Upload
laongphan-phan
View
909
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
สารบญ
• ทฤษฎกราฟเบองตน
• ลกษณะของเสนเชอม จดยอดประชด
• ดกรของจดยอด ทฤษฎบททสาคญ
• กราฟออยเลอร กราฟเชอมโยง วงจรออยเลอร
• การประยกตของกราฟ วถสนทสด,วฏจกร,ตนไม
• กราฟยอย ตนไมแผทว
• การแปลงปญหาเปนกราฟถวงน าหนก
ตวแบบเชงคณตศาสตร ( mathematical model )
สมการ
เชงเสน
กราฟ
เสนตรง
ความสม
พนธและ
ฟงกชน
เซต
แผนภาพ
เวนนออย
เลอร
ตรรกศา
สตร
ตารางคา
ความ
จรง
ทฤษฎ
กราฟ
สวนประกอบของกราฟ (G)
• เซตของ จดยอด (vertices) แทนดวย V(G)
• เซตของ เสนเชอม (edges) แทนดวย E(G)
G = (V, E)
V(G) = {A, B, C, D}
E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}
การจาแนกประเภทของกราฟ
Non-directed graph
กราฟไมระบทศทาง
Directed graph
กราฟระบทศทาง
กราฟทไมมเสนเชอมขนาน และไมมวงวน
กราฟเชงเดยว (simple graph)
กราฟทมเสนเชอมขนาน หรอมวงวน
กราฟหลายเชง (multi graph)
G H R
นยาม
a
b
cd
f
จดยอด a และจดยอด b เปนจดยอดประชด
จดยอด a และจดยอด d เปนจดยอดประชด
จดยอด c และจดยอด f เปนจดยอดประชด
a
b
cd
f
ab และ ad เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด aba และ bc เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด bcb,cf และ cd เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด
cfc เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด f
พจารณากราฟตอไปน
จดยอด จานวนครงทงหมดท
เสนเชอมเกดกบจดยอด
หมายเหต: วงวนมจานวนครงทเสนเชอมเกดกบจดเปน 2
2
4
4
2
abcd
นยาม
• ดกร (degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ
จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v
• ใชสญลกษณ deg v แทน ดกรของ v
deg A =
deg B =
deg C =
deg D =
deg E =
2
3
2
3
0ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด = 2+3+2+3+0
( )10v
GVv=∑
∈deg
หาจานวนเสนเชอม และผลรวมของดกรของจดยอดทกจด
ในกราฟแตละกราฟตอไปน
( )deg
v V Gv
∈∑ =
( )deg
v V Gv
∈∑ =
8
10
จานวนเสนเชอม =
จานวนเสนเชอม =
4
5
พจารณากราฟอน ๆ จากเอกสาร และหาจานวน
เสนเชอมผลรวม และผลรวมของดกรของจดยอด
ทกจดในกราฟแตละกราฟ
ทานไดขอคนพบอะไรบาง
( )deg
v V Gv
∈∑ = 12
จานวนเสนเชอม = 6
ทฤษฎบทท 1
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ
เทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ
หรอ
จานวนเสนเชอมในกราฟ เปนครงหนงของ
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ
ตวอยาง 1 มเสนเชอมกเสนในกราฟทมจดยอด
10 จด แตละจดยอดมดกรเปน 6
แนวคด( )
degv V G
v∈∑ = 2m
6 x 10 = 2m
60 = 2m
m = 30
ตวอยาง 2 จงหาจานวนจดยอดของกราฟทม
เสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จด ทมดกร 4
สวนจดยอดทเหลอมดกร 3
แนวคด
(3x4)+ 3n = 2x153n = 30 - 12
ให n เปนจานวนจดยอดทมดกร 3
n = 6ดงนน กราฟนมจานวนจดยอด 3+6 = 9 จด
ตวอยาง 3 จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวาจะม
กราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอดคอ
1, 1, 2 และ 3
แนวคด
1+1+2+3 = 2m
7 = 2mขดแยงกบทฤษฎ
ดงนน เปนไปไมไดทจะมกราฟดงกลาว
นยาม
จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค
จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค
จดยอดค :
จดยอดค :
A และ D
B และ C
ตวอยาง 1 ในหองประชมแหงหนงมผเขารวม
ประชมทงหมด 23 คน เปนไปไดหรอไมวา
ผเขารวมประชมแตละคนจบมอทกทายผเขารวม
ประชมคนอนเพยง 7 คนเทานน
แนวคด ใหจดยอดแทนผเขารวมประชม และ
เสนเชอมแทนการจบมอทกทายจะได กราฟมจดยอด 23 จด แตละจดมดกร 7
นนคอ กราฟมจดยอดคเปนจานวน 23 จด
23 เปนจานวนค ขดแยงกบทฤษฎบทท 2
เรยกลาดบ (ทประกอบดวยจดสลบกบเสน) ดงเชน
C, e7,B, e6,D
C, e1, A, e3,D
C, e7,B, e5, A, e3,D
วา แนวเดน C–D
นยาม
นยาม
กราฟ G เรยกวา กราฟเชอมโยง (connected graph)
กตอเมอสาหรบจดยอด u และ v ทเปนจดยอดตางกน
ในกราฟ G จะมแนวเดน u-v
หรอพดงายๆไดวา ทกๆจดยอดมแนวเดนถงกน
นยาม
วงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน
โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน
วงจร คอ แนวเดนซงเรมและจบทจดยอดเดยวกน
โดยไมใชเสนเชอมซากนเลย
หรอ
นยาม
วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสน
ของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอร
กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร
ปญหาสะพานน ถกแกโดย
นกคณตศาสตรชอ
เลออนฮารด ออยเลอร
ในป ค.ศ.1736
การแกปญหากเพยง
พจารณาวากราฟทางขวา
“เปนกราฟออยเลอรหรอไม”
กราฟใดเปนกราฟออยเลอร
321 GGG
G1 เปนกราฟออยเลอร เพราะทกจดยอดเปนจดยอด
ค G2 ไมเปนกราฟออยเลอร
G3 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะไมเปนกราฟเชอมโยง
การประยกตของกราฟ
วถทสนทสด
กราฟนเปนกราฟถวงนาหนก ซงจาลองจากแผนทเมอง
โดยใหจดยอดแทนเมอง และเสนเชอมแทน
ถนน และคานาหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวาง
เมองสองเมอง
หาเสนทาง (แนวเดน) ทงหมดจาก A ไป E
(ทไมผานเมองซากน) 1: A, B, D, E 2 + 1 + 3 = 6 กม.
2: A, B, D, F, E 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กม.
3: A, B, D, C, F, E 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กม.
4: A, C, F, E 5 + 6 + 2 = 13 กม.
5: A, C, F, D, E 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กม.
6: A, C, D, E 5 + 3 + 3 = 11 กม.
7: A, C, D, F, E 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กม.
นยาม
วถ คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน
วถท สนทสด จากจดยอด A ถง Z ในกราฟถวงนาหนก
คอวถ A-Z ทผลรวมของคานาหนกในวถ A-Z นอยทสด
นยาม
กราฟยอย ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวย
จดยอดและเสนเชอมใน G
กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G
ถา V(H) V(G) และ E(H) E(G) ⊂ ⊂
V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D }
E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD}
จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G
กราฟ H1, H2 , H3 , H4 และ H5 กราฟใดเปน
กราฟยอยของกราฟ G ทบรรจทกจดของกราฟ G
ทเปนตนไม
G:
เขยนลงกระดาษไว
ตวอยาง ปญหาการวางสายโทรศพท
• บรษทรบเหมาตดตงโทรศพทแหงหนง ตองการวางสายโทรศพทเชอมระหวางหมบาน A, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศพทขนอย กบความยาวของสาย โทรศพท บรษทนจะวางสายโทรศพทอยางไรใหเสยคาใชจายนอยทสด เมอกาหนดตารางแสดงระยะทาง (กโลเมตร) ของถนนทเชอมระหวางหมบานดงน
หมบาน A B C D E F
A - 30 - - - 40
B 30 - 10 - 50 20
C - 10 - 20 30 -
D - - 20 - 10 20
E - 50 30 10 - 60
F 40 20 - 20 60 -
ขนท 6
• เลอกเสนเชอมทเหลอทมคานาหนกตาสด
• ในทนเหลอ BF ซงมคานาหนก 20
• แตเลอกไมได เพราะถาเลอกแลวจะเกดวฏจกร
• จงตองเลอกคานาหนกเสนเชอมเปน 30 แทน
• มสองทางคอ AB และ CE
• แตถาเลอก CE แลวจะเกดวฏจกร จงเลอก AB
ไดตนไมแผทวนอยทสดทมผลรวมของคานาหนกเสนเชอม
10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90
3010
20
2010A
B C
D
E
F ดงนนบรษทรบเหมาแหงนตองวางสายโทรศพทตามถนน ซงมระยะทาง 90 กโลเมตร
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. เขยนกราฟเมอกาหนดจดยอด (Vertex) และ
เสนเชอม(Edge) ให และระบไดวากราฟท
กาหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม
2. นาความรเรองกราฟไปใชแกปญหาบาง
ประการได
กราฟชนดอน ๆ ทนาสนใจศกษา
• Complete graph กราฟบรบรณ
• Planar graph กราฟเชงระนาบ
• Bipartile graph กราฟสองสวน
• Perfect graph กราฟสมบรณ
• Line graph กราฟเสน
• Cograph โคกราฟ