-
Grupo A. Temas generalesGrupo A.1 Geodesia y Geofsica
Tema 1. El campo de la gravedad terrestre. Sus componentes.
Fuerza y potencial gravitatorios. Potencial gravitatorio de una
Tierra con simetra esfrica. Propiedades del potencial gravitatorio.
Aceleracin centrfuga, potencial centrfugo. Aceleracin y potencial
de la gravedad.
Tema 2. Aceleracin y potencial de las mareas. Mareas terrestres.
Modelos para el clculo del potencial terico de las mareas
terrestres para una tierra rgida. Clculo de los coeficientes de
marea. Medida de las mareas terrestres.
Tema 3. Medidas absolutas y relativas de la gravedad. Mtodos
pendulares y de cada libre. Observacin sobre mviles. Determinacin
de las segundas derivadas del potencial de la gravedad. Medida del
gradiente de la gravedad. Calibracin e intercomparacin de
instrumentos. Correcciones a las observaciones: mareas, movimiento
del polo, carga ocenica y carga atmosfrica.
Tema 4. Sistemas geodsicos de referencia. Sistema cartesiano
espacial, movimiento del Polo. Sistema de coordenadas en el campo
de la gravedad terrestre. Sistemas astronmicos general y local,
transformaciones entre ambos.
Tema 5. El geoide como superficie de referencia para las
altitudes. Nivel medio del mar. Altitudes sobre el nivel del mar.
Definiciones, objeto de su determinacin, precisiones. Altitudes
dinmicas, normales y ortomtricas. Nivelacin geomtrica y
trigonomtrica.
Tema 6. Sistemas elipsoidales de referencia. Parmetros del
elipsoide. Latitud geodsica, geocntrica y reducida. Curvatura del
elipsoide.
Tema 7. La esfera celeste. El movimiento diurno. Sistemas de
coordenadas en Astronoma: horizontales, horarias, ecuatoriales
absolutas, eclpticas. Transformaciones. Movimiento aparente del
Sol. Teora de las anomalas. La ecuacin del tiempo. El tiempo:
tiempo rotacional, tiempo de efemrides, tiempo atmico. Correcciones
astronmicas: movimiento propio, precesin, nutacin, paralaje,
aberracin, refraccin atmosfrica.
Tema 8. Mtodos de transformacin entre Sistemas Geodsicos de
Referencia Clsicos y Geocntricos. Transformacin de cinco parmetros.
Transformacin de siete parmetros. Ecuaciones de regresin. Mtodos
basados en la eliminacin de la distorsin de la red.
Tema 9. Sistemas de Referencia Celestes. Sistemas de Referencia
Geocntricos. ITRS, ETRS, ETRS89. El IERS. Marcos. Transformacin de
parmetros entre Sistemas Geocntricos Terrestres.
Tema 10. Mtodos de precisin para el levantamiento de un punto
Laplace mediante procedimientos pticos: Determinacin del acimut
astronmico por el mtodo de series a la polar, procedimiento y
precisin. Determinacin del ngulo de latitud astronmica por el mtodo
de Sterneck, procedimiento y precisin. Determinacin del ngulo de
longitud astronmica por el mtodo de Mayer, procedimiento y
precisin. Reduccin de los datos astronmicos al polo medio de
rotacin.
Tema 11. Redes geodsicas: objeto y definiciones. Precisin.
Triangulaciones clsicas: Longitud de los lados, utilizacin de las
mismas. Medida de ngulos y distancias en Geodesia: Instrumentacin,
mtodos de observacin acimutal. Errores y compensacin de una
estacin. Reducciones de las medidas. Calibracin y contrastacin de
instrumentos.
Tema 12. Sistemas de posicionamiento y navegacin: GPS, EGNOS,
Galileo, GLONASS. Sistemas de correccin diferencial y de
aumentacin. Estaciones virtuales GPS.
Tema 13. Estructura interna de la Tierra. Corteza y manto
superior. Manto inferior y ncleo. Densidad y parmetros elsticos.
Propiedades anelsticas. Ecuacin de estado y de composicin.
Tema 14. Distribucin espacial de terremotos. Caractersticas de
terremotos en mrgenes convergentes, divergentes y transcurrentes.
El ciclo ssmico: modelos de recurrencia. Distribucin de magnitudes.
Modelos temporales de recurrencia.
Tema 15. Caracterizacin de terremotos. Identificacin de fases
ssmicas en un sismograma. Localizacin hipocentral. Intensidad
ssmica. Escala EMS-98. Definiciones de magnitud.
Tema 16. Instrumentacin ssmica. Teora del sismmetro mecnico.
Sismmetro electromagntico. Sismmetro de banda ancha. Acelermetro.
Funciones de respuesta y de transferencia. Determinacin de
amplitudes del suelo a travs de sismogramas digitales.
Tema 17. Movimientos ssmicos fuertes. Acelerogramas.
Caractersticas de un acelerograma en el tiempo y en la frecuencia.
Estimacin emprica de la aceleracin mxima en un punto. Espectro de
respuesta y de diseo.
Tema 18. Peligrosidad y riesgo ssmico. Conceptos. Caractersticas
de los mtodos determinista y probabilista. Periodo de retorno.
Normativa de construccin sismorresistente en Espaa.
Tema 19. Tsunamis. Generacin, propagacin e inundacin. Magnitud e
intensidad del Tsunami. Caractersticas de los terremotos
productores del Tsunami. Sistemas de alerta de Tsunami.
Tema 20. Volcanismo. Materiales volcnicos. Mecnica de los
fenmenos eruptivos. Proyeccin de piroclastos. Extrusin y dinmica de
domos y coladas. Mapas de peligrosidad.
Tema 21. Campo magntico terrestre. Componentes y divisin segn su
origen. Campo magntico de un dipolo. Dipolo terrestre. Variacin
secular. Origen del campo magntico interno.
Tema 22. Campo magntico externo. Variaciones del campo magntico
externo. Composicin de la ionosfera. Estructura de la magnetosfera.
Anillos de radiaciones y Auroras.
Tema 23. Observaciones del campo magntico. Medidas absolutas y
relativas. Mtodos clsicos y modernos de medidas del campo magntico.
Observacin desde satlites.
Tema 24. Radioactividad de la Tierra. Elementos radioactivos.
Leyes de la desintegracin radioactiva. Principios de geocronologa.
Edad de la Tierra. Evolucin trmica de la Tierra.
-
Grupo A1 Tema 1
1
Tema 1. El campo de la gravedad terrestre. Sus componentes.
Fuerza y
potencial gravitatorios. Potencial gravitatorio de una Tierra
con
simetra esfrica. Propiedades del potencial gravitatorio.
Aceleracin
centrfuga, potencial centrfugo. Aceleracin y potencial de la
gravedad.
1.1. El campo de la gravedad terrestre
De las cuatro interacciones bsicas que ocurren en la naturaleza
(fuerza gravitatoria, fuerza
electromagntica, fuerza nuclear fuerte y fuerza nuclear dbil),
la fuerza gravitatoria es la ms
dbil de todas ellas, siendo despreciable en las interacciones
entre partculas elementales
(molculas, tomos, ncleos, etc.), o entre objetos del tamao de
las personas pero siendo de
gran importancia en las interacciones entre cuerpos muy grandes
tales como satlites, planetas,
estrellas, etc.
Por campo de la gravedad terrestre no slo se entiende a la
fuerza gravitatoria ejercida por la
Tierra, sino a la suma de todas aquellas fuerzas que actan sobre
un cuerpo en reposo sobre la
superficie terrestre.
La astronoma no es la nica ciencia que se encarga del estudio
del campo de la gravedad de la
Tierra. Uno de los principales objetivos de la geodesia es la
determinacin de este campo de
gravedad ya que, entre otras razones, las magnitudes medidas en
geodesia tienen como sistema
de referencia fundamental, el campo de la gravedad terrestre. De
hecho, el geoide es una
superficie de nivel del campo de gravedad. Adems, la distribucin
de los valores de gravedad
en superficie junto con otras medidas geodsicas permite
determinar la forma de la superficie
terrestre.
La gravimetra tambin tiene como principal objetivo el estudio
del campo de gravedad terrestre
debido a que las medidas de gravedad en superficie dan
informacin sobre la estructura y las
caractersticas del interior de la Tierra y la variacin temporal
del campo de gravedad revela
fenmenos como las oscilaciones de los polos terrestres, la
redistribucin de la masa de la
Tierra, etc.
-
Grupo A1 Tema 1
2
1.2. Sus componentes Las fuerzas que actan sobre un cuerpo en
reposo que se encuentra en un punto fijo sobre la
superficie terrestre son:
- la fuerza gravitatoria terrestre
- la fuerza centrfuga debida a la rotacin de la Tierra
- la fuerza de atraccin de otros cuerpos celestes como son el
Sol y la Luna
- la fuerza de atraccin de la atmsfera terrestre
- Otras
La fuerza resultante de todas ellas se denomina fuerza de la
gravedad y se caracteriza por ser
funcin de la posicin y del tiempo. Para estudios no muy
precisos, slo se tienen en cuenta las
dos primeras fuerzas mencionadas ya que la influencia de las
dems fuerzas sobre el valor de la
gravedad es muy pequea y se suelen despreciar (como haremos en
este tema).
Esta fuerza de la gravedad Fr
, se obtiene de multiplicar la aceleracin de la gravedad gr por
la
masa del cuerpo m : gmF rr =
Al vector gr se le denomina campo de la gravedad terrestre y se
define como la fuerza por unidad de masa ejercida por la Tierra
sobre cualquier objeto.
Para la representacin del campo de gravedad, se suele considerar
a la Tierra como un slido
rgido que gira con velocidad de rotacin , constante sobre un eje
invariable. En un sistema de
coordenadas geocntrico, el origen se sita en el centro de
gravedad de la Tierra y se hace
coincidir el eje z con el eje medio de rotacin. El eje x est
contenido en el plano del meridiano de Greenwich y el eje y se
elige de tal manera que est en el plano del ecuador y sea
perpendicular a los ejes x y z .
En un punto de la superficie terrestre, el campo de la gravedad
gr vendr dado por la suma del campo gravitatorio mg
r ms la aceleracin centrfuga ca
r:
cm aggrrr +=
-
Grupo A1 Tema 1
3
Figura 1. Campo de gravedad en una tierra esfrica
La gravedad es funcin de la posicin. Diferencias de gravedad con
la latitud o la altitud pueden
llegar a ser del orden de 510-3g (siendo g un valor medio de
gravedad). Los efectos de las
mareas afectan en torno a los 310-7g y los desplazamientos de
las masas terrestres influyen
entre 10-8g y 10-9g.
La unidad de la gravedad en el Sistema Internacional es m/s2.
Sin embargo, se suele utilizar la
unidad gravimtrica para medidas de desviaciones de la gravedad o
para errores de medida:
1u.g.= m/s2 = 10-6 m/s2
En el sistema cgs la unidad de la gravedad es el Gal (por
Galileo): 1gal = 1cm/s2
Y para desviaciones de la gravedad o errores de medida se
utiliza el mgal: 1mgal =10-5 m/s2
La unidad del gradiente de gravedad es s-2 en el Sistema
Internacional o E (Etvs) en el
sistema cgs: 1E = 10-9s-2.
Y la unidad del potencial es m2/s2, dimensin de trabajo por
unidad de masa.
1.3. Fuerza y potencial gravitatorios
En 1687 Newton public la ley de la gravitacin en su Philosophiae
Naturalis Principia
Mathemtica. Esta ley postula que existe una fuerza de atraccin
entre cada par de objetos que
es proporcional al producto de las masas de los objetos e
inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que los separa. Esta fuerza se denomina fuerza
gravitatoria y est dirigida a lo
largo de la lnea que conecta los dos objetos. Vemosla con ms
detalle.
-
Grupo A1 Tema 1
4
Si tenemos dos objetos en un sistema de coordenadas
rectangulares, uno con masa m1 que se
encuentra en la posicin 1rr
y otro con masa m2 en la posicin 2rr
, la fuerza ejercida por m1
sobre m2 2,1Fr
es: 2,1221
2,1 rmm rGF =r
G es la constante de gravitacin universal, cuyo valor es
6,6710-11 Nm2/kg2.
2,1r es el vector unitario del vector definido desde la masa m1
a la masa m2: 2,1
2,12,1 r
rr r
r=
La fuerza gravitatoria 2,1Fr
est situada en la recta que une m1 y m2, y dirigida hacia m1.
De
modo que Fr
y rr apuntan en direcciones opuestas.
Figura 2. Fuerza gravitacional actuando entre dos objetos
En este caso, m1 es la masa atrayente y m2 la masa atrada.
De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza 1,2Fr
(ejercida por m2 sobre m1) es el valor
negativo de 2,1Fr
: 2,11,2 FFrr =
El mdulo de la fuerza gravitatoria es por tanto: 221
rmmGF =
A la fuerza gravitatoria por unidad de masa ejercida por la
Tierra sobre cualquier objeto de masa
m se denomina campo gravitatorio terrestre mgr
: mFgm
rr =
mgr
es la denominada aceleracin gravitacional o gravitacin.
El campo gravitatorio en un punto debido a un conjunto de masas
puntuales es igual a la suma
vectorial de los campos debidos a las masas individuales en
dicho punto: =i
mim ggrr
-
Grupo A1 Tema 1
5
Y el campo gravitatorio en un punto debido a un cuerpo continuo
se calcula considerando el
campo mgdr
debido a un pequeo elemento de masa dm del cuerpo, suponiendo
que se trata de
una masa puntual y se integra sobre el cuerpo entero: = mm gdg
rr
Si en un sistema de coordenadas rectangulares designamos las
coordenadas de la masa atrayente
M por (x0, y0, z0) y las coordenadas del punto atrado, de masa m
igual a la unidad, por (x, y, z),
las componentes de la fuerza gravitatoria Fr
sern:
Figura 3. Fuerza de atraccin entre dos objetos en un sistema de
coordenadas rectangulares
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
),,(
cos
cos
cos
030
2
030
2
030
2
zyx
z
y
x
FFFF
zzr
GMr
zzr
GMFF
yyr
GMr
yyr
GMFF
xxr
GMr
xxr
GMFF
=
===
===
===r
siendo 202
02
0 )()()( zzyyxxr ++= la distancia entre el elemento de masa M y
el punto atrado.
Si se introduce una funcin escalar de la forma r
GMV = , se verifica que las componentes de
la fuerza gravitatoria Fr
vienen dadas por: xVFx =
yVFy =
zVFz =
-
Grupo A1 Tema 1
6
Por tanto: ( ) VFFFF zyx == ,,r
Gracias a que 0= Fx r , el vector fuerza es el gradiente de la
funcin escalar V . Y V se denomina potencial gravitatorio e indica
el trabajo requerido para mover una unidad de masa
dentro del campo gravitatorio.
Este resultado es de gran importancia ya que las tres
componentes del vector Fr
se pueden
reemplazar por una nica funcin escalar V . Esto hace que en
casos complicados, donde se
considera la atraccin de muchos puntos materiales o de cuerpos
slidos, la funcin V es simplemente la suma de las contribuciones de
las respectivas partculas.
En un sistema con varios puntos materiales m1, m2, m3... el
potencial gravitatorio es la suma de
las contribuciones individuales: =
=n
i
i
rmGV
1
Si los puntos materiales estn distribuidos continuamente sobre
un volumen v de densidad
dvdm= , donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de
masa, el potencial
gravitatorio vendr dado por:
=v r
dmGV dvr
Gv= 0002
02
02
0
000
)()()(),,( dzdydx
zzyyxxzyxG
v ++=
1.4. Potencial gravitatorio de una Tierra con simetra
esfrica
En la determinacin del potencial gravitatorio terrestre se
considera, en primera aproximacin,
la Tierra de forma esfrica con una estructura de densidad
centralmente simtrica.
Para su clculo, utilizaremos coordenadas esfricas (r, , ),
siendo r la distancia geocntrica
con origen en el centro de masas de la Tierra. El ngulo o
colatitud geocntrica, se mide en
sentido horario desde el eje de rotacin y su complemento o
latitud geocntrica ( = 90- ),
se mide desde el plano ecuatorial al radio vector rr , positivo
en el hemisferio norte y negativo en el hemisferio sur. La longitud
se mide positiva hacia el este, tomando como origen el
meridiano de Greenwich.
-
Grupo A1 Tema 1
7
Y ello con la orientacin acostumbrada de este sistema con
respecto al sistema global zyx ,, (el
eje = 0 coincide con el eje z situado a lo largo del eje de
rotacin y el eje = 0 coincide con el eje x ).
Figura 4. Coordenadas esfricas. Fuente: Torge W. Geodesia
El radio vector en coordenadas esfricas es:
=
=
cos
cos
rsenrsen
rsen
zyx
rr
Por simplicidad, supondremos la masa atrada m, igual a la
unidad.
En primer lugar calcularemos el potencial de una corteza esfrica
homognea para, a partir de
ella, obtener el potencial de la tierra esfrica.
El potencial de una corteza esfrica homognea de densidad y
grosor infinitesimal 'dr viene
dado por: ''''''2
drddrsenrGdv
rGV
VV
==
-
Grupo A1 Tema 1
8
Figura 5. Corteza esfrica. Fuente: Torge W. Geodesia
Ya que el elemento de volumen de la corteza esfrica es: '''''2
drddsenrdv = Y el elemento diferencial de masa de la corteza
esfrica ser: ''4' 2 drrdm =
Distingamos dos casos segn el punto atrado P, se encuentre fuera
de la Tierra o dentro de ella.
1.4.1. P exterior a la Tierra
Si el punto atrado est fuera de la corteza esfrica, el potencial
vendr dado por:
rdmGdr
rrGV ext
'''4'2
==
Si consideramos que la Tierra est compuesta por un conjunto
continuo de cascarones esfricos
homogneos y concntricos, el potencial gravitatorio para una
Tierra esfrica vendr dado por:
rGM
rdmGV
Text ==
Donde la integral se extiende a toda la Tierra y M es la masa de
la Tierra.
Este resultado equivale al potencial de toda la masa de la
Tierra concentrada en el centro de
masas.
-
Grupo A1 Tema 1
9
1.4.2. P interior a la Tierra
El potencial gravitatorio de un punto interior a la corteza
esfrica ser:
'''
''4'2
int rdmGdr
rrGV ==
Al ser el potencial constante, para puntos del interior de la
corteza esfrica el campo gravitatorio
es cero.
Para calcular el potencial de la Tierra esfrica de radio R para
un punto situado en su interior a una distancia r del centro de
masas, consideraremos que la Tierra est formada por cascarones
esfricos continuos, por lo que el valor del potencial ser la
contribucin del potencial para la
tierra esfrica de radio r , como si el punto se encontrase en su
superficie, y la contribucin de la corteza esfrica de grosor rR
:
=+=+= R
r
R
r
rr
irRGdrrGdrr
rGdr
rrGdr
rrGV
3244
'44
22'''
0
2''2'
'
0
2'
1.5. Propiedades del potencial gravitatorio
Volvemos a distinguir los dos casos anteriores.
1.5.1. P exterior a la Tierra
Como hemos visto, el potencial gravitatorio para todo punto
exterior a la Tierra viene dado por
la expresin: =T
ext rdmGV Con 20
20
20 )()()( zzyyxxr ++= .
As, extV es una funcin continua para r > 0, que se anula en
el infinito como r1 :
0lim = extr V
-
Grupo A1 Tema 1
10
Para distancias r muy grandes el cuerpo acta, aproximadamente,
como un punto material, y el
potencial viene dado por: r
GMVext = lo que equivale al potencial de toda la masa M de la
Tierra concentrada en el centro de masas.
Veamos la continuidad de las derivadas del potencial
gravitatorio en este caso:
La primera derivada del potencial, es decir, la componente de la
fuerza, para la componente x,
vendr dada por:
dmr
xxGdmrdx
dGx
V
TT
ext ==
30 )(1 Funcin continua para r > 0.
La segunda derivada, para la componente x ser:
dmr
xxr
Gdmr
xxx
Gdmr
xxGxx
V
TTT
ext
=
=
=
5
20
330
30
2
2 )(31)()(
Tambin es una funcin continua para r>0
Anlogamente se opera con las otras dos componentes.
De modo que el potencial gravitatorio para un punto P exterior a
la Tierra, sus primeras y
segundas derivadas son valores finitos y funciones continuas en
todo el espacio exterior,
anulndose en el infinito.
Aplicando el operador laplaciano a extV :
0)(31
)(31)(31
5
20
3
5
20
35
20
32
2
2
2
2
2
=
=
++
=
dmr
zzr
G
dmr
yyr
Gdmr
xxr
GzV
yV
xVV
v
vvext
0= extV Ecuacin de Laplace.
extV cumple la ecuacin de Laplace. Las soluciones de la ecuacin
de Laplace son funciones
armnicas o tambin llamadas funciones potenciales. Y toda funcin
armnica es analtica
-
Grupo A1 Tema 1
11
dentro de la regin donde satisface dicha ecuacin. Esto es, es
continua y tiene derivadas
continuas de cualquier orden, como hemos comprobado.
1.5.2. P interior a la Tierra
Para calcular el potencial gravitatorio de un punto que se
encuentra en el interior de la Tierra
hay que tener en cuenta que ahora el caso 0=r es posible, por lo
que es posible la discontinuidad debida a r1 .
Para calcular el potencial gravitatorio, consideramos al punto P
a una distancia q del centro de
una esfera E que lo envuelve, la cual tiene densidad homognea ,
radio p y est centrada en 0P .
Figura 6. Potencial gravitatorio dentro de la Tierra. Fuente:
Torge W. Geodesia
El potencial gravitatorio ser la suma de las contribuciones
debidas a las masas que estn en el
interior de la esfera y de las masas que se encuentran en su
exterior:
+=
32
22 qpG
rdmGV
ETi
iV es una funcin continua para r > 0. En el caso en que 0,0
qp , se obtiene la expresin del potencial para un punto exterior a
la Tierra.
-
Grupo A1 Tema 1
12
Estudiemos la primera y segunda derivada del potencial para la
componente x (se hara de igual
modo para las otras componentes):
)(34)(
030int xxGdm
rxxG
xV
ET
=
Funcin continua para r>0
Gdmr
xxr
GxV
ET 34)(31
5
20
32int
2
=
Las segundas derivadas muestran discontinuidades para cambios
sbitos de densidad.
El laplaciano ser: GzV
yV
xVV 42
2
2
2
2
2
int =+
+=
GV 4int = Ecuacin de Poisson
En el interior de la Tierra se verifica la ecuacin de Poisson.
El potencial gravitatorio y sus
primeras derivadas son funciones de valor nico, finitas y
continuas para 0>r , mientras que las segundas derivadas
muestran discontinuidades para cambios sbitos de densidad.
(La superficie ms importante de discontinuidades de densidades
es la superficie Tierra-
atmsfera con un salto de densidad de aproximadamente 0,0013g/cm3
para la atmsfera con
unos 2,7g/cm3 aproximadamente para la corteza terrestre).
Por consiguiente, el potencial gravitatorio es una funcin
armnica fuera de las masas atrayentes
pero no dentro de las mismas, donde se satisface la ecuacin de
Poisson.
1.6. Aceleracin centrfuga, potencial centrfugo
La aceleracin centrfuga aparece solamente en los sistemas
rotacionales no inerciales. Est
causada por el movimiento de rotacin de la Tierra sobre su
propio eje.
Para calcularla se considera, en primera aproximacin, que la
Tierra gira con una velocidad
angular constante alrededor de un eje fijo. Tomaremos el sistema
de coordenadas
rectangulares donde el eje z coincide el eje medio de
rotacin.
-
Grupo A1 Tema 1
13
La aceleracin centrfuga que acta sobre un punto situado en la
superficie terrestre a una
distancia d del eje de rotacin es: )0,,( 222 yxdac ==rr
Siendo la distancia del punto donde calculamos la fuerza al eje
de rotacin:
22 yxd +=r
La aceleracin centrfuga car
tiene la direccin del vector dr
y por lo tanto es perpendicular al
eje de rotacin y dirigida hacia el exterior de la Tierra.
Figura 7. Aceleracin centrfuga
La velocidad angular de rotacin de la Tierra: = 7,292 10-5
rad/s.
La fuerza centrfuga es el producto de la masa del punto donde
estamos evaluando la fuerza por
la aceleracin centrfuga: camfrr =
Al igual que para el caso gravitatorio y gracias a que 0= fxr ,
se puede considerar una funcin escalar que defina, a travs de sus
derivadas, la funcin vectorial f
r que est actuando sobre
una masa unidad. A esta funcin escalar se la denomina potencial
centrfugo y viene dado por la
expresin:
)(21
21 22222 yxd +==
==
zyxfc ,,r
El potencial es una funcin continua y verifica que: 0lim0
=d
Las derivadas del potencial centrfugo son tambin funciones
continuas. Para la componente x :
xx
2=
222
=
x
dr ca
r
z
P
-
Grupo A1 Tema 1
14
El laplaciano del potencial es: 020 22222
2
2
2
2
=++=+
+=
zyx
Al contrario que V , esta funcin no es armnica.
El valor del potencial centrfugo en el ecuador es de 1,1105
m2/s2 mientas que la aceleracin
centrfuga vale 0,03 m/s2. En los polos, tanto la fuerza
centrfuga como el potencial centrfugo
son nulos.
Por ltimo, destacar que si el cuerpo se encontrase en
movimiento, adems de la fuerza
centrfuga actuara la fuerza de Coriolis, la cual es proporcional
a la velocidad del cuerpo con
respecto a la Tierra, de modo que es nula para todos aquellos
cuerpos que estn en reposo sobre
la superficie terrestre.
1.7. Aceleracin y potencial de la gravedad
La fuerza de la gravedad es la resultante de la suma de la
fuerza gravitatoria y de la fuerza
centrfuga que en coordenadas esfricas se expresan como:
- fuerza gravitatoria, Fr
: )0,0,(),,( 2rGMFFFF r ==
r
- fuerza centrfuga, fr
: )0,cos,(),,( 222 rsenrsenffff r ==r
La fuerza de la gravedad por unidad de masa se denomina
aceleracin de la gravedad gr . Su
direccin se conoce como direccin de la plomada y su magnitud, gg
r= , se denomina intensidad de la gravedad o simplemente
gravedad.
La fuerza de la gravedad se podr obtener tambin del gradiente de
un potencial, el llamado
potencial gravfico o potencial de la gravedad W , suma del
potencial gravitatorio V y del potencial centrfugo :
22222221)(
21 senr
rGMyxdv
rGVW
T
+=++=+= Sus derivadas cumplen:
-
Grupo A1 Tema 1
15
( )zyxv
z
vy
vx
gggz
WyW
xWWg
dvr
zzGz
Wg
ydvr
yyGy
Wg
xdvr
xxGx
Wg
,,,,
30
23
0
23
0
=
==
==
+==
+==
r
El potencial W y sus primeras derivadas son de valor nico,
finitas y continuas en todo el
espacio, como consecuencia de las caractersticas de los
potenciales V y , con excepcin del caso en que rr , ya que entonces
, y 0=gr (la direccin de la plomada no es nica). Las segundas
derivadas poseen discontinuidades a variaciones de densidad
irregulares.
El laplaciano de W, cumple que en un punto:
- exterior a la Tierra: 22=W Ecuacin de Laplace generalizada -
interior a la Tierra: 224 += GW Ecuacin de Poisson generalizada
Debido a la forma de la Tierra que no es totalmente esfrica sino
que est achatada por los polos
y ensanchada por el ecuador, el valor de la gravedad en el
ecuador es de 9,78 m/s2 mientras que
en los polos toma un valor de 9,83 m/s2.
Bibliografa
[1] Heiskanen W.A. y Moritz H. Geodesia fsica. Trad. Sevilla de
Lerma, J. Instituto
Geogrfico Nacional; Instituto de Astronoma y Geodesia, 1985.
[2] Torge, W. Geodesia. Editorial Diana, 1983.
[3] Torge, W. Gravimetry. Editorial Walter de Gruyter 1989.
-
Grupo A1 Tema 2
17
Tema 2. Aceleracin y potencial de las mareas. Mareas
terrestres.
Modelos para el clculo del potencial terico de las mareas
terrestres
para una tierra rgida. Clculo de los coeficientes de marea.
Medida de
las mareas terrestres
2.1. Aceleracin y potencial de las mareas
El campo de la gravedad terrestre vara con el tiempo por
mltiples causas: procesos tectnicos,
transferencias de masa en el manto terrestre, actividad
volcnica, movimientos de fallas, etc.
Pero sin ninguna duda, la principal variacin temporal del campo
de gravedad se debe a las
mareas que producen variaciones en el campo de la gravedad del
orden de 10-7g (siendo g un
valor medio de gravedad).
Las mareas estn ocasionadas por la atraccin que sobre la Tierra
ejercen los cuerpos celestes,
principalmente la Luna por su cercana y el Sol por su gran masa,
y al efecto inercial del sistema
astro-Tierra en torno a su baricentro. Las mareas se aprecian de
forma ms notable en los
ocanos aunque tambin afectan a la parte slida de la Tierra, Por
ello, el estudio de las mareas
permite conocer mejor las caractersticas elsticas de la
Tierra.
En una primera aproximacin, se considera a la Tierra como un
slido rgido y a la Luna y al
Sol como puntos masa. Los clculos se realizan separadamente para
el sistema Tierra-Luna y el
sistema Tierra-Sol y posteriormente se suman. Los resultados
obtenidos con esta aproximacin
se denominan mareas tericas.
Se toma un sistema de referencia fijo en la Tierra, considerada
esta de forma esfrica. El origen
se sita en el centro de masas terrestre y no se considera la
parte de la rotacin terrestre. El
sistema gira en torno al centro de gravedad de la Tierra y el
astro, el baricentro.
Calculemos el efecto de la marea sobre una masa unidad que se
encuentra situada en un punto P
de la superficie terrestre.
Haremos los clculos para el efecto producido por un astro
cualquiera y luego los resultados los
aplicaremos al Sol y a la Luna.
-
Grupo A1 Tema 2
18
Figura 1. Aceleracin de la marea lunar
En esta figura, R es la distancia geocntrica del centro del
astro A, al centro de la Tierra.
Suponemos que la distancia R se encuentra situada sobre el eje
x. La distancia entre el punto P y
el centro del astro se expresa por q. La distancia cenital
geocntrica es el ngulo entre el radio vector rr del centro de la
Tierra al punto P y el eje x. Expresaremos la masa del astro por M.
Y el centro de masas del sistema, cm, se encuentra situado dentro
del radio de la Tierra.
En el punto P actuar:
- La fuerza de atraccin gravitatoria br
del astro causante de la marea:
quqGMb 2=
r siendo qu el vector unitario en la direccin de q
r.
- La fuerza centrfuga 0br
:
Para calcularla se tiene que en cuenta que hemos considerado una
Tierra rgida, de modo que la
fuerza est actuando, en todos los puntos rgidamente conectados,
de igual manera y por tanto,
tendr un valor constante. Para obtener este valor, se calcula
esta fuerza en el centro de masas
de la Tierra, ya que es aqu donde se compensa la fuerza
centrfuga con la fuerza gravitatoria del
astro al encontrarse el sistema en equilibrio.
RuRGMb 20 =
r fuerza inercial de la rotacin del sistema en torno al
baricentro
La suma de estas dos fuerzas recibe el nombre de fuerza de
marea:
Rqt uRGMu
qGMbbb 220 =+=
rrr
A
P b
R
q
o
r
0b
0b x cm
-
Grupo A1 Tema 2
19
Esta fuerza puede expresarse como el gradiente de un
potencial:
=tbr
=
= cos22 rRGM
qGM
xx
RGM
qGM
xb
iiti
+= cte
Rr
qGM 2
cos1
En el potencial aparece una constante. Para determinarla se
tiene en cuenta que se debe anular en el centro de la Tierra: 0=
para 0=r ( Rq = )
Rcte 1=
El potencial de las mareas es:
=
RRr
qGM 1cos1 2
La distancia q se puede expresar como: cos222 rRRrq +=
)(cos1cos21110
2/12
nn
nP
Rr
RRr
Rr
Rq
=
=
+
=
Donde se han utilizado los polinomios de Legendre: ( ) =
=+0
2/12 )(21n
nn zPxxzx
Con nnn
nn zdzd
nzP )1(
!21)( 2 =
De modo que el potencial de las mareas se puede escribir
como:
=
=02
1cos)(cos1n
n
n
RRrP
Rr
RGM
Tomando todos los trminos hasta n = 2, el potencial de las
mareas queda de la siguiente
manera:
)1cos3(21 2
3
2
= RrGM
-
Grupo A1 Tema 2
20
Si introducimos C, distancia media del centro de la Tierra al
astro y 32
43)(
CrGMrG = , la
constante de Doodson (que depende de la latitud del punto donde
se observa la marea), el
potencial de la marea producida por un astro A de masa M es:
)312(cos)()1cos3(
32)(
32
3
+
=
= RCrG
RCrG
El potencial de la marea lunisolar, marea producida tanto por la
Luna, L, como por el Sol, S, es:
)1'cos3(32)1cos3(
32 2
32
3
+
=+=
S
SS
L
LLSLLS R
CGRCG
Para un punto en la superficie terrestre: 22628,2)( smRG TL =
22207,1)( smRG TS =
De aqu que la proporcin entre las mareas solares y las mareas
lunares sea: LS GG 46,0= El efecto producido por las mareas solares
es slo un 46% del producido por las mareas lunares.
Esto es debido a que el campo gravitatorio de un objeto esfrico
vara con la distancia segn 21 r . La fuerza ejercida por la Luna es
ms intensa en los puntos de la Tierra ms prximos a
ella que en los puntos ms alejados. Y aunque el Sol ejerce sobre
los ocanos una fuerza mucho
mayor que la ejercida por la Luna, la diferencia de fuerzas
ejercida por la Luna entre el ocano
ms prximo y el ms alejado es mucho mayor que la correspondiente
fuerza diferencial
ejercida por el Sol. Y esta fuerza diferencial es la responsable
de las mareas.
2.2. Mareas terrestres
Hasta aqu se han considerado las mareas tericas donde se ha
supuesto que la Tierra es un
cuerpo rgido. Sin embargo, la Tierra no es totalmente rgida y
las fuerzas de las mareas
producen, adems del movimiento del mar, deformaciones de la
Tierra slida. A estas
deformaciones se las denomina mareas terrestres.
Si la Tierra fuese un cuerpo totalmente elstico, se deformara
debido a las fuerzas de las mareas
y recobrara inmediatamente su forma original. Estas
deformaciones seran proporcionales a la
fuerza de marea. Sin embargo, el material de la Tierra no es
perfectamente elstico con lo que
-
Grupo A1 Tema 2
21
esta tarda en adaptarse en cada momento a la fuerza de mareas.
Debido al retraso en volver a su
posicin de equilibrio, el material contenido entre la superficie
original y la de la Tierra
deformada produce una fuerza cuyo momento tiende a retardar el
giro de la Tierra, friccin de la
marea lunar, pero a su vez, tambin tiende a acelerar el
movimiento de revolucin de la Luna
alrededor de la Tierra. De modo que el momento angular total del
sistema se conserva.
2.3. Modelos para el clculo del potencial terico de las mareas
terrestres para una
tierra rgida
El potencial de las mareas terrestres es difcil de calcular
debido a que no se conocen
perfectamente las propiedades elsticas de la Tierra. Pero se
puede calcular de forma
aproximada como veremos a continuacin. Para ello, tenemos en
cuenta los distintos tipos de
altura de la marea que nos podemos encontrar:
- Altura de la marea sobre la Tierra rgida, - Altura de la marea
sobre la Tierra deformada, * - Altura de la marea terrestre,
Figura 2. Alturas de la marea esttica. Fuente: Udas, A. y Mzcua,
J. Fundamentos de Geofsica
Antes de calcular el potencial en un punto de la superficie,
consideramos al astro causante de la
marea estacionario con respecto a la Tierra rgida, cubierta por
una capa lquida uniforme de
densidad muy pequea, y resolveremos el problema desde el punto
de vista esttico.
-
Grupo A1 Tema 2
22
As, la capa lquida tomar la forma de una superficie
equipotencial que no vara con tiempo,
suma del potencial gravitatorio de la Tierra V y del potencial
de la marea producida por el astro: cteVW =+=
Si 0V es el potencial de la superficie de la Tierra rgida, el
potencial en un punto A en el que
acta la fuerza de marea ser: gVrVVVA =
+= 00
Ya que: gr
GMrV ==
2
Y si tomamos cteVV ==+ 0 obtenemos la altura de la marea esttica
de equilibrio para una Tierra rgida:
g =
Como la posicin del astro es estacionaria, es funcin del ngulo .
Si la Tierra girase alrededor del astro y sobre s misma, el ngulo
sera funcin del tiempo y por tanto, tambin variara con el
tiempo.
Para una Tierra deformable, el potencial sobre un punto B sobre
la superficie de la Tierra
deformada ser funcin de la altura de la marea terrestre : *V
rVVW ++
+= Donde *V es el potencial debido a la masa contenida entre la
superficie original y la de la Tierra deformada.
Al no conocerse perfectamente la elasticidad de la Tierra, para
determinar el potencial y la
altura de la marea terrestre, se utilizan unos coeficientes que
relacionan la deformacin de la
Tierra con el potencial de la marea para la Tierra rgida. Estos
coeficientes son los denominados
nmeros h y k de Love y nmero l de Shida.
Los nmeros de Love h y k, son funciones de r (distancia al
centro de la Tierra), siendo
constantes en la superficie. Son adimensionales y dependen del
grado de expansin de los
armnicos esfricos.
-
Grupo A1 Tema 2
23
- El nmero h representa la proporcionalidad entre la altura de
la marea terrestre y la
altura de la marea de equilibrio de la Tierra rgida : g
hh == - El nmero k representa la proporcionalidad entre el
potencial de la marea para una
Tierra rgida y el potencial de la masa contenida entre la
superficie original y la de la
Tierra deforma debida a la marea terrestre: kV =*
De modo que en el punto B que se encuentra en la superficie de
la Tierra deformada, el
potencial se puede escribir como:
)1(** hkVkhVVgVVrVVW ++=++=++=++
+=
Y el potencial debido a la marea de la Tierra deformable es: =+=
)1( hkD
Y la altura de la marea sobre la Tierra deformable * es: )1(* hk
+==
*
)1( =+= hk es llamado factor de disminucin. Es el cociente entre
la altura de la
marea de la Tierra deformable y la altura terica de la Tierra
rgida.
Diferenciando se obtiene la aceleracin de la marea para una
Tierra rgida. La componente radial (positiva hacia fuera) es:
rrbr
2==
Lo que indica que la gravedad de la Tierra est afectada por la
componente radial de la
aceleracin de la marea, que es positiva hacia fuera causando una
disminucin de la gravedad de
la Tierra:
En una Tierra deformable: rD
Dr bhkrb )
231( +=
=
La componente tangencial en una Tierra deformable ser:
bhk
rb DD )1(
1 +==
-
Grupo A1 Tema 2
24
La desviacin de la vertical i , debida al efecto de la marea en
una Tierra rgida vendr dada
por:
=
gritgi 1
En una Tierra deformable:
+=
grki 1
Figura 3. Desviacin de la vertical debida a la marea. Fuente:
Udas, A. y Mzcua, J. Fundamentos de
Geofsica
La desviacin de la vertical debida a las deformaciones
horizontales del suelo en las mareas
terrestres, 'i viene dada por:
=
grli'
Siendo l el nmero de Shida: iil '=
De modo que la desviacin total de la vertical debida a la marea
terrestre es:
+=
grlkii 1)1('
2.4. Clculo de los coeficientes de marea
El potencial de la marea )312(cos)(
3
+
= RCrG es funcin de la posicin del astro en su
rbita con respecto a la Tierra. Para estudiar su variacin con el
tiempo, expresaremos el ngulo
-
Grupo A1 Tema 2
25
cenital en funcin de las coordenadas geocntricas ( ) , del punto
donde lo estamos calculando.
Para ello se tiene en cuenta la esfera celeste y se resuelve el
tringulo esfrico con vrtices en el
Polo Norte Celeste, la Luna y el punto P (proyeccin de la
vertical de un punto de la superficie
terrestre de coordenadas ( ) , sobre la esfera celeste). As, el
ngulo se puede expresar en funcin de la latitud geocntrica del
punto atrado P, la declinacin L y el ngulo horario de la Luna.
Figura 4. Tringulo astronmico
coscoscoscos LLsensen =
Sustituyendo en el potencial de la marea, operando y teniendo en
cuenta las relaciones
trigonomtricas, se llega a que el potencial de marea de la Luna
es:
[ ]1)coscoscos(332)( 2
3
= LL
L
LL sensenR
CrG
Esta funcin se puede separar en tres trminos de modo que:
==
=++=
2coscoscoscos2231
313
222
1
220
210
LL
LL
LL
LLL
AsenAsen
sensenA
-
Grupo A1 Tema 2
26
Siendo 3
=RCGA
Estos tres trminos tienen distintas caractersticas, ya que las
cantidades R , L y varan con distintos periodos (el periodo de es
de un da lunar medio, 24h 50m 47s):
L0 : son las mareas de largo periodo, de 14 das para la Luna.
Este trmino no depende de la
rotacin de la Tierra y consta de una parte no peridica que
ocasiona una deformacin
permanente de las superficies de nivel (estas son disminuidas en
los polos en aproximadamente
0,26 m y elevadas en el ecuador unos 0,13m, ya que hay una
disminucin permanente de la
gravedad en el ecuador de aproximadamente 0.3m/s2 y un aumento
en los polos de unos 0.61
m/s2).
L
1 : trmino que oscila con periodos diurnos.
L2 : es el componente semidiurno. Su periodo cambia cada 12
horas. Es mnimo en los polos y
mximo en el ecuador.
De todos ellos, el trmino ms importante en las mareas es el
semidiurno (ya que L es pequeo y LLsen 2cos2 < )
De la misma manera, se obtienen estas ecuaciones para el efecto
de marea producido por el Sol.
Slo hay que tener en cuenta que se debe sustituir por t , el
tiempo solar, cuya periodicidad es de un da solar medio (24h). En
este caso, el periodo de S0 es de 0.5 aos.
2.5. Medida de las mareas terrestres
Como se ha visto, las mareas terrestres afectan tanto al mdulo
de la gravedad gr como a las desviaciones de la vertical.
Las variaciones en el mdulo de gr se suelen medir con
gravmetros, las fluctuaciones en la direccin de la lnea de la
plomada se determinan con clinmetros y las deformaciones de la
corteza se miden con extensmetros. Todos ellos tienen que
alcanzar una gran precisin para
-
Grupo A1 Tema 2
27
poder estudiar adecuadamente el efecto de las mareas terrestres.
Por ello, muchos de los
aparatos suelen estn conectados a un registro continuo para
detectar las variaciones temporales
obtenindose precisiones por encima de 10-8 m/s2:
Gravmetros registradores: pueden ser gravmetros de campo unidos
con una unidad de grabacin o gravmetros de mareas especiales (como
es el Lacaste-Romberg, Geodynamics,
etc). En todos ellos, los cambios en la posicin de la masa se
convierten a una tensin
elctrica y se amplifica y se graba junto con el tiempo. Con
ellos se puede obtener una
precisin relativa de 10-3.
Gravmetros superconductores: Utilizan los efectos de la
superconductividad para mantener una bolita en equilibrio mediante
un campo magntico. Los desplazamientos verticales,
causados por variaciones de gravedad, son detectados y
compensados a travs de un sistema
de retroalimentacin, tomando con ello una medicin. En estos
gravmetros, las
perturbaciones microssmicas y los efectos de deriva son muy
pequeas. La precisin que se
obtiene es superior a 10-9 m/s2.
Clinmetros: miden inclinaciones. Son pndulos horizontales y
verticales y las fluctuaciones en la direccin de la lnea de la
plomada con respecto a la superficie terrestre se determinan
de sus dos componentes mutuamente perpendiculares (NS, EW).
- Pndulos horizontales: consisten en dos hilos verticales que
sostienen una barra
horizontal con una masa adherida. Debido a la pequea inclinacin
del eje de rotacin
con respecto a la direccin de la vertical, una fuerza horizontal
ocasiona una deflexin
angular fuertemente amplificada, teniendo con ello una
medida.
- Pndulos verticales: estos pndulos estn suspendidos de tal
manera que pueden oscilar
libremente y las deflexiones se perciben por dos detectores
colocados en ngulos rectos
entre s, que despus de amplificadas, se graban por medios
analgicos y digitales.
Extensmetros: miden deformaciones. Para determinar las seis
componentes del tensor de deformacin, los extensmetros deben
orientarse en diferentes direcciones espaciales.
Tambin miden directamente los valores del nmero de Love h y del
nmero de Shida l y en
especial el cociente l/h. Hoy en da, pueden ser barras de
superinvar con longitudes de entre
10 y 20 m o interfermetros lser que permiten longitudes de hasta
de 1km. En cada caso, se
tiene un extremo fijo a la roca y otro libre donde se miden las
deformaciones de la corteza
terrestre.
-
Grupo A1 Tema 2
28
Una vez recogida la seal por estos aparatos, hay que tener en
cuenta que a la seal de la marea
terrestre se le superpondrn otros efectos como son:
- Errores instrumentales sistemticos: incertidumbres asociadas
con la determinacin de
la calibracin, efectos directos de la presin atmosfrica y la
temperatura, etc. Muchos
de ellos se pueden determinar y eliminar, en la medida de lo
posible, mediante anlisis
de regresin.
- La deriva del instrumento: influye sobre todo en el anlisis de
las mareas de largos
periodos.
- Los efectos causados por las mareas ocenicas. Son difciles de
evaluar ya que no se
conocen suficientemente los parmetros elsticos de la corteza
terrestre.
- Influencias locales de los lugares donde se realizan las
medidas.
- Efectos secundarios que surgen de las variaciones de la presin
atmosfrica, la
temperatura, las radiaciones solares, procesos tectnicos,
etc.
- Etc.
Los gravmetros proporcionan buenos resultados cuando se colocan
en compartimentos de
temperatura controlada. Los clinmetros deben protegerse de las
influencias de la superficie
mediante una capa de roca suficientemente gruesa. As, los
pndulos horizontales se instalan en
tneles y los pndulos verticales en agujeros perforados.
Actualmente existe en todo el mundo un gran nmero de estaciones
de mareas terrestres. Los
valores obtenidos muestran que la aproximacin de una Tierra
rgida no es adecuada. Por lo que
utilizan modelos de Tierra ms realistas que consideran una
Tierra elptica en rotacin, con
ocanos y atmsfera y con unos parmetros elsticos en su interior
de acuerdo con los ltimos
resultados de las investigaciones sismolgicas.
Los resultados obtenidos de las observaciones de las mareas
terrestres tienen un gran nmero de
aplicaciones: reducir medidas geodsicas, medidas gravimtricas u
otras medidas precisas como
pueden ser el posicionamiento por satlite o los mtodos
radiointerferomtricos; para establecer
modelos geofsicos como pueden ser modelos regionales de
corteza-manto o para la verificacin
de modelos globales y regionales de mareas ocenicas, entre
otras.
-
Grupo A1 Tema 2
29
Bibliografa
[1] Torge, W. Geodesia. Editorial Diana, 1983.
[2] Torge, W. Gravimetry. Editorial Walter de Gruyter 1989.
[3] Udas, A. y Mezcua, J. Fundamentos de Geofsica. Editorial
Alianza, 1996.
-
Grupo A1 Tema 3
31
Tema 3. Medidas absolutas y relativas de la gravedad. Mtodos
pendulares y de cada libre. Observacin sobre mviles.
Determinacin
de las segundas derivadas del potencial de la gravedad. Medida
del
gradiente de la gravedad. Calibracin e intercomparacin de
gravmetros. Correcciones a las observaciones: mareas,
movimiento
del polo, carga ocenica y carga atmosfrica.
3.1. Medidas absolutas y relativas de la gravedad
En las medidas absolutas se determina el valor total de la
aceleracin de la gravedad en el punto
de observacin (mdulo de la componente vertical de la aceleracin
de la gravedad). Las
primeras determinaciones de la longitud del pndulo fueron
realizadas por Richer en La
Cayenne en 1672. Tambin Maupertuis 1736-37 y Bouguer 1735-44
(junto con Jorge Juan y
Antonio de Ulloa) efectuaron medidas pendulares en los viajes
para la determinacin del
achatamiento de la Tierra. Los marinos espaoles Malaspina y
Bustamante (1789) tambin
realizaron experiencias con el pndulo invariable. En Espaa la
primera determinacin de la
gravedad que tenemos conocimiento fue realizada por Gabriel
Ciscar en 1800 en Madrid con
pndulos de lenteja. En el IGN Barraquer entre 1877 y 1883 mide
la gravedad por el mtodo
absoluto pendular mediante el pndulo de Bessel. Actualmente el
mtodo de cada libre es el
metodo absoluto ms exacto y preciso de determinacin de la
componente vertical de la
gravedad. En las medidas relativas se pueden distinguir dos
casos:
Espaciales: Se determina la diferencia o incremento de la
aceleracin de la gravedad del sensor del gravmetro relativo en un
punto con respecto al la posicin del sensor en otro
punto inicial o de referencia, en el cual habitualmente se
conoce el valor absoluto de la
fuerza de la gravedad.
Temporales: En las medidas relativas temporales se determinan
los valores de la fuerza de la gravedad en instantes de tiempo
distintos, como ocurre en el caso de la medida de las
mareas terrestres (variaciones de largo perodo).
Las medidas relativas se ralizan por Sterneck en 1881 y se
extienden por el mundo para una
mayor densificacin de los valores de la gravedad hasta el
desarrollo de los gravmetros
relativos, hacia 1940. En Espaa se realizan medidas desde 1901
hasta 1950. Desde la dcada de
1940 hasta la actualidad las medidas relativas se realizan
mediante los gravmetros de muelle de
cuarzo y de metal. Tambin desde 1970, el gravmetro
superconductor sirve para realizar
-
Grupo A1 Tema 3
32
medidas relativas temporales, constituyendo el gravmetro
relativo ms preciso, aunque tambin
el ms complejo. Finalmente, los mtodos de medida de
aceleraciones de la gravedad se pueden
dividir en terrestres, marinos, submarinos, areos y por satlite.
Un resumen general de las
precisiones y exactitudes se observa en la tabla 1.
Tabla 1. Mtodos de medida de la gravedad.
3.2. Mtodos pendulares y cada libre 3.2.1. El pndulo simple o
matemtico
La ecuacin del pndulo simple o matemtico de longitud l es:
mglsentddm 2
2
=
Figura 1. Pndulo simple.
Exactitud (mGal)
Exactitud (ms-2)
RESOLUCIN Comentarios
gravmetros relativos 1-2 10-2 1-2 10-7 valor en un
puntolimitaciones por accesibilidadgravmetros absolutos 1-2 10-3
1-2 10-8 valor en un puntolimitaciones por ruido
ambientalgravmetros superconductores 1-2 10-5 1-2 10-9 valor en un
puntolimitado por ruido del entorno ambien
Gravimetra de plataforma mvilgravmetros areos 2-4 mGal 2-4 10-5
10-20 km requiere amortigamiento del sensorgradimetros areos 5-10
10-9 s-2 1-10 km no operacional
gravmetros marinos 0.2-0.4 mGal 0.2-0.4 10-5 < 1km extensin
de rea y densificacin costgradimetros marinos 5-10 10-9 s-2 <
1km utilizada por la US Navysistemas inerciales 1-4 mGal 1-4 10-5
< 1km deriva del girscopo es el problema pr
Mtodos por satliteSeguimiento terrestre de satli 0.3-0.5 m 500
km
Seguimiento satlite a satlite 1-4 mGal 100-200 kmGradiometra de
satlite 1-2mGal 50-100 km
Altimetra de satlite
-
Grupo A1 Tema 3
33
y su solucin, en ausencia de rozamiento, para sen=: )tsen( 00 +=
En general un pndulo simple o matemtico tiene un periodo en funcin
del ngulo :
+++++= KK2senn)2/1n(2
2sen4)2/3(1
2sen2)/(11
gl
2T n224222
Y en funcin de la longitud del pndulo y de la mxima altura b de
amplitud mxima:
+
+++= KK
n2
l2b
n21n2
l2b2)/(11
gl
2T
En aproximacin para oscilaciones infinitesimales < 5, < 1,
< 30 minutos de arco, para b=0, respectivamente:
gl
2161
gl
22sen2)/(11
gl
2T 22
+
+=
Teniendo en cuenta que para oscilaciones pequeas b= l 1cos =
l(1-cos)=2lsen2(/2). Despejando en cada caso de oscilacin la
gravedad g obtendremos la frmula de obtencin del
valor de la gravedad.
3.2.2. El pndulo compuesto o fsico
La ecuacin del pndulo compuesto o fsico es la misma que para el
pndulo simple, pero
sustituyendo la masa por el momento de inercia del slido rgido
I, y la distancia del centro de
gravedad al centro de rotacin h:
senhmgtddI2
2
=
y su solucin, en ausencia de rozamiento, es para ngulos pequeos
(sen=): )tsen( 00 +=
con periodo:
+
+++= KK
n2
h2b
n21n2
h2b2)/(11
mhgI
2T
En aproximacin para oscilaciones infinitesimales < 5, < 1,
< 30 minutos de arco, para b=0, respectivamente:
gl
2mgh
I2
161
mghI
22sen2)/(11
mghI
2T e22 =
+
+=
donde le, la longitud equivalente del pndulo matemtico, es
funcin de I el momento de inercia,
h la distancia del centro de gravedad al centro de suspensin del
pndulo y m la masa del
pndulo.
-
Grupo A1 Tema 3
34
El mtodo de Kater (pndulo reversible) consista en medir dos
periodos con ejes en dos puntos
simtricos respecto del centro de gravedad del pndulo fsico,
determinado de esta manera la
longitud equivalente o longitud del pndulo simple
equivalente.
hmhI
mhI
l c +== El mtodo de Bessel consista en medir dos periodos
similares de las oscilaciones, as como las
distancias entre los ejes de suspensin, ejes de oscilacin y
centro de gravedad. De esta manera
se obtena el periodo de oscilacin del lugar:
21
22112
=
22 TTT
Las medidas consistan en los pasos siguientes:
Distancia entre los ejes de suspensin (entre los filos de los
cuchillos), en partes de la longitud de la regla colocada
verticalmente en el aparato.
Duracin de la oscilacin iscrona circular (T1, T2) Situacin del
centro de gravedad (1, 2) del pndulo respecto de los filos de
los
cuchillos.
Otras medidas y correcciones a realizar en los mtodos pendulares
eran las constantes
termomtricas, amplitud finita de la oscilacin, acortamiento de
la regla por su propio peso,
longitud absoluta de la regla, marcha del reloj, movimiento
oscilatorio o balance del sostn,
flexin del pndulo, deformacin de los filos de los cuchillos por
el peso del pndulo, reduccin
al vaco, y reduccin al nivel del mar para comparar medidas en
distintos lugares.
3.2.3. Mtodo pendular relativo
Teniendo en cuenta que T=T2-T1, y la relacin de periodos
distintos del pndulo invariable en dos lugares distintos se
obtiene:
++=
+
== ...TT4
TT3
TT21g
TT1
1gTTgg 3
1
3
21
2
112
2
1
122
21
12
++== ...TT4
TT3
TT2ggg 3
1
3
21
2
112
Lo cual nos indica que conociendo el valor de la gravedad en un
lugar y la diferencia de
periodos entre dos lugares podemos deducir el valor de la
gravedad en el segundo
emplazamiento. El Instituto Geogrfico Nacional realiz medidas
relativas pendulares entre
1903 y 1942, completando una red de estaciones gravimtricas por
toda Espaa, Portugal y
-
Grupo A1 Tema 3
35
Marruecos (alrededor de 210), que permitieron el clculo de los
primeros mapas de Espaa de
anomalas de la gravedad de aire libre y de Bouguer.
3.2.4. Gravmetros relativos
Un gravmetro relativo es un instrumento, generalmente de muelle
de cuarzo o de aleacin de
metal, que permite la medida relativa espacial y temporal de la
componente vertical de la
gravedad.El gravmetro Worden fue desarrollado por Sam Worden al
final de la dcada de 1940.
Basado en un sistema elstico de muelle de cuarzo, posee tres
muelles para conseguir la
longitud cero y una masa de unos 5 miligramos. El primero que
posibilit un gran nmero de
observaciones relativas de calidad fue el gravmetro
Lacoste-Romberg modelo G. A partir de
una idea de 1934 de Lucien Lacoste, con patente en 1942 y 1945,
el gravmetro de muelle de
metal astatizado de longitud cero, que soporta una masa,
registra elongaciones que son
proporcionales a las diferencias de gravedad. Mediante un
sistema electrnico capacitor
conectado a un voltmetro externo, en los primeros tiempos
analgico y posteriormente digital,
permite mejorar sustancialmente las medidas mecnicas del dial
ptico llegando a
incertidumbres de algunos Gal. Las incertidumbres dependen de su
correcta tabla de
calibracin y factores de calibracin. El mtodo empleado es un
mtodo de cero en el que la
posicin de equilibrio define la posicin horizontal del haz en la
direccin de la masa que pende
del muelle y que es objeto de atraccin (figura 2).
La ecuacin de equilibrio resultado del equilibrio de fuerza de
gravedad y la restauradora del
muelle de constante k es:
0bsen)ss(kcosmga o =
siendo la sensibilidad en funcin del ngulo g
tang =
y la sensibilidad en funcin de la elongacin 0
2
ss
bda
km
gs =
entonces sss
abd
mkg 0=
El rango de medida llega a ser mundial (7000 mGal) al variar la
distancia d entre el eje de giro y
el punto de suspensin. Las derivas en un gravmetro recin
construido son de 1 mGal al mes,
bajando a 0,5 mGal al mes transcurrido cierto tiempo. Derivas
estticas de 15 Gal/da y
menores son habituales en instrumentos envejecidos.
-
Grupo A1 Tema 3
36
Figura 2. Esquema de un gravmetro relativo de muelle.
Dentro de los gravmetros relativos cabe citar el mencionado
gravmetro superconductor. El
fundamento es la levitacin en condiciones de superconductividad
en un campo permanente
magntico de una pequea esfera de 25 mm de dimetro, inicialmente
de aluminio recubierta de
plomo, actualmente de niobio. La superconductividad se consigue
situando el dispositivo dentro
de un vaso Dewar con vaco y condiciones criognicas de
temperatura (4 K). Un cambio en la
gravedad induce un movimiento vertical en la esfera; para
mantenerse en el nivel cero
necesita de un voltaje de realimentacin que ser proporcional al
cambio de gravedad. Para
convertir voltajes en gravedad se precisa de un gravmetro
absoluto que los calibre, con
precisiones en el factor de calibracin mejores que 0,1 %. Son
instrumentos que se instalan y se
mantienen permanentemente en observatorios o laboratorios.
3.2.5. Mtodo absoluto de cada libre
La ecuacin diferencial que define a una partcula en caida libre
en ausencia de rozamiento, en
primera aproximacin lineal, considerando un campo no homogneo y
un gradiente constante
ser: )( oo zzgz += &&
-
Grupo A1 Tema 3
37
====
;)0(;)0(;)0( ooooo
gzvzzzzgzz
&&&&&
donde go es un valor inicial de la aceleracin de la gravedad, la
posicin inicial y la velocidad
inicial del grave en cada libre.
La solucin n-sima en el gradiente es:
=
+
=
+
= ++++== 0n
2n2n
o0n
1n2n
0noo
nn )!2n2(
tg)!1n2(
tvzta)t(z
En general la solucin anterior se puede expresar como un
polinomio:
44
33
221
0no
nn tatatataata)t(z ++++==
=
Truncando hasta el primer orden en el gradiente, la solucin de
la ecuacin es:
4o
3o
2ooo t24
gt6vt
2g
tvzz(t) ++++=
Por tanto si consideramos solamente los trminos cuadrticos, y
diferenciamos ds = s/g dg + s/t dt. Si queremos errores relativos
no mayores de 10-9, la distancia de 0.5 m y tiempos de cada de 0.3
s nos llevan a requerir exactitudes de 0.5 nm y 0.2 ns. Por tanto,
solamente
empleando mtodos interferomtricos o atmicos, con patrones de
frecuencia de relojes
atmicos y longitudes de onda de lser, es posible alcanzar las
exactitudes mencionadas.
Se realiza en cada cada un ajuste mnimo cuadrtico con un
gradiente vertical de la gravedad
conocido a priori . En forma matricial para cada cada n=1,2,
..., n:
++
++
++
++
=
o
o
o
4n
2n
3nn
43
23
333
42
22
311
41
21
311
n
o
o
1
gvz
)t24
t()t6
t(1
)t24
t()t6
t(1
)t24
t()t6
t(1
)t24
t()t6
t(1
z...zzz
MMM
Comenzando con un sistema interferomtrico de luz blanca en el ao
1962, los predecesores del
gravmetro absoluto de cada FG5 fueron seis gravmetros de la
serie JILAG construidos en
1985, con diversas instituciones apoyando el proyecto (NIST,
DMA, NOAA, GSC, FGI,
Universidades de Hannover y de Viena). El principio de este tipo
de gravmetros es reproducir
la aceleracin libre de un cuerpo grave en cada en el campo
gravitatorio, al mismo tiempo que
-
Grupo A1 Tema 3
38
se miden los pares distancia-tiempo (ti, xi) mediante un
contador de intervalos de tiempo y un
interfermetro lser.
Figura 3. Esquema de los elementos principales que componen el
gravmetro absoluto FG5.
El lser de He-Ne estabilizado en frecuencia por una clula de
Iodo, juega un papel de patrn
fsico primario y (en principio) no requerira calibracin. Dentro
de la cmara de cada libre,
donde es necesario realizar el vaco por debajo del nivel de 10-4
Pa, se precipita una esquina de
prisma cbico (espejo retroreflector), que genera franjas de
interferencias lser dentro de un
interfermetro del tipo Mach-Zender (en modelos anteriores del
tipo Michelson). Puesto que la
masa de unos 200 g cae durante unos 20 cm (unos 600 nms-2), hay
que promediar de alguna
manera el valor final a la altura efectiva de clculo de la
gravedad. El conjunto de fuentes de
error en cada una de las variables que influyen en la medida
absoluta de la gravedad por el
mtodo de cada libre se cifra en una incertidumbre instrumental
de 1.1 Gal (tabla 2). El ruido
microssmico, incluyendo el generado por el ser humano, afecta a
la distancia al prisma de
referencia, con periodos de ruido entre 100 s y 0,01 s. Un
sismmetro de largo periodo de 60 s,
cuya masa inercial soporta el prisma fijo de referencia, reduce
el ruido considerablemente. Es
una mejora considerable respecto al gravmetro de la serie JILA.
La rotacin del prisma mvil
es causa de errores en la longitud del camino ptico medido. Se
sospecha que esta rotacin se
debe a la flexin de la cmara de cada libre al liberar la masa.
La rotacin del prisma mvil no
debe superar los 0,03 rad/s. El grave que cae est construido de
tal manera que su centro de
-
Grupo A1 Tema 3
39
gravedad y centro ptico coinciden dentro de los lmites de 2.5
10-5 m ms una cierta
incertidumbre debida a la imperfeccin en la determinacin de esta
distancia. Las tasas de
rotacin medidas son del orden de 10 mrad/s. El error final en el
valor de la gravedad es
proporcional al error en la medida de la distancia entre el
centro de gravedad y el centro ptico
del prisma.
Tabla 2. Incertidumbres principales que componen la
incertidumbre instrumental del gravmetro absoluto FG5.
3.3. Observacin sobre mviles
Existe la necesidad de medir la gravedad en todo el globo debido
a que el 70% de la superficie
terrestre est cubierta por agua. Por otra parte, tambin en otros
medios como en el interior de
los ocanos (submarinos), el aire o incluso los satlites
artificiales se hace til la medicin para
un conocimiento completo del campo de gravedad. La gravimetra
area comprende la
gravimetra medida en los aviones y en los helicpteros. Las
mediciones en submarino por
razones militares se realizaron ya desde 1940 entre
profundidades de 200 y 1000 m. En general
las medidas se hacen integrando a un intervalo de tiempo que
depende de las aceleraciones de
perturbacin caractersticas de cada plataforma mvil. Hacia 1929,
Vening-Meinesz dise el
doble pndulo y en 1939 el triple pndulo para la medicin de la
componente vertical,
eliminando las aceleraciones horizontales no deseadas.
Para cada pndulo hemos de aplicar la ecuacin diferencial, en
ausencia de aceleraciones
horizontales:
Fuente de error Incertidumbre Comentarios
Presin residual 0,1 Depende de presin
Temperatura diferencial 0,1 Depende de temperatura y presin.
Grad. campo magntico 0,1 Difcil de estimar
Electrosttica 0,1 Difcil de estimar
Atraccin del instrumento 0,1 Desviacin fija en diseo
Verticalidad 0,1 Siempre negativa
Rotacin prisma 0,3 Se degrada con el tiempo
Longitud onda laser 0,1 Laser con celda de iodo
Efecto de Coriolis 0,4 Depende latitud y orientacin
instrumento
Inclinacin y retroceso 0,1 Depende de la estacin
Modulacin de air-gap 0,6 Depende estacionamiento
Cambio de fase por electrnica 0,6
Patrn de frecuencia 0,2
Bordes de lentes 0,3
Lmite de difraccin 0,2 Depende del lser
Incertidumbre total 1,1 Gal (11 nms-2)
-
Grupo A1 Tema 3
40
0lg
tdd
i2i
2
=+
Y con aceleraciones: 2
2
i2i
2
tdyd
l1
lg
tdd =+
Las aceleraciones horizontales se anulan al restar las
ecuaciones correspondientes a los pndulos
1 y 2: 0)(
lg)( 2121 =+ &&&&
La integracin sobre un periodo de tiempo permite determinar el
valor de la gravedad
eliminando las aceleraciones horizontales.
En los mtodos modernos, la ecuacin general de la oscilacin
forzada de un gravmetro en una
plataforma mvil es:
fagzz2z z2o +=++ &&&
en donde, az es la aceleracin perturbadora vertical (en direccin
de la lnea de la plomada), es
el factor de amortigamiento, o la frecuencia propia del resorte
y f la contrafuerza del resorte.
Los gravmetros o acelermetros se suelen situar en el metacentro
del barco o en, general, en el
centro de gravedad de mvil, para que las aceleraciones
perturbadoras sean mnimas.
Respecto de las observaciones en tierra firme existen tres
diferencias fundamentales:
Nivelacin de una base mvil. Existencias de aceleraciones de
perturbacin. Aparicin de aceleraciones de Coriolis.
La nivelacin de la base mvil se puede realizar a travs de una
suspensin tipo Cardan o
nivelando la plataforma estabilizada con girscopo. En el caso de
la suspensin Cardan, el
sistema se alnea automticamente con la resultante de la gravedad
g(t), la magnitud medida es:
[ ] 2/122* (t)h)t(g)t(g += en donde la composicin de las
aceleraciones horizontales es h(t)=(ax+ay)1/2. Este sistema
qued
obsoleto a mediados de los aos 60 del pasado siglo. Los sistemas
de nivelacin estabilizados
por girscopo o GPS pueden dar alineaciones con la vertical del
orden de 1 de arco o mejores.
Si el ngulo de inclinacin es v(t) y la aceleracin de perturbacin
horizontal h(t), la gravedad
medida se puede expresar como:
senv(t)h(t)gcosv(t)g * += tsenh)t(h o =
)t(senv)t(v o +=
-
Grupo A1 Tema 3
41
Figura 4. Esquema del error de nivelacin debido a la aceleracin
horizontal h(t) e inclinacin residual v(t) en una
plataforma mvil.
Para ngulos pequeos el error de desnivelacin se puede
expresar:
)t(v)t(h2vgggg
2* ==
en donde el primer trmino es el error esttico de inclinacin y el
segundo es el error dinmico.
Realizando una integracin a un perodo T, la correccin queda:
cos2vh
4v
gggg oo2o* ==
Si las aceleraciones de perturbacin horizontales y verticales
tienen el mismo perodo se pueden
procudir efectos de acoplamiento, que tambin habr que
corregir.
Debido al movimiento de rotacin de la Tierra se inducen
aceleraciones que afectan a la medida
de la componente vertical de la aceleracin de la gravedad en
plataformas mviles. La
aceleracin de Coriolis tiene valores mximos en el movimiento
segn los paralelos y mnimos
si el movimiento se realiza segn los meridianos. Al aumentar la
latitud la correccin
disminuye. La aceleracin de Coriolis debida al movimiento del
mvil con velocidad v en
direccin ha de ser corregida, y puede ser evaluada con:
1. La expresin para la aproximacin esfrica:
)ms10(v0012.0sencosv0.4rvsencosv2g 252
2++=
2. Aproximacin elipsoidal (utilizada en aviones):
))sen23(cos1(avf)
rvsencosv2)(
ah1(g 22
22
++= Los gravmetros marinos (como el LCR) tienen un rango de unos
12000 mGal y una deriva de 1
mGal/mes. Actualmente los errores de orientacin y navegacin han
disminuido enormemente
-
Grupo A1 Tema 3
42
por la utilizacin del posicionamiento GPS. Las precisiones que
se obtienen mediantes estos
mtodos oscilan entre 1 y 0.1 mGal. Las incertidumbres que tienen
los distintos mtodos de
medicin de la gravedad sobre plataformas mviles se pueden
resumir en (tabla 1):
Gravmetros sobre el mar 0.510-5 ms-2 con resoluciones del orden
de1-2 km. Gravmetros submarinos alzanza entre 1 y 310-5 ms-2.
Helicpteros 1 y 310-5 ms-2. Gravmetros aerosuspendidos: entre 2 y 4
10-5 ms-2. Expediciones lunares (Apolo11, 12, 14, 17): en la zona
de alunizaje con 1810-5ms-2.
3.4. Determinacin de las segundas derivadas del potencial de la
gravedad
El gradiente del potencial total de la gravedad es el vector
gravedad:
( )ZYXNc W,W,WzW,
yW,
xWWgradWffg =
===+=r
Si diferenciamos nuevamente, obtenemos las segundas derivadas
del potencial de la gravedad,
el tensor gradiente de la gravedad, tambin llamado tensor de
Etws:
====
ZZZYZX
YZYYYX
XZXYXX
WWWWWWWWW
W)W()gradW(gradggrad r
Puesto que el campo de la gravedad es irrotacional, podemos
deducir que el tensor gradiente de
la gravedad solamente tiene cinco componentes independientes, ya
que WXY=WYX, WXZ=WZX, WYZ=WZY .
2ZZYYXX 2G-4WWW z)y,W(x, +=++=
Aunque en la realidad difieren bastante de los valores tericos,
sobre el elipsoide del sistema de
referencia geodsico GRS80 los valores tericos de las componentes
del tensor gradiente de la
gravedad son, teniendo en cuenta que UXY=UZY=0, y siendo la
componente ms utilizada UZZ el
gradiente nornal de la gravedad: 2
YYXX ns1540UU=
22XXYY nscos4.10UU
= 2
ZZ ns3086zU =
=
2ZX ns2sen1.8x
U ==
Un gradimetro es un sensor que puede medir el cambio de
aceleracin de la gravedad en el
espacio. Los primeros gradimetros fueron diseados por Etws a
principios de siglo, a partir
de la balanza de torsin de Cavendish. El IGN adquiri una balanza
de torsin de Etws-
-
Grupo A1 Tema 3
43
Schweydar en 1923. La unidad de medida en la medida de
gradientes es el Etws (E),
equivalente a 10-9 s-2.
El principio de la balanza de torsin es la medida del ngulo de
giro -o en la direccin alfa con
dos masas m1 y m2 en los extremos de la balanza, con la condicin
de equilibrio:
)cosWsen(W2
mlh)2cosW 22sen)W((W2
ml)( XXZXXYXXYY2
o += La precisiones alcanzadas son de 1 Etws en tierra firme en
terreno llano.
Los gradimetros inerciales miden la gravedad mediante
acelermetros en dos puntos tan
prximos que podemos suponer que la variacin de la gravedad entre
ellos es lineal. Existen dos
tipos: los traslacionales y los giratorios (o rotatorios).
En el giratorio, la ecuacin de las fuerzas fi medidas por los
pares de acelermetros (en cada una
de las direcciones) separados una distancia l de una plataforma
circular que rota con velocidad
y que est estabilizada es:
t2coslW2t2sen)WW(l)ff()ff(f XYXXYY4321 +=++=
t2coslW2t2sen)WW(l)ff()ff(f XZXXZZ43211 +=++=
t2coslW2t2sen)WW(l)ff()ff(f YZYYZZ43212 +=++=
Por ltimo, el gradimetro absoluto de cada libre es un intrumento
con dos cmaras de cada
libre similar a la del gravmetro absoluto, y dos masas test que
caen en el vaco al mismo
tiempo. La precisin en cinco minutos de medidas es de 5 E y la
exactitud es de 12 E.
3.5. Medida del gradiente de la gravedad
La medicin del gradiente vertical de la gravedad en tierra es
necesario para introducirlo en la
frmula del clculo de la medida absoluta de la gravedad. La
componente gz=g/z corresponde
a la segunda derivada del potencial total W con respecto a la
componente z dos veces, Wzz.
2yyxx2
2
zz 2G4-)W(Wzg
zW W ++=
==
La observacin del gradiente vertical de la gravedad en tierra se
realiza mediante gravmetros
relativos de muelle y plataformas o trpodes a distintas alturas.
Para obtener resultados hemos de
aplicar las correcciones del prrafo 7, adems de considerar las
correcciones de deriva esttica y
dinmica de cada uno de los gravmetros. La correccin de deriva
dinmica es muy pequea,
pues el desplazamiento del gravmetro en el laboratorio (en la
vertical) es muy cuidadoso y no
est sujeto a grandes movimientos. Con gravmetros sin sistema de
realimentacin son
necesarias unas 50 reiteraciones, mientras que son 10
reiteraciones las que requieren los
-
Grupo A1 Tema 3
44
gravmetros con sistema de realimentacin. En el clculo del
gradiente vertical asumimos que el
campo de gravedad sobre las estaciones de observacin se puede
aproximar por una funcin
polinmica de segundo grado en funcin de la altura sobre la marca
de la estacin, aunque se
podran utilizar polinomios de mayor orden:
2210 hchccg(h) ++=
donde los coeficientes c0, c1 y c2 se obtienen para cada punto
por mnimos cuadrados. El
gradiente en cada punto de la vertical ser la derivada de esa
funcin, por tanto, la funcin
lineal:
hc2c(h) 21 +=
3.6. Calibraciones e intercomparaciones
Los tres elementos que necesitan de algn tipo de control o
calibracin en los gravmetros
absolutos son: el reloj de rubidio, el lser, y el barmetro. Como
frecuencia se utiliza un reloj
atmico de rubidio, de estabilidad del orden de 10-10. El reloj
de rubidio ha de calibrarse contra
patrones ms estables, como el reloj de cesio y el mser de
hidrgeno. Las calibraciones de la
frecuencia del Lser de He-Ne se realizan contra el patrones
similares que se encuentran en
condiciones ms estables, por ejemplo en el CEM (Centro Espaol de
Metrologa) o del BIPM
(Bureau Internacional de Pesas y Medidas de Svres). El barmetro
se debe calibrar en el CEM
(Centro Espaol de Metrologa) y en las intercomparaciones. Las
calibraciones se realizan con
el mser de hidrgeno del Observatorio Astronmico de Yebes y con
el rubidio disciplinado a
un patrn de cesio del Real Observatorio de la Armada de San
Fernando (Cdiz), que es el
laboratorio de tiempo oficial asociado al CEM.
Las primeras comparaciones con mtodos pendulares se realizaron
en Potsdam entre 1909 y
1971. Las comparaciones oficiales entre gravmetros absolutos
datan del ao 1976 en Svres,
aunque ya en 1968 Faller y Hammond comenzaron a practicarlas.
Desde 1981 la IAG reconoce
la necesidad de comparaciones peridicas de gravmetros absolutos
para detectar posibles
errores sistemticos y definir el nivel de exactitud de la
metodologa. Los resultados finales
estn reducidos al un punto de referncia y a una altura de
referencia de 90 cm.
3.7. Correcciones a aplicar a las observaciones
Para obtener los valores finales en las mediciones relativas y
absolutas, las observaciones
originales de la gravedad se corrigen por mareas terrestres,
movimiento del polo, atraccin
gravitatoria y carga procedente de la carga ocenica de las
mareas ocenicas (efecto indirecto
ocenico), cambios de gravedad debidos a las variaciones de
presin atmosfrica.
-
Grupo A1 Tema 3
45
3.7.1. Correccin por mareas terrestres
Las mareas son un fenmeno planetario en su origen y terrestre en
sus consecuencias. La Tierra
en su conjunto y todos los cuerpos slidos, lquidos y gaseosos
que la componen son
deformados y tensionados. Por tanto, todo tipo de medida precisa
se encuentra afectada de este
fenmeno. La elipticidad, la inelasticidad y las heterogeneidades
laterales de la estructura
terrestre influyen en las deformaciones finales y han de tenerse
en cuenta a la hora de elaborar
modelos. El efecto mximo pico a pico de las mareas terrestres en
una estacin gravimtrica
absoluta situada es de unos 300 Gal, y las exactitudes con las
que actualmente los modelos
predicen las mareas terrestres se encuentran muy por debajo de 1
Gal.
La correccin por marea se puede calcular por diversos
mtodos:
A partir de un potencial de la Tierra rgida con un factor
gravimtrico de 1,16 y fase cero. Dependiendo del potencial
utilizado se pueden obtener mayores o menores incertidumbres.
Clculo de un potencial de Tierra rgida con los factores de
amplitud de un modelo de Tierra elsticos (modelo 1066 de Gilbert y
Dziewonski, Modelo de Gutenberg-Bullen, modelo
PREM, modelo DDW, etc.) y corrigiendo de los efectos producidos
por la marea ocenica en
amplitud y fase para las ondas principales.
Clculo de un potencial de Tierra rgida con los factores de
amplitud de un modelo de Tierra elsticos y medida experimental de
mareas en la estacin y utilizar los factores gravimtricos
experimentales medidos en esa estacin.
El potencial gravitatorio de marea W en un punto de coordenadas
esfricas (r,,), si la masa de la Tierra es M, G la constante de
gravitacin universal, r el radio, la latitud y la longitud, y d la
distancia al astro perturbador, se puede expresar como:
)z(cosPdrGM),W(r,
2n
n1n
n=
+=
siendo las funciones Pn(cosz) los polinomios de Legendre de
orden n, y cos z del tringulo
esfrico de la astronoma de posicin es:
),H(r,coscoscossensenzcos += en donde (,H) son las coordenadas
ecuatoriales horarias del astro perturbador y (,) las coordenadas
astronmicas del punto.
Para el trmino de orden 2 tendremos:
-
Grupo A1 Tema 3
46
)1zcos3(dr
2GM
),(r,W 232
2 = El factor gravimtrico en una Tierra esfrica sin rotacin se
define como la relacin de la
amplitud de la marea observada g (por un gravmetro) y la
amplitud de la marea sobre una
Tierra perfectamente rgida, es decir, es la constante de
proporcionalidad adimensional entre
ambas, y se escribe (h y k son los nmeros de Love):
222 k23h1 +=
rW
g 22 =
En 1981, Wahr demostr que el factor gravimtrico depende en
general de la latitud, al
resolver las ecuaciones del movimiento para una Tierra elstica,
elptica en rotacin y
autogravitante. El factor 2 se puede obtener segn la
expresin:
= 1)sen(7230.0051.160 22
En general, la expresin que define el factor gravimtrico n es
(Melchior, 1983):
nnn kn1nh
n21 ++=
La exactitud del potencial de Cartwright-Tayler-Eden (1971,
1973) es de 0.24 Gal y para el de
Tamura es de 0.06 Gal. Las principales ondas de marea se pueden
distinguir o separar con
observaciones suficientemente largas en el tiempo. Cuanto ms
largas sean las observaciones se
pueden separar un conjunto mayor de constituyentes u ondas de
marea, siendo necesarias
observaciones contnuas de ms de un ao, generalmente realizadas
con un gravmetro relativo
(de muelle o superconductor).
3.7.2. Correccin por movimiento del polo
La correccin por el movimiento del polo, que es un efecto de
largo perodo, requiere de las
coordenadas instantneas del polo obtenidas de IERS por diversas
tcnicas (VLBI, SLR y GPS
principalmente). Para el factor de amplitud se pueden introducir
los valores 1.0 a 1.2, aunque las
recomendaciones son de 1.164.
El vector rotacin de la Tierra se puede descomponer en una parte
constante y otra parte
variable :
[ ]321o ,, =+= rrr [ ] ,0,0=or
-
Grupo A1 Tema 3
47
[ ]321 m,m,m =r [ ]k)m(1jmim 321 rrrr +++=
La perturbacin de primer orden del potencial en funcin de la
colatitud y la longitud (,) se
obtiene al tomar solo los dos trminos en m1 y m2:
)senmcos(m2sen2r),,r(V 21
22
+= La variacin de la gravedad en la superficie por el movimiento
del polo se obtiene por la
expresin en donde es el factor gravimtrico, combinacin de nmeros
de Love, con =1.16:
),,a(Va2
g = La correccin por el movimiento del polo tiene en cuenta los
cambios diarios en la aceleracin
centrfuga debidos a la diferencia de distancia entre el eje de
rotacin y la estacin donde se
realiza la medida de la gravedad. Para cada estacin se calcula
utilizando las posiciones del polo
que estn ms cerca del momento de observacin. Por tanto la frmula
a aplicar, recomendada
por la IAG es:
g = -1.164108 2 a 2 sen cos (x cos - y sin ) donde g es la
correccin de movimiento del polo (Gal); es la velocidad angular de
rotacin de la Tierra (rad/s), a es el radio ecuatorial (semi-eje
mayor) del elipsoide de referencia (m); y son la latitud y longitud
geodsicas, respectivamente, de la estacin (rad) y x,y son las
coordenadas del polo.
El efecto mximo que el movimiento del polo puede inducir en el
desplazamiento radial puede
llegar a alrededor de 25 mm y en desplazamientos horizontales a
7 mm. El efecto mximo que
el movimiento del polo puede inducir en los valores de gravedad
puede llegar a 15 Gal pico a pico en varios aos. Este efecto es
fuertemente dependiente de la latitud, y a 45 de latitud tiene
su efecto mayor.
3.7.3. Carga ocenica
La Tierra considerada como una esfera o un elipsoide, se
encuentra cubierta por una capa de
agua en superficie. La superficie de ocanos y mares presenta
ondulaciones solamente debidas a
las mareas que alcanzan amplitudes de un metro en ocano abierto
y dos metros en aguas
costeras y que se producen con una frecuencia de dos veces al
da. La Tierra es deformada, no
solamente por las mareas terrestres, sino tambin por el peso de
las mareas ocenicas, hecho
dependiente del lugar del continente en que se encuentra el
punto donde queremos calcular el
efecto. En la Pennsula Ibrica hay estudios que obtienen factores
gravimtricos observados y
-
Grupo A1 Tema 3
48
comparan el comportamiento de las distintas ondas de marea para
la Pennsula Ibrica. En la
aceleracin de la gravedad las variaciones mximas entre el mximo
y el mnimo se cuantifican
aproximadamente 11 Gal para la Pennsula Ibrica, hecho que se
puede acentuar en las
estaciones cercanas a la costa, especialmente en el Atlntico y
el Cantbrico.
Las causas del efecto indirecto de las mareas ocenicas son tres:
deformacin por presin de esa
masa sobre la corteza (carga por peso), una atraccin directa de
las masas ocenicas
desplazadas, y una redistribucin de las masas de la corteza. Los
efectos se manifiestan en una
estacin de gravedad absoluta en Tierra en:
Desplazamientos horizontales y verticales. Variaciones en la
aceleracin de la gravedad. Variaciones en inclinaciones, es decir,
en la desviacin de la vertical (tilt). Variaciones en esfuerzos
corticales (strain).
Cualquier tipo de carga puede calcularse mediante el formalismo
de Farrell (1973). La carga
ocenica producida es la convolucin entre las funciones de Green
para el modelo de Tierra
PREM y el modelo de mareas ocenicas a travs de la integral:
dA')rH(*)rrG()rL(ocanos
w = rrrr En donde r es la posicin del punto en donde queremos
calcular la carga ocenica, es la densidad media del agua del mar, H
es el modelo de marea ocenica, que representa la altitud de
la marea en el elemento de superficie dA situado en un lugar de
coordenadas geogrficas r. La
funcin de Green G representa la respuesta de un determinado
modelo de Tierra sometida a una
carga puntual unidad. La integral ha de evaluarse para cada onda
de marea separadamente. El
resultado es un conjunto de parmetros de amplitud y fase
denominados factores gravimtricos
para cada frecuencia en la correccin por carga ocenica, que
representan el efecto de carga
ocenica sobre un determinado punto de la superficie de la
Tierra.
3.7.4. Correccin por variacin en la presin atmosfrica y
carga
La presin atmosfrica perturba tambin la gravedad. Este efecto
una seal de largo perodo que
oscila entre horas, das y tambin tiene variaciones con periodo
estacional. Se ha demostrado
que la seal gravimtrica y la presin local atmosfrica estn
correladas con un factor de
admitancia de alrededor de 0,30 Gal/hPa.
Habitualmente, la gravedad observada se normaliza a una presin
nominal en cada lugar
aplicando una correccin basada en la presin atmosfrica observada
durante las medidas. La
-
Grupo A1 Tema 3
49
correccin baromtrica local Cp (Gal) se aplica a cada cada a
travs de la frmula (Resolucin
de la Asociacin Internacional de Geodesia num. 9, 1983):
Cp = A (Po Pn) donde A es el factor baromtrico de admitancia.
Este valor se encuentra usualmente entre -0.30
y -0.42 Gal/hPa. El valor habitual es -0.30, como se recomienda
en la resolucin anteriormente
reseada; Po (hPa) es la presin atmosfrica observada, y Pn (hPa)
es la presin nominal en el
emplazamiento. La presin nominal es calculada de acuerdo
con:
Pn = 1013.25 (1 0.0065 hm/288.15)5.2559
donde hm es la altitud media sobre el nivel del mar en
metros.
Es necesaria una distribucin global de barmetros con mayor
densidad cerca de la estacin
gravimtrica para conseguir una correccin mejor por este efecto.
Se han observado
desplazamientos superficiales de 20 a 60 nms-2 (2 a 6 Gal) en
gravedad, y entre 6 y 20 mm en
desplazamientos debidos ambos a efectos atmosfricos en la banda
de periodos entre das y
meses.
La carga atmosfrica se puede calcular
