Geomeetria algkursus

Rapla Täiskasvanute Gümnaasium 2003 -2006

Nurkade liigitus

Sirgnurk – nurk, mille haarad moodustavad sirge

Täisnurk – pool sirgnurgast Teravnurk – täisnurgast väiksem nurk Nürinurk – täisnurgast suurem nurk

Teravnurk Kaks haara

moodustavad nurga.

Nurga mõõtühik on kraad.

Teravnurk on alati väiksem kui täisnurk

Täisnurk

Täisnurk on pool sirgnurgast.

Täisnurk on alati 90 kraadi.

Nürinurk

Nürinurk on alati suurem kui täisnurk.

A

O B

Nurkade suurused Sirgnurk - 180° Täisnurk - 90° Teravnurk - < 90° Nürinurk - > 90°

Kaks sirget

Kõrvunurgad• Kaks haara

moonustavad nurga α

• Pikendades nurga α ühte haara tekib selle kõrvale uus nurk β

• Nurki α ja β nimetatakse kõrvunurkadeks.

• Kõrvunurkade summa võrdub sirgnurgaga.

180=+ βα

Tipunurgad Teise haara

pikendamisel tekib nurgale α kaks kõrvunurka.

Kõrvunurgad on α ja β ning α ja γ.

Kaht nurka nimetatakse tipunurkadeks, kui neil on ühine kõrvunurk.

180=+ βα180=+ χα

χβ =

Tipunurgad on võrdsed.

Paralleelsed sirged

Kaasnurgad α ja 1α β ja 1β χ ja 1χ δ ja 1δ

Lähisnurgad δ ja 1α χ ja 1β α ja 1δ β ja 1χ

Põiknurgad1α ja χ

1β ja δ α ja 1χ β ja 1δ

Kahe sirge lõikamine sirgega

Mitmesugused hulknurgad

Kumer ja mittekumer hulknurkKumer ja mittekumer hulknurk

Hulknurka nimetatakse kumeraks kui ta asetseb ühel pool mistahes sirgest, mis on saadud külje pikendamise teel.

Nelinurkade klassifikatsioonNelinurkade klassifikatsioon

R i s t k ü l i kV a s t a s k ü l j e d

o n v õ r d s e d

R u u tK õ i k k ü l j e do n v õ r d s e d

K õ i k n u r g a dm o o d u s t a v a d

t ä i s n u r g a

R ö ö p k ü l i kV a s t a s k ü l j e d

o n v õ r d s e d

R o m bK õ i k k ü l j e do n v õ r d s e d

N u r g a de i m o o d u s t a

t ä i s n u r k i

K a k s p a a r i v a s t a s k ü l g i o n v õ r d s e d

R u u tK õ i k n u r g a d

o n t ä i s n u r g a d

R o m bN u r g a d e i

o l e t ä i s n u r g a d

K õ i k k ü l j e d o n v õ r d s e d

V õ r d s e t e v a s t s k ü l g e d e g a n e l i n u r g a d

K o r r a p ä r a s e dn e l i n u r g a d

T r a p e t sj t . k o r r a p ä r a t u d n e l i n u r g a d

K o r r a p ä r a t u dn e l i n u r g a d

N e l i n u r g a d

Kolmnurkade klassifikatsioonKolmnurkade klassifikatsioon

V õ r d k ü l g n ek o l m n u r k

K õ i k k ü l j e d o n v õ r d s e dK õ i k n u r g a d o n v õ r d s e d

K o r r a p ä r a s e dk o l m n u r g a d

V õ r d k ü l g n e E r i k ü l g n e

T e r a v n u r k s e d

V õ r d h a a r n e E r i k ü l g n e

T ä i s n u r k s e d

V õ r d h a a r n e E r i k ü l g n e

N ü r i n u r k s e d

N u r k a d e j ä r g i

E r i k ü l g s e d( i s e k ü l g s e d )

V õ r d h a a r s e d

K ü l g e d e j ä r g i

K o r r a p ä r a t u dk o l m n u r g a d

K o l m n u r g a d

Nelinurgad Kõik nelinurgad

kuuluvad hulknurkade hulka.

Ristuvate diagonaalidega nelinurgad kuuluvad nelinurkade hulka.

Võrdsete külgedega nelinurgad kuuluvad omakorda nelinurkade hulka.

Nelinurgad ja rööpkülikud Kõik nelinurgad ei

ole rööpkülikud. Kõik rööpkülikud

on aga nelinurgad. Rööpküliku

tunnuseks on kaks paari võrseid ja paralleelseid vastaskülgi.

Rööpkülikud

Rööpkülikute hulka kuuluvad osahulkadena ka rombid ja ristkülikud.

Rombide ja ristkülikute hulkade ühisosa on omakorda ruudud.

Rööpkülik

Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on võrdsed.

a - rööpküliku alus

b - rööpküliku külg

h - rööpküliku kõrgus

Kolmnurga ja rööpküliku pindala

Rööpküliku ümbermõõt on:

Rööpküliku pindala arvutatakse valemiga:

( )bap += 2

ahS =

Ristkülik

Ristkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed.

Ristküliku ümbermõõt arvutatakse valemiga:

Ristküliku pindala arvutatakse valemiga:

( )bap += 2

abS =

Ruut

Ruut on paralleelsete ja võrdsete vastaskülgedega nelinurk.

Ruudu kõik nurgad on täisnurgad.

Ruudu ümbermõõt arvutatakse valemiga:

Ruudu pindala arvutatakse valemiga:

ap 4=

2aS =

Romb

Rööpkülikut, mille kõik küljed on võrdsed nimetatakse rombiks.

Romb on sümmeetriline oma telgede suhtes. Rombi diagonaalid poolitavad teineteist.

Rombi pindala

Rombi pindala võib arvutada nagu ristküliku pindala:

Rombi pindala võrdub diagonaalide poolkorrutisega:

ahS =

221 dd

S⋅=

Trapets Nelinurka, mille kaks

külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed nimetatakse trapetsiks.

Trapetsi aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks.

Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180 kraadi.

Võrdhaarne ja täisnurkne trapets

Trapetsit, mille haarad on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks.

Võrdhaarse trapetsi alusnurgad on võrdsed.

Kui trapetsi üks alusnurk on täisnurk, siis nimetatakse seda trapetsit täisnurkseks trapetsiks.

Trapetsi pindala Trapetsi pindala

võrdub aluste poolsumma (aritmeetilise keskmise) ja kõrguse korrutisega.

hba

S ⋅+=2

Ringjoon Ringjoone kõik punktid

asetsevad keskpunktist ühel ja samal tasandil ning nad on ringi keskpunktist võrdsetel kaugustel.

Ringjoone pikkus arvutatakse valemiga:

rp π2=

Kaar

Kaar on ringjoone pikkus punktist A punkti B.

B

Kõõl

Kõõl ühendab kaht mitte-kõrvutiasuvat punkti ringjoonel.

A

B

Raadius ja diameeter Ringjoone raadius on

sirglõik, mis ühendab ringi keskpunkti ringjoonega.

Ringi diameeter on ringi keskpunkti läbiv kõõl.

Diameeter on kahe raadiuse pikkune.

rd 2=

Ring Ringjoon koos ringi

sees oleva tasandiga moodustavad ringi.

Ringi pindala saab arvutada valemiga:

Ringi ümbermõõduks on ringjoone pikkus.

2rS π= rp π2=

Kolmnurkade võrdsus

Kolmnurgad on võrdsed, kui on täidetud järgmised tingimused:

KKK KNK NKN

Kolmnurkade sarnasus

Kolmnurgad on sarnased juhul, kui nende küljed on võrdelised.

22

4 = 25,1

3 = 23

6 =

Tänan tähelepanu eest!

anmet. rtg. 2006