GuÃa de trabajo 2Âº medio-semana 3

Escuela Industrial San Antonio Establecimiento Particular Subvencionado gratuito

Sostenedor: Fundación Educacional San Antonio – RUT.: 65.624.710-K RBD: 2044-3

¡+ Objetivo: Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos. Recordar: En las raíces podemos reconocer los siguientes elementos

Y además podemos establecer la siguiente relación entre las potencias y las raíces:

Potencia Raíz

𝑏 = 𝑎 √𝑎 = 𝑏

2 = 8 √8 = 2 → 2 = 8

𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑎 = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜




A continuación definiremos un nuevo concepto, que al igual que las raíces está relacionado con las potencias. Primero comenzaremos por definir los elementos de lo que a partir de ahora conoceremos como logaritmo:

Logaritmos

La igualdad anterior se lee como “logaritmo” de “a” en “base b” es igual a n.

Argumento

Valor del logaritmo

Base

Guía de trabajo 2º medio semana 3



¿Cómo se relacionan los logaritmos con las potencias? Observemos la siguiente tabla:

Potencia Logaritmo

𝑏 = 𝑎 log 𝑎 = 𝑛

2 = 8 log 8 = 3 → 2 = 8






𝑎 = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 (𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜)

En palabras más simples, cuando queremos determinar el valor de un logaritmo, la pregunta que debemos hacernos es ¿a qué número debo elevar la base para que me de cómo resultado el valor del argumento? Ej1. Para calcular el siguiente logaritmo recurriremos a la pregunta anterior.

log 81 = Entonces ¿a qué número debo elevar la base (3) para que me de cómo resultado el valor del argumento (81)? Para responder esta pregunta, basta con calcular las potencias de 3

Potencia Valor de la potencia o resultado

3 1 3 3 3 9 3 27 3 81

Por lo que log 81 = 4 ya que 3 = 81. Actividad 1. Considerando lo visto anteriormente completa la siguiente tabla:

Potencia Base Exponente Logaritmo Valor del logaritmo 5 = 125 5 3 log 125 3

7 = 16.807 log 16.807 4 = 16 log 16 2 = 64 log 64

6 = 216 log 216 Con la tabla anterior es más claro aún, ver que calcular el valor de un logaritmo es igual a calcular el valor del exponente en una potencia.



Ej2. Calcular el valor del siguiente logaritmo:

log 32= Para calcular el logaritmo nos fijaremos en la base de este (2) Este valor será la base de nuestra potencia, luego calcularemos las potencias de 2 y determinaremos con que exponente obtenemos el valor del argumento (32)

Potencia Valor de la potencia o resultado

2 1 2 2 2 4 2 8 2 16 2 32

Como 2 = 32 y el exponente es 5 entonces

log 32=5 Actividad 2: Calcule los siguientes logaritmos

a) log 128 =

b) log 243 =

c) log 625 =

d) log 1024 = Observación: Podrás ver en libros que existen logaritmos que no tiene su base escrita. Este mismo logaritmo es el que ocupan las calculadoras científicas. A partir de ahora entenderemos que cuando un logaritmo no tenga su base escrita, entonces es porque es 10, es decir:

log 𝑎 = log 𝑎

Ej1. Determine el valor de

log 100 =

En este caso, el valor del logaritmo es 2, ya que al no tener escrita la base, entonces asumimos que es 10 y: 102 = 100

Luego

log 100 = 2 Actividad 3: Calcule los siguientes logaritmos

a) log 1000 =

b) log 10.000 =

c) log 100.000 =



A partir de las potencias y sus propiedades determinaremos algunas de las propiedades de los logaritmos.

Propiedades de los logaritmos Actividad 4: Para comenzar, completemos la siguiente tabla

Potencia Resultado o valor de la potencia

Exponente Logaritmo Valor del logaritmo

5 1 0 log 1 0 7 log 1 4 log 1 2 log 1 6 log 1

En general podemos concluir, que sin importar el valor de la base del logaritmo, si su argumento es 1, entonces el resultado de dicho logaritmo siempre será 0:

a) Propiedad 1: log 1= 0 ya que en potencias tenemos 𝑏 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0 Actividad 5: Para la segunda propiedad completaremos la siguiente tabla:



5 5 1 log 5 1 7 log 7 4 log 4 2 log 2 6 log 6

En general podemos concluir, que si el valor de la base del logaritmo es igual a su argumento, entonces el resultado de dicho logaritmo siempre será 1:

b) Propiedad 2: log 𝑏= 1 ya que en potencias tenemos 𝑏 = 𝑏



Para entender la tercera propiedad, primero daremos respuesta a la siguiente pregunta:

¿Cuál es valor de log 5 ? Si recordamos la pregunta que permite calcular un logaritmo encontraremos la respuesta: ¿A qué número debo elevar la base (5) para que me de cómo resultado el valor del argumento (5 )? En otras palabras, para qué valor de “x” se cumple la siguiente igualdad

5 = 5 De esta forma, es evidente que cuando x = 3 Es así, como podemos obtener que el valor de log 5 = 3 En general, cada vez que el argumento es una potencia de la base, el valor del logaritmo será el exponente de dicha potencia.

c) Propiedad 3: log 𝑏 = c ya que siempre se cumple que 𝑏 = 𝑏 Actividad 6: Calcule los siguientes logaritmos

a) log 2 =

b) log 6 =

c) log 10 =

d) log 9 =



Solucionario

Actividad 1. Considerando lo visto anteriormente completa la siguiente tabla:

Potencia Base Exponente Logaritmo Valor del logaritmo 5 = 125 5 3 log 125 3

7 = 16.807 7 5 log 16.807 5 4 = 16 4 2 log 16 2 2 = 64 2 6 log 64 6

6 = 216 6 3 log 216 3 Actividad 2: Calcule los siguientes logaritmos

a) log 128 =7

b) log 243 =5

c) log 625 =4

d) log 1024 = 5

Actividad 3: Calcule los siguientes logaritmos

a) log 1000 =3

b) log 10.000 = 4

c) log 100.000 =6 Actividad 4: Para comenzar, completemos la siguiente tabla



5 1 0 log 1 0 7 1 0 log 1 0 4 1 0 log 1 0 2 1 0 log 1 0 6 1 0 log 1 0

Actividad 5:



5 5 1 log 5 1 7 7 1 log 7 1 4 4 1 log 4 1 2 2 1 log 2 1 6 6 1 log 6 1



Actividad 6: Calcule los siguientes logaritmos

a) log 2 =4

b) log 6 =4

c) log 10 = 7

d) log 9 =34



Trabajo Formativo A continuación se presentan una serie de ejercicios que debe realizar para poder evidenciar su progreso. Una vez que haya realizado el trabajo, ingrese al link que corresponda según su curso para marcar sus respuestas: 2ºA: https://forms.gle/HahtsswfGgnLLv3A6 2ºB: https://forms.gle/xBGuPPLUqvUsPDan8 2ºC: https://forms.gle/eJMYkBpanSePxUi49 2ºD: https://forms.gle/DComS6cFBRie4JQe9 2ºE: https://forms.gle/KqRDBjJKWp491Wub7

1. El valor de log 4.096 es igual a:

a) 3 b) 4 c) 512 d) 256

2. El valor de log 1.000.000 es igual a:

a) 6 b) 5 c) 7 d) No se puede determinar ya que falta información.

3. El valor de log 3 es igual a:

a) 0 b) 1 c) 9 d) 27


a) 0 b) 1 c) 9 d) 91


a) 2 b) 8 c) 12 d) 16

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