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Geometric Representation And Processing . Gliederung. Grundlagen Direkte Darstellungsmethoden Indirekte Darstellungsmethoden Topologie Hardwarestruktur Zusammenfassung. Grundlagen. Geometrische Repräsentation ist die Darstellung eines ‚Körpers‘ am Computer durch mathematische Modelle - PowerPoint PPT Presentation
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Thomas Faltermeier
computer graphics & visualization
Geometric Representation And Processing
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Thomas Faltermeier
Gliederung- Grundlagen
- Direkte Darstellungsmethoden
- Indirekte Darstellungsmethoden
- Topologie
- Hardwarestruktur
- Zusammenfassung
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Grundlagen- Geometrische Repräsentation ist die Darstellung eines
‚Körpers‘ am Computer durch mathematische Modelle
- Theoretisch muss der dargestellte Körper nicht real sein, die Darstellung eines realen Körpers hat jedoch den Vorteil, dass dieser feste Eigenschaften besitzt
- Grundlage für:• Berechnung der geometrischen Eigenschaften• Darstellung• Weitergehende Anwendungen(z.B. Grafikeffekte)• Berechnung physikalischer Eigenschaften nach weiterer
Beschreibung mit Materialeigenschaften(z.B. Elastizität)
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Definition starrer Körper- Translationsvariant(frei verschiebbar)- Rotationsvariant(frei drehbar)
- Echte Dreidimensionale Strukturen, d.h. keine isolierten/frei baumelnden Punkte, Kanten oder Flächen
- Oberfläche teilt den Raum in Inneres und Äußeres auf
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Darstellung – Was wollen wir?Die Darstellungsmethode sollte
- Möglichst mächtig sein, d.h. möglichst viele Körper darstellen können
- Möglichst wenig Speicherplatz in Anspruch nehmen
- Einen Körper eindeutig beschreiben, d.h. jeder Repräsentant beschreibt einen Körper, jeder Körper wird durch einen Repräsentanten beschrieben
- Möglichst exakt sein, d.h. Annäherungen sollen vermieden oder möglichst exakt sein
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Darstellung – Was wollen wir?- Möglichst hohe Effizienz der darauf angewendeten
Algorithmen bieten
Es gibt zwei wesentliche Schemen
Direkte Darstellung Indirekte Darstellung
Kanten und Ober- Volumenbeschreibungflächenbeschreibung
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Gliederung- Grundlagen
- Direkte Darstellungsmethoden
- Indirekte Darstellungsmethoden
- Topologie
- Hardwarestruktur
- Zusammenfassung
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Normzellenaufzählungsschema- Aufteilung des Raumes in ein Gitter gleich großer
dreidimensionaler Zellen, sog. Voxel
- Je nachdem, ob die Zelle innerhalb oder außerhalb der zu beschreibenden Körpers liegt, wird diese ‚gefüllt‘, vergleichbar mit dem Zusammenbauen des Körpers mit identischen Klötzen
- Je kleiner die Voxel, desto genauer kann der Körper beschrieben werden
- Allerdings ist der Speicherbedarf für immer kleinere Voxel sehr hoch
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Normzellenaufzählungsschema
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Octalbäume- Mächtig wie die Normzellenaufzählung, jedoch bei deutlich
geringerem Speicherbedarf
- Ausgangspunkt: Würfel, der den gesamten Körper umfasst
- Der Würfel wird nun so lange rekursiv in Würfel halber Kantenlänge unterteilt, bis sich diese innerhalb oder außerhalb des Körpers befinden(Annäherung), die Kantenlänge der Würfel ist also nicht fest vorgeschrieben
- Speicherung als Baum mit 8 Verästelungen
- Effizienz stark vom Testalgorithmus abhängig
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OctalbäumeDiese Methode funktioniert auch analog in jeder anderen Dimension
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Constructive Solid Geometry(CSG)- Körper wird mit Hilfe von Grundkörpern,
sog. Primitiven, erstellt
- Anwendung der Operationen
- Speicherung als Binärbaum
- Nachteil: auch hier sind mehrere Repräsentanten möglich
- Steigerung der Effizienz: Häufig verwendete Objekte werden zu Primitiven und müssen nicht mehr jedes mal zusammengesetzt werden
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Verschiebungsschema- Ausgangspunkt: Fläche im Raum
- Diese Fläche wird nun entlang eines Pfades bewegt oder um einen bestimmten Punkt gedreht
- Es entsteht ein Translationskörper, bzw. ein Rotationskörper
- Bsp.: Ein Kreis der um einen Punkt im Raum rotiert erzeugt einen Ring
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Bsp.: Rotierende Sinuskurve
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Gliederung- Grundlagen
- Direkte Darstellungsmethoden
- Indirekte Darstellungsmethoden
- Topologie
- Hardwarestruktur
- Zusammenfassung
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Drahtmodellschema- Körper wird über seine Kanten beschrieben
- Vorteil: Konstruktion von Körpern ist sehr einfach
- Nachteil: Eine eindeutige Repräsentation aus dem Drahtmodellschema ist nicht gewährleistet
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Oberflächendarstellung- Darstellung des Körpers durch die Beschreibung seiner
Oberfläche
- Zerlegung in eine endliche Menge von Teilflächen
- Im einfachsten Fall sind nur Polygone zugelassen, die nicht gekrümmt sind – also nur planare Flächen, zusäzlich befindet sich die Verbindungslinie zweier Punkte auf dem Polygon in diesem (keine Löcher in Polygone, keine konkaven Polygone)
- Rundungen müssen in diesem Fall angenähert werden, je genauer, desto größer wird die Datenmenge
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OberflächendarstellungABER: Flächen alleine ergeben noch keinen starren KörperEs müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:- Geschlossenheit
keine Kantenunterbrechungen, keine echten Löcher in Teilflächen(richtiger Durchbruch ist in Ordnung), jede Fläche muss genau so viele Kanten wie Ecken besitzen, jeder Eckpunkt grenzt an die gleiche Menge an Kanten und Flächen an
- Orientierbarkeit:Beide Seiten einer Fläche müssen unterscheidbar sein
{e1, e2, ... , en} sei die Menge aller Kanten
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OberflächendarstellungTest auf Orientierbarkeit:• Orientierung der Kanten gegen den Uhrzeigersinn• Ist die Kantenorientierung zweier angrenzender Flächen
unterschiedlich wird diese aus der Menge eliminiert• Ist die Menge am Ende leer ist die Gesamtoberfläche
orientierbar- Oberfläche darf sich nicht selbst schneiden
• Teilflächen dürfen sich nicht selbst schneiden• Schnitt zweier Teilflächen nur am Rand• Kanten dürfen sich nicht selbst schneiden• Zwei Kanten dürfen sich nur an den Enden schneiden
Problem: Unterscheidung von hohlen und nicht zusammenhängenden Körpern nicht möglich
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Oberflächendarstellung
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Polygon MeshesNun stellt sich die Frage, wie man diese Polygone abspeichern
sollte, es gilt den besten Kompromiss zwischen Laufzeit und Speicherplatzverbrauch zu finden.
Explizite Repräsentation- Jedes Polygon wird durch seine Eckkoordinaten repräsentiert
P = ((x1,y1,z1),...,(xn,yn,zn))- Wichtig: Sinnvolles abspeichern der Punkte, damit Kanten
gezeichnet werden können, z.B. im/gegen Uhrzeigersinn- Nachteil: Bei mehreren Polygonen werden Punkte doppelt
gespeichert, gemeinsame Punkte und Kante werden nicht explizit als solche repräsentiert, bei Veränderungen müssen alle Polygone überprüft und geg. verändert werden
- Daher nur für ein einzelnes Polygon sinnvoll, oder falls keine Operationen mehr ausgeführt werden (auch Faulheit OK)
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Polygon MeshesPointers to a vertex list- Alle Eckpunkte werden in einer Liste gespeichert- Polygonecken sind nur Verweise auf diese Liste
- Vorteil:Platzersparnis, jeder Punkt wird nur einmal gespeichertEinfaches Ändern der Koordinaten möglich ohne weitere Überprüfungen
- Nachteil:Flächen/Kanten die an einer gemeinsamen Ecke liegen müssen noch aufwändig gesucht werden
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Polygon MeshesPointer to an edge list- Ecken und Kanten werden in einer Liste gespeichert- Polygone werden als Verweise auf die Kantenliste
repräsentiert- Jede Kante in der Liste hat zwei Verweise auf die Ecken, die
sie definieren, sowie die Information zu welchen ein/zwei Polygonen sie gehört
P = (E1,...,En)E = (V1,V2,P1,P2)
V = (x,y,z)
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Polygon MeshesVorteile:
Einfache Abspeicherung
Nachteile:Algorithmen können nicht sehr effizient integriert werden, da viele Überprüfungen nötig sindSpeicherbedarf höher als nötig
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Polygon Meshes
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Gliederung- Grundlagen
- Direkte Darstellungsmethoden
- Indirekte Darstellungsmethoden
- Topologie
- Hardwarestruktur
- Zusammenfassung
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vef-GraphDie Topologie
berücksichtigt die Nachbarschafts- beziehungen von Punkten, Kanten und Flächen
V: Menge aller Knoten/Ecken
E: Menge aller KantenF: Menge aller Flächen
Müssen alle Relationen gespeichert werden?
NEIN
vv V x V :Punkte sind benachbart
ve V x E :Punkt begrenzt Kantevf V x F :Punkt ist Ecke von
Flächeev E x V :Kante hat Punkt als
Eckeee E x E :Kanten sind
benachbartee‘ E x E :Kanten sind
benachbart und begrenzen die selbe Fläche
ef E x F :Kante begrenzt Flächefv F x V :Fläche stößt an Punktfe F x E :Fläche stößt an Kanteff F x F :Flächen sind
benachbart
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Winged-Edge Struktur- Speicherung von: ev, ef, ee‘ also
Eckpunkte der KantenFlächen die diese Kanten begrenzenBenachbarte Kanten mit gleicher benachbarter Fläche
- Zusätzliche Abspeicherung:Knotenliste mit Verweis auf die Kante, die er begrenzt
Flächenliste mit Verweis auf eine Kante, die sie begrenzt
- Alle anderen Relationen lassen sich daraus berechnen
- Diese Struktur ist dynamisch und somit bei der Implementierung von Algorithmen von Nachteil
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Half-Winged-Edge Struktur- Es wird das selbe gespeichert wie bei der Winged-Edge
Struktur mit Ausnahme der Relation ee‘
- ee‘ wird durch die neue Relation ee‘‘ ersetzt: Speicherung der Kanten der entsprechenden Flächen,
die e im Uhrzeigersinn folgenBei diesem Beispiel als e2 und e3
- Diese Struktur ist nun nicht mehr dynamisch und somit deutlich besser für die Implementierunggeeignet
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- Direkte Darstellungsmethoden
- Indirekte Darstellungsmethoden
- Topologie
- Hardwarestruktur
- Zusammenfassung
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Hardwarestruktur- Hardware verwendet keine Polygone sondern die wesentlich
einfacheren Dreiecke, da nur eine begrenzte Anzahl an Rechenregistern zur Verfügung steht
- Dreieck ist immer planar
- Polygone müssen daher in solche zerlegt werden
- Die einfachste Möglichkeit wäre es jedes Dreieck einzeln zu speichern, Nachteile Analog wie bei Meshes
- Lösung: Triangel Strips und Triangle Fans
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HardwarestrukturTriangle Strips:- Ausgehend von einem Dreieck- Jedes neue Dreieck teil sich eine Kante mit dem
vorhergehenden- Vorteil: Es muss für jedes neue Dreieck nur ein einziger
Punkt gespeichert werden
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HardwarestrukturTriangle Fans:- Analog wie bei Strips- Allerdings besitzen alle Dreiecke noch einen gemeinsamen
Punkt- Es entsteht ein Fächer aus Dreiecken
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Gliederung- Grundlagen
- Direkte Darstellungsmethoden
- Indirekte Darstellungsmethoden
- Topologie
- Hardwarestruktur
- Zusammenfassung
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Zusammenfassung- Es werden echte Körper dargestellt, da diese feste
Eigenschaften besitzen
- Man stellt diesen entweder direkt oder indirekt dar, wobei jede Methode Vor- und Nachteile hat
- Nur mit der Darstellung lassen sich Algorithmen nicht effektiv implementieren, es muss die Topologie berücksichtigt werden
- Egal wie der Körper aufgebaut ist, auf Hardwareniveau muss alles auf Dreiecke zurückgeführt werden
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EndeDanke für die Aufmerksamkeit
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Thomas Faltermeier
Quellen- Foley, Van Dam, Feiner, Hughes: Computer Graphics:
Principles and Practice, Addison-Wesley, 2nd edition in C- Griebel, Bungartz, Zenger: Computer Graphik, Vieweg Verlag- http://de.wikipedia.org/wiki/
Bild:Rotationskoerper_animation.gif , Macks , 24.01.2007 - http://en.wikipedia.org/wiki/
Image:Dolphin_triangle_mesh.png , chrschn , March 27, 2007- http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Triangle_Strip.png, holder
has irrevocably released all rights - http://www.codesampler.com/d3dbook/chapter_05/
chapter_05_files/image008.jpg, Kevin Harris, 2005