Grg csillagszat azalexandriai korszakban

A csillagszat trtnete 1.2017. november 8

Az alexandriai korszak

A vrost Nagy Sndor alaptotta i.e. 332-ben

A hellenisztikus vilg kzpontja tbbszz vig

Muszeion Mzsk temploma: az Akadmia mintjra filozfiai-tudomnyos intzet

Sok tuds munkahelye: Eukleidsz (itt tantott), Eratoszthensz, Arkhimdsz (itt tanult), Hipparkhosz, Ptolemaiosz s mg sokan msok

Az kor legnagyobb knyvtra volt itt (tbb szzezer tekercs), mely hresen legett

Szemben a klasszikus korszakkal:

tbb rdeklds a gyakorlatias, mrnki jelleg tudomnyok irnt (pl. Hrn)

keleti hatsok rvnyeslnek (asztrolgia,szm-centrikusabb s kevsb elmleti matematika, szlelsi hagyomny)

Apollniosz

I.e. kb. 262-190

Leghresebb munkja a Knika: 7 knyvnyi m (487 ttel) a kpszeletekrl, euklideszi geometriban trgyalva

vezette be a ks-grg csillagszat legalapvetbb geometriai technikit:

O kzppont krl R1 sugar krnkering P1 pont,amely krlR2 sugar krnkering P2 pont

(O = a kp-i Fld,P2 = a bolyg)

Apollniosz kimutatja: a kett matematikailag ekvivalens (ugyanarra az eredmnyre vezet), ezrt nem vlaszt kzlk

Elnyk:

betartja a platni programot: egyenletes krmozgsok sszetevdse

szemlletileg egyszerbb a homocentrikus szfrk elmletnl, mert csak skban kell gondolkodni, nem trben (s a bolygmozgsok is skban mennek vgbe, kb. az ekliptika mentn) knnyebb brzolni

mivel itt az gitest tvolsga nem lland a Fldtl, ezrt szmot tud adni a fnyessg-vltozsokrl (lsd ksbb: j temben)

Htrnyok:

nem egyetlen kp-ja van a mozgsoknak, hanem tbb ( kevsb homogn a trgyalsmd)

emiatt nem sszeegyeztethet a szfraelmlettel: ha a krk szfrkat kpviselnek, akkor azoknak kereszteznik kellene egymst az epiciklusesetn fizikailag nem rtelmezhet

Hipparkhosz

Valamikor az i.e. 2. sz. (kb. -170 -120?)

Sajnos szinte semmi eredeti nem maradt fenn tle (csak egy csillagszati vers kritikja), de szerencsre szmos rszletesvisszaemlkezsbl sok minden rekonstrulhat

Ezek alapjn: szlelseken alapul matematikai csillagszat ttrje(babiloni forrsokra alapozva), az egyik legnagyobb hats grg csillagsz

tvette a babiloniaktl a 60-as szmrendszert, a 60-as osztst (1 = 60, 1 = 60), s a kr 360-ra val osztst

Ismtls:Vegynk egy egysgnyi (1 60) sugar krt.Mondjuk azt, hogy a szg is egysgnyi (60) akkor,ha a hozz tartoz hr egysgnyi (60). gy a teljes kr 360-ra oszthat.

A grg trigonometriai hagyomny megteremtje

Alapproblma: mekkora hr tartozik egy adott kzpponti szghz?

Mivel sin(/2) = (h()/2)/60 ,ezrt a kp-i szghz tartoz hr keresseekvivalens a szg felhez tartoz szinusz-rtk keressvel

A grg trigonometria teht hrokat keresegy derkszg hromszg oldalarnyai helyett

Hrtblzatok: adott rtk szgekhez megadja ahozz tartoz hrokat, tblzatba foglalva

Az els ilyen tblzatot Hipparkhosz lltotta ssze, de ennek csak a Ptolemaiosz-fle pontostsa maradt fent: 0-tl 180-ig flfokonknt kiszmolja a hrok hosszt ( 0-tl 90-ig negyedfokonknt szinuszrtk)

Hipparkhosz kiindul kre a beszmolk szerint 21 600 egysgnyi kerlet ( 1 vperc 1 egysg), s 7,5 fokonknt szmolt hrrtket

Kis kitr: hogyan csinlhatta mindezt? Ptolemaiosz gy:

Ismert nhny alapszghz tartoz hr rtke:Pl. 60-hoz 60 a hr, 180-hoz 120 a hr, 90-hoz 2 60 a hr, stb.

Geometriai ttelek alapjn lehet ezek kzt mveleteket vgezni, s ezek kombinlsval brmilyen szgrtk hrja tetszlegesen kzelthet. Pl.:

Thalsz + Pthagorasz-ttel a kiegszt szg hrjra:(h())2 + (h(180))2 = 120 2

ami az elz flia alapjn ekvivalens azzal, hogy(sin())2 + (cos())2 = 1 ( = /2)(mert cos() = sin(90) )

Vagy Ptolemaiosz-ttel szgek klnbsgre:h()h(180) = h(180)h() + h()120

ami az elz flia alapjn ekvivalens azzal, hogysin() = sin()cos() cos()sin()(ahol = /2 s = /2)

(teht ha adott kt szg hrja, akkor kiszmthata klnbsgkhz tartoz hr is)

Hipparkhosz az els grg, aki csillagkatalgust lltott ssze

Ehhez szksg van:

a teljes (lthat) gbolt csillagkpekre val osztsra (ebben eldje: Eudoxosz). Legalbb 850 csillagot katalogizlt.

valamilyen koordinta-rendszerre, amiben megadhatk a pozcik.Valsznleg ekliptikai KR-t hasznlt, de ez keveredhetett az egyenltivel.

fnyessg-adatra: kidolgozta a magnitd (= nagysg) fogalmt1 mag.: legfnyesebbek 6 mag.: leghalvnyabbak(ma ennek pontostst hasznljuk, egy logaritmikus sklra alapozva)

A rgebbi s a sajt szlelsek sszevetsvel felfedezte a precesszijelensgt: a tavaszpont, azaz az ekliptika s az egyenlt (egyik) metszspontja lassan arrbb megy az gen, ezrt a csillagok hosszsg-koordintja vltozik, szerinte nem kevesebb, mint 1 fokkal vszzadonknt

lehet, hogy a jelensget mr Arisztarkhosz is felfedezte

a valdi peridus 25 920 v / 360, azaz 1,39 vszzadonknt

ennek valdi oka a fldtengely billegse egy kppalst mentn, de ezt a magyarzatot Kopernikuszig nem ismertk, csak magt a jelensget

Hipparkhosz ksztett egy ggmbt is, ami nem maradt fent

Farnese Atlasz: egy grg szobor mrvny msolata az i.sz. 2. szzadbl

Nha (pl. 1898, 2005) felrppen a felttelezs, hogy ezt az ggmbt H. ggmbje alapjn ksztettk

De ezt a csill.trtnszektbbnyire nem fogadjk el

Els pontos, kvantitatv modellek a Nap s a Hold mozgsrl

figyelembe vesz rgi fogyatkozs-szlelseket, s ezek alapjn hossz peridusbl visszaosztva llaptja meg a peridusokat

gy meghatrozta az v hosszt 6 perc pontossggal

a Hold ciklust is viszonylag pontosan kiszmolta

elkpzelhet, hogy fogyatkozsokat is tudott elrejelezni, biztosan foglalkozott fogyatkozs-peridusokkal

foglalkozott a Nap s a Hold tvolsgnak krdsvel, illetve ezek Fldtl mrt tvolsgban bekvetkez vltozsaival

ehhez az epiciklusok s excenterek technikjt hasznlta

megllaptja az n. anomlis v. anomalisztikus hnap hosszt: ezzel a peridussal vltozik a Hold Fldtl mrt tvolsga

felfedezi a Hold parallaxist: eltr helyekrl kicsit ms irnyban ltszik(klnbz napfogyatkozs-beszmolk sszevetsvel)

ez alapjn a Hold tvolsgt 71 s 81 Fld-sugr rtkek kz teszi(valjban ez inkbb 60)

A Hold tvolsgnak meghatrozsa napfogyatkozs-megfigyelsek alapjn:

Hellszpontoszbl nzve teljes

Alexandribl nzve a beszmolk szerint a Nap 4/5-t takarja ki a Hold

Feltve, hogy a Nap gyakorlatilag vgtelen tvoli (nincs parallaxisa), a kt vros tvolsgt ismerve kijn az elz flin megadott adat

Br a szmts pontos, de a beszmolk (4/5) nem, rszben innen a hiba

Ksbb pontostja, s egyre jobb rtkeket kap (kzelt a 60-hoz)

Hipparkhosz csillagszati mszereket is hasznlt

Asztrolbium: idpont ismeretben az gitestek helyzett hatrozza meg irnyt s horizonttl mrt magassgot(s fordtva: gitestek megfigyelsvel az idpontot)

Armillris szfra: egyfajta gbolt-modell, amellyel a legfbb gik krk elhelyezkedse s az gitestek mozgsa modellezhet

Kitr: Az antikthrai szerkezet

Egy 1900 krl, hajroncson tallt bronz-szerkezet

I.e. 150-100 krlre datlhat

Igen komplex csillagszati mszer, analg komputer

Legalbb 30 fogaskerk, a legnagyobb 14 cm tmrj s 223 fogat tartalmaz

Mra nagyjbl pontosan rekonstrultk (rntgen):

mutat jellte a napot a grg s az egyiptominaptr szerint (+ feliratok jeles esemnyekre)

a Nap s a Hold pozcijt a zodikus mentn

a Hold fzist

fogyatkozsok idejt

a bolygk helyzett

A grgk igen magas szint mrnki reprezentcihozkthettk a matematikai modelleket (legalbbis ekkorra),de sajnos errl szinte semmit sem tudunk

Az ellap rekonstrukcija

A htlap rekonstrukcija

A bels mechanizmus leg-modellje

Kitr 2: Grg kombinatorika

Plutarkhosz (i.sz. 1-2. sz.) ler egy vitt egy matematikus (Hipparkhosz) s egy filozfus (Khrszipposz, a sztoikus logika megalapozja) kztt:

K. eldicsekedik, hogy az ltala kitallt alaplltsokat tbb, mint egymilli mdon lehet sszekombinlni. H. azt vlaszolja, hogy nem, mert az a szm vagy 103 049, vagy 310 954, attl fggen, hogyan rjk a kombinlst.

Ezt sokig egy rtelmetlen sztorinak vettk (K. elbb lt, mint H., nem l vita)

1994: egy egyetemista szreveszi, hogy 103 049 ppen a 10. Schrder-szm

S-szmok: pl. hnyflekppen zrjelezhet n db. egymst kvet objektum

1997: egy matematikus kiszmolja, hogy 310 954 is j megolds a problmra

2003-ban felfedezik egy elveszett Arkhimdsz-szveg(Sztomakhion) els oldalt: hnyflekppen lehet 14 db adott geometriai idomot ngyzett sszeilleszteni?

a vlasz 17 152 (modern megoldsok szerint)

Volt grg kombinatorika, de nem tudjuk a rszleteket

s hny olyan oldala lehetett mg a grg tudomnynak,amire vonatkozan ma mr semmit sem tudunk?

Ptolemaiosz

I.sz. 2. sz., Alexandria

sszefoglal mveket rt, nagy rendszerez:

A csillagszat nagy matematikai sszefoglalsa(Almageszt: a grg cm, Megiszt szntaxiszkezd szavainak arabostott verzijbl (Al Majisti) kpzett latin kifejezs)

Bolyghipotzisek: a kozmosz fizikailag elkpzelt rendszere, szfrk vastagsga (epiciklusok miatt), a vilg mretei (tvolsgok a Fldtl RF-ben:H: 48; Me: 115; V: 622,5; N: 1210; Ma: 5040; J: 11 504; Sz: 17 026; *: 20e)

Geographia: a rmaiak vilgrl alkotott tudsnak fldrajzi sszefoglalsa(a renesznsz korig taln a legfontosabb fldrajzi munka)

Tetrabiblosz: asztrolgiai alapmunka, arisztotelinus kozmolgiai alapokon(asztrolgia-trtnetben u.o. fontos, mint az Almageszt a csillagszatban)

Harmonika: arny- s zeneelmleti munka

Optika: fny, tkrzds, fnytrs, sznek vizsglata

Ptolemaiosz vilgtrkpnek 15. sz-i brzolsa

Az Almageszt

I.sz. 150 krl

Az egyetlen fennmaradt kori tfog csillagszati munka

13 knyvben fejti ki egy nagy rendszer rszleteit(Ptol. egy-egy tmt egysges rendszerben trgyal)

Az egyes gitestek mozgst kln-kln trgyalja (deferens-kr sugara mindig 60), s nem fzi ssze kozmolgiv (vs. Bolyghipotzisek c. m)

Eldk (grg s babilniai) szlelseire alapoz, kb. 800 vre visszamenleg

Tartalmaz knyelmes tblzatokat (pozcik szmtshoz), csillagkatalgust, a matematikai alapokat, rszletes szmtsokat, tmutatt asztrolbiumksztshez

A legfontosabb technikai csillagszati munka mintegy 1500 vig

(Lsd mg: a flv utols rja: rszletes sszevets Kopernikusszal)

Matematikai eszkzk 1: Az excenter

Excentrum: szablyos krmozgs, de a megfigyel (E) nem a kzppontban van

Excenter kr: a szablyos krmozgs kp-ja szablyosan kering a megfigyel krl

Bolygk extrentricitsai (ha a sugr 1):

Merkr: 3;0 (= 360-1 + 060-2 = 0,05)

Vnusz: 1;15 ( 0,021)

Mars: 6;0 (= 0,1)

Jupiter: 2;24 (= 0,04)

Szaturnusz: 3;25 ( 0,057)

(Nap: 2;30 ( 0,042))

Matematikai eszkzk 2: Az epiciklus

Bels (nagyobb) kr: deferens-kr

Kls (kisebb) kr: epiciklus-kr

Bolygk epiciklus-krnek sugarai (a deferens-kr sugara mindig 60) s a keringsi idk arnyai:

Bolyg Re Td/Te

Merkr 22;30 191/46

Vnusz 43;10 13/8

Mars 39;30 79/42

Jupiter 11;30 71/6

Szaturnusz 6;30 59/2

MerkrVnuszMars

SzaturnuszJupiter

15 x

A szfrk mretei Ptolemaiosz Bolyghipotziseiszerint (RF-ben):epiciklusok, excentricitsok miatt vastag szfrk

Az epiciklusok f funkcija: a bolygk hurkos mozgsnak modellezse

Mellkfunkcik:

A Nap s a Hold mozgsnak pontostsra:

ha az epiciklus-kr nem forog, az eredmny egy eltolt kr (excentrum)

ha az epiciklus-kr ellenttesen, de azonos peridussal forog, mint a deferens-kr, az eredmny egy ellipszis

Magyarz animci: http://hps.elte.hu/~kutrovatz/bolygomozgas.swf

http://hps.elte.hu/~kutrovatz/bolygomozgas.swf

Matematikai eszkzk 3: Az ekvns-pont

Az ekvns-pont (Q) a deferens-krkp-jnak Flddel (E) tellenes kzelben tallhat (arra tkrzve)

A mozgs a deferens-kr mentn nem egyenletes, hanem Q-bl tnik egyenletesnek lenni (pl. FG szel feletti s alatti id egyenl)

Ezt Ptol. csak a bolygknl hasznlta, mg a msik kettt a Napra s Holdra is

Kopernikusz elvetette (a msik kettt megtartva), mert szerinte mltatlan az gitestekhez: megsrti az egyenletes krmozgsok elvt!

A hrom matematikai eszkz egytt:a Fldtl kimozdtott kp- krn mozog az egyenletesen forg epiciklus-kr gy, hogy mozgsa a Q pontbl tnik egyenletesnek lenni

Az epiciklusok elsdleges funkcija a bolygmozgsok hurkainak modellezse

Az excenter felels a krhz kpesti eltrsekrt (lsd Kepler 1. trvnye)

Az ekvns-pont felels a nem egyenletes mozgsrt (lsd Kepler 2. trvnye)

Illusztrcik: brk a Vnusz s a Mars plyinak meghatrozshoz

Nhny problma

Br ez az elmlet elg pontos, gy sikeres paradigmt teremtett, de vannak bajok:

Hold mozgsa: akkora epiciklus-krt vezetett be, hogy a Holdnak egy kettes faktorral kellene vltoztatni ltszlagos mrett, de ezt nem teszi

A sok paramter (epi-krk sugara, peridusok, plyahajlsok, stb.) teljesen ad hoc jelleg: azrt ennyi, mert ezt a konkrt mozgst ppen ilyen geometriai szerkesztssel lehetett visszaadni tkolmny-jelleg

Ha sszevetjk egymssal az egyes gitestek mozgsait (amit az elmlet nem tesz, hiszen kln-kln trgyalja ket), szrevehetnk rdekes prhuzamokat

bels bolygk (Me, V): epiciklus-krk kp-ja mindig a Nap irnyban van(persze, mert krltte keringenek, s itt ennek felel meg az epiciklus)

kls bolygk (Ma, J, Sz): az epiciklus-krk vezrsugara (ami a bolygra mutat) mindig prhuzamos a Nap-Fld tengellyel (persze, mert ez a mozgskomponens valjban a Fld keringsnek felel meg itt)

a Napnak kitntetett szerepe van a rendszerben, ha rendszerknt tekintjk(a rszletesebb magyarzatokat lsd majd Kopernikusznl)