GEOMETRIA 1 - Corso di Geometria 1 (prima parte)users.mat.unimi.it/users/dedo/G1_materiale/geo1_11_12.pdf · Le classi di equivalenza di vettori applicati vengono dette vettori, o

GEOMETRIA 1Corso di Geometria 1 (prima parte)

Maria Dedò e Cristina Turrini

2011/2012

Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 1 / 109

Vettori

index

1 Vettori

2 Retta, piano e spazio affini

3 Retta e piano proiettivi

4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari

5 Questioni metriche

6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo

7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea

8 Geometria proiettiva


Vettori

Richiami: vettori geometrici

Un vettore applicato v, (sulla retta, o nel piano, o nello spazio) è un segmentoorientato. Se il segmento orientato è di estremi A e B ed il verso è da A versoB, si scrive anche v =

−→AB, oppure v = B− A.

A viene detto punto di applicazione o punto di partenza, mentre B viene dettopunto di arrivo

-A B−→AB

La retta di applicazione di−→AB è la retta per A e B

Il verso di−→AB è uno dei due possibili orientamenti per la retta per A e B.


Vettori

Tra i vettori applicati vanno anche considerati i vettori nulli v =−→AA, di

estremi coincidenti.

Nell’insieme dei vettori applicati si può considerare la seguente relazione diequivalenza: i vettori

−→AB e

−→CD si dicono equipollenti se

1 sono entrambe nulli (ovvero A = B e C = D), oppure2 hanno la stessa retta di applicazione, la stessa lunghezza (rispetto ad

un’unità di misura prefissata) e lo stesso verso, oppure3 ABDC, (in quest’ordine!) è un parallelogrammo di cui AB e CD sono lati

opposti .

��

��7

pA

��

��7

pC

B D

OSSERVAZIONE - Se−→AB e

−→CD sono due vettori equipollenti come in figura,

ABCD, in quest’ordine, non è un parallelogrammo.Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 4 / 109

Vettori

ESERCIZIO: verificare che la relazione di equipollenza è una relazione diequivalenza.

Le classi di equivalenza di vettori applicati vengono dette vettori, o vettoriliberi. Si scrive anche v = [

−→AB], per denotare il vettore libero v rappresentato

dal vettore applicato−→AB.

Si può parlare di direzione e verso di un vettore libero. La direzione di unvettore libero è la classe di equivalenza per parallelismo individuata dalla rettadi applicazione di uno dei suoi rappresentanti.

Il vettore libero [−→AA] viene denotato con 0 e detto vettore nullo o vettore zero.

Non si parla di direzione e verso per il vettore nullo.

OSSERVAZIONE - Dati un vettore libero v ed un punto P (della retta, o delpiano, o dello spazio) esiste un unico (punto Q e quindi un unico) vettoreapplicato

−→PQ tale che v = [

−→PQ], (si dice che

−→PQ è ottenuto applicando v in P).


Vettori

Tra i vettori liberi considereremo le seguenti operazioni.

SOMMA DI VETTORI

La somma u + v del vettore u = [−→AB] e del vettore v = [

−→CD] è il vettore libero

u + v = [−→AQ], dove Q è il punto di arrivo del vettore che si ottiene applicando

v in B.

-��

��

pA

u ��

��7

pB

C�

��

�7v

DQ

regola del parallelogrammo

OSSERVAZIONE - La definizione di somma è ben posta (indipendente dairappresentanti).


Vettori

PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE

Il prodotto λv del numero reale λ (detto scalare) per il vettore v = [−→AB] è il

vettore libero λv = [−→AQ], dove,

se λ 6= 0, allora−→AQ è il vettore che ha la stessa direzione di v, verso uguale o

opposto a quello di v a seconda che λ sia positivo o negativo ed inoltre taleche il rapporto tra la misura del segmento

−→AQ e quella del segmento

−→AB

(rispetto ad una fissata unità di misura) sia | λ |;se λ = 0, allora

−→AQ è il vettore nullo (ovvero A = Q).

��7p

A�

��

�7

pA

B

Qλ = 2

��

��/

pA

Q

λ = −2


Vettori

OSSERVAZIONE - La definizione di prodotto di uno scalare per un vettore èben posta.

PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI

∀u, v, w (vettori liberi) e ∀λ, µ (numeri reali) si ha

1 (proprietà commutativa) u + v = v + u2 (proprietà associativa) u + (v + w) = (u + v) + w3 (esistenza dell’elemento neutro) v + 0 = v4 (esistenza dell’opposto di un qualsiasi dato vettore a) ∃b tale che

a + b = 05 λ(u + v) = λu + λv6 (λ + µ)v = λv + µv7 (λµ)v = λ(µv)8 1v = v.


Vettori

Dipendenza e indipendenza lineare

Dati h vettori v1, . . . , vh ed h scalari α1, . . . , αh, si dice combinazione linearedi v1, . . . , vh con coefficienti α1, . . . , αh, il vettore v così ottenuto:

v = α1v1 + α2v2 · · ·+ αhvh =h∑

i=1

αivi.

Consideriamo un insieme di vettori S = {v1, . . . , vn}.Se n > 1, si dice che S è linearmente dipendente (o equivalentemente si diceche i vettori v1, . . . , vn sono linearmente dipendenti) se almeno uno deivettori vi può essere scritto come combinazione lineare degli altri, ovvero se(a meno di ordinare i vettori) esistono scalari β1, . . . βn−1 tali che si abbiavn =

∑n−1i=1 βivi.

Linearmente indipendente significa "non linearmente dipendente".Se n = 1, si dice che S = {v1} è linearmente dipendente se v1 = 0,linearmente indipendente se v1 6= 0, cioè un vettore è linearmente dipendentese e solo se è il vettore nullo.


Vettori

ESERCIZIO: Dare un esempio di 3 vettori v1, v2, v3 linearmente dipendenti,ma tali che v3 non sia combinazione lineare di v1 e v2.

ESERCIZIO: Dati tre vettori indipendenti u = [−→OX], v = [

−→OY] e w = [

−→OZ], si

stabilisca qual è la posizione del punto P tale che u + v + w = [−→OP].

ESERCIZIO: Dimostrare che

due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se, una volta applicatinello stesso punto, risultano allineatitre vettori nel piano sono sempre linearmente dipendentitre vettori nello spazio sono linearmente dipendenti se e solo se, unavolta applicati nello stesso punto, risultano complanariquattro vettori (nel piano o nello spazio) sono sempre linearmentedipendenti.


Retta, piano e spazio affini

index

1 Vettori










Richiami: sistemi di riferimento nella retta e nel piano

Consideriamo una retta orientata r e un segmento U da assumersi come unitàdi misura. Sia poi dato su r un segmento orientato

−→AB.

U

-−→AB

A Br

Si dice misura con segno del segmento orientato−→AB il numero reale il cui

valore assoluto è la misura di−→AB rispetto a U e il cui segno è “+” se

−→AB è

orientato concordemente al verso di r, “−” se−→AB è discorde col verso di r.

Per convenzione, indichiamo con AB la misura con segno di−→AB.



Proprietà della misura con segno (identità segmentarie fondamentali):1 AB + BA = 0 ∀A, B ∈ r2 AB + BC + CA = 0 ∀A, B, C ∈ r

La prima identità segue dalla definizione. Per la seconda identità, assumiamoche A preceda C e C preceda B. Abbiamo |AB| = |AC|+ |CB|, che, a causadell’ordine assunto, vuol dire AB = AC + CB. Quindi AB− AC − CB = 0,ovvero AB + CA + BC = 0. Il ragionamento è analogo per gli altri possibiliordinamenti di A, B e C.

-

A C Br



Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una ternaR = {O, verso, U}, dove O ∈ r è un punto detto origine del riferimento), ilverso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento (unità di misura):

-qO qX U r

R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l’insieme R deinumeri reali:

r → RX 7→ x = OX

Il numero reale x viene detto ascissa di X. Per dire che il punto X ha ascissa xsi scrive anche X ≡ (x).Una retta r dotata di un sistema di riferimentoR = {O, verso, U} viene anchedetta retta affine e indicata con A1 = (r,R).



��

��

��

��

��

��

��

��3

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQkQQ �

��

O

rr′ U′ U

Un sistema di riferimentoR su un piano π è dato da:due rette incidenti che si intersecano in un punto O detto origine delpiano;un’orientazione su ciascuna delle due rette;un’unità di misura su ciascuna delle due rette.



(π,R riferimento) = A2 piano affine

-

��

��

��

��

��

O�

��

P

X asse x

Y

asse y

Fissato un qualunque punto P, si manda per P la retta parallela all’asse x chetaglia l’asse y in Y e retta parallela all’asse y che taglia l’asse x in X.È possibile così instaurare una corrispondenza biunivoca:

A2 → R2 = R× R P 7→ (x, y)

x = OX (ascissa di P), y = OY (ordinata di P)Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 16 / 109


Lo spazio affine A3

Un sistema di riferimentoR nello spazio è costituito da3 rette, non complanari, passanti tutte e tre per un punto O che verràdetto origine del riferimento;un’orientazione su ciascuna retta;un’unità di misura su ciascuna retta.

-��

�

�

O

I II

III



(Spazio,R) = A3 spazio affine

Un sistema di riferimentoR permette di istituire una corrispondenzabiunivoca:

A3 → R3,

nel seguente modo.

Dato un punto P, si considerino: il piano per P parallelo al piano(x, y), cheinterseca l’asse z in Z; il piano per P parallelo al piano(x, z), che intersecal’asse y in Y; il piano per P parallelo al piano(y, z), che interseca l’asse x in X.



-��

�

O

Xq

asse x

Pq

La corrispondenza sopra citata associa a P la terna di numeri reali (x, y, z),dove

x = OX (ascissa di P) y = OY (ordinata di P) z = OZ (quota di P)

(x, y, z) vengono dette coordinate di P e si scrive P ≡ (x, y, z).



Componenti di un vettore in A3

Consideriamo lo spazio affine A3, in cui si è fissato un sistema di riferimentoR ed un vettore v = [

−→AB] = [

−→OP]. Con le notazioni introdotte in precedenza si

ha:−→OP =

−→OX +

−→OY +

−→OZ.

Le coordinate (x, y, z) = (OX, OY, OZ) di P vengono anche dette componentidel vettore v nel sistema di riferimentoR.

Posto A ≡ (xA, yA, yA) e B ≡ (xB, yB, zB), si ha(x, y, z) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA).

Pertanto le componenti del vettore v = [−→AB] nel riferimentoR sono

(xB − xA, yB − yA, zB − zA).

OSSERVAZIONE - Due vettori non nulli u = [−→AB] e v = [

−→CD] sono

linearmente dipendenti (ovvero−→AB e

−→CD sono paralleli) se e solo se hanno

componenti proporzionali , ovvero se e solo se esiste un numero reale λ taleche sia (xB− xA, yB− yA, zB− zA) = λ(xD− xC, yD− yC, zD− zC) (dimostrarloper ESERCIZIO: un ingrediente fondamentale è il teorema di Talete).


Retta e piano proiettivi

index

1 Vettori










La retta proiettiva

Consideriamo il piano R2, con coordinate (x0, x1), e poniamo

X = R2 \ {0, 0}.Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza:

Si dice che(x0, x1), (y0, y1) ∈ X sonoequivalenti, e si scrive(x0, x1) ∼ (y0, y1) , se∃λ ∈ (R \ {0}) tale che sia(y0, y1) = λ(x0, x1), ovveroy0 = λx0 e y1 = λx1.

Quindi, ad esempio, (1, 3) ∼ (1/5, 3/5) e (2, 3) ∼ (−2√

2,−3√

2).

Esercizio: verificare che ∼ è una relazione di equivalenza.



L’insieme quoziente

Se x0 6= 0, (x0, x1) ∼ (y0, y1) vuol dire x1/x0 = y1/y0.Se x0 = 0, (0, x1) ∼ (0, y1) ∀x1, y1 6= 0.Dunque la relazione ∼ identifica tra loro tutti i punti (diversi dall’origine) cheappartengono ad una stessa retta per l’origine.

Sia (x0, x1) ∈ X; si denota con [(x0, x1)], o anche con (x0 : x1), la classe diequivalenza di (x0, x1), pertanto

[(x0, x1)] = (x0 : x1) = {(y0, y1) ∈ X | (y0, y1) ∼ (x0, x1)}

è una retta per l’origine (privata dell’origine) e l’insieme quoziente, ovverol’insieme delle classi di equivalenza, X/∼ = {(x0 : x1)} rappresenta l’insiemedi tutte e sole le rette per l’origine, ovvero il fascio di rette per l’origine(ciascuna privata dell’origine).



Le coordinate omogenee sulla retta

X/∼ viene detto retta proiettiva e indicato con P1.Sia l una retta per l’origine e sia(x0 : x1) = l \(0, 0).Se (a0, a1) ∈ l \(0, 0), (a0, a1) vienedetta una coppia di coordinate omogeneedi l.Le coordinate omogenee non sono maicontemporaneamente nulle e sonodefinite a meno di un fattore diproporzionalità λ ∈ (R \ {0}) .

(a0 : a1) viene detto punto di P1.

P1 ←→ fascio di rette per (0, 0) nel piano



La retta proiettiva come ampliamento della retta affine

Fissiamo la retta r di equazionex0 = 1.∀ l 3 (0, 0) (diversa dall’assex1), l taglia la retta r nel punto dicoordinate (1, a1/a0), dove(a0, a1) è un punto di l \(0, 0).

Si è così definita una corrispondenza biunivocafascio \ { asse x1 } −→ r

l 7−→ (1, a1/a0)ovvero, ricordando che l’asse x1 ha coordinate omogenee (0, 1),

P1 \ {(0, 1)} −→ A1

(a0 : a1) 7−→ a1/a0(1 : a)←− a

(a0, a1) coordinate omogenee, a coordinata affine



P1 come quoziente e come ampliamento

Quando la retta l del fascio "tende" all’asse x1, il punto (a0 : a1) "tende" a(0 : 1) e il rapporto a1/a0 −→∞. Possiamo allora, in qualche senso,interpretare P1 come A1 ∪ {∞}.Quindi, da una parte P1 è un quoziente del piano bucato (R2 \ {(0, 0)})/ ∼ edall’altra è un ampliamento della retta affine, ovvero A1 ∪ {∞}.Più esplicitamente osserviamo che la corrispondenza biunivoca

P1 \ {(0, 1)} −→ A1

(a0 : a1) 7−→ a1/a0

si estende a una corrispondenza biunivocaP1 −→ A1 ∪ {∞}

(a0 : a1) −→

a1/a0 se a0 6= 0

∞ se a0 = 0

che si inverte così a 7−→ (1 : a), se a 6=∞, e∞ 7−→ (0 : 1).



Modello intuitivo di P1

Un modello di P1, che per ora resta a livello intuitivo e verrà reso rigoroso conl’introduzione della topologia, è la circonferenza.

Consideriamo la circonferenza γ e la retta r in figura. Per proiezione da N siinstaura una corrispondenza biunivoca γ \ {N} −→ r = A1

P 7−→< NP > ∩r, ove < NP > denota la retta per N e P.

che si può estendere a una corrispondenza biunivoca γ −→ P1 ponendoN ←→∞. Punti che si "avvicinano" a N si proiettano su punti che "vannoall’infinito"



Alcune "asimmetrie" del piano affine

Nel piano affine A2, si hanno le seguenti proprietà di incidenza.

1 ∀ P, Q ∈ A2, con P e Q punti distinti tra loro, ∃! retta l ⊂ A2 taleche P, Q ∈ l2 ∀ l, l′ ⊂ A2, con l ed l′ rette distinte tra loro, e non parallele tra loro,∃! punto P ∈ A2 tale che P ∈ l ∩ l′.

Nel piano affine A2 si hanno due diversi tipi di fasci di rette.

I fasci propri, le cui rette sono parametrizzate da R ∪ {∞}.Ad esempio, le rette del fascio per P0 ≡ (1, 3) non parallele all’asse y,hanno equazioni della forma y− 3 = m(x− 1), con m ∈ R.La retta del fascio parallela all’asse y ha equazione x = 1 e si ottiene perm→∞.

I fasci impropri, le cui rette sono parametrizzate da R.Ad esempio, le rette parallele alla retta di equazione y = 5x sono tutte esole quelle di equazione y = 5x + q, con q ∈ R.



Il piano esteso

Per eliminare queste "asimmetrie" si introducono nuovi "punti"rappresentativi delle direzioni delle rette del piano. Questi nuovi puntiverranno detti punti impropri o punti all’infinito (e gli usuali punti del pianoA2 si diranno allora punti propri o al finito).

Si dice allora piano esteso o piano ampliato l’insiemeA2 = A2 ∪ { direzioni delle rette di A2 }.

Se l è una retta di A2, si denota con P∞(l) o con dir(l) la direzione di l,ovvero il punto improprio di l.

l ed l′ sono parallele (l ‖ l′) se e solo se P∞(l) = P∞(l′).

Indichiamo con P, Q, . . . i punti di A2.P può essere un punto proprio (P = P ∈ A2), oppure una direzione(P = P∞(l)).



I nuovi assiomi

Nel piano ampliato A2 si chiamano ancora rette i sottoinsiemi l = l ∪ P∞(l)ove l è una retta di A2.

Vediamo se con queste nuove nozioni di punto e di retta si è ristabilita lasimmetria tra gli assiomi 1 e 2, ovvero vediamo se valgono gli assiomiseguenti.

1′ ∀ P, Q ∈ A2, con P 6= Q, ∃! retta l tale che P, Q ∈ l

2′ ∀ l, l′ ⊂ A2, con l 6= l′, ∃! punto P tale che P ∈ l ∩ l′.

Per verificare la 1′ dobbiamo distinguere tre casi.

P, Q propriP proprio e Q improprio (o viceversa)P, Q impropri



La retta impropria

Nel caso P = P, Q = Q entrambe propri, l’unica retta per P e Q è la rettal, con l 3 P, Q.

Nel caso P = P proprio e Q = P∞(r) improprio, l’unica retta per P e Qè la retta l, con l passante per P e parallela a r.Nel caso P = P∞(r), Q = P∞(s) entrambe impropri non vi è nessunaretta l per P e Q (una tale l sarebbe infatti una retta con due direzioni).Per soddisfare la proprietà occorre che esista un’altra retta in A2. Questanuova retta r̃ non dovrà contenere alcun punto proprio (altrimenti perquel punto passerebbe una retta con due direzioni diverse), inoltre r̃dovrà contenere tutti i punti impropri (consideriamo infatti un puntoimproprio P∞(s), se si vuole che anche la proprietà 2′ sia soddisfatta,s ∩ r̃ deve essere un punto che non può essere proprio, e pertanto èl’unico punto improprio di s, ovvero P∞(s).

In conclusione è necessario definire retta anche l’insieme r̃ = r∞ di tuttie soli i punti impropri. Tale retta viene detta retta impropria.



Rette e punti nel piano esteso

Con l’introduzione della retta impropria tra le rette del piano esteso, sial’assioma 1′ che l’assioma 2′ sono soddisfatti.

Anche i fasci di rette nel piano esteso si comportano in modo "simmetrico".Infatti anche i fasci impropri (che contengono in più la retta impropria) sipossono caratterizzare come insieme di tutte e sole le rette che passano per unpunto (che in questo caso sarà un punto improprio).

Riassumendo, in A2:

punti =

propri

impropri

rette =

rette del piano affine completate con il punto improprio

retta impropria = insieme dei punti impropri



La relazione di equivalenza

SiaX = R3 \ {0, 0, 0}.

Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza:

Si dice che(x0, x1, x2), (y0, y1, y2) ∈ Xsono equivalenti (e si scrive(x0, x1, x2) ∼ (y0, y1, y2)), se∃ λ ∈ (R \ {0}) tale che sia(y0, y1, y2) = λ(x0, x1, y2),ovveroy0 = λx0 , y1 = λx1 ey2 = λx2.

Punti equivalenti sonoallineati con l’origine.



L’insieme quoziente

Sia (x0, x1, x2) ∈ X; si denota con (x0 : x1 : x2), la classe di equivalenza di(x0, x1, x2), pertanto (x0 : x1 : x2) rappresenta una retta per l’origine, privatadell’origine.

L’insieme quoziente, ovvero l’insieme delle classi di equivalenza,X/∼ = {(x0 : x1 : x2)} rappresenta l’insieme di tutte e sole le rette perl’origine, ovvero la stella di rette per l’origine (ciascuna privata dell’origine).

X/∼ viene detto piano proiettivo e indicato con P2.

Le classi (x0 : x1 : x2) vengono dette punti di P2.

(x0, x1, x2) vengono dette coordinate omogenee del punto P = (x0 : x1 : x2).

Le coordinate omogenee non sono mai tutte e tre nulle e sono definite a menodi un fattore di proporzionalità.



La carta affine U0

Consideriamo ora il sottoinsieme U0 = {(x0 : x1 : x2) ∈ P2 : x0 6= 0} ⊆ P2.U0 è ben definito poiché se (x0, x1, x2) ∼ (x′0, x′1, x′2), è x0 6= 0⇔ x′0 6= 0.U0 viene detto carta affine di P2.U0 è in corrispondenza biunivoca con A2:

U0 → A2, (x0 : x1 : x2) 7→ (x1

x0,

x2

x0).

L’applicazione è ben definita, poiché, se (x0, x1, x2) ∼ (x′0, x′1, x′2) e x0 6= 0, èx′

1x′

0= x1

x0e x′

2x′

0= x2

x0.

La corrispondenza si inverte così

U0 ← A2, (1 : x : y) � (x, y).



Coordinate omogenee nel piano

Identifichiamo ora A2 con U0, otterremo un’identificazione del piano estesoA2 con P2.

Dato un punto P ∈ U0 = A2 di coordinate omogenee (x0, x1, x2), i numerix = x1

x0, y = x2

x0vengono detti coordinate affini del punto P.

Un punto P = (x0 : x1 : x2) ∈ P2 verrà detto proprio se x0 6= 0 (ovvero seP ∈ A2), improprio se x0 = 0.

Alcuni testi adottano altre scelte per i "nomi" delle coordinate omogenee eaffini. Ad esempio:(x, y, u) come coordinate omogenee e X = x

u , Y = yu , come coordinate affini,

oppure(x1, x2, x3) come coordinate omogenee e x = x1

x3, y = x2

x3, come coordinate

affini.


Rappresentazione degli enti geometrici lineari

index

1 Vettori










Rappresentazione parametrica di una retta in A3

Nello spazio affine A3, dotato del sistema di riferimentoR, consideriamo unvettore non nullo v, un punto P0, e la retta r passante per P0 e parallela a v.

Poniamo P ≡ (x, y, z) e P0 ≡ (x0, y0, z0). Il vettore−−→P0P ha componenti

(x− x0, y− y0, z− z0).Indichiamo con (a, b, c) le componenti del vettore v ((a, b, c) 6= (0, 0, 0)).

-��

�

OR�

��v

��

��

��

qqP

P0r



Un punto P ∈ A3 appartiene alla retta r se e solo se il vettore−−→P0P è parallelo a

v, ovvero se e solo se esiste λ ∈ R tale che(x− x0, y− y0, z− z0) = λ(a, b, c), ovvero se e solo se esiste λ ∈ R tale che

(∗) x = x0 + λa, y = y0 + λb, z = z0 + λc.

In forma vettoriale le (∗) si scrivono anche così:

P = P0 + λv.

P = P0 + λv, viene detta rappresentazione parametrica della retta r. In talerappresentazione i punti P di r sono in corrispondenza biunivoca con i valoriλ del parametro reale.



Abbiamo visto che ogni retta dello spazio ammette una rappresentazioneparametrica della forma (∗).Viceversa, dati x0, y0, z0, a, b, c ∈ R, con (a, b, c) 6= (0, 0, 0), l’insieme deipunti dello spazio le cui coordinate si esprimono nella forma (∗), al variare diλ ∈ R è una retta (la retta per P0 ≡ (x0, y0, z0) parallela a v = (a, b, c)). Nesegue che

OSSERVAZIONE: Tutte e sole le rette dello spazio ammettono unarappresentazione parametrica della forma (∗).

PROBLEMA: Può accadere che due diverse rappresentazioni della forma (∗)rappresentino la stessa retta?



Rappresentazione parametrica di un piano in A3

Nello spazio affine A3, dotato del sistema di riferimentoR, consideriamo duevettori linearmente indipendenti u e v, un punto P0, e il piano π passante perP0 e parallelo a u e v (u e v vengono detti vettori di giacitura di π).Poniamo P0 ≡ (x0, y0, z0).Indichiamo con (a, b, c) e con (m, n, p) le componenti dei vettori u e v(rispettivamente).Un punto P ≡ (x, y, z) ∈ A3 appartiene al piano π se e solo se il vettore

−−→P0P è

combinazione lineare dei vettori u e v, ovvero se e solo se esistono λ, µ ∈ Rtali che (x− x0, y− y0, z− z0) = λ(a, b, c) + µ(m, n, p) ovvero se e solo seesistono λ, µ ∈ R tali che

(∗∗) x = x0 + λa + µm, y = y0 + λb + µn, z = z0 + λc + µp.

In forma vettoriale le (∗∗) si scrivono anche così:

P = P0 + λu + µv.



P = P0 + λu + µv, viene detta rappresentazione parametrica del piano π. Intale rappresentazione i punti P di π sono in corrispondenza biunivoca con lecoppie ordinate di numeri reali (parametri) (λ, µ).

OSSERVAZIONE: Tutti i piani dello spazio ammettono una rappresentazioneparametrica della forma (∗∗) e tutti i sottoinsiemi dello spazio che ammettonouna rappresentazione parametrica della forma (∗∗) sono piani (dimostrazioneper ESERCIZIO).

PROBLEMA: Quando due diverse rappresentazioni della forma (∗∗)rappresentano lo stesso piano?



Rappresentazione cartesiana di un piano in A3

Partiamo da un esempio. Consideriamo il piano π di rappresentazioneparametrica

(∗∗) x = 2− λ + 3µ, y = −5 + 2λ + µ, z = λ− 4µ.

Dalla prima relazione si può ricavare λ = 2 + 3µ− x e sostituirla nelle altredue:

y = −5 + 2(2 + 3µ− x) + µ, z = (2 + 3µ− x)− 4µ,

ovvero

y = 7µ− 2x− 1, z = −µ− x + 2.

Dalla seconda si può ricavare µ e sostituirla nella prima ottenendo

y = 7(−z− x + 2)− 2x− 1,

equazione di primo grado in x, y e z in cui si sono "eliminate" λ e µ.



Questa "eliminazione dei parametri" si può fare in generale, passando così dauna rappresentazione parametrica ad una cartesiana. Infatti, consideriamo unpiano π di rappresentazione parametrica

(∗∗) x = x0 + λa + µm, y = y0 + λb + µn, z = z0 + λc + µp.

Sappiamo che (a, b, c) 6= (0, 0, 0) (perché?)Supponiamo ad esempio che sia a 6= 0.Dalla prima delle relazioni in (∗∗) possiamo allora ricavareλ = (x− x0 − µm)/a e sostituirlo nelle altre:

(∗ ∗ ∗)y = y0 +(x− x0 − µm)b

a+ µn, z = z0 +

(x− x0 − µm)ca

+ µp;

ovvero



(∗∗∗)y = y0 +(x− x0)ba

+µna− mb

a, z = z0 +(x− x0)

ca

+µpa− mc

a; .

Non può essere contemporaneamente na− mb = 0 e pa− mc = 0 (perché?)pertanto da una delle relazioni in (∗ ∗ ∗) possiamo ricavare µ e sostituirlonell’altra ottenendo una relazione in cui le variabili x, y e z compaiono (al più)al primo grado, ovvero una relazione del tipo:

(?)Ax + By + Cz + D = 0

che viene detta equazione cartesiana del piano π passante per P0 ed aventecome vettori di giacitura i vettori u e v. Si dice anche che l’equazione (?) èottenuta da (∗∗) eliminando i parametri.Tutti e soli i punti del piano π passante per P0 ed avente come vettori digiacitura i vettori u e v hanno coordinate che verificano la (?).



OSSERVAZIONE - Almeno una delle variabili ha coefficiente non nullo in(?), (cioè si ha (A, B, C) 6= (0, 0, 0)) pertanto (?) è effettivamenteun’equazione di primo grado (in tre variabili).

OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che ogni piano dello spazio ammetteun’equazione del tipo (?), per opportuni A, B, C, D ∈ R con(A, B, C) 6= (0, 0, 0). Viceversa il luogo dei punti dello spazio le cuicoordinate verificano un’equazione del tipo (?) è un piano, comunque siscelgano A, B, C, D ∈ R con (A, B, C) 6= (0, 0, 0).Infatti, se ad esempio è A 6= 0, (?) rappresenta il piano passante per il puntoP0 ≡ (−D/A, 0, 0) e con giacitura data da u ≡ (−B/A, 1, 0) ev ≡ (−C/A, 0, 1) (ovviamente lo stesso piano potrebbe essere individuato daun altro suo punto e da altri due vettori a lui paralleli).

OSSERVAZIONE - Ax + By + Cz + D = 0 e A′x + B′y + C′z + D′ = 0definiscono lo stesso piano se e solo se (A, B, C, D) = ρ(A′, B′, C′, D′) perqualche ρ 6= 0.

PROBLEMA: Che cosa si può dire di un piano di equazione (?), se è D = 0?E se invece è A = 0? E se invece è A = B = 0?



Rappresentazione cartesiana di una retta in A3

Consideriamo ora una retta r di rappresentazione parametrica

(∗) x = x0 + λa, y = y0 + λb, z = z0 + λc,

con (a, b, c) 6= (0, 0, 0).Se, ad esempio, è a 6= 0, si può ricavare λ = x−x0

a dalla prima equazione esostituirlo nelle altre due, ottenendo così le due equazioni cartesiane

(◦) y = y0 + (x− x0

a)b, z = z0 + (

x− x0

a)c,

che vengono dette equazioni cartesiane della retta r e che rappresentano due(tra gli infiniti) piani passanti per r (fascio di piani di sostegno r).



Le equazioni delle rette in P2

Torniamo ora al piano proiettivo e vediamo se anche in questo caso le rettesono individuate da equazioni di primo grado.Osserviamo preliminarmente che in P2, con coordinate omogenee(x0 : x1 : x2), un’equazione del tipo x1 − 2 = 0 non avrebbe alcun sensoperché (1 : 2 : 1) ∼ (2 : 4 : 2), eppure 2− 2 = 0 ma 4− 2 6= 0.Invece un’equazione lineare omogenea, ovvero della formaa0x0 + a1x1 + a2x2 = 0 definisce un luogo in P2 perché è verificata da(x0, x1, x2) se e solo se è verificata da (λx0, λx1, λx2).Sia ora l ⊂ A2 una retta di equazionea0 + a1x + a2y = 0 con (a1, a2) 6= (0, 0).In coordinate omogenee si ottiene a0 + a1

x1x0

+ a2x2x0

= 0,ovvero a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0.

L’equazione a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0, verrà detta rappresentazione cartesianadella retta in P2.In generale, per rappresentare luoghi nel piano proiettivo in coordinateomogenee, si devono utilizzare equazioni omogenee.



Punti propri e impropri delle rette

Quali sono i punti P ∈ P2 che appartengono alla retta di equazione cartesianaa0x0 + a1x1 + a2x2 = 0?Sia P = (x0 : x1 : x2)

Se P ∈ A2, ovvero x0 6= 0, allora, posto x = x1x0

, y = x2x0

si haa0x0 + a1x1 + a2x2 = 0 ⇔ a0 + a1

x1x0

+ a2x2x0

= 0 ⇔a0 + a1x + a2y = 0. PertantoP ∈ “nuova” retta⇔ P ∈ “vecchia” retta l ⊂ A2 di equazionea0 + a1x + a2y = 0.

Se P /∈ A2, ovvero x0 = 0, allora a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0 divienea1x1 + a2x2 = 0, che è soddisfatta dall’unico punto P = (0 : a2 : −a1).Scriveremo P = P∞(l), oppure P = dir(l) e vedremo che effettivamenteP∞(l) rappresenta la direzione di l.



L’equazione della retta impropria

Si noti che, se l e l′ sono due rette parallele in A2, si ha l : a0 + a1x + a2y = 0ed l′ : b0 + ka1x + ka2y = 0 e pertantoP∞(l′) = (0 : ka2 : −ka1) = (0 : a2 : −a1) = P∞(l).I punti di P2 \ A2, ovvero i punti di coordinate (0 : x1 : x2), individuano ledirezioni delle rette di A2.

L’equazione a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0 (con (a0, a1, a2) 6= (0, 0, 0)) viene dettaequazione generale della retta e

se (a1, a2) 6= (0, 0), rappresenta una retta di A2 con l’aggiunta di unpunto (il suo punto improprio);se (a1, a2) = (0, 0), diventa x0 = 0 e rappresenta la retta impropria r∞.



Equazione della retta per due punti in P2

Si può dimostrare che in coordinate omogenee l’equazione cartesiana dellaretta passante per A ≡ (a0 : a1 : a2) e B ≡ (b0 : b1 : b2) diviene∣∣∣∣∣x0 x1 x2

a0 a1 a2b0 b1 b2

∣∣∣∣∣ = 0,

mentre una rappresentazione parametrica per tale retta è della forma{x0 = λa0 + µb0x1 = λa1 + µb1x2 = λa2 + µb2

(λ, µ) 6= (0, 0).


Questioni metriche

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Questioni metriche

Lo spazio euclideo E3

Consideriamo lo spazio affine A3, con sistema di riferimentoR.

Se le 3 rette del riferimento sono a due a due ortogonali, il sistema viene dettoortogonale; se le 3 unità di misura coincidono il sistema viene dettomonometrico; un sistema ortogonale e monometrico viene detto ortonormale.

(Spazio,R) = A3 spazio affine

(Spazio,R ortonormale) = E3 spazio euclideo

Convenzione per stabilire qual è il primo asse (e il secondo, e il terzo):

(1) si fissa arbitrariamente una delle tre rette come terzo asse ,(2) si immagina una persona posta in piedi lungo il terzo asse (asse z) con latesta verso la freccia che osserva il piano degli altri due assi


Questioni metriche

(3) il primo asse (asse x) è quello che viene mandato nel secondo asse (asse y)tramite una rotazione di π/2 in verso antiorario.

-

6

��

��

O

��

��

�� P

X

Z

Y

Nello spazio euclideo, comevedremo, si possono trattarequestioni di natura metrica, qualile distanza tra punti , o le misuredegli angoli, concetti che invecenon avrebbero senso in ambitoaffine.

OSSERVAZIONE - Nel piano E2, la condizione (3) permette di individuarequale tra i due assi di un sistema di riferimento sia da considersi come primoasse e quale cone secondo.


Questioni metriche

Distanza tra due punti, angolo tra due rette in E3

SeR è ortonormale, possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare ladistanza dall’origine O di un punto P:

-

6

��

��

O

P

X P′

OP2 = PP′2 +OP′2 = PP′2 +XP′2 +OX2 = OX2 +OY2 +OZ2 = x2 +y2 +z2

E analogamente si può dedurre la distanza tra due punti A = (xA, yA, zA) eB = (xB, yB, zB):

AB2 = (xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2


Questioni metriche

Nel caso dello spazio euclideo si può anche parlare di modulo di un vettoreapplicato

−→AB (ed anche di un vettore libero) inteso come misura (assoluta) del

segmento AB.

Il modulo di−→AB viene denotato con |−→AB|, analogamente il modulo di u viene

denotato con |u|.Un vettore di modulo 1 verrà detto versore.

Date due rette orientate r e s nello spazio euclideo, si può parlare di angolo trar e s (anche se queste non sono complanari), nel seguente modo: si fissa unpunto Q ∈ E3, si considerano r′ ‖ r per Q, e s′ ‖ s per Q. Le rette r′ e s′ sonocomplanari. Si può allora considerare l’angolo ϑ formato da r′ e s′(0 ≤ ϑ ≤ π), che viene detto angolo tra le rette orientate r e s, e che èindipendente dalla scelta di Q (ESERCIZIO: verificare questo fatto).Non ha invece senso parlare di misura con segno di angoli tra rette nellospazio, ovvero non ha senso parlare nello spazio di verso orario o antiorariodelle rotazioni.


Questioni metriche

Date due rette orientate r e s nello spazio e due punti A e B su r, consideriamole proiezioni ortogonali A′ e B′ di A e B (rispettivamente) su s:

(piano per A ⊥ s) ∩ s = A′

(piano per B ⊥ s) ∩ s = B′.

Ha senso parlare delle misure con segno AB e A′B′ dei segmenti orientati−→AB e−−→

A′B′ su r ed s rispettivamente e inoltre (per la definizione di angolo datasopra) risulta:

A′B′ = AB · cos ϑ,

dove ϑ denota l’angolo tra r e s.


Questioni metriche

Misura degli angoli in E3

Consideriamo i tre versori i ≡ [(1, 0, 0)], j ≡ [(0, 1, 0)] e k ≡ [(0, 0, 1)] di E3

applicati in O e diretti come gli assi. Ogni vettore v ≡ [(a, b, c)] si puòscrivere come combinazione lineare di questi tre: v = ai + bj + ck.

Introduciamo un’operazione, prodotto scalare, che associa a una coppiaordinata di vettori (u, v) un numero reale < u, v > definito nel seguentemodo:

< u, v >= 0, se almeno uno tra u e v è il vettore nullo,< u, v >= |u||v|cos(α) (dove α denota l’angolo tra i vettori u e v),altrimenti

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALAREComunque scelti tre vettori u, v e w, e comunque scelto lo scalare h ∈ R, siha:< u, v >=< v, u >< u + w, v >=< u, v > + < w, v >< hu, v >= h < u, v >


Questioni metriche

Consideriamo due vettori non nulliu = ai + bj + ck e v = a′i + b′j + c′k.Il coseno dell’angolo α formato tra i vettori u e v può essere determinato così:

cos(α) = <u,v>|u||v| = <ai+bj+ck,a′i+b′j+c′k>

(a2+b2+c2)1/2(a′2+b′2+c′2)1/2 = aa′+bb′+cc′

(a2+b2+c2)1/2(a′2+b′2+c′2)1/2

L’ultima uguaglianza segue dalle proprietà del prodotto scalare e dal fatto che:

< i, i >=< j, j >=< k, k >= 1, < i, j >=< j, k >=< k, i >= 0.

In particolare u = ai + bj + ck e v = a′i + b′j + c′k sono ortogonali se e solose aa′ + bb′ + cc′ = 0.Si noti che, con questa osservazione, stiamo implicitamente dicendo che ilvettore nullo è da considerarsi ortogonale a tutti i vettori dello spazio.


Questioni metriche

Parametri direttori di un piano in E3

Dati in E3 un punto P0 ≡ (x0, y0, z0) ed un vettore non nullo w = (A, B, C), ilpiano π passante per P0 e ortogonale a w è l’insieme dei punti P ≡ (x, y, z)dello spazio tali che

−−→P0P sia perpendicolare a w.

��

�

��

� 6wq P06

Per quanto visto in precedenza la condizione w⊥−−→P0P si traduce in

(]) A(x− x0) + B(y− y0) + C(z− z0) = 0.

L’espressione (]) è l’equazione cartesiana del piano π; pertanto, nello spazioeuclideo, i coefficienti A, B, C dell’equazione cartesiana di un piano sono lecomponenti di un vettore ortogonale al piano .


Questioni metriche

Coseni direttori di una retta orientata in E3

Consideriamo ora in E3 una retta r rappresentata in forma parametrica dallerelazioni

(∗) x = x0 + λa, y = y0 + λb, z = z0 + λc.

Scegliamo su r una (delle due possibili) orientazioni e consideriamo gli angoliα, β e γ che tale retta orientata forma rispettivamente con gli assi (orientati)x, y e z.Con le consuete notazioni, il vettore

−−→X0X è la proiezione ortogonale sull’asse

x del vettore−−→P0P quindi, indicata con t = P0P la misura con segno di

−−→P0P, si

ha x− x0 = tcos(α) e analogamente y− y0 = tcos(β) e z− z0 = tcos(γ).Pertanto

x = x0 + tcos(α), y = y0 + tcos(β), z = z0 + tcos(γ)

è una rappresentazione parametrica della retta (orientata) r. I tre numeri realicos(α), cos(β), cos(γ) vengono detti coseni direttori della retta orientata r.


Questioni metriche

Poiché t = P0P, si ha:

t2 = (x− x0)2 + (y− y0)2 + (z− z0)2 = t2(cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ))

da cui si ricava:cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1

Se(∗) x = x′0 + λa, y = y′0 + λb, z = z′0 + λc,

con (a, b, c) 6= (0, 0, 0), è un’altra rappresentazione parametrica della retta r,allora i vettori di componenti (a, b, c) e (cos(α), cos(β), cos(γ)) individuanola stessa retta e pertanto sono proporzionali. Ovvero:

OSSERVAZIONE: I parametri direttori di una retta sono proporzionali aicoseni direttori della medesima (come retta orientata).PROBLEMA: Come cambiano i coseni direttori se si inverte l’orientazionedella retta?RICHIAMO: Una retta nel piano può essere rappresentata in formaparametrica (in modo analogo a quanto avviene nello spazio) o in formacartesiana (con una sola equazione).


Questioni metriche

Distanza tra un punto e un piano in E3

Partiamo da un esempio.Siano P0 ≡ (1, 1, 1) e π il piano di E3 di equazione cartesianax− 2y + z− 3 = 0. Vogliamo calcolare la distanza δ tra P0 e π. Si haδ = |P0H|, dove H è il piede della perpendicolare condotta da P0 a π. La rettan passante per P0 e ortogonale a π è parallela al vettore v ≡ (1,−2, 1), equindi può essere rappresentata in forma parametrica da

x = 1 + λ, y = 1− 2λ, z = 1 + λ.

��

�

��

�q6qP0

n

H

Il punto H = n ∩ π corrispondeal valore del parametro tH percui x− 2y + z− 3 =(1+t)−2(1−2t)+(1+t)−3 = 0,cioè t = 1/2. QuindiH ≡ (3/2, 0, 3/2) eδ = (1/4 + 1 + 1/4)1/2 =

√6

2 .

In modo analogo si procede in generale per determinare la distanza tra unpunto e un piano generici.


Questioni metriche

Siano infatti P0 ≡ (x0, y0, z0) un punto e π il piano di E3 di equazionecartesiana ax + by + cz + d = 0. Per calcolare la distanza δ = |P0H| tra P0 eπ, si considera la retta orientata n passante per P0 e ortogonale a π (in cui si èfissata una orientazione a piacere). I coseni direttori (cos(α), cos(β), cos(γ))di n sono proporzionali a (a, b, c), ovvero si ha

(cos(α), cos(β), cos(γ)) = ± 1(a2 + b2 + c2)1/2 (a, b, c)

(si ricordi che (cos(α), cos(β), cos(γ)) è un versore).

��

�

��

�q6qP0

n

H


Questioni metriche

L’equazione cartesiana di π si può allora anche scrivere nella forma:

(◦) cos(α)x + cos(β)y + cos(γ)z + d0 = 0,

dove d0 = ± d(a2+b2+c2)1/2 . Una rappresentazione parametrica per n è della

forma

(.) x = x0 + tcos(α), y = y0 + tcos(β), z = z0 + tcos(γ),

con t = P0P. Il punto H = n ∩ π corrisponde al valore del parametro tH che siottiene sostituendo le (.) nella (◦). Si ha cioècos(α)(x0 + tHcos(α)) + cos(β)(y0 + tHcos(β))++cos(γ)(z0 + tHcos(γ)) + d0 = 0, ovvero

x0cos(α) + y0cos(β) + z0cos(γ) + d0 + tH = 0.

Ne segue che è δ = |tH| = |x0cos(α) + y0cos(β) + z0cos(γ) + d0|, oequivalentemente

δ =|ax0 + by0 + cz0 + d|

(a2 + b2 + c2)1/2 .


Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo

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1 Vettori










Cambiamento del sistema di riferimento in E3

Consideriamo in E3 due sistemi di riferimento ortonormaliR eR′, ed unpunto P ≡ (x, y, z) inR. Lo stesso punto avrà coordinate P ≡ (x′, y′, z′) inR′.Vogliamo trovare la relazione tra (x, y, z) e (x′, y′, z′).• I casoR eR′ differiscono solo per l’origine: stessa direzione e stesso versodegli assi, U = U ′.

Siano (a, b, c) le coordinate dell’origine O′ (del sistema di riferimentoR′)rispetto al sistema di riferimentoRO′ = (a, b, c) inRP ≡ (x, y, z), x = OX, y = OY, z = OZP ≡ (x′, y′, z′), x′ = O′X′, y′ = O′Y ′, z′ = O′Z′Indichiamo con Q il punto dell’asse x proiezione di O′ parallelamente al pianodegli assi y e z. Si ha OQ = a. Per le identità segmentarie fondamentali si haallora x = OX = OQ + QX = a + x′ (si ha infatti QX = O′X′, perché si trattadi segmenti tagliati dagli stessi due piani paralleli su rette parallele) e conconto analogo y = b + y′, z = c + z′

x′ = x− a; y′ = y− b z′ = z− c



• II casoR eR′ differiscono solo per il verso di uno o più assi: stessadirezione e stessa origine, U = U ′.

In questo caso si può verificare che, se ad esempio si cambia il verso degli x ey, risulta

x′ = −x; y′ = −y; z′ = z.

Si noti che, perché sia R che R′ verifichino la convenzione adottata sulla sceltadell’ordinamento degli assi, un cambiamento nel verso deve avvenirenecessariamente su un numero pari (zero o due) di assi.

• III casoR eR′ differiscono solo per le unità di misura: stessa direzione,stesso verso e stessa origine.

Supponiamo che sia U = kU ′, con k > 0.In tal caso èx′ = OX′ (misurata rispetto a U ′) pertanto il segmento OX′ di estremi O e X′ ètale che OX′ = |x′|U ′.Inoltrex = OX (misurata rispetto a U) pertanto il segmento OX di estremi O e X ètale che OX = |x|U .



Ma nel nostro caso (stessa origine e stessi assi, quindi stessi punti proiezione)è X = X′ e anche OX′ = OX. Ne segue che|x′|U ′ = OX′ = OX = |x|U = |x|kU ′e quindi |x′| = k|x|. Siccome però i versi dei due riferimenti sono uguali, x′ ex sono concordi, da cui

x′ = kx.

• IV casoR eR′ differiscono solo per la direzione degli assi: stessa origine,U = U ′.

Indichiamo con i, j e k i versori dei tre assi del riferimentoR e con i′, j′ e k′ iversori dei tre assi del riferimentoR′.Si ha

−→OP = xi + yj + zk,

e anche

(∗) −→OP = x′i′ + y′j′ + z′k′,



Si avrà anche

i = a1,1i′ + a2,1j′ + a3,1k′,

j = a1,2i′ + a2,2j′ + a3,2k′,

k = a1,3i′ + a2,3j′ + a3,3k′,per opportuni ap,q ∈ R, con 1 ≤ p, q ≤ 3.

Allora−→OP = xi + yj + zk =x(a1,1i′+a2,1j′+a3,1k′)+y(a1,2i′+a2,2j′+a3,2k′)+z(a1,3i′+a2,3j′+a3,3k′) =(a1,1x + a1,2y + a1,3z)i′ + (a2,1x + a2,2y + a2,3z)j′ + (a3,1x + a3,2y + a3,3z)k′.Dal confronto con la (∗) si ricava allora

x′ = a1,1x + a1,2y + a1,3z

y′ = a2,1x + a2,2y + a2,3z

z′ = a3,1x + a3,2y + a3,3z.



ovvero, in notazioni matriciali(x′y′z′

)=

(a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

)(xyz

).

PROPRIETÀ DELLA MATRICE A =

(a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

).

Poiché (i, j, k) è una terna di versori mutuamente ortogonali (e così anche(i′, j′, k′)), si ha1 =< i, i >=< a1,1i′ + a2,1′j′ + a3,1k′, a1,1i′ + a2,1′j′ + a3,1k′ >= · · · =a2

1,1 + a22,1 + a2

3,1e analogamente1 =< j, j >= a2

1,2 + a22,2 + a2

3,21 =< k, k >= a2

1,3 + a22,3 + a2

3,30 =< i, j >=< a1,1i′ + a2,1′j′ + a3,1k′, a1,2i′ + a2,2′j′ + a3,2k′ >= · · · =a1,1a1,2 + a2,1a2,2 + a3,1a3,2e analogamente0 =< i, k >= a1,1a1,3 + a2,1a2,3 + a3,1a3,30 =< j, k >= a1,2a1,3 + a2,2a2,3 + a3,2a3,3.



In altri termini, indicata con AT =

(a1,1 a2,1 a3,1a1,2 a2,2 a3,2a1,3 a2,3 a3,3

)la matrice trasposta

di A, e con I =

(1 0 00 1 00 0 1

)la matrice identità, si ha AAT = I.

Si dice allora che A è una matrice ortogonale.

Più avanti vedremo che ad ogni matrice quadrata M si può associare unnumero reale det(M) detto determinante di M e che tutte le matrici ortogonalihanno determinante ±1.Inoltre si potrebbe dimostrare che, poichè tantoR quantoR′ devonosoddisfare la convenzione sulla scelta di ordinamento tra gli assi, per lamatrice A del cambiamento di sistema di riferimento si ha in realtà det(A) = 1(matrice ortogonale speciale).

ESERCIZIO - Determinare tutte le matrici ortogonali di ordine 2.



• caso generale Il cambiamento di sistema di riferimento più generale in E3

si ottiene componendo i quattro casi sopra descritti (si noti peraltro che il casoII risulta un caso particolare del IV), pertanto risulterà descritto da un legamedel tipo

x′ = ρ(a1,1x + a1,2y + a1,3z) + α

y′ = ρ(a2,1x + a2,2y + a2,3z) + β

z′ = ρ(a3,1x + a3,2y + a3,3z) + γ,

con ρ, α, β, γ ∈ R, ρ > 0 e A =

(a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

)matrice ortogonale

speciale (cioè con AAT = I e det(A) = 1).

Con notazioni matriciali, posto x =

(xyz

), x′ =

(x′y′z′

), v =

(αβγ

), si

scrive(?) x′ = ρAx + v.



Cambiamento del sistema di riferimento in A3

Consideriamo ora due sistemi di riferimento affini R ed R′ e vediamo inquesto caso come siano legate le coordinate (x, y, z) e (x′, y′, z′) che uno stessopunto P ha nei due riferimenti.Consideriamo tre vettori non nulli a, b, c rispettivamente sugli assi x, y e z edaltri tre vettori non nulli a′, b′, c′ sugli assi x′, y′ e z′. Ripetiamo nel caso affinele considerazioni fatte sopra nel caso euclideo sostituendo (a, b, c) al posto di(i, j, k) e (a′, b′, c′) al posto di (i′, j′, k′). Tutti gli argomenti esposticontinuano a valere salvo che quando si utilizza il fatto che (i, j, k) e (i′, j′, k′)sono terne di versori mutuamente ortogonali.Ne ricaviamo che il più generale cambiamento di sistema di riferimento affineè della forma

(??) x′ = Mx + v,



dove M è una matrice 3× 3, v è un vettore a 3 componenti e inoltre sipotrebbe dimostrare che det(M) 6= 0 (vedremo più avanti che quest’ultimacondizione equivale a dire che le colonne di M sono linearmente indipendentie questo a sua volta, per come M è costruita, equivale al fatto che i vettori(a, b, c) sono linearmente indipendenti).

ESERCIZIO - Si consideri una matrice in cui le colonne sono linearmentedipendenti, ad esempio,(

1 1 02 2 13 3 1

)e l’applicazione f di E3 in sè definita da x′ = Mx. Si verifichi che f non èbiunivoca e quindi x′ = Mx non può rappresentare un cambiamento disistema di riferimento.


Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea

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1 Vettori










Trasformazioni geometriche in A3

Consideriamo ora A3 con un sistema di riferimento fissato. L’equazionematriciale

(??) x′ = Mx + v,

con det(M) 6= 0, può essere interpretata come una trasformazione(corrispondenza biunivoca) α : A3 → A3 ; vediamo come. Dato P ≡ (x, y, z)si può considerare P′ ≡ (x′, y′, z′), e definire α(P) = P′. Vedremo più avantiche la condizione det(M) 6= 0 garantisce l’invertibilità della α.

Le trasformazioni α : A3 → A3 definite come sopra verranno dette affinità.



Denotiamo con Aff (3) l’insieme delle affinità di A3 in sè.

OSSERVAZIONE - Aff (3) è un gruppo rispetto alla composizione.

Cenno di dimostrazione - La composizione della trasformazione α diespressione x′ = Ax + a con la trasformazione β di espressione x′ = Bx + b, èla trasformazione γ = β ◦α data da x′ = BAx + Ba + b, dove BA è il prodottoriga per colonna di B per A (A 7→ Ax + a 7→ B(Ax + a) + b = BAx + Ba + b,per le proprietà del prodotto tra matrici).La composizione di trasformazione è associativa.L’applicazione identica è un’affinità (di espressione x′ = Ix + 0.)L’inversa dell’affinità α espressa da x′ = Ax + a è l’affinità α−1 data dax′ = A−1x− A−1a, dove A−1 denota la matrice inversa della matrice A.



Geometria affine

OSSERVAZIONE - È naturale considerare equivalenti in A3 due sottoinsiemidello spazio che si ottengano l’uno dall’altro con un’affinità: infatti in questasituazione si può anche pensare alle due figure come la stessa figura vista dasistemi di riferimento diversi.

PROPRIETÀ DELLE AFFINITÀ∀α ∈ Aff (3), si ha

1 α è biunivoca;2 α è continua;3 α trasforma piani in piani (e conseguentemente rette in rette);4 α trasforma piani paralleli in piani paralleli (e conseguentemente rette

parallele in rette parallele);5 α conserva i rapporti tra le misure con segno di segmenti allineati.



Cenno di dimostrazione

1 La continuità segue dal fatto che le coordinate x′, y′ e z′ sono espressecome polinomi (di primo grado) nelle coordinate x, y e z.

2 Il piano di equazione P = P0 + λu + µv, viene mandato dall’affinità diequazione x′ = Ax + b nel piano di equazioneP′ = AP0 + Aλu + Aµv + b = (AP0 + b) + λu′ + µv′ che passa perQ0 = AP0 + b ed è parallelo ai vettori u′ e v′.

3 Siano π e σ due piani paralleli, e consideriamo i piani α(π) e α(σ). Seα(π) e α(σ) non fossero paralleli esisterebbe un puntoP′ ∈ α(π) ∩ α(σ), ma allora si avrebbe P = α−1(P′) ∈ π ∩ σ.



4 Consideriamo la retta r rappresentata in forma parametrica daP = P0 + λv.

λ esprime la misura con segno del segmento−−→P0P, sulla retta affine r in

cui v individua tanto l’unità di misura quanto il verso.Consideriamo poi l’affinità α di espressione x′ = Ax + a.Il punto P0 è trasformato da α in P0

′ = AP0 + a, e il generico punto P dir è trasformato inP′ = A(P0 + λv) + a = AP0 + Aλv + a = Aλv + AP0 + a = P0

′ + λAv.La retta α(r) risulta così individuata come la retta passante per P0

′ eparallela al vettore Av.

λ esprime quindi anche la misura con segno del segmento−−−→P′0P′, sulla

retta affine α(r) in cui Av individua tanto l’unità di misura quanto ilverso.Allora se

−→AB e

−→CD sono segmenti orientati su r, il rapporto tra le misure

con segno di−→AB e

−→CD su r è uguale al rapporto tra le misure con segno di−−−−−−→

α(A)α(B) e−−−−−−→α(C)α(D) su α(r).



Siano dati tre punti A, B e C in A3 appartenti ad una stessa retta r e siconsideri un sistema di riferimento affine su r.Si dice rapporto semplice della terna (A, B, C) (in quest’ordine) il numeroreale

(ABC) =ACBC

,

ottenuto come rapporto tra le misure con segno dei segmenti orientati−→AC e−→

BC.

Ad esempio, se C è il punto medio tra A e B, risulta(ABC) = AC

BC = AC−AC = −1.

La proprietà 4 delle affinità può essere riscritta nel seguente modo

4’ α conserva i rapporti semplici di terne di punti allineati.



OSSERVAZIONE - Le proprietà 1, 2, 3 e 4 (o 4′) caratterizzano le affinità,ovvero si può dimostrare che una trasformazione di A3 che verifichi 1, 2, 3 e 4(o 4′) è necessariamente un’affinità.

ESERCIZIO - Dare un esempio di affinità che NON conserva le misure degliangoli.

ESERCIZIO - Mostrare con un esempio che in generale le affinità nonconservano i rapporti tra le misure di segmenti non allineati.



Trasformazioni geometriche in E3

Analogamente a quanto fatto in A3, possiamo considerare in E3 un sistema diriferimento (ortonormale) fissato ed interpretare le equazioni di uncambiamento di sistema di riferimento come rappresentative di unatrasformazione di E3 in sè.

Le trasformazioni ε : E3 → E3 definite da

(?)x′ = ρAx + v,

con A matrice ortogonale speciale, ρ > 0, e v vettore colonna a 3 componenti,vengono dette similitudini dirette. In particolare, vengono dette congruenzedirette o isometrie dirette se ρ = 1.Il numero reale ρ viene detto rapporto di similitudine.

OSSERVAZIONE - L’insieme delle similitudini dirette Sim+(3) (e anchel’insieme delle congruenze dirette Iso+(3)) è un gruppo rispetto allacomposizione. Più precisamente si ha un’inclusione di sottogruppiIso+(3) ⊆ Sim+(3) ⊆ Aff (3).



Geometria euclidea simile e geometria euclidea metrica

Le similitudini dirette sono le trasformazioni che corrispondono ad uncambiamento di sistema di riferimento daR ortonormale aR′ ortonormale,per cui, quando si trattano problemi che "hanno a che fare" con la forma ènaturale considerare "equivalenti" due figure di E3 che si ottengano l’unadall’altra con una similitudine diretta (geometria euclidea simile).

Nel caso delle congruenze dirette inoltre queste corrispondono a cambiamentidi sistema di riferimento in cui non viene alterata l’unità di misura, pertanto,quando si vogliano fare considerazioni di natura metrica, risulta naturaleconsiderare equivalenti due figure di E3 che si ottengano l’una dall’altra conuna congruenza diretta (geometria euclidea metrica).

Se nella definizione di similitudine (risp. di congruenza) diretta si sostituiscela condizione ρ > 0 con la condizione ρ 6= 0 si ottiene la nozione disimilitudine (risp. di congruenza). In questo caso il rapporto di similitudine èil numero reale |ρ|.



Anche l’insieme Sim(3) delle similitudini (e l’insieme Iso(3) dellecongruenze) è un gruppo.

Le similitudini (e analogamente le congruenze) corrispondono a cambiamentinel sistema di riferimento euclideo quando non si tenga conto dellaconvenzione sulla scelta dell’ordinamento degli assi.

Le similitudini (e anche le congruenze) che non sono dirette vengono detteinverse.

OSSERVAZIONE - Quanto detto finora a proposito di geometria affine edeuclidea, di cambiamenti di sistema di riferimento, di trasformazioni, ecc.,continua a valere con ovvi cambiamenti (semplificazioni) nel caso del piano.Si parlerà quindi anche di affinità in A2 come trasformazioni checorrispondono ai cambiamenti di sistema di riferimento, di similitudini econgruenze in E2 (nel caso cioè di sistemi di riferimento ortonormali), ecc., dicongruenze e similitudini dirette e inverse. Hanno ovvio significato i simboliAff (2), Sim(2), ecc.



PROPRIETÀ DELLE SIMILITUDINI

I Tutte quelle delle affinità.II Conservano i rapporti tra le misure assolute di segmenti (anche non

allineati).III Conservano le misure degli angoli.

PROPRIETÀ DELLE CONGRUENZE

i Tutte quelle delle similitudini.ii Conservano le misure (in valore assoluto) dei segmenti.

OSSERVAZIONE - Si può dimostrare che la proprietà II caratterizza lesimilitudini, nel senso che una trasformazione di E3 che conserva i rapporti trale misure (in valore assoluto) dei segmenti è necessariamente una similitudine.

Si può dimostrare che la proprietà ii caratterizza le congruenze, nel senso cheuna trasformazione di E3 che conserva le misure assolute dei segmenti ènecessariamente una congruenza.



Esempi di similitudini e congruenze in E2 e E3

TRASLAZIONEDato un vettore v, la traslazione τv è la trasformazione che associa ad un

punto P quell’unico punto P′ = τv(P) tale che [−→PP′] = v.

OSSERVAZIONI1 L’espressione della traslazione τv in coordinate è data da

τv(x) = x′ = x + v.2 La stessa definizione "funziona" sia in E2 che in E3.3 La traslazione è un’isometria diretta.



RIFLESSIONENel piano, fissata una retta r, la riflessione rispetto a r è la trasformazione σrche associa al punto P quell’unico punto P′ = σr(P) tale che

P′ = P, se P ∈ r,r è l’asse del segmento PP′, se P /∈ r.

Quindi la retta s per P e P′ è ortogonale a r e H = r ∩ s è il punto medio diPP′.

Nello spazio, fissato un piano α, la riflessione rispetto a α è la trasformazioneσα che associa al punto P quell’unico punto P′ = σα(P) tale che

P′ = P, se P ∈ α,

α è il piano assiale del segmento PP′, se P /∈ α.

Quindi la retta s per P e P′ è ortogonale a α e H = α ∩ s è il punto medio diPP′.



OSSERVAZIONE - La riflessione è una congruenza inversa.

ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da(x′y′

)=(

cos(θ) sen(θ)sen(θ) −cos(θ)

)( xy

),

è la riflessione rispetto alla retta per l’origine che forma un angolo di θ/2 conl’asse x.

ESERCIZIO - Scrivere le equazioni della riflessione rispetto alla retta diequazione x− y + 2 = 0.

ROTAZIONENel piano, fissato un punto C e un angolo θ, con 0 ≤ θ < 2π, si dicerotazione ρ(C,θ) di centro C e angolo θ la trasformazione che associa al puntoP(6= C) quell’unico punto P′ = ρ(C,θ)(P) tale che la misura del segmento CP

sia uguale alla misura del segmento CP′, e l’angolo P̂CP′ sia di ampiezza θ.Il trasformato di C è C stesso.



Nello spazio, fissata una retta orientata r ed un numero reale θ, con0 ≤ θ < 2π, si dice rotazione di asse r e ampiezza θ la trasformazione ρ(r,θ)che associa al punto P quell’unico punto P′ = ρ(r,θ)(P) tale che:

P′ appartiene al piano α passante per P e ortogonale a rP′ è il punto trasformato di P rispetto alla rotazione, nel piano α, dicentro il punto C = α ∩ r e angolo θ (in senso antiorario se osservatodalla semiretta positiva dell’asse r).

OSSERVAZIONE - Se P ∈ r, allora ρ(r,θ)(P) = P.

OSSERVAZIONE - La rotazione è una congruenza diretta.

ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da(x′y′

)=(

cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

)( xy

),

è la rotazione di angolo θ intorno all’origine.

ESERCIZIO - Scrivere l’equazione della rotazione di centro (1, 2) e angoloπ/4.



OMOTETIEFissato un punto C ed un numero reale λ 6= 0, l’omotetia di centro C erapporto λ è la trasformazione ω(C,λ) che associa al punto P(6= P0) il punto

P′ = ω(C,λ)(P) che giace sulla retta per C e P e tale che sia−→CP′ = λ

−→CP. Se

P = C, si ha, in modo naturale, P′ = P.

OSSERVAZIONE -1 Un’omotetia di rapporto λ è una similitudine di rapporto |λ|2 L’espressione in coordinate di una omotetia di centro l’origine è x′ = λx.3 Quanto detto "funziona" sia nel piano che nello spazio.4 Nel piano le omotetie sono sempre dirette, nello spazio sono dirette se e

solo se λ > 0.

ESERCIZIO - Come si può descrivere in altro modo un’omotetia di rapporto−1?Qual è l’espressione in coordinate dell’omotetia di centro (1, 2) e rapporto 3?



Classificazione delle isometrie in E2 e in E3

PROBLEMA - Ci sono altre isometrie o similitudini (oltre a quelle primadescritte)?

Risposta: poche altre.

TEOREMA 1- Nel piano una qualunque isometria rientra in una delleseguenti quattro tipologie:

a rotazioneb riflessionec traslazioned glissoriflessione

dove, fissata una retta r e un vettore v, con v ‖ r, la glissoriflessione γ(r,v) diasse r e vettore v è la trasformazione che si ottiene componendo la riflessionedi asse r con la traslazione di vettore v.



TEOREMA 2- Nello spazio una qualunque isometria rientra in una delleseguenti sei tipologie:

a rotazioneb riflessionec traslazioned glissoriflessione (composizione di una riflessione rispetto a un piano α e

di una traslazione rispetto a un vettore v, con v ‖ α)e rotoriflessione (composizione di una rotazione di asse r e di una

riflessione rispetto a un piano α ⊥ r)f avvitamento (composizione di una rotazione di asse r e di una traslazione

rispetto a un vettore v, con v ‖ r).



TEOREMA 3 - (Sia nel piano che nello spazio) Una qualunque similitudine èla composizione di una isometria e di una omotetia.

Il teorema 3 si dimostra facilmente (ESERCIZIO - Suggerimento:componendo una similitudine di rapporto k con una omotetia di rapporto 1/ksi ottiene una similitudine di rapporto 1, cioè . . . )

I teoremi 1 e 2 sono conseguenza del seguente risultato.

TEOREMA - Ogni isometria del piano (rispett. dello spazio) è composizionedi al più 3 (rispett. 4) riflessioni.


Geometria proiettiva

index

1 Vettori










Proiettività tra rette

Una proiettività di P1 in sè è una trasformazione ω : P1 −→ P1 che, incoordinate omogenee, si esprime nella forma ω((x0 : x1)) = (x′0 : x′1), con{ρx′0 = a00x0 + a01x1ρx′1 = a10x0 + a11x1

ove a00, a01, a10, a11 ∈ R ea00a11 − a01a10 6= 0.

La condizione a00a11 − a01a10 6= 0 si scrive anche | a00 a01a10 a11

| 6= 0 e

garantisce l’invertibilità della corrispondenza (si veda dopo).

In coordinate affini x = x1/x0 e x′ = x′1/x′0, ω si esprime nella forma

x′ = a10+a11xa00+a01x .



La definizione è ben postaSi noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passa aiquozienti : P1 = R2 \ {0.0} −→ P1 = R2 \ {0.0}.

In effetti, nell’assegnare una corrispondenza η : P1 −→ P1 tramite coordinateomogenee, bisogna sincerarsi che η dia lo stesso punto immagine di P1

quando viene calcolata su coordinate omogenee diverse ma corrispondentiallo stesso punto di P1. Non avrebbe alcun senso considerare unacorrispondenza η : P1 −→ P1 definita da η(x0 : x1) = (x0 : x1 + 1), dalmomento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3), con(1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) 6= (2 : 3).

Invece per ω si ha

ω(λx0 : λx1) = ω(x0 : x1), ∀λ ∈ R \ 0.

Infattiω(x0 : x1) = (a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1) eω(λx0 : λx1) = (a00λx0 + a01λx1 : a10λx0 + a11λx1) =(λ(a00x0 + a01x1) : λ(a10x0 + a11x1)) =(a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1) = ω(x0 : x1)



Caratterizzazione delle affinità tra le proiettività tra rette

Si consideri la proiettività ω : P1 −→ P1, che, in coordinate affini, si esprimenella formax′ = l+mx

h+kx , con | h kl m | 6= 0.

L’immagine tramite ω del punto all’infinito∞ ∈ P1 è ω(∞) = m/k,infatti in coordinate omogenee si haω(x0 : x1) = (hx0 + kx1 : lx0 + mx1), e quindi ω(0 : 1) = (k : m).Viceversa, il punto di P1 che viene trasformato in∞ è −h/k , cioèω(−h/k) =∞, infatti ω(k : −h) = (hk − kh : lk − mh) = (0 : 1).

Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma∞ in∞ (la verifica èlasciata per esercizio).



Birapporto

Dati quattro punti A, B, C e D di P1, distinti a due a due, se sono tutti punti alfinito (cioè se A, B, C, D ∈ A1), si dice birapporto di A, B, C, D (inquest’ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e (ABD) ovvero ilnumero reale(ABCD) = (ABC)

(ABD) =ACBCADBD

= AC·BDAD·BC = (c−a)(d−b)

(d−a)(c−b) = (c1a0−a1c0)·(d1b0−b1d0)(d1a0−a1d0)·(c1b0−b1c0)

, ove

a, b, c, d denotano rispettivamente le coordinate affini e(a0, a1), (b0, b1), (c0, c1), (d0, d1) le coordinate omogenee dei puntiA, B, C, D.La definizione data attraverso le coordinate omogenee si estende anche al casoin cui uno dei punti è∞.

ESEMPIO - Se i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora(ABCD) = 4/3.

(ABCD) = AC/BCAD/BD = 2/1

3/2 = 4/3

Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti sulla retta,ovvero per una proiettività si ha (ω(A)ω(B)ω(C)ω(D)) = (ABCD).Per provarlo si può fare una verifica diretta(esercizio).



Sono equidistanti?

Possiamo stabilire se nella realtà i birilli qui fotografati sono disposti aintervalli regolari lungo una retta?

Per rispondere dobbiamo fare una digressione.



Prospettività

La definizione di proiettività di una retta in sè si estende in modo ovvio aproiettività tra rette distinte.

Esempi significativi di proiettività tra rette (complanari) sono le prospettività.Dati nel piano due rette r ed r′ ed un punto V fuori da esse, si può definireun’applicazione da P1 = r ∪ {∞} a P1 = r′ ∪ {∞′}, per proiezione da V,come in figura.

Il punto di intersezione di r con la parallela a r′ mandata da V vienetrasformato nel punto improprio∞′ di r′. Il punto improprio∞ di r vienetrasformato nel punto di intersezione di r′ con la parallela a r per V .



Un esempio di prospettività

Le prospettività sono proiettività. Verifichiamo questa asserzione su unesempio.

Supponiamo che le rette r ed r′ sianorispettivamente l’asse delle ordinate el’asse delle ascisse, e che il centro diproiezione sia il punto V ≡ (−1, 1). Laprospettività di centro V associa al puntoP ≡ (0, t) il punto P′ ≡ (t′, 0), tale chesia t′ = t

1−t

La prospettività è pertanto la proiettività di equazione x′ = x1−x .

Si può dimostrare che una qualsiasi proiettività può essere ottenuta comecomposizione di prospettività.



Quattro punti allineatiLa corrispondenza che sussiste tra i quattro punti allineati A, B, C, D e le loroimmagini A′, B′, C′, D′ sul quadro è la prospettività di centro V nel piano checontiene V ed i punti A, B, C, D, A′, B′, C′, D′.

Abbiamo già visto che, se iquattro punti sonoequidistanziati, il birapporto(ABCD) è 4/3.

Quindi anche il birapporto (A′B′C′D′) deve essere 4/3 (il birapporto è uninvariante proiettivo).Il nostro cervello è abituato a riconoscere immagini di oggetti disposti inmodo regolare, cioè a "calcolare birapporti".



Affinità tra piani in coordinate omogenee

Avevamo definito affinità : A2 → A2 una trasformazione di equazioni

(∗){

x′ = a11x + a12y + ay′ = a21x + a22y + b

∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣ 6= 0.

Utilizzando la notazione matriciale, le relazioni (∗) si possono ancheriscrivere così:

(∗∗)

(1x′y′

)=

(1 0 0a a11 a12b a21 a22

)(1xy

) ∣∣∣∣∣1 0 0a a11 a12b a21 a22

∣∣∣∣∣ 6= 0.



Proiettività tra piani

Una proiettività ω : P2 → P2 è, per definizione, una corrispondenza cheassocia al punto P ≡ (x0 : x1 : x2) il punto P′ ≡ (x′0 : x′1 : x′2) tale che{

ρx′0 = a00x0 + a01x1 + a02x2ρx′1 = a10x0 + a11x1 + a12x2ρx′2 = a20x0 + a21x1 + a22x2

∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣ 6= 0,

ovvero

ρ

(x′0x′1x′2

)= A ·

(x0x1x2

)con det A 6= 0,

dove A =

(a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

).

La matrice A è definita a meno di una costante moltiplicativa 6= 0.



Caratterizzazione delle affinità tra le proiettività tra piani

Se a01 = a02 = 0, ω diviene un’affinità inA2 = U0 = {(x0 : x1 : x2) : x0 6= 0}. Infatti risulta necessariamente a00 6= 0 esi può quindi porre a00 = 1, per cui ω assume la forma (∗∗).

La proiettività ω, in coordinate affini x = x1x0

e y = x2x0

, si esprime così:{x′ = a10+a11x+a12y

a00+a01x+a02y

y′ = a20+a21x+a22ya00+a01x+a02y

Una proiettività è un’affinità se e solo se trasforma tutti i punti impropri inpunti impropri (la verifica è lasciata per esercizio).



Prospettività tra piani

La definizione data di proiettività di un piano in sè si estende in modo ovvio alcaso di proiettività tra piani distinti.Esempi significativi di proiettività tra piani (immersi nello spazio) sono leprospettività.

Dati nello spazio due piani π ed π′ (non paralleli tra loro) ed un punto V fuorida essi, si considerino la retta r di intersezione di π con il piano per Vparallelo a π′ e la retta r′ di intersezione di π′ con il piano per V parallelo a π.

Si può definire un’applicazione daπ \ r a π′ \ r′, per proiezione da V,come in figura.

Tale applicazione si estende ad unaapplicazione (detta prospettività dicentro V) ωV : P2 → P2



Punti di fuga

Si può dimostrare che una prospettività è una proiettività.

La prospettività ωV trasforma i punti impropri del piano π nei punti della rettar′ (i punti di fuga).

I punti all’infinito del piano π sono "visti" su una retta.


Documents

GEOMETRIA 1 - Corso di Geometria 1 (prima parte)users.mat.unimi.it/users/dedo/G1_materiale/geo1_11_12.pdf · Le classi di equivalenza di vettori applicati vengono dette vettori, o