Baát ñaúng thöùc Bunhia coápxki Cho u

=(a;b) vaø v

=(x;y)

Ta coù : u

. v

= ax +by hoaëc u

. v

= u

. v

.cos( u

; v

)

Do ñoù : u.v

≤ u

. v

maø : u

= 2 2a b ; v

= 2 2x y

Suy ra : ax by ≤ 2 2a b . 2 2x y

Bình phöông hai veá : (ax+by)2 (a2 +b2) (x2 +y2) ( Baát ñaúng thöùc Bunhia coápxki )

Daáu baèng xaûy ra khi xa

= yb

Môû roäng : (ax+by+cz)2 (a2 +b2 +c2 )(x2 +y2 +z2) Ví duï1: Cho a>c >0 ; b>c >0. Chöùng minh raèng : c(b c) + c(a c) ≤ ab

Giaûi : aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhia coápxki cho 4 soá :( c ; a c ) vaø ( b c ; c ) Ta coù : ( c(b c) + c(a c) )2 ≤ (c+ac)(c+bc) =ab

<=> c(b c) + c(a c) ≤ ab

Daáu baèng xaûy ra khi : cb c

= a cc <=> ab=c(a+b)

Ví duï 2: Cho x, y >0 vaø x+y =5 . Tìm GTLN vaø GTNN cuûa M= x2 +y2

Giaûi : + töø giaû thieát x y 5x 0; y 0

=>

0 x 50 y 5

=>

2

2

x 5xy 5y

=> x2 +y2 5(x+y) =25 . Vaäy max M =25 khi x=0 ; y=5 hoaëc x=5 ; y=0

+ Ta coù (12 +12)(x2 +y2) (1.x+1.y)2 =25 => (x2 +y2) 252

Vaäy min M = 252

khi x=y=5/2

Ví duï 3: Cho 4x+y 1 . Chöùng minh raèng : 4x2 +y2 15

Giaûi : (22 +12) [ (2x)2 +y2] (2.2x+1.y)2 1 => 4x2 +y2 15

Daáu baèng xaûy ra khi : 2x y2 1

4x y 1

<=> x=y= 15

Ví duï 4: Cho x2+4y2 =1 . Chöùng minh raèng : 3x 4y ≤ 13 Giaûi : (3x4y)2 ≤ [32 +(2)2] [ x2 +(2y)2] ≤ 13.1=13 => 3x 4y ≤ 13

Daáu baèng xaûy ra :2 2

x 2y3 2x 4y 1

<=>

3 1x ; y13 13

3 1x ; y13 13

Ví duï 5: Cho 2x2+3y2 =5 . Chöùng minh raèng : 2x 3y ≤ 5 Giaûi : (2x+3y)2 ≤ [( 2 )2 +( 3 )2] [ ( 2 .x)2 +( 3 .y)2] =(2+3)(2x2 +3y2)=25 => 2x 3y ≤ 5

Daáu baèng xaûy ra :2 2

2.x 3.y2 3

2x 3y 5

<=> x 1; y 1x 1; y 1

Ví duï 6: Cho x, y laø hai soá döông thoûa : x2 +y3 x3 +y4 Chöùng minh raèng : x3 +y3 x2 +y2 x+y 2 Giaûi : Ta chöùng minh x2 +y2 x3 +y3 Thaät vaäy töø giaû thieát x2 +y3 x3 +y4 <=> x2 x3 +y4 y3 <=> x2 +y2 x3 +y3 +y4 2y3 +y2 = x3 +y3 + (y2 y)2 x3 +y3 Vaäy x2 +y2 x3 +y3 ( ñpcm) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki

(x2 +y2)2 = 23 3x. x y. y (x+y)(x3+y3) (x+y)(x2+y2)

=> (x2 +y2) x+y Maët khaùc : (1.x+1.y)2 (12 +12)(x2+y2) 2(x+y) => (x+y) 2 Ví duï 7: Cho x2 +y2 =9 .

a) Tìm GTLN cuûa K= x+y b) Tìm GTLN cuûa Q= 2x3y Giaûi : Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki a) (x+y)2 (12 +12)(x2 +y2) = 18 <=> K2 18 <=> 18 K 18

Vaäy max K = 18 khi x=y = 32

b) (2x3y)2 [22 +(3)2](x2 +y2) = 117 <=> Q2 117 <=> 3 13 K 3 13

Vaäy max K = 18 khi x y2 32x 3y 3 13

<=>x= 613

;y= 913

Ví duï 8: Cho ñöôøng troøn (C): (x+1)2 +(y2)2 =16 vaø ñöôøng thaúng : 3x+y 6 =0 . a) Tìm M (C) sao cho d(M; ) lôùn nhaát b) Ñöôøng thaúng (d) : 2x +y 5=0 caét ñöôøng troøn (C) taïi hai ñieåm A, B. Tìm M (C) sao cho dieän tích tam giaùc MAB lôùn nhaát . Giaûi : M(x0;y0) (C) => (x0+1)2 +(y02)2 =16 a)+ Khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng

d(M; ) = 0 0

2 2

3x y 6

3 1

= 1

10. 0 03x y 6

+ Ta coù : [ 3(x0+1)+1(y02)]2 (32 +12)[(x0+1)2 +(y02)2] = 160 <=> (3x0+y0+1)2 160 <=> 4 10 3x0+y0+1 4 10 <=> 7 4 10 3x0+y06 7+ 4 10 => 0 0 03x y 6 7+ 4 10

Do ñoù : d(M; ) 110

(7+ 4 10 )

Vaø d(M; ) lôùn nhaát baèng 7 4 1010

khi 0 0

0 0

3x y 1 4 10x 1 y 2

3 1

Suy ra M( 1210

1 ; 2 410

)

b) Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1;2) baùn kính R= 4

+ d(I; (d))= 2 2

2( 1) 2 5

3 1

= 5 < R => ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi hai

ñieåm phaân bieät A, B + Goïi h= d(M; (d) ) laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAB

+ Dieän tích SMAB = 12

h.AB vaø AB khoâng ñoåi

dieän tích tam giaùc MAB lôùn nhaát khi h lôùn nhaát M(x0;y0) (C) => (x0+1)2 +(y02)2 =16 + Khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng (d)

d(M; ) = 0 0

2 2

2x y 5

2 1

= 1

5. 0 02x y 5

+ Ta coù : [ 2(x0+1)+1(y02)]2 (22 +12)[(x0+1)2 +(y02)2] =80 <=> (2x0+y0)2 80 <=> 4 5 x0+y0 4 5 <=> 5 4 5 2x0+y05 5+ 4 5 => 0 0 02x y 5 5+ 4 5

Do ñoù : h= d(M;(d) ) 15

(5+ 4 5 ) = 5 +4

Vaø h lôùn nhaát baèng 5 +4 khi 0 0

0 0

2x y 4 5x 1 y 2

2 1

Suy ra M( 851 ; 2 4

5)

Ví duï 9: Cho Elip (E): 3x2 +5y2 =15 vaø ñöôøng thaúng : 3x+y6 =0 . a) Tìm GTLN cuûa Q= 3x5y b) Ñöôøng thaúng () caét Elip (E) taïi hai ñieåm A, B. Tìm M (E) sao cho dieän tích tam giaùc MAB lôùn nhaát .

Giaûi : a) Caùch 1: töø Q = 3x5y => y= 3x Q5 , thay vaøo pt (E) ta coù :

3x2 +5.23x Q

5

=15 <=> 3x2 +2 29x 6Qx Q

5 =15

<=> 24x2 6Qx +Q2 75 = 0 (*) Ñk ñeå pt (*) coù nghieäm laø : ’ 0 <=> 9Q2 24(Q2 75) 0 <=> 15Q2 +1800 0 <=> 120 Q 120

Giaù trò lôùn nhaát cuûa Q baèng 120 khi x= 3Q24

= 304

; y= 304

Caùch 2:Söû duïng BÑT Bunhiacoápxki :

(3x5y)2 = 23. 3x 5. 5y [( 3 )2 +( 5 )2] (3x2 +5y2)= 8.15 =120

<=> 120 3x5y 120 hay 120 Q 120

Giaù trò lôùn nhaát cuûa Q baèng 120 khi 3x 5y 2 30

3x 5.y3 5

<=>

30x4

30y4

b) : 3x+y6 =0 => y= 63x Thay vaøo pt (E) ta coù : 3x2 +5(63x)2 =15 <=> 48x2180x +165 =0 (*) Phöông trình (*) coù hai nghieäm phaân bieät töùc laø caét (E) taïi hai ñieåm A,B phaân bieät + Goïi h= d(M; ) laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAB

+ Dieän tích SMAB = 12

h.AB vaø AB khoâng ñoåi

dieän tích tam giaùc MAB lôùn nhaát khi h lôùn nhaát M(x;y) (E) => 3x2 +5y2 =15 + Khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng (d)

d(M; ) = 2 2

3x y 6

3 1

= 1

10. 3x y 6

+ Ta coù: [ 3x+y]2 =2

13. 3x . 5y5

[( 3 )2+( 1

5)2] (3x2 +5y2)= 48

<=> (3x+y)2 48 <=> 4 3 3x+y 4 3 <=>64 3 3x+y6 6+ 4 3 => 0 3x y 6 6+ 4 3

Do ñoù : h= d(M; ) 110

(6+ 4 3 )

Vaø h lôùn nhaát baèng 6 4 310

khi

3x y 4 3

3x 5.y135

Suy ra M( 5 34

; 34

)

Ví duï 10: Cho ba soá thöïc x,y,z thoûa :x2 +y2 +z2 =1 . Tìm GTLN vaø GTNN cuûa P= xy+yz+zx Giaûi : Söû duïng BÑT : (xy+yz+zx)2 ≤ (x2 +y2+z2)(y2 +z2+x2) =1 <=> xy+yz+zx 1

Vaäy GTLN cuûa P laø 1 khi x=y=z= 13

hoaëc x=y=z= 13

Ta laïi coù ( x+y+z)2 0 , x,y,z

<=> x2 +y2 +z2 +2(xy+yz+zx) 0 <=> 1+2P 0 <=> P 12

Vaäy GTNN cuûa P laø 12

khi x=1;y=1; z=0 hoaëc caùc hoaùn vò cuûa noù

Ví duï 11: Cho maët caàu (S) coù pt :x2 +y2 +z2 =4 vaø (): 2x+yz5=0. a) Tìm M (S) sao cho d(M;()) lôùn nhaát . b) Tìm N (S) sao cho d(N;()) nhoû nhaát Giaûi : C1: Xeùt M(x0; y0;z0) (S) => x0

2 +y02 +z0

2 = 4 Khoaûng caùch töø M ñeán () laø :

d(M;()) = 0 0 0

2 2 2

2x y z 5

2 1 ( 1)

= 0 0 02x y z 5

6

Ta coù : (2x0+y0z0)2 [22 +12+(1)2](x02 +y0

2+z02) =6.4=24

=> 24 2x0 +y0 z0 24 <=> 5 24 2x0 +y0 z0 5 5+ 24 Suy ra : 5 24 0 0 02x y z 5 5+ 24

<=> 5 246

d(M;()) 5 24

6

d(M;()) lôùn nhaát baèng 5 246

khi 0 0 0

0 0 0

2x y z 24x y z2 1 1

=> ñieåm M( 46

; 26

; 26

)

d(N;()) nhoû nhaát baèng 5 246

khi 0 0 0

0 0 0

2x y z 24x y z2 1 1

Suy ra N( 46

; 26

; 26

)

C2: (S) coù pt :x2 +y2 +z2 =4 coù taâm O(0;0;0) vaø baùn kính R= 2 vaø (): 2x+yz5=0 coù VTPT n

=(2;1;1)

+ Ñöôøng thaúng (d) qua O vaø vuoâng goùc vôùi mp() coù

phöông trình : x 2ty tz t

+ Giao cuûa (d) vaø maët caàu (S) => 4t2 +t2 +t2 =4

<=> t= 26

Khi t= 26

; M1(46

; 26

; 26

) vaø

d(M1;()) = 2 2 2

4 2 22. 56 6 62 1 ( 1)

=

12 5 6

6

= 5 6 12

6

Khi t= 26

; M2(46

; 26

; 26

) vaø

O

H

d

A M1

M2

d(M2;()) = 2 2 2

4 2 22. 56 6 62 1 ( 1)

=

12 5 6

6

= 5 6 12

6

Goïi H laø hình chieáu cuûa O leân mp() ta coù : M1H ≤ MH ≤ M2H <=> d(M1;()) ≤ d(M;()) ≤ d(M2;())

<=> 5 6 126 ≤ d(M;()) ≤ 5 6 12

6

Ví duï 12: Cho maët caàu (S) coù pt :x2 +y2 +z2 4x+6y2z2=0 vaø (): 2x+y3z+1=0. Tìm M (S) sao cho d(M;()) lôùn nhaát . Giaûi : C1: Vieát laïi (S) : (x2)2 +(y+3)2+(z1)2 =16 Xeùt M(x0; y0;z0) (S) => (x02)2 +(y0+3)2 +(z01)0 = 16 Khoaûng caùch töø M ñeán () laø :

d(M;()) = 0 0 0

2 2 2

2x y 3z 1

2 1 ( 3)

= 0 0 02x y 3z 1

14

Ta coù : [2(x02)+(y0+3)3(z01)]2 [22 +12+(3)2] 2 2 2

0 0 0(x 2) (y 3) (z 1)

<=> (2x0 +y0 3z0+2) 2 14.16 = 224 => 4 14 2x0 +y0 3z0 +2 4 14 <=> 14 14 2x0 +y0 3z0 +1 1+4 14 Suy ra : 0 0 0 02x y 3z 1 1+4 14

<=> 0 d(M;()) 1 4 1414

d(M;()) lôùn nhaát baèng 1 4 1414

khi 0 0 0

0 0 0

2x y 3z 2 4 14x 2 y 3 z 1

2 1 3

=> ñieåm M(2 814

;3 414

;1+ 1214

)

C2: (S) coù pt : : (x2)2 +(y+3)2+(z1)2 =16 coù taâm I(2;3;1) vaø bk R= 4 vaø ():2x+y3z+1=0 coù VTPT n

=(2;1;3)

+ Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi mp() coù

phöông trình : x 2 2ty 3 tz 1 3t

+ Giao cuûa (d) vaø maët caàu (S) => 4t2 +t2 +3t2 =16

<=> t= 414

Khi t= 414

; M1(2+ 814

;3+ 414

;1 1214

) vaø

d(M1;()) = 2 2 2

8 4 122(2 ) ( 3 ) 3(1 ) 114 14 14

2 1 ( 3)

=

56 114

14

= 56 14

14

Khi t= 414

; M2(2814

;3 414

;1+ 1214

) vaø

d(M2;()) = 2 2 2

8 4 122(2 ) ( 3 ) 3(1 ) 114 14 14

2 1 ( 3)

=

56 114

14

= 56 1414

Goïi H laø hình chieáu cuûa I leân mp() ta coù : Khoaûng caùch töø M ñeán () laø :

d(M;()) = 2 2 2

2.2 ( 3) 3.1 1

2 1 ( 3)

= 1

14< R

=> maët phaúng () caét maët caàu (S) theo moät ñöôøng troøn 0 ≤ MH ≤ max(M2H ;M1H) <=> 0 ≤ MH ≤ d(M2;())

I *

H B

M1

M2

<=>0 d(M;()) 56 1414

Ví duï 13: Cho x > 0 , y >0 vaø x2 +y2 x+y .

Chöùng minh raèng : x+2y 32

+ 102

Giaûi : Töø giaû thieát : x2 +y2 x+y <=> (x 12

)2 +(y 12

)2 12

Ta coù [ (x 12

) +2(y 12

)]2 (12 +22) [(x 12

)2 +(y 12

)2 ] 52

<=> (x+2y 32

)2 52

. Suy ra : x+2y 32 5

2<=> x+2y 3

2+ 10

2

Daáu baèng xaûy ra khi

3 10x 2y2 2

1 1x y2 2

1 2

<=>

1 1x2 101 2y2 10

Ví duï 14: Cho ba soá thöïc x, y,z thoûa x(x1) +y(y1) +z(z1) 43

.

Tìm GTLN cuûa M = x+y+z

Giaûi : Töø giaû thieát : x(x1) +y(y1) +z(z1) 43

<=> (x 12

)2 +(y 12

)2 ++(z 12

)2 2512

Ta coù [(x 12

) +(y 12

)+(z 12

)]2 (12 +12+12) [(x 12

)2+(y 12

)2 +(y 12

)2]

<=> (x+y+z 32

)2 3. 2512

= 254

. Suy ra : x+y+z 32 5

2<=> M 4

Tìm GTLN cuûa M baèng 4 khi x=y=z= 43

Ví duï 15:Trong maët phaúng Oxy cho A(3;5) , B(1;1) vaø ñöôøng thaúng : 2x+y4=0 . Tìm M () sao cho MA2 +3MB2 ñaït GTNN vaø tính GTNN ñoù

Giaûi : C1:Chuyeån ( ) veà tham soá : x 0 ty 4 2t

M => M(t;4+2t) MA2 =(3+t)2 +(12t)2 = 5t2 10t +10 MB2 =(1+t)2 +(32t)2 = 5t2 +14t +10

T= MA2 +3.MB2 =20t2 +32t +40 =20(t+ 45

)2 + 1365

1365

T nhoû nhaát baèng 1365

khi t + 45

=0 hay t= 45

vaø ñieåm M( 45

;125

)

C2: M(x;y) => 2x+y =4 MA2 = (3x)2 +(5y)2 = x2 +6x+y2 10y +34 MB2 = (1x)2 +(1y)2 = x2 2x+y2 2y +2 T= MA2 +3.MB2= 4x2 +4y2 16 +40 =(2x)2 +(2y4)2 +24 Maët khaùc aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhia coápxki :

[ (2x)2 +(2y4)2 ] [12 +21

2

] [ 1.2x + 12

(2y4) ]2

<=> [ (2x)2 +(2y4)2 ]. 54 (2x+y2)2 = 4 => [ (2x)2 +(2y4)2 ] 16

5

Suy ra : T 165

+24 = 1365

T nhoû nhaát baèng 1365

khi 2x 2y 41 1/ 2

2x y 4

=> ñieåm M( 45

;125

)

Ví duï 16:Trong khoâng gian Oxyz cho A(1;2;1) , B(3;1;2) vaø maët phaúng () : 2xy+3z5=0 . Tìm M mp() sao cho MA2 +2MB2 ñaït GTNN vaø tính GTNN ñoù . Giaûi : C1: ( hình hoïc) + Tìm ñieåm I sao cho IA

+2 IB

= 0

<=>I I

I I

I I

1 x 2(3 x ) 02 y 2(1 y ) 01 z 2( 2 z ) 0

<=>I

I

I

x 5 / 3y 4 / 3z 1

=> I( 53

; 43

;1)

Ta coù : T= MA2 +2MB2 = 2MA

+2 2MB

= 2MI IA

+ 2MI IB

=3. 2MI

+2 MI

.( IA

+2 IB

)+ 2IA

+2 2IB

=3MI2 + 2 2IA 2.IBkhoâng ñoåi

Do ñoù T= MA2 +2MB2 nhoû nhaát <=> MI ngaén nhaát <=> M laø hình chieáu cuûa I leân mp()

IM

=(x 53

; y 43

; z+1) ; n

=(2;1; 3)

M laø hình chieáu cuûa M leân mp() <=>M mp( )

IM, n

cuøngphöông

<=>

2x y 3z 5 05 4x y z 13 3 t

2 1 3

=> 2( 53

+2t) ( 43t) +3(1+3t) 5=0 <=> t= 3

7 => M( 53

21; 19

21; 2

7)

Vaø Khi ñoù T= MA2 +2MB2 = 89063

+2. 34463

= 52621

C2: Giaûi söû M(x;y;z) () => 2xy+3z =5 MA2 = (1x)2 +(2y)2 +(1z)2 = x2 +2x +y2 4y+z2 2z +6 MB2 = (3x)2 +(1y)2 +(2z)2 = x2 6x +y2 2y+z2 +4z +14 T = MA2 +2MB2 = 3x2 10x +3y2 8y +3z2 +6z +34

=3(x 53

)2 +3(y 43

)2 +3(z+1)2 + 523

(*)

Maët khaùc aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhia coápxki :

[ (x 53

)2 +(y 43

)2 +(z+1)2 ][22 +(1)2 +32] [2(x 53

)(y 43

)+3(z+1) ]2

<=> [ (x 53

)2 +(y 43

)2 +(z+1)2 ].14 (2xy+3z+1)2 =(5+1)2 =36

<=> [ (x 53

)2 +(y 43

)2 +(z+1)2 ] 3614

=> 3(x 53

)2 +3(y 43

)2 +3(z+1)2 3. 3614

= 547

Keát hôïp vôùi (*) => T 547

+ 523

= 52621

T nhoû nhaát baèng 52621

khi

5 4x y z 13 3 t2 1 3

2x y 3z 5

=> 2( 53

+2t) ( 43t) +3(1+3t) 5=0 <=> t= 3

7 => M( 53

21; 19

21; 2

7)