Geometría Moderna-Moise,Edwin

Teorem a 10-3

Propiedades fundam entales de los p lanos paralelos 271

Dos planos perpendiculares a la misma recta son paralelos.

Demostracin: Se da que E , L L en P y que E 2 L L en Q. Queremos dem ostrar que , || E2. Si esto no fuera cierto, entonces E intersecara a E 2 en un punto R , al menos.

( y

A hora bien, R P L L y R Q L L , porque L es perpendicular a toda recta en E que pasa po r P y tambin a toda recta en E2 que pasa po r Q. Esto nos da dos perpendiculares desde R a L , lo cual es imposible. (V. el teorem a 6-4.) P or tanto , E , y E 2 son paralelos.

C oro lario 10-3.1

Si cada uno de dos planos es paralelo a un tercer plano, los planos son paralelos entre s.

(El alum no deber seguir la dem ostracin sin necesidad de una figura.)

Demostracin: Se dan E , II E 3 y E 2 || E. Sea L una recta perpendicular a E 3. Entonces,

(1) L L E (por el teorema 10-2),(2) L L E 2 (por el teorem a 10-2),

(3) E t || E 2 (por el teorem a 10-3).

Teorem a 1 0 -4

D os rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas.

Ai. h

i t r < l/

/ V1

< y - -------- ------------ --------- ------ - 'l J - 'I

coplanarias. Com o L L E , L { L A B . Puesto que L 2 L E , L 2 l T b . En virtud del teorema 9-2, L\ \\L2.

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272 R ectas y planos paralelos

C orolario 10-4.1

U n plano perpendicular a una de dos rectas paralelas es perpendicular a la otra.

Demostracin: Sean L , || L 2 y L , _L . Sea L 3 una recta perpendicular a y que pasa po r u n punto A cualquiera de L 2. L 3 existe, en v irtud del teorem a 8-9. Entonces, por el teorem a 10-4, L , ||L3. D el postulado de las paralelas, se*deduce que L 3 = L 2, es decir, L 3 y L 2 tienen que ser la m isma recta. Como L 3 _L E, tenemos que L 2 1 E.

/C orolario 104 .2

Si cada una de dos rectas es paralela a una tercera, entonces las rectas son paralelas entre s.

Demostracin: Se dan L || L 3 y L 2 || L 3. Queremos dem ostrar que L || L 2.

Sea E un plano perpendicular a L 3. Por el corolario anterior, L i . E y L 2 X E. En virtud del teorem a 10-4, L || L 2.

T eorem a 1 0 -5

D os planos paralelos equidistan en toda su extensin.

O de otro modo: Si , || 2, entonces todos los puntos de , equidistan de E 2.

Recordemos que la distancia entre un punto P y un plano E es la longitud del segmento perpendicular desde P a .

Demostracin: Sean P y Q dos puntos cualesquiera de , , y sean PR y Q S los segmentos perpendiculares desde P y Q a 2. Entonces, -

(1) PR\\ Q S (por el teorem a 10-4),(2) P, Q, R y S son coplanarios, porque estos puntos estn en dos rectas paralelas,(3) PQ || R S (en virtud del teorem a 10-1),(4) el Q P Q S R es un paralelogramo, por los enunciados (1), (2) y (3),(5) PR = QS, porque los lados opuestos de un paralelogram o son congruentes.

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Propiedades fundam entales de los planos paralelos 273

P or el teorem a 10-2, sabemos que los segmentos desde , , perpendiculares a 2, son precisamente los segmentos desde E 2, perpendiculares a , . En consecuencia,' sabem os m s de lo que nos dice el segundo enunciado del teorem a; es decir, sabemos lo siguiente: S i dos planos son paralelos, entonces todos los segmentos perpendiculares desde uno de los planos al otro tienen la misma longitud. De ahora en adelante, interpretarem os el teorem a 10-5 con este significado.

Obsrvese que el JP Q SR es, en efecto, un rectngulo, pero este dato no se necesita en la demostracin.

Conjunto de problemas 10-1

1. Datos: Los planos E y F son paralelos, E contiene a AB, F contiene a CD, A C F y B D F.

Demostrar que AD y ~BC se bisecan.

2. Si el plano K L en P y el plano M L en T, qu se podr concluir acerca de K y Ai? Por qu?

3. Demostrar que el siguiente enunciado es cierto o que es falso:

Si y F so n planos paralelos y E contiene a la recta L, y contiene a la recta L 2, entonces L, || L 2.

4. El plano G contiene a los puntos A, B y C, y el plano H contiene a los puntos D, E y , de manera que A D G .A D L H y A B DF. Cules de los, siguientes enunciados deben ser ciertos ?

(a) AF- BD. (b) BC EF.(d) G H. () A C A D .(g) A F y BD se bisecan.

gramos. Demostrar que

(a) E K I! AD |l ~BC, y(b) _KAB s _EDC.

(c) A A B C z ADFE. (f) L A F D ^ _DB . (h) A C I! DF.

C

* E

F

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6. Se da el plano M paralelo al plano K. A y C son puntos de M, y B y D son puntos de K, tales que AD 1. K y BC M. Demustrese que AB = CD.

7. Demostrar lo siguiente:

Si dos rectas paralelas son cortadas por dos planos paralelos, entonces stos determinan segmentos congruentes en las dos rectas.

8. En la figura, las rectas alabeadas L y L 2 intersecan a los planos paralelos E, F, G, y AR interseca a F en X. Si AB = BC, demustrese que PQ = QR.

9. En el problem a^, demustrese tambin que

B Q < K A P + C R ).

10. En la figura, los planos M y N se intersecan en AB, y M y N intersecan a los planos paralelos E y F en AD, BC, A H y BC. Si AD = BC y AH BG, demustrese que

Z DAH 3 CBG.

y 7 * D

MK. S es el punto medio de M K y m _RST= UQ, determnese m LT-M K-R. Determnese, tambin, m_T-MK-Q + m_R-MK-P.

8. En la figura, AP, BP y CP son perpendiculares entre s. A C = BC y D, E y F son puntos medios. Demustrese que

/LDEFs A.PAB

y determnese su medida comn.

9. Definir el interior de un ngulo diedro.

10. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso. Se debe hacer un pequeo dibujo para ilustrar cada enunciado cierto, o presentar un contraejemplo, si el enunciado es falso.(a) Cada uno de los lados de un ngulo diedro contiene la arista comn.(b) Dos ngulos diedros son congruentes, si un ngulo rectilneo de uno es congruente

con un ngulo rectilneo del otro.

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(c) Si un plano y una recta son perpendiculares, todo plano que contiene a la recta es perpendicular al plano.

(d) Dos planos perpendiculares al mismo plano son paralelos entre s.

11. Se da el cubo que se muestra a la derecha. Determnense:

m L D H E , m/_DEH,

m_HGD, m/_EGD.

[Pueden utilizarse las siguientes propiedades de un cubo: (1) Las doce aristas son congruentes; (2) Dos aristas cualesquiera que se intersecan son perpendiculares.]

280 R ecias y p lanos paralelos

12. Si A, B, C y D son cuatro puntos no coplanarios, y tres cualesquiera ellos no estn alineados, la reunin de AB, BC, CD y 1X4 se llama un cuadriltero alabeado. Demustrese que la figura que se forma al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de un cuadriltero alabeado es un paralelogramo.

13. Demostrar lo siguiente:

Si dos planos que se intersecan son perpendiculares a un tercer plano, su interseccin es perpendicular al tercer plano.

[Sugerencia: En el plano E, trcense PA J_ M K y QA _L RS. Utilcense los teoremas10-8 y 8-2.]

* + 14. Demostrar lo siguiente:

Si tres planos E u E2 y E } se intersecan en las tres rectas L 2, L a y L , 3, entonces o bien las tres rectas se intersecan en un punto o cada recta es paralela a las otras dos.

[Sugerencia: La figura muestra a E, y E 2 intersecndose en 12. Considrense dos posibilidades para E 3: (1) E 3 |Lj2; (2) E interseca a L u -]

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Proyecciones 281

PROBLEMA OPTATIVO

T eorem a d e D esa rg u es

Se dan dos tringulos en planos no paralelos, de manera que las rectas que unen sus vrtices correspondientes se intersecan en un mismo punto. Si las rectas que contienen lados correspondientes de los tringulos se intersecan, los puntos de interseccin estn alineados.

D

O de otro modo: Se dan los tringulos A ABC y A A 'B 'C ' en planos no paralelos, de *-* - K v manera que AA , BB y CC se intersequen en D. Si AB y A'B ' se intersecan en X, BCy B'C ' se intersecan en Y y AC y A C se intersecan en Z , entonces X, Y y Z son coli-neales.

10-3 . PROYECCIONES

D efin ic i n

La proyeccin de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular que va del punto al plano.

P o r el teorem a 8-9, hay una perpendicular y slo una. En cada una de las figuras anteriores, P es la proyeccin del punto P sobre el plano E. Adm itim os la posibilidad de que P est en E. En dicho caso, la proyeccin de P es P mismo.

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282 Recta* y p lanos paralelos

Sean P y Q dos puntos cualesquiera de L , y sean P' y Q' sus proyecciones. En-

tonces, P ' = Q . (P or qu?) Adems, PP' y Q Q ' son coplanarias, pues am bas son perpendiculares al mismo plano (teorema 8-7). Sea F el plano que contiene a las rectas PP' y Q Q '; y sea L ' la recta en que F interseca a E. A hora bien, L est en F,

D e fin ic i n

La proyeccin de u n a recta sobre un plano es el conjunto de todos lo's puntos del plano que son proyecciones de los puntos de la recta.

E n la figura anterior, P ' es la proyeccin de P, Q' es la proyeccin de Q, S ' es la proyeccin de S, y as sucesivamente. L a figura sugiere que la proyeccin de una recta es siempre una recta; y, en efecto, esto es siempre cierto, excepto cuando la recta y el plano p?son perpendiculares, com o en la figura de la derecha.Aqu, A es la proyeccin de todo punto P de la rec ta 'y , po r tanto , A es la proyeccin de toda la recta. Para obtener un teorem a cierto, necesitamos elim inar esta posibilidad.

Teorem a 1 0 -9

Si una recta y un plano no son perpendiculares, entonces la proyeccin de la recta sobre el plano es una recta.

Demostracin: Se da una recta L que no es al plano .

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Proyecciones 283

P p ene ?? PUnt S L ' Dem ostrarem os


La segunda posibilidad surge cuando el plano del tringulo es perpendicular a E, com o en la figura de la derecha.


1. En la figura, el plano F es perpendicular al plano E en AB, C est en F y CDA_AB. Cul es la proyeccin de A C ?; de BC1\ y del A ABC?

2. Si una diagonal de un rombo es perpendicular a un plano en uno de sus extremos, qu clase de figura es la proyeccin del rombo sobre el plano?

3. En la figura, los planos E y F se intersecan en PQ; AB est en F y su longitud es el doble de la longitud ---- de su proyeccin, BC; y PQ_ plano ABC. Determinar m_A-PQ-C.

4. P, Q, R y S son las proyecciones de A, B, C y D sobre el plano E. Si B y C trisecan a ~AD, por qu trisecan Q y R a P S t

5. El alumno debe estar preparado para justificar sus respuestas a las siguientes preguntas:(a) Ser siempre un punto la proyeccin de un punto ?(b) Ser siempre un segmento la proyeccin de un segmento ?

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(c) Podr ser un rayo la proyeccin de un ngulo? Podr ser una recta?; un segmento?; y un ngulo?

(d) Podr ser un ngulo obtuso la proyeccin de un ngulo agudo?

(e) Podr ser un ngulo recto la proyeccin de un ngulo recto?

(f) Podr ser la longitud de la proyeccin de un segmento mayor que la longitud del segmento? Y menor que la longitud del segmento?

6, Contestar como en el problema 5:

(a) Podr consistir en dos rectas paralelas la proyeccin de dos rectas que se cortan ?

(b) Podr consistir en dos rectas paralelas la proyeccin de dos rectas alabeadas ?

(c) Podr consistir en dos rectas que se cortan la proyeccin de dos rectas alabeadas ?

(d) Consistir siempre en dos rectas paralelas la proyeccin de dos rectas paralelas?

7. Una de las caras de un ngulo diedro agudo contiene un cuadrado.. Qu clase de figura es la proyeccin del cuadrado sobre la otra cara ?

Proyecciones 285

8. Se dan dos planos paralelos, E y F. El A A B C est en F. Demustrese que la proyeccin del AABC sobre E es un tringulo congruente con el A ABC.

9. La figura siguiente de la izquierda es un tetraedro. La figura de la derecha es la proyeccin del tetraedro sobre el plano BCD. Hgase un esquema de las proyecciones sobre los planos ABC y ACD.

10. Si una diagonal de un cubo es perpendicular a un plano, hgase un diagrama de la proyeccin sobre el plano de todas las aristas del cubo.

* 11. En el plano E, M es el punto medio de AB. C es un punto que no est en E, pero su proyeccin, D, est en la mediatriz de AB. Demustrese que el A ABC es issceles.

6

P

E /

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12. En un dibujo de ingeniera, la vista desde arriba o planta de un cuerpo geomtrico puede considerarse como la proyeccin de los varios segmentos del cuerpo sobre un plano horizontal situado por encima del cuerpo, como se ilustra en la figura siguiente de la izquierda. La vista desde arriba, tal como se dibujara en la prctica, aparece a la derecha. (No se ha tratado aqu de obtener una escala apropiada.)

14. Datos: AQ es la proyeccin de A R sobre el plano E.AP es otro rayo cualquiera desde A en E.

Demostrar que m /_Q AR < m_PAR.

[Sugerencia: En AP, tmese un punto K tal que A K = A R '. Trcense K R ' y KR.]

(a) Dibjese una vista frontal del cuerpo, es decir, hgase un esquema de la proyeccin de los segmentos del cuerpo sobre un plano paralelo a la cara del frente.

(b) Dibjese una vista de perfil de la derecha del cuerpo.

13. Datos: R S est en el plano E, el _PRS es un ngulo recto, y 2 es la proyeccin de P.

Demostrar que el QRS es un ngulo recto.

[Sugerencia: Trcese R T, la perpendicular a E en i?.]

Repaso de la unidad

1. Nombrar los ngulos diedros en la figura, suponiendo que dos cualesquiera de los tringulos indicados no son coplanarios.

la derecha

T >Vista desde

arriba

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R ep aso de la unidad 2 8 7

2. Datos: E A C , F A C , F B D .

Demostrar que E BD y que A C \\BD.

3. Se da la figura anterior de la derecha. El A ABC est en el plano F; el APQR est en el plano E; el OABQF es un rectngulo y A P J_ E. Determinar cules de los siguientes enunciados son ciertos:

4 . Indicar mediante las letras T, A o N si cada enunciado es cierto en to d o s los casos,, si escierto en algunos casos y falso en otros, o si no es cierto en ningn caso:

(a) Dos rectas paralelas al mismo plano son perpendiculares entre s.

(b) Si un plano interseca a cada uno de dos planos paralelos, las rectas de interseccin son alabeadas.

(c) Si dos planos son paralelos a la misma recta, son paralelos entre s.

(d) La interseccin de un plano con las caras de un ngulo diedro es un ngulo rectilneo del ngulo diedro.

'' (e) Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, las rectas son paralelas.

\ ' (f) Si dos rectas son paralelas al mismo plano, las rectas son paralelas.

(g) Si una recta es perpendicular a un plano dado, todo plano que contiene a la recta esperpendicular al plano dado.

(h) La proyeccin de un ngulo puede ser un punto.

(i) Dos rectas son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.

(j) Si cada uno de dos planos que se intersecan es perpendicular a un tercer plano, surecta de interseccin es perpendicular al tercer plano.

(a) B Q E . (b) AQ = BP. (c) F\\E.

(d) PQ es la proyeccin de AB sobre E. (e) A ABC S APQR.

(f) PC = QC. (g) BC\\RQ. (h) A P A C z A BBC.

5. AB es la arista del AS-AB-T y P est en AB.Si m /_SPT = 90, ser el /_S-AB-T un ngulo diedro recto? Expliqese.

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6. Los planos E y F se intersecan en KM ; B y PQ estn en E; A C y PR estn en F. Si m /_M AB = 90 y m_KAC = 90, es el Z_BAC un ngulo rectilneo del .B-KM-C? Si m/_RPQ = 90, es PQ \\AB7

7. En_ la figura, PQ = \P C = iPA, AB = BC, y PQ.L E. Cul de los siguientes enunciados es cierto ?

m LP-AC-Q < 30,

m LP-AC-Q = 30,

m LP-AC-Q > 30.

8. D atos: Los planos paralelos E, F y G, con Q en G, el A K M P en y el A ABC en ; A K = K Q .

Demostrar que el permetro del A ABC es el doble del permetro del A KMP.

9. En la figura, el paralelogramo \3ABCD no es paralelo al plano E. K, L, M y N son las proyecciones sobre E de los vrtices A, B, C y >, respectivamente.

Demostrar que

A K + CM = BL + DN.

[iSugerencia: Sea Q la proyeccin de P sobre E y trcese PQ .]

10. Dibujar una figura que muestre la interseccin de un plano con las seis caras de un cubo. Entonces, imagnese la interseccin, proyectada sobre un plano paralelo al primer plano, pero que no interseque al cubo, y dibjese un esquema del resultado.

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R ectas y p lanos paralelos 289

N i k o l a i I v a n o v i t c h L o b a c h e v s k y ( 1 7 9 3 - 1 8 5 6 )

Durante la primera mitad del siglo XIX, tres hombres, trabajando independientemente en tres pases diferentes, descubrieron la geometra no eucldea. stos fueron C. F. Gauss, en Alemania; Jnos Bolyai, en Hungra; y Nikolai Ivanovitch Lobachevsky, en Rusia.

Hasta esa poca, todos crean 'en la unicidad de la paralela como un simple hecho, lo mismo en la geometra que en la fsica. Los tres hombres mencionados trataron de suponer lo contrario: supusieron que por un punto externo pasa ms de una recta paralela a una recta dada. Esto condujo a una nueva clase de geometra que, desde el punto de vista matemtico, tena la misma validez que la geometra familiar de Euclides. Y esta nueva geometra result de gran valor en la fsica, despus de presentar Einstein su teora de la relatividad.

Generalmente, se atribuye a Lobachevsky la prioridad del descubrimiento de la geometra no eucldea. Desarroll su teora ms que Bolyai y, al contrario de Gauss, tuvo el valor de publicar su trabajo. Parece que Gauss tuvo miedo de aparecer ridculo. A l se le consideraba el ms grande de los matemticos de su poca y, por tanto, su prestigio hubiera sufrido mucho.

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1 1 1 Regiones poligonales y sus reas

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Regiones poligonales 293

E n este captulo, estudiarem os las reas de regiones poligonales y aprenderem os a calcularlas. P ara este propsito, utilizaremos cuatro postulados nuevos.

P O S T U LA D O 19. El postulado del rea

A toda regin poligonal le corresponde un nmero positivo nico.

D efin ic i n

El rea de una regin poligonal es el nm ero que se le asigna segn el postulado 19. E l rea de la regin R se denota po r aR. Esto se lee rea de R.

De aqu en adelante, en este captulo, cuando hablemos de una regin, se entender siempre que nos referimos a una regin poligonal.

Claro est, el rea de una regin debe depender del tam ao y la form a de la regin solamente y no de la posicin de la regin en el espacio. Enunciamos esta idea como un postulado, para el caso de regiones triangulares.

P O S T U LA D O 20. El postulado de la congruencia

S i dos tringulos son congruentes, entonces las regiones triangulares determinadas por ellos tienen a misma rea.

Si dividimos una regin en dos partes, entonces el rea de la regin debe ser la sum a de las reas de las dos partes.

r2

Ri

aR aR] +a/?2 \/

En cada una de las figuras anteriores, la regin total R es la reunin de dos regiones y &2 - En cada caso, / , y R 2 se intersecan, a lo ms, en un nm ero finito de seg

mentos y puntos. Con stas condiciones, podem os calcular aR mediante adicin.

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P O S T U LA D O 21. El postulado de adicin de reas

Supongamos que la regin R es la reunin de dos regiones R , y R 2. Supongamos que R, y R 2 se intersecan a lo sumo en un nmero finito de segmentos y puntos Entonces, aR = aR + a R 2.

H ay casos simples en los cuales una regin es la reunin de otras dos regiones pero p ara ellos no es vlida la frm ula anterior. Si R , y R 2 son regiones triangulares como en la igura y R es su reunin, entonces aR es m enor que aR l + aR2. (Al sum ar contam os dos veces el rea de la regin en forma de diam ante d la parte central de la figura.) Por tanto, necesitamos la segunda clusula Supongamos . . . en la hiptesis del postulado de adicin de reas.

294 Regiones poligonales y gas reas

De la U nidad 2, recordam os que la unidad de distancia puede elegirse arb itra riam ente. Lo mismo es cierto con relacin a la unidad de rea. S in em bargo debemos ser consistentes al elegir nuestras unidades: si medimos distancias en metros entonces debemos m edir reas en m etros cuadrados; si utilizam os pies para medir

istancias, entonces debem os utilizar pies cuadrados para m edir reas: y as sucesivamente. E sta es la idea que sirve de base al siguiente postulado:

PO STU LA D O 22. El postulado de la unidad

El rea de una regin cuadrada es el cuadrado de la longitud de su lado.

a=e2

De ahora en adelante,.para abreviar, nos referiremos al rea de un cuadrado, al rea de un triangulo, y asi sucesivamente. E n cada caso, entendem os, desde luego, que se

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Regiones poligonales 29S

tra ta del rea de la regin correspondiente. Tam bin, hablarem os de la base y la a ltu ra de un rectngulo, por lo cual entenderem os la longitud de la base y la longitud de la altura. Esto es m uy conveniente y, en cada caso, el alum no deber decidir, a base del contexto, si nos referimos a un segmento o a l nm ero que constituye su medida.

A hora, podrem os, m ediante un simple artificio, determ inar el rea de un rectngulo.

Teorema 11-1 L

El rea de un rectngulo es el producto r

de su base y su altura. "1 rb

oR = bh

b h

Demostracin: Considrese la figura de la derecha.

Aqu, A denota el rea desconocida del rectngulo. Las reas de los dos cuadrados son b 2 y h2, po r el postulado 22; y el rea de toda la figura es (b + h)2. Por tanto , m ediante aplicacin repetida del postulado de adicin de reas,

IT L

b2

r

r

A

A

.....

---------------

te

b2 + 2A + h 2 = (b + h)2

= b2 + 2 bh + h2

yA = bh,

com o queram os dem ostrar.Si el alum no se pregunta cmo

sabemos, a base de los postulados, que los dos rectngulos de la figura tienen la misma rea, debe exam inar la figura de la derecha. Los cuatro tringulos son congruentes y, po r tanto , tienen la m isma rea; y el rea de cada rectngulo es dos veces el rea de cada tringulo.

b

b. | '

/ , h

=h

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2 % Regiones poligonales y sus reas

C onjunto de problem as 11-1

1. Mostrar que cada una de las siguientes regiones es poligonal, dividindola en regiones triangulares, segn la definicin de regin poligonal; trtese de obtener, en cada caso, el menor nmero posible de regiones triangulares:

2. En la figura de la izquierda, a continuacin, si aR, 50, oR2 = 25 y es la reunin de R y Rz, cul ser aR? Ctese un postulado o teorema que justifique la conclusin.

3. En la figura anterior de la derecha, si aR = 30, aR2 = 30 y R es la reunin de R y R i , ser aR - 60? Ctese un postulado o teorema que justifique la conclusin.

4. Calcular el rea de un rectngulo de 16 metfos de largo y 10 metros de ancho.

5. Un cuadrado y un rectngulo tienen reas iguales. Si el rectngulo mide 25 qm. por 16 cm., cul es la longitud de un lado del cuadrado?

6. Cmo vara el rea de un cuadrado si se duplica la longitud de un lado? Si se triplica? Y si se reduce a la mitad ?

7. (a) Si se duplica la altura de un rectngulo y no se altera la base, cmo vara el rea?(b) Si se duplica la base de un rectngulo y no se altera la altura, cmo vara el rea?(c) Si se duplican ambas, la altura y la base de un rectngulo, cmo vara el rea?

8. Cuntas losetas cuadradas de 4 pulgadas de lado se necesitarn para cubrir una pared rectangular de dimensiones 7 pies y 15 pies con 8 pulgadas?

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Regiones poligonales 297

9. Demostrar lo siguiente: Si dos rectngulos tienen la misma base, />, entonces la razn de sus reas es igual a la razn de sus alturas.

R,R2

b b

D em o stra r q u e a R \ a i = h \h ^ .

10. En un terreno rectangular, se van sembrar semillas de csped. Las dimensiones del terreno son 22 yardas y 28 yardas. Si se necesita un saco de 2 libras de semillas para cada 750 pies cuadrados de terreno, cuntos sacos se necesitarn para todo el terreno?

11. La figura de la derecha representa la cara de una parte de una mquina. Para calcular el costo de pintar un cierto nmero de estas partes, es necesario saber el rea de cada cara. Las regiones sombreadas no se van a pintar. Determnese el rea de la regin que debe pintarse. Qu postulados y teoremas se emplean al calcular el rea?

12. Calcular el rea de un rectngulo de base h y altura /;, dadas las siguientes medidas:(a) 6 = 1 7 y h = 12 (b) b = l j y h - 5 |(c) A = 3 y h = V 5 (d) b = VO y h = V 15 _

13. Calcular el rea de un cuadrado de lado s, dadas las siguientes medidas:(a) s = 24 (b) s = 3 (c) s.= V i (d) i = 4 V

14. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso, justificando las respuestas :

(a) Un cuadrado es una regin poligonal. - f >. r % ' '(b) A todo nmero positivo le corresponde una regin poligonal nica. i? c-J y ,.

15. En la figura de la. derecha. A, B, C, >, E, F y G se llaman vrtices; AB, BC, CD , >, EG, GA,EF, FD y FB se llaman lados; y las regiones poligonales ABE , FED y BCDFse llaman rams.El exterior de la figura tambin se considera una cara. Sea c el nmero de caras, v el nmero devrtices y I el nmero de lados. Un teorema descubierto por Euler, un famoso matemtico suizo, relaciona c, v y I mediante la expresin c - / + v. J g j e x p r e s a s erefiere a una clase amplia de figuras de las que la antenor es una posibilidad^ Calculemosc - l + v para esa figura. Tenemos c = 4, / = 9 y v = 7; por tanto, 4 - 9 + 7 - 2.

(a) Para cada una de las figuras que siguen, calclese c - t + v Obsrvese que losTados no tienen necesariamente que ser segmentos. La figura de la derecha podra ser una parte de un mapa en que se muestran distritos.

298 Regiones poligonales y sus reas

(b) Qu regla se observa en los resultados de los tres clculos ?

' (c) En la figura anterior de la izquierda, mrquese un punto en el interior del cuadriltero (C> y trcenle segmentos desde el punto a cada uno de los vrtices oComo influye esto

en el clculo de c - / + v? Puede el alumno explicar por que .

(d) Tmese un punto en el exterior de cualquiera de las figuras y nase a los dos vrtices ms cercanos. Cmo influye esto en el clculo de c 1+ v.

1 1 -2 . REAS D E TRINGULOS Y CUADRILTEROS

Calculemos ahora algunas reas, basndonos en nuestros postulados.

Teorem a 112

El rea de un tringulo rectngulo es la m itad del producto de sus catetos.

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reas de tringulos y cuadrilteros 299

Demostracin: Se da un tringulo rectngulo con catetos a y b. Sea A su rea. F o rmam os un rectngulo O U V W X (como el que se muestra en la figura de la derecha), dos de cuyos lados son los catetos del tr ingulo rectngulo. Entonces,

(1) A V U X S A X W V ,b

V

(2) a A X W V = A , a

(3) A + A = ab, U 1 X I Xb

(4) A %ab. aR = ab = 2 A.

Cul es la justificacin de todo esto? (Quizs, se necesite hacer ms de una cita para algunos de los pasos.)

D e este teorem a, podem os obtener una frm ula para el rea de un tringulo cualquiera. U na vez hagamos esto, no necesitaremos el teorem a 11-2, porque nuestro teorema general lo incluir como caso especial.

Teorem a 1 1 -3

El rea de un tringulo es la m itad del producto de cualquiera de sus bases y la altura correspondiente.

Demostracin: Sean b y h la base y la altura dadas, y sea A el rea del tringulo. Hay que considerar tres casos:

R R

(1) Si el pie de la a ltu ra est entre los extremos de la base, entonces la altura divide al tringulo dado en dos tringulos con bases b y b2 y, adem s, b x + b2 = b. Por el teorem a anterior, las reas de los dos tringulos son \ b {h y \ b 2h. Por el postulado de adicin de reas,

A $b,h + \ b 2h.

Por tanto,

A = 4(6, + b2)h = \b h ,

como queramos demostrar.(2) Si el pie de la altu ra es un extremo de la base, entonces nuestro tringulo es un

tringulo rectngulo y A = \bh , po r el teorem a anterior.

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. >300 Regiones poligonales y sus reas

(3) Si el pie de la altura est fuera de la ba;e, como en la tercera figura, tenemos

bh + A = + b)h,

yA = | bh,

como anteriorm ente. (C ul es la justificacin de esto?)

Obsrvese que el teorem a 11-3 puede aplicarse a cualquier tringulo, de tres maneras: podemos elegir cualquiera de los tres lados com o base, multiplicar po r la altura correspondiente, y dividir por 2. Obsrvese que, en la figura,

i V ' i , i b i h i y I M s

tienen que representar el m ismo nmero, porque cada uno de ellos da la respuesta correcta al mismo problema.

A hora que sabemos determ inar el rea de u n tringulo, lo dem s es sencillo: para determ inar el rea de una regin poligonal, la dividimos en tringulos y sum am os sus reas. Este procedim iento es particularm ente fcil en el caso de los trapecios.

Teorem a 1 1 -4

El rea de un trapecio es la m itad del producto de su altura y la sum a de sus bases.

Demostracin: Sea A el rea del trapecio. Cualquier diagonal d ivide al trapecio en dos tringulos, con bases b t y b2 y la misma altura h. (P or qu es P V = T R C) Por el postulado de adicin de reas,

A = \ b xh + \ b 2h

= ^(^i + 2)

como queram os dem ostrar.Esto nos da inm ediatam ente una frm ula para determ inar el rea de un paralelo

gramo.

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Teorema 11-5


El rea de un paralelogram o es el producto de una base cualquiera y la altura correspondiente.

Demostracin: Sea A el rea del paralelogramo. T odo paralelogram o es un trapecio, con b = b2 = b. Por tanto,

A = \h{b + b)

f b h .

La frm ula para el rea de un tringulo tiene dos consecuencias sencillas, pero muv tiles. 3

Teorem a 1 1 -6

Si dos tringulos tienen la misma base b y la misma altura /;, entonces tienen reas iguales.

Esto es evidente, porque el rea de cada uno de ellos es \bh .

Teorem a 1 1 -7

Si dos .tringulos tienen la misma altu ra h, entonces la razn de sus reas es igual a la razn de sus bases.

Demostracin: Sean b, y b2 las bases de los tringulos.

Entonces, a_AABC = ibJ b = b_1a A P Q R \b 2h b '

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C onjunto de problem as 11-2

1. En el A ABC, AC = S y la altura correspondiente a AC es 3. En el A DEF, EF - 6. Si a A ABC = a A DEF, determinar la altura correspondiente a EF.

A 8 c E 6 F

2. En el A PQR, el L P es un ngulo recto, PR = 16, PQ = 12 y RQ = 20.(a) Determinar el rea del A PQR.(b) Determinar la altura correspondiente a la hipotenusa.

3. En la figurajfc la derecha, B es el punto medio de AC, y El) \\AC. Demustrese que a SABE = a&BCD.

(4.)e1 UKMPR es un paralelogramo. Dado ^ q u e m /_K = 30, KM =11 y KR = 8,

calcular aUKMPR. 30K M

5. Un rombo tiene un lado de 12 unidades y la medida de un ngulo es 150. Determinar el rea del rombo.

6. Un tringulo rectngulo tiene catetos de 18 cm. y 14 cm., respectivamente. Otro tringulo rectngulo tiene catetos de 15 cm. y 24 cm., respectivamente. Cual es la razn de las reas de los dos tringulos?

7. Dos lados de un tringulo miden 15 pulgadas y. 20 pulgadas de largo, y la altura correspondiente al lado de 15 pulgadas mide 8 pulgadas. Cual es la longitud de la alturacorrespondiente al lado de 20 pulgadas?

8. En el A ABC, CD es la altura correspondiente a AB y A E es la altura correspondiente

a BC .(a) Si AB 8, CD 9, A E = 6, determnese BC.(b) Si AB = 1 1 , A E = 5, B C = 15, determnese CD.(c) Si CD = /;, AB c, BC = a, determnese AE.(d) Si AB = 15, CD 14, BC = 21, determnese AE.

4 9. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 50 centmetros de largo, uno de los catetos mide 14 centmetros de largo, y el rea del tringulo es 336 centmetros cuadrados. Cul es la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa . Cual es la longitut, de la altura correspondiente al cateto dado ?

10. Un tringulo y un paralelogramo tienen reas iguales y bases iguales. - Cmo comparan sus alturas?

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11. El UABCD es un paralelogramo, E H DC, C F AB y BG &.(a) Si A B = 18, E H = 10 y BG = 15,

Cunto es A D I

(b) Si AD = 22, BG = 7 y E H = 14,cunto es DC?

(c) Si C F = 1 2 , G = 16 y 5 C = 1 7 , entonces A B ?

(d) Si BG = 24, AD = 28 y A B = 32, entonces / / = ?

(e) S i/lS = v'50, C F = 6 yG B = V8, entonces BC = ?

12. En ia figura de la derecha, el UABCD es un cuadrado y los segmentos que forman el contorno de la estrella son congruentes.Determnese el rea de la estrella en trminos de y b.

13. Demostrar lo siguiente: Las dos regiones en las cuales una mediana de un tringulo divide a la regin triangular tienen reas iguales.


c

14. En la figura anterior de la derecha, el D M PRT es un paralelogramo y TS = SR = RO Indicar cul es la razn de:

(a) aA P R S a a&PRQ (b) alXPMQ a aO M PRT(c) a&PMQ a aA P Q S (d) aA P Q R a aO M PST

15. El UABCD es un trapecio con lados paralelos ~ABy CD.(a) Si A B = 18, DC = 12, h = 9, en

tonces aU A B C D = ?(b) Si aUABCD =- 84, AB = 17, CD =

11, entonces h = ?(c) Si aUABCD = 375, h = 15, A B =

38, entonces CD = ?| (d) Si A B = 15, DC = 8, BC = 10, y m_B = 30, entonces aU ABC D = ?I (e) Si AB = 13, h = 5, aD /5CZ) = 65, entonces CD = ?

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304 R egiones poligonales y su s reas

17. Un agrimensor iba a determinar el rea de un terreno representado por la figura ABC DE. Marc una recta en direccin norte-sur pasando por E y otras rectas en direccin este-oeste pasando por A, B, C y D respectivamente. Encontr que A O = 37 pies, BR = 47 pies, CQ = 42 pies, DP = 28 pies, PQ = 13 pies, QE = 7 pies, ER = 19 pies y RO 18 pies. Entonces, calculo el rea requerida. Determnese el rea con la aproximacin de una yarda cuadrada.

N.I

S J8 . Demostrar el siguiente teorema:

Si las diagonales de un cuadriltero convexo son perpendiculares, entonces el rea del cuadriltero es igual a la mitad del producto de las longitudes de las diagonales.

Sera cierto este teorema si no se exigiera que el cuadriltero fuera convexo?

s

19. El PQRS es convexo y PR i QS-

(a) Si PR = 12 y QS = 16, cunto es aOPQRS?

(b) Si aD PQ RS = I53 y PR = ,7 cunt0 es QS1

problema 18?]

21. Demostrar lo siguiente : Si las diagonales de un rombo son d y f, entonces el t o a del

rombo es dd'2.

22. El re . de . rombo es 3 y > longitud de una diagonal es 24. Determina, la longitud

de la otra diagonal.

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23. En la figura de la izquierda, a continuacin, A C B D . Si AC = 13 y BD - 8, podra determinarse a d A B C D l

* 24. En el DABCD, de la figura anterior de la derecha, A C biseca a BD. Demustrese que aA A B C = aAAD C.

* 25. Se da que el OABCD es un paralelogramo y que P, Q, R y S son los puntos medios de los lados. Demostrar que aO PQ RS = iaJABC D . g

* 26. Dado un tringulo cualquiera A M Q R, con dos medianas R S y M T, que se intersecan en P, demustrese que aA P M S = a&PRT.

* 27. El OABCD es en trapecio, DC || AB, E es el punto medio de AB, F es el punto medio de D E y G es el punto medio de CE. Demustrese que a&AFD = aABGC.

28. Se da el segmento AB en el plano E. Para todo nmero positivo k , hay al menos un punto P tal que aAABP = k . Habr ms de un punto? Cuntos? Descrbase el conjunto de todos los puntos P en el plano E tales que aAABP = k . Descrbase el conjunto de todos los puntos P en el espacio tales que aAABP = k.

* 29. El es un paralelogramo. Jes un punto de RS tal que R J < RS. K es un puntode RQ tal que RK < 'iRQ. Una recta que pasa por S y es paralela a PK interseca en M--- ( __a una recta que pasa por K y es paralela a PJ. PJ interseca a SM en L. Demustrese que aO PQ RS = aVjPKML. [Indicacin: Interseca RQ a SM?]

* +J>30. Demostrar lo siguiente: Si una recta L separa a una regin limitada por un paralelogramo en dos regiones de reas iguales, entonces la recta L contiene al punto de interseccin de las diagonales del paralelogramo.

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1 1 -3 . E L TEOREM A DE PITGORAS

A hora que sabemos trabajar con reas, es bastante fcil dem ostrar el teorem a de Pitgoras.

Teorem a 1 1 -8 . El teorem a de Pitgoras

E n un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostracin: Prim ero, tom am os un cuadrado cada uno de cuyos lados tiene longitud a + b. En este cuadrado, dibujam os cuatro tringulos rectngulos con catetos a y b.

(1) Por el postulado LAL, cada uno de los cuatro tringulos es congruente con el tringulo dado. Por tanto , todos tienen hipotenusa de longitud c, como muestra la figura de la derecha.

(2) E l cuadriltero form ado por las cuatro hipotenusas es u n cuadrado.E n la notacin de la figura, tenemos que

r + 5 = 90,

porque los ngulos agudos de u n tr ingulo rectngulo son complementarios. Como

r + s + t = 180,

se deduce que I = 90. Lo mismo ocurre para los otros ngulos de nuestro cuadriltero.

(3) Por el postulado de adicin de reas, el rea del cuadrado m ayor es igual al rea del cuadrado m enor, ms la sum a de las reas de los cuatro tringulos congruentes. Esto da

(a + b)2 = c2 + 4 \ab.

Por tanto,a2 + la b + b2 = c2 + 2 ab, y a2 + b2 = c2,

como queramos demostrar.

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E l teorem a de P itgoras 307

El recproco del teorem a de Pitgoras es tam bin cierto.

Teorem a 1 1 -9

Si el cuadrado de un lado de un tringulo es igual a la sum a de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el tringulo es un tringulo rectngulo, con su ngulo recto opuesto al'lado ms largo.

Demostracin: Se da el A A B C y a2 + b2 = c2, como en la figura. Sea el A A 'B 'C un triangulo rectngulo con catetos a y b, c hipotenusa d. Entonces, c = d, porque d - a +> = c2. P o r el postulado LLL, A A B C ^ A A 'B 'C '. Luego, C s C ' C om o el L C ' es un ngulo recto, tam bin lo es el A C.

Pitgoras es generalmente considerado como el primero de los grandes matemticos griegos, pero se sabe muy poco acerca de su persona.Naci alrededor del ao 582 a. de J.C. y vivi primero en la isla de Samos, en el mar Egeo, y ms tarde en el sur de Italia.

Pitgoras y sus discpulos se dedicaron al estudio de la matemtica, la astronoma y la filosofa. A ellos se les atribuye el haber convertido la geometra en una ciencia. Demostraron el teorema de Pitgoras y descubrieron la existencia de los nmeros irracionales. Sus conocimientos de la astronoma fueron muy valiosos: en el siglo VI a. de J.C., saban que la Tierra eraredonda y que giraba alrededor del Sol. N o dejaron escritos de sus trabajos, y nadie sabe cmo lograron ootener estos conocimientos, ni cules de sus descubrimientos se deban a Pitgoras mismo.

P it g o r a s

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308 Regiones poligonales y su s reas

C onjunto de problem as 113

)rl. En un tringulo rectngulo A ABC, c es la longitud de la hipotenusa y a y b son las longitudes de los catetos.

(a) Si a 12 y b = 16, entonces c = ?

(b) Si a = 24 y c 25, entonces b = ?(c) Si a = I y b = 2, entonces c = ?(d) Si b = 18 y c = 20, entonces a = ?

(e) Si a = 7 y b - 7, entonces c = ?(f) Si a = 6 y c 12, entonces b = ?

2. Una persona camina 7 kilmetros hacia el norte, despus 3 kilmetros hacia el este y, luego, 3 kilmetros hacia el sur. A qu distancia est del punto de partida?

3. Una persona camina 1 milla hacia el norte, 2 millas hacia el este, 3 millas hacia el norte y 4 millas hacia el este. A qu distancia est del punto de partida?

4. En el cuerpo rectangular mostrado a la derecha, cada dos aristas que se intersecan son perpendiculares. Si A E = 3, A B - 4 y B C - 12, determnense las longitudes de las diagonales BE y BH.

5. La longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es 17 y la de uno de los catetos$ es 15. Calcular el rea del tringulo.

6. Los lados de un tringulo miden 6 cm., 9 cm. y 11 cm., respectivamente. Es ste untringulo rectngulo? Si lo es, cul de los lados es la hipotenusa?

7. (a) Demostrar lo siguiente: Si m y n son nmeros naturales y m > n, entonces m 1 + n2ser la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos tienen longitudes m 2 n 1 y 2mu. Qu teorema se utiliza para demostrar esto?

(b) Construir una tabla con columnas que tengan los siguientes ttulos:

\m\n\ml nl \2mn\m2 + n2\

Utilcese el mtodo de la parte (a) para anotar en la tabla las longitudes expresadas con nmeros enteros de los lados de los tringulos rectngulos en los cuales la longitud de la hipotenusa sea igual o menor que 25. Hay seis ternas de esa clase, llamadas "ternas pitagricas .

8. Si p y q son las longitudes de los catetos de un tringulo rectngulo y r es la longitud de la hipotenusa, demostrar que para cualquier nmero positivo k, los nmeros kp, kq y kr 'son tambin las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo.

H G

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E l teorem a de Pitgorg 309

9. Cules de los siguientes conjuntos de nmeros podran ser las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo?(a) 30, 40,60. (b) 16, 30, 34.(d) I , 1, l i (e) 1,4,4,8, 5,0.

(c) 10,24,26.(f) l , 2 # 3 |.

10. En el A ABC, el A C es un ngulo recto, AC = 20 y BC =-15. Determinar:(a) &AABC (b) AB(c) la altura correspondiente a la hipotenusa.

Y 5

i A

. 11. La longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es 51 y la longitud de un cateto es 24. Calcular el rea del tringulo.

Q i

En la figura de la derecha, QR = 5, RP - 12, R T = h, y QR RP, R T PQ. Determnese el valor de h.

13. Si las longitudes de los catetos d un tringulo rectngulo son a y b, determinar la longitud, h, de la altura correspondiente a la hipotenusa, en trminos de a y b.

14.

15.

16.

Las longitudes de los catetos de uh tringulo rectngulo son 24 y 32. Determinar la altura correspondiente a la hipotenusa.

En un rombo, cada lado mide 10 pulgadas de largo y una diagonal mide 12 pulgadas de largo. Determinar el rea del rombo. Determnese, tambin, la altura correspondiente a un lado cualquiera.

Un ngulo de un rombo tiene por medida 60 y la longitud de uno de los lados es 5. Determinar la longitud de cada diagonal.

17.

18.

El ABCD es un trapecio, con AB DC. Si los segmentos tienen las longitudes indicadas en la figura, determnese el rea del trapecio.

(a) Si los ngulos rectos y las longitudes de los segmentos son los indicados en la figura, determnense PB, PC y PD.

(b) Si se continuara la construccin indicada en la figura, tomando m /_ P D E ^ 90 y DE 1, cunto sera P EI Cul sera la longitud del siguiente segmento desde P? El alumno deber descubrir una regla interesante.

D 12 C

\

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19. Una demostracin del teorema de Pitgoras, a base de la figura de la derecha, fue descubierta por el General James A. Garfield varios aos antes de llegar a ser Presidente de los Estados Unidos. Se public alrededor del ao 1875 en el New England Journal o f Education. Demustrese que a2 + b2 = c2, expresando algebraicamente que el rea del trapecio es igual a la suma de las reas de los tres tringulos. El alumno deber incluir una demostracin de que el /_EBA es un ngulo recto.

D o

20. Se da el trapecio OABCD, con AB || DC, AC _L BC y BD A D . Si A B = 25, AD = \5 y 5C = 15, cul ser el rea del trapecio ?

21. En el A ABC de la figura siguiente de la izquierda, AC = 13, AB = 14 y BC = 15.(a) Determinar la altura hc. (b) Determinar la altura hb, correspondiente al

lado AC.

22. En el APQR de la figura anterior de la derecha, el _Q es obtuso, PQ = 1 1 , QR = 25 PR = 30. Determinar la altura correspondiente a PQ y, tambin, aAPQR.

M23. En el A MOQ, MO O Q ,

M O = OP = 1 y M P = PQ.

Determinar M Q , m_Q y tn/_QMO.

24. La figura de la derecha representa un tetraedro ABCD con todas sus aristas congruentes y cada una de longitud 2. R y S son los puntos medios de DC y AB, respectivamente.(a) Demostrar que RS es perpendicular a ambos

A B y D C .(b) Determinar RS.

~ - - 7 c

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E l teorem a de P itgoras 311

25. Los antiguos griegos conocan el teorema de Pitgoras en la siguiente forma:

El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

oDACSR = oD A M O P.

La figura de la izquierda ilustra el teorema; la figura de la derecha se utiliza en la demostracin. Las siguientes preguntas, junto con las respuestas del alumno, sugieren unademostracin:

(a) Por qu es .RAB s _CAM?(b) Por qu es A RAB ACAM 1

(c) Por qu es aA R A B = aA C A M I(d) Es una altura del A RAB igual a AC?(e) Por qu es aD /fC S# = 2a A RAB?

(f) Es aO AM Q P = 2aACAM ?(g) Por qu es aCJ/lCSV? = aUAM QP?(h) Es aUBHGC = aUPQKB?

(i) Es aU AM K B = aU AM Q P + aOPQKB? Porqu?

PROBLEMA OPTATIVO

El ABCD es un cuadrado; H , I, J y K son los puntos medios de sus lados, como se indica en la figura; y el PQRS es un cuadrado. Determinar la razn

aU PQ RS aOABCD

D J c

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312 R egiones poligonales y sus reas

11-1. TRINGULOS ESPECIALES

%E1 teorema de Pitgoras nos da informacin acerca de algunos tringulos especiales.

Teorem a 1 1 -1 0 . El teorem a del tringulo rectngulo issceles

En un tringulo rectngulo issceles, la hipotenusa es ~Jl veces el largo de un cateto.

La demostracin se deja al alumno.

El recproco es tambin cierto.

Teorem a 11-11

Si la base de un tringulo issceles es veces el largo de cada uno de los dos lados congruentes, entonces el ngulo opuesto a la base es un ngulo recto.

La demostracin empieza con la observacin de que a2 + a2 = (a^Jl)2.En la seccin 9-7, aprendimos que en un tringulo 30-60-90, el lado opuesto al

ngulo de 30 tiene una longitud igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa, y, tambin, sabemos que el recproco es cierto:

El teorema de Pitgoras ahora nos da la relacin entre la hipotenusa y el lado ms largo, para un tringulo 30-60-90.

Teorem a 1 1 -1 2

En un tringulo 30-60-90, el lado ms largo es ^ 3 /2 veces el largo de la hipotenusa.

c = o v " 2 .

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Tringulos especiales 313

Demostracin: Sea c a longitud de la hipotenusa y sea b la longitud del lado ms largo. Entonces, la longitud del lado ms corto es c/2. Por el teorem a de Pitgoras,

Despejando b, obtenemos

[Pregunta: Ser cierto que en un tringulo 30-60-90, la longitud del lado ms largo es veces la longitud del lado ms corto ?]

C onjunto de problem as 11 -4

1. Determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado, si la longitud de su lado es 6 9- 78; V 2 ; V I .

2. Determinar la longitud del lado ms largo de un tringulo 30-60-90, si la hipotenusa es 4; 18; 98 ;2 V 3 ; 13.

^ 8 c m

4 . Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo son congruentes y la longitud de uno de los lados congruentes es 15. Cul es la longitud del tercer lado?

uno de los dos lados congruentes tiene longitud 14. Cul es la longitud de la base? Cul es el rea del tringulo?

7. Las longitudes de dos lados de un paralelogramo son 18 y 8, y la medida de un ngulo es 30. Determnese el rea del paralelogramo.

8. Determinar el rea de un tringulo issceles cuyos lados congruentes tienen cada uno longitud de 20 y cuyos ngulos en la base tienen medidas de 30; de 45; y de 60.

C

3.. El A ABC es equiltero. Si la longitud de cada lado es8 cm., cul es la longitud de la altura correspondiente 8 a AB? Cul es el rea del A ABC?

5. En el APQR, m_P = 30, PR = 8 y PQ =11. Determinar la jong itud de la altura correspondiente a PQ y el rea del A PQR.

P 11 Q6. La medida de cada uno de los ngulos en la base de un tringulo issceles es 30, y cada

9 . En el AABC, el .A es un ngulo recto y m_B = m L C = 45. Dado que BC = 6, determnese AB.

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10. Demostrar lo siguiente: Si la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles tiene longitud m, entonces cada uno de los dos lados congruentes tiene una longitud de mV2.

11. Determinar el rea del tringulo issceles, cada uno de cuyos lados congruentes mide 12 pulgadas de largo, si los ngulos en la base tienen medidas de:

(a) 45 (b) 30 (c) 60

12. Determinar el rea de un tringulo issceles cuya base tiene longitud 12, si los ngulos en la base tienen medidas de:

(a) 45 (b) 30 (c) 60

13. En el trapecio DABCD, las medidasde los ngulos en la base son 45 y 30,como se indica; BC = 16 y DC = 5.Determnese

aOABCD.

14. La altura de un tringulo equiltero es 12. Determinar del tringulo.

15. Demostrar que el rea de un tringulo equilteroS 2 '

cuyo lado tiene longitud S, viene dada por V3.

16. El lado de un tringulo equiltero es igual a la altura de un segundo tringulo equiltero. Cul es la razn de sus reas?

17. El rea de un tringulo equiltero es 25 V3. Determinar las longitudes de los lados y las alturas.

.18. Un cuadrado cuya rea es 81 tiene su permetro igual al permetro de un tringulo equiltero. Cul es el rea del tringulo?

la longitud de un lado y el rea

C

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Tringulos especiales 315

20. En el cubo que se muestra a la derecha, las aristas son congruentes y son perpendiculares, si se intersecan. Si un lado tiene longitud 6, determnense aOACGE y aAACF.

* 21. En el A ABC, m /_A = 30, A C = 4 y A B = 3V3. Determnese BC. Es el _C un ngulo recto? Cmo se sabe?

* 22. En el A PQR, el _Q es obtuso,

m_P = 45, PR = 10 y PQ = 3.

Determnense RQ y a A PQR.

+ 23. En la siguiente figura, m_ K-PQ-M = 60. El cuadrado QABCD est en una cara, conAB | PQ, y se proyect en la otra cara, resultando el UEFGH. Si A B = V26, determnese aUEFGH.

19. En la figura de la derecha, el A ABC est en el plano E y PA E .

PB = BC = 8,

PC = 4V6

y m_BPA =30.

Determnense las medidas de tantos otros ngulos y segmentos como sea posible. Tambin, determnese aAPBC.

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* + 24. En la figura de la derecha, mLK-PQ-M = 45. El cuadrado ABCD est en una cara, con BD PQ, y se proyect en la otra cara, resultando el OEFGH. Si AB = 8, determnese aOEFGH.

** 25. Los planos E y F se intersecan en AB,formando un ngulo diedro. En F,

R epaso de la u n idad 3 1 7

6. Un tringulo tiene lados que miden 25, 25 y 48. Determinar su rea.

7. Una mediana de un tringulo equiltero mide 15 pulgadas de largo. Cul es el rea del tringulo?

8. El OABCD es un paralelogramo, CK _L AB y el _ M es un ngulo recto.

(a) Si BC 12, D M = 15 y KC 9, determnense DC y CM.

(b) Si K C = V -24, AK = V 8 y KB = V 8, determnense /)Z> y DM.

9. La longitud de un lado de un rombo es 13 y la de una de sus diagonales es 24. Determinar el rea del rombo.

10. En el A ABC, AB = 14, la longitud de la mediana CD es 8 y m/_ADC = 60. Calcular a AABC.

11. Deducir una frmula para el rea de la figura de la derecha, en trminos de a, b y c.

I 12. Un trapecio tiene lados paralelos de 13 cm. y 21 cm. de longitud. El lado ms largo de los lados no paralelos mide 17 cm. y el ms corto es perpendicular a los lados paralelos. Calclese el rea del trapecio.

13. En el paralelogramo JABCD, M es el punto medio de AD y K es el punto medio de AB. Demustrese que

aUAKCM = J Q ABCD.H G

14. En el cuerpo rectangular representado a la derecha, AG y EC son diagonales. Si A B = 9, BF = 1 2 y AD = 8, determnense AG y EC.

F

15. Cul es la longitud de la diagonal de un cubo cuya arista tiene longitud 6 ?

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16. En el paralelogramo DABCD, las bisectrices de los ngulos _A y C intersecan a la diagonal DB en E y F, respectivamente.Demostrar que las regiones A BCFE y A EFCD tienen la misma rea.

17. Un segmento dado es un lado de un cuadrado y, tambin, la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles. Demustrese que el rea del cuadrado es cuatro veces el rea del tringulo. (Debe tratarse de resolver este problema sin m ilia r frmula alguna de rea.)

18. El rea de un tringulo equiltero es 100\/3. Cules son las longitudes de sus lados y alturas?

19. El \JABCD es un trapecio, con AB || CD. m /_ A = m /_ B = 60 y A B = 12. Tambin, BC = 8. Determnese aQABCD.

20. El QABCD es un cuadrado. E est en A D y F est en DC, de modo que EB _L FB. Si a \JABCD = 256 y a\EBF = 200, determnese CF.

21. El O PQ RS es un trapecio, con PQ |[ SR. m/_P = 45 y / L f? = 120. Si PS = 12V2 y PQ = 27,cul es anP Q R S?

22. En un tringulo, dos lados tienen longitudes a y b. La altura correspondiente al tercer lado divide a ste en segmentos de longitudes c y d, respectivamente. Demustrese que

(a + b)(a - b) = (c + d)(c - d).

23. Datos: El DABCD es un trapecio, con AB || CD; M y K son los puntos medios de ADy BC, respectivamente; PK || AD.

Demostrar que a&APD = aOPBCD =iaO ABCD .

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Repaso de la unidad 319

24. Se dan dos paralelogramos cualesquiera en un plano. Explicar cmo se puede dibujar una sola recta que divide a cada una de las regiones limitadas por los paralelogramos en dos regiones de igual rea.

PROBLEMA OPTATIVO

La figura de la derecha consiste en cuatro tringulos rectngulos, cuatro rectngulos y un agujero cuadrado de lado una unidad.(a) Determinar la suma de las

reas de las ocho regiones.(No deber contarse el agujero.)

(b) Determnense l longitud de la base, DE, y la de la altura desde A hasta DE. Calclese la mitad del producto de esos dos nmeros.

(c) Puede el alumno explicar por qu los resultados de las partes (a) y (b) son iguales, a pesar del agujero?

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12 I Semejanza

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1 2 -1 . EL CONCEPTO DE SEMEJANZA. PROPORCIONALIDAD

En trminos corrientes, dos figuras geomtricas son semejantes, si tienen exactamente la misma form a, pero no necesariamente el mismo tam ao. Por ejemplo, dos circunferencias cualesquiera son semejantes; dos cuadrados cualesquiera son semejantes; dos tringulos equilteros cualesquiera son semejantes; y dos segmentos cualesquiera son semejantes.

O tra m anera de expresar esto es decir que dos figuras son semejantes, si una de ellas es un modelo a escala de la otra.

Las marcas en las figuras siguientes indican que los dos tringulos deben ser sem ejantes;

Debe ser posible estirar el prim er tringulo, duplicando su tam ao sin alterar su forma, para que coincida con el segundo tringulo. El esquema del estiram iento puede representarse m ediante la correspondencia

Desde luego, esta correspondencia no es una congruencia, porque la longitud de cada lado del segundo tringulo es dos veces la del lado correspondiente del primero. Llam am os semejanzas a las correspondencias de este tipo. M s adelante, en este captulo, se dar una definicin precisa de una semejanza.

En ve? de estirar las cosas, las semejanzas tam bin pueden contraeras. Por ejemplo, la correspondencia

ABC*-* A 'B 'C '.

A 'B 'C '*-*A B C

contrae el segundo tringulo para hacerlo coincidir con el primero.

321

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Obsrvese que las longitudes de los lados de nuestros dos tringulos form an dos tem as de nm eros positivos, a, b, c y a ', b', c'. Entre estas dos ternas existe una relacin especial: cada nm ero de la segunda terna es exactam ente el doble del nm ero correspondiente de la prim era terna. As,

a' = 2a, b' = 2b, c' = 2c.

O, dicho a la inversa, cada nm ero de la prim era terna es exactamente la mitad del nm ero correspondiente de la segunda terna:

a = \a!, b = \b ', c \ c ' .

Luego,

a b c

porque cada una de estas fracciones es igual a 2 ; y

a b e ai ~ b ' ~ c

porque cada una de estas fracciones es igual a Las ternas que estn relacionadas de esta m anera se dicen ser proporcionales.

322 Sem ejanza

D efin ic i n

Sean dadas dos sucesiones de nm eros positivos a, b, c , ... y p , q, r, . . . . Si

a _ b _ c _ p q r

entonces las sucesiones a, b, c, ... y p, q, r, ... son proporcionales.

Evidentemente, esta definicin no depende del orden en que se nom bren las dos sucesiones; pues, si

a b e p ~ q ~ r

entonces

a b e

y recprocamente.

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E l concepto de sem ejanza. Proporcionalidad 323

Tratarem os la proporcionalidad con los m todos corrientes del lgebra. La proporcionalidad ms fcil de manejar es la que com prende solamente cuatro nmeros. A m enudo, llamamos a una proporcionalidad de este tipo una proporcin. A continuacin, se dan algunos ejemplos de propiedades que el alum no mismo podra descubrir, sabiendo que a, b y p ,q son proporcionales.

Se da:

(1) - =P

324 Sem ejanza


1. Indquense los nmeros que harn una proporcionalidad de cada uno de los siguientes enunciados:

o- 5 15(a) Si - = , entonces 9-15 = 5-

792 198 ? 1 - i3960 1 ~ 495 ~ ? ?5 _ !0 ? 5V2 ?4 ? _ 28 ? 0^04

(b) ^ y > entonces 7a i (c) Si ^ , entonces 8jc

3. En cada una de las siguientes proporciones, determinar el valor de

H- Slil2 4 x 1 4 134. Completar cada enunciado:

(a) Si = - , e n t o n c e s x = _ J _ - ^ . (b) S i f = , entonces = .

3 7 7 9 1 8 10 18

/ i >. 3 12 16 12 a . r n(c) Sl a = 72 entoncesT = T (d) Si 7 = - . entonces - = 7

** J o 4 i b d c

5. Determinar la media geomtrica de 4 y 9; de 7 y 14; de 15 y 60.

6. Completar cada enunciado:

(a) Si 3a = 2b, entonces - = 7 y - = 7b 2

(b) Si 4/h = 15, entonces - = ? y - = 75 * 3

(c) Si 6x 5-9. entonces = 7 v = 75 3 x -------------

E l concepto de sem ejanza. Proporcionalidad 325

8. Completar cada enunciado:

, , 5 15 5 + 1 2 1 5 + ?(a) Si = , entonces-------- .

12 36 12 36

7 98 7(b) Si - = , entonces - = ;

9 36 2 3 6 - ?

. . a 6 . a + b , a b(c) Si - = - , entonces = y b 5 b b

... a + c 11 a n c(d) S i------ = , entonces - = y - = .

e l c a

9. Considrense las tres cuaternas siguientes. Qu pares de cuaternas son proporcionales?(a) 3, 8, 12, 17. (b) 9, 24, 36, 51. (c) i , , 15,

Es fcil ver que las cuaternas (a) y (b) son proporcionales, puesto que cada nmero de(b) es tres veces el nmero correspondiente de (a). Pero comparar (a) y (c) o (b) y (c) no es sencillo. Una manera eficaz de hacerlo es convertir cada cuaterna en una cuaterna proporcional que empiece con 1, asi:

(a) 1 ,1 , 4, .

(b) 1, 4, 1, f , .

i ________(c) l , 4

Contstese ahora la pregunta.

10. Cules de los siguientes pares de temas son proporcionales? Quizs, el alumno desee emplear el mtodo del problema 9 como ayuda.(a) 5, 7, 9. (b) 1, 2, 3. (c) 2 , 3 , 4 | . (d) 8, 15, 17.(e) 15,30,45. (f) 16, 30, 34. ( g ) i , t , l . (h) 1,25, 1,75, 2,25

11. Si x/40 = y 50 =30/20, cules son los valores de x y y t

12. Si 3p = 5/g = W26 = q/20, cules son los valores d e p ,q y r?

13. Cules de los siguientes enunciados son ciertos para todos los valores de las variables utilizadas, salvo, desde luego, los valores que podran hacer cero algn trmino de una sucesin ?

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326 Sem ejanza

+ 14. (a) Considrese la proporcionalidad I = = = A = i f . Verifiqese que

2 - j - 4 + 6 + 8 + 1 8 _ 2 3 + 6 + 9 + 1 2 + 2 7 ~ 3

Es apropiado el mismo procedimiento para otra proporcionalidad cualquiera? Trtese con alguna.

(b) Demustrese que si

= - ^ = - b d f h '

entoncesa + c + e + ff a b + d + f + h = ~b'

[Sugerencia: Sea a/b = k. Entonces, a = kb. Tambin, c = k d ,e = k f g = kh. Es

g c + g + g - A,, b + d + f + h 1

PROBLEM A OPTATIVO

Demostrar el siguiente teorema:

La media geomtrica de dos nmeros positivos diferentes es siempre menor que su media aritmtica.

[Sugerencia: Tmese a > b > 0. Mustrese que Vab < i(a + b). Supngase primero que la desigualdad propuesta es vlida y dedzcase de la misma una desigualdad que sabemos es cierta. Esto le indicar al alumno cmo iniciar la demostracin.]

12 -2 . SEM EJANZA D E TRINGULOS

A hora, enunciamos la definicin de una semejanza entre dos tringulos. Supongamos que se nos da una correspondencia ABC*-* A 'B 'C ' entre los tringulos A ABC y A A 'B 'C . Como se acostum bra, a designa la longitud del lado opuesto a A, b designa la longitud del lado opuesto a B, y as sucesivamente.Si los ngulos correspondientes son congruentes y

a _ b c a '~ b ' =

entonces decimos que la correspondencia A B C

Sem ejanza de tringulos 327

Sea dada una correspondencia entre dos tringulos. Si los ngulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces la correspondencia se llama una semejanza y decimos que los tringulos son semejantes.

La situacin aqu es com o en el caso de la congruencia: A A B C ~ A A 'B 'C ' significa no solamente que los tringulos son semejantes, sino tam bin que la correspondencia particular ABC*-* A 'B 'C ' es una semejanza. As, dado que A A B C ~ A A 'B 'C ', podem os inmediatamente escribir la proporcionalidad /

A ''ncL'jie-i CO-,

D efin ic in ,

aa'

b_b'

sin tener que referirnos a una figura. Si las longitudes de los lados no estn indicadas, estas igualdades tom an la form a A , ..

B C A C A B_ XKLCJL'

B C C ' A 'B '

La definicin de semejanza exige dos cosas: (1) los ngulos correspondientes deben ser congruentes, y (2) los lados correspondientes deben ser proporcionales. Para el caso de los tringulos, resultar que si se cumple una de las dos condiciones, tam bin se cumple la otra. Es decir, si los ngulos correspondientes son congruentes, entonces los lados correspondientes son proporcionales, y recprocamente. Estas relaciones se presentan en el teorem a de semejanza A A A y el teorem a de semejanza LLL, que se dem ostrarn ms adelante en este captulo.

Al exigir las condiciones (1) y (2), nos aseguramos de que existe la semejanza, y esto es m uy conveniente, porque los tringulos son las nicas figuras para las cuales el concepto de semejanza es muy sencillo. Consideremos, por ejemplo, un cuadrado y un rectngulo:

J L

1 r

J L

i - ......... :

En la correspondencia ABC D

328 Sem ejanza

Para otros cuadrilteros, puede cumplirse la condicin (2) y no la (1). Consideremos u n cuadrado y un rom bo :

E n la correspondencia ABCD+->A'B'C'D', los lados correspondientes son proporcionales, pero las figuras tienen formas bien diferentes.

Conjunto de problem as 12-2

1. Dado que A ABC ~ A DEF y que las longitudes de los lados son las indicadas, determnense x y y.

2. Un trozo de cartulina se recort, como muestra la figura anterior de la derecha, de manera que sus bordes interiores y exteriores formaran cuadrilteros semejantes. Si las longitudes de los lados son las que se indican, determnense los valores de r, s y t.

A D = 5, A E = 6, SC = 1 2y

AB = 15,

determnense A C y DE.

4. Si A ABC = A A 'B 'C ', podr deducirse que AA B C ~ A A 'B 'C 'l Porqu?

5. Se sacaron dos copias de un negativo, una natural y la otra ampliada. En la copia natural, un objeto tiene 5 centmetros de ancho y 6 centmetros de alto. En la copia ampliada, el mismo objeto tiene 19 centmetros de ancho. Qu altura tiene el objeto en la copia ampliada?

3. En la figura de la derecha, AABC ~ A ADE. Si

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Sem ejanza de tringulos 329

6. Juan puede obtener una buena aproximacin de la altura de un rbol mediante el procedimiento siguiente: Primero, se coloca junto al rbol y hace una seal en l a 1,5 metros del suelo. Entonces, se aleja 40 pasos (30 metros) del rbol, y, volvindose hacia l, manteniendo vertical una regla de 15 centmetros frente a sus ojos, la mueve hasta lograr que la regla le tape exactamente la vista de la parte del rbol que queda por encima de la seal. Mediante una cuerda, pasando por un agujero en el extremo inferior de la regla, mide en centmetros la distancia AB, desde su ojo a la regla. Despus, resulta ya fcil calcular la altura del rbol por medio de la frmula

(a) Explicar por qu la frmula da la altura del rbol. Cul es la unidad de medida?(b) Si la cuerda mide 20 centmetros, cul es la altura del rbol?

7. Demostrar lo siguiente: Si, en el AABC, D y E son los puntos medios de A C y BC, respectivamente, entonces ACDE ~ ACAB.

8. Demostrar que el tringulo cuyos vrtices son los puntos medios de los lados de un tringulo dado es semejante al tringulo dado.

9. Se da la figura de la izquierda, a continuacin, con A P M K ~ A KLR. Demustrese que -Q LM K L.

C'h =

R

8

10. Se da el trapecio ABCD, con AB || CD y A AED ~ A BEC.

Demostrar que AD BC.

[.Sugerencia: Qu otros tringulos son semejantes?]

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330 Sem ejanza

12-3. E L TEOREMA FUNDAMENTAL D E LA PROPORCIONALIDAD Y SU RECPROCO

Considrese un tringulo A A BC, y un segmento de recta transversal D E paralelo a la base 5C . Parece que la correspondencia A B C -* A D E debe ser una semejanza. E n efecto, es bastante fcil dem ostrar que los ngulos correspondientes son congruentes. (Cmo se deduce esto?) D em ostrar que los lados correspondientes son p ro porcionales es un poco ms difcil. Em pezamos con el siguiente teorem a, que dice que los lados inclinados de la figura de la derecha son proporcionales:

Teorem a 1 2 -1 . El teorema fundamental de la proporcionalidad

Si u n a recta paralela a un lado de un tringulo interseca en puntos distintos a los o tros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.

O de otro modo: En el A ABC, sean D y E puntos de A B y A C tales que D E || BC. Entonces,

Demostracin: E n los tringulosA A D E y A BD E, tom em os a A D y B D como bases, respectivamente. Entonces, estos tringulos tienen la m isma altura. (Por qu?) E n consecuencia, por el teorem a 11-7, la razn de sus reas es igual a la razn de sus bases y tenemos que

a A B D E BD ( a A A D E ~ A D '

Anlogam ente, en los tringulos A A D E y A C D E , consideremos a A E y C E com o bases, respectivamente. Puesto que estos tringulos tienen la misma altura, concluimos, como antes, que

a A C D E CE(2) =

a A A D E A E

A B _ AC A D ~ A E '

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E l teorem a fundam ental de la proporcionalidad y su recproco 331

A hora bien, los tringulos A B D E y A C D E tienen la m isma base DE. (Vase la figura a la derecha del segundo enunciado del teorem a.) Tam bin, tienen la misma altura, pues D E y B C son paralelas. Por tanto , en virtud del teorem a 11-6,

(3) a A B D E = aA C D E .

D e las tres ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos

(4)A D A E

Sumando 1 a am bos m iembros de la ecuacin (4), obtenemos

... B D + A D ' C E + A E A B A C----- 77 = 777 0 sea T 7 ; = T F >A D A E A D A E

como queram os demostrar.El recproco del teorem a fundam ntal de la proporcionalidad es ms fcil de

demostrar.

Teorem a 1 2 -2

Si una recta interseca a dos lados de un tringulo y determ ina sobre dichos lados segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.

O de otro modo: Se da el A ABC. Sea D un punto entre A y B, y E un punto entre A y C. Si

A B AC A D A E

entonces D E || BC.

Demostracin: Sea B C ' la recta que pasa por B, paralela a D E, y que interseca a A C en C . Por el teorem a anterior,

Puesto que, po r hiptesis,

tenemos que

A B A CAD A E '

A B A CA D ~ A E

A C __ A CA E A E

y AC' = AC. Por tanto, C = C' y D E | BC.

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332 Sem ejanza

C onjunto de problem as 123

1. En el A ABC, DE || AB.(a) Si A C = 12, CD = 4 y BC = 24, determnese

CE.(b) Si A C = 15, AD = 3 y BC = 25, determnese

BE.(c) Si AD = 6, CD = 4 y CE = 1, determnese

BC.(d) Si CD = 8, /fC = 18 y BE = 6, determnese

CE.(e) Si AD = CE, C D = 4 y EB = 9, determnese

*4C.

2. Sabiendo que ST || B g en el A PQR, compltense los siguientes enunciados:

RRP 1(a) = R S ?

(c)

(e)

* ? SPRP

RSR T ? /?/> ?

3. En cada uno de los siguientes tringulos, se traz un segmento paralelo a una base y se indicaron las longitudes de ciertos segmentos. En cada caso, determnese x en trminos de las otras letras.

4. En el A JM K ,m /_M = m _H G K = x.(a) Si JH = 1, JK = 21 y G K = 10, deter

mnese MG.(b) Si HK = MG, M K = 6 y JH = 8, deter

mnese GK.4, deter-(c) Si GK = 7, HK = 2MG y JH --

mnese JK.(d) Si KJ = 24, H K = M K y KG = 4, deter

mnese MK.

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Teorem a fundam ental de la proporcionalidad y su recproco 333

5. Si los segmentos de la figura de la izquierda, a continuacin, tienen las longitudes indicadas, ser PQ || A B ? Justifiqese la respuesta.

6. Si los segmentos de la figura anterior de la derecha tienen las longitudes indicadas, ser UV || R71 Justifiqese la respuesta.

7. Para cules de los siguientes conjuntos de longitudes ser FG BC1(a) AB = 14, A F = 6 , A C = 7, AG = 3.(b) AB = 12, FB = 3, AC = 8, AG = 6.(c) A F = 6, FB = 5, AG = 9, GC = 8.

(d) AC= 21, GC = 9, ,4 5 = 14, ^ F = 5.

8. Dada la figura de la derecha, con las propiedades indicadas, determinar todos los valores de x para los cuales ser DE |! AB.

3x -

9. Demostrar el siguiente teorema:

La bisectriz de un ngulo de un tringulo divide al lado longitudes son proporcionales a los lados adyacentes a

O de otro modo: En el A ABC, si AD biseca al L A y D est en BC, entonces

10. Utilcese el teorema del problema 9 para contestar las siguientes preguntas:(a) Las longitudes de los lados de u h tringulo son 15,20 y 28. Cules son las longitudes

de los segmentos en que la bisectriz del ngulo mayor divide al lado opuesto? Contstese esta misma pregunta para el caso del ngulo menor.

(b) Las longitudes de los lados de un tringulo son 12, 18 y 24. Determnense las longitudes de los segmentos en que la bisectriz de cada ngulo divide al lado opuesto.

BD BA CD _ CA

-*> __[Sugerencia: Trcese CE paralela a AD y demustrese que AC = AE.]

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334 Sem ejanza

_ AB PQDemuestrese que = .

BC QR

[Sugerencia: Trcese AR.]

11. En la figura de la derecha, PS || AD, SR I DC RQ || BC. Demustrese que PQ || AB.


Si tres o ms rectas paralelas son cortadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas son proporcionales.

[Sugerencia: Trcese DC o AF.}

14. Se dan los planos paralelos E, F y G, intersecados por las transversales Ti y T2, como se indica en la figura.

O de otro modo: Si las transversales T y T2 cortan a las rectas paralelas L t; L 2 y L en A, B, C y D, E, F, respectivamente, entonces

AB DE B C ~ EF '

13. Tres solares se extienden desde la calle Central hasta la calle Sol, como muestra la figura a la derecha. Los .lindes laterales son segmentos perpendiculares a la calle Sol. Si el frente total de los solares en la calle Central mide 120 metros, determnese el frente de cada solar en dicha calle. Calle Sol

15. Demostrar lo siguiente: Las diagonales de un trapecio se intersecan en un punto tal que las longitudes de los segmentos de una de las diagonales son proporcionales a las longitudes de los segmentos correspondientes de la otra diagonal.

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E l teorem a fundam ental de la proporcionalidad y su recproco 335

+ 16. Un impresor quiere hacer una tarjeta de 6 pulgadas de largo y de ancho tal que al doblarla por la mitad, como se indica en la figura, tenga la misma forma que antes de hacer el doblez. Cul deber ser el wancho de la tarjeta ?

* + 17. Demostrar el siguiente teorema:

Dado un tringulo cualquiera A ABC, si las bisectrices de los ngulos interno y extemo en A intersecan a BC en los puntos D y D', respectivamente, entonces

BD _ CD BD' ~ CD'

[Sugerencia: Trcese CE paralela a AD' y utilcense el teorema 12-1 y el problema 9 de este Conjunto de problemas.]

* * 18. (a) En el problema 17, si A C = 9, A B = 15 y BC = 16, determnense BD, DC y CD'.(b) En el problema 17, si m .BAC = 90, AC = 6 y A B = 8 , determnense BD, DC y

CD'.

* * 19. Ser vlido el teorema del problema 17, si AB < A C ? Pngase un ejemplo y expliqese.Cmo cambia el teorema si AB = AC7

m * 20. Un tringulo tiene lados de longitudes 6, 12 y 16. Las bisectrices del ngulo interno mayor y del ngulo externo menor intersecan a la recta que contiene al lado opuesto en los puntos X y Y, respectivamente. Determnense las distancias de X y de Y al vrtice del ngulo menor del tringulo.

PROBLEM A OPTATIVO

Se da el A ABC con AB > AC. Las bisectrices de los ngulos interno y externo en A intersecan a BC en los puntos D y E, respectivamente. Demustrese que

V D 2 -f A E 2 V A D 2 + A 1 2 CD BD

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336 Sem ejanza

1 2 -4 . LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES D E LA SEM EJANZA

Teorem a 1 2 -3 . El teorema de la semejanza AAA

Sea dada una correspondencia entre dos tringulos. Si los ngulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

O de otro modo: Sea dada u n a correspondencia ABC*-* D E F entre dos tringulos. Si L A = L D, L E y _ C s L F , entonces A A B C ~ A DEF.

Demostracin: Como sabem os por hiptesis que los ngulos correspondientes son congruentes, lo que hay que dem ostrar es que los lados correspondientes son proporcionales. Es decir, debemos m ostrar que

A B A C _ BC D E ~ D F ~ E F '

Verificaremos que la primera de estas igualdades es vlida. M ediante la misma dem ostracin, con un simple cambio de notacin, se deducir que la segunda igualdad tam bin es vlida.

Pasamos a la dem ostracin de que

A B A C D E ~ D F '

Sean E ' y F ' dos puntos de A B y AC, tales que A E ' = D E y A F ' = DF. Por el postulado LAL, tenemos que

A A E 'F ' s A DEF.

P or tanto , L A E 'F ' L E . Com o L E L B , se deduce que

L A E T s L B .Consideram os dos casos:( l) Si ' = B, entonces A A E 'F ' y A ABC son el mismo tringulo. En este caso,

A A B C = A D EF yA B _ A C D E ~ D F

pues cada una de esas fracciones es igual a 1. (Por qu?)

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Los teorem as fundam entales de la sem ejanza 337

(2) Si E ' es diferente de B , entonces E 'F ' y B C son paralelas. (Por qu ?) En virtud del teorema fundam ental de la proporcionalidad, tenemos que

Com o A E ' = D E y A F ' = DF, se deduce que

A B = A C D E ~ D F

com o queram os dem ostrar.Del corolario 9-13.1, recordam os que si dos pares de ngulos correspondientes son

congruentes, entonces los ngulos del tercer p ar tam bin son congruentes. (La razn, desde luego, es que en un tringulo cualquiera, la sum a de las medidas de los ngulos es 180.) Esto nos da l siguiente corolario:

C orolario 1 2 -3 .1 . El corolario AA

Sea dada una correspondencia entre dos tringulos. Si dos pares de ngulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

A hora, podem os dem ostrar una versin ms precisa del teorem a fundam ental de la proporcionalidad, justificando as los com entarios que se hicieron a l comienzo de la seccin anterior, en la pgina 330.

C oro lario 1 2 -3 .2

Si una recta paralela a un lado de un tringulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos, entonces determ ina u n tringulo semejante al tringulo dado.

Demostracin: C uando las rectas paralelas D E y B C son cortadas por la transversal AB, los ngulos correspondientes son congruentes. Por tanto , _ADEg _B. Com o L A = L A , se deduce, del corolario A A, que

A B A C A E '~ AF'~

A

B

A A D E ~ A ABC.

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338 Sem ejanza

C onjunto de problem as 12-4A

( l.ySe da_ja figura de la derecha, con A C \\BD .

Demostrar que: (1) AA C E ~ &BDE

(2) A E ED CE EB

*

2. Datos: El \3PQRS con SR \\PQ y diagonal SQ\-U y V son los puntos medios de SR y PQ, respectivamente. Demustrese que US-M Q = VQ MS.

S , U , R

3. Sea dada la figura de la derecha, con AD = 14, ED = 12, BC = 1 5 y EB 4. Determinar AC, A E y A B .

4. En el A GHK, GK = HK, PR _L GK y PQ J . HK. Demustrese que

GR PQ = PR HQ.


Dos alturas correspondientes cualesquiera de dos tringulos semejantes estn en la misma razn que los lados correspondientes.

6. En el A ABC, _C es un ngulo recto y CD es la altura correspondiente a la hipotenusa.

(a) Nombrar al menos un ngulo congruente con el LACB.

(b) Nombrar un ngulo congruente con el _z.

(c) Nombrar un tringulo semejante .al A ABC. Indquese la semejanza entre los dos.

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Los teorem as fundam entales de la sem ejanza 339 T

1. En la figura de la derecha, RQ \_PQ, PQ P T y S T _L PR. Demustrese que

ST- RQ = P S PQ.

8. Dada la figura de la derecha, expresar x en trminos de a, b y c.


Las bisectrices de dos ngulos correspondientes cualesquiera de tringulos jantes estn en la misma razn que los lados correspondientes.

12. Se da la figura de la derecha, con las perpendiculares indicadas.(a) Demostrar que ABFC ~ AADC.(b) Demostrar que

A D B CBF = ---------- .

AC(c) Demostrar que

BE_ __ CD A C , AD BC AB A C A B ' A C A B '

9. En la figura, el DEFG es un cuadrado y el L C es un ngulo recto.Demustrese que: (1) AADG ~ A GCF.

(2) A ADG ~ A FEB.(3) A D EB = DG FE.(4) DE = V A D B.

* 11. En la figura de la derecha, se da que Z,, \\L2 y que AP, BQ y CR se intersecan en K.(a) Nombrar tres pares de tringulos semejantes

e indicar las tres semejanzas.(b) Demostrar que

AB A C BC PQ P R ~ RQ

seme-

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340 Sem ejanza

* 13. Se da un paralelogramo OABCD con sus diagonales. Una recta que pasa por B interseca a ~AC en E, a 1)C en G y a AD en F. Demustrese que (1) AAEF ~ A CEB y (2) EB es la media geomtrica de EG y EF.

* -i! 14. En la figura de la derecha, P A ,Q B y R C sofi perpendiculares a AC.(a) Compltese el siguiente enunciado:

A PAC ~ A_________ y PA ABQ A-

(b) Indquese cul de los siguientes enunciados es correcto :

- = ox m + nx m

(c) Indquese cul de los siguientes enunciados es correcto:z z my n

(d) Demustrese que

R

' \ Q >

v .

A m B n c

o =

1x y

* + 15. Una persona puede completar una tarea en 6 horas y otra persona la puede completr en3 horas. Si trabajaran juntos, cunto tardaran en completar la tarea ? Este problema puede resolverse mediante la ecuacin

6 3 nResulvase la ecuacin geomtricamente. [Sugerencia: Vase el problema 14.]

PROBLEMA OPTATIVO

Un problema que ocurre frecuentemente al tratar con circuitos elctricos es el siguiente. Tenemos un circuito que consta de dos hilos en paralelo, con resistencias Ri y R. Cul es la resistencia del circuito ?

R.

La resistencia, R, del circuito viene dada por la ecuacin

R R R 2Resulvase esta ecuacin respecto de R en trminos de R y Ri-

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Utilizamos el siguiente esquema para hallar R cuando conocemos R , y R ,- Se marcan esca.as numricas sobre tres rayos, como se muestra en el diagrama S coloTa ^ a regla pasando por R, y R 2 en las escalas externas y se lee R en la tercera escala.


Esto se deduce inmediatamente de las definiciones de congruencia y semejanza.

Por ejemplo, si R , - 1 2 y R 2 = 6, entonces R = 4 ; si R t == 10 y R 2 = 10, entonces R = 5.

^ T ^ y t = 7al0 r ^ * dad ^ = * * = 12; QUe = 6 y = 3 ; y que

- y ' : ? S 2 ' ; p"'9ue p o r q u d d e s c r i ,

El siguiente teorema ser m uy til, y es fcil de dem ostrar:

Teorem a 1 2 -4

Si A A B C - A DEF, y A D B F * A C H I, entonces A A B C - AG H I.

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342 Sem ejanza

Sea dada una correspondencia entre dos tringulos. Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ngulos com prendidos son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

De otro modo: Se dan los tringulos A AB C y A D E F , y la correspondencia

Teorem a 1 2 -5 . El teorema de la semejanza LAL

ABC*-* DEF.

Si A B _ A C D E ~ D F

y L A S L D ,

entonces A A B C ~ AD EF.

Demostracin: (1) Sean E ' y F ' los puntos de A B y A C tales que A E ' = DE y A F ' = DF. Por el postulado LAL, tenem os que

A A E 'F ' s A D E F .Por tanto,

A B A C A E ~ A F r

(2) Del teorem a 12-2 (el recproco del teorem a fundam ental de la proporcionalidad), tenemos que E 'F 1 || BC.

(3) En consecuencia, L B ^ A E 'F ' . (P o rq u ?)(4) Com o L A = L A , del corolario A A se deduce que

A A B C ~ A A E 'F '.

(5) Pero A A E 'F ' s A D E F . Por consiguiente, en virtud del teorem a 12-4, tenemos que

A A B C ~ AD EF,

com o queram os demostrar.

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Finalmente, tenemos una especie de recproco del teorem a de la semejanza AAA.

Teorem a 1 2 -6 . Teorema de la semejanza LLL

Se da una correspondencia entre dos tringulos. Si los lados correspondientes son proporcionales, enfonces la correspondencia es una semejanza.

O de otro modo: Se dan los tringulos A A B C y A DEF, y la correspondencia

Si

entonces

ABC*-* DEF.

A B _ A C BC D E ~ D F ~ E F

A A B C - A DEF.

Demostracin: Como acostum bram os en este captulo, sean E ' y F ' los puntos de A B y A C tales que A E ' = D E y A F ' = DF.

A firmaciones R azones

1.A B _ A C BC D E ~ D F ~ E F ' 1. D ato.

2. A E ' = D E; A F = DF. 2. Dato.

3.A B A C

A E ' A F ' 3. Sustitucin.

4. L A L A . 4. Identidad.5. A A B C ~ A AE'F'. 5. El teorema de la semejanza LAL.

6.E 'F ' A E ' B C A B ' 6. Definicin de semejanza.

7. E 'F ' = B C ^ = B C ~ .A B A B 7. Afirmaciones 2 y 6.

8. E F = B C ~ .A B 8. Afirmacin 1.

9. E 'F ' = EF. 9. Afirmaciones 7 y 8.10. A A E 'F ' A DEF. 10. Afirmaciones 2 y 9 y teorema LLL.11. A A B C ~ A DEF. 11. Afirmaciones 5 y 10 y teorem a 12-4.

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344 Sem ejanza

. Indicar cules de los siguientes teoremas de semejanza no tienen un teorema comparable de congruencia: LAL, LLL, AAA, AA.

3. Demostrar el siguiente teorema:Dos medianas correspondientes cualesquiera de dos tringulos semejantes estn en la misma razn que los lados correspondientes.

4. Se da la figura de la derecha, conAE BE EC E D '

Demostrar que: (1) A AEB ~ ACED,(2) AB i| DC.

5. Demostrar que si, para dos tringulos issceles cualesquiera, los ngulos opuestos a la base son congruentes, entonces los tringulos son semejantes.

1. Para cada uno de los siguientes pares de tringulos, indquese si los dos tringulos son semejantes o no y, si lo son, ctese el teorema o la definicin que justifica la conclusin.

Conjunto de problemas 124B

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6. Indquese si es posible que dos tringulos sean semejantes cuando se cumplen las siguientes condiciones:

(a) Dos ngulos de uno de los tringulos tienen medidas de 60 y 70, mientras que dos ngulos del otro tienen medidas de 50 y 80.

(b) Dos ngulos de uno de los tringulos tienen medidas de 45 y 75, mientras que dos ngulos del otro tienen medidas de 45 y 60.

(c) Un tringulo tiene un ngulo de medida 40 y dos lados cada uno de longitud 5, mientras que el otro tiene un ngulo de medida 70 y dos lados cada uno de longitud 8.

(d) Uno

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Geometría Moderna-Moise,Edwin