GEOGEBRA PADA PROGRAM LINEAR

Oleh: Sulfiaty Idris

PENDAHULUAN

Program linear mempunyai peranan yang sangat penting dalam matematika dan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh dalam dunia usaha, seorang pengusaha pada umumnya ingin memperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya dari bidang usaha yang digelutinya. Untuk itu, pengusaha tersebut membuat perencanaan untuk mengoptimalisasi sumber daya yang tersedia, bahan baku dan lain-lain. Upaya optimalisasi ini akan dimodelkan dengan program linear yang kemudian akan menjawab permasalahannya. Berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan, materi program linear diajarkan pada siswa kelas XII IPA/IPS. Sedangkan untuk kurikulum 2013, materi ini terdapat di kelas XI(wajib).

Berdasarkan pengalaman mengajar, program linear merupakan salah satu materi yang sulit dipahami siswa. Ini terkait materi prasyarat yang harus dikuasai siswa untuk mempelajari program linear. Misalnya sistem persamaan dan pertidaksamaan linear. Siswa kadang berdalih mengatakan bahwa materi prasyarat belum dipahami padahal materi itu sebenarnya telah ada di jenjang sebelumnya (SMP). Namun yang paling dominan muncul adalah kesulitan siswa dalam memahami soal cerita sehingga berakibat pada rendahnya nilai hasil tes mereka. Dan ini berulang dari tahun ke tahun. Penelitian tentang adanya kesalahan-kesalahan dalam mengerjakan persamaan dan pertidaksamaan linear juga pernah dilakukan oleh Nila Radika,2010 (dalam_____) subyek penelitian adalah siswa kelas X-6 SMA Negeri Malang yang menyimpulkan bahwa kesalahan yang dilakukan oleh siswa pada tahap pemahaman soal antara lain tidak menjawab soal dan tidak memperhatikan syarat-syarat yang diminta dala soal, kesalahan pada tahap rencana adalah salah menentukan rumus, kesalahan pada tahap pelaksanaan rencana penyelesaian yaitu salah melakukan perhitungan dan salah memasukan nilai, kesalahan pada tahappeninjuan kembali misalnya tidak memeriksa kembali jawaban. Kesulitan belajar yang dialami siswa yaitu sulit memahami soal, sulit bekerja dengan variabel, sulit untuk mengingat suatu materi, sulit menghubungkan suatu materi dengan materi lain. Penelitian lain tentang analisis kesalahan juga pernah dilakukan oleh Bani Amin Buharudin, Sukoharjo (dalam_____) pada siswa kelas II SMA Negeri 2 Sukoharjo menyimpulkan bahwa dalam menyelesaikan soal-soal program linear siswa melakukan kesalahan-kesalahan antara lain dalam memahami soal, kesalahan 10dalam membuat model matematika bagian kendala dan bagian fungsi, kesalahan dalam perhitungan. Proses penelitian ini tahap pertama dilakukan penelitian prasekripsi melalui wawancara baik dari guru maupun siswa, diperoleh keterangan bahwa siswa juga masih mengalami kesulitan dalam mempelajari materi persamaan dan pertidaksamaan linear.

Menyikapi hal tersebut diatas, perlu kiranya memunculkan ide-ide kreatif dan inovatif untuk meningkatkan hasil belajar siswa. Mulai dari perbaikan metode pengajaran, penggunaan alat peraga agar abstraknya matematika dapat lebih dikonkretkan, ataupun dengan penggunaan IT yang belakangan marak diminati siswa. Guru sebaiknya lebih jeli untuk memilih dan menetapkan gaya, metode ataupun alat peraga dalam mengajar yang sesuai dengan minat dan motifasi siswa dalam rangka peningkatan hasil belajar mereka.

Salah satu model pembelajaran yang dapat meningkatkan motifasi belajar siswa adalah pembelajaran berbasis komputer. Karena dengan komputer, penyajian materi pelajaran dapat ditampilkan lebih menarik dengan berbagai modifikasi program yang ada. Misalnya saja tampilan powerpoint dengan animasi yang beragam akan membawa pembelajaran lebih menyenangkan bagi siswa. Hal ini tentu saja akan meningkatkan perhatian dan konsentrasi belajar mereka.

GeoGebra adalah salah satu software komputer untuk pendidikan matematika. Software ini dapat digunakan untuk belajar (visualisasi, komputasi, ekplorasi dan eksperimen) dan mengajar materi geometri, aljabar, dan kalkulus. Hal paling sederhana yang dapat dilakukan dengan GeoGebra adalah menggambar titik, ruas garis, vektor, garis, poligon, irisan kerucut, dan kurva dua dimensi(Sahid, ). Program linear merupakan salah satu materi matematika yang dapat diselesaikan dengan pemanfaatan GeoGebra. Mulai dari persamaan linear dua variabel, pertidaksamaan linear sampai kepada penyelesaian optimalisasi dengan metode uji titik pojok atau dengan garis selidik.

GEOGEBRA

1. Mengenal GeoGebra

GeoGebra = Geometri + Aljabar. Oleh pengembangnya, GeoGebra diberi sebutan Dynamic Mathematics for Schools(dalam Sahid), maksudnya sebagai software untuk mengerjakan matematika secara dinamis di sekolah. Semula GeoGebra ditulis oleh Markus Hohenwarter(sejak 2001) dari Universitas Atlantik di Florida (FAU), kemudian secara bersama-sama oleh Yves Kreis (Universitas Luxembourg, sejak2005), Loic Le Coq (Perancis, 2006), Joan Carles Naranjo, Victor Franco, Eloi Puertas (Universitas Barcelona, 2007), dan Philipp Weissenbacher (Austria, 2007). Antarmuka GeoGebra sudah diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa termasuk bahasa Indonesia. Pengembangan software GeoGebra didukung oleh bergai pihak, baik individu maupun lembaga serta menggunakan software-software pendukung gratis lain.

Dalam pembelajaran(TIM), GeoGebra dapat dimanfaatkan untuk berbagai keperluan, misalnya:a. Membuat dokumen terkait pembelajaran matematika, misalnya untuk penyiapan bahan ajar, modul belajar, makalah, bahan presentasi dll. Sebagai contoh GeoGebra digunakan untuk melukis bangun geometri. Gambar yang dihasilkan ini dapat disalin ke aplikasi lain semisal ke aplikasi pengolah kata (misalnya MS Word), aplikasi presentasi (misalnya MS Powerpoint), atau aplikasi lain untuk diolah lebih lanjut.b. Membuat media pembelajaran atau alat bantu pengajaran matematika. Media ini dapat digunakan untuk menjelaskan konsep matematika atau dapat juga digunakan untuk eksplorasi, baik untuk ditayangkan di depan kelas oleh guru atau siswa bereksplorasi menggunakan komputer sendiri.c. Membuat lembar kerja digital dan interaktif.d. Menyelesaikan atau mem-verifikasi permasalahan matematika. Dalam hal ini dapat dimanfaatkan untuk mengecek jawaban soal. Namun, perlu diperhatikan bahwa siswa jangan diarahkan untuk mencari jawaban dengan GeoGebra tapi lebih kepada mengecek jawaban, penekanannya adalah kepada proses yang benar.Dalam praktek, GeoGebra dapat digunakan secara mandiri (artinya tanpa aplikasi lain) atau dapat juga dikombinasikan dengan aplikasi yang lain. Selain itu perlu diperhatikan bahwa dalam praktek pembelajaran di kelas hendaknya mempertimbangkan proses yang baik dan tepat.2. GeoGebra untuk Matematika

GeoGebra adalah software komputer untuk pendidikan matematika. Sesuai namanya, GeoGebra dapat digunakan untuk belajar (visualisasi, komputasi, ekplorasi dan eksperimen) dan mengajar materi geometri, aljabar, dan kalkulus. Hal paling sederhana yang dapat dilakukan dengan GeoGebra adalah menggambar titik, ruas garis, vektor, garis, poligon, irisan kerucut, dan kurva dua dimensi. Selanjutnya kita dapat mengubah gambar secara dinamis dengan menggunakan mouse atau mengubah persamaan atau koordinat titik. GeoGebra dapat menggambar menggunakan mouse atau dengan menuliskan persamaan metematika atau perintah. GeoGebra menyediakan perintah-perintah yang berkaitan dengan perhitungan aljabar, geometri, maupun kalkulus (misalnya mencari turunan dan integral).

Beberapa pemanfaatan program GeoGebradalam pembelajaran matematika adalah sebagai berikut.

a. Dapat menghasilkan lukisan-lukisan geometri dengan cepat dan teliti dibandingkan dengan menggunakan pensil, penggaris, atau jangka.

b. Adanya fasilitas animasi dan gerakan-gerakan manipulasi (dragging)pada program GeoGebra dapat memberikan pengalaman visual yang lebih jelas kepada siswa dalam memahami konsep geometri.

c. Dapat dimanfaatkan sebagai balikan/evaluasi untuk memastikan bahwa lukisan yang telah dibuat benar.Mempermudah guru/siswa untuk menyelidiki atau menunjukkan sifat-sifat yang berlaku pada suatu objek geometri.

Berdasarkan penelitian Embacher (Hohenwarter dalam Ali Mahmudi), siswa memperoleh manfaat lebih dari program GeoGebra, Beberapa siswa memberikan komentar-komentar sebagai berikut.

a. Program ini sangat membantu untuk melihat apa yang berubah ketika saya mengubah sesuatu yang lain

b. Ketika mempelajari konsep turunan, jika kita menggerakkan suatu titik menuju suatu titik yang lain, kita akan menyadari bahwa garis potong berubah menjadi garis singgung.

c. Dengan menggambar pada kertas, kita tidak mampu memvisualisasikan apa yang akan terjadi

d. Dengan program ini, kita dapat berkesperimen secara luas dan bebas serta mencoba banyak hal untuk menemukan solusi sendiri terhadap suatu masalah.

GEOGEBRA PADA PROGRAM LINEAR

Pemecahan masalah dengan rumusan program linear ditemukan oleh seorang Matematikawan Rusia L.V. Kantorovich pada 1939(Khairuddin,2012). Ketika itu Kantorovich bekerja untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi tugas untuk mengoptimalkan produksi pada industri plywood. Ia kemudian muncul dengan teknik matematis yang dikenal sebagai pemrograman linear. Seorang Matematikawan Am erika George Bernard Dantzigsecara independen juga mengembangkan pemecahan masalah tersebut, di mana hasil karyanya pada masalah tersebut pertama kali dipublikasikan pada tahun 1947. Ketika itu tahap-tahap yang dilakukan dalam modelisasi dan optimasi solusi suatu masalah meliputi (1) pendefinisian masalah, (2) merumuskan model, (3) memecahkan model, (4) pengujian keabsahan model dan (5) implementasi hasil akhir.Program linear (linear programming) merupakan model optimasi persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear, Masalah program linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum) sebuah fungsi linear pada suatu sistem pertidaksamaan linear yang harus memenuhi optimasi fungsi objektif.

Secara matematis, kaidah-kaidah dalam penyelesaian Program Linear:

1. Prinsip Program Linear

Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan

penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan, dengan prinsip sebagai berikut:

a. Dalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan. Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa jumlah 2x dan 3y

tidak boleh kurang dari 12. Pernyataan ini berarti 2x + 3ysama dengan 12 atau lebih dari 12, dan dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai 2x + 3y12.

b. Dalam setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan yang berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2x + 3y 12, dibentuk persamaan 2x + 3y =12.

c. Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi penyelesaian pertidaksamaan.

d. Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y 12 dengan menggunakan titik selidik.

e. Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili suatu sistempertidaksamaan. Misalnya titik (1, 4), (4, 3), (6, 2), dan seterusnya.

2. Model Matematika

Setiap masalah yang hendak diselesaikan dengan kaidah program biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y. Oleh sebab itu,dalam program linear langkah pertamayang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut ke dalam bahasa matematikayang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan ini mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Sistem pertidaksamaan disebut sebagai model matematika.

3. Masalah yang Melibatkan Program Linear

Program linear biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan melukis garis-garis dan menunjukkan daerah penyelesaian dengan memberikan arsiran.

4. Optimasi masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear lazimnya dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks.

Software Geogebra sangat membantu dalam menyelesaikan permasalahan program linear,tentu saja dengan tidak mengenyampingkan langkah-langkah matematis dalam menyelesaikannya. Geogebra dapat digunakan pada saat mulai menggambar grafik dan menentukan titik-titik uji penyelesaian, serta menguji fungsi optimum pada titik-titik tersebut.

Langkah-langkah Penyelesaian Program Linear dengan GeoGebraContoh Soal:

Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 m kain sutra, 11 m kain wol, 15 m kain katun yang akan dibuat dua model pakaian pesta dengan ketentuan sebagai berikut:

Model A membutuhkan 2 m sutera, 1 m wol, dan 1 m katun per unit

Model B membutuhkan 1 m sutera, 2 m wol dan 3 m katun per unit

Jika keuntungan pakaian model A Rp.300.000 per buah, dan keuntungan pakaian model B Rp.500.000,- per buah. Tentukan banyaknya masing-masing pakaian yang harus dibuat agar memperoleh keuntungan maksimum.

Dari soal di atas maka dapat dibuat model matematika sebagai berikut:

Misalkan :

x = pakaian pesta model A

y = pakaian pesta model B

Fungsi tujuan z = 300.000x + 500.000y

Fungsi kendala: 2x + y 16

x + 2y 11

x + 3y 15

x , y 0

Langkah selanjutnya dapat dilakukan dengan GeoGebra (versi bahasa Indonesia)

1. Masukkan pertidaksamaan di atas pada bar masukan, kemudian tekan enter. Masukkan berulang untuk pertidaksamaan yang lain, maka akan muncul gambar seperti berikut ini:

Untuk menggeser, memperbesar atau memperkecil tampilan klik icon geser tampilan grafik.

2. Untuk mengatur tampilan grafik, klik kanan pada gambar kemudian klik properti:

Pada icon dasar pilih tampilkan label nilai.

Pada icon warna, boleh dipilih warna apa saja untuk masing-masing pertidaksamaan. Misal pilih merah, ungu, hijau untuk masing-masing pertidaksamaan, untuk sumbu koordinat dibiarkan hitam agar gambar dapat lebih jelas.

Pada icon format, pewarnaan total dapat diubah menjadi arsiran dengan mengubah pengisian:hatch. Sudut kemiringan dan spasi bisa diatur disini. Kemudian klik bagian invers pengisian warna. Hal ini dimaksudkan untuk memperjelas bahwa tampilan irisan pertidaksamaan adalah daerah yang tidak diarsir. Jika memilih untuk tidak mengklik invers pengisian warna, maka daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang memuat lima kali arsiran pertidaksamaan. Tampilannya adalah sebagai berikut:

Pada gambar diatas, daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak di arsir.

3. Untuk membuat titik pojok, masukkan masing-masing pertidaksamaan dalam bentuk persamaan pada bar masukan. Kemudian klik sisi kanan bawah icon titik baru pilih perpotongan dua objek. Klik masing-masing persamaan yang akan dicari titik potongnya. Maka akan tampil seperti gambar berikut:

Pada gambar diatas, masing-masing titik potong secara otomatis mempunyai nama A(0,0), B(8,0), C(7,2), D(3,4) dan E(0,5) pada tampilan aljabar. Terurut tergantung titik potong yang lebih dahulu dicari.

4. Diperoleh lima titik pojok, dengan perhitungan nilai optimum Z = 300.000x+500.000y diperoleh:

TitikZ=300000x+500000y

A(0,0)Z=0

B(8,0)Z=2400000

C(7,2)Z=3100000

D(3,4)Z=2900000

E(0,5)Z=2500000

Jadi, banyak pakaian yang harus dibuat agar memperoleh keuntungan maksimum adalah 7 buah pakaian pesta model A dan 2 buah pakaian pesta model B dengan keuntungan Rp.3.100.000,-

Pemecahan masalah program linear dengan Geogebra adalah salah satu alternatif pengajaran di kelas. Karena selain sebagai media belajar matematika, siswa juga akan terlatih menggunakan komputer, sehingga mereka tidak ketinggalan dalam IT. Mengingat pada kurikulum 2013, setiap mata pelajaran dianjurkan untuk mengintegrasikan IT dalam pembelajarannya. Namun tentu saja pemecahan masalah secara manual mutlak diajarkan. Penekanan pada konsep dan penalaran dalam matematika tidak boleh dihilangkan. Pada siswa tetap ditegaskan bahwa GeoGebra hanyalah sebagai alat untuk mencocokkan hasil penyelesaian, sementara proses pengerjaan manual tetap diaplikasikan pada penyelesaian soal.

KESIMPULAN

1. Program linear adalah salah satu materi matematika yang sulit dipahami siswa2. Guru hendaknya memunculkan ide kreatif dalam pembelajaran untuk meningkatkan minat dan motifasi belajar siswa pada materi program linear3. GeoGebra adalah salah satu software matematika yang dapat digunakan dalam pembelajaran program linear.4. Pengajaran program linear dengan GeoGebra hendaknya tidak menghilangkan pemahaman konsep matematika, pengerjaan soal dengan cara manual mutlak tetap diterapkan dalam pembahasan soal.