ทฤษฎกราฟเบองตน

ครบญญต ศรประเสรฐ

กลมสาระคณตศาสตร

โรงเรยนเตรยมอดมศกษาภาคใต

สารบญ

• ทฤษฎกราฟเบองตน

• ลกษณะของเสนเชอม จดยอดประชด

• ดกรของจดยอด ทฤษฎบททสาคญ

• กราฟออยเลอร กราฟเชอมโยง วงจรออยเลอร

• การประยกตของกราฟ วถสนทสด,วฏจกร,ตนไม

• กราฟยอย ตนไมแผทว

• การแปลงปญหาเปนกราฟถวงน าหนก

ปญหา

ตวแบบเชงคณตศาสตร ( mathematical model )

วเคราะห

แกปญหา

ตวแบบเชงคณตศาสตร ( mathematical model )

สมการ

เชงเสน

กราฟ

เสนตรง

ความสม

พนธและ

ฟงกชน

เซต

แผนภาพ

เวนนออย

เลอร

ตรรกศา

สตร

ตารางคา

ความ

จรง

ทฤษฎ

กราฟ

ตวอยางของกราฟ

สวนประกอบของกราฟ (G)

• เซตของ จดยอด (vertices) แทนดวย V(G)

• เซตของ เสนเชอม (edges) แทนดวย E(G)

G = (V, E)

V(G) = {A, B, C, D}

E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}

ขอสงเกต

• V(G) ไดหรอไม=∅

• E(G) ไดหรอไม=∅

ไมได เพราะถาไมมจดยอดเลย กไมมอะไร

ใหพจารณาเปนกราฟไดเลย

ได

• เสนเชอม เปนสวนของเสนตรง,เสนโคง หรอ เสนคดกได

ขอสงเกต

• เสนเชอมสองเสนอาจตดกนได โดยจดตดไมถอเปนจดยอด

ขอสงเกต

แบบฝกทกษะ

จงหา V(G) และ E(G) เมอกาหนด G ดงน

1. a b

cd

f

a2.

1e

2e

3e 4e

b

c

ลกษณะของเสนเชอม

• เสนเชอมขนาน (parallel edges)

• วงวน (loop)

การจาแนกประเภทของกราฟ

Non-directed graph

กราฟไมระบทศทาง

Directed graph

กราฟระบทศทาง

กราฟไมระบทศทาง

G H R

กราฟ H มเสนเชอมขนาน

กราฟ R มวงวน

กราฟ G ไมมเสนเชอมขนาน ไมมวงวน

สงเกต

กราฟทไมมเสนเชอมขนาน และไมมวงวน

กราฟเชงเดยว (simple graph)

กราฟทมเสนเชอมขนาน หรอมวงวน

กราฟหลายเชง (multi graph)

G H R

นยาม

ทดสอบความเขาใจ

กราฟใดเปนกราฟเชงเดยว และกราฟใดเปนกราฟหลายเชง

4G 5G 6G

พจารณากราฟ G และ H

สงเกต

G H

สรปวา

G และ H เปน

กราฟเดยวกน

G

H

กราฟเดยวกน (identical graphs)

กราฟ G และกราฟ H เปน กราฟเดยวกน

กตอเมอ V(G) = V(H) และ E(G) = E(H)

a

b

cd

f

จดยอด a และจดยอด b เปนจดยอดประชด

จดยอด a และจดยอด d เปนจดยอดประชด

จดยอด c และจดยอด f เปนจดยอดประชด

v

u

จดยอด u และจดยอด v เปนจดยอดประชดกตอเมอ มเสนเชอมระหวางจดทงสอง

นยาม

a

b

cd

f

ab และ ad เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด aba และ bc เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด bcb,cf และ cd เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด

cfc เปนเสนเชอมทเกดกบจดยอด f

เสนเชอม e เกดกบจดยอด v ถา

จดยอด v เปนจดปลายจดหนงของเสนเชอม e

ev

นยาม

พจารณากราฟตอไปน

จดยอด จานวนครงทงหมดท

เสนเชอมเกดกบจดยอด

หมายเหต: วงวนมจานวนครงทเสนเชอมเกดกบจดเปน 2

2

4

4

2

abcd

นยาม

• ดกร (degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ

จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v

• ใชสญลกษณ deg v แทน ดกรของ v

deg A =

deg B =

deg C =

deg D =

deg E =

2

3

2

3

0

พจารณากราฟตอไปน

deg A =

deg B =

deg C =

deg D =

deg E =

2

3

2

3

0ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด = 2+3+2+3+0

( )10v

GVv=∑

∈deg

ทฤษฎบททสาคญ

หาจานวนเสนเชอม และผลรวมของดกรของจดยอดทกจด

ในกราฟแตละกราฟตอไปน

( )deg

v V Gv

∈∑ =

( )deg

v V Gv

∈∑ =

8

10

จานวนเสนเชอม =

จานวนเสนเชอม =

4

5

พจารณากราฟอน ๆ จากเอกสาร และหาจานวน

เสนเชอมผลรวม และผลรวมของดกรของจดยอด

ทกจดในกราฟแตละกราฟ

ทานไดขอคนพบอะไรบาง

( )deg

v V Gv

∈∑ = 12

จานวนเสนเชอม = 6

ทฤษฎบทท 1

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ

เทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ

หรอ

จานวนเสนเชอมในกราฟ เปนครงหนงของ

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ

ให G เปนกราฟทมจานวนเสนเชอมเปน mจะได

( )deg

v V Gv

∈∑ = 2m

( )deg

v V Gv

∈∑ เปนจานวนคเสมอ

ตวอยาง 1 มเสนเชอมกเสนในกราฟทมจดยอด

10 จด แตละจดยอดมดกรเปน 6

แนวคด( )

degv V G

v∈∑ = 2m

6 x 10 = 2m

60 = 2m

m = 30

ตวอยาง 2 จงหาจานวนจดยอดของกราฟทม

เสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จด ทมดกร 4

สวนจดยอดทเหลอมดกร 3

แนวคด

(3x4)+ 3n = 2x153n = 30 - 12

ให n เปนจานวนจดยอดทมดกร 3

n = 6ดงนน กราฟนมจานวนจดยอด 3+6 = 9 จด

ตวอยาง 3 จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวาจะม

กราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอดคอ

1, 1, 2 และ 3

แนวคด

1+1+2+3 = 2m

7 = 2mขดแยงกบทฤษฎ

ดงนน เปนไปไมไดทจะมกราฟดงกลาว

นยาม

จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค

จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค

จดยอดค :

จดยอดค :

A และ D

B และ C

ทฤษฎบทท 2

ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจานวนค

หยดคดสกสองสามนาทวาเพราะอะไร

ตวอยาง 1 ในหองประชมแหงหนงมผเขารวม

ประชมทงหมด 23 คน เปนไปไดหรอไมวา

ผเขารวมประชมแตละคนจบมอทกทายผเขารวม

ประชมคนอนเพยง 7 คนเทานน

แนวคด ใหจดยอดแทนผเขารวมประชม และ

เสนเชอมแทนการจบมอทกทายจะได กราฟมจดยอด 23 จด แตละจดมดกร 7

นนคอ กราฟมจดยอดคเปนจานวน 23 จด

23 เปนจานวนค ขดแยงกบทฤษฎบทท 2

เราสามารถเดนจากจด C ไปยงจด D ไดหลายทาง

เชน C→B→D เขยนเปนลาดบไดวา C, e7,B, e6,D

หรอ C→A→D เขยนเปนลาดบไดวา C, e1, A, e3,D หรออน ๆ

หรอ C→B→A→D เขยนเปนลาดบไดวา C, e7,B, e5, A, e3,D

เรยกลาดบ (ทประกอบดวยจดสลบกบเสน) ดงเชน

C, e7,B, e6,D

C, e1, A, e3,D

C, e7,B, e5, A, e3,D

วา แนวเดน C–D

นยาม

นยาม

กราฟ G เรยกวา กราฟเชอมโยง (connected graph)

กตอเมอสาหรบจดยอด u และ v ทเปนจดยอดตางกน

ในกราฟ G จะมแนวเดน u-v

หรอพดงายๆไดวา ทกๆจดยอดมแนวเดนถงกน

GH

G เปนกราฟเชอมโยง

H ไมเปนกราฟเชอโยง

เปนไปไดไหมทจะเรมตนจากจดหนงบนแผนดน

แลวเดนขามสะพานใหครบทกสะพาน และกลบ

มายงจดเรมตนโดยไมซาสะพานเดมเลย

ใหแผนดนและเกาะเปนจดยอด

และใหสะพานเปนเสนเชอม

ลกษณะของปญหา

เหมอนกบ “การลากเสน

วาดรปโดยไมยกดนสอ”

นยาม

วงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน

โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน

วงจร คอ แนวเดนซงเรมและจบทจดยอดเดยวกน

โดยไมใชเสนเชอมซากนเลย

หรอ

แนวเดน A-A

(ลาดบ A, e2, C, e7, B, e6, D, e4 ,A)

เปนวงจร

สงเกตวา วงจรนไมผานเสนเชอม e1 และ e3

นยาม

วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสน

ของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอร

กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร

ปญหาสะพานน ถกแกโดย

นกคณตศาสตรชอ

เลออนฮารด ออยเลอร

ในป ค.ศ.1736

การแกปญหากเพยง

พจารณาวากราฟทางขวา

“เปนกราฟออยเลอรหรอไม”

ตวอยาง 1 กราฟ G เปนกราฟออยเลอรหรอไม

มวงจรออยเลอร

เปนกราฟออยเลอร

G

A A

B B

C

D

E

F

C

D

E

F

G1

G2

G3

จะทราบไดอยางไรวากราฟใดเปนกราฟออยเลอร

ทฤษฎบทท 3

กาหนดให G เปนกราฟเชอมโยง

G จะเปนกราฟออยเลอร กตอเมอ

จดยอดทกจดของ G เปนจดยอดค

กราฟใดเปนกราฟออยเลอร

G1

G2

G3

กราฟใดเปนกราฟออยเลอร

321 GGG

G1 เปนกราฟออยเลอร เพราะทกจดยอดเปนจดยอด

ค G2 ไมเปนกราฟออยเลอร

G3 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะไมเปนกราฟเชอมโยง

การประยกตของกราฟ

วถทสนทสด

กราฟนเปนกราฟถวงนาหนก ซงจาลองจากแผนทเมอง

โดยใหจดยอดแทนเมอง และเสนเชอมแทน

ถนน และคานาหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวาง

เมองสองเมอง

วถทสนทสด

ภารกจ: ตองการหาระยะทางทสนทสดจาก

เมอง A ไปยงเมอง E (เขยนรปลงกระดาษ)

หาเสนทาง (แนวเดน) ทงหมดจาก A ไป E

(ทไมผานเมองซากน) 1: A, B, D, E 2 + 1 + 3 = 6 กม.

2: A, B, D, F, E 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กม.

3: A, B, D, C, F, E 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กม.

4: A, C, F, E 5 + 6 + 2 = 13 กม.

5: A, C, F, D, E 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กม.

6: A, C, D, E 5 + 3 + 3 = 11 กม.

7: A, C, D, F, E 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กม.

นยาม

วถ คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

วถท สนทสด จากจดยอด A ถง Z ในกราฟถวงนาหนก

คอวถ A-Z ทผลรวมของคานาหนกในวถ A-Z นอยทสด

นยาม

วฏจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซากน

ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

ตนไม คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

ตวอยาง ตนไม

C ไมเปนตนไมเพราะ

D ไมเปนตนไมเพราะ

ไมใชกราฟเชอมโยง

มวฎจกร

ความสมพนธระหวางตนไม จดยอด และ เสนเชอม

1 0

2 1

จานวนจดยอด จานวนเสนเชอมตนไม

จานวนจดยอด จานวนเสนเชอมตนไม

3 2

4 3

5 4

6 5

จานวนจดยอด จานวนเสนเชอมตนไม

7 6

8 7

9 8

ขอสงเกต

1. ตนไมไมมเสนเชอมขนาน และ ไมมวงวน

2. ตนไมทม n จด จะม n – 1 เสนเสมอ

กราฟยอย

นยาม

กราฟยอย ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวย

จดยอดและเสนเชอมใน G

กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

ถา V(H) V(G) และ E(H) E(G) ⊂ ⊂

V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D }

E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD}

จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

กราฟใดเปนกราฟยอยของ G

กราฟใดเปนกราฟยอยของ G

กราฟ H1, H2 , H3 , H4 และ H5 กราฟใดเปน

กราฟยอยของกราฟ G ทบรรจทกจดของกราฟ G

ทเปนตนไม

G:

เขยนลงกระดาษไว

H1:

H4:

H2:

H3:

H5:

ตนไมแผทว คอตนไมซงเปนกราฟยอยของ

กราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดยอด

นยาม

พจารณาตนไมแผทวของกราฟตอไปน

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

da

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

นยาม

ตนไมแผทวทนอยทสด คอ ตนไมแผทวทม

ผลรวมของคานาหนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

1

2

2

47

3 5

6

2

จงหาตนไมแผทวทนอยทสด

1

1

21

หาตนไมแผทวทงหมด (มไมกแบบ)

1 21 1+2+1 = 4

1

21

1+2+1 = 4

H1

H2

1

1

1 1+1+1 = 3H3

ดงนน H3 เปนตนไมแผทวทนอยทสด

ตวอยาง ปญหาการวางสายโทรศพท

• บรษทรบเหมาตดตงโทรศพทแหงหนง ตองการวางสายโทรศพทเชอมระหวางหมบาน A, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศพทขนอย กบความยาวของสาย โทรศพท บรษทนจะวางสายโทรศพทอยางไรใหเสยคาใชจายนอยทสด เมอกาหนดตารางแสดงระยะทาง (กโลเมตร) ของถนนทเชอมระหวางหมบานดงน

หมบาน A B C D E F

A - 30 - - - 40

B 30 - 10 - 50 20

C - 10 - 20 30 -

D - - 20 - 10 20

E - 50 30 10 - 60

F 40 20 - 20 60 -

แปลงปญหาเปนกราฟถวงนาหนก

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

ขนท 1

• จดลาดบเสนเชอม

• เรยงคานาหนกของเสนเชอมจากนอยไปมาก

• 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60

ขนท

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

2 3 4 5

ขนท 6

• เลอกเสนเชอมทเหลอทมคานาหนกตาสด

• ในทนเหลอ BF ซงมคานาหนก 20

• แตเลอกไมได เพราะถาเลอกแลวจะเกดวฏจกร

• จงตองเลอกคานาหนกเสนเชอมเปน 30 แทน

• มสองทางคอ AB และ CE

• แตถาเลอก CE แลวจะเกดวฏจกร จงเลอก AB

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

และเลอกตอไปไมไดแลว

ไดตนไมแผทวนอยทสดทมผลรวมของคานาหนกเสนเชอม

10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90

3010

20

2010A

B C

D

E

F ดงนนบรษทรบเหมาแหงนตองวางสายโทรศพทตามถนน ซงมระยะทาง 90 กโลเมตร

ขอสงเกต

30

20

10

2010

A

B CD

EF

3020

1020

10

A

B CD

EF

ตนไมแผทวทนอยทสดของ

กราฟอาจจะมไดมากกวา

1 แบบ

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. เขยนกราฟเมอกาหนดจดยอด (Vertex) และ

เสนเชอม(Edge) ให และระบไดวากราฟท

กาหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม

2. นาความรเรองกราฟไปใชแกปญหาบาง

ประการได

กราฟชนดอน ๆ ทนาสนใจศกษา

• Complete graph กราฟบรบรณ

• Planar graph กราฟเชงระนาบ

• Bipartile graph กราฟสองสวน

• Perfect graph กราฟสมบรณ

• Line graph กราฟเสน

• Cograph โคกราฟ

ขอบคณครบ

จดเกบเกาอใหเขาท

กอนออกจากหองดวยครบ