Grundlagen Der Elektrotechnik I

8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I

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TFH Berlin Grundlagen der Elektrotechnik I Prof. Dr. Suchaneck

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1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 SI-Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Schreibweise von Größen (DIN 1313) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Grafische Darstellungen, Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Grundbegriffe der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Das Wesen der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Stark temperaturabhängige Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 Nichtlineare Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Berechnung von Gleichstromkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1 Vorzeichen- und Richtungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Einfache nichtverzweigte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Der verzweigte elektrische Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Lineare Maschennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.2 Das Überlagerungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Energie und Leistung; Energieumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 Energieumformung mech. Energie ] elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Energieumformung elektr. Energie Y thermische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Wärmeaufnahme eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2 Wärmeleitung eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3 Wärmeübergang (Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Das elektrische Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Feldbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Elektrische Feldstärke und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5 Geschichtete Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6. Das elektrische Feld in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1 Nichtleiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Elektrische Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3 Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Berechnung der Kapazität aus der Geometrie und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.1 Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.2 Schichtkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.3 Rohrkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4.4 Wickelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


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6.4.5 Drehkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5 Betriebsfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.6 Grundschaltungen von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.7 Geschichtetes Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.8 Kraftwirkung im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.9 Elektrodynamische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.9.1 Energieinhalt eines geladenen Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.9.2 Zeitliche Änderung der Ladung Q und Verschiebestrom IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. Das statische elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Größen des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.1 Die magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.2 Der magnetische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2.3 Das Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2.4 Durchflutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.5 Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3.1 Magnetisches Feld eines zylindrischen Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3.2 Magnetisches Feld eines Rohrleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3.3 Magnetisches Feld eines Koaxialleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3.4 Magnetisches Feld einer Zweidrahtleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3.5 Erweitertes Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3.6 Magnetisches Feld in einfachen magnetischen Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.3.7 Einfluss von Material und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4 Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.4.1 Ringkernspule mit Eisenkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.4.2 Das Rechnen mit magnetischen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.4.3 Magnetische Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4.4 Magnetisierungskennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.4.5 Verluste durch Ummagnetisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4.6 µFe und µrFe -Bestimmung aus Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.4.7 Grafisches Verfahren zur AP- und µ-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.5 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.1 Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.5.2 Spulen-Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.5.3 L-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.6 Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.6.1 Kraftwirkung auf bewegte Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6.2 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6.3 Kraft zwischen 2 parallelen stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.6.4 Kraft auf frei bewegte Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.6.5 Hall-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.7 Energie im Magnetkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


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7.8 Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.8.1 Selbstinduktionsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.8.2 Auf- und Entmagnetisierung von idealen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.8.3 Auf- und Entmagnetisierung von realen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.8.4 Abschalten von aufmagnetisierten Induktivitäten mit Gegenspannung . . . . . . . . . 107

7.8.5 Bewegung eines Leiters (Leiterschleife) im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.8.6 Rotation einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


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Literatur

1. Grafe/Loose/Kühn'Grundlagen der E-Technik' Band 1+2Verlag Technik Berlin, Hüthig Verlag

2. Moeller/Frohne/Löcherer/Müller'Grundlagen der E-Technik''Beispiele zu Grundlagen der E-Technik'Teubner Verlag

3. A. Haug'Grundzüge der E-Technik'Hanser Verlag

4. Lunze/Wagner

'Einführung in die E-Technik' ArbeitsbuchHüthig Verlag

5. Lunze'Einführung in die E-Technik' LehrbuchHüthig Verlag

6. G. Hagmann'Grundlagen der E-Technik' Studienbuch Aula Verlag Wiesbaden

7. G. Hagmann'Aufgabensammlung zu den Grundlagen der E-Technik' Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden

8. H. Classnitzer'Einführung in die E-Technik'Verlag Berliner Union

9. Zastrow'Grundlagen der E-Technik'Vieweg Verlag

10. H. Lindner'Elektroaufgaben' Band I + IIFachbuchverlag Leipzig-Köln

11. Führer/Heidemann/Nerreter'Grundgebiete der Elektrotechnik' Band 1+2Hanser Verlag

12. Kruschwitz/Müllenborn

'Aufgabensammlung E-Technik'Vieweg Verlag


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13. Wolfschlag/Siemens AG'Einheiten,Größen und Formelzeichen in der Elektroindustrie'Hanser Verlag

14. Fricke/Vaske

'Grundlagen der E-Technik' Teil 1Teubner Verlag

15. Benz/Heinks/Starke'Tabellenbuch Elektronik Nachrichtentechnik'Kohl + Noltemeyer Verlag Frankfurter Fachverlag

16. Friedrich'Tabellenbuch Elektrotechnik Elektronik'Dümmler Verlag Bonn

17. Lindner/Brauer/Lehmann'Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik'Fachbuchverlag Leipzig-Köln

18. Kories/Schmidt-Walter 'Taschenbuch der Elektrotechnik'Verlag Harri Deutsch


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1. Allgemeines1.1 SI-Einheitensystem

Unterscheidung- Physikalische Größen (U, I, s, t ...)- abgeleitete Größen (P, W, Q, R, 0 ...)

- bezogene, spezifische Größen (k, i, :, g ...)L spezifische Größen sind u.a. Materialkonstanten, Koeffizienten (Beiwerte),

Proportionalitätsfaktoren.

Historische Entwicklung von Größen und Einheitensystemen:

1. metrisches System (1799 Frankreich) M K SM K S Weg/Masse/Zeit

2. absolutes System (1832 Gauß/Weber) c g scm, g, s

3. giorgisches System (1921) M K S AM K S A m, kg, sec, el. Strom

4. Technisches Maßsystem bis 1969 M (Weg), kp (Kraft), S (Zeit)

5. Internationales Einheitensystem ab 1960 (11. Generalkonferenz)SI-Einheiten (Systeme International de Unites) SI

Das SI-Einheitensystem gilt seit 1969 als Bundesgesetz. Übergangsfrist endete 1977. AlleStaaten, die das metrische (dekadische) System verwenden, haben das SI-System alsGrundlage der nationalen Normen.

Das Si-System ist kohärent.L Die Basisgrößen und Einheiten sind durch Gleichungen verknüpft, die nur den Zahlen-

faktor 1 haben.

Basisgrößen

Länge Meter m Wellenlänge einer AtomstrahlungMasse Kilogramm kg kg-Prototyp

Zeit Sekunde s Periodendauer einer Atomstrahlungel. Stromstärke Ampere A Kraft zwischen zwei LeiternTemperatur Kelvin K 273,16te Teil des Tripelpunktes von H2OLichtstärke Candela cd Lichtstärke eines schwarzen StrahlersStoffmenge Mol mol Anzahl von Atom- oder Molekülteilen

Nationale Festlegungen in DIN-Normen (Auszug)

DIN 1301 Einheiten, Einheitennamen, EinheitenzeichenDIN 1304 Allgemeine FormelreichenDIN 1305 Masse, Kraft, Gewicht, Last; Begriffe

DIN 1306 Dichte; BegriffeDIN 1313 Schreibweise phys. Gleichungen in Naturwissenschaft und TechnikDIN 1314 Druck; Begriffe, Einheiten


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DIN 1315 Winkel; Begriffe, EinheitenDIN 1320 Akustik; GrundbegriffeDIN 1323 Elek. Spannung, Potential, Zweipolquelle, elektromot. Kraft; BegriffeDIN 1324 Elektrisches Feld; BegriffeDIN 1325 Magnetisches Feld; BegriffeDIN 1338 Formelschreibweise und Formelsatz

DIN 1339 Einheiten magnetischer GrößenDIN 1341 Wärmeübertragung; Grundbegriffe, Einheiten, KenngrößenDIN 1344 Elektrische Nachrichtentechnik; FormelzeichenDIN 1355 Zeit, Kalender, Wochennumerierung, Tagesdatum, UhrzeitDIN 1357 Einheiten elektrischer GrößenDIN 4890 Inch-Millimeter, Grundlagen für die UmrechnungDIN 4892 Inch-Millimeter, UmrechnungstabellenDIN 4893 Millimeter-Zoll, UmrechnungstabellenDIN5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und LichttechnikDIN 5483 Zeitabhängige Größen; Benennungen der ZeitabhängigkeitDIN 5490 Gebrauch der Wörter bezogen, spezifisch, relativ, normiert und reduziert

DIN 6814 Begriffe der radiologischen Technik; AllgemeinesDIN 25404 Kerntechnik; FormelzeichenDIN 40110 WechselstromgrößenDIN 40121 Elektromaschinenbau; FormelzeichenDIN 66035 Kalorie - Joule; Joule - Kalorie; UmrechnungstabellenDIN 66036 Pferdestärke - Kilowatt, Kilowatt - Pferdestärke; UmrechnungstabellenDIN 66037 Kilopond je cm² Bar, Bar - Kilopond je cm²; UmrechnungstabellenDIN 66039 Kilokalorie - Wattstunde, Wattstunde-Kilokalorie; Umrechnungstabellen

Abgeleitete Einheiten

Beispiel: Farad 1 F = 1 C/V 1 C = 1 A s1 V = 1 J/C 1 J = 1 N m 1 N = 1 kg m/s²

Einheiten außerhalb de SI: u.a. Liter, Minute, Stunde, Tonne

Nicht mehr zugelassene Einheiten: u.a. Pond, atm, at, Torr, PS

1.2 Schreibweise von Größen (DIN 1313)

Es gilt:

G = {G} @ [G] Größe = Zahlenwert @ Einheit

Beispiele:

1. el. Stromstärke von 1,86 Ampere: I = 1,86 A

2. Kraft von 68,5 Newton: F = 68,5 N

(Die kursive Darstellung der Größen kann zur Verdeutlichung angewendet werden.)


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1.3 Gleichungsarten

1.) Größengleichungen

Sie beschreiben die physikalischen Zusammenhänge, gelten unabhängig von Einheiten.

Beispiel: F = m @

aKraft = Masse @ Beschleunigung

L jede Größe wird mit Zahlenwert und Einheit eingesetzt.

2.) Einheitengleichung

Sie beschreiben die Umrechnung der Einheiten.

Beispiel: 1 N = 1 kg @ 1 m/s²[F] = [m] @ [a]

3.) Zugeschnittene Größengleichung

Die einzusetzenden Größen werden durch die zugehörigen oder verlangten Einheiten divi-diert.

Beispiel: F = m @ aN kg m/s²

4.) Zahlenwertgleichungen

Sie gelten nur für bestimmte Einheiten, die angegeben werden müssen.Ohne zusätzliche Angaben sind Zahlenwertgleichungen unbrauchbar.

Beispiel: Blindwiderstand xc =159 xc in Sf · C f in kHz

C in :F

5.) Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten (Vorsätze und Vorsatzzeichen)

101 Deka da 10-1 Dezi d102 Hekto h 10-2 Zenti c103 Kilo k 10-3 Milli m106 Mega M 10-6 Mikro :109 Giga G 10-9 Nano n1012 Tera T 10-12 Piko p

L In der Praxis sollen möglichst 3er-Potenzabstufungen verwendet werden (sog. “wissen-schaftliche“ Schreibweise).

1.4 Grafische Darstellungen, Diagramme

Sie sind besonders wichtig für nichtlineare Funktionen (Kennlinien) nach DIN 461

Beispiel: Diodenkennlinie


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Die Skalenteilung ist linear (mit Null-Punkt) oder logarithmisch (ohne Null-Punkt).

Weitere Möglichkeiten:

Die Einheiten werden als Bruch (z.B. ) oder am Zahlenwert (z.B. 3V) geschrieben.U

V

Bildbeschriftung z.B. Durchlasskennlinie Diode 1N4148 möglich.

Wichtig: Unvollständige Diagramme sind bedeutungslos.

2. Grundbegriffe der Elektrizität2.1 Das Wesen der Elektrizität

Elektrische Erscheinungen sind schon seit der Frühgeschichte der Menschheit bekannt.

- Unsichtbares Vorhandensein von el. Ladungen 6 Kräfte(z.B. Anziehen von Haaren)- Sichtbarer Ausgleich von el. Ladungen 6 Blitz

bzw. stille Entladung 6 Elmsfeuer, Nordlicht

Experimentell können Ladungen erzeugt werden, z.B. durch Reiben von Hartgummi, Berns-tein usw.

L Beobachtung von anziehenden und abstoßenden Kräften

Schlussfolgerung: Es müssen positive und negative Ladungen existieren.

Beispiele: klebendes Papierblatt, aufstehende Haare, Staub auf Plexiglas etc.

Spontaner Ladungsausgleich ist durch seine Nebenwirkungen wahrnehmbar: Licht (Blitz), Ausdehnung (Donner), Funken (Knistern). Dagegen bleibt der Ladungsausgleich im el.Stromkreis ohne Hilfsmittel verborgen.

4 5 6 UF

V

4V 5V 6V U

1

2

3

4

5

0,5 1 1,5

IF mA

UF V


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Das Wesen der Elektrizität liegt im Vorhandensein, dem Aufbau und dem Ausgleich vonLadungen.Was ist eine Ladung?Die Atomphysik hat frühzeitig Vorstellungsmodelle entwickelt, welche die Ladung und ihrenTransport (elektrische Strömung) erklären helfen.

Die Ladung

Größe Q = N@e N = Teilchenzahle = Elementarladung

Die Ladung Q besteht aus zählbaren Elementarladungen, deren Träger Bestandteile der Atome oder Moleküle sind (Beweglich oder als Raumladung).

Bestandteile der Atome: Das Bohr'sche Atommodell (1913)

Beispiel: Cu-Atom

Der Kern besteht aus: 29 Protonen 6 pos. Ladungen × Ordnungszahl34 Neutronen 6 ohne el. Ladung

Die Schalen haben 29 Elektronen 6 neg. Ladungen

L Es sind gleichviele pos. und neg. Ladungen vorhanden, d.h. nach außen ist das Cu-Atom

elektrisch neutral.

Eigenschaften der Atombestandteile

Elementarteilchen Masse in g Ladung in As

Proton 1,67·10-24 +1,6·10-19 +eElektron 9,1 ·10-28 -1,6·10-19 -eNeutron 1,67·10-24 0

L Die Masse des Elektrons ist sehr klein (0,5 Promille des Protons beziehungsweise Neu-

trons), dadurch leicht zu beschleunigen (Anwendung: Braun'sche Röhre, Fernsehröhre).

Die äußeren Schalen bestimmen das chemische und physikalische (elektrische) Verhaltender Atome. Äußere Schale L Valenzelektronen, Wertigkeitselektronen (mögliche freie Elektronen)Elemente, die elektrisch interessant sind:

Ordn.- Schalenzahl Element Symbol K L M N O P Bemerkung13 Aluminium Al 2 8 3 p-Dot./Metall14 Silizium Si 2 8 4 Halbleiter

15 Phosphor P 2 8 5 n-Dot.29 Kupfer Cu 2 8 18 1 Metall


12/109


12

A

mm²

31 Gallium Ga 2 8 18 3 p-Dot.32 Germanium Ge 2 8 18 4 Halbleiter33 Arsen As 2 8 18 5 n-Dot.47 Silber Ag 2 8 18 18 1 Metall79 Gold Au 2 8 18 32 18 1 Metall

Erkenntnisse:

Metalle sind gute elektrische Leiter. (sog. Kupfergruppe: Silber, Gold, Kupfer),erkennbar auch durch 18-1 Anordnung ÷ die 18er Schale bildet mit Nachbaratom Kristall-gitter.Ca. 1023 Elektronen/cm³ (ein Elektron je Atom) sind Leitungselektronen ÷ Ladungsträger mit der Ladung e (freie Elektronen).

Nichtleiter können kaum freie Ladungsträger zur Verfügung stellen z.B. Edelgase, Kunst-stoffe, Glas, reines Wasser. Die Elektronen haben feste Bindungen, vollständige Schalen.Nichtleiter können leitfähig werden, wenn hohe Energien von außen zugeführt werden, z.B.Wärme ÷ Atom-, MolekülschwingungenStrahlung ÷ ElektronenanregungFeldstärke ÷ Feldkräfte reißen Bindungen auf

Halbleiter besitzen im reinsten Zustand fast keine freien Ladungsträger (Eigenleitung)÷ erhöhte Leitfähigkeit durch Einlagern von Fremdatomen (Dotierung)

höherwertig n-Materialniederwertig p-Material (Störstellenleitung)

z.B. Silizium, Germanium, Selen

IonenElektronen des neutralen Atom fehlen ÷ positiv geladenes Ion (Kation)zusätzliche Elektronen am neutralen Atom angelagert ÷ negativ geladenes Ion (Anion)

2.2 Elektrischer Strom

Die Größe (Stärke) der elektrischen Strömung ist als elektrische Stromstärke I (oder i) de-finiert.

[I]=A (Ampere)

Der Strom I ist die Ladungsmenge Q, die pro Zeiteinheit den Leiterquerschnitt durchströmt.

Vorausgesetzt: Strom zeitlich konstant und gleichmäßig über den Querschnitt verteiltL Gleichstrom.

Sonst muss der Skineffekt beachtet werden (Stromverdrängung).

Stromdichte S A=Leiterquerschnitt

übliche Werte für Kupfer 1... 10 , je nach Wärmeableitung (VDE 0100).

I'Q

t

S'I

A[S]'

A

mm²


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13

Q'I@t'1AsQ'N@e N' Anzahl der Elektronen

N'Qe' 1As

1,6@10&19 As'6,24@1018 Elektronen

Beispiel:

Wieviele Elektronen bewegen sich in 1 Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters,wenn 1 A fließt?Lösung:

Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen

Die Strömungs- (Drift) Geschwindigkeit der Elektronen ist gering (.1mm/s).Der Energieimpuls setzt sich aber mit nahezu Lichtgeschwindigkeit (.300·106m/s) fort.1cm³ Cu enthält 0,84·1023 freie Elektronen mit je e=-1,6·10-19 As.Dichte ne=0,84·1023 Elek./cm³ (Cu)

Es gilt:

A =Querschnitts =WegS =Stromdichteve =mittlere Strömungsgeschwindigkeitt =Zeit

Beispiel:

Durch einen Cu-Draht mit 1mmi fließt ein Gleichstrom von 10A.

a) Wieviele Elektronen fließen je s durch den Querschnitt?b) Wie schnell bewegen sich die Ladungen?c) Wie groß ist die Stromdichte?

a)

b)

c)

Elektronenbeweglichkeit :

: ist ein Maß dafür, wie schnell sich die beweglichenLadungsträger im Gitterverband bewegen können.: ist eine Materialkonstante.

ve'I

ne@e@ A'

10A

0,84@1023Elek.

cm³ @1,6@10&19 As @7,85@10&3cm²

' 0,095cm

s

Q'N@e'I@t

6N

t '

I

e'

10A

1,6@

10

&19

As

'6,24@1019Elek.

s

S'I

A'

10A

0,785mm² ' 12,73

A

mm²

ve'S

ne@e

µ've

E

I'Q

t, Q' A@s@ne@e, N' A@s@ne

I' A@s@ne@e

t


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14

W12'W1&W2

2 3 Die elektrische Spannung

Zwischen zwei räumlich getrennten Ladungen +Q0 und -Q0 bildet sich ein elektrisches Kraft-feld aus.L Ruhende Ladungen: elektrostatisches Feld.Zwischen den beiden Ladungen und auch auf zwischen Ihnen befindliche Ladungsträger wirken Kräfte. Ähnlich dem Magnetfeld.Die Hauptkraftrichtung an einem Ort ist durch die Feldstärkelinien (Feldlinien) gegeben.

Kraft auf die Ladung Q in Richtung E:

Ist Q positiv: und gleiche RichtungPE PFQ negativ: : und entgegengesetzte Richtung.PE PF

Wird die Ladung Q im elektrischen Feld vom Punkt 1 zum Punkt 2 bewegt, ist die mecha-nische Arbeit W zu leisten.

oder

(si = kleinste Wegstrecken in Richtung )PF Wenn und in in gleicher Richtung: ÷ Energie wird freigesetztPF Pds

und in entgegengesetzt: ÷ Energie muss aufgewendet werdenPF Pds

= potentielle Energie vor der BewegungW1= potentielle Energie nach der BewegungW2

r

E

PFPF

PEPE

PFPF

PEPE

PF'Q@ PE

[F]'V@C

m 'N, [Q]'C (Coulomb)

El. Feldstärke PE'PF

Q

, [E]'V

m

W12'm

2

1

PF Pds W12'jn

i'1

Fi @si


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15

S=6·E

Das Potential istn bzw. (Energie bezogen auf die Ladung)

Das elektrische Potential definiert die örtliche Verteilung des Niveaus der pot. Energie imnel. Feld

Der Potentialunterschied heißt elektrische Spannung .n1& n

2U12

Der Index gibt den Bezugspunkt an:

Definition nach DIN 5489:

Die Spannung entlang einem Weg von Pkt.1 nach Pkt.2 wird positiv gerechnet, wennU12das Potential im Pkt.1 größer als im Pkt.2 ist.

Einheiten [Energie]= Joule (J), 1J = 1Ws

Beispiel:

Vorhandene Ladung Q=-1As

im Punkt 1: W1=1J

Potential

im Punkt 2: W2=2J

÷

Stromdichte I = ne·e·ve·A : = ElektronenbeweglichkeitS'I

Amit ve=µ·E 6 = spezifische Leitfähigkeit

(Proportionalitätsfaktor)I = ne·e·µ·E·AS= ne·e·µ·E6=ne·e·µ

Die Stromdichte S ist der Feldstärke E proportional.Die Stromstärke I ist der Spannung U proportional.

n1'W1Q ' 1J

&1As'&1 V@ A@s

As '&1V

n2'&2V

W12'W1&W2'1J&2J'&1J

U12'n1&n2'W12

Q

'&1J

&1As

'1V

Spannung'Energie

Ladung

U12'n1&n2'&U21

U12'W

12Q

'n1& n2

[U]'1V'1Ws

1C '

1Ws

1As '

1W

1A

n1'W1Q

n2'W2Q


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16

Wo tritt eine Feldstärke bzw. Spannung auf, d.h. Kraftwirkung eines el. Feldes?

1.) Ladungserzeugung durch Kräfte bzw. Energiezufuhrwie Magnetfelder, Strahlung, chemische Wirkung, mechanische ReibungSpannungserzeugung einer sog. EMK (Elektromotorische Kraft, Urspannung U0)

Beispiele: Wärme: Seebeck-EffektMagnetfeld: DynamoStrahlung: SolarzelleChemische Wirkung: Primär-ElementMechanische Reibung: Band-Generator Mechanische Spannung: Piezo-Effekt

2.) Durch gebremsten (Stau) Ladungsträgerfluss in Leitern (Widerstände etc.)

2.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz

Wird an einen gleichförmigen Leiter eine Spannung angelegt, so werden infolge der Feld-stärke die freien Ladungsträger bewegt (Strom I).

÷ Die Stromstärke I steigt mit der Feldstärke E, der spezifischen Leitfähigkeit i und demLeiterquerschnitt A.

Kehrwert des spezifischen Leitfähigkeit 6 ist der spezifische Widerstand D.

Der Kehrwert von G ist der elektrische Widerstand R.

Ohm‘sches Gesetz

Einheiten

Ohm‘scher Widerstand von Leitern

Einheit S

I'κ@ A@ 1R

@U κ@ A@ 1R'G' Proportionalitätsfaktor ' Leitwert

I'G@U

R'1

G

I'1

RU U'R@I

[G]' A

V'S (Siemens) [R]'

V

A'Ω (Ohm)

[ρ]'V

Amm'

Ω mm²

m[κ]'S@

m

mm²

R'ρ@ R

A


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17

Rh2'Rh1(1%α1[h2&h1]%β1[h2&h1]2%γ[h2&h1]

3...)

RR

A' = = ⋅

lρ20

1

Voraussetzung: A über R konstant,Gleichstrom (Skineffekt bei Wechselstrom!)

6 und D sind temperaturabhängige Materialkonstanten.

6 und D für verschiedene Leitermaterialien bei Raumtemperatur:

Material D20 / 620 /Ω mm²m

S@m

mm²

Aluminium 0,029 34,48

Kupfer 0,0178 56,18

Silber 0,016 62,5

Gold 0,022 45,45

Konstantan 0,5 2Kohle .100 .0,01

Wolfram 0,055 18,18

Beispiel: Widerstand von Leitern

Widerstand von Leitungen aus Cu und Al.

Welchen Widerstand haben 1m-lange Leitungsabschnitte mit Querschnitten A=0,75, 1,5,2,5, 4 mm² bei

h=20°C ?

L auf 1m bezogen: Widerstandsbelag R'

A/mm²

0,75 1,5 2,5 4

Belag Cu R' 0,024 0,012 0,0071 0,0045 S/m

Belag Al R' 0,039 0,019 0,012 0,0073 S/m

100m Cu R 2,4 1,2 0,71 0,45 S

100m Al R 3,9 1,9 1,2 0,73 S

2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern

Der Widerstand von Leitermaterialien ändert sich mit der Temperatur z.B. nimmt er zu beiMetallen.Die Widerstandsänderung ist nichtlinear und die wahre Kennlinie kann durch ein Polynom

angenähert werden.


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18

Bis h2 =100 °C wird im allg. nur mit "1 gerechnet.

"1 und $1 gelten nur bezogen auf h1 (z.B. 20°C)

÷ "1 ("20) linearer Temperaturkoeffizient TK Einheit:1

K ÷ $1 quadratischer TK Einheit:

1

K 2

Also gilt vereinfacht bis h2=100°C: Rh2 . R20 (1+"20 [h2-h1])

ªh

Rh2 .

R20 +"20 R20 ª

h

ªR

Rh2 . R20 +"20 R20 ªh ÷ TKα20'ªR

ªh@R20


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19

α20 in 1/K

Beispiele:

1) Temperaturstabile Widerstände (Messwiderstände) haben folgende Angabe desTemperaturkoeffizienten:

TK=50 ppm (z.B.) heißt: α'50@10&61

K

2) Temperaturmesswiderstand PT100Platinwiderstand mit R=100Ω bei der Temperatur h=0°C.

Koeffizienten: α'3,908@10&31

K

Nach DIN 43760β'&0,5802@10&61

K 2

Wie groß ist der Widerstand bei h2=100°C?

R100'100Ω [1%3,908@10&3 1

K100K & 0,5802@10&6

1

K 2(100K)2]

R100'138,5Ω

Beispiele für TK von Leitern/ Widerstandsmaterialien

Material Temperaturbereich

Al 3,77 @ 10-3 -40°C ... 100°C

Cu 3,93 @ 10-3 "

Fe 6,6 @ 10-3 "

Kohle (Widerstand) -1000 @ 10-6 "

Metallfilm " ± 50 @ 10-6 "

Konstantan - 3 @ 10-6 "

Wolfram 4,1 @ 10-3

-40°C ... 2200°CPlatin 3,908 @ 10-3 ("0) -40°C ... 100°C

Berechnung temperaturabhängiger Widerstände

Anwendung: Ermittlung (indirekte Messung) der mittleren Wicklungstemperatur von elektri-schen Maschinen.

Rk Widerstand kalt (vor Erwärmung) hk

Rw Widerstand warm hw = h2

dann gilt: Rh2 = R20 [1 + "20 (h2 - 20°C)]


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20

R

R

R C

R C

C

C

w

k

w

k

w

k

M w

M k

= + − °

+ − ° =

− ° +

− ° + =

+

+20 20

20 20

20

20

1 20

1 20

1 20

1 20

[ ( )]

[ ( )]

/

/

α ϑ

α ϑ

α ϑ

α ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑαM

C= − °1

2020

Materialkenntemperatur

hM = 235°C Kupfer hM = 245°C Aluminium

2.6 Stark temperaturabhängige Widerstände

1) Heißleiter, NTC-Widerstände

Der Widerstand nimmt bei Erwärmung nichtlinear ab.

Symbol Schaltzeichen nach DIN 40712

Erwärmung infolge Fremderwärmungoder Eigenerwärmung

Fremderwärmung: für Messzwecke, Kompensation

S Messheißleiter: Erfassung der Umgebungstemperatur oder eines anderenMediums, dabei muss die Eigenerwärmung vernachlässigbar sein.

S Kompensationsheißleiter: Kompensation des positiven TK von Metall(film)-widerständen

Eigenerwärmung: bei anliegender Spannung

S Anlassheißleiter (Heizfäden, Motoren, Relais etc.)S Regelheißleiter (Spannungsstabilisierung)

wichtig: NTC darf nicht an einer konstanten Spannung, sondern nur über einen Vor-

widerstand betrieben werden, sonst Selbstzerstörungsgefahr!

Selbstzerstörung!6 zunehmende Verlustleistung führt zur Widerstandsabnahme: dadurch

weitere Zunahme der Verlustleistung

Herstellung: gesinterte Metalloxide (Magnesium, Titan u.a.) ÷ polykristalline Struktur mit Halbleitereigenschaft, keine Sperrschichten,

Eigenleitung÷ billig, robust, polaritätsunabhängig, Anwendung z.B. in Kfz.


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21

α NTC BT= − 2

α NTCK

K KK=

−= − ⋅ = −−

4000

3004 4 10

14 4%2 2

2, $ , /

Kennlinien:

Stationäre Stromspannungskennlinie

Abhängigkeit des Heißleiterwiderstandes von der Temperatur

Temperaturverhalten von Heißleitern

Der Widerstandswert von Heißleitern ändert sich ungefähr exponentiell mit der Temperatur.Mathematisch lässt sich der Widerstandswert als Funktion der Heißleitertemperatur nähe-rungsweise berechnen:

RT1 =Widerstandswert für gegebene Temperatur RT0=Widerstandsnennwert bei Bezugstemperatur e =2,718...B =Materialkonstante 2000...6000K

(Mischungsverhalten der Oxide)T1 =gegebene Temperatur in KT0 =Bezugstemperatur in K

Der TK "NTC ändert sich stark, daher nur für einen kleinen Temperaturbereich ªT sinnvoll.

für B=4000K und T0=27°C = 300K:

RT1'RT0@eB(

1

T1&

1

T0)


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22

Widerstandsverlauf von PTC-Widerständen

2) Kaltleiter, PTC-Widerstände

Der Widerstand nimmt mit der Erwärmung zu.

Symbol

In bestimmten Temperaturbereichen steigt derWiderstandswert sprungförmig an.Die mathematische Beschreibung des Widerstands-verlaufs ist kompliziert und nur in kleinen Bereichhinreichend genau möglich.

Technologie: gesinterte Oxide (Titanat-Keramik )Wirkung: Halbleitung und Ferroelektrizität beiCurietemperatur bilden sich Sperrschichten aus:

hochohmiger (Halbleitung)Wechselstromverhalten: R ist frequenzabhängig

Anwendungen: Steuer-, Regel- und Überwachungsaufga-ben, unerwünscht bei Glühlampen,ca. 3...10facher Überstrom beim Einschalten wegen großem Temperaturbereich.Bei technischen PTC-Widerständen sehr starke Widerstandsänderung.

1.) Messtechnik

S Strömungswächter als Sensoren. Pv wird abgeleitet, dadurch h kleiner als hSprung.

Anwendung: Niveau-Überwachung in Tanks

2.) Strombegrenzung

S Überlastschutz von elektrischen Maschinen, Isolierstoffe werden geschütztPTC wird in die Cu-Wicklungen eingewickelt.

S Regelung, Begrenzung der Kühlwassertemperatur von Motoren (PKW)Ersatz: Thermostat ÷ Lüfter-Motor wird eingeschaltet.

S Stabilisierung kleiner StrömeS Entmagnetisierung von Lochmasken der Farbbildröhre hoher Anlaufstrom, danach klei-

ner Reststrom

S selbstregelnde Heizelemente

2.7 Nichtlineare Widerstände

Widerstände mit linearem Verlauf der Strom/Spannung-Kennlinie heißen:lineare Ohm'sche Widerstände.÷ Der Widerstand R wie auch der spezifische Widerstand sind unabhängig von Strom

und Spannung.Voraussetzung: Konstante Temperatur.

Ein Widerstand mit TK = 0 bleibt auch bei Erwärmung linear.Bei Widerständen mit TK =/ 0 ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang.÷ indirekte Nichtlinearität.


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23

I K U U C I= ⋅ = ⋅α β (1) oder (2)

Echte nichtlineare Widerstände sind auch ohne Temperaturänderung nichtlinear. In be-stimmten Grenzen von I und U folgt die Kennlinie U,I dieser Widerstände in der Regel einemeinfachen Exponentialgesetz.

[K]=S; [C]=S

1: lin. symmetrischer Widerstand 6 Ohm‘scher Widerstand

2: lin. unsymm. Widerstand 6 Ohm‘scher Widerstand mit idealer Diode (Präzisionsgleichrichter)

3: nichtlin. symmetrischer Widerst. 6 VDR-Widerstand,2 Dioden antiparallel

4: nichtlin. unsymm. Widerst. 6 Diode, Z-Diode, Gleichrichter

linear: ProportionalitätskonstanteU

I 'R'

nichtlinear: R=f(U, I) ÷ keine Konstante

Nichtlineare Widerstände spezieller Art:

Dioden in Durchlassrichtung

unsymmetrische Kennlinie

Die mathematische Beschreibung ist bei Dioden anders als bei anderen nichtlinearen Wider-ständen:

IS = SättigungsstromIF'IS (e

UF

m@UT&1)

UT= Temperaturspannung÷ e-Funktion m = Korrekturwert 1...2

Eine andere Darstellung der e-Funktion ist mit einer Reihenentwicklung möglich:

linearer quadrat. Anteil klein,Teil Teil vernachlässigbar

÷ Es entsteht ein zusammengesetzter Widerstand aus linearen und nichtlinearen Anteilen.

VDR-Widerstände (Varistoren)

Voltage Dependent Resistance

IF'IS(UF

m@UT%

1

2[

UFm@UT

]2 %1

6[

UFm@UT

]3 % ...)


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24

Ersatzschaltbild:symmetrische Kennlinie

Näherung: Durchlassspannung U=n·UF, da polykristalline Struktur

Material: Silizium-Karbid SiCZinkoxid ZnO (SIOV, Handelsname)

Die typischen VDR-Widerstände haben folgende Werte: C.15...104

$.0,03...0,35

Anwendung: - Überspannungsbegrenzer (Telefon, Blitzschutz, Messtechnik)- Kontaktschutz (Funkenlöschung bei induktiven Lasten)- Fernsehschaltungstechnik (Wechselspannungsstabilisierung)

3. Berechnung von Gleichstromkreisen3.1 Vorzeichen- und Richtungsregeln

(nach DIN 5489)

Willkürliche, teils historische Festlegungen (Konventionen).Erleichterung der Berechnung von Stromkreisena) konventionelles positives System.1) Der Zahlenwert des Stromes wird positiv gerechnet.L positive Ladungsträger bewegen sich beim Ladungsausgleich in Richtung des Stromp-feiles (von + nach -).

2) Der Zahlenwert der Spannung (Potentialunterschied) zwischen zwei Punkten (Klem-men) eines Stromkreises wird positiv gerechnet, wenn die Pfeilrichtung zum Punkt mitniedrigem Potential zeigt (-).

3) BezugssystemBei komplizierten Netzwerken mit vielen Grundbestandteilen (R's, Quellen) kann keineverbindliche Richtungsangabe gemacht werden.

1) Festlegung eines vorläufigen Bezugssystems. (Danach kann bei negativen Zahlen-ergebnissen die Pfeilrichtung geändert werden).

wichtig

An Verbrauchern (passive Zweipole) haben Strom und Spannung immer die gleichePfeilrichtung.Verbraucher-Pfeilsystem


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25

Daraus resultiert:Bei einer Quelle, die Leistung abgibt sind Strom und Spannung entgegen gesetzt ge-richtet.

Erzeuger- Verbraucher- willkürlich selbst festgelegtesPfeilsystem Pfeilsystem System ÷ Bezugssystem

U und I entgegen U und I gleich

Doppelpfeile haben keine Aussage (vermeiden).

3.2 Einfache nichtverzweigte Stromkreise

Bestandteile eines einfachen Stromkreises sind:

1. Elektrische Quelle: erzeugt getrennte Ladungen2. Ladungsträger-Leitung: verlustarmer Ladungstransportweg3. Elektrische Senke: Umformer in andere Energieformen (Verbraucher, Last)

Andere Aufteilung: aktiver Zweipol-Vierpol-passiver Zweipol

QuellenSpannungsquelle:

Schaltbild ideale realeSpannungsquelle Ri=0 Spannungsquelle Ri>0

ideal: U1 = konstant, unabhängig von I Y Ri 60 schwer realisierbar (mit Regler abschnittsweise möglich)

real: U. konstant (“eingeprägte“ Spannung) Y Ri


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26

Y U1'U0&U0@RiRi%R

'U0 (R

Ri%R)

U1'U2 (ideale Leitung)

R = ∞ , U = U , I = 01 0Leerlauf

Kurzschluss

Beispiel: An einer Batterie wird im Leerlauf eine Klemmenspannung von 62 V gemessen.Der Innenwiderstand beträgt 0,2S Welcher Strom fließt bei einem Lastwiderstand von 6S?

Leerlauf

Beispiel:Eine Spannungsquelle mit einer Quellenspannung U0 = 24 V hat einen Innenwiderstand vonR=3S. Es wird ein Lastwiderstand R=10S angeschlossen. Bestimme rechnerisch und gra-fisch die Klemmenspannung und die Stromstärke.

Grafisch: I=1,8AU=18,5V

Rechnerisch:

U0'Ul , I'U0

Ri%R'

62V

0,2Ω%6Ω'10A

IK'U

0Ri

' 24V3Ω'8A

I'U0

Ri%R'

24V

3Ω%10Ω'1,85A

U0'Ui%U1 , U1'U0&Ui'U0&I@Ri

R'0

U'U0R

Ri%R

'24V10Ω

3Ω%10Ω

'18,5V


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27

Ri'l

Ik'

0

IK

U0'I2@Ri % I2@R2

Ermittlung des Innenwiderstandes Ri einer Spannungsquelle

1) Aus Leerlaufspannung Ul und Kurzschlussstrom IK

(L

nicht immer möglich!)

2) Belastung der Quelle nacheinander mit zwei unterschiedlichen Widerständen R1 und R2

Es gilt:

Gleichsetzen ergibt:

Stromquelle

SchaltbildI=konstant

Idealfall Gi

6 0 (Rp

6 4)

Real:I. konstant (“eingeprägter Strom“ )Konstantstromquelle Y kleinGi

U0'I1@Ri % I1@R1

I1@Ri%I1@R1'I2@Ri%I2@R2

I1@Ri&I2@Ri'I2@R2&I1@R1

Ri (I1&I2)'U2&U1

Ri 'ªU

ªIRi '

U2&U1I1&I2


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28

RLtg « Ri

W'U0@I@t'U1@I@t % U2@I@t % U3@I@t %...% UN@I@t

Eigenschaft der Leitung(Hin + Rückleitung )

1) Verlustlose Leitung ÷ Supraleiter

2) Verlustarme Leitung

S bei großen Leistungen nur mit Hochspannung möglichS R so kurz wie möglich,S ρ so klein wie möglich (Kupfer, Aluminium),S A so groß wie möglich.

Eigenschaften der Senke

1) Ohm'scher Verbraucher (linear, nichtlinearer)

2) Energieumformer (E-Motoren, Magnete etc.)

3) Aufladung von Quellen (Akkumulator)

Elektrolyse (chemische Wirkung)

Reihenschaltung linearer Widerstände

(Serie, Hintereinander)

Ein realer einfacher Stromkreis besteht bereits aus der Reihenschaltung von Innen-,Leitungs-und Außenwiderstand und einer Spannungsquelle.

÷ Reihenschaltung von n Widerständen Die Leitungswiderstände RLtg sind in Regel sehr klein.

Ersatzschaltbild mit diskreten Elementen allgemeines Schaltbild

Energie geht nicht verloren: (Energieerhaltungsatz)

÷ Die vom Generator (Quelle) aufgebrachte Energie W= U· I · t muss in den Verbrau-cherwiderständen in Wärme umgesetzten Energie gleich sein.

Wel. 6 Wmech.%Wther.

Wel. 6 Wther.


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29

nE ds'0

U0'12V R1'10kΩ R2'2kΩ Ua'?

Un'I@Rn

U4U0

'

U4

j4

1

Un

'

I@R4

I@j4

1

Rn

'

R4

j4

1

Rn

Ua'R2

R1%R2@U0'

2kΩ

10kΩ%2kΩ@12V'2V

U

U

I R

I R

R

R1

2

1

2

1

2

= ⋅

⋅ =

U

U

R

R

R

R RU

R

R RU

n n

a2

1

2

2

1

2

2

1 22

2

1 20

∑ ∑= =

+ ⇒ = =

+ U

UR

R RUa = +

⋅21 2

0

oder

Umlaufintegral

2) 2. Kirchhoff'sches Gesetz (Physiker 1824-87)

Mit dem Ohm'schen Gesetz für lineare Widerstände

wird

L Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Teilwiderstände

Spannungsteiler-Regel (unbelasteter Spannungsteiler)

oder z.B. bei 4 R‘s

Erkenntnis:

Die Spannungabfälle (Potentialunterschiede) verhalten sich wie die Widerstandwerte.

Rechenbeispiel

U0'I(R1%R2%R3%...%Rn)'I@Rges

Rges

Rges'jn

1

Rn'R1%R2%R3%...%Rn

U0'I@R1%I@R2%I@R3%...%I@Rn

U0'U1%U2%U3%...%UN'jn

e'1

Ue jn

e'0

Ue'0


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30

N'Ri²%2RiRL%RL² Z'U0²@RL

dPLdRL

'

U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(0%2Ri%2RL)@U0²RLN²

'0

P'U@I R2'RL

dPLdRL

'0 6RLoptimal

⇒ =− +

+ =

+ PL

i

i L

i L

L

i L

U RR R

R RU

R

R R

02

02

2

1( )

( )

IU

R RL

i L

=+

0

dZ

NdR

Z N N Z

NL

( ) | |=

⋅ − ⋅2

Grafische Darstellung eines Spannungsteilers mit variabelR2

Für eine Spannungs- bzw. Stromquelle mit Last gibt es 3 wichtige Betriebsarten

1.) Spannungsanpassung UL . U0 wenn RL » Ri

2.) Stromanpassung IL . I0 wenn RL « Ri

3.) Leistungsanpassung =MaximumPL

Leistungsanpassung

PL'UL@IL'(U0&IL@Ri)IL

mit

PL 'max?

Bestimmung durch Differenzieren:

PL'U0²RL

(Ri%RL)²'U0²

RLRi²%2RiRL%RL²

Maximum von kann berechnet werden, wenn die 1. Ableitung Null gesetzt wird:PL

Ableitung von mit Hilfe der Quotientenregel.PL


31/109


31

P U IP

U

U

R U

U

RI

UP

I

U

R

R

U

U

ges Lges

i i

K

L L

L i

i

= ⋅ → = =⋅

= =

= = ⋅ =

0

0

02

0

0

0

2

0

0

2 2

1

2

4

2

2

IL

P U I P PU

R

U

R

U

Ri i L ges L

i i i

= ⋅ = − = − =02

02

02

2 4 4

PLmax'U0²RL

(Ri%RL)²'

U0²

4@Ri

P U I IU

R Rges L L

i L

= ⋅ = =+0

0 mit I

⇒ =+

= = Pges i L i i L

U

R R

U

Rmit R R0

20

2

2( )

Es genügt wenn der Zähler gleich Null gesetzt wird

U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(2Ri%2RL)@U0²RL'0

(Ri²%2RiRL%RL²)&2RiRL&2RL²'0

Ri

²&RL

²'0

Ri'RL

Verhältnisse bei Leistungsanpassung: Ri'RL

Es gilt also: PLmax'Pimax

Spannung UL und Strom IL bei Ri = RL

Also: Am Ausgang halbe Leerlauf-spannung und halber Kurzschlussstrom bei Leistungsanpassung

Leistung und Wirkungsgrad bei den Leistungsanpassung (Ri = RL)

P

P

U

R

R

U

P

P

Lmax

ges i

i

L

ges

= ⋅ =

⋅ = ⋅ =

02

024

2 1

2

100%

1

2 100% 50%

= 50%

=

$

η

Bei Ri = RL wird die max. Leistung übertragen bei einem Wirkungsgrad von 50%.Diese Leistungsanpassung ist wichtig in der Nachrichtentechnik.Beispiel: Verstärkeranpassung an Lautsprecher

Dagegen ist in der Energietechnik der maximale Übertragungswirkungsgrad interessant.Dabei liegt Spannungsanpassung vor, dabei gilt: RL >> Ri

η

η

=

+

R

R Rüblich

L

i L

: > 95%


32/109


32

U U U U U U1 01 4 3 2 02 0− + + + + =

→ = −

= −

+ + + =

−= − = −

I

U U

R

V V V A mA

ges

01 02

6 9

4 12 50 20

3

860 0349 34 9

Ω Ω Ω Ω Ω, ,

U U U U U U

I Rges

01 02 1 2 3 4− = + + +

= ⋅

U

R

U

R

U

R

U

R

U

RU

R R R Rges n n= + + + + = ⋅ + + + +

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1... ( ... )

Beispiele zum 2. Kirchhoff'schen Satz

Berechnung mit dem Maschensatz

Vorgehen: 1) Alle Spannungspfeile eintragen (Stromrichtung gegebenenfalls beliebigfestlegen, aber einhalten).

2) Willkürlich einen Umlaufsinn festlegen und an einer beliebigen Stelle mitdem Maschenumlauf beginnen.

Zahlenbeispiel:

U01 = 6VU02 = 9VR1 = 4 SR2 = 12 SR3 = 50 SR4 = 20 S

3.3 Der verzweigte elektrische Stromkreis

Arbeit W U I t U I t U I t U I t U I tges n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅1 2 3 ...

Knotenregel, 1. Kirchhoff‘sches Gesetz→ = + + + + Iges nI I I I1 2 3 ...

→ ∑ = I 0Mit dem Ohm‘schen Gesetz:


33/109


33

Rk k

k kk2

200 500

500 200333 3=

⋅−

=Ω ΩΩ Ω

Ω,

I

I

R

R

G

Gges

ges

ges

1

1

1= =

Ströme verhalten sich umgekehrt proportional zu denWiderständen und direkt proportional zu den Leitwerten.

R

R R

R R

R R R R R

R R R R R R

R R R R R R

R R R R R

RR R

R R

ges

ges

ges ges

ges ges

ges ges

ges

ges

=

⋅

++ = ⋅

+ = ⋅

− = −

− = −

= ⋅

−

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1 2 1

2 1 1

21

1

( )

( )

÷1 1 1 1 1

1 2 3R R R R Rges n= + + + +...

oder Gesamtleitwert = EEinzelleitwerteG G G G Gges n= + + + +1 2 3 ...

Allg. Aussage: Rges ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand

Parallelschaltung von 2 Widerständen:Praxisformel

R

R R

R R

R Rges =

+=

⋅

+

1

1 1

1 2

1 2

1 2

Beispiele

1. Parallelschaltung von 4 Widerständen 500S ||1,3kS || 22kS ||100kSGesucht: Rges

R

k k k

ges =+ + +

=1

1

500

1

13

1

22

1

100

354 02

Ω Ω Ω Ω

Ω

,

,

2. R1 = 500kS

Rges = 200kSR2 = ?

Stromteiler-Regel (analog zum Spannungsteiler) Annahme: U = konstant

U I R I R I Rges ges= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 1 2 2

I

I

R

R

G

G

1

2

2

1

1

2

= =


34/109


34

→ = −+

=+

= = =+

I

U

Li

i L

L

i L

L LL i L

IG

G GI

G

G G

U IG

IG G

0 0

0

1

1 1

( )

II

G

L

i

l l= =00, UL I ULl l= =0 0, UL

I ILK = =0 0, ULK IU

RLK

i

= =0 0, ULK

P PI

GL i

i

= = 02

4R R P

U

RL i L i

i

= = =, P 02

4

G IL L> > G Ii ⇒ ≈ 0

R UL L> > R Ui ⇒ ≈ 0

∑ =

= = =

= − = − ⋅

⋅ = =+

I

I I I

I I I I U G

R IG

IG G

i L

L i i

ges

ges

o

i L

0

0

1 1

0

0 0

0

|

U = I0

GR

U

RR

GI

Gi

i i

i

i i

= = = =1 1 1

00

0 0 ; I ; U

Die Ersatzstromquelle

Ersatzstromquelle = Konstantstromquelle + Gi ÷ eingeprägter Strom

Umrechnung Ersatzstromquelle ] Ersatzspannungsquelle

Zusammenstellung

Ersatzstromquelle Ersatzspannungsquelle

LeerlaufGL = 0

KurzschlussGL 6 4

Leistungs-anpassungGL =Gi

Spannungs-anpassung

Strom-anpassung

------------------

------------------

GR

L

L

=1


35/109


35

D

U

I R R+D

I4

I3

I2

I1

RB2

U

I

R||D D

Reihenschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand

Beispiel: Widerstand und Diode in DurchlassrichtungGesucht: Gesamtwiderstand

Lösung: Rechnerisch oder GrafischDie rechnerische Lösung ist schwierig, da dieexakte Diodenkennlinie nur mit großen Aufwandzu ermitteln ist. Üblich ist die empirisch ermittel-te, typische Kennlinie, die grafisch in Datenblät-tern angegeben wird.÷ Daher ist die grafische Lösung zweckmäßig.

Lösungsprinzip:

Addition der Teilspannungen bei konstantemStrom: ÷ ergibt jeweils einen Punkt auf der re-sultierenden Gesamtkennlinie (R+D).

Parallelschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand

Beispiel: Transistoreingang (Basis) mit parallelem Basis-Teilerwiderstand

Gesucht: ÷ Lösung wieder grafisch, da zweckmäßiger R R r ges B BE= 2

Lösungsprinzip:

Die Teilströme bei jeweils konstanter Spannung werden addiert:÷ Summe ergibt einen Punkt auf der neuen, gemeinsamen Widerstandskenn-linie (R||D).


36/109


36

U

Uk k UL L

ll

1

10 1= = → = ⋅... U

U f U R RL L= ( , , )1

U

k

R

Rk

UL

L

=+ −

⋅1

11

1

( )

Gemischte Stromkreise(Anwendung von Maschen- und Knotenregel)

In einem gemischten Stromkreis kommen Reihen- und Parallelschaltungen von aktiven undpassiven Zweipolen vor.

Der belastete Spannungsteiler (Potentiometer)

def.

Gesucht:

Berechnung mit Parallelschaltung und Spannungsteilerregel

1. Parallelschaltung Reihe

RR k R

R k Rp

L

L

= ⋅ ⋅

+ ⋅R k RR = − ⋅( )1

2. Spannungsteilerregel

U

U

R

R R

R k R

R k RR k R

R k Rk R

L P

P R

L

L

L

L

11

=+

= ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ + − ⋅

( ) ( )

[ ]

U

U

R k R R k R

R k R R k R R k R k R

R k R

R k R R R k R k

R k R

R k Rk

R

Rk

k

k

k

R

Rk

k

R

Rk

L L L

L L L

L

L L

L

L

L

L L

1 1

1

11

1

1

11

1

1

11

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + +

−

=+ − + −

=+ −

( )

( ) ( )( )

( ²)( )

( )

( ) ( )


37/109


37

k 0 .00010.001, 1.. i 1 4..r

i

0

1

10

100

a k r ,( )1

1

k r 1 k( ).

a k r i

,

k

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

RU

IL=

⋅1

5 10...

U

Uf L

1

= (k) ParameterR

RL

U

UL

1

Grafische Darstellung des Ergebnisses

Wertetabelle

k

R

RL

0 0,1 1 10 4

0 0 0 0 0 0

0,2 0,2 0,2 0,17 0,08 0

0,4 0,4 0,39 0,32 0,12 0

0,8 0,8 0,79 0,7 0,31 0

1 1 1 1 1 0 8 8RL=4 RL=0Leerlauf Kurzschluss (mit Mathcad)

Potentiometer: Einstellbare Spannungsteiler

S weites Anwendungsgebiet in Mess-, Regel- und SteuertechnikS feinstufige Einstellung der Ausgangsspannung UL

Vorteile: Einfaches Prinzip, kostengünstigNachteile: Bei Belastung Verluste im Potentiometer verbunden mit nichtlinearem Ver-halten

Praktische Auslegung: R


38/109


38

33mA

43 1, Ω

( )U I R IR

R

U R

I RU

I

U R

I R U

V k

mA k VkL

1 1 1

1

11

1

1

1 1

100 5

316 5 1008 62

= = ⋅

+

→ = ⋅

−

= ⋅

⋅ − =

⋅⋅ −

=

RR

R

R

LL

L

ΩΩ

Ω,

,

66mA

4,57V

75,76Ω

−0 43, V

70,71Ω

Lösung:

Imax des Potis bestimmen P I RW

kmA= ⋅ → = =² , I =

P

R

5

5316

Ω÷ 31,6mA dürfen an allen Stellen des Widerstandsdrahtes des Potis fließen.

( )

( )[ ]U I k R R k1 1 1= − + ⋅ RL

÷ Größte Gefahr am Widerstandsanfang: Zur Vereinfachung wird k=1 gesetzt.

BeispielSpannungsteiler für U1=12V, UL=5V, RL=150SDer Querstrom soll Iq=2IL und Iq=8IL betragen.

Gesucht: R1 und R2 für beide Fälle und die Lastspannungsänderung ªUL, wenn RL auf 100S abfällt.

8IL 2IL

IU

R

VmAL

L

L

= = =5

15033

Ω

I I mA mAq L= ⋅ = ⋅ =8 8 33 264

RU

I

V

mAL

q

2

5

26418 9= = = , Ω

RU U

I I

V V

mA mAL

q L

11 12 5

264 3323 6=

−+

= −

+ = , Ω

Lastspannungsänderung für RL=100S:

8IL 2IL

RR R

R RP

L

L

',

,,=

⋅

+ =

⋅+

=2

2

18 9 100

18 9 10015 9

Ω ΩΩ Ω

Ω

U UR

R RV VL

P

P

''

'

,

, ,,=

+ =

+ =1

1

1215 9

23 6 15 94 83

ΩΩ Ω

∆U U U V V VL L L= − = − = −' , ,4 83 5 017

Berechnung einer Ersatzspannungsquelle Anwendung von Kirchhoff I und II ÷ GI=0, GU=0


39/109


39

− = − + +U UU

RR I RL

LL0

2

1 1

UR

RU I RL L1

1

2

0 1+

= −

U UR

R R IR R

R R

U R

L L

L L i

= + − ⋅

+

↓ ↓

= − ⋅

0 2

1 2

1 2

1 2

01

U I

U U I RL L i= − ⋅01

Innenwiderstand eines Spannungsteilers

Eingangsspannung + Teiler = Grundstromkreis mitErsatzspannungsquelle

Beispiel:

Gegeben: U0, R1, R2, RLGesucht: UL=f(IL, U0)

Ansatz mit Kirchhoff

M1: U0 - U1 - UL = 0M2: U2 - UL = 0 ÷ UL = U2K1: I1 - I2 - IL = 0 ÷ I1 = I2 + IL

Ohmsches Gesetz: U1 = I1 @R1

einsetzen in M1 ergibt:I I IU

RIL

LL1 2

2

= + = + U UR

I R UL L L02

1 0− +

− =

Koeffizientenvergleich

Ergebnis: U01 = Ausgangsspannung des unbelasteten Teilers (IL = 0)R R Ri = 1 2

Probe: RU

I

U

I

R

R RU

R

U

R R

R RR R

i k

L

Lk

= = =+

⋅ = ⋅

+ =01 2

1 2 0

1

0

2 1

1 2 1 2

l U UR

R RU

L01

2

1 2 0= =

+l


40/109


40

U

U

L

0

R

Ri

R

R

i

UU

L

0

1

0,8

0,6

0,4

0,2

10,80,60,4 0,50,2

0,2

0,1

0,250,3

0,4

0,5

k

RR R

R RRges =

⋅+

+1 21 2

3

Rk R k R

k R k R

Rk R k R

k Rk

k

k R

k k

k

k R k

i

i

= − ⋅ ⋅

− + ⋅

= − ⋅ ⋅

⋅ −

+

= −− +

= − ⋅

( )

( )

( ) ( )( )

1

1

1

11

1

11

Beispiel:Bestimmung der Funktion des unbelasteten Potentiometers mit grafischer Dar-

R

Rf ki = ( )

stellung.

RR R

R Ri =

⋅+

1 2

1 2

R k R

R k R

1

2

1= −

= ⋅

( )

÷R

Rk k k ki = − = −( ) ²1

Wertetabelle

k 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1

R

R

i0 0,16 0,24 0,25 0,24 0,16 0

Berechnung gemischter Widerstandschaltungen

÷ Kombination von Reihen- und Parallelschaltungen

Beispiele1.


41/109


41

U V

R

R

R

RR

Gesucht I

=

=

=

=

==

220

1200

700

100

300150

1

2

3

4

5

Ω

Ω

Ω

ΩΩ

5

R

R

R

1

2

3

10

20

15

=

=

=

Ω

Ω

Ω

RR R R

R R RRges =

+ ⋅+ +

+( )1 2 3

1 2 3

4

R R RR R R

R R R

U

RmA

II

R R RR R

R R RR R R R R

I IR

R R RmA

I mA

ges

ges

= + + + ⋅

+ +

= + + +

+ +=

= =

= ++

= ++ + +

= ⋅+ +

= ⋅+ +

=

1 24 5 3

3 4 5

5 3 4 5

4 5

3 4 5

3 4 5 4 5

53

3 4 5

5

1200 700300 150 100

100 300 150

1982

111

111100

100 300 150

20 2

( )

( )

( ) ( )( )( )

( )

,

I

Ω Ω Ω Ω Ω

Ω Ω ΩΩ

Ω

Ω Ω Ω

R R R

R R R R R

ges

ges

1 1 2

2 1 2 3 4

=

= +( )

2.

Zahlenbeispiel3.

4.

Welchen Wert muss R4 haben, wenn der Gesamtwiderstand in beiden Schalterstellungengleichbleiben soll?

Ansatz:

math. einfacher ist:


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42

U

U

R

RU V

U

U

R

R R RU V

U

U

R

R RU V

U

U

V

V

IU

R

VmA

IU

R

VmA

I

I

mA

mA

CD

ges

EF

EF

ges

22

4

2 3 5

4

7

4

7

6 77

7

77

7

7

1472

8 79

5 27

5 27

240 22 22%

5 27

12043 9

24

77 61309 2

43 7

309 20 142 14 2%

= → =

=+ +

→ =

=+

→ =

= = →

= = =

= = =

= = →

,

,

,

,,

,,

,,

,

,, ,

Ω

Ω

R

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

1

1 1

1

1

20

1

20 15

46 67

1 2

1 2 1 2 3 4

4 2 2 3

4

2 2 3

R R

R R R R R R

R R R R

R R R

ges ges

=

+ = ++

+

= − +

=−

+

=−

+

=

Ω Ω Ω

Ω,

5. Kettenschaltung

R R R R R R R

Wieviel % von U beträgt U ?

Wieviel % von I beträgt I ?

1 2 3 4 5 6 7

7

7

= = = = = = =

=

30 70 20 160 40 80 120

24

Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω, , , , , ,

U V

Berechnung

R R R REF CD AB ges→ → = = 77 61, Ω

Spannungsverhältnisse


43/109


43

R

R

AC

AC

' = + + =

=

= =

2 1 2 5

1

61

5

1

6

5

5

6

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω

Beispiel: Widerstandswürfel

Jede Kante eines Würfels habe den Widerstand 1S. Wie groß ist der Widerstand zwischenden gegenüberliegenden Eckpunkten A und C?

Lösung:

Vorstellung: Würfel zwischen A und C auseinandergezogen

Die in A und C zusammenlaufenden Widerstände je 1S in 2 parallele Widerstände je 2S

aufspalten: dadurch entstehen 6 parallele Zweige je 5S.

Rechnung:

Jeder Parallelzweig:

Widerstand zwischen A und C:

Eine Lösung ist auch mit der Stern-Dreieckumformung möglich.


44/109


44

Stern- und Dreiecksschaltungen

allg. C Anwendung in der DrehstromtechnikC Schaltungsvereinfachung

Stern

T-Schaltung (Vierpol)

Dreieck

π-Schaltung (Vierpol)

3.4 Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung⇔

Annahme zur Ermittlung der Umrechnungsformeln: Der Widerstand zwischen je 2 Punktenmuss bei beiden Schaltungen gleich sein.

Punkt Y

1- 2 R

2 - 3 R

3 - 1 R

1

2

3

∆

+ = + = +

+ + =

+ = + = +

+ +

=

+ = + = +

+ + =

R R R RR R R

R R RR

R R R RR R R

R R R

R

R R R RR R R

R R RR

E

E

E

2 12 31 2312 31 23

12 23 31

12

3 23 12 3123 12 31

12 23 31

23

1 31 23 1231 23 12

12 23 31

31

( )( )

( )( )

( )( )

Umrechnung ∆ → Y

Wenn R12, R23 und R31 gegeben sind, können R1, R2 und R3 berechnet werden.

R R R R R R RE E E1 12 2 2 23 3 3 31 1= − = − = − R R


45/109


45

RR R

R R R3

31 23

12 23 31

= ⋅

+ +

⇒ = − + −

= − +

= − +

= + − − + +

+ + =

+ +

R

2

1 12 23 31 1

1 12 23 31

1 12 23 31

1

12 31 12 23 23 31 23 12 31 12 31 23

12 23 31

12 31

12 23 31

1

2

2

2

2

R R R R

R R R R

R R R R

RR R R R R R R R R R R R

R R R

R R

R R R

E E E

E E E

E E E( )

( ) ( )

(1)RR R

R R R1

12 31

12 23 31

= ⋅

+ +

Durch zyklisches Vertauschen der Indizes:

(2) (3)RR R

R R R2

23 12

12 23 31

= ⋅

+ +

Umrechnung Y → ∆

Dabei sind R1, R2 und R3 gegeben und R12, R23 und R31 können berechnet werden.

Ansatz: Verhältnisbildung mit (1), (2) und (3)

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R1

2

31

23

2

3

12

31

3

1

23

12

= = =

(1) geteilt durch R31

RR

R

R

R

R

R

R

R

R

R

112

12

31

23

31

12

2

3

2

1

1 1

=+ +

=+ +

nach R12 auflösen ergibt

R R RR R

R12 1 2

1 2

3

= + + ⋅

mit zyklischer Vertauschung

R R RR R

R23 2 3

2 3

1

= + + ⋅

R R RR R

R31 3 1

3 1

2

= + + ⋅


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46

Knoten

KnotenMasche Zweig

3.5 Lineare MaschennetzeNetzwerke

Ein allg. Netzwerk ist aus Zweigen, Knoten und Maschen aufgebaut.

Zweig: Kette von Zweipolen innerhalb einesNetzwerkes, von gleichem Stromdurchflossen

Knoten: Verbindungspunkt mehrerer Zweige

Masche: insich geschlossene Kette von Zwei-gen

Muster eines allgemeinen Netzwerkes

z=14 Zweige, d.h. 14 unbekannte Strömem=6 Maschenk=9 Knoten

Beispiel:

÷ Lineares Gleichungssystem mit z Unbekannten und z Gleichungen


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47

Aufstellung der zur Lösung erforderlichen Gleichungen

Î Kennzeichnung der Ströme und Spannungen

Quellen: Spannungen von + ÷ - (vorläufiges Bezugssystem)Ströme entgegengesetzt

Widerstände: Spannungen und Ströme gleichgerichtete Pfeil

ã Maschengleichungen

m Gleichnungen nach Kirchhoff, 'U=0

Maschen mit Umlaufsinn bezeichnen,Gleichungen aufschreiben

ä Knotengleichungen

(k-1) Gleichungen 'I=0

Knoten bezeichnenGleichungen aufschreiben: hineinfließende Ströme positiv, herausfließende negativeine Knotengleichung weglassen (streichen)

÷ insgesamt ergeben sich im Beispiel z=m+k-1=6+9-1=14 Gleichungen

Lösung des Gleichungssystems

1. direkte Anwendung der Kirchhoff‘schen Sätze÷ alle Gleichungen verwenden (geeignet für Rechenprogramme)

2. Maschenstromverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)Stromquellen werden in Spannungsquellen umgerechnet,die (k-1) Knotengleichen werden eingespart,es wird nur mit Maschen gerechnet. Gearbeitet wird mit Widerständen und Strömen

3. Knotenpotentialverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)Spannungsquellen werden in Stromquellen umgerechnet,m Gleichungen werden eingespart,

nur die (k-1) Knotengleichungen werden gebraucht.Gearbeitet wird mit Leitwerten und Spannungen.

3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen

Zur Lösung (Reduktion) des Gleichungssystems mit allen Gleichungen bieten sich im we-sentlichen folgende Methoden an:

a) Eliminieren durch zweckmäßiges Einsetzen bis unbekannte durch bekannte Größenausgedrückt sind. (Methode des „scharfen Hinsehens“)

b) Gauß‘scher Algorithmus (Additionsmethode)c) Matrizenlösung mit Cramer‘scher Regel


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48

R1R A

R2

U01

I A

U02

U1 U2

U A

I1I2

M1 M2

K2

K1

BeispielEinfaches Netzwerk mit Quellen und LastwiderständenLösung mit dem Gauß‘schen Algorithmus

m=2 Maschengleichungen k=2 Knoten

÷ k-1=1 Knotengleichungen

Gegeben: U01, U02, R1, R2, R AGesucht: I1, U A, I A

Aufstellung der Gleichungen

M1 I2@R2 -I1@R1 I A@0 = U02-U01

M2 -I2@R2 0 -I A@R A = -U02

K1 I2 I1 -I A = 0

Die Anwendung des Gauß‘schen Algorithmus bedeutet: Gleichungen reduzieren

a11x1 +a12x2 +a13x3 = c1

a21x1 +a22x2 +a23x3 = c2

a31x1 +a32x2 +a33x3 = c3

Prinzip:

Multiplikation der 1. Gleichung mit und Addition zur 2. Gleichung.−a

a21

11

Multiplikation der 1. Gleichung mit und Addition zur 3. Gleichung.−a

a31

11

Multiplikation der 2. Gleichung* mit und Addition zur 3. Gleichung*.−a

a32

22 *

* bedeutet modifiziert

Zuerst I1 berechnen ÷ Spalten vertauschen

M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01

M2 -I2@R2 -I A@R A 0 = -U02

K1 I2 -I A I1 = 0


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49

IR

R A1

1

I IR

R1 11

2

+

I I IR

R

R

R A1 1 1

1 1

2

+ +

U

R A

01

− −U U

R02 01

2

U

R

U U

R A

01 02 01

2

− −

M2* 0 -I A =

K1* 0 -I A =

K1** 0 0 =

I IR

R1 11

2

+ − −U U

R02 01

2

M1 I2@R2 I A@0 -I1@R1 = U02-U01

M2* 0 -I A@R A -I1@R1 = -U01

K1* 0 -I A =

IR

R11

2

I IR

R1 11

2

+

− −U U

R02 01

2

− −U U

R02 01

2

M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01

M1* -I2 0 =

K1 I2 -I A I1 = 0

K1* 0 -I A =

( )I

I

R

R

R

R

U

R

U

R

U U

R

R R R R R R

R R

U R U U R

R R

U R U U R

R R R R R

A A A

A A

A

A

A

A

A

1

1

1

1 1

2

01 01 02 01

2

1 2 1 2

2

01 2 02 01

2

01 2 02 01

1 2 1 2

+ + − −

+ + − −

− −

+ +

=

=

=

( )

( )

( ) I

I2 in M1 und K1 eliminieren

M1 mit multiplizieren und zu M2 addieren, d.h. M1 und M2 addieren.− = − −

=a

a

R

R21

11

2

2

1

M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01

M2 -I2@R2 -I A@R A 0 = -U02

M2* 0 -I A@R A -I1@R1 = -U01

M1 mit multiplizieren und zu K1 addieren.− = −a

a R31

11 2

1

insgesamt:

I A in K1* eliminieren

M2* mit multiplizieren und zu K1* addieren.− = −a

a R A

32

22

1


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50

IV V V

mA1100 10 110 100

10 10 200 10 10244=

⋅ − −⋅ + ⋅

= −Ω Ω

Ω Ω Ω Ω Ω( )200

( )

I R U U I R

V V mA

V V

V

2 2 02 01 1 1

110 100 244 10

10 2 44

7 56

= − +

= − + − ⋅

= −

=

( )

,

,

Ω

U U I RV V

V

IU

R A

A

A A

A

= −= −

=

= =

02 2 2

110 7 56

102 44

0 512

,

,

,

Zahlenbeispiel

U01=100V, U02=110VR1=10S, R2=10S, R A=200S

mit M R I R U U1 2 1 1 02 01: I2 ⋅ − ⋅ = −

÷

mit M R U U A2 2 02: - I2 ⋅ − = −

÷

Lösung mit Determinanten, Cramer‘sche Regel

Berechnung von Determinanten, Prinzip:

a a

a aa a a a

a a a

a a a

a a a

aa a

a aa

a a

a aa

a a

a a

11 12

21 2211 22 21 12

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1122 23

32 3312

23 21

33 3113

21 22

31 32

= −

= + +

Ausgangsmatrix (vorheriges Beispiel)

I I I

R R

R R

U U

U

A

A

2 1

2 1

2

02 01

02

0

0

1 1 1 0

−

− −

−

=

=

=

−

−

Zur Berechnung eines unbekannten Stromes wird in der Ausgangsmatrix die Spalte desunbekannten Stromes durch die Spalte mit den bekannten Größen ersetzt. Diese Matrix mitder ausgetauschten Spalte wird dann durch die Ausgangsmatrix dividiert.


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51

I

R

R U R

R R

R R

R U U U R R

R R R R R

IV V

U U

A

A

A

A A1

2

2 02

2 1

2

2 02 02 01 2

2 1 2

1

02 01 0

1 0 1

0

0

1 1 1

1 0 1 1 0

0 1 1 1 0

10 110 10 200 10

10 200 10 200 10

=

− − −

−−

− −

−

= − − − + − − − − − +

− − + − − − − − +

= ⋅ + − −

⋅ + − − −

−

( ( ) ) ( )(( ) ( )( ) ()

( ( ) ( )(( ) ( )( ) ()

( )

( )( )

Ω Ω ΩΩ Ω Ω Ω Ω

= −

+ =

−

= −

=

−

− −

−

− −

−

= + + − − − − − −

− − + − − − − − +

= ⋅ + ⋅

−

1100 2100

2000 2100

1000

4100

0244

01 1 0

0

0

1 1 1

0 0 0

0 1 1 1 0

10 110 10

2 1

2 02

2 1

2

2 02 1 02 02 01 2

2 1 2

02 01

V V V

A

I

R R

R U

R R

R R

R U R U U U R

R R R R R

IV

A

U U

A

A A

A

Ω ΩΩ Ω

ΩΩ

Ω Ω

² ² ²

,

( ) ( )(( ) )( )( )

( ( ) ( )(( ) ( )( ) ()

110 10 10

4100

2100

41000 512

200 0 512 102 4

V V V A

U R I A V A A A

+ −= =

= ⋅ = ⋅ =

( )

² ²,

, ,

ΩΩ

ΩΩ

Ω

3.5.2 Das ÜberlagerungsverfahrenÜberlagerungssatz von Helmholtz (1853)

÷ In einem linearen System kann die Gesamtwirkung aller Ursachen an einer Stelledurch Addition (Zusammenzählen) der Wirkungen der Einzelursachen bestimmt wer-den. (Anwendung auf vielen Gebieten der Physik)

Anwendung bei der Berechnung elektrischer Netzwerke mit linearen Komponenten

Die Ströme in den Zweigen und die Spannungen zwischen den Knotenpunkten eines linea-ren elektrischen Netzwerkes mit mehreren voneinander unabhängigen Quellen für Span-nung und Strom sind gleich der Summe der Teilströme und -spannungen die von den Ein-zelquellen verursacht werden.

Voraussetzungen:

S Lineare Widerstände ÷ Proportionalität zwischen U und I,

nichtlineare Widerstände können abschnittsweise linearisiert werdenS unabhängige aktive Zweipole


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52

R1RL

R2

U01

IL

U02

I1

I2

R1

RL

R2

U01

I1/1

R1RL

R2

U02

I1/2

I2/2

I I Ix xU0ii

n

xI i

i

m

= += =∑ ∑

1

0

1

IU

R

U

R R Rges1 L1 1

01 01

1 2

/ = =

+

IU

R R RL2 2

02

2 1

// /

=+

Mathematische Beziehungen

Verfahrensweise

1. alle Spannungsquellen bis auf eine überbrücken,die Innenwiderstände bleiben bestehen.

2. alle m Stromquellen durch Unterbrechung abschalten3.1 Teilstrom IxU01 mit U01 berechnen, evtl. mit Stern/Dreieckumformung etc.3.2 wie bis 3.1 aber mit U02 bis U0n4. Alle n Spannungsquellen überbrücken,5. Alle Stromquellen (m-1) mit bis auf eine (Ik1) durch Unterbrechung abschalten6.1 Teilstrom IxIk1 mit Ik1 berechnen, evtl. mit Hilfsverfahren6.2 wie bis 6.1 aber mit Ik2 bis Ikm7. Alle Teilströme zum Gesamtstrom Ix addieren.

Beispiel zum Überlagerungsprinzip

2 Spannungsquellen speisen 1 Verbraucher

Gesucht: I1

1. Schritt: U02=0

2. Schritt: U01=0

Stromteilerregel−

=I

I

R R

R

L1 2

2 2

1

1

/

/

÷ IR R

R

U

R R R

L

L1 2

1

1

02

2 1/ = − ⋅ +

3. Schritt: Addition der Teilströme I1=I1/1+I1/2


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53

UU U R

R R RU

RU

IR R R R

A

i A

Ak

001 02 3

1 2 3

1 2 3 4

= +

+ + =

= = + +

( )

( )

l

l

I I I Ak0 4= =

I

I

R R

R

IU U

R R R R

I IU U R R

R R R R R

GR R R R R

ges

ges

ii

4 3 4

4

01 02

1 2 3 4

0 401 02 3 4

4 1 2 3 4

1 2 3 4

1 1

=

= +

+ +

⇒ = = + ⋅

+ +

= =+ +

( )

( )

( )

3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen

Verfahren zur Vereinfachung von Stromkreisen und zur Erleichterung der Berechnung durchReduzierung auf die Schnittstellengrößen I A und U A (Grundstromkreis).

Als bekannt vorausgesetzt:- das Verhalten von Grundstromkreisen mit Quelle, Innenwiderstand, Lastwiderstand,

Strom, Leistung, Widerstandsverhältnisse, Anpassung.

Zweipolberechnung

passiver Zweipol: Netzwerk ohne Quellen aus passiven Schaltungselementenaktiver Zweipol: Netzwerk aus passiven und aktiven Schaltungselementen

÷ Widerstände und Quellen

Beispiel: aktiver Zweipol

| oder

Ersatzspannungsquelle

Ersatzstromquelle


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54

U U I R

UR

R R

U U

R

U

R R

L L i

L

L i

L

L

i

i L

= − ⋅

= ⋅+

= −

=+

0

0

0

0

(1)

(2)

I (3)

(4)

I (5)

(6)

U (7)

(8)

L L i

L

L i

LL

i

i L

I U G

IG

G G

I I

GI

G G

= − ⋅

= ⋅+

= −

=+

0

0

0

0

R1=10S R4=20S

R2100S

A

B

U0100V

IL I3 R3=10S

R5500S

R4200S

UL

U U UR

R RV

RU

I

UR

R R

U

R

R R

R RR R

L

iL

Lk

01 02

1 2

02

1 2

0

1

2 1

1 21 2

90 9

9 09

= = ⋅+

=

= =

⋅+

= ⋅

+ = =

l

l

,

, Ω

Verfahren zur Stromkreisvereinfachung

1. Festlegung einer Trennstelle (Klemmen) zwischen aktivem und passivem Zweipol ander Stelle der gesuchten Größe IL und UL.

2. Vereinfachung der an den Klemmen angeschlossenen Zweipole (aktiv sowie passiv)zum Grundstromkreis.

3. Berechnung der gesuchten Größen z. B. mit den Formeln für die Grundstromkreise.

Mit Ersatzspannungsquelle mit Ersatzstromquelle

1.Beispiel:

Gesucht: IL=I3

1.1 Berechnung mit Ersatzspannungsquelle

1.Schritt Vereinfachung rechte Seite

R R R R RL = + + = + =3 5 4 6 10 500 220 162 7( ) ,Ω Ω Ω Ω

2.Schritt Vereinfachung linke Seite


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Grundlagen Der Elektrotechnik I