Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
1
ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN
Vấn đề 1
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
( ) ( ) 1 1' . ' . . 'x x u u ua a a aa a- -= =a
( ) ( ) 1 '
' '2 2
ux u
x u= =a
' '
2 2
1 1 1 'u
x x u u
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
a
( ) ( ) ' ' ' .x x u ue e e u e= =a
( ) ( )' . ln ' ' . . lnx x u ua a a a u a a= =a
( ). ' ' . ' .u v u v v u= +
'
2
' . 'u u v v u
v v
æ ö -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø
( ) ( ) sin ' cos sin ' '. cosx x u u u= =a
(cos ) ' sin (cos ) ' ' . sinx x x u u= - = -a
( ) ( ) 2 2
1 'tan ' tan '
cos cos
ux u
x u= =a
( ) ( )2 2
1 'cot ' cot '
sin sin
ux u
x u= - = -a
( ) ( ) 1 '
ln ' ln 'u
x ux u
= =a
( ) ( ) 1 '
ln ' ln 'u
x ux u
= =a
( ) ( )1 '
log ' log 'ln ln
a a
ux u
x a u a= =a
Vấn đề 2
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
H t ứ n n C n t ứ n n đ – n n –
2 2sin cos 1x x+ = tan .cot 1x x =
sintan
cos
xx
x=
coscot
sin
xx
x=
os
2
2
11 tan x
c x+ =
2
2
11 cot
sinx
x+ =
sin 2 2sin .cosx x x= 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x= - = - = -
2 1 cos2sin
2
xx
-Þ = ;
2 1 cos2cos
2
xx
+=
3sin 3 3sin 4sinx x x= - sin – s n
3cos3 4cos 3cosx x x= - c – 3 cô)
C n t ứ n un C n t ứ n đổ tổn t n t
( )sin sin . cos cos . sina b a b a b± = ±
( )cos cos . cos sin . sina b a b a b± = m
( )tan tan
tan1 tan . tan
a ba b
a b
++ =
-
( )tan tan
tan1 tan . tan
a ba b
a b
-- =
+
cos cos 2 cos . cos2 2
a b a ba b
+ -+ =
cos cos 2 sin . sin2 2
a b a ba b
+ -- = -
sin sin 2 sin . cos2 2
a b a ba b
+ -+ =
sin sin 2 cos . sin2 2
a b a ba b
+ -- =
C n t ứ n đổ tổn t n t C n t ứ t n sin , cosa a theo t an
2t
a=
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
2
( ) ( )1
cos . cos cos cos2
a b a b a bé ù= - + +ê úë û
( ) ( )1
sin . cos sin sin2
a b a b a bé ù= - + +ê úë û
( ) ( )1
sin . sin cos cos2
a b a b a bé ù= - - +ê úë û
Đ t t an2
ta
=
2
2
2
2
2sin
1
1cos
1
2tan
1
t
t
t
t
t
t
a
a
a
íïï =ï +ïïïï -ïÞ =ìï +ïïïï =ïï -ïî
M t số n t ứ
M t số n t ứ
4 4 21 cos 4cos sin 1 sin 2
1
42
3 xx x x
++ = - =
6 6 23 cos 4
cos sin 1 sin 23
84
5 xx x x
++ = - =
2
tan cotsin 2
x xx
+ =
cot tan 2cot 2x x x- =
sin cos 2 sin 2 cos4 4
x x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ = + = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
sin cos 2 sin 2 cos4 4
x x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- = - = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Vấn đề 3
PHƯ NG TR NH LƯỢNG GIÁC C ẢN
1 P n tr 1 P n tr nnhh llưư nngg ggiiáácc ccơơ bb nn::
aa.. ::
2sin sin
2
u v ku v
u v k
p
p p
é = +ê= Û ê = - +êë
Đ c i t:
sin 0
sin 1 22
sin 1 22
x x k
x x k
x x k
p
pp
pp
íïï = Þ =ïïïïï = Þ = +ìïïïïï = - Þ = - +ïïî
bb.. :: 2
cos cos2
u v ku v
u v l
p
p
é = +ê= Û ê = - +êë
Đ c i t:
cos 02
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k
pp
p
p p
íïï = Þ = +ïïïï = Þ =ìïï = - Þ = +ïïïïî
cc.. ::
tan tan
: ,2
u v u v k
Ðk u v k
p
pp
= Û = +
¹ + Đ c i t:
t an 0
tan 14
x x k
x x k
p
pp
íï = Û =ïïïìï = ± Û = ± +ïïïî
dd.. :: cot cot
: ,
u v u v k
Ðk u v k
p
p
= Û = +
¹ Đ c i t:
cot 02
cot 14
x x k
x x k
pp
pp
íïï = Û = +ïïïìïï = ± Û = ± +ïïïî
22.. hư n tr nh lượn i c c i n n hư n tr nh lượn i c c i n n :: ( ) sin cos 1a x b x c+ =
Đi u ki n c n hi m 2 2 2a b c+ ³ .
hia hai v cho 2 2a b+ ta ược ( )
2 2 2 2 2 21 sin cos
a b cx x
a b a b a bÛ + =
+ + +
Đ t ( )2 2 2 2
sin , cos 0, 2a b
a b a ba a a pé ù= = Î ê úë û+ +
hư n tr nh tr thành
2 2 2 2sin . sin cos . cos cos( ) cos
c cx x x
a b a ba a a b+ = Û - = =
+ +
2 ( )x k ka b pÛ = ± + Î ¢
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
3
33.. hư n tr nh lượn i c n c p c hai n hư n tr nh lượn i c n c p c hai ngg: ( ) 2 2sin sin cos cos 2a x b x x c x d+ + =
i m tra m cos 0x = c ph i là n hi m ha kh n u c th nh n n hi m nà
Khi cos 0x ¹ chia hai v phư n tr nh ( )2 cho 2cos x ta ược
2 2. t an . tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
Đ t tant x= ưa v phư n tr nh c hai th o t : 2( ) . 0a d t b t c d t x- + + - = ® ®
33.. hư n tr nh i n n hư n tr nh i n n : ( ) ( ) sin cos sin cos 0 3a x x b x x c± + + =
Đ t ( )cos sin 2.cos ; 24
t x x x tp
= ± = £m .
2 211 2sin .cos sin .cos ( 1)
2t x x x x tÞ = ± Þ = ± -
Tha vào phư n tr nh ( )3 ta ược phư n tr nh c hai th o t t x® ®
44.. hư n tr nh i n n hư n tr nh i n n : ( ) sin cos sin cos 0 4a x x b x x c± + + =
Đ t ( ) 21cos sin 2. cos ; : 0 2 sin .cos ( 1)
4 2t x x x ÐK t x x t
p= ± = £ £ Þ = ± -m
Gi i tư n t như n tr n hi t mx c n lưu phư n tr nh ch a u tr tu t i
Vấn đề 4
PHƯ NG TR NH ĐẠI SỐ
11.. P n tr n P n tr n : ( ) 2 0 1ax bx c+ + =
aa// hhaaii
N u b số N u b số n
T nh 2 4b acD = -
u 0D < Þ hư n tr nh v n hi m
u 0D = Þ hư n tr nh c n hi m
k p 2
bx
a= - .
u 0D > Þ hư n tr nh c hai
n hi m ph n i t 1
2
2
2
bx
a
bx
a
é - - Dê =êêê - + Dê =êë
T nh 2' 'b acD = - v i ' 2
bb =
u ' 0D < Þ hư n tr nh v n hi m
u ' 0D = Þ hư n tr nh c n hi m
k p 'b
xa
= - .
u ' 0D > Þ hư n tr nh c hai n hi m
ph n i t 1
2
' '
' '
bx
a
bx
a
é - - Dê =êêê - + Dê =êë
bb//
u phư n tr nh ( )1 c hai n hi m ph n i t 1 2,x x th
T n hai n hi m 1 2
bS x x
a= + = -
T ch hai n hi m 1 2.c
P x xa
= =
cc//
1 2
2 'x x
a a
D DÞ - = =
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
4
hư n tr nh c hai n hi m ph n i t
0
0
a ¹íïïÛ ìïD >ïî
hư n tr nh c hai n hi m tr i u . 0a cÛ <
hư n tr nh c hai n hi m ph n i t c n u 0
0P
íD >ïïÛ ìï >ïî
hư n tr nh c hai n hi m m ph n i t
0
0
0
P
S
íïD >ïïïïÛ >ìïïï <ïïî
hư n tr nh c hai n hi m ư n ph n i t
0
0
0
P
S
íïD >ïïïïÛ >ìïïï >ïïî
dd// 2( ) 0g x ax bx c= + + = v i s v i s t k t k
( )2 1
0
. 0
2
x x a g
S
b b
b
íïïïD >ïïï> > Û >ìïïïï >ïïî
( )
1 2
0
. 0
2
x x a g
S
b b
b
íïïïD >ïïï< < Û >ìïïïï <ïïî
( )1 2 . 0x x a gb b< < Û <
22.. P n tr n 3 P n tr n 3 ( ) 3 2' ' ' 0 2ax b x c x d+ + + =
( )( )
22( ) 0
0 3
x
x ax bx cax bx c
a
a
=éêÛ - + + = Û ê + + =êë
Đ t 2 2( ) , 4g x ax bx c b ac= + + D = -
hư n tr nh ( )2 c n hi m ph n i t ( )3Û c n hi m ph n i t 0
( ) 0x
ga
a
íD >ïïï¹ Û ìï ¹ïïî
hư n tr nh ( )2 c n hi m ph n i t ( )3Û c n hi m k p x a¹ ho c ( )3 c hai n hi m
ph n i t tron c n hi m x a=
0
( ) 0
0
( ) 0
g
g
a
a
éíD =ïïêïìêï ¹êïïîêÛêíD >ïêïïìêï =êïïîë
hư n tr nh ( )2 c n hi m ( )3Û v n hi m ho c ( )3 c n hi m k p x a=
0
( ) 0
0
g a
éíD =ïïêïìêï =Û êïïîêêD <êë
33.. P n tr n P n tr n ốn tr n p n ốn tr n p n : ( ) 4 2 0 4ax bx c+ + =
Đ t 2. : 0t x ÐK t= ³ hư n tr nh ( ) ( ) 24 0 5at bt cÛ + + =
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
5
hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t ( )5Û c n hi m ư n ph n i t
0
0
0
P
S
íïD >ïïïïÛ >ìïïï >ïïî
hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t ( )5Û c n hi m 0t = và n hi m
0
00
c
t b
a
íï =ïïï> Û ìï - >ïïïî
hư n tr nh ( )4 c n hi m ph n i t ( )5Û c n hi m tr i u ho c ( )5 c n hi m k p
ư n
0
0
0
ac
S
<éêêíD =ïÛ êïêìï >êïîë
44.. P n tr n ứ n t ứ P n tr n ứ n t ứ : + 2
0BA B
A B
í ³ïïï= Û ìï =ïïî
+ ( ) 0 0A hay B
A BA B
í ³ ³ïïï= Û ìï =ïïî
55.. PPhhưư n tr n ứ ấu tr tu t đố n tr n ứ ấu tr tu t đố :: ++
0BA B
A B
í ³ïï= Û ìï = ±ïî
++ A B A B= Û = ±
66.. ất p n tr n ứ n t ứ ất p n tr n ứ n t ứ :: ++
2
0
0
0
B
A
A BB
A B
éí <ïïêìêï ³êïîê³ Ûêí ³ïêïïìêï ³êïïîë
++
2
0
0
B
A B A
A B
íï ³ïïïï£ Û ³ìïïï £ïïî
77.. ất p n tr n ứ ấu ất p n tr n ứ ấu tr tu t đố tr tu t đố :: ++ A B B A B£ Û - £ £
++
A BA B
A B
é ³ê³ Û ê £ -êë
Vấn đề 5
H NH H C PH NG
Tron m t ph n cac Oxy cho:
o n i m ( ),A AA x y , ( ),B BB x y , ( ),C CC x y và ( ),o oM x y
o Đư n th n : 0ax by cD + + = .
o Đư n tr n ( ) ( ) ( ) 22 2 2: ( ) : 2 2 0m mC x a y b R hay C x y ax by c- + - = + - - + = c t m là
( ),I a b và n k nh là 2 2R a b c= + - .
ct ( ) ;B A B AAB x x y y= - - Þuuur
Đ ài o n th n ( ) ( )2 2
B A B AAB x x y y= - + -
A, B)
Đ a i m ( ),A AA x y ; ( ),B BB x y và ( ),C CC x y th ng hàng B A C A
B A C A
x x x x
y y y y
- -Û =
- -.
ho n c ch t i m ( ),o o
M x y n ư n th n : 0ax by cD + + = là ( )2 2
, o oax bx cd M
a b
+ +D =
+
Đ và i n nhau qua ư n th n D Û D là ư n th n trun tr c c a o n th n
i n t ch Δ ( )2
2 21 1. . sin . .
2 2ABCS AB AC A AB AC AB ACD = = -
uuur uuur
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
6
( )( )( )1 1 1
. . .2 2 2 4
a b c
abcp p a p b p c a h bh c h pr
R= - - - = = = = =
Tron : , ,R r p l n lượt là n k nh ư n tr n n o i ti p n k nh ư n tr n n i ti p và n a chu vi
Đ A và B nằm v 2 phía (khác phía) so v i ư n th n ( ) ( ). 0A A B Bax by c ax by cD Û + + + + < .
Đ và nằm v c n ph a so v i ư n th n ( ) ( ). 0A A B Bax by c ax by cD Û + + + + > .
Đ A và B cùng nằm tron ư ng tròn hay cùng nằm n oài ư ng tròn
( )( )2 2 2 2
/ ( ) / ( ). 0 2 2 2 2 0A Cm B Cm A A A A B B B BP P x y ax by c x y ax by cÛ > Û + - - + + - - + > .
Đ và nằm v hai ph a kh c nhau i v i ư n tr n i m ph a tron m t i m ph a n oài
( )( )2 2 2 2
/ ( ) / ( ). 0 2 2 2 2 0A Cm B Cm A A A A B B B BP P x y ax by c x y ax by cÛ < Û + - - + + - - + <
CHƯ NG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 1
TÍNH Đ N ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
C sở ý t u t
1. Đ n n ĩ :
+ Hàm s ( )y f x= ồn i n tr n 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ < .
+ Hàm s ( )y f x= n h ch i n tr n 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ > .
2. Đ ều n ần: Gi s ( )y f x= c o hàm tr n kho n I
+ u ( )y f x= ồn i n tr n kho n I th '( ) 0,f x x I³ " Î .
+ u ( )y f x= n h ch i n tr n kho n I th '( ) 0,f x x I£ " Î .
3. Đ ều n đủ: Gi s ( )y f x= c o hàm tr n kho n I
+ u ' '( ) 0y f x= ³ , x I" Î [ '( ) 0f x = t i s hữu h n i m] th ( )y f x= ồn i n tr n I
+ u ' '( ) 0y f x= £ , x I" Î [ '( ) 0f x = t i s hữu h n i m] th ( )y f x= n h ch i n tr n I
+ u ' '( ) 0y f x= = , thì ( )y f x= kh n i tr n I
Chú ý: u kho n I ược tha i đo n ho c nử o n thì ( )y f x= p ên tụ tr n
DẠNG 1
XÉT TÍNH Đ N ĐIỆU (t m o n t n - m) CỦA HÀM SỐ y f x
1. P n p p + Bước 1: T m t p c nh c a hàm s Thư n p c c trư n hợp sau
- ( )
: ( ) 0( )
P xy TXÐ Q x
Q x= Þ ¹
- ( ) : ( ) 0y Q x TXÐ Q x= Þ ³
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
7
- ( )
: ( ) 0( )
P xy TXÐ Q x
Q x= Þ >
+ Bước 2: T m c c i m t i ' '( ) 0y f x= = ho c ' '( )y f x= kh n c nh n hĩa là t m o hàm
' '( )y f x= . Cho ' '( ) 0y f x= = t m n hi m ix v i ( ) 1; 2; 3...i n= .
+ Bước 3: Sắp p c c i m th o th t tăn n và l p n i n thi n t u ' '( )y f x= .
+ Bước 4: a vào n i n thi n k t lu n c c kho n ồn i n và n h ch i n c a hàm s
- '( ) ' 0f x y= ³ Þ Hàm s ồn i n tăn tr n kho n ……và……
- '( ) ' 0f x y= < Þ Hàm s n h ch i n i m tr n kho n …và……
2. M t số u ý to n
+ L u ý 1 Đ i v i hàm phân th c hữu t th u “=” không x y ra.
+ L u ý 2:
Đ i v i hàm d ng: ax b
ycx d
+=
+ thì hàm s lu n ồng bi n (ho c ngh ch bi n tr n TXĐ n hĩa là lu n
t m ược ' 0y > (ho c ' 0y < tr n TXĐ
Đ i v i hàm d ng:
2
' '
ax bx cy
a x b
+ +=
+ luôn có ít nh t hai kho n n i u.
Đ i v i hàm d ng: 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nh t m t kho n ồng bi n và m t
kho ng ngh ch bi n.
C ba hàm s trên không thể luôn đ n đ u trên ¡ .
+ L u ý 3: B ng xét d u m t s hàm thư n p
a) Nh thức b c nhất: ( ) ,( ) 0y f x ax b a= = + ¹
x b
a-
ax b+ tr i u v i a 0 c n u v i a
b) Tam thức b c hai : ( ) ,2( ) 0y f x ax bx c a= = + + ¹
u 0D < ta c ng xét d u:
x
( )f x c n u v i a
u 0D = ta c ng xét d u:
x 2
b
a
-
( )f x c n u v i a 0 c n u v i a
u 0D > i 1 2,x x là hai n hi m c a tam th c ( ) 0f x = ta c ng xét d u:
x 1x 2x
( )f x c n u v i a 0 tr i u v i a 0 c n u v i a
c) Đ i v i hàm mà c ' '( ) 0y f x= = c nhi u n hi m ta t u th o n u n tắc
Tha i m lân c n ox g n nx
bên ô ph i c a b ng xét d u vào '( )f x . [Thay s ox sao cho dễ tìm
'( )f x ].
Xét d u theo nguyên tắc: D u c a '( )f x đổi dấu đ qu n m đ n và n đổi dấu khi qua
nghi m kép.
+ L u ý 4 X m l i s cách gi i phư n tr nh lượn i c thư ng g p và ta có th ưa hàm s lượng giác v
d n a th c trong 1 s trư ng hợp.
+ L u ý 5 ch t nh o hàm hàm s d n hữu t ph n th c
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
8
( ) ( )2 2
'
a b
c dax b ad cby y
cx d cx d cx d
+ -= Þ = =
+ + +. ch nh T ch ư n ch o ch nh tr t ch ư n ch o ph
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
22
2 22 2 2
2' '' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' '
'' ' ' ' ' ' ' ' '
a ca b b cx x
a ca b b c b a a b x c a a c x c b b cax bx cy y
a x b x c a x b x c a x b x c
+ +- + - + -+ +
= Þ = =+ + + + + +
Bài 1. T m c c kho n n i u c a c c hàm s
a/ 4 24 3y x x= - + - . b/
4 26 8 1y x x x= - + + . c/ 4 4 6y x x= + + .
d/ 3 26 9 4y x x x= - + - + . e/
3 23 3 2y x x x= + + + . f/ 2 2y x x= - .
g/ 2 1
1
xy
x
-=
-. h/
3 1
1
xy
x
+=
-. i/
3 2
7
xy
x
-=
+.
Bài 2. T m c c kho n n i u c a c c hàm s
a/
2 2 1
2
x xy
x
- + -=
+. b/
2 8 9
5
x xy
x
- +=
-. c/
2
2
3
xy
x x
+=
- +.
d/ ( ) 24 3 6 1y x x= - + . e/ 21 2 3 3y x x x= + - + + . f/
3 2 2y x x= - .
Bài 3. T m c c kho n n i u c a c c hàm s
a/ 2 5 6y x x= + + . b/
21 2 5 7y x x x= - + - + - . c/ 24y x x= - .
d/ 2 2 3y x x= + + . e/
3 27 7 15y x x x= - - + . f/
22 3
3 2
x xy
x
- +=
+.
Bài 4. T m c c kho n n i u c a c c hàm s sau
a/ sin , 0;y x x x pé ù= - Î ê úë û . b/ 2 sin cos2 , 0;y x x x pé ù= + Î ê úë û
.
c/ 2sin cos , 0;y x x pé ù= + ê úë û. d/
3sin cos2 sin 2y x x x= - + + .
e/ 2sin cos 1 , 0;2
y x x xpé ù
= + + Î ê úê úë û
. f/ [ ] 342sin sin , 0;
3y x x x p= - Î
Bài 5. h n minh rằn
a Hàm s 3 cos 4y x x x= + - - ồn i n tr n ¡ .
Hàm s 2sin tan 3y x x x= + - ồn i n tr n n a kho n )0;
2pé
êë
.
DẠNG 2
T m đ ều n ủ t m số để m số y f x đồn n oặ n n
I C sở ý t u t
Cho hàm s ( ),y f x m= v i m là tham s c t p c nh
Hàm s ( ),y f x m= ồn i n tr n Û ' 0y ³ x" Î D
Hàm s ( ),y f x m= n h ch i n tr n Û ' 0y £ , x" Î D
Hàm s ( ),y f x m= ồn i n tr n ¡ ' '( , ) 0, min ' 0x
y f x m x yÎ
Û = ³ " Î Û ³¡
¡
Hàm s ( ),y f x m= n h ch i n tr n ¡ ' '( , ) 0, max ' 0x
y f x m x yÎ
Û = £ " Î Û £¡
¡
Hàm s ồn i n tr n ¡ th n ph i c nh tr n ¡ .
ch nh : (Anh b n n ch o hai l n b ch
Tham s m
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
9
II. P n p p
D ng 1: N u 2' '( , )y f x m ax bx c= = + + thì:
Đ hàm s ( ),y f x m= ồn i n tăn tr n 0
' '( , ) 0;0
ay f x m x
íï >ïÛ = ³ " Î Û ìï D £ïî
¡ ¡
Đ hàm s ( ),y f x m= n h ch i n i m tr n 0
' '( , ) 0;0
ay f x m x
íï <ïÛ = £ " Î Û ìï D £ïî
¡ ¡
Chú ý: ố vớ à â ố ỉ d “=” ô x y .
D ng 2: N u [ ] ' ; ;y ax b x a b= + " Î thì:
Đ hàm s ( ),y f x m= ồn i n tr n [ ];a b [ ] '( ) 0
' 0 ; ;'( ) 0
yy x
y
aa b
b
í ³ïïïÛ ³ " Î Û ìï ³ïïî
Đ hàm s ( ),y f x m= n h ch i n tr n [ ];a b [ ] '( ) 0
' 0 ; ;'( ) 0
yy x
y
aa b
b
í £ïïïÛ £ " Î Û ìï £ïïî
D ng 3: N u 2' '( )y f x ax bx c= = + + ho c ' '( )y f x= là m t hàm b t kỳ nào khác, mà ta c n
' '( ) 0y f x= ³ hay ' '( ) 0y f x= £ trên kho ng ( ),a b ho c o n [ ],a b (ho c trên n a o n hay n a kho ng
nào Th ta làm th o c c ư c sau:
ớ 1 T m mi n c nh c a ' '( )y f x= .
ớ 2 Đ c l p t ch m ha i u th c ch a m ra kh i i n x và chu n m v m t v Đ t v c n l i
là ( )g x ưu khi chu n v thành ph n th c th ph i i u ki n c nh c a i u th c khi t u '( )g x
ta ưa vào n t u '( )g x .
ớ 3: Tính '( )g x . Cho '( ) 0g x = và t m n hi m
ớ 4 p n i n thi n c a '( )g x .
ớ 5 t lu n “Lớn n số ớn – é n số é” hĩa là
+ khi ta t ( )m g x³ th a vào n i n thi n ta sẽ l i tr m ³ số ớn n ất tron n i n thi n
+ khi ta t ( )m g x£ th a vào n i n thi n ta sẽ l i tr m £ số n ỏ n ất tron n i n thi n
D ng 4: Tìm m hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + c dài kho n ồng bi n (ngh ch bi n) l= .
Ta gi i như sau
ớ 1: Tính ' '( )y f x= .
ớ 2 T m i u ki n hàm s c kho n ồn i n và n h ch i n ( )
01
0
a ¹íïïìïD >ïî
.
ớ 3 i n i 1 2
x x l- = thành ( ) ( ) 2
2
1 2 1 24 . 2x x x x l- - = .
ớ 4 S n nh l i t ưa thành phư n tr nh th o m .
ớ 5 Gi i phư n tr nh so v i i u ki n ch n n hi m
III M t số u ý to n
L u ý 1 n s n thành th o nh l i t và so s nh n hi m c a phư n tr nh c hai v i s .
L u ý 2 Ta c th n n to n lo i i i ài to n t m tham s m c a m t t phư n tr nh ho c t m
i u ki n phư n tr nh c n hi m v n hi m ho c …n n hi m …
Bài 1. Tìm tham s m hàm s
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
10
a/ 3 23 3( 2) 3 1y x x m x m= - + + + - ồn i n tr n ¡ .
b/ ( ) ( )3 22 1 2 2y x m x m x= - - + - + ồn i n tr n ¡ .
c/ ( )3 23 2 2y x m x mx= + - + + ồn i n tr n t p c nh c a n
d/ ( )3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m= - + + - - - lu n i m
e/ ( ) ( ) ( )3 213 3 2 3
3y m x m x m x= - - + + + - lu n tăn tr n ¡ .
f/ ( ) ( )2 3 21 1 1 3 53y m x m x x= - + + + + lu n ồn i n tr n ¡ .
Đ p số: a/ 1m ³ - b/ 5
14
m- £ £ c/ 6 3 3;6 3 3mé ù
Î - +ê úë û
d/ 0m = e/ 3
12
m- £ £ - f/ ( ) ); 1 2;m éÎ - ¥ - È + ¥êë
Bài 2. Tìm tham s m hàm s
a/ 3 2mx m
yx m
+ -=
+ luôn n h ch i n tr n m i t p c nh c a n
b/ 2
1
mxy
x m
-=
- + ồn i n tr n t n kho n c nh c a n
c/ 2 1mx
yx m
+=
+ n h ch i n tr n t n kho n c nh c a n
d/ ( )22 2 3 1
1
x m x my
x
- + + - +=
- n h ch i n tr n t n kho n c nh c a n
Đ p số: a/ 3 1m- < < b/ 1 2m- < < c/ 1 1
2 2m- < < d/
1
2m £
Bài 3. Tìm tham s m hàm s
a/ ( )3 22 1 1y x mx m x= - - + + ồn i n tr n o n 0;2é ùê úë û
.
b/ ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + n h ch i n tr n kho n ( )1;1- .
c/ 3 23 4y x x mx= + - - ồn i n tr n kho n ( )0;+ ¥ .
d/ ( )3 212 1 2
3y x mx m x m= - + - - + n h ch i n tr n kho n ( )2;0- .
e/ 4mx
yx m
+=
+ n h ch i n tr n kho n ( );1- ¥ .
f/
2 6 2
2
mx xy
x
+ -=
+ n h ch i n tr n n a kho n )1;é + ¥êë
.
g/ cosy x m x= + ồn i n tr n ¡ .
Đ p số: a/ 1m £ - b/ 10m £ - c/ 0m £ d/ 1
2m ³
e/ 3
22
m- £ £ f/ 2 1m- < < - g/ 14
5m £ - h/ 1 1m- £ £
Bài 4. Tìm tham s m hàm s
a/ ( ) ( )3 2 2 21 2 3 2 2y x m x m m x m m= - + - - + + - ồn i n tr n n a kho n )2;é + ¥êë.
b/ 2223 ).34().1(
3
2mxmmxmxy ồn i n tr n n a kho n )1;é + ¥êë
.
c/ 7).2.().1(3
1 23 xmmxmxy ồn i n tr n o n 4;9é ùê úë û
.
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
11
d/ )32).(1(2).772( 223 mmxmmmxxy ồn i n tr n n a kho n )2;é + ¥êë.
Bài 5. T m i tr th c m hàm s
a/ 3 23y x x mx m= + + + i m tr n o n c ài ằn
b/ ( )3 2 2 1y x x m x= - + - - + tăn tr n o n c ài ằn
Đ p số a/ 9
4m = . b/
14
3m = .
DẠNG 3
Ứn ụn t n đ n đ u ứn m n ất đ n t ứ
1. P n p p
ớ 1 hu n t n th c v n ( ) ( ) 0 , ,f x hay> < ³ £ . X t hàm s ( )y f x= tr n t p c nh
o ài ch nh ho c mi m c nh c a ài to n mà ta ph i t m
ớ 2: X t u ' '( )y f x= Su ra hàm s ồn i n ha n h ch i n
ớ 3 a vào nh n hĩa ồn i n ha n h ch i n k t lu n T c là
+ Hàm s ( )y f x= ồng bi n trên 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ < .
+ Hàm s ( )y f x= ngh ch bi n trên 1 2,K x x KÛ " Î và 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< Þ > .
2. M t số u ý to n
Lưu ý 1: Tron trư n hợp ta chưa t ược u c a '( )f x th ta t ( ) '( )h x f x= và qua l i ti p t c t
u '( )h x … cho n khi nào t u ược th th i
Lưu ý 2: u t n th c c hai i n th ta ưa t n th c v n ( ) ( )f a f b< . X t t nh n i u c a
hàm s ( )f x tron kho n ( ),a b .
Bài 1. h n minh rằn
a/ sin , 0,2
x x xpé ù
£ " Î ê úê úë û
b/ ( ) t an , 0; 2x x x p> " Î
c/ tan sin , 0;2
x x xpæ ö÷ç> " Î ÷ç ÷è ø
d/ , 3
sin 0;3! 2
xx x x
pæ ö÷ç> - " Î ÷ç ÷è ø
e/ tan 2sin 3 , 0;2
x x x xpæ ö÷ç+ > " Î ÷ç ÷è ø
f/ , 3
t an 0;3 2
xx x x
pæ ö÷ç> + " Î ÷ç ÷è ø
Bài 2. h n minh rằn
a. 2 1
sin tan , 0;3 3 2
x x x xpæ ö÷ç+ > " Î ÷ç ÷è ø
b. , 3 5
sin 06 120
x xx x x< - + " >
c. ( ), 2sin 0; 2xx x p
p> " Î d. ( ) 2
1 1sin 1 , 0;
6x x
x x> - " Î + ¥
e. 2 2 2
1 1 41 , 0;
sin 2x
x x
p
p
æ ö÷ç< + - " Î ÷ç ÷è ø
f.
21 11 1 1 , 0
2 8 2
xx x x x+ - < + < + " >
g. ( ) 1
2 3 , 1;x xx
> - " Î + ¥ h. 28/ ( ) 2
2
4sin , 0;
2
xx x x
pp
p
æ ö÷ç< - " Î ÷ç ÷è ø
DẠNG 4
Ứn ụn t n đ n đ u để p n tr n – ất p n tr n ó ứ t m số m
to n 1. T m m phư n tr nh ( )f x;m 0= c n hi m tr n
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
12
ư c Đ c l p t ch m ra kh i i n s và ưa v n ( ) ( )f x A m= .
ư c p n i n thi n c a hàm s ( )f x trên D.
ư c a vào n i n thi n c nh i tr c a tham s m ư n th n ( )y A m= nằm n an cắt
ồ th hàm s ( )y f x= .
ư c t lu n nhữn i tr c n t m c a m phư n tr nh ( ) ( )f x A m= c n hi m tr n
L u ý:
+ u hàm s ( )y f x= c GT và GT tr n th i tr m c n t m là nhữn m th a m n
( ) ( ) ( )D D
min f x A m max f x£ £ .
+ u ài to n u c u t m t m tham s phư n tr nh c k n hi m ph n i t ta ch c n a vào n
i n thi n c nh sao cho ư n th n ( )y A m= nằm n an cắt ồ th hàm s ( )y f x= t i k i m ph n
i t
to n 2. T m m t phư n tr nh ( )f x;m 0³ ho c ( )f x;m 0£ c n hi m tr n
ư c . Đ c l p t ch m ra kh i i n s và ưa v n ( ) ( )f x A m³ ho c ( ) ( )f x A m£ .
ư c . p n i n thi n c a hàm s ( )f x trên D.
ư c . a vào n i n thi n c nh i tr c a tham s m t phư n tr nh c n hi m
+ i t phư n tr nh ( ) ( )f x A m³ là nhữn m sao cho tồn t i ph n ồ th nằm tr n ư n
th n ( )y A m ,= t c là ( ) ( )D
A m max f x£ ( )( ) D
khi max f x $ .
+ i t phư n tr nh ( ) ( )f x A m£ là nhữn m sao cho tồn t i ph n ồ th nằm ư i ư n
th n ( )y A m ,= t c là ( ) ( )D
A m min f x³ ( )( ) D
khi min f x $ .
to n 3. T m tham s m t phư n tr nh ( ) ( )f x A m³ ho c ( ) ( )f x A m£ n hi m n x D" Î ?
+ t phư n tr nh ( ) ( )f x A m³ n hi m n ( ) ( )D
x D min f x A m" Î Û ³ .
+ t phư n tr nh ( ) ( )f x A m£ n hi m n ( ) ( )D
x D max f x A m" Î Û £ .
L u ý:
+ c ài to n li n quan h phư n tr nh h t phư n tr nh ¾ ¾® ta c n i n i chu n v c c
phư n tr nh và t phư n tr nh
+ hi i i n c n quan t m n i u ki n c a i n m i
LOẠI 1
Ứn ụn t n đ n đ u để p n tr n ó ứ t m số m
Bài 1. T m tham s th cm phư n tr nh
a/ 23 1x x m+ + = c n hi m th c
b/ 2 2m x x m+ = + c n n hi m th c ph n i t
c/ 2 24 5 4x x x x m- + ³ - + c n hi m th c tron o n 2;3é ù
ê úë û.
Đ p số: a/ 3 1
2 6m ³ - . b/ 2 2m- < < . c/ 1m £ -
Bài 2. T m tham s th c m phư n tr nh
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
13
a/ 2 2 2 1x mx x c hai n hi m ph n i t
b/ 29 9x x x x m c n hi m
c/ 243 1 1 2 1x m x x c n hi m
d/ 6 3x x mx c n hi m
Đ p số a/ 9
2m b/
910
4m c/
11
3m d/
1
1
2
m
m
Bài 3. T m tham s th c m phư n tr nh
a/ mxxxx 6363 c n hi m
b/ mxxxx 11 22 c n hi m
LOẠI 2
Ứn ụn t n đ n đ u để ất p n tr n ó ứ t m số
Bài 1. Tìm m t phư n tr nh 4 2 2 4x x m c n hi m
Đ p số 14m .
Bài 2. T m tham s m t phư n tr nh sau c n hi m 3 1mx x m
Đ p số 3 1
4m
Bài 3. T m m t phư n trình 24 6 2x x x x m n hi m n v i m i 4;6x
Đ p số 6m .
Bài 4. Tìm m t phư n tr nh 22 9m x x m c n hi m v i m i x .
Đ p số 3
4m .
BÀI 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
C sở ý t u t
1. Khái niệm cực trị của hàm số: Gi s hàm s ( )y f x= c nh tr n t p ( )D D Ì ¡ và Do
x Î
+ ox là i m c c i c a hàm s ( )y f x= n u ( ) D,a b$ Î và ( ),ox a bÎ sao cho ( )( ) ,o
f x f x<
( ) { }; \o
x a b x" Î hi ( )of x ược i là i tr c c i c a ( )y f x=
+ ox là i m c c ti u c a hàm s ( )y f x= n u ( ) D,a b$ Î và ( ),ox a bÎ sao cho ( ) ( ),of x f x>
( ) { }; \o
x a b x" Î hi ( )of x ược i là i tr c c ti u c a ( )y f x=
+ u ox là i m c c tr c a hàm s ( )y f x= th i m ( ); ( )o ox f x ược i là i m c c tr c a ồ th hàm
s ( )y f x= .
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định ý erman
u hàm s ( )y f x= c o hàm t i ox và t c c tr t i i m th ( )' 0of x = hĩa là hàm s
( )y f x= ch c th t c c tr t i nhữn i m mà t i o hàm ằn 0 ho c kh n c o hàm
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
14
a. Đ n ý 1: Gi s hàm s ( )y f x= li n t c tr n kho n ( ); oa b xÉ và c o hàm ( ) { } , \ oa b x
+ u '( )f x i u t âm sang dương khi x i qua ox thì ( )y f x= t c c ti u t i ox .
+ u '( )f x i u t dương sang âm khi x i qua ox thì ( )y f x= t c c i t i ox .
x a xo b
'( )f x – 0 +
( )y f x=
f(a) f(b)
t ểu
f(xo)
x a xo b
'( )f x + 0 –
( )y f x=
f(xo)
đ f(a) f(b)
b. Đ n ý 2: Gi s hàm s ( )y f x= c o hàm tr n ( ) ; oa b xÉ ; ( )' 0of x = và ( )'' 0of x ¹
+ u ( )'' 0of x < thì ( )y f x= t c c i t i ox .
+ u ( )'' 0of x > thì ( )y f x= t c c ti u t i ox .
DẠNG 1
T M CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. P n p p Qui tắc 1: n nh l
ư c T m mi n c nh T nh ' '( )y f x= .
ư c : Tìm c c i m ( )1,2, ..,ix i n= t i ' '( ) 0y f x= = ho c ' '( )y f x= kh n c nh
ư c : X t u '( )f x t su ra i m c c tr a vào nh l
Qui tắc 2: n nh l
ư c T m mi n c nh T nh ' '( )y f x= .
ư c : Tìm c c i m ( )1,2, ..,ix i n= t i ' '( ) 0y f x= = ho c ' '( )y f x= kh n c nh
ư c : X t u ''( )f x và ''( )if x
- u ''( ) 0if x < thì hàm s t c c i t i ix .
- u ''( ) 0if x > th hàm s t c c ti u t i ix .
2. M t số u ý to n
qui tắc t m c c tr a vào nh l qui tắc và nh l qui tắc
u vi c t u c a o hàm c nh t ễ àn th n n n qui tắc
u vi c t u kh khăn v như tron ài to n mà hàm s cho c n lượn i c ho c ài
to n c ch a tham s th n n n qui tắc
u 'y kh n i u khi i qua n hi m n hi m k p th hàm s kh n c c c tr
Đ i v i hàm c th ' 0y = c n hi m ph n i t là i u ki n c n và hàm c c c tr
h n c n t hàm s ( )y f x= c ha kh n c o hàm t i i m ox x= nhưn kh n th qua i u
ki n “ à ố ox ”.
Hàm s t c c tr t i '( ) 0
''( ) 0
o
o
o
y xx
y x
íï =ïÛ ìï ¹ïî
Đ i v i hàm s căn th c ta kh n t u ược như c c th ch n i m t u
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
15
Bài 1. T m c c tr c a c c hàm s sau
a/ 3 23 3 5y x x x= + + + b/
3 23 9 4y x x x= + - + c/ 3 22 5
23 2
y x x x= - + -
d/ 3 24
6 9 13
y x x x= - + - e/ 4 26 8 1y x x x= - + - + f/
4 22 3y x x= - -
Đ p số a Hàm s kh n c c c tr b/ ( )3 31CÐ
y y= - = ; ( )1 1CT
y y= = - .
c/ ( )2
23CÐ
y y= = ; 1 11
2 4CTy y
æ ö÷ç ÷= = -ç ÷ç ÷çè ø
hàm s kh n c c c tr
e/ ( )D2 25
Cy y= - = ; Hàm s kh n c c c ti u f/ ( )0 3
CÐy y= = - ; ( ) ( )1 1 4
CTy y y= = - = - .
Bài 2. T m c c tr c a c c hàm s sau
a/ 3 2
1
xy
x
-=
- b/
3 1
1
xy
x
+=
- c/
2 2 1
2
x xy
x
- + -=
+ d/
2 8 9
5
x xy
x
- +=
-
Đ p số a Hàm s kh n c c c tr Hàm s kh n c c c tr
c/ ( )1 0CÐ
y y= = ; ( )5 12CT
y y= - = . d Hàm s kh n c c c tr .
Bài 3. T m c c tr c a c c hàm s
a/ 3 23y x x= - + b/
24y x x= - c/ 22 3y x x= - -
d/ 22 1 2 8y x x= + - - e/ ( )2y x x= + f/ ( )3y x x= -
Đ p số
a/ ( )2 2CÐ
y y= = ; ( )0 0CT
y y= = . b/ ( )2 2CT
y y= - = - ; ( )2 2CÐ
y y= = .
c Hàm s kh n c c c i d/ ( )2 2 3 2 1CT
y y= = + .Hàm s kh n c i m c c i
e/ ( )1 1CÐ
y y= - = ; ( )0 0CT
y y= = . f/ ( )0 0CÐ
y y= = ; ( )1 2CT
y y= = -
Bài 4. T m c c tr c a c c hàm s
a/ sin 2y x x= - b/ 2sin 2 3y x= -
c/ 3 2cos cos2y x x= - - d/ cos sin 0;2
y x x trênpé ù
ê ú=ê úë û
Đ p số
a/ 1
6 2 6CÐy y k k
p pp p
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + = - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
. 1
6 2 6CTy y k k
p pp p
æ ö÷ç ÷= - + = - + -ç ÷ç ÷çè ø
.
b/ 14CÐ
y y kp
pæ ö
÷ç ÷= + = -ç ÷ç ÷çè ø. ( )2 1 5
4 2CTy y k
p pæ ö÷ç ÷= + + = -ç ÷ç ÷çè ø
.
c/ 2 9
23 2
CÐy y kp
pæ ö
÷ç= ± + =÷ç ÷çè ø. ( ) ( )2 1 cos
CTy y k kp p= = - .
Hàm s t c c i t ix b= ; ( )412
3y b = v i
1sin
3b = .
DẠNG 2
T M THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI 0
x
Bài toán 1: ho hàm s ( , )y f x m= T m tham s m hàm s t tr t i i m 0
x x= .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
16
+ T m t p c nh
+ Tính ' '( , )y f x m=
+ Đ hàm s t c c tr t i 0
x x= thì:
0'( , ) 0f x m m= Þ .
Bài toán 2: Cho hàm s ( , )y f x m= T m tham s m hàm s t đ t i i m 0
x x= .
+ T m t p c nh
+ Tính ' '( , ); '' ''( , )y f x m y f x m= =
+ Đ hàm s t đ t i 0
x x= thì: ( )( )
0
0
' , 0
'' , 0
f x mm
f x m
íï =ïï Þìï <ïïî
Bài toán 3: ho hàm s ( , )y f x m= T m tham s m hàm s t t ểu t i i m 0
x x= .
+ T m t p c nh
+ Tính ' '( , ); '' ''( , )y f x m y f x m= =
+ Đ hàm s t t ểu t i 0
x x= thì: ( )( )
0
0
' , 0
'' , 0
f x mm
f x m
íï =ïï Þìï >ïïî
Bài 1. T m tham s hàm s
a/ ( )3 2 23 3 1y x mx m x m= - + - + t c c i t i 2x = .
b/ ( )2 3 25 6 6 6y m m x mx x= - + + + - t c c ti u t i 1x = .
c/ 3 22 1y x x mx= - + + t c c ti u t i 1x =
d/ 3 23 12 2y mx x x= + + + t c c i t i i m 2x = .
e/
2 1x mxy
x m
+ +=
+ t c c i t i 2x = .
Đ p số a/ 3m = b/ 2m = - c/ 1m = d/ 2m = - e/ 3m = -
Bài 2. T m tham s m hàm s
a/ ( )3 2 211 1
3y x mx m m x= - + - + + t c c tr t i 1x = hi hàm s t c c i ha c c ti u
T m c c tr tư n n
b/ 3 2 4y x mx= - + - hàm s nh n i m ( )2;0M làm i m c c i
c/ ( )22 3 sin 2 sin 2 3 1y m x m x m= - - + - t c c ti u t i 3
xp
= .
Đ p số a/ 2m = b/ 3m = c/ 1m =
Bài 3. T m tham s ,a b hàm s
a/
42
4
xy ax b= + + c c c tr t i 1x = - và i tr c c tr tư n n c a hàm s ằn 2- .
b/ 2 3 25
2 93
y a x ax x b= + - + c i tr c c tr là nhữn s ư n và 5
9ox = - là i m c c i
Đ p số:a/ 1 9
;2 4
a b= - = b/ 9 128
;25 27
a b= - ³ - ho c 9 140
;5 27
a b= ³ -
Bài 4. T m i tr c a tham s hàm s
a/ ( )3 2 1 1y x mx m x= + + + - c c c tr t i 2x = hi hàm s t c c i ha c c ti u T nh i
tr c c tr tư n n
b/ ( ) ( )3 22 4 2 5 4y x m x m x= - - + - - c c c tr khi 0x = hi hàm s t c c i ha c c ti u
T nh i tr c c tr tư n n .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
17
c/ 2 2 2
1
x mxy
x
+ -=
+ c i m c c tr khi 2x = - hi hàm s t i tr c c ti u ha c c i T nh i
tr c c tr tư n n
d/ 3 2 2
53
y x mx m xæ ö
÷ç= - + - +÷ç ÷çè ø t c c tr t i 1x = hi n là i m c c i ha c c ti u t nh i
tr c c tr c n l i n u c
Bài 5. T m i tr c a tham s ;a b hàm s
a/ ( )4 212
4y x a b x a b= - + - - t i tr c c i ằn t i 1x = .
b/ ( )4 23 3y x a b x a b= - + - - + t i tr c c ti u ằn t i 0x =
c/ ( )4 233 2 2
4y x a b x a b= - - - + c i tr c c tr ằn 0 khi 0x = hi hàm s t c c ti u ha
c c i.
d/
2ax bx aby
bx a
+ +=
+ t c c tr t i 0x = và 4x = .
e/ 2
2
2
1
ax x by
x
+ +=
+ t c c i ằn 5 t i 1x = .
d/
2
1
x ax by
x
+ +=
- hàm s t c c tr bằng –6 t i 1x = - .
Bài 6. T m i tr c a tham s ; ;a b c hàm s
a/ 3 2y x ax bx c= + + + t c c tr ằn 0 t i i m 2x = - và ồ th hàm s i qua i m ( )0,1A .
b/ 3 2y x ax bx c= + + + t c c ti u t i i m ( )1, 3A - và ồ th hàm s cắt tr c tun t i i m c tun
ằn
c/ 4 2y ax bx c= + + ồ th i qua c t a O và t c c tr bằng 9- t i 3x = .
Bài 7. T m i tr c a tham s ; ; ;a b c d hàm s
a/ 3 2y ax bx cx d= + + + t c c ti u t i i m ( )0, 0 0x f= = và t c c i t i 1x = , c i tr c c
i ằn
b/ 3 2y ax bx cx d= + + + t c c ti u ằn 0 t i 0x = và t c c i ằn
4
27 t i
1
3x = .
DẠNG 3
IỆN LUẬN HOÀNH ĐỘ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hàm s ( )y f x= c n tr ó n n m p n t.
M t số u ý to n
L u ý 1: Hoành c c tr thư ng là nghi m c a phư n tr nh c o ta c n ph i nắm vững ki n
th c v phư n tr nh c như Đ nh lý i t so s nh n hi m phư n tr nh c 2 v i 1 s b t kỳ c c i u ki n
có nghi m c a phư n tr nh … ồn th i n li n quan n m t s t nh ch t c a h nh h c ph n
L u ý 2: Hàm s c a 3 2y ax bx cx d= + + + và hàm hữu t
2ax bx cy
dx e
+ +=
+ c c c i và c c
ti u c c tr ' 0yÛ = c hai n hi m ph n i t
0
0
a ¹íïïÛ ìïD >ïî
L u ý 3: Đ A và B thu c hai nhánh c a ồ th d ng ax b
ycx d
+=
+
ho c 2ax bx c
yex d
+ +=
+
th i m A
và B ph i nằm v hai phía so v i ư ng ti m c n n tư n ng c a ồ th .
y
A
y
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
18
L u ý 4: C c tr của m ốn 4 3 2y ax bx cx d= + + +
+ Ta c ( ) ( )
3 2
2
0' 4 3 2 ' 0
4 3 2 0 2
xy ax bx cx y
ax bx c g x
é =ê= + + Þ = Û ê + + = =êë
+ Hàm s có 3 c c tr khi và ch khi (2) có hai nghi m phân bi t khác 0( )
( )2
0
0 0g
íïD >ïïÛ ìï ¹ïïî
hi Hàm s có 2 c c ti u, 1 c c i khi 0a > .
Hàm s có 2 c c i, 1 c c ti u khi 0a < .
+ Hàm s có 1 c c tr khi và ch khi (2) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có 1 nghi m
0x =( )
0
0 0g
íï D <ïïÛ ìï =ïïî
hi Hàm ch có c c ti u khi 0a > n hĩa là c c c ti u mà kh n c c c i
Hàm s ch có c c i khi 0a < n hĩa là c c c i mà kh n c c c ti u
Lo 1
T m tr t m số m để m số n tr , oặ n ó tr
H m 3
( ) 3 2 0y ax bx cx d a= + + + ¹
H m 3 ( ) ( ) 3 2 0 *y ax bx cx d a= + + + ¹
hương pháp gi i:
(C):
2ax bx cy
ex d
+ +=
+
(C): ax b
ycx d
+=
+
T Đ x = – d/c
TCN: y = – a/c
T Đ x = – d/e
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
19
- Ta c ( ) 2 2' 3 2 ' 0 3 2 0 1y ax bx c y ax bx c= + + Þ = Û + + =
+ Hàm s ( )* có 2 c c tr ( )1 có hai nghi m phân bi t
( )
1
0
0
aíï ¹ïïÛ ìD >ïïïî
+ Hàm s ( )* không có c c tr ( )1 có nghi m kép ho c vô nghi m
( )
1
0
0
aíï ¹ïïÛ ìD £ïïïî
Bài 1. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/ 3 23 ( 2) 3 4y x mx m x m= - + + + + b/ ( )3 21 3y x m x x= - + + -
c/ ( ) 3 22 3 5y m x x mx= + + + - d/ ( )3 233 2 1
3
my x m x x
æ - ö÷ç= - - + -÷ç ÷çè ø
e/ 3 21
(2 3) 13
y x mx m x= + + + + f/ ( ) ( )3 24 2 8 3y m x m x x= + - + + +
Bài 2. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/ ( ) ( )3 22 2 3y x m x m x= + - - + - b/ 3 22 ( 2) (6 3 ) 1y x m x m x m= - - + - + +
c/ ( )3 2 23( 1) (2 3 2) 1y x m x m m x m m= - - + - + - - d/ ( ) ( ) ( )3 21 2 1 2y m x m x m x m= - + + - - + +
e/ ( ) ( )3 23 9 3 2y x m x m x m= - + - - - + f/ ( )3 233 2 1
3
my x m x x
æ - ö÷ç= - - + -÷ç ÷çè ø
Bài 3. T m i tr tham s m hàm s kh n c c c tr
a/ 3 23 3 3 4y x mx mx m= - + + + b/ ( )3 21 3 2y x m x x= + - + -
c/ ( ) ( )3 24 2 8 3y m x m x x= + - + + + d/ ( )3 22 1 3 2y x m x x= - - + +
Bài 4. h n minh rằn hàm s
a/ 3 21
13
y x mx x m= - - + + lu n c c c i và c c ti u v i m i i tr m .
b/ ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= - + + + + lu n t c c tr t i 1 2,x x v i m i i tr m và i u th c
2 1x x- kh n ph thu c vào m .
H m 4 tr n p n
( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ¹
H m 4 tr n p n ( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ¹ ( )*
P n p p
Ta c ( )( ) ( )
3 2
2
0' 4 2 4 2 ' 0
4 2 0 1
xy ax bx x ax b y
ax b g x
é =ê= + = + Þ = Û ê + = =êë
Hàm s ( )* có 3 c c tr ( )1 có hai nghi m phân bi t khác 0 ( )
( )
1
0 0
0
gíï ¹ïïÛ ìD >ïïïî
hi : Hàm s có 2 c c ti u, 1 c c i khi 0a > .
Hàm s có 2 c c i, 1 c c ti u khi 0a < .
Hàm s có 1 c c tr khi và ch khi ( )1 có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có 1 nghi m 0x =
( )
( ) ( )
10 0 . 0
00 00 0
a b
bgg
é í íD £ ï ïD < >ïê ïïÛ Û Ûì ìê ï ï ===ê ï ïîïîë
hi : Hàm s ch có c c ti u khi 0a > n hĩa là c c c ti u mà kh n c c c i
Hàm s ch có c c i khi 0a < n hĩa là c c c i mà kh n c c c ti u
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
20
Chú ý: H m 4 tr n p n
Luôn có ít nh t 1 cực tr .
Nếu có 3 cực tr thì 3 cực tr này luôn t o thành 1 tam giác cân t ỉnh thuộc tr c oy.
Bài 1. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/ ( )4 22 4 2 5y x m x m= - - + -
b/ ( )4 22 1 1y x m x= + + +
c/ ( )4 2 24 3y x m x= + - + d/ ( )4 2 29 10y mx m x= + - +
Bài 2. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/ ( )4 22 1 1y x m x= + + + b/ 4 2( 1) 1 2y mx m x m= + - + -
c/ 4 2 4y x mx x m= - + +
d/ ( )4 2 21 1
14 2
y x m x m m= - - + -
Bài 3. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/ ( )4 3 22 8 8 1y x mx m x= + + + b/ ( )4 21 2y x m x= + - +
c/ 4 22 2 1y x mx m= - + - d/ ( ) 4 22 2 1y m x mx m= - + + -
Bài 4. h n minh rằn hàm s lu n c c c i và c c ti u Dm" Î
a/ ( )3 223 4
3y x mx m x m= - + + + - b/ ( ) ( )3 2 21
2 1 3 13
y x m x m m x= - + - - - - +
c/ ( ) ( )3 22 2 3y x m x m x= + - - + - d/ ( )3 2 2 33 3 1y x mx m x m= - + - -
H m p n t ứ 2
( )ax bx c
y f xdx e
+ += =
+
H m p n t ức:
2
( )ax bx c
y f xdx e
+ += =
+
( )*
hương pháp gi i:
Ta c
( ) ( ) ( )
2
22
0. 2 .' '( ) '( ) 0
. 2 . 0 1
dx ead x ae x bc dcy f x f x
ad x ae x bc dc g xdx e
íï + ¹+ + + ïï= = Þ = Û ìï + + + = =ï+ ïî
Hàm s ( )* có 2 c c tr ( )1 có hai nghi m phân bi t khác e
xd
¹ -
( )
1
0
0
eg
d
í æ öï ÷ï ç ÷- ¹ï ç ÷ï ç ÷çÛ è øìïï D >ïïî
Hàm s ( )* không có c c tr ( )1 có nghi m kép ho c vô nghi m
( )
1
0
0
adíï ¹ïïÛ ìD £ïïïî
Bài 1. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/
2 2 1
1
x x my
x
- + -=
+ b/
( )2 2 1
2
mx m xy
x
- - -=
+
c/ ( )2 1 2
1
x m x my
x
- + - +=
- d/
2 2
1
x mxy
mx
+ -=
- Bài 2. T m i tr tham s m hàm s c c c tr
a/ ( )2 21 4 2
1
x m x m my
x
- + - + -=
- b/
2
1
x x my
x
- +=
+
c/
2 2
1
x mxy
x
- +=
- d/
( )2 2 1
1
x m x my
x
+ - -=
+
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
21
Bài 3. T m i tr tham s m hàm s kh n c c c tr
a/
2 2 3x mxy
x m
+ -=
- b/
2 5
3
x mxy
x
- + +=
- c/
( )2 21 4 2
1
x m x m my
x
- + - + -=
-
Bài 4. h n minh rằn hàm s lu n c c c i và c c ti u Dm" Î
a/ ( )2 31 1x m m x m
yx m
- + + +=
- b/
( )2 2 41 1x m m x my
x m
+ - - +=
-
c/
2 2 1
1
x x my
x
- + -=
+ d/
2 2
1
x mx my
x m
+ - +=
- +
Lo 2
T m tr t m số m để m số ó n tr t ỏ đ ều n o tr ớ
(sử ụn đ n V ét)
H m 3
( ) 3 2 0y ax bx cx d a= + + + ¹
C v t p n tr n đ n t n nố đ ểm tr ủ m
( )3 2y f x ax bx cx d= = + + +
B ớ 1: T ề ó ự à: ' 0y = ó 2 â .
ó ( )1 1,x y , ( )2 2,x y à ự
B ớc 2: Chia ( )f x cho '( )f x : ( ) ( ). '( )f x Q x f x Ax B= + +
B ớc 3: Vì ( )1 1,x y , ( )2 2,x y à ự nên: ( )( )
1 1 1 1
2 2 2 2
( ). '( )
( ). '( )
y f x Q x f x Ax B
y f x Q x f x Ax B
íï = = + +ïïìï = = + +ïïî
M t khác: 1
2
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x
íï =ïìï =ïî
( )( )
1 1 1
2 2 2
y f x Ax B
y f x Ax B
íï = = +ïïÞ ìï = = +ïïî
c i m ( )1 1,x y , ( )2 2,x y nằm tr n ư n th n y Ax B= + là ư n th n n i hai i m c c
à ố ( )3 2y f x ax bx cx d= = + + + .
Bài 1. H vi t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c tr c a hàm s sau
a/ 3 23 6 8y x x x= - - + b/
3 22 3 12 10y x x x= - - +
Bài 2. T m tham s m hàm s sau c c c tr H vi t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c tr
c a hàm s sau
a/ 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= - + - -
b/ ( ) ( )3 2 23 1 (2 3 2) 1y x m x m m x m m= - - + - + - -
Bài 3. ho hàm s : ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + - + - + - + T m m hàm s t c c tr t i
hai i m 1 2,x x sao cho: ( )1 2
1 2
1 1 1
2x x
x x+ = + .
Đ p số 1m = ho c 5m =
Bài 4. ho hàm s : ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3y mx m x m x= - - + - + T m m ồ th hàm s c i m c c tr
1 2;x x ồn th i hai i m c c tr nà th a 1 22 1x x+ = .
Đ p số 2
3m = ho c 2m =
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
22
Bài 5. ho hàm s : ( )3 212 1 2
3y x mx m x= - + - + T m m ồ th c a hàm s c hai c c tr u ư n
Đ p số
1
1
2
m
m
íï ¹ïïïìï >ïïïî
Bài 6. T m m ồ th c a hàm s ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= - + + - + - + - c i m c c ti u
t i m t i m c hoành nh h n
Đ p số 1m <
Bài 7. T m m ồ th hàm s ( ) 3 23 2y x x C= - + c i m c c i và i m c c ti u c a ồ th ( )C nằm
v hai ph a kh c nhau c a m t ư n tr n ph a tron ư n tr n và ph a n oài ư n tr n
( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0m
C x y mx my m+ - - + - = .
Đ p số 3
15
m< <
Bài 8. T mm ồ th hàm s ( ) 3 2: 2 12 13m
C y x mx x= + - - c c c i và c c ti u ồn th i c c i m
nà c ch u tr c tun Oy .
Đ p số 0m =
Bài 9. T mm ồ th hàm s 3 2 23y x x m x m= - + + c c c i và c c ti u ồn th i c c i m c c i và
c c ti u i n nhau qua ư n th n : 2 5 0x yD - - = .
Đ p số 0m =
Bài 10. T m tham s m hàm s ( ) ( )3 2 22 1 3 2 4y x m x m m x= - + + - + + c hai i m c c i và c c
ti u nằm v hai ph a so v i tr c tun
Đ p số 1 2m< <
Bài 11. ho hàm s 3 21
13
y x mx x m= - - + + T m m hàm s c c c i và c c ti u ồn th i kho n
c ch iữa hai i m là n ắn nh t
Đ p số 0m = Bài 12. T m i tr c a tham s m hàm s
a/ 3 23 7 3y x mx x= + + + c ư n th n i qua c c i m c c i c c ti u vu n c v i ư n th n
3 7y x= - .
b/ 3 2 23y x x m x m= - + + c c c i m c c i và c c ti u i n nhau qua ư n th n
1 5
2 2y x= - .
c/ ( )3 23 1 6( 2) 1y x m x m x= + - + - - c ư n th n i qua hai i m c c tr son son v i ư n
th n 4 1y x= - + .
d/ ( )3 23 1 6( 2)y x m x m x= + - + - c c c i m c c i và c c ti u c a ồ th nằm tr n ư n th n
4y x= - .
Bài 13. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s ( )3 2 23 1 1y x mx m x= - - - + T m m hàm s c c c tr th a ( ) 2 2
1 2 1 22 x x x x+ = + .
ho hàm s ( )3 22 3. 2 1 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + T m m hàm s lu n t c c tr t i 1 2;x x
v i 2 1x x- kh n ph thu c vào m
c/ Cho hàm s ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3y mx m x m x= - - + - + T m tham s m hàm s c c c tr th a
1 22 1x x+ = .
ho hàm s 3 21
13
y mx mx mx= - + - T m m hàm s c c c tr th a 1 2 8x x- ³ .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
23
ho hàm s ( )2( ) 3 1y x m x x m= - - - - T m m hàm s c c c i và c c ti u th a
. 1CÐ CTx x = .
f ho hàm s ( )3 23 1 9y x m x x m= - + + - T m m hàm s c c c tr ồn th i hai hoành c c
tr th a m n 1 2 2x x- £ .
Bài 14. T m tham s m hàm s th a u c u c a bài toán.
a ho hàm s ( ) ( )3 21 13 1 2 1
3 2y mx m x m m x= - - + - T m m hàm s c c c tr th a
2
1 2 3x x= + .
ho hàm s ( )3 2 211
3 3
my mx mx m x= - + - - T m m hàm s c c c tr th a
( )2
1 1 2. 5 12x x x= - + .
c ho hàm s 3 2 22 9 12 1y x mx m x= + + + T m m hàm s c c c tr ồn th i hoành c c tr
th a 2
CÐ CTx x= .
Bài 15. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s 3 2. ( 1) ( 2) 5
3
my x m x m x= + - + + + T m m hàm s c c c tr ồn th i i m
c c tr nà nằm v hai ph a so v i tr c hoành Ox .
ho hàm s ( ) 3 21
3 13
my x mx m
+= - - + - T m m hàm s c c c i và c c ti u ồn th i hai
i m nà nằm v hai ph a so v i tr c tun Oy .
c ho hàm s 3 22 1y x x mx= - + - T m m hàm s c hai i m c c tr ồn th i i m c c tr nà
nằm hai n kh c ph a nhau so v i ư n th n 3x = .
Bài 16. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s ( ) ( )3 2 2 23 1 3 7 1 1y x m x m m x m= - + + - + - + - . T m m hàm s c i m c c ti u
t i m t i m c hoành nh h n
b ho hàm s ( )3 23 1 4y mx mx m x= - + + - T m m hàm s c i m c c ti u t i m t i m c
hoành m
Bài 17. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s 3 2 5 1y x mx x m= - + - + T m m hàm s c c c tr và kho n c ch iữa i m c c tr
h n 2 .
ho hàm s 3 2 4y x mx= - + - T m m hàm s c c c tr là và th a
22 900
729
mAB = .
c ho hàm s 3 21
13
y x mx x m= - - + + T m m hàm s c c c i và c c ti u ồn th i kho n
c ch iữa hai i m là n ắn nh t
Bài 18. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s ( )3 213 1 4 2
3y x m x x= - + - - - T m m hàm s c hai i m c c tr là sao cho
i n t ch tam i c M ằn v i M 0;
ho hàm s ( )3 211
3y x x m x m= - + - + T m m hàm s c hai i m c c tr sao cho tam i c
O vu n c n v i O là c t a
c ho hàm s 2
3 23
2
my x x= - + T m m hàm s c c c i c c ti u và t o v i –2; 3) thành tam
i c u
ho hàm s 3 2 33 4y x mx m= - + T m m hàm s c c c i và c c ti u i n nhau qua ư n
ph n i c th nh t
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
24
H m 4 tr n p n
( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ¹ L ô ó 1 ự .
Nế ó 3 ự 3 ự ày ô à 1 â ỉ ộ y.
Bài 1. ho hàm s 4 23 2y x mx= - - T m tham s m hàm s c c c i t i 0;–2) và t c c ti u t i hai
i m B; C sao cho: ( )26C Bx x m m- < - .
Đ p số: 1m ³
Bài 2. ho hàm s 4 2 22 1y x m x= - + T m tham s m hàm s c c c tr ồn th i i m c c tr nà là
nh c a m t tam i c vu n c n
Đ p số: 1m = ±
Bài 3. ho hàm s 4 42 2y x mx m m= - + + T m tham s m hàm s c c c tr ồn th i i m c c tr
nà l p thành m t tam i c u
Đ p số: 33m =
Bài 4. ho hàm s 4 22 1y x mx m= - + - T m tham s m hàm s c c c tr ồn th i c c i m c c tr
c a ồ th t o thành m t tam i c c n k nh ư n tr n n o i ti p ằn
Đ p số:
1
5 1
2
m
m
é =êê
-ê=ê
ë
Bài 5. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s 4 23 2y x mx= - - T m m hàm s c c c i t i 0; – và t c c ti u t i hai i m ;
C sao cho: ( )2. 2 8 10B Cx x m m> + + .
ho hàm s 4 24 1y x mx= - + T m m hàm s c c c i t i 0; và t c c ti u t i hai i m ;
sao cho: ( )22 2C Bx x m m- > - .
Bài 6. T m tham s m hàm s th a u c u c a ài to n
a ho hàm s 4 2 3y x mx= - + T m m hàm s c c c tr và i m nà l p thành tam i c u
b/ Cho hàm s 4 2 4y x mx m= - + + T m m hàm s c i m c c tr là và tam i c
nh n c t a O làm tr n t m
c ho hàm s 4 2 22 1y x m x= - + T m m hàm s c c c tr là sao cho tam i c c i n
t ch ằn
d ho hàm s 4 22 1y x mx m= - + - T m m hàm s c c c tr ồn th i c c i m c c tr
c a ồ th t o thành m t tam i c c n k nh ư n tr n n o i ti p ằn
BÀI 3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
25
1. Đ n n ĩ : Gi s hàm s ( )y f x= c nh tr n mi nD v i D = ¡ .
( )( )
( )
,max
:o oD
f x M x DM f x
x D f x M
íï £ " Îïï= Û ìï $ Î =ïïî
và ( )( )
( )
,min
:o oD
f x m x Dm f x
x D f x m
íï ³ " Îïï= Û ìï $ Î =ïïî
2. T n ất:
a. nh ch t 1: u hàm s ( )y f x= ồn i n tr n ,a bé ùê úë û
th
( ) ( )
( ) ( )
[ , ]
[ , ]
max
min
a b
a b
f x f b
f x f a
íï =ïïïïìï =ïïïïî
b. nh ch t 2: u hàm s ( )y f x= n h ch i n tr n ,a bé ùê úë û
th
( ) ( )
( ) ( )
[ , ]
[ , ]
max
min
a b
a b
f x f a
f x f b
íï =ïïïïìï =ïïïïî
DẠNG 1
T M GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ
DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 P n p p
P n p p 1: n n i n thi n t m ma – min hư n ph p nà thư n n cho ài to n t m
GT và GTNN trên m t o n ( ),a b oặ nử đo n ) (, , ,a b a bé ùê úë û
.
Bước 1: Tính ( )'f x .
Bước 2: X t u ( )'f x và l p n i n thi n
Bước 3: a vào n i n thi n k t lu n
P n p p 2: Thư n n khi t m ma – min c a hàm s li n t c tr n m t đo n ,a bé ùê úë û
.
Bước 1: Tính ( )'f x .
Bước 2: Gi i ( )' 0f x = t m ược c c n hi m ( )1,i
x i n= tr n o n ,a bé ùê úë û
n u c
Bước 3: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , ...,
nf a f b f x f x f x .
Bước 4: So s nh c c i tr v a t nh ược và k t lu n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
1 2
1 2
[ , ]
[ , ]
max max , , , , ...,
min min , , , , ...,
n
n
a b
a b
f x f a f b f x f x f x
f x f a f b f x f x f x
íï =ïïïïìï =ïïïïî
.
Chú ý: th n n i n thi n t m ma – min c a hàm s trên m t đo n ,a bé ùê úë û
.
2. M t số u ý to n
Lưu ý 1 hư n tr nh ( )' 0f x = có th là phư n tr nh mũ lo arit i s lượn i c … o c n
nắm vững ki n th c v cách gi i phư n tr nh c c lo i.
Lưu ý 2: Đ i v i hàm lượng giác d ng: ( ) 1 1 1
2 2 2
sin cos
sin cos
a x b x cy
a x b x c
+ += *
+ +.
Đ t 2
2 2
2 1tan sin ; cos
2 1 1
x t tt x x
t t
æ ö -÷ç ÷= Þ = =ç ÷ç ÷ç + +è ø.
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
26
Tha vào( )* ta ược hàm hữu t i s n ( )2
2' ' '
at bt cf t
a t b t c
+ +=
+ +
Lưu ý 3: Khi bài toán yêu c u tìm max – min nhưn kh n n i tr n t p nào thì ta hi u t m ma – min trên
t p c nh D c a hàm s .
Lưu ý 4: Đ tìm tham s ,m n
c a hàm s ( , , )f x m n v i x là bi n s sao cho ( , , )f x m n có
max ( , , )f x m n a= và min ( , , )f x m n b= Ta làm như sau
+ Bước 1: Hàm s cho c nh và li n t c tr n mà cho ho c ta t m
- Hàm s c i tr l n nh t ằn a khi và ch khi
có nghiêm 0
( , , )
: ( , , )o o
f x m n a
x D f x m n a x
í £ïïïìï $ Î =ïïî
- Gi i t m i u ki n và k t hợp nh i hai v c a m t n th c A B
A BA B
í ³ïïï Û =ìï £ïïî
(1).
+ Bước 2: Hàm s c i tr nh nh t ằn khi và ch khi
có nghiêm 0
( , , )
: ( , , )o o
f x m n b
x D f x m n b x
í ³ïïïìï $ Î =ïïî
.
Tư n t ta ược phư n tr nh
+ Bước 3: Gi i h phư n tr nh ( )
( )
1,
2m n
íïïï Þìïïïî
c n t m
Lưu ý 5: Ta c th t m GT và GT c a hàm s ằn c ch n mi n i tr (đ ó n m)
Đặt v n đề: Tìm max – min c a hàm s ( )y f x= tr n m t mi n cho trư c
Bước 1 G i oy là m t i tr t c a ( )f x tr n th h phư n tr nh ẩn x sau c n hi m
( )
of x y
x D
í =ïïìï Îïî
Bước 2: T th o i u ki n c a h tr n mà ta c c c i u ki n tư n n Th n thư n i u
ki n sau khi i n i c n ( ) 3om y M£ £ . Vì oy là m t i tr t kỳ c a ( )f x n n t ( )3 ta suy ra
ược D
D
min ( )
max ( )
f x m
f x M
í =ïïïìï =ïïî
Lo 1
T M GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG
Bài 1. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t n u c c a c c hàm s sau
a/ ( ) 4
, 0y x xx
= + > . b/ 2
1
1
xy
x x
-=
- +.
c/ (1
, 0;2y x xx
ù= - Î úû. d/ ( )
2
2
1 9, 0
8 1
x xy x
x
+ += >
+.
Đ p số:
a/ ( )( )
khi
0;
min 4 2f x x
+ ¥
= =
b/ khi 1
max 03x
y xÎ
= =¡
và khi 1
min 23x
y xÎ
= =¡
.
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
27
c/ ( )(
khi
0;2
min 0 1f x xùúû
= = .
f/ ( ) ( )
khi khi 0; 0;
2 2 1 1 3 2 1min ( ) ; max ( )
3 46 2 2 2 6 2
3
g x x f x x+ ¥ + ¥
= = = = = .
Bài 2. T m GT và GT c a c c hàm s sau
a/ 21 8y x x= + - . b/
3 44 3y x x= - . c/
2
2
1
1
x xy
x x
- +=
+ +.
d/ 24
xy
x=
+. e/
2
2
2 10 3
3 2 1
x xy
x x
+ +=
+ +. f/
2
4 2
1
1
xy
x x
-=
- +.
Bài 3. T m GT và GT c a c c hàm s sau
a/ 1
, 0y x xx
= + > . b/ 2 2
, 0y x xx
= + > . c/ 3y x x= -
d/ 2 2y x= +
e/
2
200
xy
x
+=
+
f/ 2 2 3y x x= - +
Lo 2
T M GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Bài 1. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau
a/ ( ) 3 23 7 1y f x x x x= = - - + tr n o n 0;2é ùê úë û
b/ ( ) 4 22 4 3y f x x x= = - + + tr n o n 0;2é ùê úë û
c/ ( )3
6 24 1y x x= + - tr n o n 1;1é ù-ê úë û. d/ ( )
9y f x x
x= = + tr n o n 2;4é ù
ê úë û.
e/ ( )2
2
xy f x
x= =
+tr n o n 5; 3é ù- -ê úë û
. f/ ( )3 1
3
xy f x
x
-= =
- tr n o n 0;2é ù
ê úë û.
Đ p số:
a/
( )
( )
khi
khi
0;2
0;2
max 1 0
min 9 2
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
íï = =ïïïïìï = - =ïïïïî
b/
( )
( )
khi
khi
0;2
0;2
max 5 1
min 13 2
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
íï = =ïïïïìï = - =ïïïïî
c/
khi
khi
1;1
1;1
max 4 0
4 2min
9 3
y x
y x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïïìïï = =ïïïî
d/
( )
( )
khi
khi
2;4
2;4
11max 2
2
min 6 3
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
íïï = =ïïïìï = =ïïïïî
e/
( )
( )
khi
khi
5; 3
5; 3
max 8 4
min 9 3
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
- -
- -
íï = - = -ïïïïìï = - = -ïïïïî
f/
( )
( )
= khi
= khi
0;2
0;2
1max 0 03
min 2 5 2
y f x
y f x
é ùê úë û
é ùê úë û
íï = =ïïïìï = - =ïïïî
Bài 2. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau
a/ ( ) 2 3 2y f x x x= = - + tr n o n 10;10é ù-ê úë û. b/
3 23 1y x x= - + tr n o n 2;1é ù-ê úë û.
Đ p số: a/
( ) ( ) ( )
( ) ( )10;10
10;10
min 1 2 0
max 10 132
f x f f
f x f
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = = =ïïïïìï = - =ïïïïî
b/
( )
( )
2;1
2;1
max 19
min 0
f x
g x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï =ïïïìï =ïïïî
Bài 3. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau
a/ 2 2 5y x x= - + trên 1;3é ù-ê úë û
. b/ 21 3 6 9y x x x= + + - + + trên 1;3é ù-ê úë û
.
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
28
c/ 22y x x= + - trên 2; 2
é ù-ê úë û
. d/ 21 2 2 2 4y x x x= + + - + + trên 1;2é ù-ê úë û
.
e/ ( ) 26 4y x x= - + trên 0;3é ùê úë û
. f/ 2
1
1
xy
x
+=
+trên 1;2é ù-ê úë û
.
Đ p số:
a/
( )
( )
khi
khi
1;3
1;3
max 2 2 1; 2
min 2 1
f x x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = = - =ïïïïìï = =ïïïïî
b/
( )
( )
khi
khi
1;3
1;3
max 6 2
min 0 1
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïïìï = = -ïïïïî
c/
( )
( )
khi
khi
2; 2
2; 2
max 2 1
min 2 2
f x x
f x x
é ùê úê úë û
é ùê úê úë û
-
-
íï = =ïïïïïìï = - = -ïïïïïî
d/
( )
( )
khi
khi
1;2
1;2
3 6 3 1 6max 2.
2 2 2
min 0 1
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï + +ïï = + =ïïïìïï = = -ïïïïî
e/
khi
khi
0;3
0;3
max 3 13 3
min 12 0
y x
y x
é ùê úë û
é ùê úë û
íï = - =ïïïïìï = - =ïïïïî
f/
( )
( )
khi
khi
1;2
1;2
max 2 1
min 0 1
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïïìï = = -ïïïïî
Bài 4. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau
a/ 24y x= - b/
24y x x= + - c/ 2 4y x x= + + -
d/ 23 10y x x= + - e/ ( ) 22 4y x x= + - f/
23 2y x x= + -
Đ p số:
a/
( )
( )
khi
khi
2;2
2;2
max 0 2
min 2 0
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = = ±ïïïïìï = =ïïïïî
b/
( )
( )
khi
khi
2;2
2;2
max 2 2 2
min 2 2
f x x
f x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïïìï = - = -ïïïïî
c/
( )
( )
khi
khi
2;4
2;4
max 2 3 1
min 6 2; 4
f x x
f x x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïïìï = = - =ïïïïî
d/
khi
khi
10; 10
10; 10
max 10 3
min 3 10 10
y x
y x
é ùê úê úë û
é ùê úê úë û
-
-
íï = =ïïïïïìï = - = -ïïïïïî
e/
khi
khi
2;2
2;2
max 3 3 1
min 0 2
y x
y x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïìï = = ±ïïïî
f/
khi
khi
1;3
1;3
max 2 1
min 0 1, 3
y x
y x x
é ùê úë û
é ùê úë û
-
-
íï = =ïïïìï = = - =ïïïî
Bài 5. T m GT và GT c a c c hàm s sau
a/ 2 4 3 0;3y x x trên é ù= - + ê úë û. b/ 2 3 2 10;10y x x trên é ù= - + -ê úë û
.
Lo 3
T M GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau
a/ sin 2y x x= - tr n o n ;2 2
p pé ùê ú-ê úë û
. b/ 2 cos2 4siny x x= + tr n o n 0;2
pé ùê úê úë û
.
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
29
c/ 342 sin sin 0;
3y x x trên pé ù= - ê úë û
d) 1 1
0;sin cos 2
y trênx x
pæ ö÷ç ÷= + ç ÷ç ÷çè ø
Đ p số:
a/ khi
;2 2
max2 2
y xp p
p p
é ùê úê úê úê úë û
-
= = - và khi
;2 2
min2 2
y xp p
p p
é ùê úê úê úê úë û
-
= - = .
b/ khi
0;2
max 2 24
y xp
p
é ùê úê úê úê úë û
= = và khi
0;2
min 2 0y xpé ù
ê úê úê úê úë û
= = .
c/ ( )
( )
khi
khi
0,
0,
2 2 3max ,
3 4 4
min 0 0,
f x x x
f x x x
p
p
p p
p
é ùê úë û
é ùê úë û
íïïï = = =ïïìïï = = =ïïïî
Bài 2. T m i tr l n nh t và i tr nh nh t c a c c hàm s sau
a/ 22sin 2sin 1y x x= + - . b/
2cos 2 sin cos 4y x x x= - + .
c/ 4 2cos sin 2y x x= + - . d/ sin 3sin 2y x x= +
e/ 2
sin 1
sin sin 1
xy
x x
+=
+ + f/
cos 2 sin 3
2cos sin 4
x xy
x x
+ +=
- +.
g/ 1
sin cosy
x x=
+. h/ 1 sin 1 cosy x x= + + +
Đ p số:
a/
( )
( )
D
D
khi
khi
1,1
1,1
max max 3 sin 1 22
23 1 6min min sin72 2
26
f t y t x x k
x kf t y t x
x k
pp
pp
pp
é ù =ê úë û
é ù =ê úë û
-
-
íïï = = = = Û = +ïïïï éïï êì = - +ï êï = = - = = - Û êïï êï = +ï êï ëïî
¡
¡
( ), k Î ¢ .
b/
( )
( )
khi
khi
81 1 1 1max sin 2 arcsin
16 4 2 4
7min sin 2 1
2 4 2
f x t x x k
f x t x x k
p
p p
í æ öï ÷ï ç ÷= = = - Û = - +ï ç ÷çï ÷çï è øìïïï = = = Û = +ïïî
( ), k Î ¢ .
c/
khi
khi
max 1 1; 0
5 1min
4 2
y t t
y t
íï = - = =ïïïìï = - =ïïïî
d/ khi
2 2cos arccos
5 5 3 3max3 5 5
sin arccos3 3
x x
y
x x
í íï ïï ï= =ï ïï ïï ï= Ûì ìï ïï ï= =ï ïï ïï ïî î
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
30
e/
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
khi
khi
1;1
1;1
max max 1 sin 0 ,
min min 0 sin 1 2 ,2
t
t
f x f t t x x k k
f x f t t x x k k
p
pp
é ùê úë û
é ùê úë û
Î -
Î -
íï = = = = Û = Îïïïïìï = = = = - Û = - + Îïïïïî
¢
¢
f/
khi
khi
max ( ) 2 2
2 4min ( )
11 3
f t t
f t t
íï = =ïïïìï = = -ïïïî
¡
¡
g/
4
1min
8max 1
y
y
íïï =ïïìïï =ïïî
h/ ( )
( )
max 4 2 2
min 1
f x
f x
íïï = +ïìï =ïïî
¡
¡
BÀI 4
TIỆM CẬN VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
C SỞ LÝ THUYẾT
I T m n ủ đồ t m số
1 Đ n n ĩ
a Đư n th n ox x= ược i là đ n t m n đứn c a ồ th hàm s ( )y f x= n u t nh t m t
tron c c i u ki n sau ược th a m n
2
3
4
1 lim ( )
lim ( )
:lim ( )
lim ( )
o
o
o
o
x x
x x
o
x x
x x
f x
f x
TCÐ x xf x
f x
+
+
-
-
®
®
®
®
é = + ¥êê
= - ¥êê
Þ =ê= + ¥ê
êê = - ¥êë
Đư n th n oy y= ược i là đ n t m n n n c a ồ th hàm s ( )y f x= n u t nh t
tron c c i u ki n sau ược th a m n
2
1 lim ( ):
lim ( )
ox
o
ox
f x yT CN y y
f x y
® + ¥
® - ¥
é =ê
Þ =êê =ë
c Đư n th n ( ) ; 0y ax b a= + ¹ ược i là đ n t m n ên c a ồ th hàm s ( )y f x= n u
t nh t m t tron c c i u ki n sau ược th a m n
( )[ ]
( )[ ]
2
1 lim ( ) 0:
lim ( ) 0
x
x
f x ax bT CX y ax b
f x ax b
® + ¥
® - ¥
üé ï- + = ïê ï Þ = +ýêïê - + = ïïë þ
T m i n
Ti m c n i n
O
U
x
y
Đi m u n
O x
I
y
O
I
x
y
Ti m c n n Ti m c n n an
y
O x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
31
2. L u ý
Trư n hợp ( )
( )( )
P xy f x
Q x= = là hàm s ph n th c hữu t
+ u ( ) 0Q x = c n hi m 0x th ồ th c ti m c n n ox x= ( ox là i m t i hàm s kh n
c nh ox x= là ti m c n n
+ u c [ ]( )P x £ c [ ]( )Q x th ồ th c ti m c n n an
+ u c [ ]( )P x = c [ ]( ) 1Q x + th ồ th c ti m c n i n
+ S ti m c n n c a hàm s ph n th c ( )
( )
P xy
Q x= là s n hi m c a h
( ) 0
( ) 0
Q x
P x
í =ïïïìï ¹ïïî
+ Đồ th c ti m c n n an th kh n c ti m c n i n và n ược l i
Đ c nh c c h s ,a b tron phư n tr nh c a đ n t m n ên ta c th p n c c c n
th c
[ ]
[ ]
( )lim ; lim ( )
( )lim ; lim ( )
x x
x x
f xa b f x ax
x
f xa b f x ax
x
® + ¥ ® + ¥
® - ¥ ® - ¥
éê = = -êêê
= = -êë
u 0a = th T X tr thành T Đ
Th n thư n i v i hàm n
2ax bx cy
dx e
+ +=
+ th ta t m c n i n ằn c ch chia a th c l
ph n n u n là ti m c n i n o limx® ± ¥
ph n ư = 0
Hàm s c a và c n kh n c c c ư n ti m c n
Hàm s 2 ; ( 0)y ax bx c a= + + ¹
+ u 0a < Þ ồ th hàm s kh n c c c ư n ti m c n
+ u 0a > Þ ồ th hàm s c ti m c n i n 2
by a x khi x
a
æ ö÷ç= + ® + ¥÷ç ÷çè ø
và
2
by a x khi x
a
æ ö÷ç= - + ® - ¥÷ç ÷çè ø
.
Đồ th hàm s 2 ; ( 0)y mx n p ax bx c a= + + + + > c ti m c n là ư n th n
2
by mx n p a x
a= + + + .
II – Đ ểm uốn ủ đồ t m số
1. Đ n n ĩ : Đi m ( )( )0 0;I x f x ược i là i m u n c a ồ th hàm s ( )y f x= n u tồn t i m t kho n
( ),a b ch a i m ox sao cho tr n m t tron hai kho n ( ), oa x và ( ),ox b ti p tu n c a ồ th t i i m U nằm v
ph a tr n ồ th c n tr n i m kia ti p tu n nằm ph a ư i ồ th
2. T n ất
u hàm s ( )y f x= c o hàm c p hai tr n m t kho n ch a i m ( ); '' 0o ox f x = và ''( )f x i
u khi x i qua ox th ( )( )0 0;I x f x là m t i m u n c a ồ th hàm s
Đồ th hàm s c a ( ) 3 2( ) ; 0y f x ax bx cx d a= = + + + ¹ lu n c m t i m u n và là t m
i n c a ồ th
DẠNG 1
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. T m c c ti m c n c a c c hàm s sau
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
32
a/ 2 5
1
xy
x
-=
- b/
2
xy
x=
- c/
10 3
1 2
xy
x
+=
- d/
71y
x= -
Bài 2. T m c c ti m c n c a c c hàm s sau
a/
2 4 1
2 1
x xy
x
+ -=
- b/
2 6
1
x xy
x
- +=
- c/
27 4 5
2 3
x xy
x
+ +=
-
d/
3
2
2
2
xy
x x
+=
- e/
3
2 1
xy
x=
- f/
3 2
2
2
1
x xy
x
-=
+
Bài 3. T m c c ti m c n c a c c hàm s sau
a/ 2 3y x= + b/
1
1
xy
x
+=
- c/
2 3y x x= + +
d/ 2
y xx
= + e/
2
1
x xy
x
+=
- f/
3
1
xy
x
+=
+
g/ 2
4 2
9
xy
x
+=
- h/
2
1
4 1y
x x=
- + i/
2 5 1
2
x xy
x
+ +=
+
Bài 4. T m i tr c a tham s m ồ th c a c c hàm s sau c n hai ti m c n n
a/ ( )2 2
3
4 2 2 3 1y
x m x m=
+ + + - b/
( )
2
2
2
3 2 1 4
xy
x m x
+=
+ + +
c/ 2
3
2
xy
x x m
+=
+ + - d/
( )2 2
3
2 2 1
xy
x m x m
-=
+ + + +
Bài 5. T m m ồ th hàm s sau c ti m c n i n
a/ ( )2 3 2 2 1
5
x m x my
x
+ + + -=
+ b/
( )2 2 1 3
2
mx m x my
x
+ + + +=
+
Bài 6. T nh i n t ch c a tam i c t o i ti m c n i n c a ồ th c c hàm s sau chắn tr n hai tr c t a Oxy
a/
23 1
1
x xy
x
+ +=
- b/
23 4
2
x xy
x
- + -=
+ c/
2 7
3
x xy
x
+ -=
-
Bài 7. T m m ti m c n i n c a ồ th c c hàm s sau t o v i c c tr c t a m t tam i c c i n t ch S
ược ch ra
a/
2 1; 8
1
x mxy S
x
+ -= =
- b/
( )2 2 1 2 3; 8
1
x m x xy S
x
+ - - += =
+
Bài 8. h n minh rằn T ch c c kho n c ch t m t i m t kỳ tr n ồ th c a c c hàm s n hai ti m c n
ằn m t hằn s
a)
2 1
1
x xy
x
- +=
- b)
22 5 4
3
x xy
x
+ -=
+ c)
2 7
3
x xy
x
+ -=
-
Bài 9. Đ nh m hàm s c ti m c n n i qua ( )1; 2A - v i 1
2
mxy
x m
-=
+
Bài 10. T m m hàm s
2 1
1
mx mx my
x
- + -=
- c c c tr và kho n c ch t i m c c ti u c a ồ th hàm s
cho n ư n ti m c n i n c a n ằn 12
.
Bài 11. ho hàm s ( )2 22 4 3
1
x m x m my
mx
+ + + - +=
+ T m m kho n c ch t c t a O n ti m c n
i n ho c n an là nh nh t
Bài 12. ho hàm s ( ) ( )
( )
21 1 2 3,
2 m
m x m x my C m
x m
- + + - += " Î
-¡ .
a/ T m m c iữa hai ti m c n c a ồ th ( )mC ằn 50.
b/ T m m ồ th ( )mC c ti m c n i n cắt hai tr c t a t i sao cho Δ O c i n t ch ằn
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
33
DẠNG 2
ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. T m i m u n c a ồ th c c hàm s sau
a/ 3 26 3 2y x x x= - + + b/
3 23 9 9y x x x= - - +
c/ 4 26 3y x x= - + d/
4 22 34xy x= - +
Bài 2. T m i tr c a tham s ,m n ồ th c a hàm s sau c i m u n I ược ch ra
a/ ( ) ( ) ( ) 3 2 81 3 ; 1;33 3
xy m x m x I-= + - + + - b/ ( ) 3 23 3 3 4; 1;2y x x mx m I= - + + +
c/ ( ) 3 2 1; 1,4y mx nx I= + + d/ ( ) 3 2 22; , 33y x mx nx I= - + - -
BÀI 5
KHẢO SÁT SỰ IẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
C ớ o s t s n t ên v v đồ t m số
ớ 1: T m t p c nh c a hàm s
ớ 2: X t s i n thi n c a hàm s
+ T nh 'y
+ T m c c i m t i o hàm ' 0y = ho c kh n c nh
+ T m c c i i h n ti m c n n u c
+ p n i n thi n hi r u c a o hàm chi u i n thi n c c tr c a hàm s
ớ 3: ẽ ồ th hàm s
+ T m i m u n c a ồ th i v i hàm s c a và hàm s tr n phư n
- T nh ''y
- T m c c i m t i '' 0y = và t u ''y
+ ẽ c c ư n ti m c n n u c c a ồ th .
+ X c nh m t s i m c i t c a ồ th như iao i m c a ồ th v i tr c t a tron trư n hợp ồ
th kh n cắt c c tr c t a ho c t m t a iao i m ph c t p th c th qua oài ra ta t m th m m t s
i m thu c ồ th nhằm vẽ h nh ch nh c h n
+ h n t v ồ th h ra tr c i n t m i n n u c c a ồ th
Bài 1. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s c a sau
a/ 3 23 2y x x= - + - b/
32 3y x x= + - c/ 3 23 3 5y x x x= + + +
d/ 3 2 13
xy x x-= + - - e/ 3 1y x x= + + f/
32 2y x x= - - +
g/ ( ) ( )2
1 4y x x= - - h/ ( )2
3y x x= + i/ 3 23 4 2y x x x= - - - +
Bài 2. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s c n sau
a/ 4 22 1y x x= - - b/
4 22 4 5y x x= - + + c/ 4 21
2 12
y x x= + -
d/ 4 2 2y x x= - - + e/ ( ) ( )
2 21 1y x x= - + f/ ( ) ( )
2 22 2y x x= - +
Bài 3. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s nh t i n sau
a/ 1
2
xy
x
+=
+ b/
2 1
1
xy
x
-=
+ c/
2 1
1
xy
x
+=
- d/
2
1
xy
x=
-
Bài 4. h o s t và vẽ ồ th c a c c hàm s hữu t sau
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
34
a/
2 1
1
x xy
x
+ +=
+ b/
2 2
1
x xy
x
+ -=
+ c/
2 2
1
x xy
x
+ +=
- d/
11
1y x
x= - + +
+
BÀI 6
CÁC ÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
D ng 1: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : ( )y f x= t i điểm ( ),o o
M x y :
hương pháp:
ớ 1 hư n tr nh ti p tu n c n :Pttt ( ) ( ) .tt o o
y k x x y= - + * v i ( )'tt o
k f x= .
ớ 2: T nh ( ) ( )' ' 'tt o
y f x k f x= Þ = .
ớ 3: Thay , ,o o tt
x y k vào ( )* Þ hư n tr nh ti p tu n c n t m
D ng 2: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : ( )y f x= i t ti p tu n đi qua điểm
( );M M
M x y cho trước:
hương pháp:
C 1:
ớ 1 G i ( )0 0;N x y là t a ti p i m c a ti p tuy n v i ồ th ( )C
Pttt c n t m i qua i m ( );M M
M x y c n ( )tt M My k x x y= - + ( )*
ớ 2
+ T nh ( )' 'y f x= ( )0'
ttk f xÞ = .
+ Vì ti p tuy n ti p xúc v i ồ th ( )C t i ( )0 0;N x y nên:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0
0 0 0
' 1
' 2
tt
M M
k f x
f x f x x x y
íï =ïïìï = - +ïïî
ớ 3
+ Gi i phư n tr nh ( )2 tìm 0
x sau tha vào phư n tr nh ( )1 t m ược tt
k
+ Thay tt
k vào ( )* ta ược Pttt c n t m
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
35
C 2:
ớ 1 G i Pttt c n :Pttt y ax m= + ( )1
ớ 2: p n i u ki n ti p c ( )
( )
' '
ttC
ttC
y ya
y y
íï =ïï Þìï =ïïî
ớ 3: Do Pttt i qua M n n ta tha t a M vào ( )1 Þ m
D ng 3: i t phương tr nh ti p tu n của đư ng cong ( )C : ( )y f x= i t ti p tu n có hệ số góc tt
k cho
trước:
hương pháp:
ớ 1 G i ( )0 0;N x y là t a ti p i m c a ti p tuy n v i ồ th ( )C
Pttt c n t m t i i m ( )0 0;N x y c n ( )0 0tt
y k x x y= - + ( )*
ớ 2 T nh ( )' 'y f x= ( ) ( ) 0
' 1tt
k f xÞ = .
ớ 3
+ Gi i phư n tr nh ( )1 tìm 0
x sau tha vào ồ th ( )C t m ược 0
y .
+ Thay 0
x , 0
y vào ( )* ta ược Pttt c n t m
L u ý: i t Pttt là t m a thành ph n , ,o o tt
x y k M t s c ch t m h s c tt
k thư n p
u Pttt // ( ): 'tt o o o
y ax b k k a f x x yD
D = + Û = = = Þ Þ .
u ( )1 1
: 'tt o o o
Pttt y ax b k f x x yk a
D
^ D = + Û = - = - = Þ Þ .
u ( ) ( ) ( ), 0 'o o o o o
M x y C Oy x y f x= Ç Þ = ® ® .
u ( ) ( ) ( ), 0 'o o o o o
M x y C Ox y x f x= Ç Þ = ® ® .
u Pttt t o v i chi u ư n Ox m t c a th ( )' t antt o o o
k f x x ya= = Þ Þ
u Pttt t o v i : y ax bD = + m t c a th t an1 .
tt
tt
k a
k aa
-=
+ o ox yÞ Þ .
Bài 1. i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t đ ểm ược ch ra
a/ ( ) 3 2: 3 7 1C y x x= - - + t i i m ( )0;1A . b/ ( ) 4 2: 2 1C y x x= - + t i i m ( )1;0B .
c/ ( )3 4
:2 1
xC y
x
+=
- t i i m ( )1;7C . d/ ( )
2: 1
2 1C y x
x= + -
- t i i m ( )0;3D .
Bài 2. i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t đ ểm ược ch ra
a/ ( )( )3 2
:1
xC y
x
-=
- t i i m A c tun ằn 4 .
b/ ( )1
:2
xC y
x
+=
-t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành tr c tun
c/ ( ) 3: 3 1C y x x= - + t i i m u n c a ồ th ( )C .
d/ ( ) 4 21 9: 2
4 4C y x x= - -
t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
36
e/ ( )2 3 3
:2
x xC y
x
- +=
- t i i m B c hoàn là 4 .
f/ ( ) 2: 2 2 1C y x x= - + t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành tr c tun
Bài 3. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t rằn D ó số ó k ược ch ra
a/ ( ) 3 2: 2 2 5 ; 12C y x x k= - + = b/ ( ) 2 1
: ; 32
xC y k
x
-= = -
-
c/ ( ) 2 3 4
: ; 11
x xC y k
x
- += = -
- d/ ( ) 2: 4 3 ; 2C y x x k= - + =
Bài 4. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t rằn D song song v i ư n th n d cho trư c
a/ ( ) 3
2: 2 3 1 & : 3 23
xC y x x d y x= - + + = + .
b/ ( ) 2 1 3
: & : 22 4
xC y d y x
x
-= = - +
-.
c/ ( ) 4 21 3: 3 & : 4 2015 0
2 2C y x x d x y= - + + - = .
d/ ( ) 2 2 3
: & : 2 2016 04 6
x xC y d x y
x
- -= + - =
+.
Bài 5. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t rằn D vu n ó v i ư n th n d cho trư c
a/ ( ) 3
2: 2 3 1 & : 8 999 03
xC y x x d x y= - + + + - = .
b/ ( ) 2 1
: &2
xC y
x
-=
- ư n th n d là ư n ph n i c c ph n tư th nh t c a h tr c O .
c/ ( ) 2 3
: & : 3 20151
xC y d y x
x
+= = - +
+.
d/ ( ) 2 1
: & : 22
x xC y d y x
x
+ -= = -
+.
Bài 6. i t phư n tr nh ti p tu n c a( )C t o đ ểm c a( )C v i c c ư n ược ch ra
a/ ( ) 3 2: 2 3 9 4 & : 7 4C y x x x d y x= - + - = + .
b/ ( ) 3 2 2: 2 3 9 4 & : 8 3C y x x x d y x x= - + - = - + - .
c/ ( ) ( ) 3 2 3 2: 2 3 9 4 & ' : 4 6 7C y x x x C y x x x= - + - = - + - .
Bài 7. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t D đ qu đ ểm ược ch ra
a/ ( ) ( ) 3: 3 2 ; 2;4C y x x A= - + - b/ ( ) ( ) 3: 3 1 ; 1; 6C y x x B= - + -
c/ ( ) ( ) ( ) 2
2: 2 ; 0;4C y x C= - d/ ( ) 4 21 3 3: 3 ; 0;
2 2 2C y x x D
æ ö÷ç ÷= - + ç ÷ç ÷çè ø
e/ ( ) ( ) 2
: ; 6;52
xC y E
x
+= -
- f/ ( ) ( )
3 4: ; 2;3
1
xC y F
x
+=
-
g/ ( ) ( ) 2 3 3
: ; 1;02
x xC y G
x
- +=
- h/ ( ) ( )
2 2: ; 2;2
1
x xC y H
x
- +=
-
Bài 8. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t D t o vớ ều n trụ o n Ox m t ó a :
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
37
a/ ( ) 3
2: 2 4 ; 603
oxC y x x a= - + - = . b/ ( )
32: 2 4 ; 75
3
oxC y x x a= - + - = .
c/ ( ) 3 2
: ; 451
oxC y
xa
-= =
-
Bài 9. i t phư n tr nh ti p tu nD c a ( )C i t D t o vớ đ n t n d m t ó a :
a/ ( ) 3
2: 2 4 & : 3 7 ; 453
oxC y x x d y x a= - + - = + = .
b/ ( ) 3
2 1: 2 4 & : 3 ; 30
3 2
oxC y x x d y x a= - + - = - + = .
c/ ( ) 4 3
: & : 3 ; 451
oxC y d y x
xa
-= = =
-.
d/ ( ) 3 7
: & : 0 ; 605 2
oxC y d x y
xa
-= + = =
-.
e/ ( ) 2 3
: & : 1 ; 602
ox xC y d y x
xa
- += = - + =
-.
Bài 10. T nh i n t ch tam i c chắn hai tr c t a i ti p tu n c a ồ th ( )C t i i m ược ch ra
a/ ( )5 11
:2 3
xC y
x
+=
- t i i m A c hoành là 2
Ax = .
b/ ( ) 2: 27 26C y x x= - + t i i m B c 2B
x = .
Bài 11. T m m ti p tu n c a ồ th ( )C t i i m ược ch ra chắn hai tr c t a m t tam i c c i n t ch
S cho trư c
a/ ( )2
:1
x mC y
x
+=
- t i i m A c 2
Ax = và
1
2S = .
b/ ( )3
:2
x mC y
x
-=
+ t i i m B c 1
Bx = - và
9
2S = .
c/ ( ) ( )3: 1 1C x m x+ - + t i i m C c 0C
x = và 8S = .
BÀI TOÁN 2
IỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯ NG TR NH ẰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. ho hàm s 3 23 1y x x= + + ( )C
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
n ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 23 0x x m+ + = .
Bài 2. ho hàm s 3 3y x x= - + ( )C
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
i i tr nào c a m th phư n tr nh 3
2
23 0
1
mx x
m- + =
+ c n hi m th c ph n i t
Bài 3. ho hàm s ( ) 3 3 1y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
a vào ồ th ( )C i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 23 2 2 0x x m m- - - - =
Bài 4. ho hàm s 3 21 3
54 2
y x x= - +
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
38
a h o s t và vẽ ồ th c a hàm s cho
T m m phư n tr nh 3 26 0x x m- + = c n hi m th c ph n i t
Bài 5. ho hàm s 3 23 2y x x= + - ( )C
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
S n ồ th i n lu n th o tham s m s n hi m c a phư n tr nh 3( 1) 3 3 0x m x+ - + - = .
Bài 6. ho hàm s ( ) 4 28 10y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s
a vào i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 4 8 0x x m- - = .
c i t phư n tr nh ư n th n i qua hai i m c c ti u c a
Bài 7. ho hàm s 3 21 9
33 2
y x x x= + - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th c a hàm s
T m k phư n tr nh 3 22 6 18 0x x x k+ - - = c n hi m ph n i t
c i t phư n tr nh ti p tu n c a i t ti p tu n vu n c v i ư n th n 1
25
y x= - + .
Bài 8. ho hàm s ( ) 3 21 2
3 3y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
a vào ( )C i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 3 23 0x x m- + = .
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C i t ti p tu n c h s c ằng 3.
Bài 9. ho hàm s ( ) 3 212 3 1
3y x x x C= - + - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
a vào ( )C i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 3 26 9 0x x x m- + + = .
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun
Bài 10. ho hàm s ( ) 3 2 7
23 2 3
x xy x C= - - + +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m phư n tr nh 3 22 3 12 0x x x m+ - + = c n m t n hi m
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C i t ti p tu n son son v i ư n th n : 4 1 0x yD + - =
Bài 11. ho hàm s ( ) 3 2( ) 2 9 12 4y f x x x x C= = - + -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m phư n tr nh 3 22 9 12x x x m- + = c n m t n hi m ư n
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i i m là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 0f x = .
Bài 12. ho hàm s ( ) 32 6 1y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
a vào ( )C i n lu n th o m s iao i m c a ( )C và ư n th n :2
md y = .
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i i m c hoành ằn 3- .
Bài 13. ho hàm s ( ) 3 22 3 1y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m phư n tr nh 3 22 3 0x x m- - = c a n hi m ph n i t
c X c nh t a c c iao i m c a ( )C và ư n th n 2 1y x= + .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
39
Bài 14. ho hàm s ( ) ( ) 4
22 12
xy x C= - -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s
a vào i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 4 24 0x x m- - = .
c i t phư n tr nh ti p tu n c a t i i m ( ) ( );2A a CÎ v i 0a > .
Bài 15. ho hàm s ( ) 4 21 92
4 4y x x C= - + +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s
a vào ( )C t m m phư n tr nh 4 28 0x x m- + = c n n hi m th c ph n i t
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C và tr c hoành
Bài 16. ho hàm s ( ) 4 2 2y x x C= + -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m phư n tr nh 4 2 0x x m+ + = c hai n hi m th c ph n i t
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C i t ti p tu n vu n c v i ư n th n 6 1 0x y+ - = .
Bài 17. ho hàm s ( ) 4 22 4y x x C= -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m phư n tr nh 4 22 0x x m- + = c a n hi m ph n i t
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành i t iao i m c hoành
là m t s m
Bài 18. ho hàm s ( ) 4
22 14
xy x C= - + -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
a vào ( )C t m m phư n tr nh 4 28 0x x m- + = v n hi m
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i i m c hoành 2x = - .
Bài 19. ho hàm s ( ) 4 24 1y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m phư n tr nh 4 24 0x x m- + = c n hi m th c ph n i t
c X c nh t a c c iao i m c a ( )C và ư n th n 1y = i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i
c c iao i m
Bài 20. ho hàm s ( ) 3 2
2 1
xy C
x
+=
-
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
i n lu n th o m s n hi m c a phư n tr nh 3 2
12 1
xm
x
+= +
-.
c i t phư n tr nh ti p tu n c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành
T m c c i m tr n ( )C c ch u hai tr c t a
BÀI TOÁN 3
GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho ( ) ( ) 1 2: ( ), : ( )C y f x C y g x= =
hư n tr nh hoành iao i m c a ( )1C và ( )2C là ( ) ( ) ( )f x g x= *
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
40
Đ ( )1C cắt ( )2C t i n i m ph n i t Û phư n tr nh hoành iao i m phư n tr nh( )* ] c n
n hi m ph n i t
Lưu ý 1: u m t tron hai ồ th tr n c n hữu t và c TXĐ { }\D a= ¡ hi ( )1C cắt ( )2C t i
n i m ph n i t Û phư n tr nh hoành iao i m phư n tr nh( )* ] c n n hi m ph n i t a¹ .
Lưu ý 2: Đ nh l i t i v i phư n tr nh c a ( )3 2 0, 0ax bx cx d a+ + + = ¹
u phư n tr nh c a n ( )3 2 0, 0ax bx cx d a+ + + = ¹ c a n hi m ph n i t 1 2 3, ,x x x th :
( ) ( )
1 2 3
22 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3
2
bx x x
ac
x x x x x x x x x x x x x x x x x xa
dx x x
a
íïï + + = -ïïïïïï + + = Þ + + = + + - + +ìïïïïï = -ïïïî
Lưu ý 3: X m l i ph n Ôn t p phư n tr nh i s
Lưu ý 4: T m tham s ồ th hàm s c a n ( ) ( ) 3 2y f x ax bx cx d C= = + + + cắt tr c hoành Ox
t i n i m ph n i t (P n p p tr )
c phư n tr nh hoành iao i m ( ) 3 2 0ax bx cx d+ + + = *
Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t ( )Û * c n hi m ph n i t ( )
. 0CÐ CT
y f x
y y
íï =ïïÛ ìï <ïïî
Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t ( )Û * c n hi m ph n i t ( )
. 0CÐ CT
y f x
y y
íï =ïïÛ ìï =ïïî
l c nà ồ th ( )C ti p c v i tr c hoành Ox )
Đ ( )C cắt Ox t i i m u nh t ( )Û * ch c n hi m
( )( )
. 0CÐ CT
y f x
y f x
y y
é =êêíïÛ =êïïêìï >êïïîë
Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t c hoành ư n ( )Û * c n hi m ư n ph n i t:
( )
( ) ( )
. 0
0, 0
. 0 0 . 0
CÐ CT
CÐ CT
y f x
y y
x x
a f hay a d
íï =ïïï <ïïÛ ìï > >ïïï < <ïïî
Đ ( )C cắt Ox t i i m ph n i t c hoành m ( )Û * c n hi m m ph n i t:
( )
( ) ( )
. 0
0, 0
. 0 0 . 0
CÐ CT
CÐ CT
y f x
y y
x x
a f hay a d
íï =ïïï <ïïÛ ìï < <ïïï > >ïïî
H c sinh t vẽ h nh
c c c tr
c c c tr
c c c tr
kh n c c c tr
c c c tr .
c c c tr
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
41
Lưu ý 5: T m tham s ồ th hàm s c n tr n phư n ( ) 4 2y ax bx c C= + + cắt tr c hoành Ox t i
i m ph n i t l p thành c p s c n c ch u nhau
hư n tr nh hoành iao i m ( ) 4 2 0 1ax bx c+ + =
Đ t 2 0t x= ³ c ( ) ( ) 21 0 2at bt cÛ + + =
Đ ( )C cắt tr c hoành Ox t i i m ph n i t ( )1Û c n hi m ph n i t ( )2Û c hai n hi m
ph n i t ư n 1 2
0
0 0
0
t t S
P
íïD >ïïïÛ < < Û >ìïï >ïïî
Þ tham s ( )3
G i 1 2,t t là hai n hi m ph n i t c a ( )2 c n hi m ph n i t c a ( )1 là
2 1 1 2, , ,t t t t- -
n n sắp p th o th t t n l n
o n hi m nà l p thành c p s c n ha c ch u 1 2 1 1 2
2 9t t t t tÛ - + = Û = t hợp
nh l i t ta t m ược tham s So v i ( )3 Þ i tr tham s th a u c u ài to n
HÀM SỐ ẬC 3
( ) 3 2y f x ax bx cx d= = + + +
Bài 1. ho hàm s ( ) 3 3 2y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
G i d là ư n th n i qua i m ( )3,20A và c h s c m T m m ư n th n d cắt ( )C t i a
i m ph n i t
ĐS: 15
4m > và 24m ¹
Bài 2. ho hàm s ( ) 3 26 9 1y x x x C= - + -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
G i d là ư n th n i qua i m ( )2,1A và c h s c m T m tham s m ư n th n d cắt ồ th
( )C t i a i m ph n i t
ĐS: 3m > -
Bài 3. ho hàm s ( ) 3 23 4y x x C= - +
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
h n minh rằn m i ư n th n i qua i m ( )1,2I v i h s c ( ) 3k k > - u cắt ồ th hàm s
( )C t i a i m ph n i t I ồn th i I là trun i m c a o n th n
Bài 4. ho hàm s ( ) ( ) 3 22 1 1y x x m x m= - + - + Tr ch thi ĐH kh i – 2010)
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m ồ th hàm s ( )1 cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành 1 2 3, ,x x x th a m n i u ki n
2 2 2
1 2 3 4x x x+ + < .
ĐS: 1
1 04
m m- < < Ü ¹
Bài 5. Cho ( ) 3 21 2:
3 3mC y x mx x m= - - + + T m m ( )mC cắt tr c hoành t i a i m ph n i t c
hoành 1 2 3, ,x x x và th a m n i u ki n 2 2 2
1 2 3 15x x x+ + >
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
42
ĐS: 1m >
Bài 6. ho hàm s ( )3 22 3 1 2y x mx m x= + + - + c ồ th là ( )mC i m ( )3,1M ư n th n d c
phư n tr nh 2 0x y+ - = T m c c i tr c a m ư n th n d cắt ( )mC t i i m ( )0, 2 , ,A B C sao cho
tam i c M c i n t ch ằn 2 6
ĐS: 2 5m m= - Ú =
Bài 7. Tìm m ồ th hàm s ( )3 23 2 2y x x m x m= + + + + cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành
m
ĐS: 1
04
m< <
Bài 8. Tìm m ồ th hàm s ( ) ( ) ( )3 2 21 2 3 2 2 2 1y x m x m m x m m= - + - - + + - cắt tr c hoành t i
i m ph n i t tron c hai i m c hoành m
ĐS: 1 1
02 3
m m< < Ü ¹
Bài 9. ho hàm s ( ) 3 23y x x C= -
a h o s t và vẽ ồ th hàm s
G i d là ư n th n qua ( )1; 2A - và c h s c là m i n lu n th o m v tr tư n i iữa ư n
th n d và ồ th ( )C .
Bài 10. ho hàm s 3 2 23( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= - + + + + - + ( )
mC . Đ nh i tr c a m
hàm s cắtOx t i i m ph n i t c hoành u l n h n
Bài 11. ho hàm s 3 2 2 33 3( 1) 1y x mx m x m= - + - - -
a h o s t và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .
T m m cắtOx t i i m ph n i t
Bài 12. ho hàm s 3 23 2y x x= - +
a h o s t và vẽ ồ th hàm s
Đ nh m ( 1) 2y m x= + - cắt ồ th t i i m sao cho = 2 2 v i ( )1; 2A - -
Bài 13. ho hàm s 3 21
(3 2)3
my x mx m x
-= + + -
( )
mC
a h o s t khi 2m = .
T m m ồ th ( )m
C cắtOx t i i m ph n i t
Bài 14. ho hàm s
3
33
xy x= - + ( )C và ư n th n : ( 3)d y m x= -
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m ( )C và d c iao i m v i c nh và OA OC^ , 42BC =
Bài 15. ho hàm s 3 23 2 4 4y x x mx m= - + + - ( )
mC
a h o s t khi 1m = .
T mm ( )m
C cắtOx t i i m ph n i t c hoành u l n h n 2- .
c T mm ( )m
C cắtOx t i i m ph n i t c hoành c ch u nhau
T mm ( )m
C cắt 2y mx= + t i i m c ch u nhau
Bài 16. T m tham s m ồ th c a c c hàm s
a/ 3 23 6 8y x mx mx= - + - cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành l p thành c p s c n
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
43
b/ 3 23 9 1 ; 4y x x x y x m= - - + = + cắt nhau t i i m v i là trun i m c a
c/ ( )4 2 22 4y x m x m= - + + cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành l p thành c p s c n
d/ ( ) ( )3 21 1 2 1y x m x m x m= - + - - + - cắt tr c hoành t i i m ph n i t c hoành l p thành
c p s nh n
e/ ( )3 23 2 1 9 192y x m x mx= + + + + cắt tr c hoành t i i m ph n i t l p thành c p s nh n
Bài 17. T m tham s m c c phư n tr nh sau ch c n n hi m
a/ ( )3 22 3 1 6 2 0x m x mx- + + - = b/ ( )3 23 3 1 1 3 0x x m x m- + - + + =
c/ ( )3 22 3 6 1 3 12 0x mx m x m- + - - + = d/ ( )3 26 3 4 4 8 0x x m x m- - - + - =
e/ ( ) ( )3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m+ - + - + - = f/ 3 3 2 0x mx m- + =
Bài 18. T m tham s m c c phư n tr nh sau ch c n hi m
a/ ( ) ( ) ( )3 2 21 2 3 2 2 2 1 0x m x m m x m m- + - - + + - = b/ 3 3 2 0x mx m- + =
c/ ( ) ( ) ( )3 22 1 3 1 1 0x m x m x m- + + + - + = d/ ( )3 23 3 1 1 3 0x x m x m- + - + + =
Bài 19. T m tham s m phư n tr nh sau c n hi m ph n i t
a/ ( ) ( )3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m- + - - - = b/ ( )3 26 3 4 4 8 0x x m x x- - - + - =
c/ ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2 0x m x m x m+ - + - + - = d/ 31
03
x x m- + =
Bài 20. T m tham s m c c phư n tr nh sau c n hi m ư n ph n i t
a/ ( ) ( )3 2 2 22 3 3 1 1 0x mx m x m- + - - - = b/ ( )3 26 3 4 4 8 0x x m x m- - - + - =
c/ 3 21 5 7
4 03 2 6
x x x m- + + + = d/ ( )3 2 2 1 2 0x mx m x m- + + - - =
Bài 21. T m tham s m c c phư n tr nh sau c n hi m m ph n i t
a/ ( ) ( )3 22 3 1 6 2 2 0x m x m x m+ - + - + - = b/ ( ) ( )3 2 2 23 3 1 1 0x mx m x m- + - - - =
c/ 3 23 9 0x x x m+ - + = d/
3 2 18 2 0x x mx m- + - =
HÀM SỐ TRÙNG PHƯ NG
( ) 4 2y f x ax bx c= = + +
Bài 1. ho hàm s ( )4 23 2 3y x m x m= - + + c ồ th là ( )mC
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .
b/ Tìm m ư n th n 1y = - cắt ( )mC t i i m ph n i t u c hoành nh h n
ĐS: 1
1, 03
m m- < < ¹
Bài 2. ho ồ th hàm s ( ) ( ) 4 2 22 2 5 5 1y x m x m m= + - + - +
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 1m =
T m tham s m ồ th hàm s ( )1 cắt tr c hoành t i i m ph n i t
ĐS: 5 5
12
m-
< <
Bài 3. ho ồ th hàm s ( ) ( ) 4 21 3 1y x m x= + - -
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )1 khi 1m = -
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
44
T m tham s m ư n th ng 4y = - cắt ồ th hàm s ( )1 t i i m ph n i t
Bài 4. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + ( )
mC
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 5m = .
Đ nh m hàm s ( )m
C c c c tr
c Đ nh m ( )m
C cắt tr c hoành t i i m ph n i t
Bài 5. ho hàm s 4 22( 1) 2y x m x m= - + + ( )
mC
a h o s t và vẽ ồ th hàm s khi 2m = .
Đ nh m ( )m
C cắt tr c hoành t i i m ph n i t
c Đ nh m ( )m
C cắt ư n th n 2y = t i i m ph n i t
Bài 6. ho hàm s 4 22 1 4y mx x m= - + - ( )
mC
a h o s t và vẽ ồ th hàm s khi 1
2m = .
b/ Đ nh m hàm s ( )m
C c c c tr
c Đ nh m ( )m
C cắt ư n th n 3y = - t i i m ph n i t
Bài 7. ho hàm s 4 22( 1) 4y x m x= + + + ( )
mC
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 0m = .
Đ nhm ( )m
C cắt Ox t i i m ph n i t mà c hoành l p thành c p s c n i m c ch u
c Đ nhm ( )m
C cắt Ox t i i m ph n i t mà c hoành u l n h n 2- .
Bài 8. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + ( )
mC
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 1m =
i n lu n th o m s c c tr c a hàm s
c Đ nh m ( )m
C cắtOx t i i m ph n i t mà c hoành l p thành c p s c n
Bài 9. ho hàm s 4 210 9y x mx m= - + ( )
mC
a h o s t khi 1m = .
T m m ( )m
C cắt Ox t i i m ph n i t c hoành c ch u nhau
Bài 10. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - ( )
mC
a h o s t khi và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .
T m m ( )m
C c i m c c tr l p thành tam i c vu n c n
c T m m ( )m
C cắt Ox t i i m c ch u nhau
HÀM SỐ NHẤT IẾN
( )ax b
y f xcx d
+= =
+
Bài 1. ho hàm s ( ) 1
xy C
x=
-
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
45
T m m ư n th n :d y x m= - + cắt ồ th ( )C t i hai i m ph n i t
ĐS: ( ) ( ) / , 0 4,b m Î - ¥ È + ¥
Bài 2. ho hàm s ( ) 3 2
1
xy C
x
-=
-
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m sao cho tr n ồ th ( )C c hai i m ( ) ( ), , ,A A B BA x y B x y kh c nhau và th a i u ki n
2
2
A A
B B
mx y
mx y
í - = -ïïìï - = -ïî
ĐS: ( ) ( ) { }, 6 2 5 6 2 5, \ 0m Î - ¥ - - È - + + ¥
Bài 3. ho hàm s ( ) 2
1
xy C
x
+=
+
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
G i d là ư n th n i qua i m ( )1, 3M - và c h s c m T m m d cắt ( )C t i hai i m ph n
i t
Bài 4. T m m ư n th n 3y mx= + cắt ( )2 1
:1
xC y
x
+=
- t i hai i m ph n i t sao cho tam i c
vu n t i O
ĐS: 3 5m = ±
Bài 5. ho hàm s 2 1
1
xy
x
-=
+ c ồ th ( )C G i D là ư n th n i qua i m ( )2, 0I và c h s c m
T m tham s m D cắt ( )C t i i m ph n i t sao cho I là trun i m c a o n th n
ĐS: 2
3m =
Bài 6. h n minh rằn ư n th n 1
:2
d y x m= - lu n cắt ồ th hàm s ( )3
:2
xC y
x
+=
+ t i hai i m
ph n i t T m tham s m n ắn nh t
ĐS: min 10 2AB khi m= = -
Bài 7. ho hàm s ( ) 2 1
1
xy C
x
+=
+
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m tham s m ư n th n 2y x m= - + cắt ồ th ( )C t i hai i m ph n i t sao cho tam
i c O c i n t ch ằn 3 v i O là c t a
ĐS: 2m = ±
Bài 8. ho hàm s 2 2
1
xy
x
+=
+ ( )C
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
G i d là ư n th n qua ( )2;2A c h s c là k Đ nh k d cắt ( )C t i i m ph n i t
Bài 9. ho hàm s ( ) 1
2
xy C
x
-=
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m ư n th n 1 1
:2 2
d y m xæ ö
÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷çè ø cắt ( )C t i i m ph n i t
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
46
Bài 10. ho hàm s ( ) 2
11
y Cx
= -+
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
T m m ư n th n :d y x m= - cắt ( )C t i i m ph n i t
Bài 11. ho hàm s 3
21
yx
= -+
( )C
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
M ư n th n :2
xd y m= - + lu n cắt ( )C t i i m ph n i t
Bài 12. ho hàm s 3 23 9 2y x x x= - + + + ( )C
a h o s t s i n thi n và vẽ ồ th hàm s ( )C .
G i A là i m tr n ( )C c 2A
x = và d là ư n th n qua A c h s c k T mk cắt ( )C t i
i m ph n i t
Bài 13. ho hàm s
32 4
3
xy x= - - + ( )C
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
Đ nh m : 4 3 0d mx y m- + + = cắt ( )C t i i m ph n i t
Bài 14. ho hàm s 3 1y x mx m= - + + - ( )
mC
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 3m = .
Đ nh m ( )m
C cắt tr c hoành t i i m ph n i t
Bài 15. ho hàm s 3 22 3 2y x x mx m= + - + -
a h o s t và vẽ ồ th hàm s khi 1m = .
Đ nh m ( )m
C cắt tr c hoành t i i m ph n i t
Bài 16. ho hàm s ( )3 24 4y x m x x m= - + - + ( )C
a h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C khi 0m = .
Đ nh k ( )C cắt ư n th n y kx= t i i m ph n i t
Bài 17. ho hàm s 3
1
xy
x
+=
+
a h o s t và vẽ ồ th hàm s
b/ CMR 2y x m= + lu n cắt( )C t i i m ph n i t M và
c T m m min
MN
Bài 18. ho hàm s 2
2
xy
x
+=
- ( )C
a/ CMR d : y x m= + lu n cắt( )C t i i m và thu c nh nh kh c nhau c a ồ th
T mm OPQD vu n t i O
c/ T mm min
PQ
T mm 14PQ =
HÀM SỐ HỮU TỈ ẬC 2
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
47
( )2ax bx c
y f xdx e
+ += =
+
Bài 1. T m c c i tr c a tham s m ư n th n y x m= - + cắt ồ th hàm s
2 1xy
x
-= t i hai i m
ph n i t sao cho =
ĐS: 2 6m = ±
Bài 2. T m m ư n th n :d y m= cắt ( )( )
2 3 3:
2 1
x xC y
x
- + -=
- t i hai i m sao cho =
ĐS: 1 5
2m
±=
Bài 3. T m tham s m ồ th hàm s ( )2
:1
m
mx x mC y
x
+ +=
- cắt tr c hoành t i hai i m ph n i t và hai
i m c hoành ư n
ĐS: 1
02
m- < <
Bài 4. T m tham s m ư n th n 2y x m= - + cắt ồ th hàm s
2 1x xy
x
+ -= t i hai i m ph n i t
sao cho trun i m c a o n th n thu c tr c tun
ĐS: 1m =
Bài 5. h n minh rằn ư n th n : 3d y x m= + lu n cắt ồ th hàm s ( )4
:C y xx
= + t i hai i m
ph n i t G i I là trun i m c a o n th n t m tham s m I nằm tr n ư n th n
' : 2 3d y x= + .
ĐS: 4m =
Bài 6. ho hàm s
2 1
1
x mxy
x
+ -=
- ( )
mC
a h o s t khi 2m = .
T m m ( ) :d y m= cắt ( )m
C t i i m sao cho OA OB^ .
c T m m ( ) : 2 1y xD = - cắt ( )m
C t i i m thu c nh nh kh c nhau c a ồ th
T m m ( ) : 2 1y xD = - cắt ( )m
C t i i m thu c c n m t nh nh c a ồ th
BÀI TOÁN 4
CÁC ÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
T m đ ều n để đ n t p n u
a) Đi u ki n c n và hai ư n ( ) ( )1:C y f x= và( ) ( )2
:C y g x= ti p c nhau là h phư n tr nh
( ) ( )( ) ( )
( ) ' '
f x g x
f x g x
íï =ïï *ìï =ïïî
c n hi m hi m c a h ( )* là hoành c a ti p i m c a hai ư n
b) u ( )1:C y px q= + và( ) 2
2:C y ax bx c= + + th ( )1
C ti p c v i ( )2C Û phư n tr nh
2ax bx c px q+ + = + c n hi m k p
Bài 1. T m i u ki n c a tham s m hai ư n ( )1C và( )2
C ti p c nhau
a/ ( ) ( ) ( ) 3 2
1 2: 3 2 & :C y x m x mx C= + + + + tr c hoành
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
48
b/ ( ) ( ) ( ) 3 2
1 2: 2 1 & :C y x x m x m C= - - - + tr c hoành.
c/ ( ) ( ) ( ) 3
1 2: 1 1 & : 1C y x m x C y x= + + + = + .
d/ ( ) ( ) 3 2
1 2: 2 2 1 & :C y x x x C y x m= + + - = + .
Bài 2. T m i u ki n c a tham s m hai ư n ( )1C và( )2
C ti p c nhau
a/ ( ) ( ) 4 2 2
1 2: 2 1 & : 2C y x x C y mx m= + + = +
b/ ( ) ( ) 4 2 2
1 2: 1 & :C y x x C y x m= - + - = - +
c/ ( ) ( ) 4 2 2
1 2
1 9: 2 & :
4 4C y x x C y x m= - + + = - +
d/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
2
1 2: 1 1 & : 2C y x x C y x m= + - = +
e/ ( )( )
( )
2
1 2
2 1: & :
1
m x mC y C y x
x
- -= =
-
f/ ( ) ( ) 2
2
1 2
1: & :
1
x xC y C y x m
x
- += = +
-
L p p n tr n t p tu n un ủ đồ t ( ) ( )1:C y f x= v ( ) ( )2
:C y g x=
a/ G i : y ax bD = + là ti p tu n chun c a ( )1C và( )2
C v i u là hoành ti p i m c a D và( )1C , v là
hoành ti p i m c aD và( )2C .
+ D ti p c v i ( )1C và ( )2
C khi và ch khi h
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1
' 2
3
' 4
f u au b
f u a
g v av b
g v a
íï = +ïïïï =ïìï = +ïïï =ïïî
c n hi m
+ T ( )2 và( )4 Þ ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 5f u g v u h v= Þ =
+ Th a t ( )2 vào( )1 ( ) ( ) 6b uj=
+ Th ( ) ( ) ( )2 , 5 , 6 vào( )3 v a u bÞ Þ Þ Þ T vi t ược phư n tr nhD .
b/ u ( )1C và ( )2
C ti p c nhau t i i m c hoành o
x th m t ti p chun c a ( )1C và ( )2
C cũn là ti p
tu n c a( )1C và ( )2
C t i i m
Bài 3. H vi t phư n tr nh ti p tu n chun c a hai ồ th
a/ ( ) ( ) 2 2
1 2: 5 6 & : 5 11C y x x C y x x= - + = - + -
b/ ( ) ( ) 2 2
1 2: 5 6 & : 14C y x x C y x x= - + = - - -
c/ ( ) ( ) 2 3
1 2: 5 6 & : 3 10C y x x C y x x= - + = + -
ÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯ NG 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. ho hàm s 1
2
mxy
x m
-=
+
a h n minh rằng m" Î ¡ hàm s lu n lu n ồn i n tr n m i kho n c nh c a n
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
49
Đ nhm ư n ti m c n n c a ồ th i qua i m ( )1; 2A -
c Đ nhm ư n ti m c n n an c a ồ th c phư n tr nh 5y = -
h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 2m =
i t TTT c a( )C t i M tr n ( )C c 2M
x = -
f i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành
i t TTT c a ( )C c h s c ằn 1
6
h i t TTT c a ( )C i t ti p tu n son son : 6 1d y x= -
i i t TTT c a ( )C i t ti p tu n vu n c : 24 7 0x yD + - =
j i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua i m ( )1;3B -
Bài 2. ho hàm s ( )1 2 1
1
m x my
x
+ - +=
-
a Đ nhm hàm s hàm s lu n n h ch i n tr n m i kho n c nh
Đ nhm ư n ti m c n n an c a ồ th i qua ( )3; 6A -
c Đ nhm ồ th cắt tr c tun t i i m c tun ằn
h o s t và vẽ ồ th ( )C c a hàm s khi 0m =
e/ Vi t TTT c a( )C t i tr n ( )C c tun là
f i t TTT c a( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun
i t TTT c a( )C c h s c ằn 1
2-
h i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 2 3d y x= - +
i i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 8 1 0x yD - + =
j i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua i m ( )2;0C
Bài 3. ho hàm s 2
1
xy
x m
-=
+ -
a/ T mm hàm s lu n ồn i n tr n m i kho n c nh
b/ T mm ư n ti m c n n c a ồ th là 5x = - .
c/ T mm ồ th cắt tr c hoành t i i m c hoành ằn 3- .
d/ h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 2m = .
e/ i t TTT c a ( )C t i A trên ( )C c tun là
f/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun
g/ i t TTT c a ( )C c h s c ằn 1
3
h/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 3d y x=
i/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 9 4 0x yD + - =
j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )3; 1B -
Bài 4. ho hàm s 3 2 1y x ax bx= + + +
a/ T m a và ồ th hàm s qua i m ( )1,2A và ( )2, 1B - -
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
50
b/ h o s t và vẽ ồ th ( )C v i 1a = và 1b = - .
c/ i t TTT c a ( )C t i i m M trên ( )C c hoành là 1- .
d/ i t TTT c a( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun
e/ i t TTT c a ( )C c h s c ằn 1- .
f/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 4 7d y x= -
g/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 20 0x yD + =
h/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )2,2C
Bài 5. ho hàm s ( )3 23 1y x m x m= + + + - ( )mC
a/ Đ nh m hàm s c i m c c i là 1x = - .
b/ Đ nh m m cắt tr c hoành t i i m c hoành ằn 2- .
c/ Đ nh m m cắt tr c tun t i i m c tun ằn
d/ h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C v i 0m = .
e/ i t TTT c a ( )C t i i mA trên ( )C c tun ằn
f/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun
g/ i t TTT c a ( )C c h s c ằn 0
h/ i t TTT c a ( )C và ti p tu n son son v i ư n th n : 9 8d y x= -
i/ i t TTT c a ( )C và ti p tu n vu n c v i ư n th n : 3 2 0x yD - - =
j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )4,5C
Bài 6. ho hàm s ( )3 211 ( 1) 4
3y x m x m x= - + - + + - ( )m
C
a/ Đ nhm hàm s c i m c c ti u là 3x = - .
b/ Đ nhm ( )mC cắt tr c hoành t i i m c hoành ằn
c/ h n minh rằn hàm s lu n c c c tr
d/ h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 0m = .
e/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c tun
f/ i t TTT c a( )C t i tr n( )C c hoành ằn 3- .
g/ i t TTT c a( )C c h s c ằn
h/ i t TTT c a( )C và ti p tu n son son v i ư n th n : 5 2d y x= - +
i/ i t TTT c a ( )C và ti p tu n vu n c v i ư n th n : 12 1 0x yD - - =
j/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua i m ( )2,5C -
Bài 7. ho hàm s ( )4 21 12
2 2y x m x m= - + + - ( )
mC
a/ T m m hàm s c i m c c tr
b/ T mm hàm s c i m c c tr là 1x = - t i là i m c c i ha i m c c ti u T m i tr c c
tr tư n n
c/ T m m ( )m
C cắt tr c hoành t i i m ph n i t
d/ h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 1m = .
e/ i t TTT c a ( )C t i M tr n ( )C c hoành là 1- .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
51
f/ i t TTT c a( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 0f x =
g/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 4 10d y x= - -
h/ i t TTT c a ( )C và vu n c v i ư n th n : 4 0x yD - =
i/ i t TTT c a ( )C i t ti p tu n i qua ( )1,2A
Bài 8. ho hàm s 4 22 2 1y x mx m= - + - + ( )
mC
a/ T m m hàm s c c c tr
b/ T m m hàm s c i m c c i là 1x = .
c/ T m m ( )m
C cắt tr c hoành t i i m ph n i t
d/ h o s t và vẽ ồ th ( )C khi 1m = .
e/ i t TTT c a ( )C t i iao i m c a ( )C v i tr c hoành
f/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 44f x = -
Bài 9. ho hàm s 4 2y x ax b= + +
a/ T m a và b hàm s c i tr c c tr ằng 3
2 khi 1x = .
b/ T m a và b sao cho ( )1 0y - = và ( )'' 1 8y - =
c/ h o s t và vẽ ồ th khi 1
2a = - và 1b =
d/ i t TTT c a ( )C t i i m c tun ằn
e/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ( )'' 2f x =
f/ i t TTT c a ( )C và son son v i ư n th n : 3 2d y x= +
Bài 10. ho hàm s 3 23 9 2y x x x= - + + +
a/ h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C .
b/ Gi i t phư n tr nh ( )' 1 0f x - >
c/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành o i t ''( ) 6o
f x = -
d/ i t TTT c a ( )C và c h s c 9k = .
e/ a vào ( )C i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 23 9 2 0x x x m- - - + =
f/ i t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c i và c c ti u c a ồ th hàm s
Bài 11. ho hàm s 3 23 1y x x= + +
a/ h o s t và vẽ ồ th hàm s ( )C
b/ n ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 22 6 2 0x x m+ - =
c/ Đ nh k ( ) ( ): 2 5d y k x= + + cắt ồ th t i i m ph n i t
d/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành th a ( )' 9y x =
e/ i t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c i và i m c c ti u
Bài 12. ho hàm s ( ) ( ) 3 211 3 4 ( )
3 my x m x m x C= - + - + + -
a/ T m m hàm s ồn i n tr n t p c nh
b/ h o s t và vẽ ( )C v i 0m = .
c/ a vào ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 3 22 6 18 24 3 0x x x k+ + + + =
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
52
d/ i t phư n tr nh ư n th n i qua i m c c i và i m c c ti u
e/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành th a ''( ) 4y x = -
f/ T m a ( )( ) : 3 13d y a x= + - cắt ( )C t i i m ph n i t
Bài 13. ho hàm s 4 21
2y x ax b= + +
a/ T m a và b hàm s c c c ti u ằn 7
2- khi 3x =
b/ h o s t và vẽ ( )C khi 3a = - và 3a = - .
c/ a vào ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 4 26 2x x m- + =
d/ i t TTT c a ( )C t i i m c hoành th a ( )'' 18o
y x =
Bài 14. ho hàm s 4 21 9
24 4
y x x= - -
a/ h o s t và vẽ ồ th c a hàm s
b/ i t TTT c a ( )C t i c c iao i m c a ( )C v i tr c hoành
c/ Đ nhm ( )C cắt ara ol 2( ) : 2P y x= - t i i m ph n i t
d/ i t TTT c a( )C t i i m c hoành là n hi m c a phư n tr nh ''( ) 8y x =
e/ i n lu n th o k s n hi m c a phư n tr nh 4 28 9 4 0x x k- - - =
Bài 15. ho hàm s ( ) 4 22 1 2 1 ( )m
y x m x m C= - + + - -
a/ Đ nhm hàm s cắt tr c hoành t i i m ph n i t
b/ Đ nhm hàm s c c c tr
c/ Đ nhm hàm s c c c i khi 1x = .
d/ h o s t và vẽ ( )C khi 1m = .
e/ i t TTT c a ( )C t i c c iao i m c a ( )C v i ư n th n 3y = - i t hoành c a n là s m
f/ n ồ th i n lu n s n hi m c a phư n tr nh 4 24 0x x m- + =