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Grafi triangolati e triangolazioni di grafi M. Moscarini M. Mezzini. Definizioni. Definizioni. Percorso in un grafo. 3. 2. 4. 1. 5. Definizioni. Percorso in un grafo. 3. 2. 4. 1. 5. Definizioni. Ciclo in un grafo. 3. 2. 4. 1. 5. Definizioni. - PowerPoint PPT Presentation
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Grafi triangolati e triangolazioni di grafi
M. Moscarini M. Mezzini
Definizioni
Percorso in un grafo
Definizioni
1
2
3
4
5
Percorso in un grafo
Definizioni
1
2
3
4
5
Ciclo in un grafo
Definizioni
1
2
3
4
5
Corda di un ciclo o di un percorso
1
2
3
4
5
Definizioni
Grafo triangolato (o cordale)
1
2
3
4
5
Definizioni
Triangolazione di un grafo
1
2
3
4
5
Definizioni
Triangolazione di un grafo
1
2
3
4
5
Definizioni
Applicazioni dei grafi triangolati
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
Applicazioni dei grafi triangolati
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
Applicazioni dei grafi triangolati
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
•Statistica: calcolo di probabilità
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
•Statistica: calcolo di probabilità
•Intelligenza artificiale: machine learning
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Mat_Stud Nome Cognome
Codice_App Materia Data
Ipergrafo associato allo schema
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Mat_Stud Nome Cognome
Codice_App Materia Data
Ipergrafo associato allo schema
Nome
Cognome
Mat_Stud
Data
Materia
Codice_App
Grafo associato allo schema
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Mat_Stud Nome Cognome
Codice_App Materia Data
Ipergrafo associato allo schema
Nome
Cognome
Mat_Stud
Data
Materia
Codice_App
Grafo associato allo schema
Lo schema è buono solo se il grafo associato è cordale
Applicazioni dei grafi triangolati
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
s t
v
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
s t
v
Motivazioni: •Collegato alla teoria dei grafi perfetti•Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
s t
v
Motivazioni: •Collegato alla teoria dei grafi perfetti•Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti
Risultati: •NP-Completo
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
1
4
5
3
6
2X
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
X1
4
5
3
6
2
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
CH(X)1
4
5
3
6
2
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
CH(X)
Motivazioni: •Collegato alla teoria delle basi di dati•Collegato alla teoria della convessità
1
4
5
3
6
2
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Motivazioni: •Collegato alla teoria delle basi di dati•Collegato alla teoria della convessità
Risultati: •Algoritmo polinomiale
CH(X)1
4
5
3
6
2
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Motivazioni: •Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari•Teoria dei grafi
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Motivazioni: •Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari•Teoria dei grafi
Risultati: •Algoritmo semplice e veloce quando il grafo è denso•Implementazione in C e confronto con gli algoritmi esistenti
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Motivazioni: •Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Motivazioni: •Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale
Risultati: •Algoritmo con O(1) per decidere se un arco può essere aggiunto od eliminato e O(n2) per modificare le strutture dati.
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x1
x2 x3
x4
x5
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =3
x1 =0x4 =2
x3 =1
x5=1
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =2
x1 =1x4 =1
x3 =2
x5=1
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =2
x1 =1x4 =1
x3 =2
x5=1
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =2
x1 =1x4 =1
x3 =2
x5=1
Motivazioni: •Protezione della privacy
Risultati: •Diversi algoritmi lineari nelle dimensioni del grafo (ottimi)