GRAFOVI ELEKTRIČNIH MREŽA Zadatak #1:

Za orijentisani graf mreže sa slike 1.1 odrediti:

a) potpunu matricu incidencije čvorova 0A ; b) matricu incidencije čvorova A uzimajući čvor ③ za referentni čvor.

Formirajući vektor kolonu struja grana mreže , pokazati da jednačina predstavlja matrični oblik jednačina Kirhofovog zakona za struje (KZS) prema usvojenim referentnim smjerovima i numeraciji kao na orijentisanom grafu.

[ 1 2 6, ,..., Ti i i=i ] 0 =A i 0

2

34

1 2

54

6

3

1

slika 1.1. Analizirani orijentisani graf mreže Rješenje:

a) Elementi potpune matrice incidencije čvorova definisani su relacijom: ika 0A

ukoliko grana izlazi iz čvora

ukoliko grana završava u čvoru

ukoliko grana i čvor nisu incidentni

1,

1,

0,

ik

k i

a k

k i

⎧⎪⎪= −⎨⎪⎪⎩

i

Za orijentisani graf sa slike 1.1 matrica ima oblik: 0A

0

1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A

b) Matrica incidencije čvorova dobija se eliminacijom vrste u matrici koja odgovara referentnom čvoru – u ovom slučaju izostavljanjem treće vrste u matrici :

A 0A

0A

1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1

⎡ ⎤−⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A

3

Napisana u razvijenom obliku za dati orijentisani graf, matrična jednačina glasi: 0 =A i 0

1

2

3

4

5

6

1 0 0 1 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0

00 0 1 1 0 1

00 1 0 0 1 1

i

i

i

i

i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

0

1

0 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(1)

Poslije elementarnih množenja, jednačina (1) može se napisati u algebarskoj formi: 1 4 5

1 2 3

3 4 6

2 5 6

0

0

0

0

i i i

i i i

i i i

i i i

− + =

− + + =

− + − =

− − + =

(2)

Posmatranjem sistema jednačina (2) može se zaključiti da se predznaci za struje grana mogu odrediti na osnovu koeficijenata matrice . Pošto sistem jednačina (2) predstavlja KZS za dati orijentisani graf, to se isti može napisati u matričnoj formi (1), odnosno kao matrična jednačina koja predstavlja KZS u matričnom obliku.

0A

0 =A i 0

Zadatak #2:

Za jedan orijentisani graf sa izabranim čvorom ② kao referentnim čvorom, poznata je matrica incidencije čvorova u obliku: A

1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A

Nacrtati orijentisani graf mreže za ovaj slučaj sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana, odnosno numeracije čvorova. Rješenje:

Orijentisani graf mreže je u cjelosti određen pomoću potpune matrice incidencije čvorova koju je moguće formirati na način da se matrica incidencije čvorova proširi sa vrstom koja odgovara referentnom čvoru ②, a čiji su elementi izabrani tako da je zbir elemenata u svakoj koloni matrice jedank nuli. Tako bi matrica imala oblik:

0AA

0A

0A

0

1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0

1 1− −

A

⎥

4

Pošto matrica ima dimenzije ( , to se može zaključiti da analizirani orijentisani graf sadrži čvorova i grana. Vodeći računa o usvojenoj konvenciji za formiranje elemenata

potpune matrice incidencije čvorova , to je orijentisani graf za datu matricu , odnosno matricu sa čvorom ② kao referentnim čvorom, dat na slici 2.1 na kojoj su naznačeni smjerovi i numeracija grana, odnosno numeracija čvorova.

0A )n lN N×5nN = 8lN = ika

0A 0A A

6

2

5

1 3

45 3

721

8

4

slika 2.1. Rezultantni orijentisani graf Zadatak #3:

Za orijentisani graf predstavljen na slici 2.1 u prethodnom zadatku, poznata je vektor kolona napona čvorova , pri čemu je čvor ② uzet kao referentni čvor. Korištenjem matrične jednačine odrediti vektor napona grana mreže v .

[ 1 3 4 5, , , Tn n n n nv v v v=v ]

3

4

5

6

v

v

v

v

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

Tn=v A v

Rješenje:

Za orijentisani graf sa slike 2.1, uz čvor ② kao referentni čvor, matrična relacija napisana u razvijenom obliku glasi:

Tn=v A v

1 1

1 2

1 4 5

3 1 3

4 5

5 3 4

3 5 7

4 8

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 1 1

1 1 0 0

0 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

n

n

n n n

n n nTn

n n

n n n

n n

n

v v

v v

v v v

v v v

v v

v v v

v v v

v v

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − +− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

v A v

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Zadatak #4:

Za orijentisani graf mreže sa slike 4.1 odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji usvajajući orijentaciju unutrašnjih petlji u smjeru kazaljke na satu, a orijentaciju vanjske petlje u suprotnom smjeru.

0M

5

8

3

1 3

5

2

4

7

4

1

5

2

6

9

slika 4.1. Analizirani orijentisani graf mreže Rješenje:

Elementi potpune matrice incidencije grana i petlji definisani su relacijom: ikm 0M

za granu u petlji , čiji se smjerovi poklapaju

za granu u petlji , čiji su smjerovi suprotni

ukoliko grana ne pripada petlji

1,

1,

0,

ik

k i

m k i

k i

⎧⎪⎪= −⎨⎪⎪⎩

Za dati orijentisani graf, na slici 4.2 predstavljene su unutrašnje petlje, odnosno vanjska petlja prema definisanoj orijentaciji. Ovdje je broj unutrašnjih petlji 1 9 5 1 5p l nN N N= − + = − + = .

8

3I

V

VI

II

III

IV

1 3

5

2

4

7

4

1

5

2

6

9

slika 4.2. Ilustracija koncepta unutrašnjih i vanjske petlje Prema referentnim smjerovima grana i petlji sa slike 4.2, matrica ima oblik: 0M

6

0

1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

Zadatak #5:

Za orijentisani graf mreže predstavljen na slici 4.1 u prethodnom zadatku, odrediti:

a) potpunu matricu incidencije čvorova 0A ; b) matricu incidencije čvorova A uzimajući čvor ③ za referentni čvor; c) potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M u slučaju da je u analiziranom grafu uvedena nova

grana 10 orijentisana iz čvora ② ka čvoru ④.

Rješenje:

a) Analizirani orijentisani graf sadrži 9lN = grana i 5nN = čvorova, pa je matrica dimenzija i data u obliku:

0A( ) (5n lN N× = × 9)

0

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A

b) Izostavljajući treću vrstu u matrici , koja odgovara referentnom čvoru ③, matrica incidencije čvorova poprima oblik:

0AA

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A

c) U slučaju da je u analiziranom grafu uvedena nova grana 10 orijentisana iz čvora ② ka čvoru ④, novi orijentisani graf ima izgled kao na slici 5.1 na kojem je naznačen odabir i orijentacija unutrašnjih petlji, odnosno vanjske petlje. Novi orijentisani graf sadrži 10lN = grana i čvorova, pa je broj unutrašnjih petlji .

5nN =1 10 5 1 6p l nN N N= − + = − + =

7

8

3I

V

VII

II

III

VI

IV

1 3

5

2

4

710

4

1

5

2

6

9

slika 5.1. Modifikovani orijentisani graf uvođenjem nove grane sa predstavom unutrašnjih i vanjske petlje

Za novi orijentisani graf matrica ima dimenzije ( 10M ) (7 1p lN N 0)+ × = × , a prema referentnim smjerovima grana i petlji sa slike 5.1, oblik matrice bio bi sljedeći: 0M

0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

M−

−⎢⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A 0

1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0

?

1 0 0 0 0 0

?

?

0 0

Zadatak #6:

Za jedan orijentisani graf djelimično su poznate matrice i : 0A 0M

0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

? ? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

0 ?

−⎡ ⎤⎢ ⎥

⎥

1 0 1 0 0

0 0 0

? ? ?

? ? ? ?

? ?

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

Napisati izostavljene elemente kod ovih matrica, te nacrtati orijentisani graf mreže sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana i petlji, odnosno čvorova.

8

Rješenje:

Na osnovu dimenzija matrice , 0A ( n lN N )× , odnosno matrice , 0M ( 1pN N )l+ × , zaključuje se da orijentisani graf sadrži 12lN = grana, 8nN = čvorova i 1 5p l nN N N= − + = unutrašnjih petlji. Koristeći se osobinom matrica i da su njihove vrste međusobno zavisne, odnosno ako se bilo kojoj vrsti matrice , ili matrice dodaju sve ostale vrste, dobit će se nula-vrsta (zbir elemenata u svakoj vrsti matrice , odnosno matrice , jednak je nuli), onda nije teško zaključiti vrijednosti nedostajućih elemenata u ovim matricama:

0A 0M

0A 0M

0A 0M

0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0

1

1

0

1

1 1

0

1

1

1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A 0 0

1 1 0 0 0 0 0

1 1

0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0−

−

0 1 0

0 0 1 0

0 0 1 0

1 1

0 0 0 0 0 0

0

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

−

−

Orijentisani graf mreže dat je na slici 6.1. na kojem su naznačeni referentni smjerovi i numeracija grana i petlji, odnosno numeracija čvorova.

5

48

3

2

6

7

12

11

9

3

8 10

12

1

7 5

6

4

V

VI

I

III IVII

slika 6.1. Rezultantni orijentisani graf Zadatak #7:

Za jednu električnu mrežu može se predstaviti orijentisani graf kao na slici 7.1. Birajući fundamentalno stablo tako da ono bude obrazovano od proizvoljno odabranih grana, odrediti matricu incidencije grana i

9

fundamentalnih presjeka Q . Renumeracijom grana na orijentisanom grafu, napisati matricu Q u obliku f n= ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I .

9

4 3

1

5

2 6

12

6

10

117

85

4

3

slika 7.1. Analizirani orijentisani graf Rješenje:

Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q definisani su relacijom: ikq

ukoliko presjek sadrži granu i ako imaju saglasne smjerove

ukoliko presjek sadrži granu i ako su im smjerovi suprotni

ukoliko grana ne pripada presjeku

1,

1,

0,

ik

i k

q i k

k i

⎧⎪⎪= −⎨⎪⎪⎩

Orijentisani graf sa slike 7.1 sadrži 11lN = grana i 6nN = čvorova, pa se za njega može odrediti

fundamentalnih presjeka. Fundamentalno stablo za analizirani orijentisani graf sastavljeno je od grana. Birajući fundamentalno stablo sastavljeno od grana 1,3,4,6,10, te birajući fundamentalne presjeke kao što je predstavljeno na slici 7.2,

1 5nn N= − =1 5nn N= − =

9

4 3

1

5

2 6

12

6

10

11

7S1

S5

S4

S3

S2

85

4

3

slika 7.2. Ilustracija formiranja fundamentalnih presjeka matrica incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q , prema elementima sa slike 7.2, ima oblik:

10

0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Q−

Da bi matrica imala strukturu oblika Q f n= ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I , pri čemu je jedinična matrica dimenzija

( ), a submatrica incidencije grana spojnica i fundamentalnih presjeka čije su dimenzije (

nI( )n n× 1nn N= − fQ

( )kn N× 1k l nN N N= − + ), potrebno je da se grane spojnica numerišu sukcesivnim brojevima od 1 do , a grane fundamentalnog stabla sukcesivnim brojevima od do . kN 1kN + lN Renumeracija grana fundamentalnog stabla izvršena je kao na slici 7.3, uz isti odabir fundamentalnih presjeka, pa je matrica oblika Q f n= ⎡⎣Q Q I ⎤⎦ data kao:

1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

3

4 3

1

5

2 6

102

8

9

6

1S1

S5

S4

S3

S2

45

7

11

slika 7.3. Renumeracija grana fundamentalnog stabla za formiranje matrice Q oblika f n= ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I Zadatak #8:

Za orijentisani graf mreže sa slike 7.3 u prethodnom zadatku, potrebno je:

a) odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M ; b) odrediti matricu incidencije grana i fundamentalnih kontura B ; c) pokazati međusobni odnos među matricama B i Q oblika T =BQ 0 ; d) pokazati međusobni odnos među submatricama fB i fQ oblika T

f f= − . B Q Rješenje:

a) Na slici 8.1 naznačen je odabir i orijentacija unutrašnjih petlji, odnosno vanjske petlje, pri čemu je broj unutrašnjih petlji 1 11 6 1 6p l nN N N= − + = − + = .

11

3

4 3

1

5

2 6

102

8

9

61

45

7

11

I III

VIII

IV

V

VII

slika 8.1. Orijentisani graf sa naznakom unutrašnjih i vanjske petlje

Potpuna matrica incidencije grana i petlji data je u obliku: 0M

0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

b) Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih kontura B definisani su relacijom: ikb

ukoliko kontura sadrži granu i ako imaju saglasne smjerove

ukoliko kontura sadrži granu i ako su im smjerovi suprotni

ukoliko grana ne pripada konturi

1,

1,

0,

ik

i k

b i k

k i

⎧⎪⎪= −⎨⎪⎪⎩

Orijentisani graf sa slike 7.3 sadrži 11lN = grana i 6nN = čvorova, pa se za njega može odrediti

fundamentalnih kontura. Ilustracija odabira i orijentacije fundamentalnih kontura data je na slici 8.2.

1 6k l nN N N= − + =

II VIV

III

VI

I

3

4 3

1

5

2 6

10

2

8

9

6

1

45

7

11

slika 8.2. Orijentisani graf sa odabirom i orijentacijom fundamentalnih kontura

12

U analiziranom primjeru odabir kontura je vršen tako da grana – spojnica 1 formira konturu I, spojnica 2 konturu II, itd. Matrica incidencije grana i fundamentalnih kontura B data je u obliku

ln f= ⎡ ⎤⎣ ⎦B I B :

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

B

c) Proizvod matrica , pri čemu je matrica Q određena u prethodnom zadatku, dat je kao: TBQ

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 0 1 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 00 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1

0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ − −= ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎣ ⎦

BQ

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

0

d) U prethodnom zadatku matrica Q je data u obliku f n= ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I , pa je submatrica : fQ

1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1

f

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

U tački b) matrica je predstavljena u obliku B

ln f= ⎡ ⎤⎣ ⎦B I B , pa je submatrica : fB

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 0 1 1

1 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 1 1

f

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

B

Pošto je:

13

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 0 1 1

1 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 1 1

Tf

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

to se pokazuje međusobni odnos među submatricama i oblika . fB fQT

f f= −B Q Zadatak #9:

Za jedan orijentisani graf poznata je potpuna matrica incidencije čvorova oblika: 0A

0

1 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

Potrebno je:

a) nacrtati orijentisani graf mreža sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana, odnosno numeracije čvorova;

b) izabrati sistem fundamentalnih presjeka, a potom odrediti matricu incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q ;

c) pretpostavljajući da su poznati naponi grana fundamentalnog stabla u , odrediti napone svake grane orijentisanog grafa v ;

d) izabrati sistem fundamentalnih kontura, a potom odrediti matricu incidencije grana i fundamentalnih kontura B ;

e) pretpostavljajući da su poznate struje fundamentalnih kontura kj , odrediti struje u svakoj grani orijentisanog grafa i .

Rješenje:

a) Orijentisani graf mreža sa izabranom orijentacijom i numeracijom grana, odnosno numeracijom čvorova, a kojem odgovara matrica , predstavljen je na slici 9.1. 0A

5

2

4

1

3

2

4

1

6

3

5

7

slika 9.1. Rezultantni orijentisani graf

14