GRAEVINSKIFAKULTET 26.10.2018. UNIVERZITETAUBEOGRADU ... · GRAEVINSKIFAKULTET 30.11.2018. UNIVERZITETAUBEOGRADU MATEMATIQKAANALIZA1 Drugi kolokvijum Grupa A 1. Izraqunati lim x!0

GRA�EVINSKI FAKULTET 26.10.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU

Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (A)

1. Izraqunati:

a) limn→∞

1− 4 + 16− · · ·+ (−1)n4n

1− 2 + 4− · · ·+ (−1)n2nb) lim

n→∞

(2√n+ 3

2√n

) 1√n+1−

√n

(3 poena)

2. Ispitati konvergenciju niza:

xn =sin2 1

2+

sin2 2

22 + ln 2+

sin2 3

23 + ln 3+ · · · + sin2 n

2n + lnn. (1 poen)

3. Ispitati konvergenciju redova:

a)∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · · · (3n− 1)

(2n+ 2)!!b)

∞∑n=1

(26n2 + 26n+ 1

10n2 + 10n+ 1

)2018n2+20n+1

(3 poena)

4. Ispitati konvergenciju reda

∞∑n=1

(1− a2)n

n3 + 2n+ 2

u zavisnosti od realnog parametra a. (3 poena)


Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (B)

1. Izraqunati:

a) limn→∞

1 + 22 + 23 + · · ·+ 2n−1

1 + 42 + 43 + · · ·+ 4n−1b) lim

n→∞

(3√n

3√n+ 2

) 1√n+1−

√n

(3 poena)

2. Ispitati konvergenciju niza:

xn =cos2 1

3+

cos2 2

32 + ln 2+

cos2 3

33 + ln 3+ · · · + cos2 n

3n + lnn. (1 poen)


a)∞∑n=1

(2n+ 4)!!

2 · 5 · 8 · · · · · (3n− 1)b)

∞∑n=1

1 + 2 + · · · + n

n√n

(3 poena)


∞∑n=1

(4− b2)n

n3 + n+ 3

u zavisnosti od realnog parametra b. (3 poena)


Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (V)

1. Izraqunati:

a) limn→∞

√3n2 + 1

1− 2 + 3− 4 + · · · − 2nb) lim

n→∞

(n4 − n+ 1

n4 + n+ 1

)12+22+ ···+n2

(3 poena)

2. Izraqunati:

limn→∞

n

√sin(π4+ 1)sin

(π

4− 1

2

)sin

(π

4+

1

3

)· · · sin

(π

4+

(−1)n−1n

). (1 poen)


a)∞∑n=1

ln

(2− 3

√1− sin

1

n3

)b)

∞∑n=1

n arccos1

n3(3 poena)


∞∑n=2018

8n

(n+ 2018)pn

u zavisnosti od realnog parametra p. (3 poena)


Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (G)

1. Izraqunati:

a) limn→∞

1− 2 + 3− 4 + · · · − 2n√5n2 + n+ 1

b) limn→∞

(n4 + n+ 1

n4 − n+ 1

)12+22+ ···+n2

(3 poena)

2. Izraqunati:

limn→∞

n

√cos(π4+ 1)cos

(π

4− 1

2

)cos

(π

4+

1

3

)· · · cos

(π

4+

(−1)n−1n

). (1 poen)


a)∞∑n=1

ln

(2− 5

√1− tg

2

n4

)b)

∞∑n=1

arctg n

n2 + n+ 1(3 poena)


∞∑n=2018

qn

(2018n+ 1)8n

u zavisnosti od realnog parametra q. (3 poena)


MATEMATIQKA ANALIZA 1Drugi kolokvijum

Grupa A

1. Izraqunati limx→0

(sinx+ cosx)1√

x+2−√2 . (2)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =ln |x|+ 1

ln |x| − 1. (5)

3. Napisati Maklorenov polinom M6(x) funkcije f(x) =ln(1− x2)

ex2 . (2)

4. Odrediti parametre a i b tako da funkcija

f(x) =

{x+ a2 , x < 0

a cosx+ b sinx , x ≥ 0

bude diferencijabilna u taqki x0 = 0. (1)



Grupa B


(cosx− sinx)1√

x+3−√3 . (2)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =ln |x| − 1

ln |x|+ 1. (5)

3. Napisati Maklorenov polinom M9(x) funkcije f(x) =ln(1− x3)

ex3 . (2)

4. Odrediti parametre a i b tako da funkcija

f(x) =

{x− a2 , x < 0

a cosx− b sinx , x ≥ 0




Grupa V


(ex + ln(1 + x))1√

2−√x+2 . (2)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =|x|

ln |x| − 1. (5)

3. Napisati Maklorenov polinom M6(x) funkcije f(x) =sinx2

√1− x2

. (2)

4. Odrediti vrednost parametra a tako da funkcija

f(x) =

{(x− 1) arctg 1

x−1 , x 6= 1

a , x = 1




Grupa G


(ex − ln(1− x))1√

3−√x+3 . (2)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =|x|

ln |x|+ 1. (5)

3. Napisati Maklorenov polinom M9(x) funkcije f(x) =cosx3

√1− x3

. (2)

4. Odrediti vrednost parametra a tako da funkcija

f(x) =

{(x+ 1) arctg 1

x+1, x 6= −1

a , x = −1

bude diferencijabilna u taqki x0 = −1. (1)


MATEMATIQKA ANALIZA 1Tre�i kolokvijum

Grupa A

1. Izraqunati integrale:

a)∫

sinx+ cosx

sin3 x+ cos3 xdx b)

∫x2 arctg

x+ 1

x− 1dx (4)

2. Izraqunati integral∫

(x+ 1)√1 + x+ x2 dx . (2)

3. Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama

y = earcsinx, x = 0, x = 1 i y = −1 . (3)

4. Pokazati da za a ∈ R va�i∫ a

0

f(x) dx =

∫ a

0

f(a − x) dx. Koriste�i se ovom

formulom izraqunati integral∫ π/2

0

x(sinx+ cosx)

sin3 x+ cos3 xdx . (1)



Grupa B


a)∫

sinx− cosx

sin3 x− cos3 xdx b)

∫x2 arcctg

x− 1

x+ 1dx (4)


(x− 1)√1− x+ x2 dx . (2)


y = earccosx, x = 0, x = 1 i y = −1 . (3)


0

f(x) dx =

∫ a

0



0

x(sinx− cosx)

sin3 x− cos3 xdx . (1)



Grupa V


a)∫

sinx cosx

sin4 x+ cos4 xdx b)

∫xearcctg x

(1 + x2)3/2dx (4)


x√1 + 2x− x2 dx . (2)


y = arctg x, y = −x2 − 2, x = −1 i x = 0 . (3)


0

f(x) dx =

∫ a

0



0

x sinx cosx




Grupa G


a)∫

sin 2x

sin4 x+ cos4 xdx b)

∫xearcsinx√1− x2

dx (4)


x√1− 2x− x2 dx . (2)


y = arctg x, y = x2+2, x = 1 i x = 0 . (3)


0

f(x) dx =

∫ a

0



0

x sin 2x



MATEMATIQKA ANALIZA 1

1. Izraqunati graniqne vrednosti:

a) limn→∞

n

√cos 1 cos

1

3cos

1

32· · · · · cos 1

3nb) lim

n→∞

(n

2019

)n−2019 (20)

2. Ispitati konvergenciju reda u zavisnosti od realnih parametara a i p.∞∑n=1

(a2 − 1)n

np, a, p ∈ R. (20)

3. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =x+ 1√

x2 + 2x− 3. (30)

4. a) Izraqunati integral∫

cosx dx

sin4 x− sin3 x− sinx+ 1. (10)

b) Izraqunati povrxinu figure odre�ene relacijama:

x2 + y2 ≤ 4x , |y| ≥√3 . (20)




a) limn→∞

n

√cos 1 cos

1

3cos

1

32· · · · · cos 1

3nb) lim

n→∞

(n

2019

)n−2019 (20)

2. Ispitati konvergenciju reda u zavisnosti od realnih parametara a i p.∞∑n=1

(a2 − 1)n

np, a, p ∈ R. (20)


x2 + 2x− 3. (30)


cosx dx

sin4 x− sin3 x− sinx+ 1. (10)

b) Izraqunati povrxinu figure odre�ene relacijama:

x2 + y2 ≤ 4x , |y| ≥√3 . (20)




a) limn→∞

(2√n− 1

2√n

)n(√4n−1−2

√n)

b) limn→∞

(3√8n3 + 3n2 − 1−

√4n2 + 3n+ 1

)(20)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) = arccos1− x

1− 2x. (30)

3. Odrediti Maklorenov polinom qetvrtog stepena za funkciju f(x) = cos(tg x) .Primenom dobijenog razvoja izraqunati graniqnu vrednost

limx→0

cos(tg x)−√1− x2

x4. (20)


cos5 x

sin3 x+ 1dx . (15)

b) Deo krive y =1

x2 + 3, gde je x ∈ [1,

√3 ] rotira oko x-ose. Izraqunati

zapreminu tako dobijenog rotacionog tela. (15)




a) limn→∞

(2√n− 1

2√n

)n(√4n−1−2

√n)

b) limn→∞

(3√8n3 + 3n2 − 1−

√4n2 + 3n+ 1

)(20)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) = arccos1− x

1− 2x. (30)

3. Odrediti Maklorenov polinom qetvrtog stepena za funkciju f(x) = cos(tg x) .Primenom dobijenog razvoja izraqunati graniqnu vrednost

limx→0

cos(tg x)−√1− x2

x4. (20)


cos5 x

sin3 x+ 1dx . (15)

b) Deo krive y =1

x2 + 3, gde je x ∈ [1,

√3 ] rotira oko x-ose. Izraqunati

zapreminu tako dobijenog rotacionog tela. (15)




a)∞∑n=1

1n√n!

b)∞∑n=1

2nn!

nnc)

∞∑n=1

(−1)n√√

n+ 1−√n (20)

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) =3

√x2

x+ 1. (30)

3. Odrediti Maklorenov razvoj petog stepena za funkciju

f(x) =1 + x− x2

1 + x+ 2x2. (20)


a)

∫ln(√x+ 1 +

√x ) dx b)

∫ π/2

0

dx

(2 + cos x)2(30)




a)∞∑n=1

1n√n!

b)∞∑n=1

2nn!

nnc)

∞∑n=1

(−1)n√√

n+ 1−√n (20)


f(x) =3

√x2

x+ 1. (30)

3. Odrediti Maklorenov razvoj petog stepena za funkciju

f(x) =1 + x− x2

1 + x+ 2x2. (20)


a)

∫ln(√x+ 1 +

√x ) dx b)

∫ π/2

0

dx

(2 + cos x)2(30)




a)∞∑n=1

(n!)3

(3n)!b)

∞∑n=1

√n

n+ lnnc)

∞∑n=2

ln

(1 +

(−1)n√n

)(20)


f(x) =|x− 1|3

(x+ 1)2. (30)

3. Odrediti realnu konstantu c i prirodan broj n tako da va�i:√1− 2x− 3

√1− 3x = cxn + o(xn) , x→ 0 .

Ako je f(x) =√1− 2x− 3

√1− 3x, odrediti f (n)(0). (20)


a)

∫arccosx

x2dx b)

∫ 3/4

0

dx

(x+ 1)√1 + x2

(30)




a)∞∑n=1

(n!)3

(3n)!b)

∞∑n=1

√n

n+ lnnc)

∞∑n=2

ln

(1 +

(−1)n√n

)(20)


f(x) =|x− 1|3

(x+ 1)2. (30)

3. Odrediti realnu konstantu c i prirodan broj n tako da va�i:√1− 2x− 3

√1− 3x = cxn + o(xn) , x→ 0 .

Ako je f(x) =√1− 2x− 3

√1− 3x, odrediti f (n)(0). (20)


a)

∫arccosx

x2dx b)

∫ 3/4

0

dx

(x+ 1)√1 + x2

(30)




a)∞∑n=1

(n!)2

(2n)!!b)

∞∑n=1

(−1)n n2

lnn 3c)

∞∑n=1

arctg(−1)n (20)


f(x) =3√x2 (x+ 1)3 . (30)

3. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:

f(x) =

{arctg x , |x| ≤ 1 (20)π4sgnx+ x−1

2, |x| > 1


a)

∫sinx cosx

sin4 x+ cos4 xdx b)

∫ π

0

e−x cosnx dx , n ∈ N . (30)




a)∞∑n=1

(n!)2

(2n)!!b)

∞∑n=1

(−1)n n2

lnn 3c)

∞∑n=1

arctg(−1)n (20)


f(x) =3√x2 (x+ 1)3 . (30)

3. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:

f(x) =

{arctg x , |x| ≤ 1 (20)π4sgnx+ x−1

2, |x| > 1


a)

∫sinx cosx

sin4 x+ cos4 xdx b)

∫ π

0

e−x cosnx dx , n ∈ N . (30)



1. Odrediti graniqne vrednosti:

a) limn→∞

(−2)n − 3 · 5n

5n+1 − (−2)nb) lim

n→∞

1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + · · ·+ (1 + 2 + · · ·+ n)

n3(20)


f(x) = arctgx− 1

x+ 1. (30)

3. Odrediti Maklorenove polinome qetvrtog stepena za funkcije f(x) = ecosx ig(x) = e

√1−x2. Zatim izraqunati:

L = limx→0

ecosx − e√1−x2

x4. (20)


a) I =

∫arcsin2 x dx b) Jn =

∫ +∞

1

dx

xn√x− 1

, n ∈ N . (30)



1. Odrediti graniqne vrednosti:

a) limn→∞

(−2)n − 3 · 5n

5n+1 − (−2)nb) lim

n→∞

1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + · · ·+ (1 + 2 + · · ·+ n)

n3(20)


f(x) = arctgx− 1

x+ 1. (30)

3. Odrediti Maklorenove polinome qetvrtog stepena za funkcije f(x) = ecosx ig(x) = e

√1−x2. Zatim izraqunati:

L = limx→0

ecosx − e√1−x2

x4. (20)


a) I =

∫arcsin2 x dx b) Jn =

∫ +∞

1

dx

xn√x− 1

, n ∈ N . (30)



1. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju redova:

a)∞∑n=2

(−1)nlnn+ arctg( 1

n)

n, b)

∞∑n=1

(p2 − 8)n

2n+ 3, p ∈ R. (20)


f(x) = ln

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣ . (30)

3. Koriste�i se Maklorenovim razvojima izraqunati:

limx→0

1− cosx√cosx 4

√cosx

x2. (20)


a)

∫sin4 x cosx

(1 + sin x)3dx b)

∫ +∞

0

e−nx sin2 2x dx , n ∈ N . (30)



1. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju redova:

a)∞∑n=2

(−1)nlnn+ arctg( 1

n)

n, b)

∞∑n=1

(p2 − 8)n

2n+ 3, p ∈ R. (20)


f(x) = ln

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣ . (30)

3. Koriste�i se Maklorenovim razvojima izraqunati:

limx→0

1− cosx√cosx 4

√cosx

x2. (20)


a)

∫sin4 x cosx

(1 + sin x)3dx b)

∫ +∞

0

e−nx sin2 2x dx , n ∈ N . (30)


Matematiqka analiza 1 - Popravni kolokvijumi

1. Izraqunati:

a) limn→∞

(3√1 + n2 +

3√1− n2

)b) lim

n→∞n

√cos 1 cos

1

3cos

1

32· · · cos 1

3n(4)


a)∞∑n=1

sin 120191

·sin 1

220192

· · · ·sin 1

n2019n

b)∞∑n=1

(a2 − 1)n

n3, a ∈ R (5)

3. Dokazati da red∞∑n=1

1

ndivergira. (1)

4. Izraqunati: limx→0

4√cos 3x− 3

√cos 4x

x2. (2)


x2 + 2x− 3. (4)

6. Odrediti Maklorenov polinom qetvrtog stepena za funkciju f(x) = esinx, azatim izraqunati

limx→0

ex − esinx − x3

6

x4. (3)

7. Dokazati da za x 6= 0 va�i: arctg x+ arctg1

x=π

2· sgnx . (1)


a)∫ex ln

1− ex

1 + exdx b)

∫cosx dx

sin4 x− sin3 x− sinx+ 1(5)

9. Izraqunati povrxinu figure odre�ene relacijama:

x2 + y2 ≤ 4x , |y| ≥√3 . (4)

10. Na�i rekurentnu formulu za raqunaǌe integrala

In =

∫ π/4

0

tg2n xdx , n ∈ N . (1)

Documents

GRAEVINSKIFAKULTET 26.10.2018. UNIVERZITETAUBEOGRADU ... · GRAEVINSKIFAKULTET 30.11.2018. UNIVERZITETAUBEOGRADU MATEMATIQKAANALIZA1 Drugi kolokvijum Grupa A 1. Izraqunati lim x!0