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1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 SI-Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Schreibweise von Größen (DIN 1313) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Grafische Darstellungen, Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Grundbegriffe der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Das Wesen der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Stark temperaturabhängige Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Nichtlineare Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Berechnung von Gleichstromkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1 Vorzeichen- und Richtungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Einfache nichtverzweigte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Der verzweigte elektrische Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Lineare Maschennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.2 Das Überlagerungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Energie und Leistung; Energieumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 Energieumformung mech. Energie ] elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Energieumformung elektr. Energie Y thermische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Wärmeaufnahme eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 Wärmeleitung eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3 Wärmeübergang (Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Das elektrische Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 Feldbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Elektrische Feldstärke und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Geschichtete Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6. Das elektrische Feld in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1 Nichtleiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Elektrische Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Berechnung der Kapazität aus der Geometrie und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.1 Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.2 Schichtkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.3 Rohrkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4.4 Wickelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
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6.4.5 Drehkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5 Betriebsfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6 Grundschaltungen von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.7 Geschichtetes Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.8 Kraftwirkung im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.9 Elektrodynamische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.9.1 Energieinhalt eines geladenen Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.9.2 Zeitliche Änderung der Ladung Q und Verschiebestrom IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7. Das statische elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Größen des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.1 Die magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.2 Der magnetische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.3 Das Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.4 Durchflutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.5 Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.1 Magnetisches Feld eines zylindrischen Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.2 Magnetisches Feld eines Rohrleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.3 Magnetisches Feld eines Koaxialleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.4 Magnetisches Feld einer Zweidrahtleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3.5 Erweitertes Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3.6 Magnetisches Feld in einfachen magnetischen Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3.7 Einfluss von Material und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4 Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.4.1 Ringkernspule mit Eisenkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.4.2 Das Rechnen mit magnetischen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4.3 Magnetische Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4.4 Magnetisierungskennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.4.5 Verluste durch Ummagnetisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4.6 µFe und µrFe -Bestimmung aus Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4.7 Grafisches Verfahren zur AP- und µ-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.5 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.1 Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.5.2 Spulen-Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.5.3 L-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.6 Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6.1 Kraftwirkung auf bewegte Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.6.2 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.6.3 Kraft zwischen 2 parallelen stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.6.4 Kraft auf frei bewegte Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.6.5 Hall-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.7 Energie im Magnetkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
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7.8 Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.8.1 Selbstinduktionsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.8.2 Auf- und Entmagnetisierung von idealen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.8.3 Auf- und Entmagnetisierung von realen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.8.4 Abschalten von aufmagnetisierten Induktivitäten mit Gegenspannung . . . . . . . . . 107
7.8.5 Bewegung eines Leiters (Leiterschleife) im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.8.6 Rotation einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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Literatur
1. Grafe/Loose/Kühn'Grundlagen der E-Technik' Band 1+2Verlag Technik Berlin, Hüthig Verlag
2. Moeller/Frohne/Löcherer/Müller'Grundlagen der E-Technik''Beispiele zu Grundlagen der E-Technik'Teubner Verlag
3. A. Haug'Grundzüge der E-Technik'Hanser Verlag
4. Lunze/Wagner
'Einführung in die E-Technik' ArbeitsbuchHüthig Verlag
5. Lunze'Einführung in die E-Technik' LehrbuchHüthig Verlag
6. G. Hagmann'Grundlagen der E-Technik' Studienbuch Aula Verlag Wiesbaden
7. G. Hagmann'Aufgabensammlung zu den Grundlagen der E-Technik' Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden
8. H. Classnitzer'Einführung in die E-Technik'Verlag Berliner Union
9. Zastrow'Grundlagen der E-Technik'Vieweg Verlag
10. H. Lindner'Elektroaufgaben' Band I + IIFachbuchverlag Leipzig-Köln
11. Führer/Heidemann/Nerreter'Grundgebiete der Elektrotechnik' Band 1+2Hanser Verlag
12. Kruschwitz/Müllenborn
'Aufgabensammlung E-Technik'Vieweg Verlag
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13. Wolfschlag/Siemens AG'Einheiten,Größen und Formelzeichen in der Elektroindustrie'Hanser Verlag
14. Fricke/Vaske
'Grundlagen der E-Technik' Teil 1Teubner Verlag
15. Benz/Heinks/Starke'Tabellenbuch Elektronik Nachrichtentechnik'Kohl + Noltemeyer Verlag Frankfurter Fachverlag
16. Friedrich'Tabellenbuch Elektrotechnik Elektronik'Dümmler Verlag Bonn
17. Lindner/Brauer/Lehmann'Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik'Fachbuchverlag Leipzig-Köln
18. Kories/Schmidt-Walter 'Taschenbuch der Elektrotechnik'Verlag Harri Deutsch
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1. Allgemeines1.1 SI-Einheitensystem
Unterscheidung- Physikalische Größen (U, I, s, t ...)- abgeleitete Größen (P, W, Q, R, 0 ...)
- bezogene, spezifische Größen (k, i, :, g ...)L spezifische Größen sind u.a. Materialkonstanten, Koeffizienten (Beiwerte),
Proportionalitätsfaktoren.
Historische Entwicklung von Größen und Einheitensystemen:
1. metrisches System (1799 Frankreich) M K SM K S Weg/Masse/Zeit
2. absolutes System (1832 Gauß/Weber) c g scm, g, s
3. giorgisches System (1921) M K S AM K S A m, kg, sec, el. Strom
4. Technisches Maßsystem bis 1969 M (Weg), kp (Kraft), S (Zeit)
5. Internationales Einheitensystem ab 1960 (11. Generalkonferenz)SI-Einheiten (Systeme International de Unites) SI
Das SI-Einheitensystem gilt seit 1969 als Bundesgesetz. Übergangsfrist endete 1977. AlleStaaten, die das metrische (dekadische) System verwenden, haben das SI-System alsGrundlage der nationalen Normen.
Das Si-System ist kohärent.L Die Basisgrößen und Einheiten sind durch Gleichungen verknüpft, die nur den Zahlen-
faktor 1 haben.
Basisgrößen
Länge Meter m Wellenlänge einer AtomstrahlungMasse Kilogramm kg kg-Prototyp
Zeit Sekunde s Periodendauer einer Atomstrahlungel. Stromstärke Ampere A Kraft zwischen zwei LeiternTemperatur Kelvin K 273,16te Teil des Tripelpunktes von H2OLichtstärke Candela cd Lichtstärke eines schwarzen StrahlersStoffmenge Mol mol Anzahl von Atom- oder Molekülteilen
Nationale Festlegungen in DIN-Normen (Auszug)
DIN 1301 Einheiten, Einheitennamen, EinheitenzeichenDIN 1304 Allgemeine FormelreichenDIN 1305 Masse, Kraft, Gewicht, Last; Begriffe
DIN 1306 Dichte; BegriffeDIN 1313 Schreibweise phys. Gleichungen in Naturwissenschaft und TechnikDIN 1314 Druck; Begriffe, Einheiten
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DIN 1315 Winkel; Begriffe, EinheitenDIN 1320 Akustik; GrundbegriffeDIN 1323 Elek. Spannung, Potential, Zweipolquelle, elektromot. Kraft; BegriffeDIN 1324 Elektrisches Feld; BegriffeDIN 1325 Magnetisches Feld; BegriffeDIN 1338 Formelschreibweise und Formelsatz
DIN 1339 Einheiten magnetischer GrößenDIN 1341 Wärmeübertragung; Grundbegriffe, Einheiten, KenngrößenDIN 1344 Elektrische Nachrichtentechnik; FormelzeichenDIN 1355 Zeit, Kalender, Wochennumerierung, Tagesdatum, UhrzeitDIN 1357 Einheiten elektrischer GrößenDIN 4890 Inch-Millimeter, Grundlagen für die UmrechnungDIN 4892 Inch-Millimeter, UmrechnungstabellenDIN 4893 Millimeter-Zoll, UmrechnungstabellenDIN5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und LichttechnikDIN 5483 Zeitabhängige Größen; Benennungen der ZeitabhängigkeitDIN 5490 Gebrauch der Wörter bezogen, spezifisch, relativ, normiert und reduziert
DIN 6814 Begriffe der radiologischen Technik; AllgemeinesDIN 25404 Kerntechnik; FormelzeichenDIN 40110 WechselstromgrößenDIN 40121 Elektromaschinenbau; FormelzeichenDIN 66035 Kalorie - Joule; Joule - Kalorie; UmrechnungstabellenDIN 66036 Pferdestärke - Kilowatt, Kilowatt - Pferdestärke; UmrechnungstabellenDIN 66037 Kilopond je cm² Bar, Bar - Kilopond je cm²; UmrechnungstabellenDIN 66039 Kilokalorie - Wattstunde, Wattstunde-Kilokalorie; Umrechnungstabellen
Abgeleitete Einheiten
Beispiel: Farad 1 F = 1 C/V 1 C = 1 A s1 V = 1 J/C 1 J = 1 N m 1 N = 1 kg m/s²
Einheiten außerhalb de SI: u.a. Liter, Minute, Stunde, Tonne
Nicht mehr zugelassene Einheiten: u.a. Pond, atm, at, Torr, PS
1.2 Schreibweise von Größen (DIN 1313)
Es gilt:
G = {G} @ [G] Größe = Zahlenwert @ Einheit
Beispiele:
1. el. Stromstärke von 1,86 Ampere: I = 1,86 A
2. Kraft von 68,5 Newton: F = 68,5 N
(Die kursive Darstellung der Größen kann zur Verdeutlichung angewendet werden.)
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1.3 Gleichungsarten
1.) Größengleichungen
Sie beschreiben die physikalischen Zusammenhänge, gelten unabhängig von Einheiten.
Beispiel: F = m @
aKraft = Masse @ Beschleunigung
L jede Größe wird mit Zahlenwert und Einheit eingesetzt.
2.) Einheitengleichung
Sie beschreiben die Umrechnung der Einheiten.
Beispiel: 1 N = 1 kg @ 1 m/s²[F] = [m] @ [a]
3.) Zugeschnittene Größengleichung
Die einzusetzenden Größen werden durch die zugehörigen oder verlangten Einheiten divi-diert.
Beispiel: F = m @ aN kg m/s²
4.) Zahlenwertgleichungen
Sie gelten nur für bestimmte Einheiten, die angegeben werden müssen.Ohne zusätzliche Angaben sind Zahlenwertgleichungen unbrauchbar.
Beispiel: Blindwiderstand xc =159 xc in Sf · C f in kHz
C in :F
5.) Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten (Vorsätze und Vorsatzzeichen)
101 Deka da 10-1 Dezi d102 Hekto h 10-2 Zenti c103 Kilo k 10-3 Milli m106 Mega M 10-6 Mikro :109 Giga G 10-9 Nano n1012 Tera T 10-12 Piko p
L In der Praxis sollen möglichst 3er-Potenzabstufungen verwendet werden (sog. “wissen-schaftliche“ Schreibweise).
1.4 Grafische Darstellungen, Diagramme
Sie sind besonders wichtig für nichtlineare Funktionen (Kennlinien) nach DIN 461
Beispiel: Diodenkennlinie
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Die Skalenteilung ist linear (mit Null-Punkt) oder logarithmisch (ohne Null-Punkt).
Weitere Möglichkeiten:
Die Einheiten werden als Bruch (z.B. ) oder am Zahlenwert (z.B. 3V) geschrieben.U
V
Bildbeschriftung z.B. Durchlasskennlinie Diode 1N4148 möglich.
Wichtig: Unvollständige Diagramme sind bedeutungslos.
2. Grundbegriffe der Elektrizität2.1 Das Wesen der Elektrizität
Elektrische Erscheinungen sind schon seit der Frühgeschichte der Menschheit bekannt.
- Unsichtbares Vorhandensein von el. Ladungen 6 Kräfte(z.B. Anziehen von Haaren)- Sichtbarer Ausgleich von el. Ladungen 6 Blitz
bzw. stille Entladung 6 Elmsfeuer, Nordlicht
Experimentell können Ladungen erzeugt werden, z.B. durch Reiben von Hartgummi, Berns-tein usw.
L Beobachtung von anziehenden und abstoßenden Kräften
Schlussfolgerung: Es müssen positive und negative Ladungen existieren.
Beispiele: klebendes Papierblatt, aufstehende Haare, Staub auf Plexiglas etc.
Spontaner Ladungsausgleich ist durch seine Nebenwirkungen wahrnehmbar: Licht (Blitz), Ausdehnung (Donner), Funken (Knistern). Dagegen bleibt der Ladungsausgleich im el.Stromkreis ohne Hilfsmittel verborgen.
4 5 6 UF
V
4V 5V 6V U
1
2
3
4
5
0,5 1 1,5
IF mA
UF V
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Das Wesen der Elektrizität liegt im Vorhandensein, dem Aufbau und dem Ausgleich vonLadungen.Was ist eine Ladung?Die Atomphysik hat frühzeitig Vorstellungsmodelle entwickelt, welche die Ladung und ihrenTransport (elektrische Strömung) erklären helfen.
Die Ladung
Größe Q = N@e N = Teilchenzahle = Elementarladung
Die Ladung Q besteht aus zählbaren Elementarladungen, deren Träger Bestandteile der Atome oder Moleküle sind (Beweglich oder als Raumladung).
Bestandteile der Atome: Das Bohr'sche Atommodell (1913)
Beispiel: Cu-Atom
Der Kern besteht aus: 29 Protonen 6 pos. Ladungen × Ordnungszahl34 Neutronen 6 ohne el. Ladung
Die Schalen haben 29 Elektronen 6 neg. Ladungen
L Es sind gleichviele pos. und neg. Ladungen vorhanden, d.h. nach außen ist das Cu-Atom
elektrisch neutral.
Eigenschaften der Atombestandteile
Elementarteilchen Masse in g Ladung in As
Proton 1,67·10-24 +1,6·10-19 +eElektron 9,1 ·10-28 -1,6·10-19 -eNeutron 1,67·10-24 0
L Die Masse des Elektrons ist sehr klein (0,5 Promille des Protons beziehungsweise Neu-
trons), dadurch leicht zu beschleunigen (Anwendung: Braun'sche Röhre, Fernsehröhre).
Die äußeren Schalen bestimmen das chemische und physikalische (elektrische) Verhaltender Atome. Äußere Schale L Valenzelektronen, Wertigkeitselektronen (mögliche freie Elektronen)Elemente, die elektrisch interessant sind:
Ordn.- Schalenzahl Element Symbol K L M N O P Bemerkung13 Aluminium Al 2 8 3 p-Dot./Metall14 Silizium Si 2 8 4 Halbleiter
15 Phosphor P 2 8 5 n-Dot.29 Kupfer Cu 2 8 18 1 Metall
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A
mm²
31 Gallium Ga 2 8 18 3 p-Dot.32 Germanium Ge 2 8 18 4 Halbleiter33 Arsen As 2 8 18 5 n-Dot.47 Silber Ag 2 8 18 18 1 Metall79 Gold Au 2 8 18 32 18 1 Metall
Erkenntnisse:
Metalle sind gute elektrische Leiter. (sog. Kupfergruppe: Silber, Gold, Kupfer),erkennbar auch durch 18-1 Anordnung ÷ die 18er Schale bildet mit Nachbaratom Kristall-gitter.Ca. 1023 Elektronen/cm³ (ein Elektron je Atom) sind Leitungselektronen ÷ Ladungsträger mit der Ladung e (freie Elektronen).
Nichtleiter können kaum freie Ladungsträger zur Verfügung stellen z.B. Edelgase, Kunst-stoffe, Glas, reines Wasser. Die Elektronen haben feste Bindungen, vollständige Schalen.Nichtleiter können leitfähig werden, wenn hohe Energien von außen zugeführt werden, z.B.Wärme ÷ Atom-, MolekülschwingungenStrahlung ÷ ElektronenanregungFeldstärke ÷ Feldkräfte reißen Bindungen auf
Halbleiter besitzen im reinsten Zustand fast keine freien Ladungsträger (Eigenleitung)÷ erhöhte Leitfähigkeit durch Einlagern von Fremdatomen (Dotierung)
höherwertig n-Materialniederwertig p-Material (Störstellenleitung)
z.B. Silizium, Germanium, Selen
IonenElektronen des neutralen Atom fehlen ÷ positiv geladenes Ion (Kation)zusätzliche Elektronen am neutralen Atom angelagert ÷ negativ geladenes Ion (Anion)
2.2 Elektrischer Strom
Die Größe (Stärke) der elektrischen Strömung ist als elektrische Stromstärke I (oder i) de-finiert.
[I]=A (Ampere)
Der Strom I ist die Ladungsmenge Q, die pro Zeiteinheit den Leiterquerschnitt durchströmt.
Vorausgesetzt: Strom zeitlich konstant und gleichmäßig über den Querschnitt verteiltL Gleichstrom.
Sonst muss der Skineffekt beachtet werden (Stromverdrängung).
Stromdichte S A=Leiterquerschnitt
übliche Werte für Kupfer 1... 10 , je nach Wärmeableitung (VDE 0100).
I'Q
t
S'I
A[S]'
A
mm²
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Q'I@t'1AsQ'N@e N' Anzahl der Elektronen
N'Qe' 1As
1,6@10&19 As'6,24@1018 Elektronen
Beispiel:
Wieviele Elektronen bewegen sich in 1 Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters,wenn 1 A fließt?Lösung:
Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen
Die Strömungs- (Drift) Geschwindigkeit der Elektronen ist gering (.1mm/s).Der Energieimpuls setzt sich aber mit nahezu Lichtgeschwindigkeit (.300·106m/s) fort.1cm³ Cu enthält 0,84·1023 freie Elektronen mit je e=-1,6·10-19 As.Dichte ne=0,84·1023 Elek./cm³ (Cu)
Es gilt:
A =Querschnitts =WegS =Stromdichteve =mittlere Strömungsgeschwindigkeitt =Zeit
Beispiel:
Durch einen Cu-Draht mit 1mmi fließt ein Gleichstrom von 10A.
a) Wieviele Elektronen fließen je s durch den Querschnitt?b) Wie schnell bewegen sich die Ladungen?c) Wie groß ist die Stromdichte?
a)
b)
c)
Elektronenbeweglichkeit :
: ist ein Maß dafür, wie schnell sich die beweglichenLadungsträger im Gitterverband bewegen können.: ist eine Materialkonstante.
ve'I
ne@e@ A'
10A
0,84@1023Elek.
cm³ @1,6@10&19 As @7,85@10&3cm²
' 0,095cm
s
Q'N@e'I@t
6N
t '
I
e'
10A
1,6@
10
&19
As
'6,24@1019Elek.
s
S'I
A'
10A
0,785mm² ' 12,73
A
mm²
ve'S
ne@e
µ've
E
I'Q
t, Q' A@s@ne@e, N' A@s@ne
I' A@s@ne@e
t
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W12'W1&W2
2 3 Die elektrische Spannung
Zwischen zwei räumlich getrennten Ladungen +Q0 und -Q0 bildet sich ein elektrisches Kraft-feld aus.L Ruhende Ladungen: elektrostatisches Feld.Zwischen den beiden Ladungen und auch auf zwischen Ihnen befindliche Ladungsträger wirken Kräfte. Ähnlich dem Magnetfeld.Die Hauptkraftrichtung an einem Ort ist durch die Feldstärkelinien (Feldlinien) gegeben.
Kraft auf die Ladung Q in Richtung E:
Ist Q positiv: und gleiche RichtungPE PFQ negativ: : und entgegengesetzte Richtung.PE PF
Wird die Ladung Q im elektrischen Feld vom Punkt 1 zum Punkt 2 bewegt, ist die mecha-nische Arbeit W zu leisten.
oder
(si = kleinste Wegstrecken in Richtung )PF Wenn und in in gleicher Richtung: ÷ Energie wird freigesetztPF Pds
und in entgegengesetzt: ÷ Energie muss aufgewendet werdenPF Pds
= potentielle Energie vor der BewegungW1= potentielle Energie nach der BewegungW2
r
E
PFPF
PEPE
PFPF
PEPE
PF'Q@ PE
[F]'V@C
m 'N, [Q]'C (Coulomb)
El. Feldstärke PE'PF
Q
, [E]'V
m
W12'm
2
1
PF Pds W12'jn
i'1
Fi @si
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S=6·E
Das Potential istn bzw. (Energie bezogen auf die Ladung)
Das elektrische Potential definiert die örtliche Verteilung des Niveaus der pot. Energie imnel. Feld
Der Potentialunterschied heißt elektrische Spannung .n1& n
2U12
Der Index gibt den Bezugspunkt an:
Definition nach DIN 5489:
Die Spannung entlang einem Weg von Pkt.1 nach Pkt.2 wird positiv gerechnet, wennU12das Potential im Pkt.1 größer als im Pkt.2 ist.
Einheiten [Energie]= Joule (J), 1J = 1Ws
Beispiel:
Vorhandene Ladung Q=-1As
im Punkt 1: W1=1J
Potential
im Punkt 2: W2=2J
÷
Stromdichte I = ne·e·ve·A : = ElektronenbeweglichkeitS'I
Amit ve=µ·E 6 = spezifische Leitfähigkeit
(Proportionalitätsfaktor)I = ne·e·µ·E·AS= ne·e·µ·E6=ne·e·µ
Die Stromdichte S ist der Feldstärke E proportional.Die Stromstärke I ist der Spannung U proportional.
n1'W1Q ' 1J
&1As'&1 V@ A@s
As '&1V
n2'&2V
W12'W1&W2'1J&2J'&1J
U12'n1&n2'W12
Q
'&1J
&1As
'1V
Spannung'Energie
Ladung
U12'n1&n2'&U21
U12'W
12Q
'n1& n2
[U]'1V'1Ws
1C '
1Ws
1As '
1W
1A
n1'W1Q
n2'W2Q
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Wo tritt eine Feldstärke bzw. Spannung auf, d.h. Kraftwirkung eines el. Feldes?
1.) Ladungserzeugung durch Kräfte bzw. Energiezufuhrwie Magnetfelder, Strahlung, chemische Wirkung, mechanische ReibungSpannungserzeugung einer sog. EMK (Elektromotorische Kraft, Urspannung U0)
Beispiele: Wärme: Seebeck-EffektMagnetfeld: DynamoStrahlung: SolarzelleChemische Wirkung: Primär-ElementMechanische Reibung: Band-Generator Mechanische Spannung: Piezo-Effekt
2.) Durch gebremsten (Stau) Ladungsträgerfluss in Leitern (Widerstände etc.)
2.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz
Wird an einen gleichförmigen Leiter eine Spannung angelegt, so werden infolge der Feld-stärke die freien Ladungsträger bewegt (Strom I).
÷ Die Stromstärke I steigt mit der Feldstärke E, der spezifischen Leitfähigkeit i und demLeiterquerschnitt A.
Kehrwert des spezifischen Leitfähigkeit 6 ist der spezifische Widerstand D.
Der Kehrwert von G ist der elektrische Widerstand R.
Ohm‘sches Gesetz
Einheiten
Ohm‘scher Widerstand von Leitern
Einheit S
I'κ@ A@ 1R
@U κ@ A@ 1R'G' Proportionalitätsfaktor ' Leitwert
I'G@U
R'1
G
I'1
RU U'R@I
[G]' A
V'S (Siemens) [R]'
V
A'Ω (Ohm)
[ρ]'V
Amm'
Ω mm²
m[κ]'S@
m
mm²
R'ρ@ R
A
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Rh2'Rh1(1%α1[h2&h1]%β1[h2&h1]2%γ[h2&h1]
3...)
RR
A' = = ⋅
lρ20
1
Voraussetzung: A über R konstant,Gleichstrom (Skineffekt bei Wechselstrom!)
6 und D sind temperaturabhängige Materialkonstanten.
6 und D für verschiedene Leitermaterialien bei Raumtemperatur:
Material D20 / 620 /Ω mm²m
S@m
mm²
Aluminium 0,029 34,48
Kupfer 0,0178 56,18
Silber 0,016 62,5
Gold 0,022 45,45
Konstantan 0,5 2Kohle .100 .0,01
Wolfram 0,055 18,18
Beispiel: Widerstand von Leitern
Widerstand von Leitungen aus Cu und Al.
Welchen Widerstand haben 1m-lange Leitungsabschnitte mit Querschnitten A=0,75, 1,5,2,5, 4 mm² bei
h=20°C ?
L auf 1m bezogen: Widerstandsbelag R'
A/mm²
0,75 1,5 2,5 4
Belag Cu R' 0,024 0,012 0,0071 0,0045 S/m
Belag Al R' 0,039 0,019 0,012 0,0073 S/m
100m Cu R 2,4 1,2 0,71 0,45 S
100m Al R 3,9 1,9 1,2 0,73 S
2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern
Der Widerstand von Leitermaterialien ändert sich mit der Temperatur z.B. nimmt er zu beiMetallen.Die Widerstandsänderung ist nichtlinear und die wahre Kennlinie kann durch ein Polynom
angenähert werden.
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Bis h2 =100 °C wird im allg. nur mit "1 gerechnet.
"1 und $1 gelten nur bezogen auf h1 (z.B. 20°C)
÷ "1 ("20) linearer Temperaturkoeffizient TK Einheit:1
K ÷ $1 quadratischer TK Einheit:
1
K 2
Also gilt vereinfacht bis h2=100°C: Rh2 . R20 (1+"20 [h2-h1])
ªh
Rh2 .
R20 +"20 R20 ª
h
ªR
Rh2 . R20 +"20 R20 ªh ÷ TKα20'ªR
ªh@R20
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α20 in 1/K
Beispiele:
1) Temperaturstabile Widerstände (Messwiderstände) haben folgende Angabe desTemperaturkoeffizienten:
TK=50 ppm (z.B.) heißt: α'50@10&61
K
2) Temperaturmesswiderstand PT100Platinwiderstand mit R=100Ω bei der Temperatur h=0°C.
Koeffizienten: α'3,908@10&31
K
Nach DIN 43760β'&0,5802@10&61
K 2
Wie groß ist der Widerstand bei h2=100°C?
R100'100Ω [1%3,908@10&3 1
K100K & 0,5802@10&6
1
K 2(100K)2]
R100'138,5Ω
Beispiele für TK von Leitern/ Widerstandsmaterialien
Material Temperaturbereich
Al 3,77 @ 10-3 -40°C ... 100°C
Cu 3,93 @ 10-3 "
Fe 6,6 @ 10-3 "
Kohle (Widerstand) -1000 @ 10-6 "
Metallfilm " ± 50 @ 10-6 "
Konstantan - 3 @ 10-6 "
Wolfram 4,1 @ 10-3
-40°C ... 2200°CPlatin 3,908 @ 10-3 ("0) -40°C ... 100°C
Berechnung temperaturabhängiger Widerstände
Anwendung: Ermittlung (indirekte Messung) der mittleren Wicklungstemperatur von elektri-schen Maschinen.
Rk Widerstand kalt (vor Erwärmung) hk
Rw Widerstand warm hw = h2
dann gilt: Rh2 = R20 [1 + "20 (h2 - 20°C)]
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R
R
R C
R C
C
C
w
k
w
k
w
k
M w
M k
= + − °
+ − ° =
− ° +
− ° + =
+
+20 20
20 20
20
20
1 20
1 20
1 20
1 20
[ ( )]
[ ( )]
/
/
α ϑ
α ϑ
α ϑ
α ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑαM
C= − °1
2020
Materialkenntemperatur
hM = 235°C Kupfer hM = 245°C Aluminium
2.6 Stark temperaturabhängige Widerstände
1) Heißleiter, NTC-Widerstände
Der Widerstand nimmt bei Erwärmung nichtlinear ab.
Symbol Schaltzeichen nach DIN 40712
Erwärmung infolge Fremderwärmungoder Eigenerwärmung
Fremderwärmung: für Messzwecke, Kompensation
S Messheißleiter: Erfassung der Umgebungstemperatur oder eines anderenMediums, dabei muss die Eigenerwärmung vernachlässigbar sein.
S Kompensationsheißleiter: Kompensation des positiven TK von Metall(film)-widerständen
Eigenerwärmung: bei anliegender Spannung
S Anlassheißleiter (Heizfäden, Motoren, Relais etc.)S Regelheißleiter (Spannungsstabilisierung)
wichtig: NTC darf nicht an einer konstanten Spannung, sondern nur über einen Vor-
widerstand betrieben werden, sonst Selbstzerstörungsgefahr!
Selbstzerstörung!6 zunehmende Verlustleistung führt zur Widerstandsabnahme: dadurch
weitere Zunahme der Verlustleistung
Herstellung: gesinterte Metalloxide (Magnesium, Titan u.a.) ÷ polykristalline Struktur mit Halbleitereigenschaft, keine Sperrschichten,
Eigenleitung÷ billig, robust, polaritätsunabhängig, Anwendung z.B. in Kfz.
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α NTC BT= − 2
α NTCK
K KK=
−= − ⋅ = −−
4000
3004 4 10
14 4%2 2
2, $ , /
Kennlinien:
Stationäre Stromspannungskennlinie
Abhängigkeit des Heißleiterwiderstandes von der Temperatur
Temperaturverhalten von Heißleitern
Der Widerstandswert von Heißleitern ändert sich ungefähr exponentiell mit der Temperatur.Mathematisch lässt sich der Widerstandswert als Funktion der Heißleitertemperatur nähe-rungsweise berechnen:
RT1 =Widerstandswert für gegebene Temperatur RT0=Widerstandsnennwert bei Bezugstemperatur e =2,718...B =Materialkonstante 2000...6000K
(Mischungsverhalten der Oxide)T1 =gegebene Temperatur in KT0 =Bezugstemperatur in K
Der TK "NTC ändert sich stark, daher nur für einen kleinen Temperaturbereich ªT sinnvoll.
für B=4000K und T0=27°C = 300K:
RT1'RT0@eB(
1
T1&
1
T0)
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Widerstandsverlauf von PTC-Widerständen
2) Kaltleiter, PTC-Widerstände
Der Widerstand nimmt mit der Erwärmung zu.
Symbol
In bestimmten Temperaturbereichen steigt derWiderstandswert sprungförmig an.Die mathematische Beschreibung des Widerstands-verlaufs ist kompliziert und nur in kleinen Bereichhinreichend genau möglich.
Technologie: gesinterte Oxide (Titanat-Keramik )Wirkung: Halbleitung und Ferroelektrizität beiCurietemperatur bilden sich Sperrschichten aus:
hochohmiger (Halbleitung)Wechselstromverhalten: R ist frequenzabhängig
Anwendungen: Steuer-, Regel- und Überwachungsaufga-ben, unerwünscht bei Glühlampen,ca. 3...10facher Überstrom beim Einschalten wegen großem Temperaturbereich.Bei technischen PTC-Widerständen sehr starke Widerstandsänderung.
1.) Messtechnik
S Strömungswächter als Sensoren. Pv wird abgeleitet, dadurch h kleiner als hSprung.
Anwendung: Niveau-Überwachung in Tanks
2.) Strombegrenzung
S Überlastschutz von elektrischen Maschinen, Isolierstoffe werden geschütztPTC wird in die Cu-Wicklungen eingewickelt.
S Regelung, Begrenzung der Kühlwassertemperatur von Motoren (PKW)Ersatz: Thermostat ÷ Lüfter-Motor wird eingeschaltet.
S Stabilisierung kleiner StrömeS Entmagnetisierung von Lochmasken der Farbbildröhre hoher Anlaufstrom, danach klei-
ner Reststrom
S selbstregelnde Heizelemente
2.7 Nichtlineare Widerstände
Widerstände mit linearem Verlauf der Strom/Spannung-Kennlinie heißen:lineare Ohm'sche Widerstände.÷ Der Widerstand R wie auch der spezifische Widerstand sind unabhängig von Strom
und Spannung.Voraussetzung: Konstante Temperatur.
Ein Widerstand mit TK = 0 bleibt auch bei Erwärmung linear.Bei Widerständen mit TK =/ 0 ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang.÷ indirekte Nichtlinearität.
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I K U U C I= ⋅ = ⋅α β (1) oder (2)
Echte nichtlineare Widerstände sind auch ohne Temperaturänderung nichtlinear. In be-stimmten Grenzen von I und U folgt die Kennlinie U,I dieser Widerstände in der Regel einemeinfachen Exponentialgesetz.
[K]=S; [C]=S
1: lin. symmetrischer Widerstand 6 Ohm‘scher Widerstand
2: lin. unsymm. Widerstand 6 Ohm‘scher Widerstand mit idealer Diode (Präzisionsgleichrichter)
3: nichtlin. symmetrischer Widerst. 6 VDR-Widerstand,2 Dioden antiparallel
4: nichtlin. unsymm. Widerst. 6 Diode, Z-Diode, Gleichrichter
linear: ProportionalitätskonstanteU
I 'R'
nichtlinear: R=f(U, I) ÷ keine Konstante
Nichtlineare Widerstände spezieller Art:
Dioden in Durchlassrichtung
unsymmetrische Kennlinie
Die mathematische Beschreibung ist bei Dioden anders als bei anderen nichtlinearen Wider-ständen:
IS = SättigungsstromIF'IS (e
UF
m@UT&1)
UT= Temperaturspannung÷ e-Funktion m = Korrekturwert 1...2
Eine andere Darstellung der e-Funktion ist mit einer Reihenentwicklung möglich:
linearer quadrat. Anteil klein,Teil Teil vernachlässigbar
÷ Es entsteht ein zusammengesetzter Widerstand aus linearen und nichtlinearen Anteilen.
VDR-Widerstände (Varistoren)
Voltage Dependent Resistance
IF'IS(UF
m@UT%
1
2[
UFm@UT
]2 %1
6[
UFm@UT
]3 % ...)
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Ersatzschaltbild:symmetrische Kennlinie
Näherung: Durchlassspannung U=n·UF, da polykristalline Struktur
Material: Silizium-Karbid SiCZinkoxid ZnO (SIOV, Handelsname)
Die typischen VDR-Widerstände haben folgende Werte: C.15...104
$.0,03...0,35
Anwendung: - Überspannungsbegrenzer (Telefon, Blitzschutz, Messtechnik)- Kontaktschutz (Funkenlöschung bei induktiven Lasten)- Fernsehschaltungstechnik (Wechselspannungsstabilisierung)
3. Berechnung von Gleichstromkreisen3.1 Vorzeichen- und Richtungsregeln
(nach DIN 5489)
Willkürliche, teils historische Festlegungen (Konventionen).Erleichterung der Berechnung von Stromkreisena) konventionelles positives System.1) Der Zahlenwert des Stromes wird positiv gerechnet.L positive Ladungsträger bewegen sich beim Ladungsausgleich in Richtung des Stromp-feiles (von + nach -).
2) Der Zahlenwert der Spannung (Potentialunterschied) zwischen zwei Punkten (Klem-men) eines Stromkreises wird positiv gerechnet, wenn die Pfeilrichtung zum Punkt mitniedrigem Potential zeigt (-).
3) BezugssystemBei komplizierten Netzwerken mit vielen Grundbestandteilen (R's, Quellen) kann keineverbindliche Richtungsangabe gemacht werden.
1) Festlegung eines vorläufigen Bezugssystems. (Danach kann bei negativen Zahlen-ergebnissen die Pfeilrichtung geändert werden).
wichtig
An Verbrauchern (passive Zweipole) haben Strom und Spannung immer die gleichePfeilrichtung.Verbraucher-Pfeilsystem
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Daraus resultiert:Bei einer Quelle, die Leistung abgibt sind Strom und Spannung entgegen gesetzt ge-richtet.
Erzeuger- Verbraucher- willkürlich selbst festgelegtesPfeilsystem Pfeilsystem System ÷ Bezugssystem
U und I entgegen U und I gleich
Doppelpfeile haben keine Aussage (vermeiden).
3.2 Einfache nichtverzweigte Stromkreise
Bestandteile eines einfachen Stromkreises sind:
1. Elektrische Quelle: erzeugt getrennte Ladungen2. Ladungsträger-Leitung: verlustarmer Ladungstransportweg3. Elektrische Senke: Umformer in andere Energieformen (Verbraucher, Last)
Andere Aufteilung: aktiver Zweipol-Vierpol-passiver Zweipol
QuellenSpannungsquelle:
Schaltbild ideale realeSpannungsquelle Ri=0 Spannungsquelle Ri>0
ideal: U1 = konstant, unabhängig von I Y Ri 60 schwer realisierbar (mit Regler abschnittsweise möglich)
real: U. konstant (“eingeprägte“ Spannung) Y Ri
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Y U1'U0&U0@RiRi%R
'U0 (R
Ri%R)
U1'U2 (ideale Leitung)
R = ∞ , U = U , I = 01 0Leerlauf
Kurzschluss
Beispiel: An einer Batterie wird im Leerlauf eine Klemmenspannung von 62 V gemessen.Der Innenwiderstand beträgt 0,2S Welcher Strom fließt bei einem Lastwiderstand von 6S?
Leerlauf
Beispiel:Eine Spannungsquelle mit einer Quellenspannung U0 = 24 V hat einen Innenwiderstand vonR=3S. Es wird ein Lastwiderstand R=10S angeschlossen. Bestimme rechnerisch und gra-fisch die Klemmenspannung und die Stromstärke.
Grafisch: I=1,8AU=18,5V
Rechnerisch:
U0'Ul , I'U0
Ri%R'
62V
0,2Ω%6Ω'10A
IK'U
0Ri
' 24V3Ω'8A
I'U0
Ri%R'
24V
3Ω%10Ω'1,85A
U0'Ui%U1 , U1'U0&Ui'U0&I@Ri
R'0
U'U0R
Ri%R
'24V10Ω
3Ω%10Ω
'18,5V
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Ri'l
Ik'
0
IK
U0'I2@Ri % I2@R2
Ermittlung des Innenwiderstandes Ri einer Spannungsquelle
1) Aus Leerlaufspannung Ul und Kurzschlussstrom IK
(L
nicht immer möglich!)
2) Belastung der Quelle nacheinander mit zwei unterschiedlichen Widerständen R1 und R2
Es gilt:
Gleichsetzen ergibt:
Stromquelle
SchaltbildI=konstant
Idealfall Gi
6 0 (Rp
6 4)
Real:I. konstant (“eingeprägter Strom“ )Konstantstromquelle Y kleinGi
U0'I1@Ri % I1@R1
I1@Ri%I1@R1'I2@Ri%I2@R2
I1@Ri&I2@Ri'I2@R2&I1@R1
Ri (I1&I2)'U2&U1
Ri 'ªU
ªIRi '
U2&U1I1&I2
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RLtg « Ri
W'U0@I@t'U1@I@t % U2@I@t % U3@I@t %...% UN@I@t
Eigenschaft der Leitung(Hin + Rückleitung )
1) Verlustlose Leitung ÷ Supraleiter
2) Verlustarme Leitung
S bei großen Leistungen nur mit Hochspannung möglichS R so kurz wie möglich,S ρ so klein wie möglich (Kupfer, Aluminium),S A so groß wie möglich.
Eigenschaften der Senke
1) Ohm'scher Verbraucher (linear, nichtlinearer)
2) Energieumformer (E-Motoren, Magnete etc.)
3) Aufladung von Quellen (Akkumulator)
Elektrolyse (chemische Wirkung)
Reihenschaltung linearer Widerstände
(Serie, Hintereinander)
Ein realer einfacher Stromkreis besteht bereits aus der Reihenschaltung von Innen-,Leitungs-und Außenwiderstand und einer Spannungsquelle.
÷ Reihenschaltung von n Widerständen Die Leitungswiderstände RLtg sind in Regel sehr klein.
Ersatzschaltbild mit diskreten Elementen allgemeines Schaltbild
Energie geht nicht verloren: (Energieerhaltungsatz)
÷ Die vom Generator (Quelle) aufgebrachte Energie W= U· I · t muss in den Verbrau-cherwiderständen in Wärme umgesetzten Energie gleich sein.
Wel. 6 Wmech.%Wther.
Wel. 6 Wther.
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
29/109
TFH Berlin Grundlagen der Elektrotechnik I Prof. Dr. Suchaneck
29
nE ds'0
U0'12V R1'10kΩ R2'2kΩ Ua'?
Un'I@Rn
U4U0
'
U4
j4
1
Un
'
I@R4
I@j4
1
Rn
'
R4
j4
1
Rn
Ua'R2
R1%R2@U0'
2kΩ
10kΩ%2kΩ@12V'2V
U
U
I R
I R
R
R1
2
1
2
1
2
= ⋅
⋅ =
U
U
R
R
R
R RU
R
R RU
n n
a2
1
2
2
1
2
2
1 22
2
1 20
∑ ∑= =
+ ⇒ = =
+ U
UR
R RUa = +
⋅21 2
0
oder
Umlaufintegral
2) 2. Kirchhoff'sches Gesetz (Physiker 1824-87)
Mit dem Ohm'schen Gesetz für lineare Widerstände
wird
L Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Teilwiderstände
Spannungsteiler-Regel (unbelasteter Spannungsteiler)
oder z.B. bei 4 R‘s
Erkenntnis:
Die Spannungabfälle (Potentialunterschiede) verhalten sich wie die Widerstandwerte.
Rechenbeispiel
U0'I(R1%R2%R3%...%Rn)'I@Rges
Rges
Rges'jn
1
Rn'R1%R2%R3%...%Rn
U0'I@R1%I@R2%I@R3%...%I@Rn
U0'U1%U2%U3%...%UN'jn
e'1
Ue jn
e'0
Ue'0
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
30/109
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30
N'Ri²%2RiRL%RL² Z'U0²@RL
dPLdRL
'
U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(0%2Ri%2RL)@U0²RLN²
'0
P'U@I R2'RL
dPLdRL
'0 6RLoptimal
⇒ =− +
+ =
+ PL
i
i L
i L
L
i L
U RR R
R RU
R
R R
02
02
2
1( )
( )
IU
R RL
i L
=+
0
dZ
NdR
Z N N Z
NL
( ) | |=
⋅ − ⋅2
Grafische Darstellung eines Spannungsteilers mit variabelR2
Für eine Spannungs- bzw. Stromquelle mit Last gibt es 3 wichtige Betriebsarten
1.) Spannungsanpassung UL . U0 wenn RL » Ri
2.) Stromanpassung IL . I0 wenn RL « Ri
3.) Leistungsanpassung =MaximumPL
Leistungsanpassung
PL'UL@IL'(U0&IL@Ri)IL
mit
PL 'max?
Bestimmung durch Differenzieren:
PL'U0²RL
(Ri%RL)²'U0²
RLRi²%2RiRL%RL²
Maximum von kann berechnet werden, wenn die 1. Ableitung Null gesetzt wird:PL
Ableitung von mit Hilfe der Quotientenregel.PL
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
31/109
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31
P U IP
U
U
R U
U
RI
UP
I
U
R
R
U
U
ges Lges
i i
K
L L
L i
i
= ⋅ → = =⋅
= =
= = ⋅ =
0
0
02
0
0
0
2
0
0
2 2
1
2
4
2
2
IL
P U I P PU
R
U
R
U
Ri i L ges L
i i i
= ⋅ = − = − =02
02
02
2 4 4
PLmax'U0²RL
(Ri%RL)²'
U0²
4@Ri
P U I IU
R Rges L L
i L
= ⋅ = =+0
0 mit I
⇒ =+
= = Pges i L i i L
U
R R
U
Rmit R R0
20
2
2( )
Es genügt wenn der Zähler gleich Null gesetzt wird
U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(2Ri%2RL)@U0²RL'0
(Ri²%2RiRL%RL²)&2RiRL&2RL²'0
Ri
²&RL
²'0
Ri'RL
Verhältnisse bei Leistungsanpassung: Ri'RL
Es gilt also: PLmax'Pimax
Spannung UL und Strom IL bei Ri = RL
Also: Am Ausgang halbe Leerlauf-spannung und halber Kurzschlussstrom bei Leistungsanpassung
Leistung und Wirkungsgrad bei den Leistungsanpassung (Ri = RL)
P
P
U
R
R
U
P
P
Lmax
ges i
i
L
ges
= ⋅ =
⋅ = ⋅ =
02
024
2 1
2
100%
1
2 100% 50%
= 50%
=
$
η
Bei Ri = RL wird die max. Leistung übertragen bei einem Wirkungsgrad von 50%.Diese Leistungsanpassung ist wichtig in der Nachrichtentechnik.Beispiel: Verstärkeranpassung an Lautsprecher
Dagegen ist in der Energietechnik der maximale Übertragungswirkungsgrad interessant.Dabei liegt Spannungsanpassung vor, dabei gilt: RL >> Ri
η
η
=
+
R
R Rüblich
L
i L
: > 95%
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
32/109
TFH Berlin Grundlagen der Elektrotechnik I Prof. Dr. Suchaneck
32
U U U U U U1 01 4 3 2 02 0− + + + + =
→ = −
= −
+ + + =
−= − = −
I
U U
R
V V V A mA
ges
01 02
6 9
4 12 50 20
3
860 0349 34 9
Ω Ω Ω Ω Ω, ,
U U U U U U
I Rges
01 02 1 2 3 4− = + + +
= ⋅
U
R
U
R
U
R
U
R
U
RU
R R R Rges n n= + + + + = ⋅ + + + +
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1... ( ... )
Beispiele zum 2. Kirchhoff'schen Satz
Berechnung mit dem Maschensatz
Vorgehen: 1) Alle Spannungspfeile eintragen (Stromrichtung gegebenenfalls beliebigfestlegen, aber einhalten).
2) Willkürlich einen Umlaufsinn festlegen und an einer beliebigen Stelle mitdem Maschenumlauf beginnen.
Zahlenbeispiel:
U01 = 6VU02 = 9VR1 = 4 SR2 = 12 SR3 = 50 SR4 = 20 S
3.3 Der verzweigte elektrische Stromkreis
Arbeit W U I t U I t U I t U I t U I tges n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅1 2 3 ...
Knotenregel, 1. Kirchhoff‘sches Gesetz→ = + + + + Iges nI I I I1 2 3 ...
→ ∑ = I 0Mit dem Ohm‘schen Gesetz:
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
33/109
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33
Rk k
k kk2
200 500
500 200333 3=
⋅−
=Ω ΩΩ Ω
Ω,
I
I
R
R
G
Gges
ges
ges
1
1
1= =
Ströme verhalten sich umgekehrt proportional zu denWiderständen und direkt proportional zu den Leitwerten.
R
R R
R R
R R R R R
R R R R R R
R R R R R R
R R R R R
RR R
R R
ges
ges
ges ges
ges ges
ges ges
ges
ges
=
⋅
++ = ⋅
+ = ⋅
− = −
− = −
= ⋅
−
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 1 1
21
1
( )
( )
÷1 1 1 1 1
1 2 3R R R R Rges n= + + + +...
oder Gesamtleitwert = EEinzelleitwerteG G G G Gges n= + + + +1 2 3 ...
Allg. Aussage: Rges ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand
Parallelschaltung von 2 Widerständen:Praxisformel
R
R R
R R
R Rges =
+=
⋅
+
1
1 1
1 2
1 2
1 2
Beispiele
1. Parallelschaltung von 4 Widerständen 500S ||1,3kS || 22kS ||100kSGesucht: Rges
R
k k k
ges =+ + +
=1
1
500
1
13
1
22
1
100
354 02
Ω Ω Ω Ω
Ω
,
,
2. R1 = 500kS
Rges = 200kSR2 = ?
Stromteiler-Regel (analog zum Spannungsteiler) Annahme: U = konstant
U I R I R I Rges ges= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 1 2 2
I
I
R
R
G
G
1
2
2
1
1
2
= =
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
34/109
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34
→ = −+
=+
= = =+
I
U
Li
i L
L
i L
L LL i L
IG
G GI
G
G G
U IG
IG G
0 0
0
1
1 1
( )
II
G
L
i
l l= =00, UL I ULl l= =0 0, UL
I ILK = =0 0, ULK IU
RLK
i
= =0 0, ULK
P PI
GL i
i
= = 02
4R R P
U
RL i L i
i
= = =, P 02
4
G IL L> > G Ii ⇒ ≈ 0
R UL L> > R Ui ⇒ ≈ 0
∑ =
= = =
= − = − ⋅
⋅ = =+
I
I I I
I I I I U G
R IG
IG G
i L
L i i
ges
ges
o
i L
0
0
1 1
0
0 0
0
|
U = I0
GR
U
RR
GI
Gi
i i
i
i i
= = = =1 1 1
00
0 0 ; I ; U
Die Ersatzstromquelle
Ersatzstromquelle = Konstantstromquelle + Gi ÷ eingeprägter Strom
Umrechnung Ersatzstromquelle ] Ersatzspannungsquelle
Zusammenstellung
Ersatzstromquelle Ersatzspannungsquelle
LeerlaufGL = 0
KurzschlussGL 6 4
Leistungs-anpassungGL =Gi
Spannungs-anpassung
Strom-anpassung
------------------
------------------
GR
L
L
=1
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
35/109
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35
D
U
I R R+D
I4
I3
I2
I1
RB2
U
I
R||D D
Reihenschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand
Beispiel: Widerstand und Diode in DurchlassrichtungGesucht: Gesamtwiderstand
Lösung: Rechnerisch oder GrafischDie rechnerische Lösung ist schwierig, da dieexakte Diodenkennlinie nur mit großen Aufwandzu ermitteln ist. Üblich ist die empirisch ermittel-te, typische Kennlinie, die grafisch in Datenblät-tern angegeben wird.÷ Daher ist die grafische Lösung zweckmäßig.
Lösungsprinzip:
Addition der Teilspannungen bei konstantemStrom: ÷ ergibt jeweils einen Punkt auf der re-sultierenden Gesamtkennlinie (R+D).
Parallelschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand
Beispiel: Transistoreingang (Basis) mit parallelem Basis-Teilerwiderstand
Gesucht: ÷ Lösung wieder grafisch, da zweckmäßiger R R r ges B BE= 2
Lösungsprinzip:
Die Teilströme bei jeweils konstanter Spannung werden addiert:÷ Summe ergibt einen Punkt auf der neuen, gemeinsamen Widerstandskenn-linie (R||D).
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
36/109
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36
U
Uk k UL L
ll
1
10 1= = → = ⋅... U
U f U R RL L= ( , , )1
U
k
R
Rk
UL
L
=+ −
⋅1
11
1
( )
Gemischte Stromkreise(Anwendung von Maschen- und Knotenregel)
In einem gemischten Stromkreis kommen Reihen- und Parallelschaltungen von aktiven undpassiven Zweipolen vor.
Der belastete Spannungsteiler (Potentiometer)
def.
Gesucht:
Berechnung mit Parallelschaltung und Spannungsteilerregel
1. Parallelschaltung Reihe
RR k R
R k Rp
L
L
= ⋅ ⋅
+ ⋅R k RR = − ⋅( )1
2. Spannungsteilerregel
U
U
R
R R
R k R
R k RR k R
R k Rk R
L P
P R
L
L
L
L
11
=+
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ + − ⋅
( ) ( )
[ ]
U
U
R k R R k R
R k R R k R R k R k R
R k R
R k R R R k R k
R k R
R k Rk
R
Rk
k
k
k
R
Rk
k
R
Rk
L L L
L L L
L
L L
L
L
L
L L
1 1
1
11
1
1
11
1
1
11
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ + +
−
=+ − + −
=+ −
( )
( ) ( )( )
( ²)( )
( )
( ) ( )
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
37/109
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37
k 0 .00010.001, 1.. i 1 4..r
i
0
1
10
100
a k r ,( )1
1
k r 1 k( ).
a k r i
,
k
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
RU
IL=
⋅1
5 10...
U
Uf L
1
= (k) ParameterR
RL
U
UL
1
Grafische Darstellung des Ergebnisses
Wertetabelle
k
R
RL
0 0,1 1 10 4
0 0 0 0 0 0
0,2 0,2 0,2 0,17 0,08 0
0,4 0,4 0,39 0,32 0,12 0
0,8 0,8 0,79 0,7 0,31 0
1 1 1 1 1 0 8 8RL=4 RL=0Leerlauf Kurzschluss (mit Mathcad)
Potentiometer: Einstellbare Spannungsteiler
S weites Anwendungsgebiet in Mess-, Regel- und SteuertechnikS feinstufige Einstellung der Ausgangsspannung UL
Vorteile: Einfaches Prinzip, kostengünstigNachteile: Bei Belastung Verluste im Potentiometer verbunden mit nichtlinearem Ver-halten
Praktische Auslegung: R
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
38/109
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38
33mA
43 1, Ω
( )U I R IR
R
U R
I RU
I
U R
I R U
V k
mA k VkL
1 1 1
1
11
1
1
1 1
100 5
316 5 1008 62
= = ⋅
+
→ = ⋅
−
= ⋅
⋅ − =
⋅⋅ −
=
RR
R
R
LL
L
ΩΩ
Ω,
,
66mA
4,57V
75,76Ω
−0 43, V
70,71Ω
Lösung:
Imax des Potis bestimmen P I RW
kmA= ⋅ → = =² , I =
P
R
5
5316
Ω÷ 31,6mA dürfen an allen Stellen des Widerstandsdrahtes des Potis fließen.
( )
( )[ ]U I k R R k1 1 1= − + ⋅ RL
÷ Größte Gefahr am Widerstandsanfang: Zur Vereinfachung wird k=1 gesetzt.
BeispielSpannungsteiler für U1=12V, UL=5V, RL=150SDer Querstrom soll Iq=2IL und Iq=8IL betragen.
Gesucht: R1 und R2 für beide Fälle und die Lastspannungsänderung ªUL, wenn RL auf 100S abfällt.
8IL 2IL
IU
R
VmAL
L
L
= = =5
15033
Ω
I I mA mAq L= ⋅ = ⋅ =8 8 33 264
RU
I
V
mAL
q
2
5
26418 9= = = , Ω
RU U
I I
V V
mA mAL
q L
11 12 5
264 3323 6=
−+
= −
+ = , Ω
Lastspannungsänderung für RL=100S:
8IL 2IL
RR R
R RP
L
L
',
,,=
⋅
+ =
⋅+
=2
2
18 9 100
18 9 10015 9
Ω ΩΩ Ω
Ω
U UR
R RV VL
P
P
''
'
,
, ,,=
+ =
+ =1
1
1215 9
23 6 15 94 83
ΩΩ Ω
∆U U U V V VL L L= − = − = −' , ,4 83 5 017
Berechnung einer Ersatzspannungsquelle Anwendung von Kirchhoff I und II ÷ GI=0, GU=0
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
39/109
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39
− = − + +U UU
RR I RL
LL0
2
1 1
UR
RU I RL L1
1
2
0 1+
= −
U UR
R R IR R
R R
U R
L L
L L i
= + − ⋅
+
↓ ↓
= − ⋅
0 2
1 2
1 2
1 2
01
U I
U U I RL L i= − ⋅01
Innenwiderstand eines Spannungsteilers
Eingangsspannung + Teiler = Grundstromkreis mitErsatzspannungsquelle
Beispiel:
Gegeben: U0, R1, R2, RLGesucht: UL=f(IL, U0)
Ansatz mit Kirchhoff
M1: U0 - U1 - UL = 0M2: U2 - UL = 0 ÷ UL = U2K1: I1 - I2 - IL = 0 ÷ I1 = I2 + IL
Ohmsches Gesetz: U1 = I1 @R1
einsetzen in M1 ergibt:I I IU
RIL
LL1 2
2
= + = + U UR
I R UL L L02
1 0− +
− =
Koeffizientenvergleich
Ergebnis: U01 = Ausgangsspannung des unbelasteten Teilers (IL = 0)R R Ri = 1 2
Probe: RU
I
U
I
R
R RU
R
U
R R
R RR R
i k
L
Lk
= = =+
⋅ = ⋅
+ =01 2
1 2 0
1
0
2 1
1 2 1 2
l U UR
R RU
L01
2
1 2 0= =
+l
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
40/109
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40
U
U
L
0
R
Ri
R
R
i
UU
L
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
10,80,60,4 0,50,2
0,2
0,1
0,250,3
0,4
0,5
k
RR R
R RRges =
⋅+
+1 21 2
3
Rk R k R
k R k R
Rk R k R
k Rk
k
k R
k k
k
k R k
i
i
= − ⋅ ⋅
− + ⋅
= − ⋅ ⋅
⋅ −
+
= −− +
= − ⋅
( )
( )
( ) ( )( )
1
1
1
11
1
11
Beispiel:Bestimmung der Funktion des unbelasteten Potentiometers mit grafischer Dar-
R
Rf ki = ( )
stellung.
RR R
R Ri =
⋅+
1 2
1 2
R k R
R k R
1
2
1= −
= ⋅
( )
÷R
Rk k k ki = − = −( ) ²1
Wertetabelle
k 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1
R
R
i0 0,16 0,24 0,25 0,24 0,16 0
Berechnung gemischter Widerstandschaltungen
÷ Kombination von Reihen- und Parallelschaltungen
Beispiele1.
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
41/109
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41
U V
R
R
R
RR
Gesucht I
=
=
=
=
==
220
1200
700
100
300150
1
2
3
4
5
Ω
Ω
Ω
ΩΩ
5
R
R
R
1
2
3
10
20
15
=
=
=
Ω
Ω
Ω
RR R R
R R RRges =
+ ⋅+ +
+( )1 2 3
1 2 3
4
R R RR R R
R R R
U
RmA
II
R R RR R
R R RR R R R R
I IR
R R RmA
I mA
ges
ges
= + + + ⋅
+ +
= + + +
+ +=
= =
= ++
= ++ + +
= ⋅+ +
= ⋅+ +
=
1 24 5 3
3 4 5
5 3 4 5
4 5
3 4 5
3 4 5 4 5
53
3 4 5
5
1200 700300 150 100
100 300 150
1982
111
111100
100 300 150
20 2
( )
( )
( ) ( )( )( )
( )
,
I
Ω Ω Ω Ω Ω
Ω Ω ΩΩ
Ω
Ω Ω Ω
R R R
R R R R R
ges
ges
1 1 2
2 1 2 3 4
=
= +( )
2.
Zahlenbeispiel3.
4.
Welchen Wert muss R4 haben, wenn der Gesamtwiderstand in beiden Schalterstellungengleichbleiben soll?
Ansatz:
math. einfacher ist:
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
42/109
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42
U
U
R
RU V
U
U
R
R R RU V
U
U
R
R RU V
U
U
V
V
IU
R
VmA
IU
R
VmA
I
I
mA
mA
CD
ges
EF
EF
ges
22
4
2 3 5
4
7
4
7
6 77
7
77
7
7
1472
8 79
5 27
5 27
240 22 22%
5 27
12043 9
24
77 61309 2
43 7
309 20 142 14 2%
= → =
=+ +
→ =
=+
→ =
= = →
= = =
= = =
= = →
,
,
,
,,
,,
,,
,
,, ,
Ω
Ω
R
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1
1
20
1
20 15
46 67
1 2
1 2 1 2 3 4
4 2 2 3
4
2 2 3
R R
R R R R R R
R R R R
R R R
ges ges
=
+ = ++
+
= − +
=−
+
=−
+
=
Ω Ω Ω
Ω,
5. Kettenschaltung
R R R R R R R
Wieviel % von U beträgt U ?
Wieviel % von I beträgt I ?
1 2 3 4 5 6 7
7
7
= = = = = = =
=
30 70 20 160 40 80 120
24
Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω, , , , , ,
U V
Berechnung
R R R REF CD AB ges→ → = = 77 61, Ω
Spannungsverhältnisse
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
43/109
TFH Berlin Grundlagen der Elektrotechnik I Prof. Dr. Suchaneck
43
R
R
AC
AC
' = + + =
=
= =
2 1 2 5
1
61
5
1
6
5
5
6
Ω Ω Ω Ω
Ω Ω
Ω
Beispiel: Widerstandswürfel
Jede Kante eines Würfels habe den Widerstand 1S. Wie groß ist der Widerstand zwischenden gegenüberliegenden Eckpunkten A und C?
Lösung:
Vorstellung: Würfel zwischen A und C auseinandergezogen
Die in A und C zusammenlaufenden Widerstände je 1S in 2 parallele Widerstände je 2S
aufspalten: dadurch entstehen 6 parallele Zweige je 5S.
Rechnung:
Jeder Parallelzweig:
Widerstand zwischen A und C:
Eine Lösung ist auch mit der Stern-Dreieckumformung möglich.
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
44/109
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44
Stern- und Dreiecksschaltungen
allg. C Anwendung in der DrehstromtechnikC Schaltungsvereinfachung
Stern
T-Schaltung (Vierpol)
Dreieck
π-Schaltung (Vierpol)
3.4 Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung⇔
Annahme zur Ermittlung der Umrechnungsformeln: Der Widerstand zwischen je 2 Punktenmuss bei beiden Schaltungen gleich sein.
Punkt Y
1- 2 R
2 - 3 R
3 - 1 R
1
2
3
∆
+ = + = +
+ + =
+ = + = +
+ +
=
+ = + = +
+ + =
R R R RR R R
R R RR
R R R RR R R
R R R
R
R R R RR R R
R R RR
E
E
E
2 12 31 2312 31 23
12 23 31
12
3 23 12 3123 12 31
12 23 31
23
1 31 23 1231 23 12
12 23 31
31
( )( )
( )( )
( )( )
Umrechnung ∆ → Y
Wenn R12, R23 und R31 gegeben sind, können R1, R2 und R3 berechnet werden.
R R R R R R RE E E1 12 2 2 23 3 3 31 1= − = − = − R R
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45
RR R
R R R3
31 23
12 23 31
= ⋅
+ +
⇒ = − + −
= − +
= − +
= + − − + +
+ + =
+ +
R
2
1 12 23 31 1
1 12 23 31
1 12 23 31
1
12 31 12 23 23 31 23 12 31 12 31 23
12 23 31
12 31
12 23 31
1
2
2
2
2
R R R R
R R R R
R R R R
RR R R R R R R R R R R R
R R R
R R
R R R
E E E
E E E
E E E( )
( ) ( )
(1)RR R
R R R1
12 31
12 23 31
= ⋅
+ +
Durch zyklisches Vertauschen der Indizes:
(2) (3)RR R
R R R2
23 12
12 23 31
= ⋅
+ +
Umrechnung Y → ∆
Dabei sind R1, R2 und R3 gegeben und R12, R23 und R31 können berechnet werden.
Ansatz: Verhältnisbildung mit (1), (2) und (3)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R1
2
31
23
2
3
12
31
3
1
23
12
= = =
(1) geteilt durch R31
RR
R
R
R
R
R
R
R
R
R
112
12
31
23
31
12
2
3
2
1
1 1
=+ +
=+ +
nach R12 auflösen ergibt
R R RR R
R12 1 2
1 2
3
= + + ⋅
mit zyklischer Vertauschung
R R RR R
R23 2 3
2 3
1
= + + ⋅
R R RR R
R31 3 1
3 1
2
= + + ⋅
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
46/109
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46
Knoten
KnotenMasche Zweig
3.5 Lineare MaschennetzeNetzwerke
Ein allg. Netzwerk ist aus Zweigen, Knoten und Maschen aufgebaut.
Zweig: Kette von Zweipolen innerhalb einesNetzwerkes, von gleichem Stromdurchflossen
Knoten: Verbindungspunkt mehrerer Zweige
Masche: insich geschlossene Kette von Zwei-gen
Muster eines allgemeinen Netzwerkes
z=14 Zweige, d.h. 14 unbekannte Strömem=6 Maschenk=9 Knoten
Beispiel:
÷ Lineares Gleichungssystem mit z Unbekannten und z Gleichungen
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
47/109
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47
Aufstellung der zur Lösung erforderlichen Gleichungen
Î Kennzeichnung der Ströme und Spannungen
Quellen: Spannungen von + ÷ - (vorläufiges Bezugssystem)Ströme entgegengesetzt
Widerstände: Spannungen und Ströme gleichgerichtete Pfeil
ã Maschengleichungen
m Gleichnungen nach Kirchhoff, 'U=0
Maschen mit Umlaufsinn bezeichnen,Gleichungen aufschreiben
ä Knotengleichungen
(k-1) Gleichungen 'I=0
Knoten bezeichnenGleichungen aufschreiben: hineinfließende Ströme positiv, herausfließende negativeine Knotengleichung weglassen (streichen)
÷ insgesamt ergeben sich im Beispiel z=m+k-1=6+9-1=14 Gleichungen
Lösung des Gleichungssystems
1. direkte Anwendung der Kirchhoff‘schen Sätze÷ alle Gleichungen verwenden (geeignet für Rechenprogramme)
2. Maschenstromverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)Stromquellen werden in Spannungsquellen umgerechnet,die (k-1) Knotengleichen werden eingespart,es wird nur mit Maschen gerechnet. Gearbeitet wird mit Widerständen und Strömen
3. Knotenpotentialverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)Spannungsquellen werden in Stromquellen umgerechnet,m Gleichungen werden eingespart,
nur die (k-1) Knotengleichungen werden gebraucht.Gearbeitet wird mit Leitwerten und Spannungen.
3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen
Zur Lösung (Reduktion) des Gleichungssystems mit allen Gleichungen bieten sich im we-sentlichen folgende Methoden an:
a) Eliminieren durch zweckmäßiges Einsetzen bis unbekannte durch bekannte Größenausgedrückt sind. (Methode des „scharfen Hinsehens“)
b) Gauß‘scher Algorithmus (Additionsmethode)c) Matrizenlösung mit Cramer‘scher Regel
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
48/109
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48
R1R A
R2
U01
I A
U02
U1 U2
U A
I1I2
M1 M2
K2
K1
BeispielEinfaches Netzwerk mit Quellen und LastwiderständenLösung mit dem Gauß‘schen Algorithmus
m=2 Maschengleichungen k=2 Knoten
÷ k-1=1 Knotengleichungen
Gegeben: U01, U02, R1, R2, R AGesucht: I1, U A, I A
Aufstellung der Gleichungen
M1 I2@R2 -I1@R1 I A@0 = U02-U01
M2 -I2@R2 0 -I A@R A = -U02
K1 I2 I1 -I A = 0
Die Anwendung des Gauß‘schen Algorithmus bedeutet: Gleichungen reduzieren
a11x1 +a12x2 +a13x3 = c1
a21x1 +a22x2 +a23x3 = c2
a31x1 +a32x2 +a33x3 = c3
Prinzip:
Multiplikation der 1. Gleichung mit und Addition zur 2. Gleichung.−a
a21
11
Multiplikation der 1. Gleichung mit und Addition zur 3. Gleichung.−a
a31
11
Multiplikation der 2. Gleichung* mit und Addition zur 3. Gleichung*.−a
a32
22 *
* bedeutet modifiziert
Zuerst I1 berechnen ÷ Spalten vertauschen
M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01
M2 -I2@R2 -I A@R A 0 = -U02
K1 I2 -I A I1 = 0
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49
IR
R A1
1
I IR
R1 11
2
+
I I IR
R
R
R A1 1 1
1 1
2
+ +
U
R A
01
− −U U
R02 01
2
U
R
U U
R A
01 02 01
2
− −
M2* 0 -I A =
K1* 0 -I A =
K1** 0 0 =
I IR
R1 11
2
+ − −U U
R02 01
2
M1 I2@R2 I A@0 -I1@R1 = U02-U01
M2* 0 -I A@R A -I1@R1 = -U01
K1* 0 -I A =
IR
R11
2
I IR
R1 11
2
+
− −U U
R02 01
2
− −U U
R02 01
2
M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01
M1* -I2 0 =
K1 I2 -I A I1 = 0
K1* 0 -I A =
( )I
I
R
R
R
R
U
R
U
R
U U
R
R R R R R R
R R
U R U U R
R R
U R U U R
R R R R R
A A A
A A
A
A
A
A
A
1
1
1
1 1
2
01 01 02 01
2
1 2 1 2
2
01 2 02 01
2
01 2 02 01
1 2 1 2
+ + − −
+ + − −
− −
+ +
=
=
=
( )
( )
( ) I
I2 in M1 und K1 eliminieren
M1 mit multiplizieren und zu M2 addieren, d.h. M1 und M2 addieren.− = − −
=a
a
R
R21
11
2
2
1
M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01
M2 -I2@R2 -I A@R A 0 = -U02
M2* 0 -I A@R A -I1@R1 = -U01
M1 mit multiplizieren und zu K1 addieren.− = −a
a R31
11 2
1
insgesamt:
I A in K1* eliminieren
M2* mit multiplizieren und zu K1* addieren.− = −a
a R A
32
22
1
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50
IV V V
mA1100 10 110 100
10 10 200 10 10244=
⋅ − −⋅ + ⋅
= −Ω Ω
Ω Ω Ω Ω Ω( )200
( )
I R U U I R
V V mA
V V
V
2 2 02 01 1 1
110 100 244 10
10 2 44
7 56
= − +
= − + − ⋅
= −
=
( )
,
,
Ω
U U I RV V
V
IU
R A
A
A A
A
= −= −
=
= =
02 2 2
110 7 56
102 44
0 512
,
,
,
Zahlenbeispiel
U01=100V, U02=110VR1=10S, R2=10S, R A=200S
mit M R I R U U1 2 1 1 02 01: I2 ⋅ − ⋅ = −
÷
mit M R U U A2 2 02: - I2 ⋅ − = −
÷
Lösung mit Determinanten, Cramer‘sche Regel
Berechnung von Determinanten, Prinzip:
a a
a aa a a a
a a a
a a a
a a a
aa a
a aa
a a
a aa
a a
a a
11 12
21 2211 22 21 12
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1122 23
32 3312
23 21
33 3113
21 22
31 32
= −
= + +
Ausgangsmatrix (vorheriges Beispiel)
I I I
R R
R R
U U
U
A
A
2 1
2 1
2
02 01
02
0
0
1 1 1 0
−
− −
−
=
=
=
−
−
Zur Berechnung eines unbekannten Stromes wird in der Ausgangsmatrix die Spalte desunbekannten Stromes durch die Spalte mit den bekannten Größen ersetzt. Diese Matrix mitder ausgetauschten Spalte wird dann durch die Ausgangsmatrix dividiert.
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51/109
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51
I
R
R U R
R R
R R
R U U U R R
R R R R R
IV V
U U
A
A
A
A A1
2
2 02
2 1
2
2 02 02 01 2
2 1 2
1
02 01 0
1 0 1
0
0
1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 1 1 0
10 110 10 200 10
10 200 10 200 10
=
− − −
−−
− −
−
= − − − + − − − − − +
− − + − − − − − +
= ⋅ + − −
⋅ + − − −
−
( ( ) ) ( )(( ) ( )( ) ()
( ( ) ( )(( ) ( )( ) ()
( )
( )( )
Ω Ω ΩΩ Ω Ω Ω Ω
= −
+ =
−
= −
=
−
− −
−
− −
−
= + + − − − − − −
− − + − − − − − +
= ⋅ + ⋅
−
1100 2100
2000 2100
1000
4100
0244
01 1 0
0
0
1 1 1
0 0 0
0 1 1 1 0
10 110 10
2 1
2 02
2 1
2
2 02 1 02 02 01 2
2 1 2
02 01
V V V
A
I
R R
R U
R R
R R
R U R U U U R
R R R R R
IV
A
U U
A
A A
A
Ω ΩΩ Ω
ΩΩ
Ω Ω
² ² ²
,
( ) ( )(( ) )( )( )
( ( ) ( )(( ) ( )( ) ()
110 10 10
4100
2100
41000 512
200 0 512 102 4
V V V A
U R I A V A A A
+ −= =
= ⋅ = ⋅ =
( )
² ²,
, ,
ΩΩ
ΩΩ
Ω
3.5.2 Das ÜberlagerungsverfahrenÜberlagerungssatz von Helmholtz (1853)
÷ In einem linearen System kann die Gesamtwirkung aller Ursachen an einer Stelledurch Addition (Zusammenzählen) der Wirkungen der Einzelursachen bestimmt wer-den. (Anwendung auf vielen Gebieten der Physik)
Anwendung bei der Berechnung elektrischer Netzwerke mit linearen Komponenten
Die Ströme in den Zweigen und die Spannungen zwischen den Knotenpunkten eines linea-ren elektrischen Netzwerkes mit mehreren voneinander unabhängigen Quellen für Span-nung und Strom sind gleich der Summe der Teilströme und -spannungen die von den Ein-zelquellen verursacht werden.
Voraussetzungen:
S Lineare Widerstände ÷ Proportionalität zwischen U und I,
nichtlineare Widerstände können abschnittsweise linearisiert werdenS unabhängige aktive Zweipole
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52
R1RL
R2
U01
IL
U02
I1
I2
R1
RL
R2
U01
I1/1
R1RL
R2
U02
I1/2
I2/2
I I Ix xU0ii
n
xI i
i
m
= += =∑ ∑
1
0
1
IU
R
U
R R Rges1 L1 1
01 01
1 2
/ = =
+
IU
R R RL2 2
02
2 1
// /
=+
Mathematische Beziehungen
Verfahrensweise
1. alle Spannungsquellen bis auf eine überbrücken,die Innenwiderstände bleiben bestehen.
2. alle m Stromquellen durch Unterbrechung abschalten3.1 Teilstrom IxU01 mit U01 berechnen, evtl. mit Stern/Dreieckumformung etc.3.2 wie bis 3.1 aber mit U02 bis U0n4. Alle n Spannungsquellen überbrücken,5. Alle Stromquellen (m-1) mit bis auf eine (Ik1) durch Unterbrechung abschalten6.1 Teilstrom IxIk1 mit Ik1 berechnen, evtl. mit Hilfsverfahren6.2 wie bis 6.1 aber mit Ik2 bis Ikm7. Alle Teilströme zum Gesamtstrom Ix addieren.
Beispiel zum Überlagerungsprinzip
2 Spannungsquellen speisen 1 Verbraucher
Gesucht: I1
1. Schritt: U02=0
2. Schritt: U01=0
Stromteilerregel−
=I
I
R R
R
L1 2
2 2
1
1
/
/
÷ IR R
R
U
R R R
L
L1 2
1
1
02
2 1/ = − ⋅ +
3. Schritt: Addition der Teilströme I1=I1/1+I1/2
8/20/2019 Grundlagen Der Elektrotechnik I
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53
UU U R
R R RU
RU
IR R R R
A
i A
Ak
001 02 3
1 2 3
1 2 3 4
= +
+ + =
= = + +
( )
( )
l
l
I I I Ak0 4= =
I
I
R R
R
IU U
R R R R
I IU U R R
R R R R R
GR R R R R
ges
ges
ii
4 3 4
4
01 02
1 2 3 4
0 401 02 3 4
4 1 2 3 4
1 2 3 4
1 1
=
= +
+ +
⇒ = = + ⋅
+ +
= =+ +
( )
( )
( )
3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen
Verfahren zur Vereinfachung von Stromkreisen und zur Erleichterung der Berechnung durchReduzierung auf die Schnittstellengrößen I A und U A (Grundstromkreis).
Als bekannt vorausgesetzt:- das Verhalten von Grundstromkreisen mit Quelle, Innenwiderstand, Lastwiderstand,
Strom, Leistung, Widerstandsverhältnisse, Anpassung.
Zweipolberechnung
passiver Zweipol: Netzwerk ohne Quellen aus passiven Schaltungselementenaktiver Zweipol: Netzwerk aus passiven und aktiven Schaltungselementen
÷ Widerstände und Quellen
Beispiel: aktiver Zweipol
| oder
Ersatzspannungsquelle
Ersatzstromquelle
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54
U U I R
UR
R R
U U
R
U
R R
L L i
L
L i
L
L
i
i L
= − ⋅
= ⋅+
= −
=+
0
0
0
0
(1)
(2)
I (3)
(4)
I (5)
(6)
U (7)
(8)
L L i
L
L i
LL
i
i L
I U G
IG
G G
I I
GI
G G
= − ⋅
= ⋅+
= −
=+
0
0
0
0
R1=10S R4=20S
R2100S
A
B
U0100V
IL I3 R3=10S
R5500S
R4200S
UL
U U UR
R RV
RU
I
UR
R R
U
R
R R
R RR R
L
iL
Lk
01 02
1 2
02
1 2
0
1
2 1
1 21 2
90 9
9 09
= = ⋅+
=
= =
⋅+
= ⋅
+ = =
l
l
,
, Ω
Verfahren zur Stromkreisvereinfachung
1. Festlegung einer Trennstelle (Klemmen) zwischen aktivem und passivem Zweipol ander Stelle der gesuchten Größe IL und UL.
2. Vereinfachung der an den Klemmen angeschlossenen Zweipole (aktiv sowie passiv)zum Grundstromkreis.
3. Berechnung der gesuchten Größen z. B. mit den Formeln für die Grundstromkreise.
Mit Ersatzspannungsquelle mit Ersatzstromquelle
1.Beispiel:
Gesucht: IL=I3
1.1 Berechnung mit Ersatzspannungsquelle
1.Schritt Vereinfachung rechte Seite
R R R R RL = + + = + =3 5 4 6 10 500 220 162 7( ) ,Ω Ω Ω Ω
2.Schritt Vereinfachung linke Seite
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