GEOMETRIA I - Corso di Geometria I (seconda parte)users.mat.unimi.it/users/turrini/present_geo_1_parte_1B .pdf · Le trasformazioni α : A3 → A3 deﬁnite come sopra verranno dette

GEOMETRIA ICorso di Geometria I (seconda parte)

anno acc. 2009/2010

Maria Dedò e Cristina Turrini GEOMETRIA I

Cambiamento del sistema di riferimento in E3

Consideriamo in E3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R′, edun punto P ≡ (x, y, z) in R. Lo stesso punto avrà coordinateP ≡ (x′, y′, z′) in R′.Vogliamo trovare la relazione tra (x, y, z) e (x′, y′, z′).• I caso R e R′ differiscono solo per l’origine: stessa direzione estesso verso degli assi, U = U ′.

Siano (a, b, c) le coordinate dell’origine O′ (del sistema di riferimentoR′) rispetto al sistema di riferimento RO′ = (a, b, c) in RP ≡ (x, y, z), x = OX, y = OY, z = OZP ≡ (x′, y′, z′), x′ = O′X′, y′ = O′Y ′, z′ = O′Z′

Indichiamo con Q il punto dell’asse x proiezione di O′ parallelamenteal piano degli assi y e z. Si ha OQ = a. Per le identità segmentariefondamentali si ha allora x = OX = OQ + QX = a + x′ (si ha infattiQX = O′X′, perché si tratta di segmenti tagliati dagli stessi due pianiparalleli su rette parallele) e analogamentey = · · · = b + y′, z = · · · = c + z′

x′ = x − a; y′ = y − b z′ = z − cMaria Dedò e Cristina Turrini GEOMETRIA I

• II caso R e R′ differiscono solo per il verso di uno o più assi: stessadirezione e stessa origine, U = U ′.

In questo caso è immediato verificare che, se ad esempio si cambiasolo il verso dell’asse x, risulta

x′ = −x; y′ = y; z′ = z.Si noti che in realtà, perché sia R che R′ verifichino la convenzioneadottata sulla scelta dell’ordinamento degli assi, un cambiamento nelverso deve avvenire necessariamente su un numero pari (zero o due)di assi.

• III caso R e R′ differiscono solo per le unità di misura: stessadirezione, stesso verso e stessa origine.

Supponiamo che sia U = kU ′, con k > 0.In tal caso èx′ = OX′ (misurata rispetto a U ′) pertanto il segmento OX′ di estremiO e X′ è tale che OX′ = |x′|U ′.Inoltrex = OX (misurata rispetto a U) pertanto il segmento OX di estremi Oe X è tale che OX = |x|U .


Ma nel nostro caso (stessa origine e stessi assi, quindi stessi puntiproiezione) è X = X′ e anche OX′ = OX. Ne segue che|x′|U ′ = OX′ = OX = |x|U = |x|kU ′

e quindi |x′| = k|x|. Siccome però i versi dei due riferimenti sonouguali, x′ e x sono concordi, da cui

x′ = kx.

• IV caso R e R′ differiscono solo per la direzione degli assi: stessaorigine, U = U ′.

Indichiamo con i, j e k i versori dei tre assi del riferimento R e coni′, j′ e k′ i versori dei tre assi del riferimento R′.Si ha

−→OP = xi + yj + zk,

e anche

(∗) −→OP = x′i′ + y′j′ + z′k′,


Si avrà anche

i = a1,1i′ + a2,1j′ + a3,1k′,

j = a1,2i′ + a2,2j′ + a3,2k′,

k = a1,3i′ + a2,3j′ + a3,3k′,per opportuni ap,q ∈ R, con 1 ≤ p, q ≤ 3.Allora−→OP = xi + yj + zk = x(a1,1i′ + a2,1j′ + a3,1k′) + y(a1,2i′ + a2,2j′ +a3,2k′) + z(a1,3i′ + a2,3j′ + a3,3k′) =(a1,1x+a1,2y+a1,3z)i′+(a2,1x+a2,2y+a2,3z)j′+(a3,1x+a3,2y+a3,3z)k′dal confronto con la (∗) si ricava allora

x′ = a1,1x + a1,2y + a1,3z

y′ = a2,1x + a2,2y + a2,3z

z′ = a3,1x + a3,2y + a3,3z.


ovvero, in notazioni matriciali(x′y′z′

)=

(a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

)(xyz

).

PROPRIETÀ DELLA MATRICE A =

(a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

).

Poiché (i, j, k) (e (i′, j′, k′)) è una terna di versori mutuamenteortogonali, si ha1 =< i, i >=< a1,1i′ + a2,1′j′ + a3,1k′, a1,1i′ + a2,1′j′ + a3,1k′ >=· · · = a2

1,1 + a22,1 + a2

3,1e analogamente1 =< j, j >= a2

1,2 + a22,2 + a2

3,21 =< k, k >= a2

1,3 + a22,3 + a2

3,30 =< i, j >=< a1,1i′ + a2,1′j′ + a3,1k′, a1,2i′ + a2,2′j′ + a3,2k′ >=· · · = a1,1a1,2 + a2,1a2,2 + a3,1a3,2e analogamente0 =< i, k >= a1,1a1,3 + a2,1a2,3 + a3,1a3,30 =< j, k >= a1,2a1,3 + a2,2a2,3 + a3,2a3,3.


In altri termini, indicata con AT =

(a1,1 a2,1 a3,1a1,2 a2,2 a3,2a1,3 a2,3 a3,3

)la matrice

trasposta di A, e con I =

(1 0 00 1 00 0 1

)la matrice identità, si ha

AAT = I.

Si dice allora che A è una matrice ortogonale.

Più avanti vedremo che ad ogni matrice quadrata M si può associareun numero reale det(M) detto determinante di M e che tutte le matriciortogonali hanno determinante ±1.Inoltre si potrebbe dimostrare che, poichè tanto R quanto R′ devonosoddisfare la convenzione sulla scelta di ordinamento tra gli assi, perla matrice A del cambiamento di sistema di riferimento si ha in realtàdet(A) = 1 (matrice ortogonale speciale).


• caso generale Il cambiamento di sistema di riferimento più generalein E3 si ottiene componendo i quattro casi sopra descritti (si notiperaltro che il caso II risulta un caso particolare del IV), pertantorisulterà descritto da un legame del tipo

x′ = ρ(a1,1x + a1,2y + a1,3z) + α

y′ = ρ(a2,1x + a2,2y + a2,3z) + β

z′ = ρ(a3,1x + a3,2y + a3,3z) + γ,

con ρ, α, β, γ ∈ R, ρ > 0 e A =

(a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

)matrice

ortogonale speciale (cioè con AAT = I e det(A) = 1).Con notazioni matriciali, posto

x =

(xyz

), x′ =

(x′y′z′

), v =

(αβγ

), si scrive

(?) x′ = ρAx + v.


Cambiamento del sistema di riferimento in A3

Consideriamo ora due sistemi di riferimento affini R ed R′ e vediamoin questo caso come siano legate le coordinate (x, y, z) e (x′, y′, z′) cheuno stesso punto P ha nei due riferimenti.Consideriamo tre vettori non nulli a, b, c rispettivamente sugli assi x, ye z ed altri tre vettori non nulli a′, b′, c′ sugli assi x′, y′ e z′. Ripetiamonel caso affine le considerazioni fatte sopra nel caso euclideosostituendo (a, b, c) al posto di (i, j, k) e (a′, b′, c′) al posto di(i′, j′, k′). Tutti gli argomenti esposti continuano a valere salvo chequando si utilizza il fatto che (i, j, k) e (i′, j′, k′) sono terne di versorimutuamente ortogonali.Ne ricaviamo che il più generale cambiamento di sistema diriferimento affine è della forma

(??) x′ = Mx + v,


dove M è una matrice 3 × 3, v è un vettore a 3 componenti e inoltre sipotrebbe dimostrare che det(M) 6= 0 (vedremo più avanti chequest’ultima condizione è equivale a dire che le colonne di M sonolinearmente dipendenti e questo a sua volta, per come M è costruita,equivale al fatto che i vettori (a, b, c) sono linearmente indipendenti).

In realtà se si vuole che i due sistemi di riferimento verifichino laconvenzione sull’ordinamento degli assi risulta det(M) > 0.

ESERCIZIO - Si consideri una matrice in cui le colonne sonoliearmente dipendenti, ad esempio,(

1 1 02 2 13 3 1

)e l’applicazione f di E3 in sè definita da x′ = Mx. Si stabilisca se f èbiunivoca.


Trasformazioni geometriche in A3

Consideriamo ora A3 con un sistema di riferimento fissato.L’equazione matriciale

(??) x′ = Mx + v,

con det(M) 6= 0, può essere interpretata come una trasformazione(corrispondenza biunivoca) α : A3 → A3 ; vediamo come. DatoP ≡ (x, y, z) si può considerare P′ ≡ (x′, y′, z′), e definire α(P) = P′.Vedremo più avanti che la condizione det(M) 6= 0 garantiscel’invertibilità della α.

Le trasformazioni α : A3 → A3 definite come sopra verranno detteaffinità.


Denotiamo con Aff (3) l’insieme delle affinità di A3 in sè.

OSSERVAZIONE - Aff (3) è un gruppo rispetto alla composizione.

Cenno di dimostrazione - La composizione della trasformazione α diespressione x′ = Ax + a con la trasformazione β di espressionex′ = Bx + b, è la trasformazione γ = β ◦ α data dax′ = BAx + Ba + b, dove BA è il prodotto riga per colonna di B per A(A 7→ Ax + a 7→ B(Ax + a) + b = BAx + Ba + b, per le proprietà delprodotto tra matrici).L’applicazione identica è un’affinità (di espressione x′ = Ix + 0.)L’inversa dell’affinità α espressa da x′ = Ax + a è l’affinità α−1 datada x′ = A−1x − A−1a, dove A−1 denota la matrice inversa dellamatrice A.


Geometria affine

OSSERVAZIONE - Abbiamo definito le affinità come trasformazioniche corrispondono ai cambiamenti di sistema di riferimento affine.Pertanto è naturale considerare equivalenti in A3 due sottoinsiemidello spazio (figure) che si ottengano l’uno dall’altro con un’affinità(sono solo diversi modi in cui la stessa figura viene vista da sistemi diriferimento diversi).

PROPRIETÀ DELLE AFFINITÀ∀α ∈ Aff (3), si ha

1 α è continua;2 α trasforma piani in piani (e conseguentemente rette in rette);3 α trasforma piani paralleli in piani paralleli (e conseguentemente

rette parallele in rette parallele);4 α conserva i rapporti tra le misure con segno di segmenti

allineati.


Cenno di dimostrazione

1 La continuità segue dal fatto che le coordinate x′, y′ ed y′ sonoespresse come polinomi (di primo grado) nelle coordinate x, y ez.

2 Sia α l’affinità espressa da x′ = Ax + a, e π il piano di equazionecartesiana Hx + Ky + Lz + M = 0 ((H, K, L) 6= (0, 0, 0)).Notiamo che tale equazione può anche essere scritta comehTx + M = 0, dove si è posto hT = (H, K, L).Un punto P′ appartiene al piano α(π) se e solo se P = α−1(P′)appartiene a π. Indicata con x = Bx′ + b, l’espressione di α−1,si ha quindi che P′ ∈ α(π) se e solo se hT(Bx′ + b) + M = 0, equesta è un’equazione lineare in x′, y′ ed z′. L’unica cosa cheresta da verificare è che tale equazione rappresenti effettivamenteun piano, ovvero che sia effettivamente di primo grado in almenouna delle variabili. Questo segue dal fatto che il vettore hTB (lecui componenti sono i coefficienti delle variabili nell’equazionedel piano) non può essere il vettore nullo perchè h 6= 0 e B èinvertibile.


3 Siano π e σ due piani paralleli, e consideriamo i piani α(π) eα(σ). Se α(π) e α(σ) non fossero paralleli esisterebbe un puntoP′ ∈ α(π) ∩ α(σ), ma allora si avrebbe P = α−1(P′) ∈ π ∩ σ.

4 Consideriamo la retta r rappresentata in forma parametrica daP = P0 + λv.

λ esprime la misura con segno del segmento−−→P0P, sulla retta

affine r in cui v individua tanto l’unità di misura quanto il verso.Consideriamo poi l’affinità α di espressione x′ = Ax + a.Il punto P0 è trasformato da α in P0

′ = AP0 + a, e il genericopunto P di r è trasformato in P′ = A(P0 + λv) + a =AP0 + Aλv + a = Aλv + AP0 + a = P0

′ + λAv.La retta α(r) risulta così individuata come la retta passante perP0

′ e parallela al vettore Av.

λ esprime quindi anche la misura con segno del segmento−−−→P′

0P′,sulla retta affine α(r) in cui Av individua tanto l’unità di misuraquanto il verso.Allora se

−→AB e

−→CD sono segmenti orientati su r, il rapporto tra le

misure con segno di−→AB e

−→CD su r è uguale al rapporto tra le

misure con segno di−−−−−−→α(A)α(B) e

−−−−−−→α(C)α(D) su α(r).


Siano dati tre punti A, B e C in A3 appartenti ad una stessa retta r e siconsideri un sistema di riferimento affine su r.Si dice rapporto semplice della terna (A, B, C) (in quest’ordine) ilnumero reale

(ABC) =ACBC

,

ottenuto come rapporto tra le misure con segno dei segmenti orientati−→AC e

−→BC.

Ad esempio, se C è il punto medio tra A e B, risulta(ABC) = AC

BC = AC−AC = −1.

La proprietà 4 delle affinità può essere riscritta nel seguente modo

4’ α conserva i rapporti semplici di terne di punti allineati.


OSSERVAZIONE - Le proprietà 1, 2, 3 e 4 (o 4′) caratterizzano leaffinità, ovvero si potrebbe dimostrare che una trasformazione di A3

che verifichi 1, 2, 3 e 4 (o 4′) è necessariamente un’affinità.

ESERCIZIO - Dare un esempio di affinità che NON conserva lemisure degli angoli.


Trasformazioni geometriche in E3

Analogamente a quanto fatto in A3, possiamo considerare in E3 unsistema di riferimento (ortonormale) fissato ed interpretare leequazioni di un cambiamento di sistema di riferimento comerappresentative di una trasformazione di E3 in sè.

Le trasformazioni ε : E3 → E3 definite da

(?)x′ = ρAx + v,

con A matrice ortogonale speciale, ρ > 0, e v vettore colonna a 3componenti, vengono dette similitudini dirette, e congruenze dirette oisometrie dirette se ρ = 1.Il numero reale ρ viene detto rapporto di similitudine.

OSSERVAZIONE - L’insieme delle similitudini dirette Sim+(3) (eanche l’insieme delle congruenze dirette Iso+(3)) è un grupporispetto alla composizione. Più precisamente si ha un’inclusione disottogruppi Iso+(3) ⊆ Sim+(3) ⊆ Aff (3).


Geometria euclidea simile e geometria euclidea metrica

Le similitudini dirette sono le trasformazioni che corrispondono ad uncambiamento di sistema di riferimento da R ortonormale a R′

ortonormale, per cui è naturale identificare due figure di E3 che siottengano l’una dall’altra con una similitudine diretta (geometriaeuclidea simile).

Nel caso delle congruenze dirette inoltre queste corrispondono acambiamenti di sistema di riferimento in cui non viene alterata l’unitàdi misura, pertanto, quando si vogliano fare considerazioni di naturametrica, risulta naturale identificare due figure di E3 che si ottenganol’una dall’altra con una congruenza diretta (geometria euclideametrica).

Se nella definizione di similitudine (risp. di congruenza) diretta sisostituisce la condizione ρ > 0 con la condizione ρ 6= 0 si ottiene lanozione di similitudine (risp. di congruenza). In questo caso ilrapporto di similitudine è il numero reale |ρ|.


Anche l’insieme Sim(3) delle similitudini (e l’insieme Iso(3) dellecongruenze) è un gruppo.

Le similitudini (e analogamente le congruenze) corrispondono acambiamenti nel sistema di riferimento euclideo quando non si tengaconto della convenzione sulla scelta dell’ordinamento degli assi.

Le similitudini (e anche le congruenze) che non sono dirette vengonodette inverse.

OSSERVAZIONE - Quanto detto finora a proposito di geometriaaffine ed euclidea, di cambiamenti di sistema di riferimento, ditrasformazioni, ecc., continua a valere con ovvi cambiamenti(semplificazioni) nel caso del piano. Si parlerà quindi anche di affinitàin A2 come trasformazioni che corrispondono ai cambiamenti disistema di riferimento, di similitudini e congruenze in E2 (nel casocioè di sistemi di riferimento ortonormali), ecc., di congruenze esimilitudini dirette e inverse. Hanno ovvio significato i simboliAff (2), Sim(2), ecc.


PROPRIETÀ DELLE SIMILITUDINI

I Tutte quelle delle affinitàII Conservano i rapporti tra le misure assolute di segmenti (anche

non allineati)III Conservano le misure degli angoli.

PROPRIETÀ DELLE CONGRUENZE

i Tutte quelle delle similitudini.ii Conservano le misure (in valore assoluto) dei segmenti.

OSSERVAZIONE - Si potrebbe dimostrare che la proprietà IIcaratterizza le similitudini, nel senso che una trasformazione di E3

che conserva i rapporti tra le misure (in valore assoluto) dei segmentiè necessariamente una similitudine.

Si anche potrebbe dimostrare che la proprietà ii caratterizza lecongruenze, nel senso che una trasformazione di E3 che conserva lemisure assolute dei segmenti è necessariamente una congruenza.


Esempi di similitudini e congruenze in E2 e E3

TRASLAZIONEDato un vettore v, la traslazione τv è la trasformazione che associa

ad un punto P quell’unico punto P′ = τv(P) tale che [−→PP′] = v.

OSSERVAZIONI1 L’espressione della traslazione τv in coordinate è data da

τv è x′ = x + v.2 La stessa definizione "funziona" sia in E2 che in E3

3 La traslazione è un’isometria diretta


RIFLESSIONENel piano, fissata una retta r, la riflessione rispetto a r è latrasformazione σr che associa al punto P quell’unico puntoP′ = σr(P) tale che

P′ = P, se P ∈ r,r è l’asse del segmento PP′, se P /∈ r.

Quindi la retta s per P e P′ è ortogonale a r e H = r ∩ s è il puntomedio di PP′.

Nello spazio, fissato un piano α, la riflessione rispetto a α è latrasformazione σα che associa al punto P quell’unico puntoP′ = σα(P) tale che

P′ = P, se P ∈ α,

α è il piano assiale del segmento PP′, se P /∈ α.

Quindi la retta s per P e P′ è ortogonale a α e H = α ∩ s è il puntomedio di PP′.


OSSERVAZIONE - La riflessione è una congruenza inversa.

ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da(x′y′

)=(

cos(θ) sen(θ)sen(θ) −cos(θ)

)( xy

),

è la riflessione rispetto alla retta per l’origine che forma un angolo diθ/2 con l’asse x.

ROTAZIONENel piano, fissato un punto C e un amgolo θ, con 0 ≤ θ < 2π, si dicerotazione ρ(C,θ) di centro C e angolo θ la trasformazione che associaal punto P(6= C) quell’unico punto P′ = ρ(C,θ)(P) tale che la misuradel segmento CP sia uguale alla misura del segmento CP′, e l’angoloP̂CP′ sia di ampiezza θ.Il trasformato di C è C stesso.


Nello spazio, fissata una retta orientata r ed un numero reale θ, con0 ≤ θ < 2π, si dice rotazione di asse r e ampiezza θ la trasformazioneρ(r,θ) che associa al punto P quell’unico punto P′ = ρ(r,θ)(P) tale che:

P′ appartiene al piano α passante per P e ortogonale a rP′ è il punto trasformato di P rispetto alla rotazione, nel piano α,di centro il punto C = α ∩ r e angolo θ (in senso antiorario seosservato dalla semiretta positiva dell’asse r).

OSSERVAZIONE - Se P ∈ r, allora ρ(r,θ)(P) = P.

OSSERVAZIONE - La rotazione è una congruenza diretta.

ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da(x′y′

)=(

cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

)( xy

),

è la rotazione di angolo θ intorno all’origine.


OMOTETIEFissato un punto C ed un numero reale λ 6= 0, l’omotetia di centro Ce rapporto λ è la trasformazione ω(C,λ) che associa al punto P(6= P0)il punto P′ = ω(C,λ)(P) che giace sulla retta per C e P e tale che sia−→CP′ = λ

−→CP. Se P = C, si pone P′ = P.

OSSERVAZIONE -1 Un’omotetia di rapporto λ è una similitudine di rapporto |λ|2 L’espressione in coordinate di una omotetia di centro l’origine è

x′ = λx.3 Quanto detto "funziona" sia nel piano che nello spazio.4 Nel piano le omotetie sono sempre dirette, nello spazio sono

dirette se e solo se λ > 0.

ESERCIZIO - Come si può descrivere in altro modo un’omotetia dirapporto −1?


Classificazione delle isometrie in E2 e in E3

PROBLEMA - Ci sono altre isometrie o similitudini (oltre a quelleprima descritte)?

Risposta: poche altre.

TEOREMA 1- Nel piano una qualunque isometria rientra in una delleseguenti quattro tipologie:

a rotazioneb riflessionec traslazioned glissoriflessione

dove la glissoriflessione γ(r,v) di asse r e vettore v è la trasformazioneche si ottiene componendo la riflessione di asse r con la traslazione divettore v, con v ‖ r.


TEOREMA 2- Nello spazio una qualunque isometria rientra in unadelle seguenti sei tipologie:

a rotazioneb riflessionec traslazioned glissoriflessione (composizione di una riflessione rispetto a un

piano α e di una traslazione rispetto a un vettore v, con v ‖ α)e rotoriflessione (composizione di una rotazione di asse r e di una

riflessione rispetto a un piano α ⊥ r)f vite (composizione di una rotazione di asse r e di una traslazione

rispetto a un vettore v, con v ‖ r).


TEOREMA 3 - (Sia nel piano che nello spazio) Una qualunquesimilitudine è la composizione di una isometria e di una omotetia.

Il teorema 3 si dimostra facilmente (ESERCIZIO - Suggerimento:componendo una similitudine di rapporto k con una omotetia dirapporto 1/k si ottiene una similitudine di rapporto 1, cioè . . . )

I teoremi 1 e 2 sono conseguenza del seguente risultato.

TEOREMA - Ogni isometria del piano (rispett. dello spazio) ècomposizione di al più 3 (rispett. 4) riflessioni.


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