GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Petra Pirklová

Definice:

Geometrickým zobrazením v rovině r rozumíme takové zobrazení množiny bodů roviny r, kde ke každému je přiřazen právě jeden bod .

• Bod M se nazývá vzor, M´ je jeho obraz v daném zobrazení.

• Body M, pro něž platí M=M´- samodružné

• Množina obrazů všech bodů útvaru U se nazývá obrazem útvaru U.

• Je-li U´=U - U je samodružný útvar

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 2

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

Definice: Prosté zobrazení f roviny r na sebe se nazývá shodné zobrazení, právě když pro každé dva body A, B z roviny r a jejich obrazy f(A)=A´, f(B)=B´ v rovině r platí .

Definice: Říkáme, že útvary U, U´ jsou shodné, právě když existuje shodné zobrazení f, v němž obrazem útvaru U je útvar U´, tj. f(U)=U´.

Vlastnosti shodných zobrazení:

Zobrazením úsečky AB je úsečka A´B´ s ní shodná.

Obrazem polopřímky AB je polopřímka A´B´, obrazy opačných polopřímek jsou opět opačné polopřímky.

Obrazem přímky AB je přímka A´B´.

Obrazy rovnoběžných přímek jsou opět přímky rovnoběžné.

Obrazem poloroviny pA je polorovina p´A´, obrazem opačné poloroviny je polorovina opačná.

Obrazem úhlu AVB je úhel A´V´B´ shodný s úhlem AVB.

1. Zachová se orientace úhlů – zobrazení přímé

2. Nezachová se - zobrazení nepřímé

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 3

V rovině dvě shodná zobrazení Z1 a Z2 – jejich složené zobrazení Z:

X´´ je obrazem X v zobrazení Z právě tehdy, když existuje bod X´ takový, že je

obrazem bodu X v zobrazení Z1 a X´´ je obrazem bodu X´ v zobrazení Z2.

Symbolicky: Z = Z1Z2, X´´=Z(X)= Z1Z2(X)

Věta: Složením dvou shodných zobrazení v rovině získáme shodné zobrazení v téže

rovině.

• Při skládání zobrazení neplatí komutativní zákon.

Každé shodné zobrazení je prosté → musí k němu existovat zobrazení inverzní

• pokud X´=f(X), pak X=f-1(X´).

Identita, otáčení, středová souměrnost, posunutí (přímé shodnosti), osová souměrnost a

posunuté zrcadlení (nepřímé shodnosti).

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 4

IDENTITA

Definice:

Zobrazení v rovině r, které přiřazuje každému bodu tentýž bod X se nazývá identita.

Věta: Má-li shodnost alespoň tři body, které neleží v přímce, je identitou.

Věta: Všechny útvary v identitě jsou samodružné.

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 5

OSOVÁ SOUMĚRNOST

Definice:

Nechť je v rovině dána přímka o. Osovou souměrností nazýváme zobrazení v rovině, v němž je každý

bod osy o samodružný a každému bodu je přiřazen bod X´ tak, že o je osa úsečky XX´. Přímka o se

nazývá osa souměrnosti.

Základní vlastnosti:

Samodružné body jsou body na ose souměrnosti.

Samodružné přímky osové souměrnosti jsou osa souměrnosti (silně samodružná) a všechny přímky

kolmé na osu souměrnosti (slabě samodružné).

Osová souměrnost je určena svou osou.

Osová souměrnost je shodnost nepřímá, tj. mění smysl obíhání po obvodu trojúhelníka.

Zápis: O(o): X → X´

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 6

Příklad: Jsou dány tři různé přímky o1, o2, o3 procházející bodem S, na přímce o1 leží

bod A ≠ S. Sestrojte △ABC, jehož osy vnitřních úhlů leží v přímkách o1, o2, o3.

Příklad: Je dána přímka p a body A, B ∉ p ležící v téže polorovině s hraniční přímkou p.

Najděte bod X ∈ p takový, že |AX| + |BX| je minimální.

Příklad: Jsou dány body X, Y a přímka p, která je odděluje. Sestrojte rovnoramenný

△ABC, jehož hlavní vrchol je bod C, osou souměrnosti přímka p a jehož ramena mají

danou velikost a. Přímka AC nechť prochází bodem X a přímka BC bodem Y.

Příklad: Jsou dány tři různé přímky o1, o2, o3 procházející bodem O, na přímce o1 je dán

bod A1. Sestrojte △ABC tak, aby přímky o1, o2, o3 byly osami jeho stran a bod A1

středem strany BC.

Příklad: Jsou dány kružnice k1(S1; r1), k2(S2; r2), (r1 ≠ r2) a bod P uvnitř úsečky S1S2,

přičemž |S1P| > |S2P|. Bodem P veďte kolmici p k přímce S1S2. Sestrojte čtverec ABCD

tak, aby A ∈ k1, C ∈ k2 a body B, D ležely na přímce p.

OTÁČENÍ (= ROTACE)

Definice: Nechť je dán bod S a orientovaný úhel ∢ASB≠ 2kp. Otáčením rozumíme zobrazení v rovině,

v němž je bod S samodružný a každému bodu X ≠ S je přiřazen bod X´ tak, že ∢XSX´ je roven

orientovanému úhlu ∢ASB a │XS│=│X´S│. Bod S se nazývá střed otáčení, úhel se nazývá úhel otáčení.

• úhel otáčení lichý násobek 180° - středová souměrnost

• úhel otáčení sudý násobek 180° - identita

Zápis: R(S, ∢ASB): X → X´

Základní vlastnosti:

Jediný samodružný bod je střed S.

Otáčení nemá samodružné přímky.

Otáčení převádí každou přímku v přímku s ní různoběžnou.

Otáčení je určeno svým středem a další dvojicí odpovídajících si bodů.

Otáčení je shodnost přímá.

Věta: Každé otáčení lze složit ze dvou osových souměrností, jejichž osy procházejí středem otáčení S a

obráceně.GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 8

Příklad: Je dán bod S. Rozložte rotaci R(S, 30°) na dvě osové souměrnosti O1, O2.

Příklad: Jsou dány soustředné kružnice k1, k2 a bod C, který leží uvnitř obou kružnic. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod A ležel na k1 a bod B na k2.

Příklad: Jsou dány dvě navzájem kolmé přímky a, b a bod C, který neleží ani na jedné z nich, a úhel γ. Sestrojte rovnoramenný △ABC s hlavním vrcholem C a úhlem g při hlavním vrcholu C tak, aby A ∈ a, B ∈ b.

Příklad: Do čtverce ABCD vepište rovnostranný △PQR, je-li bod P ∈ AB a platí |AP| = 3|BP|.

Příklad: Je dána kružnice k(S; r) a bod P ≠ S. Bodem P veďte přímku, na které kružnice k vytíná úsečku dané velikosti d < 2r.

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

Definice:

Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu S přiřazuje týž bod S a každému bodu X≠S

bod X´ tak, že bod S je středem úsečky XX´, se nazývá středová souměrnost (souměrnost podle

středu). Bod S se nazývá střed souměrnosti.

Zápis: S(S): X → X´

Základní vlastnosti:

Samodružnými přímkami (slabě samodružnými) jsou všechny přímky procházející středem

souměrnosti.

Samodružný bod je pouze střed souměrnosti.

Každá přímka se zobrazí na přímku s ní rovnoběžnou.

Středová souměrnost je dostatečně určena svým středem.

Středová souměrnost je přímá shodnost.

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 10

Příklad: Sestrojte čtverec MNPQ se středem S tak, aby přímka MN procházela bodem A a přímka PQ procházela bodem B, kde A, B, S jsou libovolné tři nekolineární body.

Příklad: Je dána kružnice k(S; r). Bodem P, který leží vně této kružnice, veďte přímku p, která protíná kružnici v bodech A, B tak, že bod A je středem úsečky BP.

Příklad: Sestrojte △ABC, je-li dána délka strany c, délka těžnice ta a ostrý úhel φ, který určuje těžnice se stranou AC, tj. ∡(ta, AC).

Příklad: Jsou dány dvě soustředné kružnice a na jedné z nich bod M. Sestrojte rovnoběžník se středem v bodě M, aby jeho vrcholy ležely na některé z obou kružnic.

Příklad: Jsou dány čtyři kružnice a bod S. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem Stak, aby jeho vrcholy náležely k1, k2, k3, k4.

POSUNUTÍ (= TRANSLACE)

Definice: Nechť je dán vektor a. Posunutím rozumíme zobrazení v rovině, v němž je každému bodu X

přiřazen bod X´ tak, že XX´ = a. Vektor a se nazývá vektor posunutí a určuje směr a velikost tohoto

posunutí.

Zápis: T(a): X → X´

Základní vlastnosti:

Nemá žádný samodružný bod.

Všechny přímky XX´ jsou rovnoběžné, všechny úsečky XX´ jsou shodné.

Všechny samodružné (slabě) přímky jsou právě přímky rovnoběžné se směrem posunutí.

Složením dvou rovnoběžných posunutí dostaneme buď identitu, nebo posunutí.

Při skládání posunutí nezáleží na pořadí.

Posunutí je jednoznačně určeno jednou dvojicí bodů XX´ (vzoru a obrazu).

Věta: Každé posunutí lze složit ze dvou osových souměrností, jejichž osy jsou kolmé ke směru posunutí.

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 12

Příklad: Jsou dány dva různé body A, A´ (|AA´| = 4 cm). Rozložte translaci T(A→A´) na dvě osové souměrnosti O1, O2. Sestrojte obraz libovolně zvoleného trojúhelníka KLMv zobrazení O1 ∘ O2 a O2 ∘ O1.

Příklad: Jsou dány dvě kružnice k1, k2, přímka p a úsečka délky d. Sestrojte na kružnici k1 bod X a na kružnici k2 bod Y tak, aby platilo |XY| = d ∧ XY ∥ p.

Příklad: Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a přímka c, která je protíná. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC o straně délky d tak, aby vrcholy A, B, C ležely po řadě na přímkách a, b, c.

Příklad: Je dána kružnice k(S; r) a uvnitř této kružnice bod A ≠ S. Sestrojte rovnoběžník ABCD, jehož vrcholy B, C, D leží na kružnici a |AB| = r.

Příklad: Jsou dány dvě různoběžky a, b a úsečka MN, která neprotíná přímky a, b. Sestrojte čtverec XYZU tak, aby X ∈ a, Y ∈ b, |XY| = |MN|, XY ∥ MN.

Věta: Každé shodné zobrazení v rovině lze rozložit na nejvýše tři osové souměrnosti.

Přímá shodnost - na dvě osové souměrnosti

Nepřímá shodnost - na tři osové souměrnosti

POSUNUTÉ ZRCADLENÍ

Definice: Shodnost složená z osové souměrnosti a translace ve směru její osy se nazývá posunuté zrcadlení.

Základní vlastnosti:

Nemá žádný samodružný bod.

Má jedinou slabě samodružnou přímku tj. osu souměrnosti.

Posunuté zrcadlení je shodnost nepřímá.

Věta: Posunuté zrcadlení lze složit ze středové souměrnosti a osové souměrnosti, jejíž osa neprochází středem souměrnosti.

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 14

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

Definice: Zobrazení v rovině se nazývá podobným zobrazením (podobností), jestliže každé úsečce AB přiřazuje úsečku A´B´ pro jejíž velikost platí │A´B´│=k │AB│,k>0. Koeficient k nazýváme poměr podobnosti.

Shodnost = podobnost pro k = 1.

Podobnost dělíme na přímou a nepřímou.

Definice: Dva geometrické útvary U, U´ se nazývají podobné, lze-li najít podobné zobrazení, které převádí útvar U na útvar U´.

Základní vlastnosti:

Obraz přímky AB je přímka A´B´, polopřímky AB je polopřímka A´B´, obrazem poloroviny pA je polorovina p´A´.

Obrazem úhlu je úhel s ním shodný.

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 15

STEJNOLEHLOST

Definice: Nechť je dán pevný bod S a reálné číslo k≠0. Stejnolehlostí nazýváme zobrazení, které

každému bodu X roviny přiřazuje bod X´ tak, že

1. Bodu S je přiřazen opět bod S.

2. Bodu X≠ S je přiřazen bod X´ tak, aby platilo │SX´│=k│SX│, přičemž je-li k>0, leží bod X´ na

polopřímce SX, je-li k<0, leží bod X´ na polopřímce opačné.

Vlastnosti:

Stejnolehlost má jediný samodružný bod - střed S.

Samodružné (slabě) přímky jsou právě všechny přímky procházející středem.

Stejnolehlost převádí každou přímku na přímku s ní rovnoběžnou.

Stejnolehlost je dána středem S a jednou dvojicí odpovídajících si bodů, které leží na přímce jdoucí

bodem S.

Stejnolehlost je přímá podobnost.

Dvě kružnice o různých poloměrech jsou stejnolehlé ve dvou stejnolehlostech. Dvě kružnice o stejných

poloměrech jsou stejnolehlé v jediné stejnolehlosti, která je zároveň středovou souměrností. Středy

stejnolehlosti leží na spojnici středů kružnic.

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 16

STEJNOLEHLOST DVOU KRUŽNIC

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 17

SPOLEČNÉ TEČNY DVOU KRUŽNIC

GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ 18

Příklad: Uvažujte trojúhelník ABC. Vypočítejte (AA1T), (ATA1), (A1AT), (A1TA), (TAA1), (TA1A) (A1 je střed strany BC a T je těžiště).

Příklad: Sestrojte společné tečny dvou kružnic ležících vně sebe s využitím stejnolehlosti.

Příklad: Do trojúhelníku ABC vepište čtverec MNPQ tak, aby M, N ∈ AB, P ∈ BC, Q ∈AC.

Příklad: Je dán půlkruh. Vepište do něj čtverec tak, aby dva jeho vrcholy ležely na tětivě a dva na oblouku.

Příklad: Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby platilo: a : b = 4 : 5, γ = 60°, vc = 5.

Příklad: Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby platilo: a : b : c = 6 : 4 : 5, r = 5 (poloměr kružnice opsané).

Příklad: Je dána přímka p, kružnice k a bod A. Sestrojte všechny úsečky XY, pro které platí, X ∊ p, Y ∊ k, bod A dělí úsečku XY tak, že 𝐴𝑌 = 3 𝐴𝑋 .

Příklad: Je dána kružnice k a na ní tři různé body A, B, C. Najděte na k bod X takový, aby tětiva AX byla tětivou BC půlena.