GEOMETRI AFFINE

A. PENDAHULUAN

Euclides telah mengumpulkan materinya dari beberapa sumber, maka

tidak mengherankan bahwa geometri Euclides dapat diambil sarinya berupa

dua geometri yang berlainan dalam dasar logikanya, pengertian pangkalnya

dan aksiomanya. Kedua geometri itu adalah Geometri Affine dan Geometri

Absolut atau Geometri Netral.

Pada geometri euclides didasarkan pada 5 kelompok aksioma yaitu:

I. Kelompok aksioma urutan

II. Kelompok aksioma kongruensi

III. Kelompok aksioma insindesi

IV. Kelompok aksioma kesejajaran euclides

V. Kelompok aksioma kekontunuan

Yang pertama memperkenalkan Geometri Affine adalah Leonhard Euler

dari Jerman (1707 – 1793). Dalam geometri ini, garis paralel tunggal, sesuai

Postulat Playfair, “ Melalui satu titik yang diketahui, tidak pada suatu garis

yang diketahui, hanya dapat dibuat satu garis yang paralel dengan garis itu”,

memegang peranan yang penting sekali. Karena dalam geometri ini lingkaran

tidak disebut-sebut dan sudut-sudut tidak pernah diukur, maka dapat

dikatakan, bahwa geometri ini mempunyai dasar aksioma I dan II, dari

aksioma Euclides. Aksioma III dan IV tidak berarti sama sekali.

Geometri Absolut pertama kali dikenalkan oleh J. Bolyai dari Hongaria

(1802 – 1860). Geometri ini didasarkan pada 4 aksioma pertama dari Euclides

dan melepaskan aksioma V. Dengan demikian, geometri Affine dan geometri

Absolut mempunyai dasar persekutuan yaitu pada Aksioma I dan Aksioma II.

Ada pula suatu inti dari dalil-dalil yang berlaku untuk keduanya, yaitu

pengertian Keantaraan ( Intermediacy ). Pengertian itu terkandung dalam

definisi keempat dari Eulides.

1

1

Geometri yang menjadi dasar dari geometri Affine dan geometri Absolut

ini disebut Geometi Ordered ( Geometri Terurut ), karena dalam hal ini urutan

memegang peranan penting. Geometri Terurut ini berdasarkan dua aksioma

pertama dari Euclides, tetapi penyajiannya lebih teliti. Jadi Geometi Affine

dan geometri absolut termuat dalam Geometri terurut, sedangkan Geometri

Euclides termuat dalam Geometri Affine dan Geometri absolut.

B. PEMBAHASAN

B.1 Aksioma-aksioma Dasar Geometri Affine

Dasar dari geometri affine adalah geometri Terurut. Bidang affine dipandang

sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya juga sama

yaitu titik dan keantaraan ( Intermediacy ).

Aksioma-aksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah :

Aksioma I :

Ada paling sedikit dua titik

2

Geometri Affine Geometri Absolut

Geometri Euclides

Geometri Terurut/ Ordered

2

Aksioma VII :

Jika ABC suatu segitiga atau [ BCD ] dan [ CEA ] maka pada garis DE ada

satu titik F yang memenuhi [ AFB ]

Aksioma VIII :

Semua titik ada dalam satu bidang

Aksioma XII :

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam 2 himpunan yang

tidak kosong sedemikian hingga ada titik dari masing-masing himpunan yang

terletak antara titik dari himpunan lainnya, maka satu titik dari satu himpunan

terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik dari himpunan

lainnya (Aksioma Dedekind).

Aksioma VIII menyatakan bahwa geometri affine merupakan geometri

bidang, dan aksioma XII menyatakan bahwa suatu garis itu kontinu.

Selain itu, geometri affine ini juga didapat dari geometri terurut dengan

menambahkan 2 aksioma lagi, yaitu :

Aksioma 1 :

Untuk sembarang titik A dan sembarang yang tidak melalui A, ada paling

banyak satu garis yang melalui A dalam bidang (A, r), yang tidak memotong r.

3

FB

C

A

E ▪

D

3

Aksioma 2 :

Jika A, A’, B, B’, C, C’, O adalah 6 buah titik yang berlainan sedemikian

hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika garis

AB // A’B’ dan BC // B’C’, maka CA // C’A’.

Akibat dalil 20 mengatakan :

Untuk sembarang titik A dan sembarang garis r yang tidak melalui A ada

paling banyak 1 garis yang melalui A dalam bidang (A,r) yang memotong r.

Mengingat dalil 20 dan aksioma 1 ini, maka dapat disimpulkan bahwa

sembarang titik A dan sembarang garis r ada tepat satu garis yang melalui A

dalam bidang (A,r) yang tidak memotong r. Keadaan ini hampir sama dengan

keadaan pada geometri Euclides.

Kesejajaran dalam geometri Affine ini adalah suatu relasi Ekuivalensi, jadi

memenuhi sifat-sifat :

a) Refleksif, yaitu setiap garis g sejajar dengan g sendiri

b) Simetris, yaitu jika g sejajar h, maka h sejajar g

c) Transitif, yaitu jika g sejajar h dan h sejajar k, maka g sejajar k

4

r

A

O

C

BB’

C’

A’A

4

Aksioma 2 ini merupakan kebalikan dari separuh dalil berikut :

Dalil 1:

Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan titik-titik sudut yang

berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC // B’C’, CA // C’A’, dan AB //

A’B’, maka ketiga garis AA’, BB’, dan CC’ adalah berpotongan pada satu

titik (konkruen) atau sejajar.

Bukti :

Diketahui : BC // B’C’, CA // C’A’, dan AB // A’B’.

Adb. : AA’, BB’, CC’ berpotongan atau sejajar

Jika AA’, BB’, dan CC’ ketiganya tidak berpotongan, maka berarti dua dari

tiga garis tersebut berpotongan.

Misalkan AA’ dan BB’ berpotongan di titik O, dan OC memotong B’C’ dititik

C1.

Karena AB // A’B’ dan BC // B’C1, maka CA // C1A’.

Karena CA // C’A’ dan CA // C1A’, maka C’A’ // C1A’ berarti C1 pada C’A’.

Karena C1 pada C’A’ dan C1 juga pada B’C’, padahal A’B’C’ suatu segitiga,

maka haruslah C’ dan C1 berimpit.

Jadi AA’, BB’, dan CC’ berpotongan di titik O jika ketiganya tidak semuanya

sejajar.

Dalil 2 berikut ini juga merupakan kebalikan separoh yang lain dari dalil 1.

Dalil 2 :

Jika A, A’, B, B’, C, C’ adalah 6 buah titik yang berlainan pada 3 garis yang

berbeda AA’, BB’, dan CC’ diletakkan sedemikian hingga garis AB // A’B’,

BC // B’C’, maka CA // C’A’.

5

5

C

B

C’

B’

B.2 Transformasi dalam Geometri Affine

Dalam geometri Affine, kita juga mengenal beberapa transformasi. Untuk

membicarakan ini, perlu didefinisikan dulu tentang Jajaran Genjang.

Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu

jajaran genjang BCD jika AB // DC dan BC // AD.

D C

A B

1. Dilatasi

Definisi :

Suatu dilatasi (suatu perbanyakan) ialah suatu transformasi yang

mentransformir setiap garis ke garis yang sejajar.

6

A

A’

6

Dalil 3 :

Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis yang sejajar

menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB A’B’.

P’ C’

P C

A B A’ B’

Beberapa hal penting

Invers dari dilatasi AB A’B’ adalah A’B’ AB .

Dilatasi mempertahankan urutan, tetapi tidak mempertahankan ukuran.

Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain.

Berarti, hasil kali dua dilatasi AB A’B’ dan A’B’ A”B” adalah

dilatasi AB A”B”.

Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB AB.

Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut

garis-garis invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau

sejajar (Aksioma 2).

Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang

menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik,

maka dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut

titik pusat dilatasi O dan titik pusat tersebut tunggal.

7

7

Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar,

maka dilatasi itu suatu translasi.

Dilatasi Sentral Translasi

2. Translasi

Definisi :

Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar,

maka dilatasi itu suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila

dan hanya bila tidak memiliki titik invarian (tapi garis invarian).

Jika pada translasi AB A’B’, AA’, BB’ tidak berupa jajaran genjang, maka

dapat ditunjukkan jajaran genjang lainnya . Misalkan AC A’C’, AA’C’C

dapat berupa jajaran genjang.

Jika AA’B’A suatu jajaran genjang, maka translasi A A’ sama dengan

B B’

Jika A, A’, dan B diketahui, maka letak titik B’ tidak tergantung dari

pemilihan C atau D, sehingga terdapat dalil berikut :

Dalil 4 :

Sembarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A A’.

Suatu dilatasi adalah suatu transformasi terurut, hal ini dapat dibuktikan

dengan dalil-dalil berikut :

Dalil 5 :

Dilatasi AB A’B’mentransformir setiap titik.

8

O

B’

A’

B

A

B’

C

A’

B

A

C’

8

Dalil 6 :

Hasil kali dua translasi A B dan B C adalah tanslasi A C.

3. Setengah Putaran

Definisi :

Jika dua titik berlainan, misalkan A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal

AB BA atau A B, maka transformasi itu disebut setengah putaran (half

turn)

C B

A D

Jika C sembarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayanganya kita

hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melaui B sejajar

AC dan BC adalah titik D, dan D bayangan dari C.

Dalil 7 :

Hasil kali dua setengah putaran A B dan B C adalah translasi A C.

Bukti :

Jika A B tidak sama dengan B C, maka (A B) (B C) tidak

mempunyai titik invarian, jadi berupa translasi.

Jika ADBC suatu jajaran genjang, maka A B sama dengan B C dan

A D sama dengan C B.

Hubungan ini tetap berlaku jika jajaran genjang berubah menjadi segmen garis

dengan 4 titik letaknya teratur simetrik.

A C D B

Dalil 8 :

Setengah putaran A B dan C D saa, jika dan hanya jika translasi A D

dan C B sama.

9

9

Dalil 9 :

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah

sejajar dengan sisi ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi

dan sejajar sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.

C

B’ A’

A B

4. Transformasi Affiine

Suatu transformasi affine atau affinity pada Rn adalah sebuah rumus Ta o L

dengan Ta suatu translasi dan L GL(n, R).

Grup pada semua transformasi ini disebut grup Affine dan ditulis A(Rn).

Contoh :

1. (x, y) (1 + 2x, 1 + 2y)

2. (x, y) (1 + x + y, 2 + y)

Perlu dicatat bahwa transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan

sudut. Luas dan volum tidak dipertahankan juga.

Transformasi affine mempertahankan beberapa sifat geometri

a. Collinearity (kesegarisan)

Jika A,B, dan C kolinear, sehingga bayangan mereka berada pada peta affine.

Lebih umum kita mempunyai :

Definisi

Suatu translasi pada subruang linear pada Rn disebut subruang affine

Contoh, gari-garis dan bidang pada R3 adalah subruang affine

10

C

C’

10

Theorem

Transformasi affine subruang peta affine untuk subruang affine

Proof

Berikut ini fakta bahwa peta-peta linear subruang peta linear untuk subruang

linear

b. Parallelism (kesejajaran)

Teorema

Kesejajaran garis dipetakan pada kesejajaran garis.

Bukti

Dua garis sejajar adalah garis-garis padal bidang affine yang tidak bertemu.

Karena transformasi affine mempertahankan bidang dang keterletakkan,

bayangan garisnya dalam suatu bidang affine dan tidak bertemu. Oleh karena

itu garis-garis itu sejajar.

c. Ratios (perbandingan)

Teorema

Perbandingan panjang interval-interval pada garis dipertahankan.

Bukti

Berikut ini karena perbandingan dipertahankan oleh peta linear dan oleh

translasi.

Kenyataannya perbandingan panjang pada pasangan garis parallel

dipertahankan. Sifat keantaraan (satu titik terletak diantara dua titik yang lain)

juga dipertahankan.

B.3 Transformasi Affine di R2

Misalkan T subset, R2 f :T →T transformasi affine pada T . Maka f dapat

berbentuk

11

11

.

Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan

factor pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Perhatikan peta dari

beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.

Secara umum transformasi linier T pada Rn

, dinyatakan oleh T ( x )=A x+b ,

dengan A adalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan b adalah

vector di Rn

. Sebuah transformasi ditentukan oleh matriks A dan vector b .

B.4 Teorema-teorema Affine

Kenyataan, banyak teoreme-teorema geometri Euclidean adalah teorema-

teorema Affine. Itu berarti pernyataan dan bukti juga melibatkan konsep yang

dipertahan kan oleh transformasi affine.

Secara kasar, teorema-teorema affine dapat dibuktikan dengan metode vektor

tanpa menggunakan norm atau dot atau hasil kali vektor.

12

12

Contoh :

1. Tengah-tengah dari suatu segitiga bertemu pada sebuah titik (coincident)

Bukti

Jika sebuah segitia mempunyai garis-garis a, b and c maka mudah

diperiksa bahwa garis tengahnya akan bertemu pada suatu titik (a + b +

c) /3

2. Teorema Ceva

Jika sisi-sisi BC, CA, AB pada suatu segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N

dengan perbandingan 1 : , 1 : , 1 : maka ketiga garis AL, BM, CN

setitik (konkurent) jika dan hanya jika hasil kali = 1.

Bukti

Dalam kenyataan, kita akan membuktikan ini tidak dengan menggunakan

metode affine..

= CL/LB = CLA/ LBA = CLP/ LBP = CAP/ ABP.

Dengan cara yang sama = AM/MC = ABP/ BCP and = BN/NA =

BCP/ CAP dan diperoleh hasil tersebut.

13

13

3. Teorema Menelaus

Jika sisi-sisi segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N dalam perbandingan 1 :

, 1 : , 1 : maka ketiga titik L, M, N adalah segaris jika dan hanya jika

hasil kali = -1.

Bukti

Perlu dicatat bahwa perbandingan dimana titik L membagi sebuah interval

AB adalah negatif jika L berada diluar sisi AB (perpanjangan AB).

Garis AP sejajar ML. Maka 1/ = CM/MA = CL/LP dan 1/ = AN/NB =

PL/LB.

Maka 1/( ) = CL/LP . PL/LB = -CL/LB = - dan diperoleh hasil

tersebut.

Simpulan

1. Seperti dalam kasus isometric, sebuah transformasi affine ditentuka oleh

bayangan dari n + 1 titik-titik independent (sesuatu yang tidak segaris

dalam sebuah (n - 1)-dimensional subruang affine).

Dalam kasus transformasi affine, sebanyak n + 1 titik independent dapat

dipetakan pada sebanyak n + 1 titik-titik independent.

Secara khusus, dalam R2 ada suatu transformasi affine tunggal yang

menyebabkan segitiga ABC menjadi A'B'C'.

2. Umumnya tiga cara mengklasifikasi pada irisan kerucut ellips, hyperbola

dan parabola adalah suatu klasifikasi affine.

Contoh, dua ellips direlasikan oleh sebuah transformasi affine.

14

14

C. PENUTUP

Dasar dari geometri Affine adalah geometri Terurut, sehingga aksioma-

aksioma dan dalil-dalil utama dari geometri terurut berlaku dalam geometri

Affine. Kemudian ditambah dua aksioma lagi.

Seperti halnya geometri Euclides, dalam geometri Affine pun terdapat

transformasi, diantaranya dilatasi, translasi, dan setengah putaran. Karena

dalam geometri Affine sudut-sudut tidak pernah diukur, maka transformasinya

diterangkan tanpa menggunakan ukuran sudut.

Transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan sudut. Luas dan volum

tidak dipertahankan juga. Namun transformasi affine mempertahankan

kesegarisan, kesejajaran, dan perbandingan.

15

15

Referensi

Moeharti, Prof. Dra. 1986. Sistem – sistem Geometri. Jakarta : Karunika

Univeristas Terbuka

Ismaliani. ............... Rangkuman Geometri .http://ismalianibaru.wordpress.com di

download Jum’at 12 juni 2009 pukul 6.15. Kata kunci : Gometri Affine

............................... Affine Geometry. http://www.gap-system.org/̴

john/geometry/Lecture/L13.html didownload Senin, 22 Juni 2009 pukul

18.30. Kata kunci : Affine Geometry

16

16