Geometria analitica: rette e pianicorsiadistanza.polito.it/on-line/Geometria_flv/pdf/U4_L2.pdfGeometria analitica: rette e piani Rette © 2006 Politecnico di Torino 6 11 Parametrizzazioni

Geometria analitica: rette e piani Rette

© 2006 Politecnico di Torino 1

Geometria analitica: rette e piani

2

Rette

Rette parametricheAllineamento Rette nel piano Rette nello spazio Angoli tra rette e distanza



Rette

4

Esempio

Sia A = (1, 2) ∈ . Per l’interpretazione geometrica del prodotto per scalare, l’insieme {(t, 2t )| t ∈ } rappresenta una retta per l’origine.

2



5

Rette per l’origine

In generale se A ∈ è un vettore non nullo, l’insieme dei multipli tA al variare di t ∈rappresenta una retta r passante per l’origine.Dunque . Indichiamo questa rappresentazione con

oppure

n

( ){ }|r P t tA t= = ∈

( ):r P t tA= :r tA

6

Osservazione

Osserviamo che è il sottospazio vettoriale di generato da A (quindi ha dimensione 1) e coincide anche con l’insieme dei vettori paralleli a A (con la stessa direzione) piùl’origine.

n{ }|tA t ∈



7

Esempio (1/4)

Siano P0 = (1, -1) e P1 = (2, 1) in . Sia r la retta per P0 e P1 e sia r0 la parallela a r passante per O. Per la regola del parallelogramma, per ogni Q ∈ r0 esiste un unico t ∈ tale che

Quindi( ) ( )1 0 1,2 .Q t P P t= − =

2

( ) ( )0 1 0: 1,2 .r t P P t− =

8

Esempio (2/4)



9

Esempio (3/4)

Se ora P ∈ r , sempre per la regola del parallelogramma, esiste un unico t ∈ tale che P = t (P1 – P0) + P0. Allora r può essere rappresentata al variare di t in come l’insieme di punti

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1,2 1, 1 .P t t P P P t= − + = + −

10

Esempio (4/4)



11

Parametrizzazioni

Se r è una retta in , esiste un vettore non nullo A ∈ tale che, per ogni P0 ∈ r, r coincide con l’insieme di punti al variare di t ∈In altre parole r è l’immagine dell’applicazione

definita da Tale applicazione viene detta parametrizzazionedi r e la variabile t è detta parametro.

.

n

n

( ) 0P t tA P= +

( ) 0.P t tA P= +: nP →

12

Rette parametriche

Viceversa, assegnati A, P0 ∈ con A ≠ O, l’insieme di punti al variare di tin è una retta r in passante per P0 = P (0).Una retta così rappresentata r si dice retta in forma parametrica (o retta parametrica) di direzione A e passante per P0. Tale rappresentazione si indica con

oppure

n

n

( ) 0:r P t tA P= +

( ) 0P t tA P= +

0: .r tA P+



13

Rette parametriche e moti rettilinei

Possiamo vedere una retta parametrica come il dato di un ente

geometrico (la retta r ) e un ente algebrico (la parametrizzazione tA + P0). Dal punto di vista fisico, l’interpretazione più naturale è quella di un moto rettilineo uniforme di un corpo che ha come traiettoria la retta r e legge oraria P (t ): Aè il vettore velocità, t è il tempo e P0 la posizione iniziale (al tempo t = 0).

( ) 0:r P t tA P= +

14

Osservazione

In base alle considerazioni precedenti risulta che, dovendo operare con parametrizzazioni differenti della stessa retta o di rette distinte, è opportuno indicare i parametri con lettere differenti. Infatti, in un moto non conta solo sapere in che posizione si trova il corpo ma anche in che momento tale posizione viene occupata.



15

Rette parallele

Se e sonorette parametriche in , per la definizione di parametrizzazione r e s sono parallele se e solo B = αA per un α ∈ non nullo, cioè se e solo se A e B hanno la stessa direzione. Questo giustifica il termine “direzione di r ” con cui sono indicati A e B.

( ) 0:r P t tA P= + ( ) 0:s Q u uB Q= +n

16

Cambiamento di parametro

Il caso precedente comprende quello di due parametrizzazioni della stessa retta (r = s). In tal caso cioè esiste t0 ∈ tale che

Quindi

e

0 ,Q r∈0 0 0.Q t A P= +

( ) ( ) ( )0 0 0 0Q u u A t A P u t A Pα α= + + = + +

( ) ( )P t Q u= 0.t u tα= +per



17

Esempio

Consideriamo la retta parametrica in data da

è la parallela a r passante per (1, 1, 1);Le parametrizzazioni di r sono tutte e sole della forma

con α ≠ 0.

3

( ) ( ) ( ): 1,2, 1 2, 1,0 .r P t t= − + −

( ) ( ) ( ): 2, 4,2 1,1,1s Q u u= − − +

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

0

0

1,2, 1 1,2, 1 2, 1,0

1,2, 1 2, 1,0

Q u u t

u t

α

α

= − + − + − =

= + − + −

Rette



19

Retta per due punti (1/2)

Abbiamo visto che, dati due punti P0, P1 ∈distinti, l’unica retta r passante per tali punti ammette la parametrizzazione

Possiamo chiamare tale parametrizzazione di rla parametrizzazione riferita alla coppia ordinata (P0, P1).

n

( ) ( )1 0 0:r P t t P P P= − +

20

Retta per due punti (2/2)

Viceversa, se P (t ) = tA + P0 è una parametrizzazione di una retta r e se poniamo P1 = P (1) = A + P0, allora A = P1 – P0 e tale parametrizzazione è la parametrizzazione di rriferita a (P0, P1).Quindi abbiamo per una retta infinite parametrizzazioni determinate dalle coppie ordinate di punti distinti di r.



21

Esempio

Se r è la retta in per P0 = (1, -1) e P1 = (2, 1),allora

sono le parametrizzazioni di r riferite a (P0, P1) e (P1, P0) rispettivamente.

2

( ) ( ) ( )1,2 1, 1 ,P t t= + − ( ) ( ) ( )1, 2 2,1Q u u= − − +

22

Segmenti

Possiamo rappresentare il segmento di estremi P0, P1 ∈ per mezzo della parametrizzazione riferita a (P0, P1). Infatti tale segmento è l’insieme dei punti

n

( ) ( )1 0 0 ,P t t P P P= − +

0 1P P

0 1t≤ ≤



23

Punti allineati

Se P0, P1, P2 sono punti distinti di , allora tali punti sono allineati se e solo se P2 appartiene alla retta r passante per P0, P1, quindi, se e solo se esiste tale che

In conclusione, P0, P1, P2 sono allineati se e solo se i vettori P2 – P0, P1 – P0 sono paralleli.

n

t( )2 1 0 0P P P Pt= − + ( )2 0 1 0 .P P P Pt− = −cioè

24

Esempio

Siano P0 = (1, -2, 1), P1 = (3, 0, 3), P2 = (2, -1, 2) e P3 = (0, -2, 1) punti di

P2 è allineato con P0, P1 in quanto P2 – P0 = (1, 1, 1) = 1/2(2, 2, 2) = 1/2(P1 – P0);P3 non è allineato con P1, P2 in quanto P3 – P0 = (1, 0, 0) e P1 – P0 non sono paralleli.

3



Rette

26

Esempio

Se r è una retta parametrica nel piano con

possiamo scrivere( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ): , 1,2 1, 1 ,r P t x t y t t= = + −

( )( )

1 1 12 1 2 1

x t tt

ty t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎜ = + =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜− −⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠da cui

( )( )

1

2 1

x t t

y t t

⎧⎪ = +⎪⎨⎪ = −⎪⎩



27

Equazioni parametriche

Se A = (a, b) ≠ (0, 0) e P0 = (x0, y0) allora le equazioni parametriche della retta di direzione Apassante per P0 sono

Per semplificare la notazione, si sottintende la dipendenza da t delle coordinate del punto P (t ).

0

0

:x at x

ry bt y

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩

28

Esempi

Gli assi coordinati rx, ry hanno parametrizzazionirx : te1 e ry : ue2 e quindi equazioni parametriche

:0x

x tr

y⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

0:y

xr

y u⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩



29

Forma cartesiana

È noto che è possibile rappresentare una retta rin con un’equazione (equazione cartesianadi r ) del tipo ax + by + c = 0 con a, b, c ∈e a, b non entrambi nulli (l’equazione cartesiana è determinata a meno di multiplo ≠ 0). In tal caso poniamo r : ax + by + c = 0 e diciamo che r èin forma cartesiana.

2

30

Direzione ortogonale a una retta

Se r : ax + by + c = 0, allora sappiamo che r0 : ax + by = 0 è la parallela a r per O.Poiché ax + by = (a, b ) . (x, y ), le soluzioni di ax + by = 0 sono i vettori (x, y ) tali che (a, b ) . (x, y ) = 0.In conclusione la direzione ortogonale a r è data da (a, b ) e r ha direzione definita da (b, -a ) e

coefficiente angolare (se b ≠ 0).ab

−



31

Passaggio da forma cartesiana a parametrica (1/2)

Se r : 2x – y + 1 = 0, allora r ha direzione ortogonale (2, -1), e quindi direzione A = (1, 2). Poiché P0 = (-1, -1) ∈ r, abbiamo che r : tA + P0.Le equazioni parametriche sono

1:

2 1x t

ry t

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

32

Passaggio da forma cartesiana a parametrica (2/2)

Alternativamente, possibile è esplicitare una variabile e assumere come parametro l’altra: per esempio y = 2x + 1 (forma esplicita), da cui

:2 1

x tr

y t⎧ =⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩



33

Passaggio da forma parametrica a cartesiana

Viceversa se

possiamo ricavare t da una equazione e sostituire nell’altra: per esempio t = x + 1, da cui y = 2(x + 1) -1 e

2x – y + 1 = 0.

1:

2 1x t

ry t

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

34

Esempio (1/2)

Consideriamo le rette parametriche r : P (t ) = t (1, -3) + (-2, 1) e s : Q (u ) = u (3, 1) + (-3, 2). Possiamo determinare r ∩ s imponendo P (t ) = Q (u ), cioè

2 3 33 1 2

t ut u

⎧ − = −⎪⎪⎨⎪− + = +⎪⎩



35

Esempio (2/2)

Dunque abbiamo il sistema quadrato

da cui e Sostituendo otteniamo

3 1:

3 1t u

St u

⎧ − =−⎪⎪⎨⎪− − =⎪⎩

2 1 12 11, .

5 5 5 5r s P Q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∩ = − = = −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

25

t =−1

.5

u =

36

Intersezioni di rette parametriche

Se e la condizione P (t ) = Q (u ) equivale al sistema

La matrice dei coefficienti di S ha colonne A e –B.Se A e B non sono paralleli, S è determinato e le rette sono incidenti.Se A e B sono paralleli, S è impossibile (rette parallele) o indeterminato (r = s ).

( ) 0:r P t tA P= + 0: ,s uB Q+

0 0: .S tA uB Q P− = −



37

Intersezioni di rette in generale

L’intersezione di due rette in forma cartesiana si studia con il sistema formato dalle due equazioni. Diamo un esempio nel caso una sola delle due rette sia in forma cartesiana. Se

sostituendo P (t ) = (t – 1, 2t – 1) nell’equazione di s si ha 3(t – 1) -2(2t - 1) + 5 = 0 da cui t = 4 e r ∩ s = (3, 7).

1:

2 1x t

ry t

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩: 3 2 5 0s x y− + =e

38

Proiezione ortogonale

Se r e P sono una retta e un punto nel piano, la proiezione ortogonale pr (P ) di P su r èl’intersezione dell’unica retta ortogonale a rpassante per P . Per il Teorema di Pitagora, abbiamo per ogni Q ∈ r , con = se e solo se Q = pr (P ).

( )rP p P P Q− ≤ −



39

Distanza punto/retta

Quindi pr (P ) è il punto di r con minima distanza da P . La distanza d (P, r ) di P da r è definita da

. Ricordiamo che, se P = (x0, y0) e

r : ax + by + c = 0, vale

( ) ( )( ) ( ), , r rd P r d P p P P p P= = −

( ) 0 0

2 2,

ax by cd P r

a b

+ +=

+

40

Esempio

Se r : t (1, 2) + (1, -1) e P = (2, -4), abbiamo r : 2x – y – 3 = 0, quindi la retta s ortogonale a r per P è s : u (2, -1) + (2, -4) e pr (P ) = r ∩ s = (0, -3). Abbiamo

( )( ) ( )2 2 1 4 3

, 55

d P r⋅ − ⋅ − −

= =

( ) ( )( ), , 5rd P r d P p P= = e



Rette

42

Equazioni parametriche

Se A = (a, b, c ) ≠ (0, 0, 0) e P0 = (x0, y0, z0), allora le equazioni parametriche della retta di direzione A passante per P0 sono

0

0

0

:x at x

r y bt yz ct z

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩



43

Esempi (1/2)

La retta nello spazio di direzione A = (3, -1, 2) passante per P0 = (-1, 0, 4) ha equazioni parametriche

3 1

2 4

x ty tz t

⎧ = −⎪⎪⎪⎪ =−⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

44

Esempi (2/2)

Gli assi coordinati nello spazio hanno equazioni parametriche

: 00

x

x tr y

z

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

0:

0y

xr y u

z

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

0: 0z

xr y

z v

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩



45

Esempio (1/2)

Siano r : P (t ) = tA + P0 e s : Q (u ) = uB + Q0con equazioni parametriche

Studiamo r ∩ s : come nel piano, la condizione P (t ) = Q (u ) equivale a un sistema lineare Sa due incognite, ma in questo caso vi sono tre equazioni.

3 1:

2 4

x tr y t

z t

⎧ = −⎪⎪⎪⎪ =−⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

1:

2

x us y u

z u

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ =−⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎩

46

Esempio (2/2)

Il sistema

è impossibile, quindi r ∩ s = : le rette non si intersecano. D’altra parte r e s non sono parallele, in quanto A = (3, -1, 2) e B = (1, -1, 1) non sono paralleli.

3 2: 0

2 6

t uS t u

t u

⎧ − =⎪⎪⎪⎪− + =⎨⎪⎪ − =−⎪⎪⎩

∅



47

Posizione reciproca di rette (1/6)

Ricordiamo che due rette nello spazio si dicono complanari se esiste un piano che contiene entrambe. Dalla geometria euclidea sappiamo che due rette r1 e r2 (distinte) nello spazio possono essere in tre posizioni reciproche.

48


Incidenti: r1 ∩ r2 è un punto.

Parallele: r1 ∩ r2 = e r1 e r2 sono complanari.

Sghembe: r1 e r2 non sono complanari (e ovviamente r1 ∩ r2 = ).

∅

∅



49


Se

con

possiamo studiare le posizioni reciproche di r1 e r2usando l’algebra lineare.

( )1 1 1 1:r P t tA P= + ( )2 2 2 2:r P u uA P= +

( )1 1 1 1, , ,A a b c= ( )2 2 2 2, , ,A a b c=

( )1 1 1 1, , ,P x y z= ( )2 2 2 2, ,P x y z=

50


Infatti da tA1 + P1 = uA2 + P2 otteniamo tA1 – uA2 = P2 – P1 da cui il sistema

Indicata con A la matrice 3 x 2 dei coefficienti di S, B la colonna dei termini noti e MS la matrice 3 x 3 associata a S, applichiamo il Teorema di Rouchè-Capelli.

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

:a a x x

tS b b y y

uc c z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜− = −⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠



51


Se A1 e A2 sono paralleli, allora r (A ) = 1.Se r (MS ) = 2, S è impossibile e le rette sono paralleleSe r (MS ) = 1, S è indeterminato e le rette sono coincidenti.

52


Se A1 e A2 non sono paralleli, allora r (A ) = 2.Se r (MS ) = 3 (equivalentemente D (MS ) ≠ 0), S è impossibile e le rette sono sghembe.Se r (MS ) = 2, S è determinato e le rette sono incidenti.



53

Esempio (1/4)

Sia r : P (t ) = t (1, -1, 2) + (0, 1, -1). Se consideriamo al variare di k ∈ la famiglia di rette sk : Qk(u ) = u (2, k, 4) + (k, 0, 1), l’intersezione r ∩ sk sarà data dal sistema con parametro

1 2: 1 0

2 4 1k

kt

S ku

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜− − =⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54

Esempio (2/4)

Se indichiamo con Ak la matrice dei coefficienti di Sk , abbiamo che r (Ak) = 2 se k ≠ -2 mentre r (A-2) = 1. Inoltre se Mk è la matrice associata a Sk,

che si annulla per

( ) 2

1 2det 1 0 2 3 2

2 4 1k

kD M k k k

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − − =− + +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠

12, .

2k =−



55

Esempio (3/4)

QuindiSe k = -2 abbiamo r (MK ) = 2 e le rette sono parallele (non coincidenti).Se k = le rette sono incidenti.Se k ≠ -2, le rette sono sghembe. 1

2

12

56

Esempio (4/4)

Nel caso k = , abbiamo la soluzione

Sostituendo t = in P (t ) otteniamo

12

110

( ) ( )1 1, , .10 5t u =

( )12

91 4, , .10 10 5r s∩ = −



Rette

58

Angoli tra rette

Se r : P (t ) = tA + P0 e s : Q (u ) = uB + Q0sono rette parametriche in , l’angolo convesso tra r e s è dato dall’angolo tra A e B definito dall’equazione

n θ

cos ,A BA B

θ ⋅= 0 .θ π≤ ≤



59

Rette ortogonali

Quindi r e s sono parallele se e solo se ,mentre r e s sono ortogonali se e solo se il che equivale a A ⊥ B e a A . B = 0.Osserviamo che, mentre nel piano due rette ortogonali sono sempre incidenti, nello spazio due rette possono essere ortogonali e sghembe.

0θ =/2,θ π=

60

Esempio (1/3)

Sia r : P (t ) = t (1, -1, 2) + (1, 1, -1) e sia Q0 = (3, -1, 0). Allora vi sono infinite rette ortogonali a r e passanti per Q0: sono tutte le rette con parametrizzazione del tipo Q (u ) = u (a, b, c ) + (3, -1, 0) con (a, b, c ) . (1, -1, 2) = a – b + 2c = 0.



61

Esempio (2/3)

Invece esiste un’unica retta s per Q0 ortogonale e incidente a r . Infatti le rette per Q0 incidenti a rsono le rette per Q0 e per un punto P (t ) di r , quindi le rette per Q0 con direzione P (t ) –Q0.Imponendo P (t ) – Q0 ⊥ A = 0 abbiamo

da cui t = 1.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1, 1,2 1,1, 1 3, 1,0 1, 1,2

2, 2,2 1 1, 1,2 6 6 0

t

t t t t

⎡ ⎤− + − − − ⋅ − =⎣ ⎦= − − + − ⋅ − = − =

62

Esempio (3/3)

La retta s ha quindi direzione P (1) – Q0 = (-1, 1, 1) e parametrizzazioneQ (u ) = u (-1, 1, 1) + (3, -1, 0).Osserviamo che l’unicità di s dipende dal fatto che Q0 ∉ r : diversamente vi sono comunque infinite ortogonali incidenti.



63

Proiezione ortogonale (1/3)

Per l’esempio precedente, possiamo dire che, se r : P (t ) = tA + P0 è una retta parametrica e se P ∉ r , allora il punto di r avente minima distanza da P è il punto P (t0) tale che P (t0) – P ⊥ A.

64


La condizione precedente si esprime come

( ) ( )2

0 0 0tA P P A t A P P A+ − ⋅ = + − =

da cui( )0

0 2 .P P A

tA

− ⋅=



65


Il punto P (t0) si dice proiezione di P su r e si denota con pr(P ). Come nel caso piano, pr(P ) è il punto di r con minima distanza da P e la distanza tra P e r è definita da

Nell’esempio precedente

( ) ( )( ) ( ), , .r rd P r d P p P P p P= = −

( ) ( ) ( )0 1 2,0,1rp Q P= = e

( ) ( ) ( )0 , 2,0,1 3, 1,0 3 .d Q r = − − =

66

Distanza tra rette sghembe (1/5)

Consideriamo le rette

e determiniamo una retta s ortogonale e incidente a entrambe. Abbiamo

1

3 1:

2 4

x tr y t

z t

⎧ = −⎪⎪⎪⎪ =−⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

2

1:

2

x ur y u

z u

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ =−⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎩

( ) ( ) ( )1 1: 3, 1,2 1,0,4r P t t= − + −

( ) ( ) ( )2 2: 1, 1,1 1,0, 2r P u u= − + −

e



67


Le rette incidenti a r1 e r2 sono tutte e sole le rette passanti per le coppie di punti P1(t ) e P2(u ) al variante di t e u. Quindi, tali rette hanno direzioni del tipo

( ) ( ) ( ), 1 2 3 2, ,2 6t uA P t P u t u t u t u= − = − − − + − +

68


La retta s sarà ortogonale a r1 e r2 se e solo se da cui il

sistema( ) ( ), ,3, 1,2 1, 1,1 0t u t uA A⋅ − = ⋅ − =

7 3 3:

6 3 4t u

St u

⎧ − =−⎪⎪⎨⎪ − =−⎪⎩



69


S ha come unica soluzione

da cui otteniamo che s è la retta per i punti

( ) 10, 1,

3t u

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( ) ( )1 1 1 2, 1,6P P= = − e

( ) ( )2 210 13 10 4, , ,3 3 3 3P P= = − cioè

( ) ( ) ( )7 7 14: , , 2, 1,63 3 3s Q v v= − − + −

70


È evidente che la distanzaè la minima distanza possibile tra un punto di r1e uno di r2, quindi può essere considerata la distanza d (r1, r2) tra le due rette.

( )1 2 1 22, 7 3d P P P P= − =

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