GrafosParte2

5/24/2018 GrafosParte2

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CAMINOS YCIRCUITOS

En un grafo se puede recorrer la informacin dediferentes maneras para llegar de un punto aotro.

Camino cualquier secuencia de nodos en la que cada parson adyacentes.

Circuito (Ciclo) Es un camino del vrtice w al vrtice w, esto es,un camino que regresa al mismo vrtice de dondesali.

Circuito simplede longitud n Es aquel camino del vrtice w al vrtice w quesolamente tiene un ciclo en la ruta que sigue

Camino simplede longitud n

Es una sucesin de aristas que van de un vrtice xa un vrtice w, en donde las aristas que componendicho camino son distintos e iguales a n, Estosignifica que no se puede pasar dos veces por una

misma arista.


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h

a

b

c

d

e

g

f

Recorrido Camino Camino

simple de

longitud n

Circuito Circuito

simple de

longitud n

{a,b,c,e,d,f} L = 5

{a,h,a,b,c}

{c,e,e,d,c,b} L = 5

{d,e,g,e,e,d}

{e,e} L = 1

{h,a,b,c,a,h} {c,d,e,c} L=3 L = 3

{a,b,c,d,e,c}

{a,h,a} L = 2

{b,a,c,d,f}

L = 4

Ejemplo: Dado el grafo


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CAMINO DE EULER

Es aquel camino que recorre todos los vrticespasando por todos los arcos solamente una vez

b

a

f

e

g

hd

i

c

Caminos de Euler:

{a,b,e,d,c,f,g,d,h,h,i,g}{g,i,h,h,d,g,f,c,d,e,b,a}

Un camino de Euler siempre inicia y terminaen un vrtice de grado impar.

Si un grafo tiene mas de dos vrtices de gradoimpar no puede tener caminos de Euler.


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CIRCUITO DE EULER

Es aquel ciclo que recorre todos los vrtices pasandopor todos los lados solamente una vez. Un grafo tieneun camino Euleriano pero no un circuito Euler si y solosi tiene exactamente 2 vrtices de grado impar.

Un multigrafo conexo tiene un circuito Euleriano si ysolo si cada vrtice tiene grado par.

Algoritmo de Fleury para un circuito de Euler1. Verificar que es conexo con todos los vrtices par2. Seleccionar un vrtice arbitrario3. Seleccionar una arista a partir del vrtice actual que no sea puente (

es decir que no desconecte el grafo), a menos que no haya otraalternativa

4. Desconectar los vrtices que estn unidos por la arista seleccionada5. Si todos los vrtices ya estn desconectados, ya se tiene el circuito de

Euler. De otra forma continuar con el paso 3


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Iniciamos el recorrido en el nodo a ypodemos seleccionar la arista (a,b) o (a,c)ya que no son puentes, consideremos (a,b)

a

b c

d e f

Ejemplo deCircuito de Euler

a

b c

d e f

Circuito

(a,b)

Desconectamos la arista

a

b c

d e f

Ahora podemos tomar (b,c), (b,d)

o (b,e), seleccionamos (b,c)a

b c

d e f

Circuito(a,b,c)

a

b c

d e f

Desconectamos la arista


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a

b c

d e f

a

b c

d e f

Circuito

(a,b,c,e)

Eliminando la arista se tiene

a

b c

d e f

Del vrtice actual c se puede seleccionar (c,e) o(c,f) y no (c,a) ya que se desconectara el grafo,as seleccionamos (c,e)

a

b c

d e f

a

b c

d e f

Seleccionamos (e,d)

Ahora solo quedan lados puente por loque habr que seleccionarlos

a

b c

d e f

Circuito de Euler (a,b,c,e,d,b,e,f,c,a)

Circuito (a,b,c,e,d)

(a,b,c,d,e,d,b)


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CIRCUITO HAMILTONIANO Se trata de un problema similar al del circuito

de Euler, con la diferencia que en lugar depasar por todos los lados del grafo solamenteuna vez, en el circuito de Hamilton se pasa porcada vrtice solamente una vez.

a

c

d g

e

fh

b

j

i

a

c

d g

e

fh

b

j

i

Circuito de Hamilton{a,b,h,g,e,j,i,f,d,c,a}


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Multigrafo: es un grafo con varias aristas entre dos vrtices. Un grafo es conexo:

Si para cada par de vrtices existe un camino que los conecta, en casocontrario diremos que es desconexo.

Todo grafo con un punto de corte no es hamiltoniano.

Si un multigrafo es euleriano, todo vrtice de G tiene gradopar. Si un multigrafo G tiene un camino euleriano no cerrado,

entonces G tiene exactamente dos vrtices con grado impar. Si todos los vrtices de un multigrafo conexo tienen grado par

entonces dicho multigrafo es euleriano.

Si un multigrafo conexo tiene exactamente dos vrtices congrado impar, entonces, admite un camino euleriano nocerrado.

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vrtices pueden formarsedos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacenciasentre vrtices pertenecientes al mismo conjunto


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ISOMORFISMO

Se dice que dos grafos G1 y G2 son isomorfos

cuando teniendo apariencia diferente soniguales, porque coinciden en: El nmero de aristas El nmero de vrtices

El conjunto de grados Ser o no conexos El nmero de circuitos de longitud n Tener o no circuito de Euler


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EJEMPLO: DETERMINAR SI LOS GRAFOS G1YG2 SONISOMORFOS

Aplicando una funcin biyectiva a cada vrtice deG se mapea en G y una funcin biyectiva acada vrtice de G se mapea en G .

b

da

ec

f

2

63

45

1Isomorfos

a

b

d

fe

c


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TABLA COMPARATIVA DE G1Y G2Propiedad G1 G2 Observacin

Nmero devrtices

6 6

Nmero dearistas

10 10

Grados 2,4,4,4,4,2 4,2,2,4,4,4 Coinciden en el mismo nmerode vrtices y de grados 2 y 4.

Conexo Si Si para cualquier par de vrticesse puede encontrar un camino

Camino deEuler

No No Todos los vrtices son de gradopar

Circuito deEuler

Si Si Todos los vrtices tienen gradopar

Circuitos delongitud n (en este casode longitud 3)

6a,b,d,ab,e,c,bb,d,c,bb,d,e,bc,d,e,cc,e,f,c

61,3,5,11,6,4,11,4,5,11,5,6,12,4,6,24,5,6,4

En lugar de tener longitud 3,se puede ver cuntos circuitostienen de longitud 4. Pero encualquier caso deben decoincidir


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APLICACIONES:COLORACIN DE GRAFOS

Sea G(V,A) un grafo y sea C unconjunto de colores. La coloracin delos vrtices V del grafo usando uncolor del conjunto C se encuentradada por la funcin.

f: V C tal que v1, v2 V adyacentesf(v1) f(v2)

Esto significa que cada par de vrticesadyacentes debern estar iluminados con uncolor diferente

En la coloracin de grafos se busca usar la menorcantidad de colores posible


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NUMERO CROMTICO X(G)

Se llama nmero cromtico del grafo G al nmero mnimo de

colores con que se puede colorear un grafo, cuidando que losvrtices adyacentes no tengan el mismo color.

Pasos para colorear un grafo:

1. Seleccionar el vrtice v de mayor grado e iluminarlo concualquier color del conjunto C

2. Colorear los vrtices adyacentes al vrtice v verificandoque no existan vrtices adyacentes del mismo color. Encaso de ser necesario intercambiar colores. Si ya estncoloreados todos los vrtices, terminamos, en casocontrario continuar con el paso 3

3. Seleccionar el vrtice v de mayor grado que ya estecoloreado y que todava tenga vrtices adyacentes sincolorear. Regresar al paso 2


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CARACTERSTICAS DEL NMERO CROMTICO

5. En general la mayora de los grafos tienen un X(G)n porque seentiende que no estn relacionados todos los vrtices entre s.

6. Los grafos bipartitos obipartitos completos(Kn,m) tienen un nmerocromtico X(G) = 2

Grafo bipartito bipartito completo (K2,3)

7. Todos los rboles decualquier orden tienennmero cromtico

X(G)=2 o bien se diceque son 2-coloreable

X(G) = 2

c

a b c e

a

b c

d e f

b

ad

d

e f g

h i j k


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EJEMPLO: COLOREO DE GRAFOS

Considere que se desea iluminar el siguientegrafo G y que se dispone para ello el conjunto C={1,2,3,4,5}

e

a

b

f

c d

h

g

e

a

b

f

c d

h

g


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CARACTERSTICAS DEL NMERO CROMTICO

El nmero cromtico posee las siguientes siete

caractersticas fundamentales:

1. Un grafo G tiene un X(G) =1 siy slo si no tiene aristas X(G) = 1

2. El X(G) para un camino o un

ciclo de longitud 2 es X(G)=2 yaque se podrn alternar los colores X(G) = 2

3. Si el grafo G tiene un ciclo delongitud impar entonces X(G)3

X(G) = 3 X(G) = 4

4. El nmero cromtico del grafocompleto Kn es X(Kn)=n,considerando que un grafo Kntodos los vrtices son adyacentes

entre s. X(K 4) = 4

a

a b c a b

a

b ca

b

d

e

c

f

g

c

a

d

b


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EJERCICIO

Determinar si hay camino de Euler, circuito deeuler, circuito hamiltoniano.

Colorea el grafo.

a

b c

d e

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