LIVIU ORNEAO INTRODUCERENGEOMETRIA DIFERENIALIntroducereMulumiri. Le snt ndatorat colegilor i studenilor care au citit pri din ma-nuscris, n diferite etape ale scrierii lui, au corectat greeli i mi-au fcut observaiiextrem de utile, mi-au furnizat informaii istorice sau bibliograce. i menionezaici, n ordine alfabetic; Ion Dinc, Drago Fril, Alin Glan, Cristian Gvru,Ctlin Gherghe, Adriana Nstase, Mihaela Pilca, George Popescu. Tuturor, caldemulumiri.CuprinsIntroducere 3Partea 1. Curbe i suprafee n R39Capitolul 1. Proprieti locale ale curbelor 111. Parametrizarea canonic 112. Invariani euclidieni locali 153. Curbe plane 27Capitolul 2. Proprieti globale ale curbelor 351. Teorema de clasicare 352. Teorema indicelui 383. Inegalitatea izoperimetric 41Capitolul 3. Proprieti locale ale suprafeelor 451. Deniii. Exemple 452. Planul tangent. Funcii difereniabile 503. Parametrizri speciale 554. Prima form fundamental 575. A doua form fundamental. Curbur 616. Curbe pe suprafee. Geodezice 777. Derivata covariant 838. Teorema fundamental a teoriei suprafeelor 87Capitolul 4. Proprieti globale ale suprafeelor 911. De la local la global. O caracterizare a sferei 912. Suprafee orientabile 923. Teorema Gauss-Bonnet 95Partea a 2-a. Varieti difereniabile abstracte 105Capitolul 5. Varieti difereniabile 1071. Deniii. Exemple 1072. Structuri difereniabile 1103. Aplicaii i funcii difereniabile 1174. Grupuri Lie 1185. Partiia unitii 1196. Construcii: aciuni de grupuri, spaii de acoperire 1226 Cuprins7. Orientare 126Capitolul 6. Vectori tangeni i cotangeni 1291. Spaiul tangent 1292. Difereniala unei aplicaii ntr-un punct 1343. Spaiul cotangent 1374. Fibratul tangent i bratul cotangent 138Capitolul 7. Imersii. Submersii. Subvarieti 1411. Deniii. Exemple 1412. Teorema rangului 1423. Teorema valorii regulate. Noi exemple 1444. Teorema de scufundare a lui Whitney 147Capitolul 8. Cmpuri vectoriale i tensoriale 1491. Cmpuri vectoriale. Croetul a dou cmpuri 1492. Cmpuri invariante pe grupuri Lie. Algebra Lie a unui grup Lie. 1543. Grupul local cu un parametru asociat unui cmp vectorial 1554. Subgrupuri cu un parametru ale unui grup Lie. Aplicaia exponenial1605. Derivata Lie pe direcia unui cmp vectorial 1656. Teoreme de ndreptare a cmpurilor de vectori 1677. Distribuii. Teorema lui Frobenius 1688. Tensori i cmpuri de tensori 172Capitolul 9. Forme difereniale. Integrare 1791. Tensori alternai 1792. Forme difereniale 1833. Derivata Lie a formelor difereniale. 1904. Integrare pe varieti. Formula lui Stokes 198Capitolul 10. Fibrri vectoriale 2071. Deniii. Exemple 2072. Seciuni 2093. Reducerea grupului structural 2104. Operaii cu brri 212Capitolul 11. Conexiuni lineare n brri vectoriale 2171. Deniie. Existen. Formule locale 2172. Tensorul de curbur 2203. Conexiuni induse n brri vectoriale 2224. Transport paralel dea lungul curbelor 2245. Conexiuni lineare n bratul tangent 228Capitolul 12. Spaii Riemann 2371. Deniii. Exemple. 2372. Conexiunea Levi-Civita 2433. Curbur riemannian 2484. Geodezice 2597Bibliograe 273Partea 1Curbe i suprafee n R3CAPITOLUL1Proprieti locale ale curbelor1. Parametrizarea canonicCapitolul acesta este dedicat studiului celor mai simple obiecte ale geometrieidifereniale. Deniiapecareovomda,,curbei(i, mai apoi, ,,suprafeeii,,varietii)trebuiespermitutilizareatehnicilordeanalizmatematic. Neintereseaz aici, ca i n restul crii, s gsim proprieti care s identice o curbprintre alte obiecte cu structur difereniabil (aa numii invariani difereniali)i proprieti geometrice care s disting, de exemplu, un cerc de o elips sau deo elice (aa numii invariani metrici). De fapt, ceea ce urmrim este s dm unsens precis noiunilor intuitive de,,curbur i ,,torsiune. Ne vor preocupa attproprietile locale, ct i cele globale. Vom arta c, n unele cazuri, informaii denatur local conduc la concluzii globale.Prin Rn(spaiul euclidiann-dimensional) vom nota spaiul an Rndotat cuprodusul scalar canonic notat , ). Cnd spunem,,vector din Rn nelegem de faptvector din Rn, legat n 0. n primele dou capitole ne vom mrgini la studiul unorsubmulimi ale spaiului euclidian 3-dimensional.S precizm c, n tot ce urmeaz, n lipsa unei alte meniuni explicite,,,dife-reniabil nseamn,,de clas (.Deniia 1.1.1. O submulime R3se numete curb difereniabil (pe scurt,curb) dac pentru orice punctp exist o vecintate deschisUa sa n R3io aplicaie difereniabil : (a, b) Uastfel nct:i) e homeomorsm ntre (a, b) iU ;ii)dt ,= 0 n oricet (a, b).pabUOpereche(U, )candeniiesenumeteparametrizare(local)pentru.Este clar c mulimile de tipul U snt deschise n topologia relativ a lui iformeaz o acoperire a sa. Condiia i) spune c, local, o curb se poate deforma laun interval deschis. Aici cuvntul local e esenial: gndii-v la un cerc; acesta nuse poate deforma continuu la un interval. n consecina, un cerc i, mai general,12 Proprieti locale ale curbelororice curb nchis care se poate deforma la un cerc vor descrise cu cel puindou parametrizri locale. Vom vedea c, surprinztor poate, orice curb conexse poate descrie folosind una sau dou parametrizri.Dacnotm(x1, x2, x3)coordonatelenR3, atunci oaplicaiedifereniabil : (a, b) R3se scrie explicit sub forma(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) cuxifunciireale difereniabile de o variabil real. Condiia ii) cere ca, n oricet0 (a, b),cel puin o derivatdxidt [t0 ,= 0; altfel spus: (dx1dt [t0)2+ (dx2dt [t0)2+ (dx3dt [t0)2,=0. Observai c aceast condiie pare foarte restrictiv: din moment ce existenaderivatelorfunciilorcoordonateasigurexistenaunui vectortangentnecarepunct, seexcluddindiscuiecurbele ,,cucoluri. Defapt, dacexistdoaromulime nit de coluri, studiul nc poate fcut pe ecare poriune dintre douruperi consecutive. Asemenea curbe se numesc difereniabile pe poriuni.Pentru a simplica expunerea, vom discuta mai nti despre curbe parametrizate,adic pur i simplu despre aplicaii difereniabile : I R3. La acestea se referstudiul local al curbelor.Exemplul 1.1.2. CerculC :=S1(r) = (x1, x2, 0); (x1)2+ (x2)2=r2 se poateacoperi cu dou parametrizri locale:1 : (0, 2) R3, 1(t) = (r cos t, r sin t, 0),2 : (, 3) R3, 2(t) = (r cos t, r sin t, 0).Se observ c punctul neacoperit de prima parametrizare se a n imaginea celeide-a doua.Exemplul 1.1.3. Elicea circular este curba descris de parametrizarea (unic):(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0, t R.Imagineaei esituatpecilindrul circulardrept(x1)2+ (x2)2=a2, 2b(pasulelicei) ind distana msurat pe o generatoare ntre dou intersecii consecutivecu elicea.Elicea circular.Ce se ntmpl cnd un punct al lui se a n imaginea a dou parametri-zri, e ele(t) i(s)?n primul rnd, cum i snt homeomorsme pe cte osubmulime a lui , se poate exprima t ca funcie continu de s i reciproc (scriereaunui parametru n funcie de cellalt se numete schimbare de coordonate). Maimult ns, folosind cea de-a doua condiie din deniie putem demonstra c oriceschimbare de coordonate e un difeomorsm:1 Parametrizarea canonic 13Propoziia 1.1.4. Fie : (a, b) U i : (c, d) V dou parametrizrinjurul lui p W=U V . Atunci h=1 : 1(W) 1(W)edifeomorsm.Demonstraie. Trebuie s artm c schimbarea de coordonatet = t(s),s 1(W) e difeomorsm (tiind c e homeomorsm).UVWabc d1(W)1(W)phDemonstraia const ntr-o aplicare aproape direct a teoremei funciei inverse.Fie s01(W), t0=h(s0), deci (s0)=(t0). Cumdt,=0noricet (a, b), putem presupune (dup o eventual rotaie a axelor de coordonate) cdx1dt [t0 ,= 0. Fie acumF : (a, b) R2R3dat prin:F(t, (, )) = (x1(t), x2(t) +, x3(t) +).EvidentFe difereniabil i restricia sa la (a, b)(0, 0) coincide cu. Deter-minantul su iacobian nt0 este:dx1dt[t0dx2dt[t0dx3dt[t00 1 00 0 1=dx1dt[t0,= 0.Conform Teoremei funciei inverse, exist o vecintateU a luiF(t0, (0, 0)) = (t0)n R3pe careF1exist i e difereniabil. Pe de alt parte, cum e continu,gsim o vecintateIa lui s0,I (c, d) astfel nct(I) U. n ne, vedem ch [I= F1 [I e difereniabil ca o compunere de aplicaii difereniabile, ceea cencheie demonstraia.

Sntem, astfel, ndreptii s numim reparametrizare a unei poriuni de curb : (a, b) R3orice difeomorsmh : (c, d) (a, b). De exemplu, difeomorsmult b + a t este o reparametrizare numit schimbare de orientare pentru c areca efect parcurgerea n sens invers a curbei. n general, despre o reparametrizareh care vericdhdt> 0 (respectiv< 0) se spune c pstreaz (respectiv schimb)orientarea. E, de asemenea, natural s ne punem problema gsirii, dac exist, aunor parametrizri simple care s uureze calculele.14 Proprieti locale ale curbelorPentru o curb parametrizat, vectorulddtse numete vectortangent sauvector vitez. Dac nt0componentele lui snt (dx1dt[t0, dx2dt[t0, dx3dt[t0), atunciecuaiile tangentei la Im n(t0) snt:(1.1)x1x1(t0)dx1dt[t0=x2x2(t0)dx2dt[t0=x3x3(t0)dx3dt[t0.Condiia ii) din deniie asigur existena vectorului tangent de-a lungul curbei.Dac imaginm curba ca traiectorie a unui mobil, atunci lungimea acestui vectorreprezintvitezainstantaneededeplasare. Aceastamotiveaz(dinpunctul devedere al zicii; o justicare matematic gsii n crile de analiz) calculul lungimiis(t) a unui arc de curb prin formula:s(t) =_tt0|dd|d, t0 I = (a, b).Formuladeschimbaredevariabilnespuneclungimeaarcului decurbein-dependentdeparametrizare. Seobinenfelul acestaofunciedifereniabils : I I =s(I) numitfuncialungimedearc. Evident sedifereniabilidsdt>0, deci inversabil. Notmhinversaei i tparametrul pe I. Atuncidhdt= |ddt|1> 0, deci h e o reparametrizare care pstreaz orientarea curbei. Fie = h. Conform regulii de derivare a funciilor compuse avem:ddt=ddt dhdt,astfel c|ddt| = |ddt| [dhdt [= 1.Am demonstrat astfel un rezultat extrem de important din punct de vedere teoretic:Propoziia1.1.5. Oricecurbparametrizatsepoatereparametrizaastfel calungimea vectorului tangent s e 1.n aceast parametrizare, lungimea parcurs pe curb ntre t i t1 este chiar t1t, adic parametrul reprezint lungimea arcului. De aceea o numim parametrizareprin lungime de arc (se mai numete canonic sau natural). Printr-un abuz denotaie tradiional vom nota cus parametrul canonic.EliceadinExemplul 1.2nueparametrizatcanonic: ntr-adevr, d/dt =(a sin t, a cos t, b) i |d/dt| = a2+b2. Acesta e, ns, un caz fericit: e uors reparametrizm canonic punnds=t(a2+ b2)1/2. n general e foarte greusrealizmpracticoparametrizarecanonic. Doudiculti potaprea. Demulte ori e foarte greu s calculm integrala care d lungimea arcului; de exemplu,lungimeaarcului elipsei, ocurbfoartesimpl, conducelaointegraleliptic,necalculabil prin cuadraturi. Pe de alt parte, chiar dac am calculat integrala,inversarea funciei lungime de arc nu este totdeauna la ndemn. Cu toate acesteaputemconsiderantotdeaunacavemde-afacecuarcedecurbparametrizatecanonic, presupunerea aceasta ind extrem de util n demonstrarea unor rezultatelocale.2 Invariani euclidieni locali 15Amindicatoconstruciepentruparametrizareacanonic. Nurezultdefelcarunicaposibil. Mai precis, porninddelaoriceparametrizarelocalsepoate ajunge la una canonic. Prin ce difer doi parametri canonici?Rspunsul econinut n:Lema1.1.6. Daci: Ii Ui , i = 1, 2 snt dou parametrizri canoniceastfel nct U1 U2 ,= , atunci pe ecare component conex lui U1 U2 avems1 s2 = const.Demonstraie. Fieh :11(U1 U2 ) 12(U1 U2 ), h =12 1.h exprim schimbarea de coordonats2=s2(s1). Ca s demonstrm enunul esucient s artm cds2ds1= 1, apoi s integrm (nu uitai c scriereads2ds1edoar un substitut pentrudhds1). Avem1 =2 h i aplicnd regula de derivare afunciilor compuse:d1ds1=d(2 h)ds1=d2ds2

dhds1.Lund aici norma gsim:|d1ds1| = |d2ds2| [dhds1[ .Cum ambele parametrizri snt canonice, |d1ds1| = 1, |d2ds2| = 1. Atunci [dhds1[= 1ceea ce ncheie demonstraia. Bineneles, semnul constantei pe ecare componentconex e pozitiv sau negativ dup cum h pstreaz sau schimb orientarea pe curb.

Observaia 1.1.7. Se observ cu uurin c, mutatis mutandis, tot ce am fcutpn aici, n particular existena i proprietile parametrizrii canonice, are loc ipentru curbe din spaiul euclidian Rn.2. Invariani euclidieni localiFie :I = (a, b) R3un arc de curb regulatparametrizat canonic. Vomconstrui un reper triortonormat solidar cu curba (adic avnd originea mobil pecurb). Schimbrile direciilor axelor sale vor codica proprietile geometrice alecurbei.Fiet(s) vectorul tangent la curb. E unitar pentru c parametrizarea e cano-nic. Acesta va primul versor al reperului. Fie acumk(s) = |dtds| = |d2ds2|funcia curbur. Denumirea e motivat de:Observaia 1.2.1. k 0 pe [s0, s1] dac i numai dac [[s0,s1] e o poriune dedreapt.Demonstraia e imediat (integraidtds = 0).Exemplul 1.2.2. Pentru un cerc de razr curbura este 1/r. Curbura elicei dinExemplul 1.2 (cua2+b2= 1 ca s avem parametrizare canonic) este 1.16 Proprieti locale ale curbelorExerciiul 1.2.3. Artai c funcia curbur e invariant la schimbri de orientare i laizometriile lui R3.Deoarecet(s) e unitar, derivnd n t(s), t(s)) = 1 obinem dtds, t(s)) = 0, decidtdsface parte din planul normal lat(s) n(s).Observaia 1.2.4. Ecuaia planului normal la Im n(s0) este:(1.2) (x1x1(s0))dx1ds[s0 +(x2x2(s0))dx2ds[s0 +(x3x3(s0))dx3ds[s0= 0.ntr-un puncts n carek(s) ,= 0 putem punedtds = k(s)n(s),undeamnotat n(s)versorul unitaral luidtds. n(s)senumetevectornormalprincipal. Acesta va al doilea versor al reperului. Subliniem c ntr-un punct ncare curbura se anuleaz nu avem nici un criteriu de a alege un vector anume dinplanul normal. Al treilea versor al triedrului se construiete acum n mod naturalprin produs vectorial. Punemb(s) = t(s) n(s)i-l numim vector binormal.Deniia1.2.5. Triedrul ortonormat t(s), n(s), b(s)asociatcurbei ntr-unpunct n care curbura e nenul se numete triedrul (reperul) lui Frenet.Triedrul lui Frenet n trei puncteale unei curbe spaiale.Planul t, n se numete osculator1, planul b, n se numete normal, iar planult, b se numete rectiant2.Ecuaia vectorial (parametric) a planului osculator este:r(s, , ) = (s) +t(s) +n(s),1Cuvntul vine de la latinescul osculare, a sruta. Planul osculator ntrun punct este celcare are contact de ordin maximal cu curba n acel punct, lucru care va mai clar dup Exerciiul1.2.16.2Denumireasevaclaricadupparcurgereaseciunii6. Anticipnd, sspunemcpesu-prafaa care nfoar planele rectiante, curba noastr devine geodezic, adic,,dreapt, indastfel,,ndreptat, sau rectiat.2 Invariani euclidieni locali 17unde r(s) este vectorul de poziie al unui punct generic din planul osculator, iar , snt parametri reali independeni.Exerciiul 1.2.6. Planul osculator este independent de parametrizare. Deducei de aicic i direcia vectorului binormal i, n consecin, planul rectiant, snt independente deparametrizare.Exerciiul1.2.7. Scriei ecuaiile planelor normal i rectiant n reperul canonic allui R3.Exerciiul 1.2.8. Ocurbregulat: IR3esteplandaci numai daceconinut n planul osculator.Indicaie: Dac e plan, atunci, modulo o rotaie n R3, putem presupune Im |x3= 0. Acum ecuaia planului osculator devinex3= 0, deci coincide cu planul curbei.Reciproca e evident.Pentru a studia variaia axelor reperului Frenet va trebui s calculm derivatelefunciilort,n,b. Vom folosi urmtorul rezultat ajuttor:Lema 1.2.9. Fieei : I R3,i = 1, 2, 3, funcii difereniabile astfel nct ei(s)e o baz ortonormat n orice punct dinI. Atunci exist o matrice antisimetricde funcii difereniabile (aij)i,j=1,2,3 cu proprietatea cdeids= ajiej (cu sumare dupindicelej3).Demonstraie. deids e un sistem de vectori n R3, deci exist o unic matrice(aij) astfel nctdeids=ajiej. Rmne de vzut antisimetria. Aceasta rezult dinderivarea relaiei ei(s), ej(s)) = ij:deids , ej(s)) +ei, dejds ) = 0,de undeakiek, ej) +ei, akjek) = 0,ceea ce implicaji +aij = 0.

Aplicnd acest rezultat pentrue1 =t, e2 =n, e3 =b, gsima21 =k, a31 = 0.n ce privetea32, o vom nota(s) i o vom numi torsiune. Putem acum formula:Propoziia 1.2.10. Versorii reperului Frenet veric urmtoarele relaii de deri-vare (numite ale lui Frenet) :dtds = k(s)n(s)dnds= k(s)t(s) +(s)b(s)dbds = (s)n(s)(1.3)3Am folosit aici, i o vom folosi de acum ncolo repetat, convenia de sumare a lui Einstein:indicii care se repet ntr-o formul sus i jos snt indici de sumare. Deci ajiej nseamn

3j=1 ajiej18 Proprieti locale ale curbelorDenumirea de torsiune este explicat de:Propoziia 1.2.11. Urmtoarele armaii snt echivalente:i) (s) = 0 peI;ii) reprezint o curb plan;iii) vectorul b(s) e constant.Demonstraie. Echivalenalui i)cuiii)rezultdirectdinatreiaformulFrenet. Pentru a dovedi c iii) implic ii) xm s0 I i artm c (s)(s0) b.Pentru asta calculm derivata funciei f(s) = (s) (s0), b(s)). Avemft(s) =t(s), b(s)) = 0, ceea ce implicf(s) = const. i cumf(s0) = 0 avemf 0 pe I.Reciproc, dac e plan, imaginea ei e situat neaprat n planul osculator, veziExerciiul 1.2.8. Astfel, planul osculator e x (coincide cu planul curbei) i vectorulsu normal e constant.

Ca i pentru curbur, propunem:Exerciiul 1.2.12. Artai c funcia torsiune e invariant la schimbri de orientarei la izometriile lui R3.Putemacumsdmonouinterpretareacurburii. Presupunndcurbaregulat i parametrizat canonic, e(s) unghiul dintre tangentelet(s) i t(s0),cus0 (a, b) xat. Avem evident:sin (s) = |t(s) t(s0)| = |t(s) (t(s) t(s0))|,deci obinem, folosind prima formul Frenet:limss0sin (s)[ s s0 [ = |t(s0) limss0t(s) t(s0)[ s s0 [|= |t(s0) k(s0)n(s0)| = k(s0)|b(s0)| = k(s0).Cum, pe de alt parte,(s) 0 cnds s0, avem:limss0sin (s)[ s s0 [ =limss0sin (s)(s) limss0(s)[ s s0 [ =limss0(s)[ s s0 [,astfel c am demonstrat:Propoziia1.2.13.Curbura unui arc de curb parametrizat, regulat este datde formula:k(s0) =limss0(s)[ s s0 [,(s) ind unghiul dintre tangentele n punctele(s) i(s0).Exerciiul 1.2.14. Formulai i demonstrai o interpretare analoag a torsiunii folosindunghiul dintre dou binormale apropiate.Formulele lui Frenet scrise n parametrizarea canonic nu permit, n general,calcule explicite. Dar furnizeaz rezultate calitative. Un exemplu este:Propoziia 1.2.15. Fie o curb parametrizat, regulat i cu torsiunea nicierinul.Urmtoarele armaii snt echivalente:i) Direciile tangente fac unghi constant cu o direcie x.ii)k/ = ct.;2 Invariani euclidieni locali 19iii) Direciile normale snt paralele cu un plan x.iv) Direciile binormale fac unghi constant cu o direcie x.Demonstraie. Putem presupune curba parametrizat canonic. Fiea verso-rul direciei xe din enun. Avem a, t) = cos , cu un unghi constant. Derivndaici i folosind prima formul Frenet gsima n, decii) iii). Decia aparineplanului rectiant i se descompune dup t i b ca: a = t cos +b sin . Derivnd iaceast relaie, din prima i a treia formul Frenet rezult k/ = tg , deci i) ii).Celelalte implicaii se demonstreaz similar.

O curb cu proprietile de mai sus se numete elice. Elicea circular este doarun caz particular. Un alt exemplu de elice, cu curbur i torsiune neconstante, este:(t) = (2t, t2, ln t),t R.Un exemplu: elicea sferic.Exerciiile care urmeaz furnizeaz alte interpretri geometrice pentru planeletriedrului Frenet, pentru curbur i torsiune.Exerciiul 1.2.16.(Forma canonic local a unui arc de curb.) S se scrie ecuaiileunui arc de curb regulat ntr-o vecintate a unui puncts0, raportate la axele triedruluiFrenet n(s0).Soluie. Presupunemparametrizat canonic. Mai mult, putem presupunes0= 0.Dezvoltm funcia n serie Taylor n jurul lui 0. Avem:(s) = (0) +s

(0) +s22

(0) +s36

(0) +R, lims0Rs3= 0Dar

(0) =t,

(0) =kn,

(0) =k

n + k(kt + b) (cu toate funciile din membruldrept calculate n 0). n consecin:(s) (0) = (s s36k2)t + (ks22+k

s36 )n +k s36b +R.Facemacumotranslaieareperului dinR3astfel nct (0)=0. Dacnotmx, y, zcoordonatele n reperul Frenet, atunci coordonatele lui (s) n reperul Frenet n punctul20 Proprieti locale ale curbelor(0) snt:x(s) = s 16k2s3+Rx, (1.4)y(s) =12ks2+ 16k

s3+Ry, (1.5)z(s) =16ks3+Rz. (1.6)cuRx, Ry, Rz de acelai ordin de mrime cus3.Exerciiul 1.2.17. Planul osculator ns0 e poziia limit a planului determinat deti(s0 + h) cndh 0. S se deduc de aici c planul osculator ns0 e poziia limit ipentru planul determinat de punctele(s0), (s0 +h1), (s0 +h2) cndh1, h2 tind la 0.Soluie. Lund s0 = 0 i (0) = 0, un plan care trece prin t are, n reperul Frenet, ecuaiaz =ay, a R, sauy = 0. Aceasta din urm este ecuaia planului rectiant i iese din2 Invariani euclidieni locali 21discuie (motivai!). Dacz = ay trece prin(h) atunci:a =zy=kh36+kh22+k

h36+,deci a 0 cndh 0. A doua caracterizare se obine din prima observnd c, atuncicndh1 0, coarda determinat de(s0) i(s0 +h1) tinde la tangenta ns0.Rezult de aici c, dintre toate planele tangente la curb, planul osculator este celcare o aproximeaz cel mai bine.Astfel, curbura msoar tendina curbei de a se deprtade tangent n acest plan, de a se ndoi. Analog, torsiunea msoar tendina curbei de aiei din planul osculator.Exerciiul 1.2.18. Fiek(s0) ,= 0. S se arate c n planul osculator n punctul(s0)exist un unic cerc care are un contact de ordinul 3 cu curba (intersecteaz curba n treipuncte confundate). Cercul acesta se numete cerc osculator sau de curbur; raza sa este1/k(s0) i se numete raza de curbur.Soluie. Ca mai sus, presupunems0 = 0 i(s0) = 0. Considerm R3raportat la reperulFrenet n punctul(0).Cercul cutat trebuie s e, n planul osculator, tangent curbei n(0), deci va avea centrul pe direcia normal principal la curb. Ecuaiile unui cerc dinplanul osculator n(0) snt:_x2+ (y r)2= r2,z = 0.Punctele de intersecie cu curba snt soluiile ecuaiei:x(s)2+ (y(s) r)2= r2nlocuim aicix(s), y(s) din forma canonic local:(s +O(2))2+ (ks22r +O(2))2= r2.Obinem, neglnd termenii de grad mai mare sau egal cu trei:s2(1 rk) +O(2) = 0Avem contact de ordinul trei dac i numai dac 1 rk = 0. n concluzie, cercul cerutexist i are raza egal cu inversul curburii n punctul considerat.Exerciiul 1.2.19. Cercul osculator ns0e poziia limit a cercului determinat depunctele(s0), (s0 +h1), (s0 +h2) cndh1, h2 tind la 0.Exerciiul 1.2.20. Formulai i demonstrai un rezultat asemntor pentru torsiunefolosind planul rectiant.Propoziia 1.2.10 admite o reciproc cunoscut sub numele de Teorema fun-damental a teoriei curbelor care spune, n esen, c exist un unic (pn la izo-metrii ale spaiului) arc de curb cu curbura i torsiunea prestabilite. Mai precis:Teorema 1.2.21. FieI R ik : I R+, : I R dou funcii difereniabile.Atunci exist curbe parametrizate canonic : I R3pentru care funciile curburi torsiune sntk, respectiv. Mai mult, imaginile a oricare dou astfel de curbedifer printr-o izometrie a lui R3.Demonstraie. Vom mpri demonstraia n trei pai .Pasul 1. Considerm sistemul de ecuaii difereniale liniare (1.3) cu necunoscutele22 Proprieti locale ale curbelort,n,b. Conform teoremei de existen i unicitate pentru sisteme de ecuaii dife-reniale (vezi, de exemplu, [Ha]) avem soluie unic de ndat ce xm un triplett(s0), n(s0), b(s0) drept condiie iniial ntr-un puncts0 I. Trebuie acum sartm c dac t(s0), n(s0), b(s0) e ortonormat, atunci i t(s), n(s), b(s) e or-tonormat (cu alte cuvinte, trebuie artat c soluia problemei de ecuaii diferenialee soluie i pentru problema de geometrie de la care am plecat). Pentru aceastarelum notaiilee1 =t, e2 =n i e3 =b. Punemeij = ei, ej). Trebuie vzut ceij(s) = ij. Avem(1.7)deijds= akiekj +akjeikCu condiia iniial eij(s0) = ij, sistemul (1.7) are soluie unic. Deoarece eij(s) =ijveric sistemul (pentru c matricea (aki ) e antisimetric), aceasta e unica so-luie.Pasul 2. Const n integrarea ecuaieidds= t(s) cut(s) soluie gsit la Pasul 1.Avem :(s) =_ss0t()d +(s0),astfel c vectorul tangent la este chiart(s). Cum acesta e unitar, e parametri-zat canonic. Se veric imediat ci k snt, respectiv, torsiunea i curbura lui.Pasul 3. Unicitatea pn la deplasri n R3rezult n felul urmtor. S considermi :I R3, i = 1, 2, cuk1(s) =k2(s), 1(s) =2(s). Fie ci0= ti0, ni0, bi0 trie-drele Frenet corespunztoare n punctuls0. Cum acestea snt ortonormate, existo izometrieFa lui R3care pstreaz orientarea i satisface: F(1(s0)) =2(s0)i F(c10)= c20. Deoarecesistemul Frenet(1.3)eliniar, F(c1(s))i c2(s)sntsoluii alesalecuaceeai condiieiniial c20. Dinunicitateasoluiei rezultc2(s) = F(c1(s)) deci2(s) = F(1(s)).

De exemplu, folosind acest rezultat se poate demonstra:Exerciiul 1.2.22. O curb regulat plan cu curbura constant este un arc de cerc.Un alt exemplu de aplicare a formulelor lui Frenet i a Teoremei fundamentaleavem n:Exemplul 1.2.23. Fie: I R3o curbregulat, cucurburai torsiuneanicieri nule. se numete curb Bertrand dac exist o curb1 :I R3astfelnct normalele lai 1n ecaret Is e coliniare. n acest caz cele doucurbe se numesc vecine Bertrand. Atunci:1. 1(t) = (t) +rn(t) cur = const..2. e curb Bertrand dac i numai dac exist constantele reale A i B astfelnct(1.8) Ak(t) +B(t) = 1.3. Dac are cel puin dou vecine Bertrand, atunci e elice circular i are oinnitate de vecine Bertrand.2 Invariani euclidieni locali 23ntr-adevr, conform deniiei, e curb Bertrand dac i numai dac exist1 cu(1.9) 1(t) = (t) +r(t)n(t).Fies (respectivs1) parametrul canonic pe(respectiv1). n general, s ,=s1.Derivm (1.9) n raport cus i gsim:(1.10) t1 = [1 r(s)k(s)]t(s) +rt(s)n(s) +r(s)(s)b(s).Cum n e normal i la 1, t1, n) = 0. Deci, ecuaia anterioar implic rt = 0, adic1. Pentru 2., derivm n raport cus funcia t, t1). Rezult:kn, t1) +t, k1ds1dsn1) = 0,deci t, t1) =const. Cumt i t1snt unitari, putem scrie t, t1) = cos , cu =const. Revenind n relaia (1.10) scris sub forma:ds1dst1 = [1 rk(s)]t(s) +r(s)b(s),vedem ct1 aparine planului rectiant al lui . Fcnd, pe rnd, produsul scalarcut ib obinem:ds1dscos = 1 rk(s),ds1dssin = r(s).De aici decurge (1.8) cuA = r iB = r ctg .Reciproc, denim1 = +An cuA dat de (1.8). Trebuie artat c normalelelui i1 snt coliniare. Avem:d1ds= (1 Ak)t +Ab = (Bt +Ab),deci un vector tangent unitar la1 (egal cut1 pn la semn) va t1 = (A2+B2)1/2(Bt +Ab).Atunci:k1n1 =dt1ds1=dt1ds dsds1= (A2+B2)1/2(Bk A)dsds1n,ceea ce trebuia demonstrat.Pentru a demonstra 3. observm nti c o elice circular, de ecuaie (a cos s, a sin s, bs)cua2+ b2= 1, a, b> 0, avndk =a, =b este o curb Bertrand i are o in-nitate de vecine Bertrand (scriei explicit ecuaiile lor). Pe de alt parte, conformTeoremei fundamentale, eliceacircularestesinguracurbcucurburai torsiu-nea constante. Dar dac admite vecinele Bertrand diferite 1 i 2, atunci putemasocia sistemul A1k(t)+B1(t) = 1, A2k(t)+B2(t) = 1. E un sistem liniar, cu co-ecieni constani al crui determinant nu poate nul (motivai!). Rezult curburai torsiunea lui constante, ca soluii ale sistemului. Deci e elice circular.Exerciiul 1.2.24. 1) Produsul torsiunilor a dou curbe Bertrand e constant.24 Proprieti locale ale curbelor2) Orice curb care nu e elice circular i are curbur constant pozitiv are o vecinBertrand, cu aceeai curbur. Fiecare dintre cele dou curbe e locul centrelor de curburale celeilalte.Deoarece, aa cum spuneam mai sus, cele mai multe curbe care apar n aplicaiinu snt parametrizate canonic i reparametrizarea e, cel mai adesea, anevoioas, eutil s avem i expresiile curburii i torsiunii ntr-o parametrizare oarecare.Propoziia 1.2.25. ntr-o parametrizare oarecare avem:k(t) =|t tt||t|3, (1.11)(t) =det(t, tt, ttt)|t tt|2(1.12)unde am notatt =ddt,tt =d2dt2 ,ttt =d3dt3 .Demonstraie. Notndcu sparametrul canonicpe avemdsdt=|ddt|.Atuncit =t|t|. Derivm n raport cus i obinem:kn =dtds =dtds tt|t| t|t|t|t|2=tt|t|2 |t|t|t|2t.S presupunemk ,= 0. nmulim vectorial la stnga cut egalitatea anterioar i(deoarecev v = 0 pentru orice vectorv) gsim:kb =t tt|t|3.Cumb e unitar i k> 0, lund aici norma rezult prima formul din enun. nplus, vedem cb e la fel orientat cut tt, deci expresia sa ntr-o parametrizarearbitrar este:(1.13) b =t tt|t tt|.S mai observm c dac ntr-un punct curbura se anuleaz, atunci tt e coliniar cut i produsul lor vectorial e nul, rezultat consistent cu formula pe care am gsit-o.Pentru expresia torsiunii plecm cu a treia formul Frenet n care exprimmderivatalui bnraportcusprinintermediul derivatei nraportcut, folosindformula (1.13):n =dbds =dbdt dtds =1|t| ddtt tt|t t|=1|t|_t ttt|t tt| + (t tt) ddt1|t tt|_.2 Invariani euclidieni locali 25nmulim la stnga cub relaia gsit. Rezult:t =1|t| (t tt) (t ttt)|t tt|2.Acum folosim o formul binecunoscut care exprim neasociativitatea produsuluivectorial:u (v w) = u, w)v u, v)w.Lundu =ttt, v=t, w =ttti innd seama c produsul vectorial a doivectori e perpendicular pe ecare dintre ei, avem:(t tt) (t ttt) = t tt, ttt)t = det(t, tt, ttt)tceea ce, innd seama ct =t|t|, ncheie demonstraia.

Exemplul 1.2.26. Fie curba(t) = (etcos t, etsin t, et), t R.Avem:t(t) = (et(cos t sin t), et(sin t + cos t), et),deci |t(t)| = et3. Pentru lungimea arcului obinem:s(t) =_t0e3d = 3(et1),cu inversa h(s) = ln(s +33). Deci expresia curbei n parametrizarea prin lungimeaarcului este:(s) = (s +33cos ln(s +33), s +33sin ln(s +33), s +33.)Acesta este unul dintre cazurile fericite cnd putem parametriza explicit prin lungi-me de arc, dar nu vom continua calculele n aceast parametrizare ci vom reveni lacea arbitrar, nt, pentru a calcula curbura i torsiunea. Pentru derivatele a douai a treia gsim:tt(t) = (2etsin t, 2etcos t, et),ttt(t) = (2et(cos t + sin t), 2et(cos t sin t), et).Pentru produsul vectorialt tt obinem:t tt = (e2t(sin t cos t), e2t(cos t + sin t), 2e2t).Astfel |t tt| = e2t6 i, conform cu (1.11), curbura este:k(t) =23et.n ne,det(t, tt, ttt) =et(cos t sin t) et(sin t + cos t) et2etsin t 2etcos t) et2et(cos t + sin t) 2et(cos t sin t) et= 2e3t,26 Proprieti locale ale curbelorceea ce, cu formula (1.12), conduce la:(t) = 13et.S observm c, dei curbura i torsiunea lui snt neconstante, raportul lor esteconstant:k= 2. Deci este o elice (Propoziia 1.2.15). Deoarece (x1)2+(x2)2=e2t= (x3)2, imaginea curbei st pe un con cu vrful n origine i cu nlimeaOx3,anume pe pnza corespunztoare lui x3> 0. S gsim versorul direciei xe, eel a = (, , ) cu caretface unghi constant. Cerem ca produsul scalar dintrea i versorul13((cos t sin t), (sin t + cos t), 1) al direciei tangente s e constant.Obinem ecuaia:(cos t sin t) +(sin t + cos t) + = const.Deci derivata funcieif(t) = ( +) cos t + ( ) sin t +trebuie s e identic nul. Aadar ecuaia:( +) sin t ( ) cos t = 0trebuie s e identic satisfcut. Cum cos t, sin t snt liniar independente peste R,obinem + = 0 i = 0, adic = = 0. Atunci = 1 i a = (0, 0, 1).Rezult de aici i c elicea conic taie generatoarele conului sub un unghi constant.Exerciiul 1.2.27.S se calculeze curbura i torsiunea curbei (situat pe un cilindrueliptic): (t) = (a cos t, b sin t, ct),a, b, c, > 0,t R.Observaia 1.2.28. n cazul unei curbe din Rn(vezi Observaia 1.1.7) un ,,reperFrenet se poate ataa astfel: se presupune c vectorii dds, . . . , dn1dsn1 snt inde-pendeni (este generalizarea condiiei din R3de neanulare a celei de-a doua derivate)i se ortonormeaz cu procedeul Gram-Schmidt. Apoi, derivnd relaiile de ortonor-malitate dintre vectorii obinui se obin analoagele formulelor Frenet i n funciik1,. . . ,kn numite,,curburi. Detalii se gsesc n [Ia1], pag.30.3 Curbe plane 273. Curbe planeS presupunem acum c = Ime situat ntr-un plan. Dup o eventualizometriealui R3putemconsideracacestplaneste x1Ox2identicatcuR2.Presupunem curba parametrizat canonic. tim deja c planul curbei coincide cuplanul osculator (acolo unde acesta e denit). Rezult c n punctele n care triedrulFrenet exist, el poate nlocuit de un reper format de doar doi vectori ortonormain R2. Pentru curbele plane e util s deosebim ntre cele convexe i cele concave.Distincia se face cu ajutorul curburii care acum capt semn (curbura fr semnnu poate distinge un arc de parabol de simetricul su fa de tangenta prin vrf; oriaceste arce snt direct izometrice n R3dar nu n R2). Pentru aceasta vom modicanti deniia vectorului normal principal. Direcia luin ind cunoscut (cea a luid2/ds2) vom stabili sensul astfel ca reperul Frenet t, n s e la fel orientatcu reperul canonic (1, 0), (0, 1). Cu aceast alegere denim funcia curbur prinecuaiadtds = (s)n(s).Exerciiul 1.3.1. S se arate c [ [ este curbura lui vzut ca o curb n spaiu.Indicaie: Folosii cercul osculator.k0Semnul curburii este legat de convexi-tate. Pe o curb convex, curbura aresemn constant.E uor de artat c a doua (i ultima n acest caz) formul Frenet este:dnds= (s)t(s).Forma canonic local a unei curbe plane se va reduce acum la primele dou ecuaiin care, de altfel, nu apare torsiunea. Doar c acum, noteaz curbura cu semn28 Proprieti locale ale curbelor(de altfel, ecuaiile care urmeaz se pot deduce i direct din formulele Frenet pentrucurbe plane).x(s) = s 162s3+Rx, (1.14)y(s) =12s2+ 16ts3+Ry. (1.15)Folosind aceste noi ecuaii putem da o interpretare simpl a modulului curburiicurbelor plane:Exerciiul 1.3.2.FieTdreapta tangent np =(s0) la. FieL o paralel lan(s0)la distand dep. Fieh lungimea segmentului determinat peL de i intersecia cuT.Atunci:[ (s0) [= limh02hd2 .Soluie: Presupunems0 = 0,(0) = 0. Alegem un sistem de coordonate cu origineaO np i cu axele orientate, respectiv, dupt(s0), n(s0). Atunci ecuaiile canonice locale alelui vor , pn la termeni de ordinul al doilea inclusiv:x(s) = s +Rx, y(s) = s22+RycuRx, Ry tinznd la zero odat cus2i semnul luiy depinznd de orientare. Atunci:[ (0) [= lims02 [ y(s) [s2= lims02hd2 .La fel cum am gsit expresia curburii i torsiunii curbelor strmbe ntr-o parame-trizare oarecare, putem gsi expresia curburii pentru o curb plan:Propoziia 1.3.3. ntr-o parametrizare oarecare curbura unei curbe plane e datde relaia:(t) = det(t, tt)|t|3= (x1)t(x2)tt (x1)tt(x2)t((x1)2+ (x2)2)32.Demonstraie. Cheia demonstraiei este determinarea vectorului normal uni-tar. Fie sparametrul canonicpe . Avemdsdt=|ddt|, deci t =t|t|=(|t|)1((x1)te1 + (x2)te2). Fie n=ae1 + be2, cua, bfuncii difereniabiledet ia2+b2= 1. Trebuie s avem t, n) = 0, de unde:a(x1)t +b(x2)t = 0.Obinem (a, b) = |t|1((x2)t, (x1)t) cu = 1 determinat de condiia ca t, ns e pozitiv orientat. Deci impunem condiia:(x1)t(x2)t(x2)t(x1)t> 0.Rezult = 1, adicn = |t|1((x2)te1 + (x1)te2). Pe de alt parte, din primaformul Frenet rezult:n =dtds =dtdt dtds =tt|t|2 |t|t|t|3t.3 Curbe plane 29Facem produsul scalar cun = |t|1((x2)te1 + (x1)te2) i obinem: = |t|2tt, n) = |t|3 ((x1)tt(x2)t + (x2)tt(x1)t),ceea ce trebuia demonstrat.

Exerciiul 1.3.4. S se calculeze curbura tractricei:(t) = (sin t, cos t + ln tgt2)i a catenarei (sau lniorului; este poziia de echilibru a unui r greu i omogen, exibili inextensibil, ale crui capete snt xate n dou puncte):(t) = (ch t, t).S se arate c segmentul de pe tangenta la tractrice determinat de punctul de contacti interseciacuOx2arelungimeconstant. Ssearatectangentelecatenarei sntnormaleletractricei. Nevomrentlni cuacestecurbenCapitolul 2cndvomstudiasuprafeele generate de rotirea lor n jurul axei verticale.Tractricea i evoluta sa catenara.Ocurbcarenfoarnormalelealteiasenumeteevolutacelei de-adoua(nfurtoarea unei familii de drepte este o curb care, n ecare punct al ei, etangent unei unice drepte din familie). Deci ecuaia evolutei lui este +1n,adic evoluta unei curbe plane e locul centrelor cercurilor osculatoare. Reciproc,fa de evoluta sa, se numete involut. n exerciiul anterior am vzut c evolutaplan tractricei e catenara.Exerciiul 1.3.5. Artai c evoluta elipsei (a cos t, b sin t) e astroida de ecuaie(a2b2acos3t, b2a2bsin3t).Artai c, n general, astroida (a cos3t, a sin3t) e locul unui punct x de pe un cerc deraza/4careserotetefrfrecareninteriorul unui cercderaza. Eocurbcarea aprut n cercetrile legate de roi dinate, dar evoluta elipsei fusese determinat, cumloace exclusiv sintetice, nc de Apollonius.30 Proprieti locale ale curbelorEvoluta elipsei e o astroid.Exerciiul 1.3.6. Artai ctangentelelaelicea(cos t, sin t, t) intersecteazplanulx1Ox2dup o involut a cercului unitate.Exerciiul 1.3.7. S se arate c locul geometric al unui punct x de pe un cerc de raza care se rostogolete fr frecare pe o dreapt este curba de ecuaii:x1(t) = a(t sin t), x2(t) = a(1 cos t).Curbaaceastasenumetecicloidiareproprietigeometriceimecanicefoarteinteresante.Sepoateartacevolutacicloidei etotocicloid. ntr-adevr:

(t) =(a(1 cos t), a sin t),

(t) =(a sin t, a cos t) i curburarezult =14a sint2. Cumn=12a sint2(a sin t, a(1 cos t)), rezult pentru evolut ecuaia: + 1n = (a(t + sin t), a(cos t 1)).Dar aceasta e o curb congruent cu, modulo translaia la stnga cua i n jos cu 2a,adic vectorul de translaie e (a, 2a).Cicloida ca loc geometric. Evoluta cicloidei e tot o cicloid.Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli i Christian Huygens au artat, separat, c cicloidaeste soluia problemelor tautocronei (sau izocronei) i a brahistocronei.Problema tautocronei cere s se gseasc acea curb care unete A i B n aa fel nct,din orice punct al ei ar porni un corp de mas x, s ajung n B n acelai timp. Pornindde la aceast proprietate i de la faptul c evoluta cicloidei e tot o cicloid, Huygens aproiectat un pendul cicloidal: rul greu e forat s oscileze ntre dou arce de cicloidtangententr-uncapt. Frecvenacestui pendul nuvamai depindedeamplitudineaoscilaiei,astfel c un pendul de acest tip poate indica ora locului unde a fost potrivitiniialoriundepeglob(szicemlaGreenwich), chiarpemare, indiferentdecondiiileatmosferice. Cu ajutorul lui se poate determina longitudinea n grade (fa de meridianulGreenwich) unui punct de pe glob dup formula (ora local - ora Greenwich) 15/h.3 Curbe plane 31Iat cum se poate arta c arcul de cicloid (A+a(tsin t), Ba(1cos t)) simetriculfa deOx1al celui de mai sus satisface problema tautocronei: energia cinetic e legatdeenergiapotenialprinrelaiav2=2g(y2 y1)(aici geacceleraiagravitaionali,pentru simplitate, notmx =x1, y =x2). Cum timpul e distana raportat la vitez,iar distana se obine integrnd lungimea vectorului tangent, timpul se calculeaz integrndecuaiadt=ds_2g(y y0). Cumds= _dx2+dy2i dx=dxdudu=a(1 cos u)du,dy =dydudu = a sin u, avem de calculatT =_u0_2a2(1 cos u)2ag(cos u0cos u)du =_ag_u0_1 cos ucos u0cos u=_ag_u0sinu2_cos2u02cos2u2du = 2_ag_10dz1 z2dz (cu substituia z =cosu2cosu02)= 2_ag arcsin z10= _ag,deci timpul de parcurs nu depinde de punctul intermediar de pornire.Pentru detalii (i nu numai) se pot consulta articolele: H. Geiges, Christian Huygensand contact geometry, arXiv:math.HO/0501255 i Je Brooks, Satha Push, The cycloidalpendulum, The Amer. Math. Monthly, 109 (2002), 463465.Problema brahistocronei cere s se uneasc dou puncteA iB ntr-un plan verticalprintr-o curb n aa fel ca un corp de mas x care alunec numai sub aciunea gravitaieis ajung n timpul cel mai scurt dinA nB. De rezolvarea ei se leag naterea a ceea ceazi numim calcul variaional. Problema este mai grea pentru c presupune gsirea uneicurbe (cilcoida, n spe) cu o anume proprietate de minimalitate ntre toate curbele unescdou puncte.Fie o curb plan i : S1aplicaia((s)) =t(s) (s e parametrulcanonic). Cum vectorul tangent e acelai n orice parametrizare canonic e binedenit, continui difereniabil. Fie (s) [0, 2)unghiul orientat(nsenstrigonometric) dintre x1i (s). (s) e unghiul dintre axa absciselor i raza vectoareprin origine paralel cu tangenta n(s). Din pcate nu e nici mcar continu(e sucient s vedei ce se ntmpl la trecerea printr-un punct n care tangenta eparalel cuOx1: de o parte a punctului tinde la zero, de cealalt se apropie de2). Totui, putem demonstra:Lema 1.3.8. Pe orice subinterval nchis [a, b] I exist funcii continue (s) caresatisfac relaia(s) = (s) + 2m(s), cum(s) Z. O asemenea funcie e completdeterminat de alegerea arbitrar a lui m(a). Dou asemenea funcii difer prin2h, cuh constant ntreag.Demonstraie. Funciat(s) e uniform continu pe [a, b]. Atunci exist> 0astfel ca [ s st [< s implice ct(st) aparine semicercului deschis cu centrul nt(s) (unde am notat la fel tangenta unitar la curb i raza vectoare paralel cu ea ncercul unitate centrat n origine). Alegem acum o diviziunea < s1 0 i u2e parametru canonic pe curba generatoare : (t)2+ (t)2= 1)o parametrizare local pentru o suprafa de rotaie. Pentru simplitatea scrierii,vom omite argumentul lui. Avem:h1 = (sin u1, cos u1, 0),h2 = (tcos u1, tsin u1, t),N = (tcos u1, tsin u1, t), det(g) = 2,g11 = 2, g12 = 0, g22 = 1,h11 = (cos u1, sin u1, 0),h12 = (tsin u1, tcos u1, 0),h22 = (ttcos u1, ttsin u1, tt),b11 = t, b12 = 0, b22 = ttt ttt,L11 = t , L21 = L12 = 0, L22 = ttt ttt,5 A doua form fundamental. Curbur 67decik1 = t ,k2 = ttt ttt. n particular, n cazul sferei de razr,(u2) =r sinu2r ,(u2) = r cosu2r , de undek1 = k2 = r.Exerciiul 3.5.8. Aplicai formulele de mai sus pentru a calcula curburile principaleale torului i ale cuadricelor de rotaie.Nuentmpltorfaptul cpesfercurburileprincipalesntegalenecarepunct. Acelai lucru se ntmpl pe plan (vericai!). n general, un punct al uneisuprafee n care toate curburile normale snt egale se numete punct ombilical. Darnumai sfera i planul au toate punctele de acest fel:Teorema 3.5.9. Dac toate punctele unei suprafee regulate, conexeS snt ombi-licale, atunciS e o poriune de sfer sau de plan.Demonstraie. Fie p S i (U, h) o parametrizare local n jurul lui p astfel caV= Im(h)S s e conex. n ecare q Vcurburile principale snt egale: k1(q) =k2(q) =k(q). Conform Teoremei lui Rodriguez, valorile proprii ale operatoruluiWeingarten snt egale. Atunci difereniala aplicaiei lui Gauss este, n ecare punct,proporional cu operatorul identic: dNq = k(q)I. Avem :N1 = kh1, N2 = kh2.Derivm prima ecuaie n raport cuu2, a doua n raport cuu1i inem seama cderivatele mixte de ordinul 2 snt egale: N12 = N21 ih12 = h21. Scznd ecuaiileobinute gsim:ku2h1 =ku1h2i de aici, cumh1, h2 snt liniar independeni:ku1=ku2= 0.Decik = const. peV .Dack= 0, atunci N1=N2= 0, adicN=N0=const. peV . Rezultimediath(u1, u2), N0) = const.ceea ce nseamn cVface parte dintr-un plan.Dack ,= 0 peV , atunci punctulO = h(u1, u2) 1kN(u1, u2) e x i[ h(u1, u2) O [2=1k2adicVeste inclus n sfera de centruO i raz 1/k.Aceasta rezolv problema local. Fie acumrun punct diferit dep. S, indconex (n topologia indus din R3), e i conex prin arce. Considerm o curbcare unete p cu r i deoarece imaginea ei e compact n S, o acoperim cu o mulimenit de imagini de parametrizareVi. Acum, dac o asemenea vecintate e inclusntr-un plan (respectiv ntr-o sfer), toate vecintile din acoperire trebuie s eincluse n acelai plan (respectiv n aceeai sfer). n particular, p i r fac parte dinacelai plan (respectiv n aceeai sfer). Cumr a fost ales arbitrar, demonstraia ecomplet.

68 Proprieti locale ale suprafeelorExerciiul 3.5.10. Determinai punctele ombilicale ale elipsoidului.Cu ajutorul curburilor principale introducem acum cel mai important invariantmetric al suprafeelor:Deniia 3.5.11. Curbura gaussian K a unei suprafee este produsul curburilorprincipale: K = k1k2.DeoareceK = k1k2 = det(Lij) = det(bij)det(gij)curbura gaussian pare s e sesizabil doar din exteriorul suprafeei. C nu esteaa ne lmurete urmtoarea teorem a lui Gauss:Teorema 3.5.12. (Teorema egregium)5Curbura gaussian depinde doar de coe-cienii primei forme fundamentale.Demonstraie. innd seama de formula anterioar va sucient s demon-strm c determinantul formei a doua fundamentale se poate exprima numai nfunciedecoecienii primei formefundamentale. Demonstraiaestetehnicidestul de nenatural. Dar are avantajul de a direct i scurt. Pornim de laformula lui Gauss pe care o derivm:hijuk=sijukhs + sijhsk +bijukN +bijNk.Aici folosim din nou formula lui Gauss pentru exprimarea lui hski formula luiWeingarten pentru explicitarea luiNk. Gsim:(3.8)hijuk=_sijuk+ srkrij bijLsk_hs +_bijuk+ sijbsk_N.Deoarece am presupus c parametrizrile snt de clas ( (de fapt, clasa (3ar fost de ajuns aici), trebuie s avem:hijuk=hikuj.Scriem egalitatea aceasta folosind (3.8) i egalm coecienii lui hs, respectivN(pentru c h1, h2, N snt liniar independeni n orice punct). Rezult ecuaiile:(3.9)sijuk sikuj+ srkrij srjrik = bijLsk bikLsj,(3.10)bijuk bikuj= sikbsj sijbsk.Notm, pentru simplitate, membrul stng al ecuaiilor (3.9) cu Rsijk. Atunci ecuaia(3.9) devine(3.11) Rsijk = bijLsk bikLsjcare, nmulit cugsm (sumare dups) conduce la:gsmRsijk = bijLskgsm bikLsjgsm = bijbkm bikbjm.5n latin, egregium = important, distins, deosebit.5 A doua form fundamental. Curbur 69Aici punemk = i = 1,j = m = 2. Rezultgs2Rs121 = (b12)2b11b22 = det(bij).Cum funciile Rsijk depind doar de coecienii Christoel care, la rndul lor, depinddoar de coecienii primei forme fundamentale, demonstraia e ncheiat.

innd seama de Teorema 3.4.6, deducem urmtoarea consecin important:Corolarul 3.5.13. Dou suprafee local izometrice au aceeai curbur gaussian.Ecuaiile (3.11) i (3.10) se numesc, respectiv ecuaiile lui Gauss i Codazzi.Conform Teoremei egregium, nite ine imaginare bidimensionale care ar locuio suprafa i nu ar contiente c n afara lumii lor mai exist i altceva (adicnu ar putea s-i priveasc planeta din exterior) ar capabile totui s determinecurbura suprafeei doar prin msurtori pe suprafa. Este o observaie fundamen-tal care l-a condus ulterior pe Riemann la introducerea curburii pentru spaiileabstracte care azi i poart numele.S dm acum i o interpretare geometric curburii gaussiene. Fiep0 Sunpunct n careK(p0) > 0. Considerm o parametrizare (U, h) n jurul su astfel cah(u0) =p0 i o vecintateVh(U) S a lui p0 nS. FieN :VS2aplicaialui Gauss. Vom demonstra c raportul dintre aria luiN(V ) i cea a luiVtinde laK(p0) cndVtinde lap0.hNVfUN(V)Artm nti c, (micornd, eventual, deschisul U), f = Nh e o parametrizarea poriunii N(V ) S2. Cum h i N snt difereniabile, f e difereniabil. Deoarecehehomeomorsmntre V i h1(V )iar NnuedectotranslaienR3, f ehomeomorsm pe imagine. Rmne s dovedim cf1, f2 snt independente peU;echivalent,f1 f2 ,= 0. Avem:f1 f2 = N1 N2 = (Li1hi) (Lj2hj) = Li1Lj2(hi hj)= L11L22(h1 h2) +L21L12(h2 h1) = (L11L22 (L21)2)(h1 h2)= det(L)h1 h2 = K(p)h1 h2.CumK(p0) >0, princontinuitate KrmnepozitivpeovecintatesucientdemicVt V alui p0. Deoareceh1h2 ,=0peU, avemf1f2 ,=0peUt = h1(Vt) U. Atunci:A(N(Vt)) =__U

|f1 f2| =__U

K|h1 h2| =__U

K_det(gij).70 Proprieti locale ale suprafeelorFolosind teorema de medie pentru integrala dubl avem:A(N(Vt)) = K(u1)_det(gij(u1))A(Ut) pentru un u1 Ut.Similar:A(Vt) =__U

_det(gij) =_det(gij(u2))A(Ut) pentru un u2 Ut.S observm c dac aria lui Vt tinde la 0, Vt rmnnd tot timpul vecintate pentrup0, atunci u1 tinde s coincid cu u2 i imaginile lor prin h tind s coincid cu p0; nparticular, datorit continuitiiK(u1) va tinde laK(u0) = K(p0), deci obinem:limA(V

)0A(N(Vt))A(Vt)= K(p0)ceea ce constituie interpretarea geometric promis.Observaia 3.5.14. Argumentul de mai sus funcioneaz i pentru K(p0) < 0, daratunci obinem interpretarea geometric a modulului curburii. n schimb, pentrucurbura nul nu se poate da o astfel de interpretare.Exerciiul 3.5.15. Pentru suprafaa lui Enneper, dat prin:(u1(u1)3/3 +u1(u2)2, u2(u2)3/3 + (u1)2u2, (u1)2(u2)2),artai c aplicaia lui Gauss este bectiv i c imaginea discului |u12+ u22 3 prinaplicaia lui Gauss acoper mai mult dect o emisfer.Exerciiul3.5.16. Folosind Exemplul 3.5.7, artai c pentru o suprafa de rotaieK =

. n particular, demonstrai c: pe pseudosfer (obinut prin rotaia tractricei,deci cu parametrizareah(u1, u2) = (sin u2cos u1, sin u2sin u1, cos u2+ ln tgu22 ), curburagaussian este constant, egal cu 1, iar pe sfera de razr,K = 1/r2.Pseudosfera. Meridianele (verticale) snt trac-trice.5 A doua form fundamental. Curbur 71Observai c pe tor curbura gaussian nu are semn constant. Determinai punctelen care este pozitiv i interpretai geometric rezultatul.Exerciiul 3.5.17.S se calculeze curbura gaussian pentru o suprafa dat explicitprinx3= f(x1, x2).Indicaie: Parametrizm cuh(u1, u2) = (u1, u2, f(u1, u2)) i avem:h1 = (1, 0, f1), h2 = (0, 1, f2), N =1_1 +f21 +f22(f1, f2, 1),g11 = 1 +f21, g12 = f1f2, g22 = 1 +f22,h11 = (0, 0, f11), h12 = (0, 0, f12), h22 = (0, 0, f22),b11 =f11_1 +f21 +f22, b12 =f12_1 +f21 +f22, b22 =f22_1 +f21 +f22.DeciK =det(b)det(g) =f11f22f212(1 +f21 +f22)2.Aplicai formulele gsite pentru paraboloidul hiperbolic x3= x1x2i pentru o poriunede sfer parametrizat prin proiecii ortogonale x3=_(x1)2+ (x2)2. n cazul sferei, com-parai curbura gaussian gsit cu cea calculat n parametrizarea geograc (suprafade rotaie).Exerciiul 3.5.18.S se arate c, ntr-o parametrizare ortogonal, curbura gaussianse poate calcula cu formula:K = 12g11g22__u2__g11u2g11g22__+u1__g22u1g11g22____.Exerciiul 3.5.19. FieK curbura gaussian a elipsoiduluix2a2 +y2a2 +z2b2= 1.(i) Artai c __Kd = 4.(ii) Calculnd direct integrala de la punctuli, artai c_ 22ab2cos (a2sin2 +b2cos2)32= 2.n funcie de curbura gaussian, un punctp al unei suprafee poate :eliptic dacK(p) > 0;hiperbolic dacK(p) < 0;parabolic dacK(p) = 0, dar una dintre curburile principale este nenul;planar dack1(p) = k2(p) = 0.Exemplul 3.5.20. Orice punct al unui plan este planar. Toate punctele unui ci-lindrusaualeunei poriuni decon(nafaravrfului)sntparabolice. Punctelepseudosferei (suprafaa de rotaie generat de rotirea tractricei, conform cu Exer-ciiul 1.3.4) snt, toate, hiperbolice. Sfera are toate punctele eliptice i, n general:Exerciiul 3.5.21. Orice suprafa compact are puncte eliptice.Indicaie: Fiep0 ,S. Funciaf:S R+, f(p) = |p p0| e difereniabil. Fiinddenit pe o mulime compact are punte de extrem local. Fie q un punct de maxim local.Artai geometric c sferaS

de centrup0i razf(q) este tangent exterior nq laS.CumS i S

au aceeai direcie normal, n orice seciune normal curba de seciune de72 Proprieti locale ale suprafeelorpeS e interioar meridianului corespunztor de peS

, deci are curbur mai mare. Astfelnq toate curburile normale snt pozitive.O interpretare geometric a punctelor eliptice i hiperbolice avem n:Exerciiul 3.5.22. FieS o suprafa regulat.Fiep Sun punct eliptic. Atunci exist o vecintate a lui p ale crei puncte snt,toate, de o aceeai parte a luiTpS.Fiep S un punct hiperboliic. Atunci n orice vecintate a luip exist puncte de oparte i de alta a luiTpS.Indicaie: Se consider o parametrizare(U, h) n jurul lui p, i se studiaz funciaf(u1, u2) = h(u1, u2) p, N(p)) care d distana cu semn de laq=h(u1, u2) laTpS.Dezvoltnd n serie Taylorh(u1, u2), se exprimfn funcie de coecienii formei a douafundamentale.Stnga: puncteliptic(local, suprafaaedeosingurparteaplanului tangent).Dreapta: punct hiperbolic (Planul tangent taie suprafaa).Condiiile de mai sus snt doar necesare, nu i suciente, dup cum dovedescurmtoarele dou exerciii:Exerciiul 3.5.23. Studiai punctulp = (0, 0, 0) de pe suprafaax3= (x1)33x1(x2)2(auamaimuei). Artai cformaadouafundamentalnpestenul, deci pepla-nar, totui exist puncte de ambele pri ale planului tangent np n orice vecintate apunctului.aua maimuei. Cu excepia punctu-lui (0, 0, 0), care e planar, toate cele-lalte puncte au curbur gaussian negativ:K = 36(u1)2+(u2)2(1+9((u1)2+(u2)2))2.Exerciiul 3.5.24. Rotii curba de ecuaie x3= (x1)31, x3 [2, 0], n jurul axei x2.Artai c punctele generate de rotaia punctului (1, 0) snt parabolice i n orice vecintate5 A doua form fundamental. Curbur 73a lor exist puncte de ambele pri ale planului tangent. Atenie,parametrizarea nu ecanonic, nu putei folosi direct formulele din Exemplul 3.5.7.Exerciiul 3.5.25. S se clasice suprafeele de rotaie cu curbur gaussian constant1, 0 sau 1.Indicaie: Esucientsclasicmcurbelegeneratoare (u2)=((u2), (u2))cu> 0 i (

)2+ (

)2= 1. Din Exerciiul 3.5.16: K =

. Deci e soluie a ecuaieidifereniale cu coecieni constani:(3.12)

+K = 0,iar e dat de formula:(u2) =_u20_1 2(t) dt,cuu2astfel ca radicalul de sub integral s aib sens.PentruK = 1, soluiile lui (3.12) snt:(u2) = C1 cos u2+C2 sin u2, Ci = const.Introducem, n plus, restricia ca suprafaa s taie ortogonal planul x1Ox2, adic

(u2) Ox1n punctul de intersecie. Putem presupune(0) = 0, atunci condiia de perpendi-cularitate se reduce laC2 = 0. PunemC1 = C i gsim soluia general sub forma:(u2) = (C cos u2,_u20_1 C2sin2(t) dt), C = (0).PentruC = 1 se obine sfera de raz 1.PentruK= 0 se obine

= 0 deci e liniar. Suprafeele de rotaie cu curburgaussian nul snt, deci: cilindri, conuri (mai puin vrful) i plane.PentruK = 1, (3.12) furnizeaz:(u2) = C1eu2+C2eu2, Ci = ct.Cu aceeai ipotez suplimentar ca n cazul K = 1, forma general a lui e una dintreurmtoarele trei:(u2) = (C ch u2,_u20_1 C22sh(t)) dt,(u2) = (C sh u2,_u20_1 C22ch(t) dt),(u2) = (eu2,_u20_1 e2t) dt).Deoarece substituiat=ln sin vconduce la _ 1 e2tdt= _ cos vctg vdv=cos v +ln tgv2, ultima ecuaie gsit e cea a tractricei. Deci suprafaa generat, n acest caz, estepseudosfera.Reamintim c, datorit Teoremei egregium, dou suprafee local izometrice auaceeai curbur gaussian (Corolarul 3.5.13), dei nu au aceleai curburi principale.Altfel spus, dou suprafee ale cror curburi gaussiene difer nu snt local izometrice:o poriune de sfer nu poate niciodat,,ntins" pe un plan. Reciproca nu maieste adevrat: curbura gaussian nu este sucient pentru clasicarea metric asuprafeelor. E adevrat, ns, un rezultat mai slab:74 Proprieti locale ale suprafeelorTeorema 3.5.26. Dou suprafee cu aceeai curbur gaussian constant snt localizometrice.Demonstraia acestui rezultat necesit unele pregtiri. Vom reveni asupra luin nalul discuiei despre geodezice.Recapitulnd: am asociat unei parametrizri un obiect algebric (operatorul We-ingarten sau, echivalent, forma a doua fundamental). Acesta ne-a pus la dispoziienite invariani algebrici (valorile sale proprii) care s-au dovedit a avea interpretaregeometric(Teoremalui Rodriguez). Valorileproprii aleunui operatorsimetricproduc doi noi invariani: produsul lor (determinantul operatorului) i suma lor(urma(matricei)operatorului). Primul dintreacetiaestecurburagaussianacrei semnicaiegeometricamdiscutat-o. Neocupmacum, pescurt, dealdoilea.Deniia 3.5.27. FunciaH = 12 (k1 +k2)se numete curbura medie.Exerciiul 3.5.28. Demonstrai urmtoarea formul:(3.13) H = 12g11b22 2g12b12 +g22b11det(gij)Exerciiul 3.5.29. FieS o suprafa dat local ca gracul unei funciix3= f(x1, x2).Artai c, ntr-un punct n care normala la suprafa vertical, curbura medie este egalcu urma hesianei luifn acel punct (vezi i Exrerciiul Exerciiul 3.5.1).Curbura medie intervine n probleme de zic. Se poate demonstra c, dac senfoar suprafaa unui corp cu o membran elastic (de cauciuc), atunci presiuneaexercitat de membran ntr-un punctp este orientat pe N(p) i are modululH(p). n particular, dac se consider o membran de spun ntins pe un anumitcontur x, presiunea membranei nu este echilibrat de nici o for de reaciune,deci trebuie s e nul. Cu alte cuvinte: suprafaa dup care se aaz un balon despun este cea cuH= 0. Pe de alt parte, o pictur de lichid trebuie s ia, nabsena altor surse de presiune, o form n care curbura sa medie s e constant(pentru c presiunea supercial e aceeai n toate direciile). n experimentul luiPlateau se iau dou lichide cu aceeai densitate i se las o bul din primul lichid spluteasc n echilibru n interiorul celuilalt. Se constat c lichidul plutitor ia formaunei sfere. Astfel, o suprafa cu curbura medie constant ar trebui s e o sfer.Rezultatul precis este cel al lui H. Hopf: O suprafa compact, cu curbura medieconstant, homeomorf cu o sfer este o sfer. Demonstraia este mai complicat,necesit cunotinte de funcii complexe (vezi problema 2.3.6 n [Or]).Din cele spuse pn acum se vede c suprafeele cu curbur medie nul snt unobiect interesant de studiu. Asemenea suprafee se numesc minimale.Exemplul 3.5.30. Prin calcul direct se arat c urmtoarele suprafee snt mi-nimale: elicoidul, catenoidul (vezi Exemplul 3.2.19), suprafaa lui Enneper datprin:(u1(u1)3/3 +u1(u2)2, u2(u2)3/3 + (u1)2u2, (u1)2(u2)2),5 A doua form fundamental. Curbur 75suprafaa lui Scherk, dat prin:x3= ln cos x2cos x1, (x1, x2) (0, 2) (0, 2).Suprafeele lui Enneper (stnga) i Scherk.Dm n continuare motivaia denumirii.Fie(U, h)oparametrizarelocalaunei poriuni desuprafai D Uoregiune mrginit. Fief : D R o funcie difereniabil. O funcie : D (, ) R3dat prin:(u1, u2, t) = h(u1, u2) +tf(u1, u2)N(u1, u2)senumetevariaienormalalui h(D). ngeneral, pentruuntxatarbitrar,t(u1, u2) = (u1, u2, t) nu mai este o parametrizare. n schimb, pentrut sucientde mic, este parametrizare (de aceea spunem c reprezint o variaie a suprafeeiiniiale0prin suprafeelet).fNtfNt=0h+tfNOvariaie normal aunei poriuni de supra-fa.76 Proprieti locale ale suprafeelorntr-adevr, prin calcul direct obinem:t1 = h1 +tfN1 +tf1N,t2 = h2 +tfN2 +tf2N,gt11 = g11 + 2tfh1, N1) +t2f2N1, N1) +t2f21,gt12 = g12 +tf (h1, N2) +h2, N1)) +t2f2N1, N2) +t2f1f2,gt22 = g22 + 2tfh2, N2) +t2f2N2, N2) +t2f22.nlocuind aici, din formula lui Weingarten,Ni = Ljihj, obinem hi, Nj) = bij.Rezult c, neglnd termenii nt de grad mai mare sau egal cu 2, ultimele treiformule de mai sus devin:gt11 = g11 2tfb11 +O(t2),gt12 = g12 2tfb12 +O(t2),gt22 = g22 2tfb22 +O(t2).te parametrizare numai dac t1t2 ,= 0. Echivalent, dac det(gtij) ,= 0. Calculelede mai sus mpreun cu formula 3.13 conduc la:det(gtij) = det(gij)(1 4tfH) +O(t2),unde nO(t2) am grupat toti termenii care conin puteri ale lui t mai mari sauegale cu 2. n concluzie, dac e sucient de mic, (1 4tfH) ,= 0 i te ncparametrizare. Aria poriunii de suprafat(D) va :A(t) =_D_det(gtij) du1du2=_D_1 4tfH +Ot(t2)_det(gij) du1du2,undeOt(t2) = (det(gij)1O(t2). Rezult c pentrut micA(t) e difereniabil iAt(0) = _D2fH_det(gij) du1du2.Acum putem demonstra:Propoziia3.5.31. O suprafa este minimal dac i numai dacAt(0) = 0pentru orice domeniuD i orice variaie normal ca mai sus.Demonstraie. DacH= 0 peSlucrurile snt clare. Reciproc: dac, prinabsurd, existp cuH(p) ,= 0, alegem un domeniu micD n jurul luih1(p) (astfelnct H s nu se anuleze pe h(D)) i construim o funcie f care se anuleaz n afaraunei vecinti mici a lui h1(p) i f(h1(p)) =H(p) (o asemeneafse numetefuncie test; existena ei va demonstrat n capitolul de varieti difereniabile).AtunciAt(0) < 0 pentru variaia asociat luif, contradicie.

Propoziia aceasta motiveaz doar parial denumirea de suprafa minimal: eaarat numai c suprafeele cu curbur medie nul snt puncte critice ale funcionaleiarie, nuneapratminime. DardenumireaafostpropusdeLagrange(careadeterminat la 1760, primul, o asemenea suprafa, anume catenoidul) i tradiia opstreaz (conform [Ca]).6 Curbe pe suprafee. Geodezice 77Exerciiul 3.5.32. Ssedemonstreze csingurasuprafade rotaie minimalestecatenoidul.Indicaie:Fie (, ) curba generatoare, parametrizat canonic.Conform Exemplului3.13,k1 =

,k2 =

.Deci avem de rezolvat sistemul de ecuaii difereniale:___

= 0,(

)2+ (

)2= 1cu condiia> 0. Dac

= 0 peste tot, atunci din prima ecuaie

= 0, iar din adoua

= 1, contradicie. Deci exist puncte n care

,= 0. Lucrm pe un intervaldeschis Iceconineunasemeneapunct. Aici

,=0. nmulimprimaecuaiecu

,inem seama c din derivarea celei de-a doua avem

+

= 0 i obinem ecuaia

+

= 0. Dac

= 0 peI, atunci k1=k2= 0 i

= 1; deci e liniari suprafaaeunplan, unconsauuncilindru. Darnumai planul areambelecurburiprincipale nule. Reinem deci planul ca exemplu (trivial) de suprafa de rotaie minimal.Putem presupunem c

> 0 peI (micornd, eventual, intervalul). Rezult

=

,deundelog + log

=C=const. Deaici

=eC. Ridicmlaptrat, folosim(

)2= 1 (

)2i gsim

=_1 C22 . E o ecuaie cu variabile separabile care, prinintegrare, d:(t) =_(t +C)2+C1, C1 = const.Atunci pentru se obine:(t) = k ln(t +C +_(t +C)2+C1) +C2, C2 = const.Punemu = t +C, adic putem luaC = 0 n formulele pentru i. Acum se vede uorc schimbarea de variabilu2= arccost2+C1 conduce la ecuaiile catenarei.Exerciiul 3.5.33. Nu exist suprafee minimale compacte.6. Curbe pe suprafee. GeodeziceVom studia acum proprietile curbelor de pe o suprafa. Vom construi necare punct al curbei un triedru ortonormat (altul dect cel al lui Frenet), variaiileaxelor cruia vor reecta comportarea curbei pe suprafa. Discuia ind local,se poate presupune, fr a restrnge generalitatea, c avem de-a face cu o curb : I R3parametrizat canonic cu parametruls i cu Im() h(U) unde (U, h)e o parametrizare. Atunci avem(s) = h(u1(s), u2(s)).Fie T(s) = d/ds vectorul tangent (unitar) la 6. Vectorul acceleraie, d2/ds2,e normal peTdar nu neaprat orientat dup normala la suprafa (conform dis-cuiei privind curbura normal). l descompunem ntr-o component tangent lasuprafa i una normal la suprafa:d2ds2= tg_d2ds2_+nor_d2ds2_.6Preferm aici notaia cu majuscul pentru vectorul tangent, i nu cu minuscul ngroatca n capitolul despre curbe, din motive de coeren a notaiilor.78 Proprieti locale ale suprafeelorObservm c:tg_d2ds2_, T(s)) = d2ds2, T(s)) = 0.AtunciNg(s) = N(s) T(s)e un vector unitar coliniar cutg(d2/ds2). Obinem astfel triedrul luiDarboux:T(s), Ng(s), N(s). Cmpul vectorial nou introdusNg se numete normala geode-zic. La fel ca n cazul triedrului Frenet, derivnd cele ase relaii de ortonormalitatedintre vectorii triedrului, se demonstreaz urmtoarele formule de derivare:dTds= kg(s)Ng(s) +kn(s)N(s)dNgds= kg(s)T(s) +g(s)N(s)dNds= kn(s)T(s) g(s)Ng(s)Aici kn este curbura normal, iar kg, g snt funcii nou introduse, numite respectivcurbura geodezic i torsiunea geodezic.Pentru a gsi interpretarea geometric a curburii geodezice facem nti un calculexplicit al ei. Cu formula lui Gauss rezult:kg(s) = d2ds2, Ng(s))= _d2uids2+ ijkdujdsdukds_hi +bjkdujdsdukdsN(s), Ng(s))= _d2uids2+ ijkdujdsdukds_hi, N(s) T(s))= det_T(s), N(s),_d2uids2+ ijkdujdsdukds_hi_.Atunci, cumNe ortogonal i peTi pehi,kg(s) = 0 _d2uids2+ ijkdujdsdukds_hi = (s)T(s)pentru o anumit funcie difereniabil. Rezult c(s) = T(s), (s)T(s)) = T(s), d2ds2) = 0pentru c parametrizarea e canonic.Calculul anterior, laolalt cu prima formul de derivare pentru triedrul Darbouxdemonstreaz:Propoziia 3.6.1. Fies0 I.Urmtoarele armaii snt echivalente:1)kg(s0) = 0;2) Vectorul normal principal al curbei ns0e coliniar cu vectorul normal lasuprafa n(s0);6 Curbe pe suprafee. Geodezice 793) Coordonatele locale ale curbei veric ecuaiile:(3.14)d2uids2[s0 +ijk(s0)dujds[s0dukds[s0= 0, i = 1, 2Curbele de-a lungul crora vectorul normal principal este coliniar cu vectorulnormal la suprafa se numesc (linii) geodezice i joac un rol central n geometriadiferenial i n teoria relativitii. Propoziia anterioar spune ca o geodezic ecaracterizat de anularea, de-a lungul ei, a curburii geodezice. Echivalent, geode-zicele snt soluii ale sistemului de (dou) ecuaii difereniale ordinare de ordinul2 (3.14) n care punctul s0nu mai este xat. Aplicnd Teorema de existen iunicitate pentru ecuaii difereniale rezult:Propoziia 3.6.2. Fie p S i v TpS. Atunci exist o unic geodezic : I Sastfel nct(0) = p it(0) = v.Observaia 3.6.3. 1) Deoarece coecienii sistemului (3.14) depind doar de primaform fundamental, geodezicele snt intrinsec asociate unei suprafee. n conse-cin, geodezicele a dou suprafee local izometrice se corespund prin respectivaizometrie local.2) Sistemul (3.14) nu e invariant la schimbri de parametru. E uor de vzutc doar schimbrile ane de parametru i conserv forma. Deci o geodezic poate ntotdeauna considerat ca ind parametrizat proporional cu lungimea arcului.Exemplul 3.6.4. n cazul planului, sistemul (3.14) se reduce lad2uids2= 0: geode-zicele planului snt dreptele.Deoarece un cilindru e local izometric cu planul, izometria local ind desfura-rea cilindrului pe plan, conform observaiei anterioare 1), geodezicele cilindrului sntde trei feluri: generatoare, cercuri paralele i elice. Similar se determin geodeziceleconului (fr vrf).Meridianele unei suprafee de rotaie snt geodezice deoarece satisfac proprieta-tea 2) din Propoziia 3.6.1 (dar nu toate cercurile paralele snt geodezice, ci numaicele generate de punctele de extrem local ale curbei generatoare; n general, geode-zicele unei suptafeie de rotaie se detrmin cu metoda lui Clairaut, cf. [Ca]), nparticular, meridianele sferei snt geodezice. Iar cum prin orice punct al sferei existmeridiane orientate dup orice direcie tangent, acestea snt singurele geodeziceale sferei.80 Proprieti locale ale suprafeelorCele trei tipuri de geodezice ale cilindrului.Pentru a demonstra nc o proprietate geometric important a geodeziceloravem nevoie de un rezultat mai tehnic.Lema 3.6.5. Fiep S iC o geodezic prinp.Atunci exist o parametrizare njurul luip n care coecienii primei forme fundamentale satisfacg11 = 1,g12 = 0,g22(0, u2) = 1. n plus, C h(U) face parte din familia de curbeu2=const. Oparametrizare de acest fel se numete semigeodezic.Demonstraie. Fie geodezica (unic) prinp parametrizat canonic i orto-gonal la C. Notm v1, v2parametrul canonic pe C, respectiv . Putem presupune(0) =C(0) =p. Prin ecare punct (v2) trece o unic geodezicC(v1, v2) orto-gonal la . EvidentC =C(v1, 0). Fie acumXcmpul vectorial tangent laCiYcmpul vectorial ortogonal luiX. Din Teorema 3.3.8 exist o parametrizare alecrei linii de coordonate snt tangente acestor cmpuri. Parametrizarea e ortogo-nal pentru cXi Ysnt ortogonale. Pe de alt parte, curbelev2=const. sntgeodezice prin construcie i satisfac sistemul (3.14). Pentrui = 2 rezult de aici211= 0. Atunci din formula coecienilor Christoel (3.7) avemg11/v2= 0.Pentru a obineg11 = 1 nu avem dect s reparametrizm punndu1=_g11dv1, u2= v2.Pe de alt parte i curba , de ecuaieu1= 0 satisface (3.14) de unde(g22/u1) [u1=0= 0i lema e complet demonstrat.

Acum putem demonstra:Propoziia3.6.6. Lungimeaunui arcdegeodeziccuprinsnimagineauneiparametrizri semigeodeziceemai micdectlungimeaoricrei altecurbecare-iunete capetele.Demonstraie. Fie : [0, 1] S o geodezic cu(0) =p, (1) =q i (U, h)parametrizare semigeodezic furnizat n lem (asfel cas e dat deu2= 0).6 Curbe pe suprafee. Geodezice 81Fie : [0, 1] h(U) avnd aceleai capete cu. Atunci, deoareceg11 = 1,g12 = 0avem:L() =_10_du1dt_2+g22_du2dt_2dt _10du1= u1(1) u1(0).Deoarece e dat deu2= 0 lungimea sa va :L() =_10du1= u1(1) u1(0).

Conform acestui rezultat, geodezicele joac n geometria unei suprafee roluldreptelor din geometria euclidian. Vom vorbi, astfel, despre triunghiuri geodeziceetc. Pentru a construi o geometrie coerent ar trebui, ns, demonstrat c prinorice dou puncte trece o geodezic. nc nu ar de ajuns, pentru c nu am aveaunicitate: ntre dou puncte antipodale pe sfer exist o innitate de meridiane.Vom reveni asupra acestor chestiuni n capitolul de varieti riemanniene.n ne, putem acum da:Demonstraie. (pentruTeorema3.5.26) . Vomartac, nvecintateaoricrui punct, curbura gaussian determin univoc coecienii primei forme fun-damentale.Fie p S. Considerm n jurul su o parametrizare semigeodezic (ortogonal,n particular). Din Exerciiul 3.5.18, n aceast parametrizare curbura gaussian seexprim astfel:K = 1g222(u1)2g22.Atunci, pentruK=const., g22e soluia ecuaiei difereniale cu coecieni con-stani:2(u1)2g22 +Kg22 = 0.PentruK> 0 aceasta are soluia general:g22 = c1(u2) cos(Ku1) +c2(u2) sin(Ku1)care, laolalt cu condiiile iniiale impuse, furnizeaz:g22 = cos2(Ku1).PentruK< 0 se obineg22 = ch2(Ku1),iar pentruK = 0 gsimg22 = 1.

n ce privete interpretarea geometric a torsiunii geodezice, din a treia formulde derivare pentru triedrul Darboux rezult uor:Propoziia3.6.7. g(s0)=0dacinumaidact(s0)evectorprincipal aloperatorului Weingarten.82 Proprieti locale ale suprafeelorCurbelede-alungul croratorsiuneageodezicestenulsenumesclinii decurbur. Ele snt caracterizate de ecuaiaL(t(s)) = k(s)t(s) sau, local:Lijdujdt= kduidt.Deci direcia tangent ntr-un punct la o linie de curbur e principal.Exerciiul 3.6.8. Determinai liniile de curbur ale unei suprafee de rotaie.Aplicaiepentru sfer i tor.Artai c pe suprafaa lui Enneper (Exemplul 3.5.30), liniile de coordonate snt liniide curbur.Liniile de curbur ale elipsoidului.Exerciiul 3.6.9. Ssearatecsingurelesuprafeecutoategeodeziceleplanesntplanul i sfera.Indicaie: Artai nti c o geodezic plan e linie de curbur. Apoi deducei c, necare punct, orice direcie e principal pentru operatorul Weingarten. Deducei c toatepunctele snt ombilicale.Urmtorul rezultat deriv direct din Teorema 3.3.8. Va , de asemenea, utilmai departe.Propoziia 3.6.10. n vecintatea unui punct neombilical exist o parametrizareale crei linii de coordonate snt linii de curbur.Demonstraie. Fie punpunctneombilical pe Si (U, h)oparametrizareoarecare n jurul su. O curb h(u1(t), u2(t)) e linie de curbur dac i numai dac:g12b12 g22b11det(g)2du1dt+g12b22 g22b12det(g)2du2dt= kdu1dt,g12b11 g11b12det(g)2du1dt+g12b12 g11b22det(g)2du2dt= kdu2dt.Eliminmk ntre aceste ecuaii i obinem ecuaia liniilor de curbur sub forma:(b12g11b11g12)(du1dt)2++(b22g11b11g22)du1dtdu2dt+(b22g12b12g22)(du2dt)2= 0.Deoarecep e neombilical, operatorul Weingarten are valori proprii distincte np iprin continuitate, pe o ntreag vecintate V U a lui p. Cu alte cuvinte polinomuldet(bij gij) are discriminantul nenul peV :(g11b22 +b11g22 2g12b12)24 det(g) det(b) ,= 0.Aceasta asigur descompunerea ecuaiei liniilor de curbur n dou ecuaii:Adu1dt+Bdu2dt= 0,7 Derivata covariant 83Adu1dt+Cdu2dt= 0,cuA, B, C soluii ale sistemului:A2= b12g11 b11g12,A(B +D) = b22g11 b11g22,BD = b22g12 b12g22.Fiecare dintre cele dou ecuaii difereniale gsite anterior denete cte un cmpvectorial X1, X2. Acestea snt independente, iar traiectoriile lor snt linii de curbur.Nu ne rmne acum dect s aplicm Teorema 3.3.8.

ncheiem acest paragraf cu deniia curbelor asimptotice: acestea snt carac-terizate de anularea curburii normale de-a lungul lor. (t) e asimptotic dac inumai dacb(t(t), t(t)) = 0 sau, local:bij(t)duidtdujdt= 0.Exerciiul3.6.11. Determinai liniile asimptotice ale paraboloidului hiperbolicx3=x1x2, ale hiperboloidului cu o pnz(x1)2+ (x2)2 (x3)2 1 = 0 i ale suprafeei luiEnneper.Se poate arta c n vecintatea unui punct hiperbolic exist parametrizri culinii asimptotice (conform, pentru detalii i alte proprieti, [Or]).7. Derivata covariantRevenim acum la noiunea de cmp vectorial (denit n paragraful Parametri-zri speciale). Fie :I S e o curb difereniabil i Xun cmp vectorial de-alungul lui, i.e. X((t)) T(t)S (vezi (Observaia 3.3.2)). Elementele triedruluiDarboux snt exemple de cmpuri vectoriale de-a lungul unei curbe. Putem privi unasemeneaX ca o funcie denit peI, depinznd de argumentult. Dac imagineacurbei e cuprins n imaginea unei parametrizri (U, h) atunci avem:X(t) = Xi(t)hi(u1(t), u2(t))cuXifuncii difereniabile.n general, derivata n raport cut a unui cmp vectorial nu mai este un vectortangent laS. ntr-adevr, local avem:dXdt=dXidthi +Xidujdthij =dXidthi +Xidujdt_kijhk +bijN_.Deniia 3.7.1. Partea tangent a luidXdtse numete derivata covariant a luiX de-a lungul lui i se noteaz Xdt. Este un cmp vectorial de-a lungul lui.Avem:(3.15)Xdt=_dXkdt+Xidujdt kij_hk.84 Proprieti locale ale suprafeelorDeniia3.7.2. Un cmp vectorial se numete paralel de-a lungul (pe)dacderivata sa covariant e identic nul.S observm c, deoarece vectorii hk snt liniar independeni, un cmp vectoriale paralel de-a lungul lui dac i numai dac(3.16)dXkdt+Xidujdt kij = 0 pentru oricek = 1, 2.Dacnformula(3.15)lumX=t(t), cmpul vectorial tangentlacurb,gsim:tdt=_d2ukdt2+duidtdujdt kij_hkComparnd cu forma sistemului (3.14) obinem imediat:Propoziia 3.7.3. e geodezic dac i numai dact e paralel pe.E motivul pentru care geodezicele se mai numesc i curbe autoparalele.n particular, dacX e paralel pe geodezica, atunciddtX(t), t(t)) = Xdt, t(t)) = 0,deci produsul scalar dintre el i vectorul tangent la curb este constant n ecarepunct la curbei. Aadar, paralelismul de-a lungul unei curbe generalizeaz noiuneade paralelism din planul euclidian.Aplicnd sistemului (3.16) teorema de existen i unicitate pentru ecuaii di-fereniale rezult:Propoziia 3.7.4. Datv T(0)S, exist un unic cmp vectorial paralel pe cuX(0) = v.Vom reveni asupra noiunii de paralelism n capitolele dedicate brrilor vec-toriale i spaiilor riemanniene.DacXe un cmp unitar, |X(t)| = 1, atunci dXdt, X(t)) = 0, deciXdteortogonal att peX ct i peN. n acest cazXdt= (t)(N(t) X(t)).Vom nota (n cele ce urmeaz, urmm prezentarea din cartea lui do Carmo) funcia(t) cu simbolul _Xdt i o vom numi modulul derivatei covariante7. n particular,pentru o curb parametrizat canonic,tds= kg(s)Ng(s) = kg(s)(N(s) t(s)).Am obinut o interpretare geometric a modulului derivatei covariante:_tds_= kg(s).Pentru o curb plan, curbura reprezenta variaia unghiului fcut de vectorulei tangent cu o direcie x. Dreptele erau caracterizate de anularea curburii. Peosuprafa, rolul dreptelorejucatdegeodezice. Acesteasntcaracterizatede7Funcia (t)poatenegativ: denumireademodul are, aici, semnicaiadecantitate(scalar).7 Derivata covariant 85anularea curburii geodezice. Astfel apare natural sa ncercm s exprimm curburageodeziccuajutorul variaiei unghiului fcutdecmpul vectorial tangentcuodirecie x. Dar mai nti trebuie s denim acest unghi. Cu asta ne vom ocupan nalul acestui paragraf.Fie o curb simpl, nchis cu imaginea cuprins n imaginea unei parame-trizri i X(t), Y (t) dou cmpuri vectoriale unitare pe . Vrem s denim unghiuldintre ele ca funcie difereniabil. Avem nevoie de:Lema 3.7.5. Fiea, b : I R derivabile, astfel ncta(t)2+b(t)2= 1.Fie0 Rcu proprietateaa(t0) = cos 0,b(t0) = sin 0. Atunci funcia(t) = 0 +_tt0(abt atb)()de derivabil i cos (t) = a(t), sin (t) = b(t),(t0) = 0.Demonstraie. Derivabilitatea lui e imediat. n continuare e sucient sartm cf = (a cos )2+ (b sin )2 0,sau, dup dezvoltarea ptratelor:a cos +b sin 1.Pentru aceasta, artm c derivata lui a cos +b sin e identic nul i folosim faptulc, n t0, valoarea funciei este 1. innd cont ct =abt atb i aat + bbt = 0avem:(a cos +b sin )t = atcos atsin +btsin +btcos = atcos +btsin + (abt atb)(b cos a sin )= (aat +bbt)(a cos +b sin ) = 0.

Fie acumXun cmp vectorial pe astfel nct X(t),X(t) s e baz orto-normat nT(t)S, la fel orientat cu h1, h2. AtunciYse poate exprima ca:Y (t) = a(t)X(t) +b(t) X(t)cua, b derivabile i a2+ b2=1. Dac xm o determinare0pentru unghiuldintreX(t0) i Y (t0), aceasta se extinde la o funcie derivabil conform lemei.Demonstrm acum:Lema 3.7.6._Ydt__Xdt_=ddt .Demonstraie. FieX = N X,Y= N Y . Atunci:Y= X cos +X sin ,Y= (N X) cos + (N X) sin =X cos X sin .86 Proprieti locale ale suprafeelorCumX,Xsntortogonali princonstrucie, iar X, dX/dt)= X, d X/dt)=0deoareceX,X snt unitari, avem succesiv:_Ydt_= Ydt, N Y ) = dYdt, Y ) ==ddt+ cos2dXdt,X) sin2d Xdt, X).Derivnd egalitatea X,X) = 0 gsimdXdt,X) +d Xdt, X) = 0.nlocuim n formula anterioar i demonstraia e complet.

Corolarul 3.7.7. FieX un cmp unitar paralel pe iY= t.Atuncikg =_tds_=ddsDerivata covariant va interveni n demonstraia celui mai important rezultatglobal despre suprafee, teorema Gauss-Bonnet. Rezultatul de care vom avea nevoieeste cuprins n:Lema 3.7.8.Fie (U, h) o parametrizare ortogonal, Xun cmp unitar pei unghiul dintreh1 iX. Atunci:_Xdt_=12g11g22_g22u1du2dtg11u2du1dt_+ddtDemonstraie. Normm cmpurileh1,h2:e1 =h1g11, e2 =h2g22.Atuncie1 e2 = Ni, conform lemei anterioare,_Xdt_=_e1dt_+ddt8 Teorema fundamental a teoriei suprafeelor 87Pe de alt parte:_e1dt_= de1dt, N e1) = e1u1du1dt+e1u2du2dt, e2)= e1u1, e2)du1dt+e1u2, e2)du2dt= h11g11 g11u1h1g11, e2)du1dt+ h12g11 g11u2h1g11, e2)du2dt= h11, h2)1g11g22du1dt+h12, h2)1g11g22du2dtDar, h11, h2)=211g22, datorit faptului c h1, h2)=0. Pe de alt parte, cuformula (3.7) gsim 211 =12g22 g11u2 . Cumg22= 1/g22, avem n nalh11, h2) = 12g11u2.La fel gsimh12, h2) = h21, h2) = 12g22u1.ceea ce ncheie demonstraia.

8. Teorema fundamental a teoriei suprafeelorVom ncheia discuia proprietilor locale ale unei suprafee difereniabile cuun rezultat de existen i unicitate local pentru suprafee datorat lui Bonnet8.Teorema 3.8.1. FieU R2un deschis conex i simplu conex.Fiegij, bij : U R funcii difereniabile care satisfac condiiile:1) Matricea (gij(u1, u2)) e simetric i pozitiv denit peU.2) Matricea (bij(u1, u2)) e simetric peU.3) Snt vericate ecuaiile Gauss (3.11) i Codazzi (3.10) n care funciile kijsnt date de formulele (3.7).Atunci existoparametrizare h: UR3caredeneteosuprafaavndprima i a doua form fundamentalgij,respectivbij. Aceast suprafa e unicdeterminat pn la o izometrie liniar a lui R3.Demonstraie. Orice suprafa care satisface condiiile enunului trebuie, deasemenea, s satisfac formulele Gauss i Weingarten:hij= kijhk +bijN (3.17)Ni= gkjbjihk(3.18)8Pierre Ossian Bonnet, 18121892, matematician francez cu contribuii importante n geo-metria diferenial a suprafeelor.88 Proprieti locale ale suprafeelorVom arta c, dac interpretm ecuaiile de mai sus ca un sistem de ecuaiicuderivateparialedeordinul 1cunecunoscutele hii N, acestaeintegrabil.ntr-adevr, sistemul este echivalent cu cel pfaan1 = 0, 2 = 0unde1= dhi _kijhk +bijN_duj2= dN +_gkjbjihk_duiConformTeoremei lui Frobenius(vezi [Mir]), condiiilenecesarei sucientedeintegrabilitate snt:d1 = d2 = 0 (mod1,2)sau, ntr-o form mai familiar:ul_kijhk +bijN_=uj_kilhk +bilN_,ul_gkjbjihk_=uj_gkjbjlhk_care, explicitate (a doua ecuaie se dovedete chiar redundant), conduc la ecuaiileGauss i Codazzi (vezi demonstraia Teorema egregium). Cum, prin ipotez, acesteecuaii snt satisfcute, sistemul e complet integrabil.Dinteoremadeexisteni unicitate(vezi, dinnou, [Mir])xndcondiiainiialh0i, N0asociat unui punct (ui0) U, exist o unic soluiehi, Ncaresatisface (3.17), (3.18) ihi(uj0) = h0i, N(uj0) = N0.Sartmacumcsoluiagsitarei proprietilegeometricenecesare. Maiprecis: dac(3.19) h0i, h0j) = gij(uk0), N0, h0k) = 0, |N0| = 1, i, j, k = 1, 2atunci snt vericate relaiile analoage pentruhi, N. Pentru aceasta introducemfunciileij = hi, hj), i = N, hi), = |N|21despre care artm c snt constante (atenie: indicii lui , nu reprezint derivatepariale !)Avem (folosind formulele Gauss i Weingarten):ijuk= liklj + ljkli +bikj +bjki gijuk ,iuk= gjlblkij +bik + likl,uk= 2gjlblkjAm obinut un nou sistem de ecuaii cu derivate pariale de ordinul 1. Se vericdirect c acesta admite soluiaij = gij, i = 0, = 18 Teorema fundamental a teoriei suprafeelor 89care satisface condiia iniial (3.19). Din unicitate rezult c aceasta este soluiacutat (remarcai similitudinea cu demonstraia teoremei fundamentale a teorieicurbelor).Cuhi gsite anterior, denim acum parametrizareah prin:h(u1, u2) =_(u1,u2)(u10,u20)hidui+h0unde integrala curbilinie nu depinde de drumul dinUntre (u10, u20) i (u1, u2) pecareestecalculatdeoareceUesimpluconex. Cheoparametrizarerezultdin faptul c derivatele sale pariale snt exact hi, soluiile sistemului (3.17), (3.18),satisfac hi, hj) = gij iar gij e pozitiv denit prin ipotez. E, de asemenea, evident,c prima i a doua form fundamental a parametrizrii (U, h) sntgij,bij.Fieacumoaltsuprafah: UR3cuaceleai primi adouaformefundamentale. Atunci reperelecartezienealel lui R3h(ui0); , h1(ui0), h2(ui0),N(ui0), h(ui0; ,h1(ui0),h2(ui0),N(ui0) difer printr-o izometrie an. Fie F partealiniar a acestei izometrii. Atunci hii F hisnt soluii ale aceluiai sistem cuaceleai condiii iniiale. Deci hi = F hi pe U. Rezult c dh = dF h (pentru cFe liniar) sau, echivalent, h = F h +const. ceea ce ncheie demonstraia.

Cititorul poate observa similitudinea dintre acest rezultat i analogul su refe-ritor la curbe. Nu doar enunurile, dar i metodele de demonstraie snt asemn-toare, cu meniunea caici am avut de-a face cu un sisitem de ecuaii cu derivatepariale. De altfel, n unele texte, de exemplu n [Ca], cele dou snt demonstratesimultan.ncheiem capitolul cu cteva exerciii care introduc o clas particular de su-prafee:Exerciiul 3.8.2. O suprafa parametrizat prin:h(u1, u2) = (u1) +u2w(u1), u1 I, u2 R,se numete suprafa riglat. E denit de curba generatoare(u1) prin punctele creiatrec drepteL paralele cu vectorulw(u1).1. Artai c toate cuadricele riglate snt suprafee riglate. n particular, suprafeeleriglate pot avea singulariti (puncte n careh1 ih2 nu snt independeni).2. Presupunnd |w(u1)| = 1 i w

,= 0 peI, artai c punctele singulare ale uneisuprafee riglate se a pe o curb (numit de strngere) a crei ecuaie este = +uw,cuu =

, w

)|w

|2. Determinai aceast curb pentru cuadricele riglate.3. Artai c, n punctele regulate, curbura gaussian a unei suprafee riglate estedat de formula K = 2(2+u2)2, unde = det(

, w, w

)|w

|2. Caracterizai punctele pentrucareK = 0.4. Artai c elicoidul este suprafa riglat cu linia de strngere axaOx3. Artaic elicoidul este singura suprafa riglat minimal, n afara planului.5. Dac o suprafa conine o familie de linii asimptotice care snt i geodezice, atuncie riglat.Exerciiul3.8.3. O suprafa riglat (cu |w(u1)| = 1) se numee desfurabil dacdet(w, w

,

) = 0.90 Proprieti locale ale suprafeelor1. Artai c suprafeele desfurabile au curbura gaussian identic nul. Care dintrecuadrice snt desfurabile?2. Fie o curb pe suprafaa regulatS. FieS

suprafaa riglat(u1) + u2N(u1),undeN(u1) este restricia normalei unitare ale lui S la Im. S se arate c e linie decurbur peS dac i numai dacS

e suprafa desfurabil.3. Consideraisuprafeeleriglatedenitedeocurbspaialidevectorulsunormal, respectiv binormal. Ce condiii trebuie s satisfac pentru ca aceste suprafees e desfurabile?Suprafa riglat cu curba generatoare(u2) =(u1, (u1)2, (u1)3) i w(u1) =((u1)2, 1, u1).Un exemplu de suprafa desfurabil.CAPITOLUL4Proprieti globale ale suprafeelor1. De la local la global. O caracterizare a sfereiPrintre cele mai spectaculoase rezultate de geometrie diferenial snt cele caretrag concluzii de natur global din ipoteze locale. Un prim exemplu l-am avut nTeorema 3.5.9. Scopul acestui paragraf este s exploateze mai departe acel rezultat.Vom demonstra, urmnd linia din [Ca], o teorem de caracterizare a sferei:Teorema 4.1.1. O suprafa compact, conexS cu curbura gaussian constanteste o sfer.Demonstraie. Demonstraia care urmeaz e datorat lui S.S. Chern. Primademonstraie a fost dat de H. Liebmann n 1899.Observm nti cS, ind compact, are cel puin un punct eliptic; n acestpunctK> 0, deciK, ind constant, e strict pozitiv.Fie acumk1, k2 curburile principale ale lui S. Cu conveniak1 k2, acesteasnt funcii difereniabile peS. Datorit compacitii, exist un punctp n carek1i atingeunmaximlocal. Cumk1k2=K=const. >0, k2arenpunminim local. Vom arta cp e un punct ombilical. n caz contrar, exist n jurulsu o parametrizare cu linii de curbur (vezi Propoziia 3.6.10). ntr-o asemeneaparametrizareg12 = 0,b12 = 0 i prin calcul direct, curburile principale snt:(4.1) k1 =b11g11, k2 =b22g22,iar ecuaiile lui Codazzi devin:(4.2)b11u2= 12g11u2 (k1 +k2),(4.3)b22u1= 12g22u1 (k1 +k2).Derivm prima ecuaie din (4.1) n raport cu u2, pe a doua n raport cu u1i gsim:g11k1u2= 12g11u2 (k2 k1),g22k2u1= 12g22u1 (k1 k2).nlocuim aceste expresii n formula curburii gaussiene din (Exerciiul 3.5.18); re-zultatul se poate pune sub forma:2Kg11g22 =2g11(u2)2 +2g22(u1)2 +Ag11u1+Bg22u1,92 Proprieti globale ale suprafeelorundeA,B snt funcii difereniabile ale cror forme exacte nu au importan pen-tru discuia noastr. Calculnd i derivatele pariale de ordinul doi ale curburilorprincipale n funcie de cele ale coecienilor primei forme fundamentale, formulade mai sus devine:2Kg11g22 = 2g11k1 k22k1(u2)2 +2g22k1 k22k2(u1)2 +k1u2 +k2u1,unde, ca i pentruA, B, expresiile exacte ale lui , snt irelevante. Evalumegalitatea de mai sus np. Derivatele pariale ale curburilor principale se anuleazn p deoarece acesta e punct de extrem local pentru amndou. 2k1/(u2)2(p) < 0pentru cp e maxim local al lui k1i 2k2/(u1)2(p) > 0 pentru cp e minimlocal al lui k2. Atunci membrul drept al ultimei egaliti e strict pozitiv, n timpce membrul stng e negativ. Am ajuns la o contradicie care arat c p e ombilical.Fie, acum,q ,= p. Avem irul de inegaliti:k1(p) k1(q) k2(q) k2(p).Cumk1(p) =k2(p), rezultk1(q) =k2(q), deci i q e ombilical. Atunci suprafaaeste o poriune de sfer. Fiind deschis (ca reuniune de imagini de parametrizare)n R3e deschis i n topologia relativ a sferei. Datorit compacitii e i nchisn topologia sferei. Cum sfera e conex, singurele ei submulimi simultan deschisei nchise snt i sfera nsi. Cum suprafaa noastr e nevid, demonstraia ecomplet.

Corolarul 4.1.2. O suprafa compact, conex cu curbura gaussian strict po-zitiv i curbur medie constant este o sfer.Demonstraie. Esucientsobservmcndemonstraiaanterioarcon-stana luiK a intervenit numai prin aceea c a forat funciak2(k1) s e descres-ctoare. Or, acest lucru e implicat i de ipotezeleK> 0,H = const.

Alte caracterizri ale sferei se gsesc n [Or].2. Suprafee orientabileUrmrim n paragraful de fa s dm un sens precis noiunilor de ,,sus" i ,,jos"(respectiv interior i exterior) pentru o suprafa nchis. Suprafeele pentru careacest lucru va posibil se vor numi orientabile.Fie, pentru nceput, V un spaiu vectorial real de dimensiune nitn. Prinbaz vom ntelege acum baz ordonat (sau reper). Spunem c dou baze snt lafel orientate dac matricea de trecere dintre ele are determinant pozitiv. E clar crelaia a la fel orientate e una de echivalen pe mulimea bazelor din V . Alegemarbitrar o baz dinV . Numim clasa ei de echivalen orientare pozitiv. Odatfcut o asemenea alegere,Vse zice orientat. De obicei, n Rnorientarea pozitive dat de baza canonic e1, ..., en.Oorientarealui R2induceoorientare(unsensdeparcurgere)pecurbeleplane nchise. Iat cum: e o curb nchis. Conform teoremei lui Jordan sntbine denite interiorul i exteriorul ei. Atunci n ecare punct putem vorbi despre2 Suprafee orientabile 93normala exterioar. Pe direcia tangent la curb n ecare punct alegem sensulvectorului tangent astfel nct baza T, N s e pozitiv orientat.Aplicm cele de mai sus pentru spaiul vectorial TpS. O orientare a lui TpSinduce un sens de parcurs pe curbele nchise innitezimale dintr-o vecintate micalui p(deoareceacesteapotaproximatedecurbedinTpS). Eposibil capeintersecia a dou astfel de vecinti orientrile s concid?Fixm(U, h)oparametrizarenjurul lui pi orientmTpSconformbazeih1, h2. Dac (U,h) e o alt parametrizare n jurul luip, atuncihi =uk ui hk,astfel c cele dou baze snt la fel orientate dac i numai dac iacobianul schimbriide coordonate e pozitiv. n consecin vom da:Deniia 4.2.1. O suprafa e orientabil dac exist o acoperire a sa (un atlas)cu parametrizri cu toti iacobienii schimbrilor de coordonate pozitivi. Alegereaunui astfel de atlas se numete orientare.Observaia 4.2.2. Din formula de schimbare de variabil, se vede c orientabili-tatea e invariant la difeomorsme. Pe de alt parte, un difeomorsm poate pstrasau nu o orientare xat.Exemplul 4.2.3. Suprafeele acoperite cu o singur parametrizare (n particularsuprafeele descrise ca grace) snt orientabile.Orice suprafa care se acoper cu numai dou parametrizri e orientabil. ntr-adevr, dac schimbarea de coordonate se face cu iacobian negativ, nu avem dects permutmu1,u2n una dintre parametrizri. n particular sfera e orientabil.Reamintim c ecrei parametrizri i se asociaz vectorul normal unitar:N =h1 h2|h1 h2|.S observm c deoarece pe intersecia a dou parametrizrih1 h2 =uk ui h1 h2,vectorul normal unitar e bine denit numai dac iacobianul schimbrii de coordo-nateepozitiv(altfel Nschimbsemnul, deci seanuleaz, ocontradicie). Maimult:Teorema 4.2.4. O suprafa e orientabil dac i numai dac admite un cmp devectori normali unitari continuu, global denit.Demonstraie. Necesitatea condiiei rezult din observaia anterioar: dacS e orientabil, atunci alegnd un atlas cu schimbri de coordonate cu iacobian po-zitiv, vectorii normali unitari asociai la parametrizri diferite coincid pe interseciii se lipesc dnd natere unui cmp de vectori global.Pentru sucien, eN cmpul global dat de enun i / un atlas cu domeniilede parametrizare conexe. Dac (U, h) / i p h(U), putem presupuneN(p) =h1 h2/|h1 h2|. ntr-adevr,N,h1 h2|h1 h2|)(q) = f(q) = 194 Proprieti globale ale suprafeelorife continu pentru cNe continuu. CumUe conex,f = 1 sauf = 1 peUi armaia noastr rezult (permutnd, eventual,u1,u2). Dac, prin absurd, pe ointersecieU Uavem det(uk ui ) < 0, atuncih1 h2|h1 h2|(p) = N(p) = h1 h2|h1 h2|(p) = N(p).RezultN(p) = 0, contradicie.

Deniia4.2.5. Peosuprafaorientat, oparametrizare(U, h)senumetecompatibil cu orientarea dacN =h1 h2|h1 h2|.Exemplul 4.2.6. Banda lui Mbius e un exemplu de suprafa neorientabil. Seobine prin identicarea laturilor opuse ale unui dreptunghi dup ce, n prealabil,una dintre ele a fost simetrizat fa de mlocul ei. Pentru a o parametriza conside-rm cercul x2+y2= 4 i segmentul deschis AB n planul x2Ox3descris de ecuaiilex2= 2, [x3[< 1. Rotim mlocul c al lui AB n jurul lui Ox3i , n acelai timp,rotim segmentul AB n jurul lui c n planul x3Oc. Micarea trebuie astfel fcutnct atunci cnd c a acoperit un unghi u1, AB s se rotit cu u1/2. Drept rezultat,cndc revine n poziia iniial,AB s-a rotit cu 180. Se obine parametrizarea:h(u1, u2) = ((2 u2sin u12 ) sin u1, (2 u2sin u12 ) cos u1, u2cos u12 )cu (u1, u2) (0, 2)(1, 1) i u1msurat dinspre axaOx2. Se acoper asfeltoat suprafaa n afara punctelor corespunztoare luiu1= 0. Pentru a o acopericomplet considerm i parametrizarea:h( u1, u2) = ((2 u2sin(4 + u12 )) cos u1,(2 u2sin(4 + u12 )) sin u1, u2cos(4 +u12 ))unde, acum, u1e msurat dinspre axaOx1i u2=u2. A doua parametrizare nuacoper punctele cuu1= /2, dar acestea se a n imaginea primeia.Intersecia celor dou hri este reuniunea mulimilorS1,S2, undeS1= h(u1, u2) ;2< u1< 2S2= h(u1, u2) ; 0u1 ) i pe pseudosfer (

i< ).Pe de alt parte, dac xm un punctp Si considerm un triunghi geo-dezic innitezimal n jurul su, atunci K(p) este limita raportului dintre excesultriunghiului i aria sa. Cum unghiurile i aria se calculeaz folosind numai primaprim fundamental, se obine astfel o nou demonstraie pentru Teorema egre-gium. De fapt, aceasta a fost demonstraia iniial a lui Gauss; ulterior a cutat io demonstraie direct.Pasul urmtor a fost fcut de O. Bonnet. El a extins formula la regiuni mr-ginite de curbe simple nchise, nu neaprat geodezice. Dar, pentru nceput, ctevapregtiri.FieS o suprafa difereniabil, orientat, xat.Deniia4.3.2. O aplicaie continu: [0, l] Sse numete curbsimpl,nchis, neted pe poriuni dac:1)(0) = (l);2) e injectiv;3) exist o diviziune 0 = t0< t1< ... < tk+1 = l astfel nct restricia lui laorice subinterval [ti, ti+1] e curb difereniabil.Punctele(ti) se numesc vrfuri.n aceast seciune, dac nu se specic altceva, va o curb simpl, nchis,neted pe poriuni. Condiia 3) implic existena limitelor lateralelimt,tit(t) = t(ti 0) ,= 0,limttit(t) = t(ti + 0) ,= 0.Aceasta permite denirea unghiurilor exterioare n vrfuri. Fie [ i [, 0 0 astfel nctpentru orice < t, sgn det(t(ti), t(ti+), N) = const.. Acest semn se atribuieunghiului.3 Teorema Gauss-Bonnet 97h1(t)3(t)4sgn=>0|| 12 30Determinarea unghiului exterior n puncte unghiulare i a semnului n punctelede ntoarcere.Fieacum(U, h)oparametrizarecompatibilcuorientarea. PresupunemUhomeomorf cudiscul unitardeschisdinplan. Fie : [0, l]h(U)netedpeporiuni, i unghiurile ei exterioare i i : [ti, ti+1] R, o funie difereniabil caremsoar unghiul pozitiv orientat ntre h1 it(t). Urmtorul rezultat, generalizarea teoremei indicelui pentru curbe plane, e esenial n demonstraia formulei Gauss-Bonnet:Teorema 4.3.3. (