Inhaltsverzeichnis

1 Die Temperatur-Regelstrecke 51.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Berechnung und Darstellung der Temperaturverläufe bei verschie-

denen Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Berechnung und Darstellung der Temperaturverläufe bei variieren

der Strömungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Berechnung und Darstellung des Temperaturverlaufs bei einem

Dirac-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Kennlinienfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Bestimmung der Verstärkung Kges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Dynamisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Der Industrieregler 172.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Berechnung der Reglerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Berechnung der Reglerparameter für festgelegte Werte . . . . . . . 182.1.3 Laplace-Transformation der PID − T1-Übertragungsfunktion in

den Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Berechnung und Darstellung für die ersten 11 Werte der Sprun-

gantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.5 Herleitung der Sprungantwort aus der Übertragungsfunktion . . . 202.1.6 Berechnung der Sprungantwort des PI-Reglers . . . . . . . . . . . 212.1.7 Herleitung des digitalen PI-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Sprungantworten der unterschiedlichen parametrierten Regler . . . 242.2.2 Messungen der Abtastzeit τ des Reglers . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

2.2.3 Simulation der PID − T1-Übertragungsfunktion in Simulink . . . . 262.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Die Temperaturregelung 323.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion . . . . . . . . . 323.1.2 FührungsübertragungsfunktionenGW (s) des Temperatur-Regelkreises 333.1.3 Vereinfachnung von GW (s) mit Tn = TS . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.4 Bestimmung von Kp des Temperatur-Regelkreises . . . . . . . . . 333.1.5 Simulation der Führungssprungantworten mittels P − T1 − Tt−

und P − T2−Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.6 Messung der Amplituden des ersten Überschwingers der Sprun-

gantworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.7 Simulation der Störsprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1 Berechnungen von uxϑ und uyP für ϑ = 46◦C (offener Regelkreis) . 363.2.2 Regler mit externem Sollwert (geschlossener Regelkreis) . . . . . . 373.2.3 Führungssprungantwort des Reglers nach parametrierung mit der

TUNE-Funktion (geschlossener Regelkreis) . . . . . . . . . . . . . 383.2.4 Störsprungantwort des Reglers nach Parametrierung mit der TUNE-

Funktion (geschlossener Regelkreis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Überprüfung der stationären Genauigkeit des Regelkreises bei Führungs-und Störanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Vergleich zwichen Messung und Vorbereitung . . . . . . . . . . . . 413.3.3 Messung der Amplituden der Führungssprungantworten . . . . . . 41

4 Die Volumenstromregelung 424.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.1 Berechnung der Führungsübertragungsfunktion . . . . . . . . . . . 424.1.2 Simulation des Regelkreises mit Matlab/Simulink . . . . . . . . . . 434.1.3 Bestimmung der Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.4 Ermittlung der Stabilitätsgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1 Volumenstrom bei variierter Lüfterspannung . . . . . . . . . . . . 474.2.2 Störsprungantwort der Volumenstrom-Strecke . . . . . . . . . . . . 484.2.3 Ermittlung der Stabilitätsgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4.2.4 Einstellung des P-Reglers nach Ziegler/Nichols . . . . . . . . . . . 504.2.5 Einstellung des PI-Reglers nach Ziegler/Nichols . . . . . . . . . . . 514.2.6 Parametrierung des Reglers durch die TUNE-Funktion . . . . . . . 52

4.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1 Überprüfung des mit P-Regler geregelten Systems auf Stabilität . 534.3.2 Überprüfung des ungeregelten Systems auf Stabilität . . . . . . . . 544.3.3 Verhältnis der Endwerte vom geregelten zum ungeregelten System

(in Theorie und Praxis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Abbildungsverzeichnis 55

Tabellenverzeichnis 57

4

1 Die Temperatur-Regelstrecke

1.1 Vorbereitung

1.1.1 Physikalische Grundlagen

In dieser Praktikumseinheit werden die Anlagenparameter der Regelstrecke bestimmt.Um Temperaturen und Strömungsverläufe annähernd voraussagen zu können, werdenfolgende physikalische Grundlagen herangezogen. Wenn ein Luftvolumen V um die Tem-peratur θ erwärmt wird, so ist dem Volumen mit spezifischer Wärmekapazität cL =1.01Wsec

gK und Luftdichte γL = 1.293.01 kgm3 die Energie Wth = cLγLV (t)ϑ(t) zugeführt

worden. Hierbei ist ϑ die Temperaturerhöhung gegenüber der Raumtemperatur. Über-tragungsfunktion der Regelstrecke unter Berücksichtigung der Transportzeit zwischender Oberfläche des Heizelements und dem Messort:

Gs = ϑ(s)Pel(s)

= Kse−Tts

1 + Tss(1.1)

1.1.2 Berechnung und Darstellung der Temperaturverläufe beiverschiedenen Leistungen

Die Laplace-Transformierte der Ausgangsgröße ϑ(s) kann durch Multiplikation der Laplace-transformierten der Übertragungsfunktion G(s) und der Eingangsfunktion Pel(s) be-stimmt werden.

ϑ(s) = Gs(s)Pel(s) (1.2)

Die Laplace-Transformierte des Einheitssprungs ε(t) ist 1s . Multipliziert mit der Ampli-

tude P0 ergibt:

L{P0ε(t)} = P0s

(1.3)

5

ϑ(s) = Ks

1 + Tss· e−Tts · P0

s(1.4)

Um die Temperaturverläufe berechnen zu können, wird die Rücktransformation von Gl(1.4) in den Zeitbereich vorgenommen:

L−1{ϑ(s)} = ϑ(t) = KsP0ε(t− Tt) · (1− e−t−TtTs ) (1.5)

Für ein mögliches Modell der Regelstrecke am Arbeitspunkt (Strömungsgeschwindigkeitv = vL) werden folgende Annahmen gemacht:

Ks = 0.3KW,Ts = 5sec, Tt = 1sec

Berechnung der Anfangs- und Endwerte des Temperaturverlaufs für Pel = 10W · ε(t),Pel = 20W · ε(t) und Pel = 30W · ε(t):

limt→0

ϑ(t) = 0, 3KW· P0 · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 0K

limt→∞

ϑ(t) = 0, 3KW· 10W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 3K

limt→∞

ϑ(t) = 0, 3KW· 20W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 6K

limt→∞

ϑ(t) = 0, 3KW· 30W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 9K

Zur Verifizierung der errechneten Werte folgt eine Matlab-Simulink-Siumulation. Abbil-dung 1.1 zeigt das Modell für die Simulation der Sprungantworten mit den 3 SprüngenP0 = 10W , P0 = 20W und P0 = 30W , Abbildung 1.2 zeigt das Simulationsergebnis.

Abbildung 1.1: Modell zur Simulation der Sprungantworten

6

grün:P0 = 10W , lila:P0 = 20W , blau:P0 = 30W(x-Achse: Zeit in sec, y-Achse: Temperatur in K)

Abbildung 1.2: Sprungantworten bei variierender Heizleistung

1.1.3 Berechnung und Darstellung der Temperaturverläufe bei variieren derStrömungsgeschwindigkeit

Im Folgenden werden Temperaturverläufe für Pel = 10W · ε(t) unter der Annahme vari-ierender Strömungsgeschwindigkeit berechnet.

• v = vL

• v = vL2

• v = 2 · vL

7

Die Veränderung von v führt auch zu Änderungen der Paramter Tt, Ks und Ts. Berech-nung der Anfangs- und Endwerte des Temperaturverlaufs:

ϑ(0) = 0, 3KW· 10W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 0K

limt→∞

ϑ(t) = 0, 3KW· 10W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 3K

limt→∞

ϑ(t) = 12 · 0, 3

K

W· 10W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 1, 5K

limt→∞

ϑ(t) = 2 · 0, 3KW· 10W · ε(t− 1sec) · (1− e−

t−1sec5sec ) = 6K

Zur Verifizierung der errechneten Werte folgt eine Matlab-Simulink-Siumulation. Abbil-dung 1.3 zeigt das Modell für die Simulation der Sprungantworten, Abbildung 1.4 zeigtdas Simulationsergebnis.

8

Abbildung 1.3: Modell zur Simulation der Sprungantworten bei variierender Strömungs-geschwindigkeit

grün:v = vL2 , lila:v = vL, blau:v = 2 · vL

(x-Achse: Zeit in sec, y-Achse: Temperatur in K)

Abbildung 1.4: Sprungantworten bei variierender Strömungsgeschwindigkeit

9

1.1.4 Berechnung und Darstellung des Temperaturverlaufs bei einemDirac-Impuls

Die Laplace-Transformierte des Diracimpulses δ(t) ist 1. Multipliziert mit der AmplitudeP0 ergibt sich:

L{P0δ(t)} = P0 (1.6)

Eingesetzt in Gl (1.2) führt zu:

ϑ(s) = Ks

1 + Tss· e−Tts · P0 (1.7)

Um die Temperaturverläufe berechnen zu können, wird die Rücktransformation von Gl(1.7) in den Zeitbereich vorgenommen:

L−1{ϑ(s)} = P0 ·Ks

TsL−1{ 1

1Ts

+ s· e−Tts} = ϑ(t) (1.8)

ϑ(t) = P0 ·Ks

Tse

(Tt−t)Ts (1.9)

Mit Gl (1.9) kann der Temperaturverlauf v(t) (Übertragungsfunktion (1.7)) berechnetwerden:

limt→0

ϑ(t) = 50Wsec ·0.3KW5sec · e

(t)5sec = 3K

limt→∞

ϑ(t) = 50Wsec ·0.3KW5sec · e

(1sec−t)5sec = 0K

Zur Verifizierung der errechneten Werte folgt eine Matlab-Simulink-Siumulation. Abbil-dung 1.5 zeigt das Modell für die Simulation der Sprungantworten, Abbildung 1.6 zeigtdas Simulationsergebnis.

1.2 Messungen

Die in Tabelle 1.1 aufgeführten Temperaturdaten wurden mit dem elektronischen Tem-peraturfühler PT100 erfasst. Die Spannungen wurden mit einem Metrahit-Multimeterbestimmt.

10

Abbildung 1.5: Modell zur Simulation der Impulsantwort

(x-Achse: Zeit in sec, y-Achse: Temperatur in K)

Abbildung 1.6: Impulsantwort

Es folgen die Oszilloskop-Aufzeichnungen der verschiedenen Sprungantworten.

1.3 Auswertung

1.3.1 Kennlinienfelder

Mit den in Tabelle 1.1 gelisteten Werten wurden die Kennlinienfelder uxθ = f(uyP ) unduxθ = f(uyL) (Abbildungen 1.11 und 1.12) erstellt.

11

Abbildung 1.7: Heizleistungssprung von 40% auf 60%

Abbildung 1.8: Heizleistungssprung von 60% auf 40%

Abbildung 1.9: Lüfterspannungssprung von 40% auf 60%

12

Abbildung 1.10: Lüfterleistungssprung von 60% auf 40%

Abbildung 1.11: uxv in Abhängigkeit von uyL

13

Abbildung 1.12: uxθ in Abhängigkeit von uyP

1.3.2 Bestimmung der Verstärkung Kges

Kges entspricht ∆uxθ∆uyP . Mit den Werten aus Tabelle 1.1 folgt: uxθ = 6, 37V − 4, 3V =

2, 07V , uyP = 6V − 4V = 2V ,

Kges = 2, 07V2V = 1, 035 (1.10)

Außerdem lässt sich die Verstärkung Kges durch die Multiplikation der einzelnen Ver-stärkungen bestimmen: Kges = ∆Pel

∆uyP = Ku ·KS ·KM . Berechnung der Regelstreckenver-stärkung:

KS = ∆θ∆Pel

(1.11)

Es gilt: P0(5V ) ≈ 30W das führt zu: P0(4V ) ≈ 24W und P0(6V ) ≈ 36W Daraus folgt:∆Pel = P0(6V ) − P0(4V ) = 36W − 24W = 12W ∆θ = 327, 15K − 317, 35K = 9, 8K

KS = 9, 8K12W = 0, 82K

W(1.12)

14

Berechnung der Ansteuerverstärkung:

Ku = ∆Pel∆uyP

= 12W6V − 4V = 6W

V(1.13)

Berechnung der Messverstärkung:

KM = ∆uxθ∆θ = 6, 37V − 4, 3V

327, 15K − 317, 35K = 0, 21VK

W

V(1.14)

Berechnung der Gesamtverstärkung:

Kges = ∆Pel∆uyP

= Ku ·KS ·KM = 0, 82KW· 6WV· 0, 21V

K= 1, 03 (1.15)

1.3.3 Dynamisches Verhalten

Die Ausgleichszeit TS = Tg und die Verzugszeit Tt = Tu sowie Verstärkung Kges wurdendurch ein grafisches Verfahren ermittelt (Abbildung 1.13). Tt = Tu = 1, 6sec, TS = Tg =34sec und Kges = ∆uxθ

∆uyP = 1,28V+0,9V2V = 1, 09

15

Abbildung 1.13: Tangentenverfahren zur Bestimmung der Streckenparameter Kges, Tt =Tu, TS = Tg

Heizleistung uxθ0[V ] Lüfterspannung uxF0[V ] Temperatur ◦C4,83 40% 6,11 47,40

40% 4,30 50% 7,08 44,203,80 60% 8,23 41,505,98 40% 5,97 53,00

50% 5,31 50% 7,01 48,804,84 60% 8,19 45,806,98 40% 5,95 58,70

60% 6,37 50% 6,96 53,905,89 60% 8,13 50,70

Tabelle 1.1: Messwerte

16

2 Der Industrieregler

2.1 Vorbereitung

2.1.1 Berechnung der Reglerparameter

Im folgenden Abschnitt werden der Proportionalbeiwert K ′p, die Nachstellzeit T ′n, dieVorhaltezeit T ′v und die Verzögerung T ′ allgemein als Funktion von Kp, Tn, Tv und T

durch Koeffizientenvergleich der Übertragunsfunktionen des PID-T1-Regelalgorithmus2.1 und des Industriereglers 2.3. Umformung des PID − T1-Regelalgorithmus:

GR(s) = Y (s)E(s) = Kp ·

1 + 1Tns

+ Tvs

1 + Ts(2.1)

GR(s) = Y (s)E(s) = Kp

TnT· Tns+ 1 + TnTvs

2

1T s+ s2 (2.2)

Umformung des Industrieregler-Algorithmus:

G′R(s) = Y (s)E(s) = Kp ·

(1 + 1

T ′ns+ T ′vs

1 + T ′s

)(2.3)

G′R(s) = Y (s)E(s) =

K ′pT ′nT

′ ·1 + (T ′ + T ′n)s+ (T ′nT ′ + T ′nT

′v)s2

1T s+ s2 (2.4)

Es ergeben sich durch Koeffizientenvergleich der umgeformten Übertragungsfunktion 2.2und 2.4 folgende allgemeine Formeln für die Reglerparameter:

K ′pT ′nT

′ = Kp

TnT(2.5)

1T ′

= 1T

(2.6)

T ′ + T ′n = Tn (2.7)

17

T ′nT′ + T ′nT

′v = TnTv (2.8)

2.1.2 Berechnung der Reglerparameter für festgelegte Werte

Durch einsetzten von Kp = 2, Tv = 9s, Tv = 1, 5s und T = Tv/3 = 0, 5s in die allgemeineFormeln 2.5 bis 2.8 werden die Reglerparameter K ′p, T ′n, T ′v und T ′ berechnet:

T ′ = T = 0, 5sec (2.9)

K ′p = Kp ·T ′nT

′

TnT= 2 · 8, 5sec · 0, 5sec

9sec · 0, 5sec = 1, 89 (2.10)

T ′v = TnTv − T ′nT ′

T ′n= 9sec · 1, 5sec− 8, 5sec · 0, 5sec

8, 5sec = 1, 09sec (2.11)

2.1.3 Laplace-Transformation der PID − T1-Übertragungsfunktion in denZeitbereich

G′R(s) = Y (s)E(s) = Kp · (1 + 1

T ′ns+ T ′vs

1 + T ′s) | · (1 + Ts) (2.12)

Y (s) · (1 + Ts)E(s) = Kp · 1 + 1

Tns+ Tvs | · E(s) (2.13)

Y (s) · (1 + Ts) = Kp · E(s) ·(

1 + 1Tns

+ Tvs

)(2.14)

Y (s) + Y (s) · Ts = Kp ·(E(s) + E(s)

Tns+ E(s) · Tvs

)(2.15)

L−1 {Y (s) + Y (s) · Ts} = L−1{Kp ·

(E(s) + E(s)

Tns+ E(s) · Tvs

)}(2.16)

y(t) + Tdy(t)dt

= Kp

[e(t) + 1

Tn

∫e(t)dt+ Tv

de(t)dt

](2.17)

2.1.4 Berechnung und Darstellung für die ersten 11 Werte derSprungantwort

Aus der gegebenen Sprungantwort des PID − T1-Reglers

y(t) = Kp

[1− T

Tn+ t

Tn+(T

Tn− 1 + Tv

T

)· e−

tT

](2.18)

18

werden die ersten 11 Werte im Abstand von 1s berechnet. Die Ergebnisse sind in Tabelle2.1 und Abbildung 2.1 dargestellt.

t[s] y(t)0 6,001 2,692 2,423 2,564 2,765 3,016 3,197 3,418 3,689 3,8810 4,07

Tabelle 2.1: Berechnete Theoriewerte des PID − T1-Reglers

Abbildung 2.1: Sprungantwort des PID − T1-Reglers

19

2.1.5 Herleitung der Sprungantwort aus der Übertragungsfunktion

Für den Fall Tv = 0 wird nun die Sprungantwort aus der Übertragungsfunktion 2.1hergeleitet und das Ergebnis mit der gegebenen Gleichung 2.18 verglichen.

Gr(s) = Y (s)E(s) = Kp ·

(1 + 1

Tns

1 + Ts

)(2.19)

Aus Tv = 0 folgt T = Tv/3. Mit E(s) = 1/s (Einheitssprung) ergibt sich:

Y (s) = Kp ·(

1 + 1Tns

)· 1s

= Kp ·(1s

+ 1Tns2

)(2.20)

Die Sprungantwort in den Zeitbereich transformiert:

L−1 {Y (s)} = Kp ·(σ(t) + 1

Tn· t)

(2.21)

y(t) = Kp ·(σ(t) + t

Tn

)(2.22)

Und für den Fall TV = T = 0 stimmt das Ergebnis mir 2.18 überein:

y(t) = Kp ·(

1 + t

Tn

)(2.23)

20

Die Sprungantwort 2.18 zum Vergleich:

y(t) = Kp

1− T

Tn︸︷︷︸0

+ t

Tn+(T

Tn− 1 + Tv

T

)· e−

tT︸︷︷︸

0︸ ︷︷ ︸0

(2.24)

2.1.6 Berechnung der Sprungantwort des PI-Reglers

Die ersten fünf Werte 2.2 der Sprungantwort des PI-Reglers sind in Abbildung 2.2 dar-gestellt.

t[s] y(t)0 2,001 2,622 2,443 2,674 2,89

Tabelle 2.2: Berechnete Theoriewerte des PI-Reglers

Abbildung 2.2: Sprungantwort des PI-Reglers

21

2.1.7 Herleitung des digitalen PI-Algorithmus

Differentialgleichung des Reglers:

y(t) + Tdy(t)dt

= Kp

[e(t) + 1

Tn

∫e(t)dt+ Tv

de(t)dt

](2.25)

Für Tv = 0 und T = Tv/3 = 0 einsetzen:

y(t) + 0 · dy(t)dt

= Kp

[e(t) + 1

Tn

∫e(t)dt+ 0 · de(t)

dt

](2.26)

y(t) = Kp

[e(t) + 1

Tn

∫e(t)dt

]| · ddt

(2.27)

dy(t)dt

= Kp

[de(t)dt

+ 1Tne(t)

](2.28)

Ersetzten des Differentialquotienten durch Differenzquotienten:

∆y(t)dt

= Kp

[∆e(t)∆t + 1

Tne(t)

](2.29)

Definition: ∆t = τ,∆y(t) = y(t=kτ ) − y(t=(k−1)τ ) = yk − yk−1 und ∆e(t) = et=kτ −et=(k−1)τ = ek − ek−1

yk − yk−1τ

= Kp

[ek − ek−1

τ+ 1Tnek

]| · τ (2.30)

yk − yk−1 = τ ·Kp

[ek − ek−1 + τ

Tnek

](2.31)

yk − yk−1 = Kp

[ek − ek−1 + τ

Tnek

]|+ yk−1 (2.32)

yk = yk−1 +Kp

[ek

(1 + τ

Tn

)− ek−1

](2.33)

Berechnung der ersten 5 Werte der Sprungantwort:

y1 = 0 + 2[1 ·(

1 + 1sec9sec

)− 0

]= 2, 22

y2 = 2, 22 + 2[1 ·(

1 + 1sec9sec

)− 0

]= 2, 44

y3 = 2, 44 + 2[1 ·(

1 + 1sec9sec

)− 0

]= 2, 66

22

y4 = 2, 66 + 2[1 ·(

1 + 1sec9sec

)− 0

]= 2, 88

y5 = 2, 88 + 2[1 ·(

1 + 1sec9sec

)− 0

]= 3, 10

23

2.2 Messungen

2.2.1 Sprungantworten der unterschiedlichen parametrierten Regler

In den Abbildungen 2.3 bis 2.6 sind die Sprungantworten der unterschiedlichen parame-trierten Regler dargestellt:

Abbildung 2.3: Sprungantwort des P -Reglers von 0 auf 1. (Kp = 2)

Abbildung 2.4: Sprungantwort des PI-Reglers. (Kp = 2, Tn = 9sec)

24

Abbildung 2.5: Sprungantwort des PD − T1-Reglers. (Kp = 2, Tv = 9sec, T = 0, 5sec)

Abbildung 2.6: Sprungantwort des PID − T1-Reglers. (Kp = 2, Tn = 9sec, Tv = 1, 5sec)

2.2.2 Messungen der Abtastzeit τ des Reglers

Zur Ermittlung der Abtastzeit τ , mit der der Regler intern arbeitet, wird dieser mitKp = 2 als P -Regler parametriert und am Eingang des Reglers ein Sinusgenerator an-geschlossen. Am Sinusgenerator wird die Frequenz, von 0Hz ausgehend, erhöht, bis amAusgangssignal die Abtastschritte zu erkennen sind. In Abbildung 2.7 lässt sich eineAbtastzeit τ von 51 ms ablesen.

25

Abbildung 2.7: Ein- und Ausgangssignal des P-Reglers

2.2.3 Simulation der PID − T1-Übertragungsfunktion in Simulink

Um evtl. auftretende Fehler erkennen zu können werden mit Matlab und Simulink fol-gende Übertragungsfunktionen simuliert.

• Theoretische Übertragungsfunktion PID − T1 mit dem ParameternKP = 2, Tn = 9s, Tv = 1, 5s und T = Tv/3 = 0, 5s

• Reale (Bürkert) Übertragungsfunktion PID − T1 mit den ParameternK ′p = Kp, T

′n = Tn, T

′v = Tv und T ′ = T

• Reale (Bürkert) Übertragungsfunktion PID − T1 mit den aus dem Koeffizienten-vergleich ermittelten ParameternK ′p = Kp(1− T/Tn), T ′n = Tn − T, T ′v = [(TnTv)/(Tn − T )− T ] und T ′ = T

Die simulierte Schaltung ist in Abbildung 2.8 zu sehen. Das zugehörige M-File für diebenötigten Parameter wird in Abbildung 2.9 dargestellt. Die Sprungantworten wurdenzum Vergleich gemeinsam in einem Plot in Abbildung 2.10 dargestellt. Wie erwartet,stimmen die theoretische PID − T1- und die reale PID − T1-Übertagungsfunktion mitden aus dem Koeffizientenvergleich berechneten Parametern überein.

26

Abbildung 2.8: Schaltbild der PID − T1-Übertragungsfunktion

27

Abbildung 2.9: M-File zur parametrisierten Simulation mit Simulink

28

grün: Bürkert originale Parameterrot: Bürkert angepasste Parameter

blau: Regelalgorithmus

Abbildung 2.10: Sprungantwort der PID − T1-Übertragungsfunktion

2.3 Auswertung

Aus dem Zeitverlauf der Ausgangsgröße des PI-Reglers können die Parameter Kp undTn bestimmt werden.

Abbildung 2.11: Messung der Regelparamter Kp und Tn des PI-Reglers

Kp erhält man, indem man die Ausgangsgröße des PI-Reglers direkt nach dem Sprung

29

durch die Sprunghöhe teilt. Für die in Abb. 2.11 gezeigte Sprungantwort gilt:

Kp = 2V1V = 2.

Um die Nachstellzeit Tn zu bestimmen, wurde ausgemessen, wielange es dauert, bis dieAusgangsgröße um ein weiteres Kp angestiegen ist. Hier ergibt sich:

Tn = 8, 8sek

Aus dem Zeitverlauf der Ausgangsgröße des PD-T1-Reglers sollen die Parameter Kp, Tvund T bestimmt werden.

Abbildung 2.12: Messung der Regelparamter Kp, Tv und T des PI-Reglers

Aus Gleichung 2.18 folgt, unter der Annahme das Tn→∞ für das PD-T1-Glied:

limt→0

y(t) = Kp ·TvT

limt→∞

y(t) = Kp

Aus Abbildung 2.12 werden folgende Werte entnommen.limt→∞Kp = 2undy(0) = KP

TvT = 7.

Daraus folgt für

30

TvT = 3, 5und∆y∆x = −7

3,89 = −1, 8

dy(t)dt

= Kp

((−1 + Tv

T

)(− 1T

)e−

tT

)=(−Kp

T

)((−1 + Tv

T

)e−

tT

)(2.34)

limT→0

dy(t)dt

=(−Kp

T

)((TvT

)− 1

)(2.35)

Daraus folgt−1, 8 =

(− 2T

)· (3, 5− 1)

und somit fürT = 2

1,8 · 2, 5 = 2, 8sNun wird Tv berechnet. Es folgt:TvT = 3, 5undTv = 2, 8 · 3, 5 = 9, 8.

31

3 Die Temperaturregelung

3.1 Vorbereitung

Um den Regler zu dimensionieren, wird als Näherung die Regelstrecke eines P −T1−Tt-Systemes durch ein P − T2-Glied ersetzt. Dies kann durch die Näherung Tt << TS

vereinfacht werden. Daraus folgt:

3.1.1 Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion

e−Tts ≈( 1

1 + Tts

)(3.1)

Der Beweis wird mit der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion erbracht,dabei wird laut Aufgabenstellung nur der lineare Term berücksichtigt.

ex =∞∑n=0

xn

n! = 1 + x+ x2

2 + x3

6 + ... (3.2)

e−x = (1 + x)−1 = 11 + x

(3.3)

Mit x = Tts folgt:

e−Tts = 11 + x

(3.4)

GS(s) =(uxϑ(s)uxP (s)

)≈ Kges

11 + Tts

11 + Tss

(3.5)

Zur Regelung wird ein PI-Regler eingesetzt, die Übertragungsfunktion sieht wie folgtaus:

GR(s) = Kp1 + Tns

Tns(3.6)

32

3.1.2 Führungsübertragungsfunktionen GW (s) des Temperatur-Regelkreises

Aus den beiden Übertragungsfunktionen kann die Führungsübertragungsfunktionen be-stimmt werden.

GW (s) = GR(s)GS(s)1 +GR(s)GS(s) =

KpKges1

1+Tts1

1+Tns1+Tns1+Tts

1 +KpKges1

(1+Tts)Tns(3.7)

3.1.3 Vereinfachnung von GW (s) mit Tn = TS

GW (s) = 1s2 TtTnKpKges

+ s 1KpKges

+ 1= 1T 2s+ 2ϑTs+ 1 (3.8)

3.1.4 Bestimmung von Kp des Temperatur-Regelkreises

Kp wird für einen Dämpfungsgrad ϑ = 1√2 bestimmt, mit Tn = 8.8s, Tt = 1.6s und

Kges = 1.03.

2ϑT = TnKpKges

⇒ Kp = Tn2ϑTKges

(3.9)

T 2 = TtTnKpKges

⇒ T =√

TtTnKpKges

(3.10)

Kp = 10.31 (3.11)

3.1.5 Simulation der Führungssprungantworten mittels P − T1 − Tt− undP − T2−Modell

Der Plot aus Abbildung 3.2 für die Simulation der Führungssprungantworten, wurde mitden Regelstrecken aus Abbildung 3.1 ermittelt. Der blaue Kurvenverlauf aus Abbildung3.2 stellt die P − T2−Streck dar. Bei der roten Kurve, der P − T1 − Tt−Strecke, istdas Totzeitverhalten eindeutig zu erkennen. Beide Kurvenverläufe erreichen nach kurzerEinschwingzeit ihren Sollwert und weisen keine Regeldifferenz auf.

33

Abbildung 3.1: Simulationsmodell der Führungssprungantwort mit P − T1 − Tt− undP − T2−Modell

Abbildung 3.2: Plot der Führungssprungantworten mit P−T1−Tt− und P−T2−Modell

3.1.6 Messung der Amplituden des ersten Überschwingers derSprungantworten

Die Amplitudenwerte der Überschwinger wurden aus der Abbildung 3.3 ermittelt undwerden in den Gleichungen 3.12 und 3.13 dargestellt.

Umax − UstatUstat P−T2

= 1.0431− 11 P−T2

= 4.31% (3.12)

34

Abbildung 3.3: Plot der Überschwinger der Führungssprungantwort mit P − T2− undP − T1 − Tt−Modell

Umax − UstatUstat P−T1−Tt

= 1.0403− 11 P−T1−Tt

= 4.03% (3.13)

3.1.7 Simulation der Störsprungantwort

Abbildung 3.4: Simulationsmodell der Störsprungantwort mit P − T1 − Tt− und P −T2−Modell

Die Störsprünge in Abbildung 3.5 wurden mit dem Simulationsmodell aus Abbildung

35

3.4 simuliert.

Abbildung 3.5: Plot der Störsprungantworten mit P − T2− und P − T1 − Tt−Modell

3.2 Messungen

Bei der Durchführung der Messungen ist uns aufgefallen, dass der in der Vorbereitung ge-wählteKp zu groß ist. Die Messungen wurden daher nach Anpassung mit einemKp = 7.5durchgeführt. Folgende Parameter wurden verwendet:Tt = 2.2s (nach Anpassung)Ts = 34sKges = 1.03

3.2.1 Berechnungen von uxϑ und uyP für ϑ = 46◦C (offener Regelkreis)

Die Regelstrecke soll mit den errechneten Werten von uxϑ und uyP für ϑ = 46◦C inBetrieb genommen werden. Die Lüfteransteuerung der Regelstrecke wird konstant beiuyL = 5V gehalten. Es wird eine Störsprungantwort aufgezeichnet, zu dem Zweck wirdan der Heizwicklung der Regelstrecke eine Störung aufgeschaltet. Die Störsprungantwortdes offenen Regelkreises ist in Abbildung 3.6 dargestellt. Die Werte zur Berechnung von

36

uxϑ und uyP für ϑ = 46◦C wurden aus der Tabelle 1.1 entnommen, da angenommenwerden kann, dass T und uxϑ propotional zueinander sind. Mittels Dreisatz wird uxϑ

errechnet.

uxϑ = 46◦C 4.3V44.2◦C = 4.475V (3.14)

Abbildung 3.6: Störsprungantwort der offenen Regelstrecke

3.2.2 Regler mit externem Sollwert (geschlossener Regelkreis)

Der Regler wurde mit externem Sollwert konfiguriert und mit den berechneten Reg-lerparametern eingestellt. Als Führungsgröße wird eine Temperatur von ϑsoll = 46◦Cparametriert und der Regler anschließend in den Automatikbetrieb gesetzt.

37

In Abblidung 3.7 ist die Führungssprungantwort der geschlossenen Regelstrecke darge-stellt. Es ist gut zu erkennen, wie der Regler im Automatikbetrieb seine Stellgröße(rot)ändert und der Regelgröße(blau) folgt, bis der eingestellte Wert erreicht ist.

Abbildung 3.7: Führungssprungantwort der geschlossenen Regelstrecke

3.2.3 Führungssprungantwort des Reglers nach parametrierung mit derTUNE-Funktion (geschlossener Regelkreis)

In Abbildung 3.8 ist die Führungssprungantwort von 10% der Regelstrecke dargestellt.Der Regler befindet sich im Automatikbetrieb und wurde mit der TUNE-Funktion pa-rametriert. Die TUNE-Funktion ermittelte folgende Reglerparameter:Kp = 3.198,Tn = 5.594s undTV = 0s.

38

Abbildung 3.8: Führungssprungantwort der geschlossenen Regelstrecke

3.2.4 Störsprungantwort des Reglers nach Parametrierung mit derTUNE-Funktion (geschlossener Regelkreis)

In Abblidung 3.9 ist die Störsprungantwort an der Heizwicklung der Regelstrecke dar-gestellt. Der Regler befindet sich weiterhin im Automatikbetrieb und wurde mit derTUNE-Funktion parametriert.

Abbildung 3.9: Störsprungantwort der geschlossenen Regelstrecke

39

3.3 Auswertung

3.3.1 Überprüfung der stationären Genauigkeit des Regelkreises beiFührungs- und Störanregung

Mit Hilfe des Endwertsatzes der Laplace-Transformation wird die stationäre Genauigkeitdes Regelkreises überprüft. Für stationäre Genauigkeit bei einem Führungssprung mussfolgende Gleichung gelten:

lims→0

s ·GW (s) · 1s

= 1 (3.15)

Endwertsatz bei vorhandenem Regelkreis:

lims→0

GW (s) = limn→0

1s2 · Tt·Tn

Kp·Kges + s · 1Kp·Kges + 1

= 1 (3.16)

Während des Versuches wurde festgestellt, dass stationäre Genauigkeit nach einem Füh-rungssprung erreicht wird. Durch den Endwertsatz wurde bewiesen das auch theoretischeine stationäre Genauigkeit vorliegt.

Für stationäre Genauigkeit bei einem Störsprung muss folgende Gleichung gelten:

lims→0

s ·GZ(s)1s

= 0 (3.17)

GZ(s) ist definiert durch:

GZ(s) = GS(s)1 +GR(s) ·GS(s) (3.18)

Mit dem Endwertsatz der Laplace-Transformation gilt:

lims→0

s ·GZ(s) · 1s

= lims→0

GS(s)1 +GR(s) ·GS(s) (3.19)

= lims→0

Kges1

1+Tts1

1+Tns1 +Kp

1+TnsTns

Kges1

1+Tts1

1+Tns(3.20)

= lims→0

11

Kges(1 + Tts)(1 + Tns) +Kp

1+TnsTns

(3.21)

40

Die Anwendung des Endwertsatzes führt schließlich zu dem Ergebnis:

lims→0

GZ(s) = 0. (3.22)

Daraus folgt, dass auch bei einem Störsprung stationäre Genauigkeit erreicht wird unddie Störgröße nach kurzer Einregelzeit wieder den gewünschten Sollwert erreicht.

3.3.2 Vergleich zwichen Messung und Vorbereitung

Der Regler arbeitet im Regelkreis stationär genau. Es tritt keine Regeldifferenz auf. Beidem Vergleich der Berechnungen mit der Versuchsdurchführung ist zu erkennen, dassbeide Auswertungen keine Regeldifferenz aufweisen.

3.3.3 Messung der Amplituden der Führungssprungantworten

Zm Vergleich wurden die Überschwinger der Führungssprungantworten in % aus denMessungen mit externem Sollwert und mit der TUNE-Funktion bestimmt. Dafür ergabensich folgende Werte:

Umax − UstatUstat ExternerSollwert

= 0.85− 0.80.85 ExternerSollwert

= 6.25% (3.23)

Umax − UstatUstat TUNE−Funktion

= 1.9− 1.21.9 TUNE−Funktion

= 36.84% (3.24)

Wie zu erkennen ist, stimmt der Wert des Überschwinger mit externem Sollwert mitdem Wert aus der Vorbetrachtung überein. Allerdings weicht der Wert, der mit Hilfe derTUNE-Funktion ermittelt wurde, erheblich von dem berechneten Wert ab. Die Abwei-chung erklärt sich durch die Parameter die die TUNE-Funktion ermittelt hat. Der Reglerreagiert schneller auf Änderungen, dadurch ist der Überschwinger des Führungssprungeshöher und es kommt zu einer längeren Einschwingzeit.

41

4 Die Volumenstromregelung

4.1 Vorbereitung

4.1.1 Berechnung der Führungsübertragungsfunktion

Aus der Übertragungsfunktion eines P-Reglers GR(s):

GR(s) = Kp (4.1)

und der Übertragungsfunktion der Regelstrecke Gs(s):

GS(s) =( 1

1 + T · s

)3(4.2)

lässt sich Go(s) (Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises) wie folgt aufstellen:

G0(s) = GR(s) ·GS(s) = Kp

(1 + Ts)3 (4.3)

Für die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises gilt:

GW (s) = G0(s)1 +G0(s) (4.4)

GW (s) =Kp

(1+Ts)3

1 + Kp(1+Ts)3

(4.5)

GW (s) = Kp

(1 + Ts)3 +Kp(4.6)

GW (s) = Kp

T 3s3 + 3T 2s2 + 3Ts+ 1 +Kp(4.7)

42

4.1.2 Simulation des Regelkreises mit Matlab/Simulink

Der in Gl. 4.7 angegebene Regelkreis wird mit den Parametern T = 1sec und Kp = 2mit Matlab/Simulink simuliert. Die aus dem Regelkreis resultierenden Führungs- undStörsprungantworten sind in den Abbildungen 4.2 und 4.3 dargestellt.

Abbildung 4.1: Simulationsmodell des Regelkreises

Abbildung 4.2: Führungssprungantwort

43

Abbildung 4.3: Störsprungantwort

4.1.3 Bestimmung der Polstellen

Um die Polstellen des geschlossenen Regelkreises zu bestimmen, wird das Nennerpoly-nom der Übertragungsfunktion 4.7 gleich Null gesetzt. FürKp = 2 und T = 1sec ergebensich die Polstellen:

• sP1 = −2.2599

• sP2 = −0.3700 + 1.0911i

• sP3 = −0.3700− 1.0911i

Die Realteile der Polstellen liegen alle in der negativen Halbebene der Gaussschen-Zahlenebene. Damit ist das System asymptotisch-stabil.

4.1.4 Ermittlung der Stabilitätsgrenze

Nach Hurwitz lässt sich die Führungsübertragungsfunktion GW (s) durch Zuhilfenah-me folgender Bedingungen auf ihre Stabilitätsgrenzen hin untersuchen. Die ermittelteFührungsübertragunsfunktion lautete:

GW (s) = Kp

T 3s3 + 3T 2s2 + 3Ts+ 1 +Kp

44

Die Koeffizienten des Nennerpolynoms werden näher betrachtet.

a0 = 1 +Kp

a1 = 3T

a2 = 3T 3

a3 = T 3

Es werden die Bedingungen nach Hurwitz aufgestellt.

1. Bedingung: a0, a1, a2, a3 > 0

a0 = 1 +Kp

1 +Kp > 0

Kp > −1

Für die übrigen Koeffizienten stimmt die erste Bedingung mit T > 0.

2. Bedingung: D2 = a1 · a2 − a0 · a3 > 0

3T · 3T 2 − (T 3)(1−Kp) > 0

8T 3 − T 3Kp > 0

Kp < 8

Nach Hurwitz ist der Regelkreis für −1 < Kp < 8 asymptotisch stabil. Die Stabilitäts-grenzen liegen bei −1 und 8.

Zur Ermittlung der kritischen Periodendauer Tkrit, wurde der Regelkreis mit der Ein-stellung Kp = Kkrit = 8 simuliert. Die kritische Periodendauer ist Abbildung 4.4 bzw.4.5 zu entnehmen und beträgt 3,63sec.

45

Abbildung 4.4: Simulation zur Ermittlung der Stabilitätsgrenze

Abbildung 4.5: Bestimmung von Tkrit

46

4.2 Messungen

4.2.1 Volumenstrom bei variierter Lüfterspannung

Die Lüfterspannung uyL wurde auf die im Folgenden genannten Werte eingestellt und diedazugehörigen Volumenstromspannungen uxF wurden gemessen. Aus den Werten wurdedie Verstärkung KSF berechnet.

uyL[V ] uxF [V ] KSF

4 5.9 1.485 6.9 1.386 8.0 1.33

Tabelle 4.1: Messwerte von uxF

47

4.2.2 Störsprungantwort der Volumenstrom-Strecke

Durch Umlegen des Hebels an der Volumenstrom-Strecke wird ein Störsprung erzeugt.Dieser ist in Abbildung 4.6 dargestellt.

Abbildung 4.6: Störsprungantwort der Volumenstrom-Strecke

48

4.2.3 Ermittlung der Stabilitätsgrenze

Für die folgende Messung wird der Regler in den Regelkreis eingesetzt. Dieser wird alsP-Regler konfiguriert. Der Arbeitspunkt y0 wird auf 50% gesetzt. Die Reglerverstärkungwird so weit erhöht, bis der Regelkreis zu schwingen beginnt. Das resultierenden Os-zilogramme sind in Abbildungen 4.7 und 4.8 dargestellt. Die ermittelten Werte sind:Kp,krit = 6 Tkrit = 1sec

Abbildung 4.7: Dauerschwingung des Regelkreises bei Kp = Kkrit = 6

49

Abbildung 4.8: Periodendauer bei Kp = Kp,krit = 6 und Tkrit = 1sec

4.2.4 Einstellung des P-Reglers nach Ziegler/Nichols

Nach Ziegler-Nichols gilt für den Parameter eines P-Reglers:

Kp = 0.5 ·Kp,krit = 3

Bei Verwendung dieser Parameter ergibt sich die Störsprungantwort in Abbildung 4.9.Man kann in der Abbildung erkennen, dass die Regeldifferenz bei einem Störsprung, beiVerwendung eines P-Reglers nicht gegen 0 geht.

50

Abbildung 4.9: Störsprungantwort des P-Reglers für Kp = 0.5 ·Kp,krit = 3

4.2.5 Einstellung des PI-Reglers nach Ziegler/Nichols

Nach Ziegler-Nichols gilt für den Parameter eines PI-Reglers:

Kp = 0.45 ·Kp,krit = 2.7 und TN = 0.85 · Tkrit = 0.85sec

Bei Verwendung dieser Parameter ergibt sich die Störsprungantwort in Abbildung 4.10.Die Regeldifferenz des PI-Reglers geht im Gegensatz zu der des P-Reglers nach ca. 2.6sec gegen 0.

51

Abbildung 4.10: Störsprungantwort des PI-Reglers für Kp = 0.45 · Kp,krit = 2.7 undTN = 0.85 · Tkrit = 0.85sec

4.2.6 Parametrierung des Reglers durch die TUNE-Funktion

Mittels der TUNE-Funktion des Reglers wurden die folgenden Parameter vom Reglerselbsttätig ermittelt.

KP = 0.431TN = 0.491Tv = 0

Bei Verwendung dieser Parameter für die Regelstrecke, ergibt sich die Störsprungantwortin Abbildung 4.11. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass die Regeldifferenz bei diesenEinstellungen nach ca. 5.9 sec gegen 0 konvergiert. Es sind keine Überschwinger mehrzu erkennen, wie es noch bei Anwendung des Ziegler/Nichols-Verfahren der Fall war.

52

Abbildung 4.11: Störsprungantwort des PI-Reglers mit Parametern aus der TUNE-Funktion

4.3 Auswertung

4.3.1 Überprüfung des mit P-Regler geregelten Systems auf Stabilität

Zur Überprüfung des Regelkreises auf stationäre Genauigkeit, wird die Störübertragungs-funktion GZ(s) für das geregelte System mit P-Regler aufgestellt.

GZ(s) = Gs(s)1 +GR(s)Gs(s)

= 1(1 + Ts)3 +Kp

lims→0

s ·GZ(s) · 1s

lims→0

1(1 + Ts)3 +Kp

= 11 +Kp

= 11 + 3 = 0, 25 6= 0

⇒ Das System ist stabil, weist aber keine stationäre Genauigkeit bei einem Störgrößen-sprung auf. Es bleibt, wie bereits aus den Messungen hervorging, eine Regeldifferenz.

53

4.3.2 Überprüfung des ungeregelten Systems auf Stabilität

Für das ungereglete System liefert der Endwertsatz der Laplace-Transformation:

GS(s) = 1(1 + Ts)3 = 1

T 3s3 + 3T 2s2 + 3Ts+ 1

lims→0

1T 3s3 + 3T 2s2 + 3Ts+ 1 = 1

⇒ Die Regelstrecke ist stabil, weist aber keine stationäre Genauigkeit bei Anregung miteinem Einheitssprung auf. Es bleibt, wie bereits aus den Messungen hervorging, eineRegeldifferenz.

4.3.3 Verhältnis der Endwerte vom geregelten zum ungeregelten System (inTheorie und Praxis)

Für das Verhältnis der Endwerte vom geregelten zum ungeregelten System gilt:

11+Kp

1 = 11 +Kp

(4.8)

Aus den Abbildungen 4.6 und 4.9 kann das Verhältniss der Endwerte vom geregeltemzum ungeregelten System bestimmt werden.

0.2251.14 = 0.197 (4.9)

Mit dem Wert für Kp = 3 aus der Theorie folgt für das Verhältnis:

11+Kp

1 =1

1+31 = 1

4 = 0.25 (4.10)

Zwischen den berechneten und den gemessenen Werten liegt nur eine geringe Differenz,die auf Messungenauigkeiten zurückzuführen ist.

54

Abbildungsverzeichnis

1.1 Modell zur Simulation der Sprungantworten . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Sprungantworten bei variierender Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Modell zur Simulation der Sprungantworten bei variierender Strömungs-

geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Sprungantworten bei variierender Strömungsgeschwindigkeit . . . . . . . . 91.5 Modell zur Simulation der Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Heizleistungssprung von 40% auf 60% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Heizleistungssprung von 60% auf 40% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Lüfterspannungssprung von 40% auf 60% . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10 Lüfterleistungssprung von 60% auf 40% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11 uxv in Abhängigkeit von uyL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12 uxθ in Abhängigkeit von uyP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.13 Tangentenverfahren zur Bestimmung der Streckenparameter Kges, Tt =

Tu, TS = Tg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Sprungantwort des PID − T1-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Sprungantwort des PI-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Sprungantwort des P -Reglers von 0 auf 1. (Kp = 2) . . . . . . . . . . . . . 242.4 Sprungantwort des PI-Reglers. (Kp = 2, Tn = 9sec) . . . . . . . . . . . . . 242.5 Sprungantwort des PD − T1-Reglers. (Kp = 2, Tv = 9sec, T = 0, 5sec) . . 252.6 Sprungantwort des PID − T1-Reglers. (Kp = 2, Tn = 9sec, Tv = 1, 5sec) . 252.7 Ein- und Ausgangssignal des P-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Schaltbild der PID − T1-Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 272.9 M-File zur parametrisierten Simulation mit Simulink . . . . . . . . . . . . 282.10 Sprungantwort der PID − T1-Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . 292.11 Messung der Regelparamter Kp und Tn des PI-Reglers . . . . . . . . . . . 292.12 Messung der Regelparamter Kp, Tv und T des PI-Reglers . . . . . . . . . 30

55

3.1 Simulationsmodell der Führungssprungantwort mit P − T1 − Tt− undP − T2−Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Plot der Führungssprungantworten mit P − T1 − Tt− und P − T2−Modell 343.3 Plot der Überschwinger der Führungssprungantwort mit P − T2− und

P − T1 − Tt−Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Simulationsmodell der Störsprungantwort mit P − T1 − Tt− und P −

T2−Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 Plot der Störsprungantworten mit P − T2− und P − T1 − Tt−Modell . . . 363.6 Störsprungantwort der offenen Regelstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Führungssprungantwort der geschlossenen Regelstrecke . . . . . . . . . . . 383.8 Führungssprungantwort der geschlossenen Regelstrecke . . . . . . . . . . . 393.9 Störsprungantwort der geschlossenen Regelstrecke . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Simulationsmodell des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Führungssprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Störsprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Simulation zur Ermittlung der Stabilitätsgrenze . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Bestimmung von Tkrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6 Störsprungantwort der Volumenstrom-Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7 Dauerschwingung des Regelkreises bei Kp = Kkrit = 6 . . . . . . . . . . . 494.8 Periodendauer bei Kp = Kp,krit = 6 und Tkrit = 1sec . . . . . . . . . . . . 504.9 Störsprungantwort des P-Reglers für Kp = 0.5 ·Kp,krit = 3 . . . . . . . . . 514.10 Störsprungantwort des PI-Reglers für Kp = 0.45 ·Kp,krit = 2.7 und TN =

0.85 · Tkrit = 0.85sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.11 Störsprungantwort des PI-Reglers mit Parametern aus der TUNE-Funktion 53

56

Tabellenverzeichnis

1.1 Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Berechnete Theoriewerte des PID − T1-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Berechnete Theoriewerte des PI-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Messwerte von uxF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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