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COEFICIENTES DE FOURIERPROPIEDAD MÍNIMAFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICACURSO: GR4Grupo de Trabajo No. 13Integrantes: Gabriela Gamboa, Andrés Jara y Jeniffer Ruales
EVALUACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER
Mediante la relación de ortogonalidad del conjunto de funciones
Podemos evaluar los coeficientes: a0, an, bn de la serie de Fourier.
Donde (frecuencia angular fundamental)
En efecto: integrando la ecuación (1) de
Pero la ortogonalidad del conjunto de funciones se tiene:
Ahora reemplazamos (3) en (2) se tiene:
Multiplicando la expresión (1) por e integrando de se tiene:
Pero por la ortogonalidad del conjunto de funciones se tiene:
Hallar la serie de Fourier de la función dada por f (t)= (-1)[|t|]
Solución
Graficando la función se tiene:
EVALUACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIACIÓN
Para facilitar el cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier para ciertas funciones , se usa la función junto con la diferenciación .
Ejemplo :Hallar la serie de Fourier de lafunción f(t) =ItI , -3<t<3 (periódica ) usando la seriede Fourier del tren periódico de impulsos unitarios
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
Para este tipo de cálculo de los coeficientes de Fourier se aplican las �propiedades de simetría.
La obtención de los coeficientes se facilita con el uso de teoremas, para lo cual ��se requiere conocer paridad y simetría de las funciones periódicas por analizar.
Paridad:�● Una función es par si cumple: � f(−x) = f(x) .
● Una función es impar si cumple: � f(−x) = -f(x) .
Simetría:
● Una función es simétrica respecto al eje de las ordenas si es par.�● Una función es simétrica respecto al origen si es impar.�
Periodicidad:Una función f(x) es periódica con periodo k (entero), si cumple que f(x)=f(x+nk).
TEOREMA 1Si f(t) es una función par y periódica con período T entonces se puede expresar:
TEOREMA 2
Sea f(t) una función impar y periódica con período T, la serie de Fourier de f(t) es:
Donde,
Y si la frecuencia angular es:
TEOREMA 3Si f(t) es una función periódica que tiene simetría de media onda, entonces f(t) contiene armónicas impares únicamente, y se expresa:
Donde,
Y también t se define:
TEOREMA 4Si f(t) es una función periódica que tiene simetría de cuarto de onda par, entonces f(t) consta de armónicas impares de términos el coseno, y se expresa:
Donde,
Y también f(t) se define:
TEOREMA 5Si f(t) es una función periódica que tiene simetría de media onda, entonces f(t) contiene armónicas impares únicamente, y se expresa:
Donde,
Y también f(t) se define:
EjerciciosHallar la serie de Fourier de la función:
Construyendo la gráfica:
f(t) es función par:
Periodicidad de f(t):
Se aplica el Teorema 1:
donde
Entonces se tiene:
Integración por partes:
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
WEB:● http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Pr
ocedimiento_analizar_funcion/2bcnst_14_3.htm
LIBROS:● Análisis Matemático IV, Eduardo Espinoza Ramos, Lima - Perú,
Segunda Edición, Capítulos 14 y 15.