1

GeoGebra 6 Classic (myös GeoGebra 5 Classic)

Suppea pikaopas, versio 0.8, xx.11.2018

Erkki Luoma-aho

1. GeoGebran rakenteesta ja näkymästä

Opas koskee GeoGebra Classic-käyttöliittymää, joka koostuu sisäkkäisistä ikkunoista tai näkymistä. Niitä hallitaan Näytä-valikosta, josta voidaan valita halutut näkyviin.

Algebra

Esitetään objektit listana sekä niiden arvot. Arvo vaihtelee objektin mukaan (pisteellä koordinaatit, janalla pituus, suoralla yhtälö, funktiolla lauseke jne.)

CAS (Computer Algebra System)

Suoritetaan symbolista laskentaa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemista, derivointia, integrointia jne.

Piirtoalue

Piirtoalueelle piirretään joko työvälineillä (ylin rivi) tai syöttökentän kautta. Jos syöttökentän kautta kirjoitetaan A = (1, 2), tulee piirretyksi piste. Sama lopputulos saavutetaan, jos Uusi piste –työvälineellä napautetaan Piirtoalueen pistettä (1, 2). Funktion kuvaajat piirretään Syöttökentän kautta.

Kuvassa Algebraikkunassa ja Piirtoalueella on pisteitä, funktion lauseke, suoran yhtälö ja jana. Pisteen B-kohdalla on "tyhjä pallura", jolloin kyseinen objekti ei näy piirtoalueella. Muut objektit ovat näkyvissä. Valinta tapahtuu hiiren vasemmalla näppäimellä.

CAS-ikkunassa on sievennetty lauseke sekä ratkaistu yhtälöitä.

Oikealla on Näytä-valikko, josta hallitaan näkymiä. Huomaa, että jos Syöttökenttä on valittu, siirtyy syöttökenttä ikkunan alareunaan pois Algebraikkunasta.

Työkalurivi mukautuu aktiivisen ikkunan mukaan. Kuvassa aktiivisena CAS-ikkuna, ja työkalut sen mukaiset.

Työkalurivi

Virtuaalinäppäimistö,jostalöytyymm.potenssit,neliöjuuriym.erikoismerkit

2

2. Kuvaajien piirto

Funktion kuvaaja piirretään kirjoittamalla sen lauseke Algebraikkunan Syöttökenttään. GeoGebra nimeää funktiot automaattisesti, joten pelkkä lauseke riittää, mutta funktiolle voi antaa myös tietyn nimen. Muuttujaksi voi määritellä muunkin kuin x:n, esimerkiksi t:n. Ei kuitenkaan y tai z, jotka ovat varattu.

Komento Mitä tapahtuu Huomautus Määritellään (ja piirretään) funktio, jonka

lauseke on x2 + x. GeoGebra antaa funktiolle nimen.

Määritellään funktio, jonka lauseke on x2 + x. Funktion nimeksi tulee p.

Mahdollinen aiemmin nimetty objekti p nimetään uudelleen.

Määritellään funktio f(t) = t2 + t. Funktion f muuttuja on t. Määritellään paraabeli y = x2 + x. Paraabelille annetaan jokin nimi, kuten c,

joka näkyy jatkossa yhtälön edessä.

Huomautus: GeoGebra luokittelee objektit. Funktio ja käyrä luokitellaan eri objekteiksi, vaikka Piirtoalueella kuvissa eroa ei ole. Ero syntyy mm. siinä, että käyriä ei voi derivoida.

Paloittain määritelty funktio määritellään Jos-komennolla: Jos(<Ehto>, <Lauseke>, <Muuten>).

Jos-komentoon voidaan yhdistää useampia ehtoja ja lausekkeita:

Jos(<Ehto1>, <Lauseke1>, <Ehto2>, <Lauseke2>, <Ehto3>, <Lauseke3>, ...)

Komento Mitä tapahtuu Määritellään funktio f, jonka lauseke on x2 + x ja

määrittelyjoukko x ≥ 1.

Määritellään funktio g(x) =

x, kun x <1

x2 + x, kun x ≥1

⎧⎨⎪

⎩⎪

Määritellään funktio

f (x) =

x2, kun x <1

2x − x2, kun 1≤ x < 22x − 4, kun x ≥ 2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

Sovituskomennot

GeoGebralla voidaan sovittaa funktion kuvaaja kulkemaan tiettyjen pisteiden kautta tarkasti (jos pisteitä on juuri sopiva määrä) tai likimääräisesti (jos pisteitä on enemmän välttämättömään tarpeeseen nähden).

Sovituskomentojo on useita. Kirjoita Syöttökenttään "Sovita" ja ryhdy selaamaan... Käsittelen tässä pelkästään SovitaPolynomi-komentoa. Sovituskomentojen laajempi esitys löytyy täältä:

https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/10/15/sovituskomennot-geogebrassa/?fbclid=IwAR02GqY4hjHyQB-zJfrEHormNIIEvJf7M5fDMWPTRdvEOvZBPQSwiW3cf7c

Sijota aluksi piirtoalueelle kolme pistettä. Olkoon näiden nimet A, B ja C. Kas näin:

Käytettävä komento on siis SovitaPolynomi( <Pistelista>, <Polynomin asteluku> )

Lista on aaltosulkeiden {} sisällä oleva pisteiden lista, tässä {A, B, C}. Jos halutaan polynomifunktion kulkevan täsmälleen tiettyjen pisteiden kautta, on pisteitä oltava yhtä enemmän kuin asteluku. Jos pisteitä on tätä enemmän, tehdään likimääräinen sovitus. Sovitusta ei voi tehdä ellei pisteitä ole riittävästi. Alla tehty kaksi (mahdollista) polynomisovitusta tähän pistejoukkoon.

4

3. Kuvioiden piirto

Pisteitä, janoja, suoria, ympyröitä, monikulmioita ja muita vastaavia voidaan piirtää joko työvälineillä tai Syöttökentän kautta kirjoitetuilla komennoilla. Alla on valittuna työväline, jolla voidaan piirtää Piirtoalueelle jana. Tämä tapahtuu napauttamalla piirtoaluetta kahdesti tai kahta jo olemassa olevaa pistettä.

Toisaalta sama voidaan tehdä komennoin. Kun syöttökenttään kirjoitetaan A = (1, 2) määritellään piste. Vastaavasti B = (3, 4) määrittää toisen pisteen ja komennolla Jana(A, B) määritellään (ja piirretään) jana AB. Jokainen objekti voidaan määritellä Syöttökentän kautta. Itse asiassa työvälineet ovat vain toinen (ja rajoitetumpi) tapa käyttää piirtokomentoja. Useimmiten piirto onnistuu varsin luontevasti etsimällä piirtoa kuvaava työväline. Tutki, etsi ja kokeile!

5

4. Vektoreista

Vektori luodaan Syöttökentän kautta komennolla Vektori tai Vektori pisteestä pisteeseen –työvälineellä.

Komento Mitä tapahtuu Huomautus

Luodaan vektori, jonka alkupiste on origo ja päätepiste A.

GeoGebra antaa vektorille nimen.

Luodaan vektori pisteestä B pisteeseen C. Vektorin nimi on v.

Tämä on mahdollista tehdä vastaavallla työvälineellä.

Vektori: alkupiste ja vektori –työvälineellä voidaan luoda kopio toisesta vektorista.

GeoGebra samaistaa (kuten matemaattisesti luontevaa onkin) xy-tason vektorin ja xy-tason pisteen. Näin siis voidaan suorittaa pisteen ja vektorin yhteenlasku, joka on graafisesti ymmärrettävä uuden pisteen luomisena. Esimerkiksi seuraavilla Syöttökentän kautta peräkkäin annetuilla komennoilla voidaan piirtää suunnikas, jonka kärjet ovat pisteissä (2, 1), (6, 2), (5, 4) ja (1, 3):

A = (2, 1)

B = (6, 2)

C = (5, 4)

u = Vektori(B, A)

D = C + u

Monikulmio(A, B, C, D)

Kokeile! Voit käyttää myös vastaavia työvälineitä. Lisäksi kokeile liikutella pisteitä A, B ja C ja huomaat että piirtotavasta johtuen kuvio pysyy suunnikkaana: sivut AB ja CD ovat aina yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset, kuten myös AD ja BC.

6

5. Symbolinen laskenta

Symbolinen laskenta tapahtuu CAS-ikkunassa. Se muistuttaa ulkoasultaan Algebra-ikkunaa, joten varmista, että se on avoinna ja että kirjoitat syötteen siihen. CAS-ikkunan ollessa aktiivisena Työkalurivi on erilainen kuin Algebra-ikkunan ollessa aktiivinen, ks. sivu 1.

Useimmin käytettyjä toimintoja ja syötteitä varten varten on työvälineet sekä virtuaalinäppäimistö. Halutessa myös CAS-ikkunassa voi antaa komentoja. Kaikkien komentojen listauksen saa näkyviin napauttamalla virtuaalinäppäimistössä ••• -ikonia. Tähän kannattaa tutustua, kuten internetissä olevaan online-ohjeeseen, joka tosin on ainakin toistaiseksi englanninkielinen.

Laskutoimitukset

Peruslaskenta sujuu kätevimmin yllä näkyvän virtuaalinäppäimistön kautta. Näppäimistö aktivoituu, kun napautetaan CAS-ikkunan solua. Huomaa neljä eri näppäimistön asettelua ja sisältöä. Eri asettelujen välillä

liikutaan yläreunan ikoneja napauttelemalla:

Luku π löytyy virtuaalinäppäimistön αβγ -asettelusta. Sen voi tuottaa myös kirjoittamalla pi.

Luku e löytyy virtuaalinäppäimistön f(x) –asettelusta. Sen voi tuottaa myös pikanäppäimellä Alt-e (Mac, vasen Alt). Huomaa, että kirjain e ei merkitse Neperin lukua (englanniksi Euler's number) vaan tilanteen mukaan objektia kuten suoraa tai ei mitään. Tästä tulla joskus sekaannus...

Jos laskun lopputulos halutaan tarkkana, napautetaan . Likiarvo saadaan kun napautetaan . Tietyn solun tulos saadaan kopioitua seuraavasti: valitse solu aktiiviseksi. Napauta tämän jälkeen sitä solua, jonka tuloksen haluat kopioida ja se kopioituu ilman muita käskyjä.

Tiettyyn soluun voi viitata myös komennolla dollarin merkillä ja numerolla. Yllä olevan kuvan tilanteessa kirjoittamalla laskun $1 + 1 saa tuloksen 10 +1.

Avaanäkyvissäolevanohjeen.

Vastaustarkkanaarvona. Luvun100neljäsjuurisaadaanesillejokovirtuaalinäppäimistönkauttataikomennolla

nJuuri(100,4).

Valitseitsehaluatkokirjoittaakomentojavaikäyttäävirtuaalinäppäimistöä.

7

Likiarvon tarkkuutta voi muuttaa ikonin takaa löytyvästä valikosta. Valitse Asetukset.

Erityinen huomio koskien ylioppilaskokeen koejärjestelmän ABIT-editoria: GeoGebran CAS-ikkunasta voi laskun lopputuloksen kopioida LaTex-muotoon. Tämä tapahtuu hiiren oikealla näppäimellä. Kopioidun tekstin voi nyt siirtää ABITTI-editoriin seuraavasti: valitse ABITTI-editorissa Lisää kaava (Ctrl-E) ja liitä kaava oikeanpuoleiseen laatikkoon (Ctrl-V). Yllä näkyy CAS-ikkunasta ABITTI-editoriin kopioitu 10.

Tärkeää: Desimaalierotin on GeoGebrassa piste. Esimerkiksi lasku 1,2 + 2,1 tulee syöttää näin: 1.2 + 2.1

Lausekkeiden sievennys, tekijät jne.

CAS-ikkunassa voidaan mm. sieventää lausekkeita ja toisaalta jakaa niitä tekijöihin.

Kirjoita lauseke (x + 1)2 − (x − 1)2 Syöttökenttään ja paina näppäintä tai Enteriä. GeoGebra sieventää lausekkeen.

Joissain tapauksissa GeoGebra on sitä mieltä, että sulkeiden avaaminen ei sievennä lauseketta. Kokeile

syöttää (x − 1)5 ja paina . Laskun tulos on sama kuin syöte.

Pakotetun sulkeiden avaamisen saa napilla .

Huomaa, että edelleen jokaisen Työvälinenapin takaa löytyy jokin komento. Kaikki CAS-ikkunassa toimivat komennot löydät sivulla 4 näytetystä ohjeesta. Esimerkiksi sulkeiden poisto voidaan tehdä ilman näppäimien painamista komennolla PoistaSulkeet((x-1)5)

Tämänappipakottaasulkeetauki,vaikkalopputulosolisimillainen...

8

Yhtälö

Kirjoita yhtälö CAS-ikkunan vapaalle riville ja paina jompaakumpaa napeista . Ensimmäinen näyttää yhtälön ratkaisujen tarkat arvot ja jälkimmäinen likiarvot.

Huomautus:

Yleensä yhtälöt ratkeavat kivasti, mutta silti varoitus: paloittain määritellyt funktiot sekä jotkin trigonometriset funktiot ovat GeoGebralle kinkkisiä. Esimerkiksi, jos määritellään funktio

f (x) = 2− x2, kun x ≤1

x, kun x >1

⎧⎨⎪

⎩⎪ ja muodostetaan yhtälö f(x) = 2, ei GeoGebra löydä ratkaisuja, vaikka selvästi on

löydettävissä ratkaisut x = 0 ja x = 2.

Huomautus:

Epäyhtälö voidaan muodostaa ja ratkaista kirjoittamalla = -merkin sijaan jokin merkeistä <, >, ≤ ja ≥.

Yhtälönratkaisujentarkatarvot

Yhtälönratkaisujenlikiarvot.

9

Yhtälöpari ja -ryhmä

Yhtälöryhmä ja -ryhmä ratkaistaan kirjoitettavalla komennolla Ratkaise({Yhtälölista},{Muuttujalista}).

Esimerkiksi yhtälöpari

x + y = 2x − 2y = 1

⎧⎨⎩

eli suorien x + y = 2 ja x − 2y = 1 leikkauspiste saadaan komennolla

Ratkaise({x+y=2, x-2y=1},{x,y})

Huomaa, että yhtälöt ja ratkaistavat muuttujat kirjoitetaan aaltosulkeiden sisään ja erotetaan toisista pilkulla.

Derivointi ja integrointi

CAS-ikkunassa derivaattafunktio saadaan kirjoittamalla derivoitava lauseke ja nappia . Esimerkiksi derivaatta D(2x sin x) = 2sin x + 2xcos x saadaan näin:

Vastaavalla tavalla napin antaa integraalifunktion. Esimerkiksi integraali

2xsin x dx∫ = 2sin x − 2xcos x +C saadaan näin:

Usein on kätevää määritellä funktio, jolloin samalla tulee piirretyksi sen kuvaaja. Funktio määritellään Algebraikkunan Syöttökentän kautta ks. sivu 2 tai CAS-ikkunassa kirjoittamalla funktion nimi, "(x):=" sekä funktion lauseke. CAS-ikkunan kautta tehtävässä määrittelyssä vaaditaan siis kaksoispiste.

Kun funktio on määritelty kirjoittamalla Algebraikkunan Syöttökenttään f' tai f'(x) tulee sekä määritellyksi että piirretyksi derivaattafunktio. CAS-ikkunassa komento f'(x) laskee derivaatan, mutta ei piirrä sen kuvaajaa. Alla CAS-ikkunassa määritetty funktio ja laskettu sekä f '(x) että f '(π ) :

Derivoi

Integroi

Komento

f(x):= 2x sin(x)

määritteleefunktionCAS-ikkunassa

10

6. 3D-piirtoalue

Tavanomaisten kappaleiden piirto

Aseta näkyviin Algebra-ikkuna ja 3D-piirtoalue (ks. s. 1). Kun 3D-Piirtoalue on aktiivinen, on työkalupalkissa kappaleiden piirtoon liittyviä työkaluja. Näiden avulla voidaan piirtää tyypilliset kappaleet. Piirrossa kannattaa usein hyödyntää xyz-avaruuden ominaisuuksia. Esimerkiksi, jos halutaan piirtää 2-säteinen pallo, lisätään ensin avaruuden piste:

Syöttökentän kautta määritellään ensin keskipiste P = (1, 1, 1) komennolla P = (1, 1, 1)

Tämän jälkeen käytetään työvälinettä Pallo: keskipiste ja säde.

Myös 3D-piirto onnistuu komennoilla ja mm. tämä pallo syntyy kirjoitetulla komennolla Pallo(P,2)

Myös 3D-piirrossa jokainen objekti nimetään. Yllä olevan pallon nimi on a.

Huomautus

3D-piirtoalueen komennot saattavat kuluttaa joillain koneilla huomattavasti prosessoritehoa ja sitä kautta virtaa eli kannettavan tietokoneen akun lataustaso saattaa alentua nopeammin kuin kevyessä käytössä kuten tekstinkäsittelyssä tai GeoGebran muissa toiminnossa.

11

Pyörähdyskappale

Pyörähdyskappaleen ulkovaippa saadaan piirrettyä komennolla

Pinta( <Käyrä>, <Kulma>, <Suora> )

Määrittele ensin syöttökentän kautta funktio, jonka kuvaaja pyörähtää. Alla funktio f(x) = cos2 x + sin x.

Pinta-komennossa Kulma kannattaa olla täysi kulma eli 2π tai 360°. Suora on suora jonka ympäri pyöräytetään (käytä objektin nimeä). Myös xAkseli ja yAkseli kelpaavat.

Alla funktio f pyörähtää x-akselin ympäri täyden kierroksen.

Kulma voi olla myös liuku, jolloin voi tarkastella pyörähtämistä vaihe vaiheelta.

Huomaa, että pyörähdyskappaleen tilavuutta ei voi laskea tällä komennolla.

12

Suora ja taso, kahden muuttujan funktio

Taso piirretään syöttämällä sen yhtälö syöttökentän kautta kuten myös kahden muuttujan funktion kuvaaja:

Suora voidaan piirtää eri tavoin. Halutaan piirtää parametrimuotoinen suora

x = 1+ ty = −2+ 4t (t ∈!)z = −1+ 3t

⎧

⎨⎪

⎩⎪

eli siis

suora, joka yhtälö vektorimuodossa on (1, −2, −1) + t ⋅( i + 4 j + 3k ), t ∈!.

Tämä onnistuu joko komennolla (1 + t, -2 + 4t, -1 + 3t) (parametrimuoto) tai (1, -2, -1) + t*(1,4,3) (vektorimuoto).

7. Jono-komento, katso täältä:

https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/10/26/jono-geogebrassa/