directas, al tomar un tri´ angulo ABC cualquiera, la imagen S 2 ◦ S 1 (ABC ) = A2B2C 2 es tal que ABC A2B2C 2 en orden directo, por lo que la composici´ on es una similitud directa.

9.2 Similitud de figuras geometricas fundamentales.

Problema 1 Similitud de Rectas:

Ya se estudi´ o el efecto que tiene una similitud sobre una recta, sin embargo, hay algunos detalles m´ as que es importante estudiar.

1. Demuestre que la imagen de un segmento tras una similitud es otro segmento, y la imagen de una recta tras una similitud es otra recta.





2. Demuestre que la imagen de un ´ angulo tras una similitud es otro ´ angulo de igual magnitud.Existen dos casos: si la similitud es directa, el ´ angulo resultante tiene adem´ as el mismosentido; en cambio, si la similitud es opuesta, el ´ angulo resultante tiene orientaci´ on contraria al original.

3. Demuestre que la similitud de un semiplano es otro semiplano.

4. Por otra parte, dadas dos rectas l y l, existe una infinidad de similitudes que transforma a l en l:

(a) Si AB es un segmento fijo en l y AB es un segmento escogido arbitrariamente en l,las dos similitudes que transforman AB en AB transforman toda la recta l en toda la recta l. Demuestrelo.

(b) En particular, una recta l se transforma en l mediante una similitud directa de centroO (un punto cualquiera que no pertenece a ninguna de las rectas) si las proyecciones ortogonales respectivas desde O a l y l, son correspondientes. Demuestrelo.

Problema 2 Similitud de Tri´ angulos: Demuestre que

1. La similitud de un tri´ angulo es otro tri´ angulo semejante al original. La similitud es directa si la orientaci´ on de los tri´ angulos es igual, y es similitud opuesta en caso contrario.

2. La similitud del interior de un tri´ angulo es el interior de tri´ angulo imagen.

3. La similitud mapea alturas en alturas, medianas en medianas, bisectrices en bisectrices, etc.De igual manera, el circuncentro es transformado en el circuncentro del tri´ angulo imagen, y lo mismo para el resto de puntos notables.

4. Dados dos tri´ angulos semejantes, la similitud que mapea un tri´ angulo en otro existe y es

´ unica, salvo transformaciones equivalentes (que tienen el mismo efecto neto).

Problema 3 Similitud de Circunferencias: Demuestre que

1. La similitud de una circunferencia es otra circunferencia, de tal manera que el centro de la circunferencia preimagen es transformado en el centro de la circunferencia imagen.

2. Una similitud transforma el interior de una circunferencia en el interior de la circunferencia resultante, y an´ alogamente sucede con el exterior. Adem´ as, la similitud transforma radios en radios, di´ ametros en di´ ametros, cuerdas en cuerdas, rectas tangentes en rectas tangentes,´ angulos centrales en ´ angulos centrales, etc.

3. Dadas dos circunferencias, existe una infinidad de similitudes que transforman una en la otra:

(a) Basta tomar dos tri angulos semejantes en cada circunferencia y buscar la similitud que transforma a un tri´ angulo en el otro, luego, sus circuncırculos deben corresponderse tambien.





(b) En particular, si al segmento que une los centros de las circunferencias se le construye su circunferencia de Apolonio26 con raz´ on igual a la raz´ on entre los radios, todos los puntos de esta nueva circunferencia funcionan como centro de una similitud directa que transforma una circunferencia en la otra.

9.3 Descomposicion de una similitud.Lema 23 Sean O y P los puntos de intersecci´ on de dos circunferencias dadas Γ y Γ (estos puntos pueden colapsar en uno s´ olo, cuando las circunferencias son tangentes) de centros C y C , respec-tivamente. Se trazan dos rectas por P , cortando nuevamente a Γ y Γ respectivamente en A y A,la primera, y en B y B, la segunda. Se cumple entonces que

1. OAA OBB OCC .

2. OAB OAB.

3. ABC ABC .

Prueba 18 Aunque el enunciado del lema no lo establece, todas las semejanzas que se pide probar son de pares de tri´ angulos con igual orientacion.

1. Por propiedades de ´ angulos inscritos, ∠P AO = ∠P BO y ∠P AO = ∠P BO, y el resultadose sigue por el criterio de semejanza de tri´ angulos aa. Se deja la demostraci´ on de la ´ ultima semejanza como ejercicio.

2. Por el numeral anterior, OAOB

= OA

OB y ∠AOA = ∠BOB, entonces

∠AOB = ∠AOA − ∠BOA

= ∠BOB − ∠BOA

= AOB

La semejanza buscada se obtiene a partir del criterio lal.

26Dados dos puntos A y B, el lugar geometrico de los puntos P tales que AP

PB = k , con k una constante dada, es

una circunferencia, llamada Circunferencia de Apolinio de raz´ on k correspondiente al segmento AB. En particular,si k = 1, la circunferencia se degenera en la mediatriz del segmento AB . Es importante aclarar que en esta definicionse trabaja con segmentos usuales.





3. Del numeral anterior, ∠AOB = ∠AOB , y por propiedades del ´ angulo central

∠ACB = 2∠AOB

= 2∠AOB

= ∠AC B

y dado que los tri´ angulos ABC y ABC son is´ osceles, por criterio aa o por lal se demuestra que son tri´ angulos semejantes.

Teorema 24 Toda similitud directa de raz´ on k puede descomponerse como el producto de una isometrıa directa y de una homotecia de raz´ on k, gener´ andose dos grandes casos:

1. Si la similitud transforma un segmento AB en un segmento paralelo AB, entonces

(a) es una traslaci on por la transformaci´ on identidad, o

(b) es una simetrıa por la transformaci´ on identidad, o bien

(c) es una homotecia de raz´ on positiva k por una isometrıa de mismo centro.

2. Si la similitud transforma un segmento AB en un segmento no paralelo AB, es el productode una rotaci´ on por una homotecia de raz´ on k, de tal manera que tanto rotaci´ on como la homotecia tienen el mismo centro.

Adem´ as, en cada uno de los casos, el producto es conmutativo.

Prueba 19 Dado un segmento AB, sea AB el segmento resultante tras la similitud; note que esta similitud es ´ unica, porque es una similitud directa, y la otra similitud que transforma AB en AB es una similitud opuesta. Se sabe que AB = k · AB, analicemos cada caso:

1. (a) Si AB

AB, k = 1 y con igual orientaci´ on, lo cual se resume

−−→AB =

−→AB, entonces

evidentemente hay una traslaci´ on que transforma −→AB en −−→AB; a saber T −→v −→AB =−−→AB, con −→v =

−−→AA =

−−→BB . Entonces, tomando como homotecia a la transformaci´ on

identidad ι (cuya raz´ on de homotecia es 1) se tiene que

S = ι ◦ T −→v = T −→v ◦ ι

lo cual es un producto conmutativo de una isometrıa por una homotecia con la misma raz´ on que la similitud.

(b) Por otra parte, si AB AB, k = 1 pero los segmentos tienen orientaci´ on contraria, lo

cual se resume −−→AB =

−

−→AB, entonces es una simetrıa puntual con centro O, el punto

de intersecci´ on de AA con BB. De nuevo, tomando por homotecia a la transformaci´ on identidad se obtiene el resultado

S = ι ◦ σO = σO ◦ ι

(c) Si AB AB y k = 1 entonces tomando por centro O, la intersecci´ on de AA con B B,

y raz´ on q =−−−→AB−→AB

, la homotecia HO,q transforma −→AB en

−−→AB. Si q > 0, el problema

est´ a terminado ya que la raz´ on de similitud k coincide con la raz´ on de homotecia q y

S = ι ◦ HO,k = HO,k ◦ ι





Pero si q < 0 entonces la homotecia se descompone como una reflexi´ on puntual con respecto a O seguida de HO,−q, y dicho producto es conmutativo; ası, tomando k = −q

S = σO ◦ HO,k = HO,k ◦ σO

2. Finalmente, si AB ∦ AB, sea P la intersecci´ on de AA con BB; se trazan los circuncırculos

de los tri´ angulos P AB y P AB, los cuales se cortan nuevamente en O (no puede ser que O coincida con P , porque en tal caso las circunferencias serıan tangentes en P y por tanto AB AB, lo cual contradice la hip´ otesis), por el lema del inicio de la secci´ on,OAB OAB con raz´ on de semejanza k. Entonces, definiendo θ = ∠AOA = ∠BOB,es posible descomponer la similitud como sigue

S = RθO ◦ HO,k = HO,k ◦ Rθ

O

Note que reflexion puntual es una rotacion de 180◦, y es usual que la traslacion se considerecomo una rotacion cuyo centro se ha alejado al infinito; ası, considerando estos casos extremos, unasimilitud directa siempre puede descomponerse como el producto conmutativo de una rotacion poruna homotecia, ambas con el mismo centro. A la composicion de una rotacion con una homoteciade mismo centro suele llamarsele Rotaci´ on Dilatativa , que es una transformacion que depende deun centro, un angulo y una razon de homotecia, y generalmente se denota por

RθO,k. Por lo tanto

S = RθO,k

El siguiente cuadro muestra un resumen

S θO,k θ = 0◦ θ = 180◦ 0◦ < θ < 180◦

k = 1 Traslacion Simetrıa puntual σO Rotacion RθO

k = 1 Homotecia positiva HO,k Homotecia negativa HO,−k Similitud S θO,k





Corolario 25 Toda similitud de raz´ on k puede descomponerse como el producto de dos reflexiones axiales por una homotecia de raz´ on k, o bien, una homotecia de raz´ on k por dos reflexiones axiales,de tal manera que el centro de homotecia coincide con el punto de intersecci´ on de los ejes de reflexi´ on.

Prueba 20 Por el teorema anterior, toda similitud de raz´ on k puede descomponerse como el

producto de una rotaci´ on por una homotecia de raz´ on k, o bien, como una homotecia de raz´ on kpor una rotaci´ on (incluyendo el caso en el que la rotaci´ on sea una traslaci´ on), tales que ambas transformaciones comparten centro; solamente resta descomponer la rotaci´ on (o traslaci´ on) comodos reflexiones axiales cuyos ejes pasan por el centro de rotaci´ on, lo cu´ al es un resultado conocido.

Teorema 26 Toda similitud opuesta de raz´ on k puede descomponerse como el producto de una reflexi´ on axial por una homotecia de raz´ on k, de tal manera que el centro de homotecia pertenece al eje de reflexi´ on. Adem´ as, este producto es conmutativo.

Prueba 21 Dado un segmento AB , sea AB la imagen tras la similitud opuesta S ; note que esta similitud es ´ unica. En este teorema tambien hay que considera una variedad de casos:

1. AB AB

(a) Si −−→AB = k

−→AB con k > 0, se traza una recta arbitraria l perpendicular a estos vectores.

Sea −−−→A1B1 = σl

−→AB

, y sea O1 la intersecci´ on de las rectas AA1 con BB1. Luego, se

traza una recta m que pasa por O1 y es perpendicular a l, sea −−−→AB = σm

−→AB

y se

define O como la intersecci´ on de AA con BB. Entonces se cumple que O pertenece a m y

HO,k ◦ σm

−→AB

= σm ◦ HO,k

−→AB

=

−−→AB

Note adem´ as que si k = 1, m se convierte en una recta paralela y equidistante a ABy AB, y la homotecia se deforma en una traslaci´ on paralela a m; de cualquier forma,este caso ya se estudi´ o antes, porque la similitud se comporta en particular como una isometrıa opuesta.

(b) Si en cambio −−→

AB = k−→AB con k < 0, se construye una recta arbitraria l paralela

a AB y AB, sea −−−→

A1B1 = σl

−→AB

, y se define O1 como la intersecci´ on de A1A

con B1B. Luego, se traza una recta m que pasa por O1 y es perpendicular a l, sea −−−→AB = σm

−→AB

, y se define O como la intersecci´ on de AA y BB. Entonces se

cumple que O pertenece a m y

HO,k ◦ σm−→

AB

= σm ◦ HO,k−→

AB

=−−→AB

En particular, si k = −1, m se convierte en el eje de simetrıa de −→AB y

−−→AB, y la

homotecia se deforma en un desplazamiento paralelo a m.

2. AB ∦ AB. Sea Q la intersecci´ on de AB con AB. Sea l una de las dos bisectrices del

∠AQA tal que la reflexi´ on de −→AB con respecto a l sea un vector en la misma orientaci´ on

pero sentido contrario que −−→AB, y sea l1 una recta arbitraria paralela a l (y distinta de l).





Sea −−−→A1B1 = σl1

−→AB

y se define O1 como la intersecci´ on de A1A con B1B. Luego, se

construye una recta m que pasa por O1 y es perpendicular a l, sea −−−→AB = σm

−→AB

y O es

el punto de intersecci´ on de AA con BB. Se cumple entonces que O pertenece a m y

HO,k

◦σm

−→AB = σm

◦ HO,k

−→AB =

−−→AB

Ac´ a tambien es posible que los segmentos sean iguales AB y AB sean iguales, en tal caso, la recta m tiende a ser una bisectriz del ∠AQA y la homotecia se deforma en un desplazamientoen la direcci´ on de m.

En todos los casos, es f´ acil verificar que el producto encontrado es una similitud opuesta, y dadoque esta ya est´ a determinada de manera ´ unica, es entonces la transformaci´ on buscada. Ası, se obtiene

S = HO,k ◦ σm = σm ◦ HO,k

Como comentario final, dado que las Similitudes (al igual que las isometrıas) pueden descom-

ponerse en transformaciones elementales (Reflexiones, Traslaciones, Rotaciones, Simetrıas y Ho-motecias), heredan todas las propiedades comunes, por ejemplo, que son todas transformacionesbiyectivas continuas; esto permite extender las similitudes a cualquier otra figura geometrica plana,incluyendo algunas muy complicadas como una fotografıa, una funcion exponencial o un fractal,por mencionar algunos ejemplos.

Ademas, las Similitudes son el soporte para el trabajo de la geometrıa tal como la conoce-mos, por ejemplo, cuando se demuestra el Teorema de Pit agoras, se suele hacer un dibujo y sesobrentiende que la prueba sera cierta independientemente si el dibujo es pequeno o grande, estatrasladado, rotado o reflejado; tal como lo definio Felix Klein

La Geometrıa es el estudio de las propiedades que se mantienen invariantes tras similitudes.

9.4 Problemas de Similitudes.

1. Dada una similitud de razon k, si el segmento AB se transforma en AB, demuestre que lossiguientes algoritmos funcionan para descomponer la similitud:

(a) Si la similitud es directa:

1 Defina θ = −→AB,

−−−→AB.

2 Construya el arco capaz de puntos P tal que ∠AP A = θ; construya ademas la

circunferencia de Apolonio de razon k (la razon de la similitud) respectiva al segmentoAA.

3 Demuestre que la interseccion de estas dos construcciones es el centro de la similituddirecta que transforma AB en AB.

(b) Si la similitud es indirecta:

1 Construya un punto I sobre el segmento AA tal que −→IA + k

−→IA = 0.

2 Construya una recta m que pase por I y ademas cumpla AB,m = m,AB (igualdad deangulos orientados).





3 Sea −−−→A1B1 la reflexion de

−−→AB con respecto a m, y construya O como la interseccion

de AA1 con B B1. Demuestre que O pertenece a m.

4 Demuestre que σm◦HO,k es la similitud buscada, y que este producto es conmutativo.

5 Ademas, si m es la recta perpendicular a m que pasa por O, σm ◦ HO,−k tambienfunciona como la simetrıa buscada, pero ahora la homotecia es de razon negativa.

2. Algoritmo para construir la imagen de un punto tras una similitud directa si ya se conoceel centro de la similitud y se conoce tambien el efecto que esta tiene sobre un punto dadodistinto del centro.

1 Suponga que O es el centro de la similitud y que la imagen de A es A. Construya Γ, elcircuncırculo del OAA.

2 Dado un punto X , construya Q, la otra interseccion de AX con Γ.

3 Construya X , la otra interseccion de QA con el circuncırculo del OXQ.

4 Demuestre que X es la imagen de X tras una similitud directa que tiene a O por centroy a A lo transforma en A.

3. Tres circunferencias de centros A, B, C , se cortan en un punto O. Se trazan los diametrosOAA, OBB, OCC . Demuestre que los lados del ABC pasan por los otros puntos deinterseccion de las circunferencias.

4. Se tienen n circunferencias Γ1, Γ2, . . . , Γn que se cortan en O. Un saltamontes salta de unpunto X i perteneciente a Γi, a un punto X i+1 perteneciente a Γi+1, de tal manera que larecta X iX i+1 pasa por el la interseccion de Γi y Γi+1 distinta de O . Demuestre que despuesde n saltos (de Γ1 a Γ2, de Γ2 a Γ3, . . . , de Γn−1 a Γn y finalmente de Γn a Γ1) el saltamontesregresa al punto inicial.

5. Dado un triangulo fijo OM 0M 0, si M y M son puntos variables tales que el OM M esdirectamente semejante al OM 0M 0, entonces

(a) El lugar geometrico que describe M es directamente semejante al lugar geometricodescrito por M ; en particular, si M describe una recta, M tambien describe una recta.

(b) Si ademas se coloca otro punto fijo P 0, y otro punto variable P , tal que el MM P es directamente semejante al M 0M 0P 0, entonces el lugar geometrico que describe P tambien es directamente semejante a los lugar geometricos de M y M

6. Utilice propiedades de rotaciones dilatativas para probar los teoremas conocidos como laRecta de Simson-Wallace y la Recta de Steiner:

(a) Dada una rotacion dilatativa de centro O, una recta l (asuma que no pasa por O) estransformada en otra recta l. Si A es un punto variable sobre l, demuestre que A, laimagen de P tras la rotacion dilatativa, pertenece a l .

(b) Si l y l se cortan en un punto I , demuestre que el circuncırculo del triangulo variableOAA siempre pasa por I .

(c) Para cada triangulo OAA, sea H el pie de la altura trazada desde O hacia AA.Demuestre que cuando A varıa sobre l, H describe una lınea recta m.





(d) En particular, si I 0 es el punto sobre l tal que su imagen tras la rotacion dilatativa es I mientras que I es la imagen de I , demuestre que los pies de las alturas trazadas desdeO en los triangulos OI 0I y OII pertenecen a m.

(e) Tomando en cuenta todo lo anterior, considere momentaneamente que A es un punto fijoy por tanto IAA tambien; observe que O pertenece al circuncırculo de este triangulo,y desde O se trazan las perpendiculares a los lados del mismo tri angulo. Demuestre quelos pies de estas perpendiculares estan alineados (la Recta de Simson-Wallace respectoal IAA aplicada sobre el punto O).

(f) Repita todo el proceso anterior para demostrar el teorema de la Recta de Steiner: enlugar de tomar los pies de las alturas, ahora considere las reflexiones de O respecto aAA cuando A varıa sobre l.

(g) Este metodo funciona para muchos otros puntos, ¿que sucede por ejemplo con los puntosmedios de los segmentos AA cuando A varıa sobre l? ¿y los pies de las bisectrices? ¿ylos centroides del OAA?, . . .

(h) Demuestre que en particular el circuncentro del

OAA describe la mediatriz del seg-

mento OI .(i) Y si cambiamos l suponiendo que es una circunferencia, ¿que describe el ortocentro del

OAA? ¿y el circuncentro? ¿y el centro de la circunferencia de los 9 puntos?, . . .

7. Sea l una recta y A un punto fijo que no pertenece a l. Se construye un triangulo rectanguloisosceles variable ABC de tal forma que B pertenece a l y el angulo recto esta en B .

(a) Determine el lugar geometrico de C .

(b) Determine el lugar geometrico de los puntos medios de los lados y del centroide deltriangulo.

8. Sea OAB un triangulo rectangulo en O. Un punto variable M describe la perpendicularen A a la recta AB . La perpendicular en O a la recta OM corta a AB en M .

(a) Demuestre que el triangulo OM M se mantiene semejante a un triangulo fijo.

(b) Determine el lugar geometrico del punto medio del segmento M M .

(c) Determine el lugar geometrico del vertice P del rectangulo M AM P .

9. Sean l y l dos rectas paralelas y O un punto fijo. Una secante variable que pasa por O cortaa l y l en M y M , respectivamente. Sea Γ la circunferencia de diametro M M .

(a) Determine el lugar geometrico de los puntos de contacto de las rectas tangentes trazadasdesde O hacia Γ.

(b) Demuestre que cada uno de estos lugar geometricos determinan una cuerda de longitudconstante en Γ.

10. Sean I , J , K , los puntos medios respectivos de los lados BC , CA, AB, del triangulo ABC .Ademas, M , N , P , son los vertices del angulo recto de los triangulos rectangulos isosceles yen sentido directo BM C , CNA, AP B.

(a) Aplique al vector −→IN el producto de similitudes S

π

4

B,√ 2

2

◦ S π

4

C,√ 2.





(b) Compare los triangulos BM N y MCP y demuestre que las tres rectas AM , BN yCP son concurrentes.

11. Sobre los lados del ABC se construyen los triangulos equilateros en sentido directo BAC ,CBA, AC B, de centros respectivos I , J , K .

(a) Aplique al vector −→IJ el producto de similitudes S π

6

B, √ 33 ◦ S

π

6

C,√ 3 y deduzca la naturalezadel triangulo IJK .27

(b) Demuestre que los tres triangulos ABC , ABC y IJK tienen el mismo centroide.

(c) Demuestre que las rectas AA, B B, C C concurren en un punto F .28 Este punto tieneademas las siguientes caracterısticas:

Fijado el triangulo ABC , la suma de segmentos F A + F B + F C es la mınimaposible.

∠AF B = ∠BF C = ∠CF A = 120.

12. Dos circunferencias se cortan en A y B, y las cuerdas AM y AN son tangentes a estascircunferencias. Se construye el punto C tal que AMCN es un paralelogramo y se dividenlos segmentos orientados BN y MC en igual proporcion por los puntos P y Q. Demuestreque ∠AP Q = ∠ANC .Pista: Demuestre que la rotacion dilatativa que transforma a M en B, tambien transformaa C en N .

13. Sean Γ1 y Γ2 dos circunferencias no concentricas. Demuestre que existen exactamente dosrotaciones dilatativas con angulo de rotacion de 90◦ que mapea a Γ1 en Γ2.

14. Demuestre que el centro de la rotacion dilatativa que transforma a −→AB en

−−→BC es la inter-

seccion de la circunferencia que pasa por A tangente a BC en B, con la circunferencia que

pasa por C tangente a AB en B .

15. Considere dos pentagonos regulares con un vertice en comun. Los vertices de cada pentagonoestan numerados del 1 al 5 en sentido antihorario tal que el vertice comun tiene asignadoel 1. Los vertices con igual numero son unidos por lıneas rectas. Demuestre que las cuatrorectas ası obtenidas concurren.

16. Los puntos A y B se mueven a lo largo de dos rectas secantes con velocidades constantespero distintas. Demuestre que existe un punto P tal que en cualquier momento P A

P B = k,

donde k es la razon de las velocidades.

17. Demuestre que el centro de una rotacion dilatativa que transforma al segmento AB en elsegmento AB coincide con el centro de la rotacion dilatativa que transforma AA en BB .

18. Cuatro rectas secantes dos a dos generan cuatro triangulos. Demuestre que los circuncırculosde estos cuatro triangulos tienen un punto en comun.

27Teorema de Napoleon.28Punto de Fermat.

En total hay dos triangulos de Napoleon y dos puntos de Fermat, cuando los triangulos se dibujan exteriormente ycuando se dibujan “interiormente”.





19. Dado un triangulo ABC , sea D un punto cualquiera en el mismo plano del triangulo. Paracada punto D se construyen los triangulos ADE y DBF semejantes en igual orientacional ABC . Demuestre que CFDE es un paralelogramo.

20. Sea ABCD un paralelogramo que no es un rombo. Se dibuja la recta simetrica a AB conrespecto a AC , y tambien la recta simetrica a C D con respecto a BD, estas rectas se cortan

en Q. Ademas, O es la interseccion de las diagonales AC y BD. Demuestre que Q es elcentro de una rotacion dilatativa que transforma a AO en OD.

21. Demuestre que la composicion de rotaciones dilatativas S θA2, 1

k

◦ S θA1,k es una rotacion cuyo

centro es el mismo de una rotacion que transforma a A1 en A2 y cuyo angulo de rotacion es2 −−−→

M A1,−−−→M M 1

, donde M es un punto arbitrario y M 1 = S θA1,k (M ).

Pista: Si O es el centro de la rotacion dilatativa S θA2, 1

k

◦ S θA1,k, defina O1 = S θA1,k (O) y

demuestre que OA1R ≡ OA2R.

22. Los triangulos MAB y MCD son semejantes pero tienen orientacion distinta. Sea O1 elcentro de la rotacion de angulo 2 −→

AB,−−→BM

que mapea a A en C ; sea O2 el centro de la rotacion

de angulo 2 −→AB,

−−→AM

que mapea a B en D. Demuestre que O1 coincide con O2.

23. Dado un triangulo ABC , sean A, B, C , puntos sobre BC , CA, AB, respectivamente,tales que ABC ABC (con igual orientacion). Sean P la interseccion de AA conBB , Q la interseccion de BB con CC , y R la interseccion de CC con AA. Demuestreque los circuncırculos de ABP , ABP , BC Q, BC Q, CAR y C AR, tienen unpunto en comun.




Geometrıa I. 10 Rectas y Planos

10 Rectas y Planos

10.1 Posiciones relativas entre rectas y planos.

Sea a una recta y P un plano, las posiciones relativas entre la recta y plano pueden ser:

Paralelos: Si no se intersecan, en sımbolos a

||P . Ver Fig. 95

Figure 95: Recta paralela a un plano.

Secantes: Se intersectan en determinado punto, en sımbolos a ∩ P . Ver fig. 96

Figure 96: Recta secante a un plano.

Recta contenida en el plano: Si dos puntos de la recta pertenecen al plano, en sımbolosa ⊂ P . Ver fig. 97

Figure 97: Recta contenida en un plano.





10.2 Rectas coplanares y rectas alabeadas.

Sean a y b dos rectas, se llaman rectas coplaneras a aquellas que estan contenidas en el mismo plano.

Dos rectas coplanares pueden ser:

Paralelas: Cuando no se intersectan, en sımbolos a

||b. Ver fig. 98

Figure 98: Rectas paralelas.

Secantes: Cuando se intersectan en un punto M, a ∩ b = {M }. Ver fig. 99

Figure 99: Rectas secantes.

Cuando las rectas no son coplanares ni se intersectan se llama alabeadas. Ver fig. 100

Figure 100: Rectas alabeadas.

10.3 Recta paralela a un plano.

Una recta es paralelaa un plano cuando la recta y el plano no tiene ningun punto en comun. Paraque una recta sea paralela a un plano, es una condici on necesaria y suficiente que dicha recta,siendo exterior al plano, sea paralela a una recta que este contenida en el plano. Ver fig. 101





Figure 101: Rectas paralela a un plano.

10.4 Recta perpendicular a un plano.

Para que una recta sea perpendicular a un plano es condicion necesaria y suficiente que dicha rectasea perpendicular a dos rectas secantes que esten contenidas en el plano. Ver fig. 102

Figure 102: Recta perpendicular a un plano

Hay que tener en cuenta que para que dos rectas sean perpendiculares, estas no necesariamentedeben intersectarse, puesto que dos rectas son perpendiculares si, siendo secantes o alabeadas for-

man un angulo recto.

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces sera perpendicular a todas las rectas del plano.

10.5 Planos paralelos, planos secantes y planos perpendiculares.

Dados dos planos, P y Q, estos pueden ser:

Paralelos: Si los planos no se intersectan, se escribe P||Q. Ver fig. 103.





Figure 103: Planos paralelos.

Secantes: Si se intersecan, en este caso la interseccion siempre sera una recta. Ver fig. 104.

Figure 104: Planos secantes.

Perpendiculares: Cuando se intersecan formando un angulo recto. Ver fig. 105.





Figure 105:

10.6 Teorema de las Tres Perpendiculares.

Teorema 27 Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendic-ular a una recta contendida en el plano, entonces al unir el pie de esta segunda perpendicular con

un punto cualquiera de la primera, el segmento resultante ser´ a perpendicular a la recta contenida en dicho plano. Ver fig. 106

Figure 106:





10.7 Teorema de Thales en el espacio.

Teorema 28 Tres o m´ as planos paralelos determinan sobre dos o m´ as rectas secantes o alabeadas segmentos proporcionales. Ver fig. 107 .

Figure 107:

10.8 Angulo entre un plano y una recta secante al plano.

El angulo que forman una recta y un plano se define como el angulo formado por dicha recta y su

proyeccion sobre el plano.

Figure 108: Angulo entre una recta y un plano.

En la fig. 108, la recta AH es la proyeccion de la recta AB sobre el plano P , entonces diremosque ∠BAH , es el angulo que forman la recta AB con el plano P





10.9 Angulo diedro.

Si dos semiplanos tienen la misma arista pero no estan en el mismo plano, entonces la reunion delos dos semiplanos y su arista comun es un ´ Angulo diedro. La recta que es la arista comun de losdos semiplanos se llama arista del ´ angulo diedro y los semiplanos se denominan caras .

Figure 109: Angulo diedro.

En la figura 109, AB es la arista del diedro y los semiplanos P y Q son sus caras. Un angulodiedro se denota escribiendo la letra d seguido de un guion y luego las letras correspondientes desu arista. Por ejemplo, para la figura 109, el diedro se denotara por: d − AB

10.10 Medida de un angulo diedro.

Un diedro se mide segun su ´ angulo plano o ´ angulo rectilıneo, que viene a ser el angulo determinadoal trazar perpendiculares a la arista del diedro en un mismo punto de ella y que estan contenidasen las caras del diedro.

Figure 110:

En la figura 110, los rayos −−→OE y

−→OF son perpendiculares a la arista AB . Ademas,

−−→OE ⊂ Q y





−→OF ⊂ P . Luego, ∠EOF es el angulo plano o angulo rectilıneo del diedro AB; lo cual se denotaası:

m∠EOF = m d − AB

De lo anterior podemos concluir que La medida de un ´ angulo diedro es un n´ umero real y positivo

que es la medida de cada uno de sus ´ angulos rectilıneos.

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Geo Me Triai Prof 2013