Grupuri Finite - Articol Revista

8/10/2019 Grupuri Finite - Articol Revista

1/6

O generalizare a unei probleme dealgebra data la Olimpiada de

Matematica, faza judeteana, 2013

Marius Tarnauceanu

1 Aprilie 2013

Abstract

In aceasta lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema 2

de la faza judeteana a Olimpiadei de Matematica 2013, clasa a XII-a.

MSC (2010): 20K01, 20K30.Key words: grupuri abeliene finite, automorfisme.

1 Introducere

Problema mai sus amintita are urmatorul enunt.

Problema. Un grup (G, ) are proprietatea (P) daca, pentru orice auto-morfism f al lui G, exista doua automorfisme g si h ale lui G astfel ncatf(x) =g(x) h(x), oricare ar fi x G. Sa se arate ca:

(a) Orice grup cu proprietatea (P) este abelian.

(b) Orice grup abelian finit de ordin impar are proprietatea (P).

(c) Niciun grup finit de ordin 4n+ 2, n N, nu are proprietatea (P).

Solutia prezentata n barem se ncheie cu o remarca interesanta, anumeca exista grupuri de ordin 4ncare au proprietatea (P) - e.g., grupul lui KleinZ2 Z2 - si grupuri de ordin 4n care nu o au - e.g., grupul aditiv Z4.

1


2/6

Cerintele problemei, mpreuna cu remarca anterioara, conduc la ntrebarea

fireasca:Care sunt grupurile ce satisfac proprietatea(P)?

Pentru cazul finit suntem n masura sa dam un raspuns la aceasta ntrebare.Mai precis, vom proba urmatorul rezultat.

Teorema 1.1. Un grup finit G are proprietatea (P) daca si numai dacaG=G1 G2, undeG1 este un2-grup abelian de tipul

Z21 Z22 Z2k cu |{j | j =i}| 2, i= 1, 2,...,k,

iarG2 este un grup abelian de ordin impar.

In particular, putem decide care din grupurile finite de ordin 4 n cu nimpar au proprietatea (P).

Corolarul 1.2. Grupurile finite de ordin 4n, n 1(mod2), care au pro-prietatea(P) sunt de tipul

Z2 Z2 G,

iar cele care nu au aceasta proprietate sunt de tipul

Z4 G,

undeG este un grup abelian de ordinn.

De asemenea, mentionam ca exista si grupuri infinite ce satisfac proprie-tatea (P) (spre exemplu (Q, +)), o clasificare a acestora fiind mult mai greude realizat.

2 Preliminarii

Principalul rezultat ca va fi utilizat este teorema de structura a grupurilorabeliene finite (a se vedea, spre exemplu, [3]).

Teorema 2.1. Fie G un grup abelian finit. Atunci exista si sunt unicenumerele naturalem, d1, d2, ..., dm, astfel nc at

G= Zd1 Zd2 Zdm,

undedi >1, i= 1, 2,...,m, sid1|d2|...|dm.

2


3/6

Cu notatiile din Teorema 2.1, consideram descompunerile n produse de

factori primi ale numerelor d1, d2,...,dm:

di= pi11

pi22

pikk , i= 1, 2,...,m.

Tinand cont ca pentru fiecare i are loc izomorfismul

Zdi= Zpi1

1 Zpi2

2 Zpik

k,

obtinem

(1) G=G1 G2 Gk,

unde

Gj = Zp1jj

Zp2jj

Zpmjj

si 1j 2j ... mj, j = 1, 2,...,k.

Cu alte cuvinte, orice grup abelian finit este produs direct (sau, echivalent,suma directa) de p-grupuri abeliene.

Urmatorea teorema arata ca studiul grupului automorfismelor unui grupabelian finit se reduce la p-grupuri abeliene (a se vedea, spre exemplu, Lema2.1 din [2]).

Teorema 2.2. Fie H si K doua grupuri finite de ordine relativ prime.Atunci

Aut(H K)=Aut(H) Aut(K).

In particular, dacaG este un grup abelian finit de tipul(1), atunci

(2) Aut(G)=Aut(G1) Aut(G2) Aut(Gk).

Un rezultat mai puternic decat precedentul l constituie Teorema 3.2 din[1]. Aceasta indica forma automorfismelor unui produs direct de grupuri

finite ce nu au factori directi comuni.

Teorema 2.3. Fie H si K doua grupuri finite fara factori directi comuni.AtunciAut(H K) este izomorf cu grupul multiplicativ

f u

v g

|fAut(H), gAut(K), uHom(K, Z(H)), vHom(H, Z(K))

.

3


4/6

In particular, daca grupurileH siK sunt abeliene, atunciAut(H K) este

izomorf cu grupul multiplicativf u

v g

|fAut(H), gAut(K), uHom(K, H), vHom(H, K)

.

Incheiem acest paragraf cu o observatie simpla, dar extrem de utila.

Observatia 2.4. Un grup abelian (G, +) satisface proprietatea (P) daca sinumai daca automorfismul identic 1G poate fi scris sub forma

(3) 1G= g +h cu g, h Aut(G).

Intr-adevar, daca (3) are loc, atunci pentru orice automorfism f al lui Gavem f=f 1G= f g+f h si f g, f h Aut(G).

Putem acum proba principalul nostru rezultat. Mentionam ca nu aminclus n demonstratie verificarea proprietatilor (a)-(c), pentru care poate ficonsultata solutia problemei considerate.

3 Demonstratia Teoremei 1.1

Presupunem mai ntai caG satisface proprietatea (P). Atunci el este abeliansi, conform cu (1), admite o descompunere de tipul

G=G1 G2,

unde G1 este un 2-grup abelian, iar G2 este un grup abelian de ordin impar.Din Teorema 2.2 deducem ca

Aut(G)=Aut(G1) Aut(G2),

ceea ce arata ca G1 si G2 satisfac, de asemenea, proprietatea (P). Este sufi-cient sa indicam structura lui G1. Avem

G1= Z21 Z22 Z2k , unde 1 12... k.

Daca, prin absurd, existai {1, 2,...,k} astfel ncatj =i, j=1, 2,...,i1,i+1,...,k, atunci G1 poate fi scris sub forma

G1= H K,

unde H = Z2i si K = Z21 Z2i1 Z2i+1 Z2k . In plus,remarcam ca H si Knu au factori directi comuni, asadar

4


5/6


6/6

A3=1 1 11 1 0

1 0 0

si B3= 0 1 11 0 01 0 1

.Fie r 4. Presupunem ca (4) este adevarata pentru orice r satisfacand

2 r < r si o verificam pentru r. Avem

Ir =Ar+Br,

unde matricele

Ar = Ar2 00 A2 si Br = Br2 0

0 B2

sunt ambele inversabile, ceea ce ncheie demonstratia.

4 Bibliografie

[1] Bidwell, J.N.S., Curran, M.J., McCaughan, D.J., Automorphisms ofdirect products of finite groups, Arch. Math. 86 (2006), 481-489.

[2] Hillar, C., Rhea, D., Automorphisms of an abelian p-group, Amer.

Math. Monthly 114 (2007), 917-922.

[3] Ion, I.D., Radu, N., Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bu-curesti, 1991.

Marius Tarnauceanu

Facultatea de Matematica

Universitatea Al.I. Cuza

Iasi, Romania

e-mail: [email protected]

6

Documents

Grupuri Finite - Articol Revista