Geo

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO" FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMTICA

Trabajo De Investigacin

ALGUNAS CURVAS Y SUPERFICIES EN MATLAB"

Presentado por:

CHINININ CRUZ WILMER FERNANDO MALHABER MONTENEGRO MIGUEL ANGEL

LAMBAYEQUE PER 2011

ndice general

1. Curvas 1.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Funcin Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Hlice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Vectores tangentes a una curva paramtrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Triedo de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Supercies 2.1. Paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Toro de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. La Cinta de Mbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Preparacin de pelculas o Movies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Perturbacin y Modelacin de Supercies 3.1. Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [BIBLIOGRAFIA]

8 8 9 10 11 11 12 13 15 17 18 18 19 20 21 22 24 28

2

Geometra Diferencial

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Resumen

El presente trabajo de investigacin se basa en presentar curvas y supercies expuestas en clase de Geometra diferencial y gracarlas en Matlab, para obtener un mejor entendimiento sobre ellas. En la primera parte de cada seccin presentaremos los comandos a utilizar, luego nos enmarcaremos en la presentacin grca de las curvas ms conocidas y utilizadas como ejemplos en el libro de Introduccin a la geometra diferencial de curvas y supercies"[6]. En cada curva daremos el respectivo comando a utilizar en Matlab y tambin analizaremos algunas de ellas. En la segunda parte del trabajo, representaremos las supercies ms importantes y que tomaremos como base para modelar en la tercera seccin. En la ltima seccin que corresponde a la modelacin presentaremos las deniciones, teoremas, corolarios y observaciones ms importantes que se tienen en anlisis y topologa.[7] Luego presentaremos los modelos que han sido producto de la perturbacin y deformacin homotpica, presentando en nuestro trabajo 2 modelos, el primero que es sobre el pltano y el segundo que es sobre la lechuga. Finalmente daremos las conclusiones y algunas recomendaciones. Los autores


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Marco lgico

1.-Situacin Problemtica: El futuro es ahora, como nunca antes en nuestra historia, las nuevas tecnologas se han vuelto inseparables de nuestra vida cotidianda y sobre todo con ms impacto en la educacin. Los estudiantes de ciencias e ingeniera no podemos ser ajenos al uso de sofware para mejorar el entendimiento de Curvas y Supercies. Sabemos que la geometra de la realidad no es tan perfecta como la que imaginamos en clase, y es por eso que tratamos de construir objetos que se asemejen a nuestra realidad. Basndonos en sto, nos vimos en la necesidad de utilizar el sofware de MATLAB para gracar curvas y supercies ya conocidas; a partir de sto, utilizando deniciones y teoremas de Anlisis Matemtico y Topologa Algebraica, modelaremos curvas y supercies de la realidad.

2.-Problema: Es posible construir curvas o supercies de la realidad a partir de algunas curvas o supercies ya conocidas con ayuda del sofware MATLAB?

3.-Objetivos: 1. Aprender a usar el sofware de MATLAB. 2. Analizar las curvas a partir del grco. 3. Modelar objetos de la realidad utilizando deformaciones homotpicas y perturbaciones.


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Introduccin

Lo que pretendemos con este Proyecto de investigacin es desarrollar una introduccin a la construccin grca de curvas y supercies en MATLAB , el cual es una herramienta importante en matemtica que nos permite visualizar el comportamiento de una curva. Actualmente la representacin grca en las computadoras facilita el estudio de la regularidad, la existencia de rectas y de planos tangentes. Sobre las curvas se estudian la longitud de curva, torsin y curvatura; sobre las supercies, reas y volmenes de slidos limitados por supercies, integrales simples y mltiples, campos vectoriales, etc.


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Preliminares

0.0 MATLAB 7.0La primera versin de matlab data de los aos 70, fue creado por Cleve Moler y surgi con la idea de emplear paquetes de subrutinas escritas en Fortran en los cursos de Teora de Matrices, lgebra Lineal y Anlisis Numrico. Es el nombre abreviado de MATrix LABoratory. Hoy en da, MATLAB es un gran programa de clculo tcnico y cientco muy potente, para realizar clculos numricos con vectores y matrices, como caso particular puede tambin trabajar con nmeros escalares tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de informacin ms complejas. Una de las capacidades ms atractivas es la de realizar una amplia variedad de grcos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene tambin un lenguaje de programacin propio (lenguaje M) de alto nivel. Est disponible para las plataformas Unix, Windows y Apple Mac OS X. Matlab se ha desarrollado sobre un periodo de aos con entradas provenientes de muchos usuarios, en los entornos universitarios, matlab es la herramienta instructiva estndar para cursos avanzados e introductorios en matemticas, ingeniera y ciencia. En la industria Matlab es la herramienta escogida para investigacin de alta productividad, desarrollo y anlisis. Matlab presenta una familia de soluciones a aplicaciones especcas de acoplamiento rpido llamadas ToolBoxes. Los toolboxes son colecciones muy comprensibles de funciones MATLAB, o archivos de matlab (M-les) que extienden el entorno de MATLAB para resolver clases particulares de problemas, Algunas reas en las cuales existen toolboxes disponibles son: Procesamiento de seales, Sistemas de control, Redes neuronales, Lgica difusa, Wavelets,Simulacin.


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0.0 Comandos a utilizarAl construir la graca de una funcin y = f (x) en el intervalo [a, b], se debe tener presente que Matlab dibuja las curvas punto a punto; es decir, calcula los puntos (x; f (x)), para los valores de x que se le indique y representa dichos puntos unidos por un segmento. Por ello, se empieza estableciendo la matriz la x cuyos elementos son los valores de x para los que se calcular el valor correspondiente de f (x). Si la distancia entre dos valores consecutivos de x es convenientemente pequea, el aspecto nal ser el de una verdadera curva en lugar de una poligonal. El comando fplot(f,[a,b]) graca la funcin f en el intervalo [a, b] siendo f la regla de correspondencia. Para crear otros grcos bidimensionales tambin se usa plot(x, y), donde los argumentos x e y son vectores con el mismo nmero de elementos. Para representar una funcin del tipo y = f (x) con el comando plot, el usuario necesita crear primero un vector con los valores de x del dominio de la funcin. En seguida, crear el vector y = f (x) con los correspondientes valores de f (x) y nalmente gracar la funcin f con plot. En el espacio de tres dimensiones la forma ms sencilla de crear un grco 3 D es mediante la funcin plot3, cuya sintaxis es bastante similar a la de la funcin plot. El comando x = linspace(a, b, n) crea el vector x de n elementos en el cual el primer elemento es a y el ltimo es b, todos igualmente espaciados. Existen otros comandos para gracar funciones tales como inline, que transforma en funcin la cadena de caracteres. Por ejemplo, para gracar la funcin z = f (x, y) = x2 + y 2 , con inline(x.^2+y.^2,x,y) se crea la funcin f . En Matlab se usa el signo comentarios. Toda expresin despus del signo los comandos subplot, contour, contour3, quiver, comet, etc.

CAPTULO 1.0

Curvas

1.1 CircunferenciaSea C la semicircunferencia unitaria. Para hallar los puntos que se obtienen al variar el parmetro t en el intervalo [0,2], con un incremento de /4, usamos el comando LINSPACE de la manera siguiente. linspace(0,2*pi,n); donde las dos primeras coordenadas nos indican el intervalo y la ltima nos indica en cuantas partes se va a dividir el intervalo de tal manera que al hacer correr el parmetro t, nos arroje un bosquejo de la grca. Siempre se recomienda colocar un nmero grande para dividir el intervalo. Ubicando y uniendo los puntos en el plano cartesiano, obtenemos:1 0.8 0.6

>>t=linspace(0,2*pi,9); >>plot(cos(t),sin(t))

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

1 0.8 0.6

>>t=linspace(0,2*pi,3000); >>plot(cos(t),sin(t))

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1

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qu se deduce de ello?, podemos explicar como Matlab realiza los ploteos de las funciones? Para facilitar el clculo de curvatura y radio de curvatura, haremos uso de la siguiente proposicin:

Proposicin 1. Si f : I R una funcin diferenciable entonces su grca es una curva regular y su curvatura y radio de curvatura estan determinados por: (1 + f (t)2 ) 2 k(t) = ; (t) = 3 f (t) (1 + f (t)2 ) 23

f (t)

1.2 Funcin CuadrticaSu ecuacin parametrica de dicha curva es (t) = (t, t2 ), luego gracaremos su traza. >> t=linspace(-5,5,3000); % divide el intervalo [-2,3] en 3000 partes. >> y=t^2; %imgenes de las componentes de x >>plot(t,y), grid on, >> hold on; >> x=-4*t.^3; >> z=(1/2)+3*t.^2; >> plot(x,z) >> plot(x,z),grid on >> plot(x,z,r),grid on7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 1 0 1 2 3

t [a, b]

calcularemos su longitud de arco. >> t = -5:.01:5;


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>> x = t; y = t.^2; >> sum = 0; >> for j = 1:100 dx = x(j+1) - x(j); dy = y(j+1) - y(j); sum = sum + abs(dx)+abs(dy); end >> sum sum = 10.0000

Haciendo uso de la proposicin 1 anteriormente mencionada, obtenemos rpidamente la evoluta de (t) = (t, t2 ) es : e(t) = (4t3 , 1 + 3t2 ) 2 la gura anterior de color rojo. y su traza la podemos observar en

1.3 CicloideLa ecuacin de la cicloide es (t) = (t sen(t), 1 cos(t)) y si nosotros la representamos en un intervalo [0, 6]. El comando en matlab ser:2

>> t = linspace(0,6*pi); >> x = t-sin(t); y = 1-cos(t); >> plot(x,y)

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20

Ahora haremos el calculo para hallar la longitud de arco del intervalo [0, 2] utilizando el siguiente comando. >> normderiv=inline(sqrt((1-1*cos(t)).^2+(1*sin(t)).^2),t); >> quad8(normderiv,0,2*pi) ans = 8.0000


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1.4 AgnesiAgnesi la funcin que describe esta curva es f (x) = mando a utilizar ser:2 1.8 1.6 1.4

a3 . x2 +a2

veamos para a=2. El co-

>>f plot(8/((x^2)+4),[-50,50])

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 50 0 50

1.5 CardioideCardioide Ecuacion r = 1 + cos() donde [0, 2].su traza en matlab es:90 120 1.5 2 60

>>teta=linspace(0,2*pi,60); >>r=1+cos(teta); >>polar(teta,r)

150

1 0.5

30

180

0

210

330

240 270

300


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1.6 Hlice1. Hlice circular recta. Sus ecuaciones paramtricas son: x=sent, y=sent, z=t, t [0, 10] . vamos a gracar la curva, usando plot3

>>t=0:pi/50:10*pi; %t=linspace(0,10*pi,2000)

40

30

20

>>plot3(sin(t),cos(t),t),grid on,axis Square0 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0.5 0 1

10

2. Gracar la siguiente curva con ecuaciones parametricas: x=t*sen(t),y=t*cos(t),z = t2 . >>t=0:pi/10:10*pi; %(t=linspace(0,10*pi,2000))

1000 800 600 400

>>plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t.^2),grid on,axis Square0 40 20 0 20 40 40 20 20 0 40

200


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1.7 Vectores tangentes a una curva paramtrica1. Vectores tangentes a una semicircunferencia en 10 puntos de la curva. A la semicircunferencia le adicionamos los vectores tangentes con hold on >>t=linspace(0,pi,30); >> plot(cos(t),sin(t)); >>hold on; %permite adicionar otros grficos >>t=linspace(0,pi,10); >>quiver(cos(t),sin(t),-sin(t),cos(t)). %vectores tangentes a la curva1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

2. Ahora veamos los vectores tangentes a la hlice circular recta, con el siguiente cdigo: >> t=linspace (0,4*pi,101); >> x=inline(cos(t)); >> y=inline(sin(t)); >> z=inline(t/(2*pi)); >> plot3(x(t),y(t),z(t))2.5

>> hold on >> for s=linspace(0,4*pi,17); p=[x(s),y(s),z(s)]; v=[-sin(s),cos(s),1/(2*pi)]; arrow3(p,v,r) end >> view(135,40)

2 1.5 1 0.5 0 2 1 0 1 2 2 1 0 1

2


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3. Encontraremos el Vector tangente en el punto (-1,0,1/2)en un angulo de 45 de la Helice circular recta , con el siguiente codigo: syms t x=cos(t); y=sin(t); z=t/(2*pi); ezplot3(x,y,z,[0,4*pi]); hold on %Dibujamos el punto (-1,0,1/2) y su imagen plot3(-1,0,1/2,bo) lambda=linspace(-1,1); X3=-1+lambda*sqrt(2)/2; Y3=0+lambda*sqrt(2)/2; Z3=1/2-2*lambda*sqrt(2); line(X3,Y3,Z3,LineWidth,2,color,black)z

x = cos(t), y = sin(t), z = 1/2 t/

4

2

0

2

4 1 0.5 0 0.5 y 1 2 1 x 0 1


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1.8 Triedo de FrenetEl triedo de Frenet constituye la siguiente base. T (t) = (t) (t)

(El vector Unitario Tangente ), N (t) = (el vector Binomal )

T (t) T (t)

(vector Normal princi-

pal), B(t) = T (t) N (t)

1. Gracar la curva (t) = (2.t, t2 , t3 /2) con t [0, 2] y mostrar el triedo de Frenet en matlab tenemos: >> t = 0:.01:2; >> x = inline(2*t); >> y = inline(t.^2); >> z = inline(t.^3/2);4 T N B

>> plot3(x(t), y(t), z(t))3

>> axis equal2 N

T B

>> hold on1

>> frenet(x,y,z) enter a value of enter a value of enter a value of enter a value of t t t t 0 .8 1.4 1.80 4 N 2 0

N B

T

B

T 4 2 0

6

2

2


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2. obtener el triedo de Frenet de la Helice Circular recta denido: (t) = (cos(t), sen(t), t/(2.)) [0, 4.]. >> t=linspace (0,4*pi,101); >> x=inline(cos(t)); >> y=inline(sin(t)); >> z=inline(t/(2*pi)); >> plot3(x(t),y(t),z(t)) >> axis equal1 B T N T 0 1 0 1 0.5 0 0.5 N N N T B 2

,

1.5 B

B

>> hold on >> frenet(x,y,z) enter a value of enter a value of enter a value of enter a value of t t t t 0 pi/2 pi 3*pi/20.5 T

CAPTULO 2.0

Supercies

Matlab permiterealizar grcos en tres dimensiones, tantde lineas como de SUPERFICIES, siendo sencillo crear objetos grcos a traves de los siguientes comandos Plot3(x,y,z) .- Dibuja el conjunto de puntos (x,y,z) en un sistema de tres dimensiones meshgrid(x,y) .- Crea arreglos bidimensionales a partir de los arreglos x e y, para elaborar la graca de una supercie explicita z=f(x,y) contour(x,y,z) .- Graca las curvas de nivel de la supercie explicita z=f(x,y) surf(x,y,z) .- Graca una supercie explicita z=f(x,y) con los arreglos x , y e z; pintando cada una de las celdas surfc(x,y,z) .- Graca una supercie explicita z=f(x,y) con los arreglos x , y e z; Proyectando las curvas de nivel en el plano xy sur(x,y,z) .- Graca una supercie explicita z=f(x,y) con los arreglos x , y e z; considerando una iluminacin en formato bsico cylinder( f )(x,y,z) .- Graca una supercie de revolucin generada por la rotacin de la funcin f=f(t) en el intervalo denido para t quiver3(x,y,z,u,v,w,c) .- Graca los vectores de componentes (u,v,w) en los puntos (x,y,z),c indica el tamao de los vectores

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2.1 Paraboloide

8 7 6

>> [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2); >> plot3(x,y,x.^2+y.^2)

5 4 3 2 1 0 2 0 2 2 1 0 1 2

2.2 EsferaPara poder trazar la esfera usaremos el comando Sphere >>[x; y; z] =sphere(n) , donde n indica el nmero de puntos en los que queda dividido tanto el ecuador de la esfera como el meridiano principal >> surf(x,y,z) Dibuja a una esfera de radio 1 y centro (0; 0; 0).Si el centro es (x0; y0; z0) y el radio r bastara poner Vectores normales a una esfera: >>[x,y,z]=sphere(20); >>surfnorm(x,y,z) graca la esfera y los vectores en cada punto de interseccin de los paralelos con los meridianos.


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>> [x,y,z]=sphere(20); >> x=2+3*x;y=2+3*y;z=3*z;% con centro (2,2,0)y r=3 >> surf(x,y,z)

5 4 3 2 1 0 1 6 4 2 0 2 2 0 4 2 6

2.3 Toro de revolucinConsideremos en R3 la circunferencia C = {(x, y, z)/(y 2)2 + z 2 = 1, x = 0},al rotar C alrededor del eje Z se obtiene el toro. Una parametrizacin para esta curva esta dado por (u, v) = (cos u(2 + cos v), sen u(2 + cos v), sen v), 0 u 2; 0 v 2 La grca del toro se obtiene con la secuencia de comandos:

>> u=linspace(0,2*pi,41);v=u; >> [u,v]=meshgrid(u,v); >> x=cos(u).*(2+cos(v)); >> y=sin(u).*(2+cos(v)); >> z=sin(v); >> surf(x,y,z) >> axis([-3 3 -3 3 -1 1])1 0

1 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3


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2.4 La Cinta de MbiusEs una supercie que se puede construir a partir de una tira de papel de forma rectangular ABCD. Torciendo la tira, una sola vez, de manera que se haga coincidir el vrtice A con el vrtice C y el vrtice B con el vrtice D obteniendo la supercie mencionada. Se genera con la siguiente funcin vectorial: r(u, v) = ( v sen u , (1 + v cos u ) sen u, (1 + v cos u ) cos u), 2 2 2 2 2 2 0 u 2; 1 v 1 La grca de la cinta de Mbius se obtiene con la secuencia de comandos:

>> u=linspace(0,2*pi,30); >> v=linspace(-1,1,15); >> [u,v]=meshgrid(u,v); >> z=(1+v/2.*cos(u/2)).*cos(u); >> y=(1+v/2.*cos(u/2)).*sin(u); >> x=v/2.*sin(u/2); >> surf(x,y,z)1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 1 0 1 2 0.5 0 0.5


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2.5 ElipsoidePara gracar el elipsoide simplemente se tiene e cuenta las parametrizaciones siguientes: (u, v) = (cos(u). cos(v), sen(u). cos(v), 3 sen(v)) . Luego, veamos como es su grca en Matlab. >> u=linspace(0,2*pi,41); >> v=linspace(-0.5*pi,0.5*pi,41); >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> X=cos(U).*cos(V); >> Y=sin(U).*cos(V); >> Z=3*sin(V); >> surf(X,Y,Z)1.5 2

axis([-1 2 -1 1 -3 3])

1 0.6 0.4 0.2 0.5 0 0.2 0 0.4 0.6 0.5 0.8 1 1


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2.6 Preparacin de pelculas o MoviesMatlab dispone de funciones para generar una pelcula, la que se compone de varias imgenes, denominadas frames. La funcin getframe devuelve un vector columna con la informacin necesaria para reproducir la imagen que se acaba de representar en la ventana grca activa, el tamao de este vector columna depende del tamao de la ventana,pero no de la complejidad del dibujo. La funcin moviein(n) reserva memoria para almacenar n frames. >> M=moviein(30);1

>> M=moviein(30); >> x=[-2*pi:0.2:2*pi]; >> for j=1:30 y=sin(x+j*pi/8); plot(x,y); M(:,j)=getframe; end >> movie (M,10,15)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 8 6 4 2 0 2 4 6 8

Este ejemplo crea una pelicula de 30 imagenes (como la que se muestra), que se almacenan como las columnas de la matriz M. Una ves creada la pelicula, se puede visualizar el nmero de veces que se desee con el comando movie, en el ejmplo se va a representar 10 veces pelicula anterior , a 15 imgenes por segundo (los dos ultimos parametros son opcionales). Hay que sealar que en Matlab no es lo mismo un movie que una animacin. Una animacion es simplemente una ventana grca que va cambiando como consecuencia de los comandos que se va ejecutando. Un movies es una animacion grabada o almacenada en memoria previamente.

Geometra Diferencial >> axis off; >> m=moviein(30); >> for n=1:30; xa=-2:0.2:2; ya=-2:0.2:2; [x,y]=meshgrid(xa,ya); z=x.^2-y.^2; surf(z); view([-37.5+6*n 30]); axis([0 25 0 30 -4 4]); axis off; m(:,n)=getframe; end >> movie(m,60,10)

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Un ejemplo mas sencillo en curvas es la siguiente animacin de la Helice circular recta.(hacer correr un punto en su traza de dicha curva)x = cos(t), y = sin(t), z = 1/2 t/

>> syms t5

>> x=cos(t); >> y=sin(t); >> z=t./(2*pi); >> ezplot3(x,y,z,[0,10*pi],animate)z

4 3 2 1 0 1 0.5 0 0.5 y 1 1 0.5 x 0.5 0 1

CAPTULO 3.0

Perturbacin y Modelacin de Supercies

En sta seccin abordaremos temas de inters en la actualidad. Para poder desarrollar sta parte recomendamos revisar el tema de homotopa y de perturbaciones. A continuacin daremos los conceptos ms importantes para poder entender el tema. Denicin de modelo a El objetivo de un modelo consiste en reproducir la relidad de la forma ms el posible, tratando de entender cmo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que pueden esperarse de determninadas acciones. b En la prctica se utilizan muchos tipos de modelos, la seleccin del modelo adecuado para reproducir la realidad es una etapa crucial para obtener una solucin satisfactoria a un problema real. c Un modelo es una abstraccin selectiva de la realidad. Teorema 1. Una aplicacin f : X Y es un homeomorsmo, si es continua; biyectiva y f 1 : Y X es continua. Observacin: Cuando existe un homeomorsmo f : X Y diremos que X y Y son conjuntos homeomorfos. Teorema 2. El teorema de Heinel-Borel establece que dos subconjuntos de Rn son compactos si y solo si son cerrados y acotados. Denicin 1. Un conjunto X en Rn es conexo si el nico corte que admite es el trivial. Es decir: X = A B, con A B = y A y B abiertos en X entonces A = B = Corolario 1. Todo conjunto homeomorfo a un conexo es conexo Denicin 2. Un camino en X, con X Rn es una aplicacin contnua : [0, 1] X

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Denicin 3. Un conjunto X Rn es conexo por caminos si para todo p, q X existe un camino : [0, 1] X tal que (0) = p y (1) = q observacin: Recordemos que la conexidad y la compacidad son propiedades que se preservan bajo el homeomorsmo en espacios topolgicos. Denicin 4. Sean X y Y espacios topolgicos. Se dice que dos aplicaciones contnuas de X a Y ,f0 , f1 : X Y son homotpicas si existe una aplicacin contnua F : X I Y , tal que

F (x, 0) = f0 (x) F (x, 1) = f1 (x) La aplicacin F se llama una homotopa entre f0 y f1 y la denotaremos por f0 f1 o F : f0 f1 . Para cada t I denimos ft : X Y por ft (x) = F (x; t), la cual es una aplicacin contnua. Una aplicacin f : X Y que es homotpica a la aplicacin constante se dice que es nulhomotpica y la homotopa entre ambas se dice que es una nulhomotopa.


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Bueno hasta aqu representamos la parte terica que deberamos saber para poder hablar sobre la perturbacin que vamos a realizar a los siguientes modelos: Pltano: Para modelar sta gura hemos utilizado el homeomorsmo que existe entre el elipsoide y la gura del pltano, es decir, simplemente hemos perturbado en alguna direccin a alguna coordenada del elipsoide. En nuestro caso, sean las ecuaciones paramtricas del elipsoide: (u, v) = (cos(u). cos(v), sen(u). cos(v), 3 sen(v)) Ahora, perturbamos en la direccin de la primera coordenada para generar la grca del pltano, entonces nuestra nueva ecuacin sera la siguiente: (u, v) = (cos(u). cos(v) + 2. sen2 (v), sen(u). cos(v), 3 sen(v)) Veamos a continuacin como gracar sta gura en Matlab: >> u=linspace(0,2*pi,41); >> v=linspace(-0.5*pi,0.5*pi,41); >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> X=cos(U).*cos(V)+2*sin(V).^2; >> Y=sin(U).*cos(V); >> Z=3*sin(V); >> surf(X,Y,Z) axis([-1 2 -1 1 -3 3])3 2

1

0

1

2

3 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 2 1.5


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Hoja de Lechuga: Para ste modelo, se hizo tomas reales de las medidas de la hoja de Lechuga en el fundo de la UNPRG"; las cuales se plasmaron en una tabla. A continuacin daremos una demostracin de cmo gracar a partir de datos en el programa del Matlab.

>> lechuga

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Veamos a continuacin el archivo .m que hicimos para la hoja de lechuga %grafica de la hoja de lechuga x=(0:5:95); y=[51 53 51 50.5 50 51 55 62 69 72 74 76 76 76 76.5 75 73 70 65 52]; plot(x,y) hold on; h=(0:5:100); t=[49 43 40 36 33 29 25 22 19 16 15 14 13 14 15 17.5 19 21 27 36 42]; plot(h,t)


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3.1 Conclusiones y recomendaciones1. La utilizacin del programa de Matlab hace que las curvas y supercies que se ensean en el curso de Geometra diferencial", sean observadas detalladamente por el alumno. 2. Hay curvas y supercies que son muy difciles de gracar manualmente, pero sin embargo el programa Matlab nos facilita esto. 3. No es fcil establecer un homeomorsmo estre supercies ni tampoco demostrar que no lo es. 4. La modelacin hace posible establecer objetos de la realidad. 5. Se recomienda utilizar este trabajo de investigacin como una introduccin a una tesis. 6. Para la modelacin a partir de datos, se recomienda hacer uso de la teora de fractales y gracarlo en Matlab o en otro programa. 7. Entender bien el tema y los comandos a utilizar(en Matlab) antes de trabajar con Matlab.

Bibliografa

[1] Hern Morales Marchena: Matlab 7 - Primera Edicin" [2] Cndido Pieiro G.: Apuntes de Matlab" [3] Jeferry Cooper: A Matlab Companior for Multivariable Calculus" [4] Dante Yvn Chavil M.: Sistema experto en Maple Para el anlisis de Curvas y supercies en R3 " [5] Gonzles Mariano-Snchez Roy: Grcas de curvas y supercies usando Matlab" [6] O.Santamaria S., L.Damin S., F.Huancas S., P.Julca C.: Introduccin a la geoemtria Diferencial de Curvas y Supercies" [7] Elon Lages Lima: Curso de anlise - volumen 2"

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