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Guadalajara, Jalisco 18, y 19 y 20 de abril
Guadalajara, Jalisco, 19 de abril de 2007
Mat. Francisco Javier Huerta JuárezINEGI
Fortalecimiento Institucional
MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN PARA DATOS ESPACIALES DISCRETOS
OBJETIVO
CONTENIDO
INTRODUCCIÓNMÉTODOS DE INTERPOLACIÓNEJEMPLOSCONCLUSIONES
Los datos geográficos están asociados con una posic ión espacial lo que nos lleva a trabajar con tres dimensiones.
OBJETIVOOBJETIVO
El participante conocerá algunos de los métodos de i nterpolación utilizados para datos espaciales.
El problema de interpolación esta enfocado principa lmente a calcular valores numéricos desconocidos a partir de otros ya conocidos mediante la aplicación de algoritmos concretos.
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
Hay diversos tipos de interpolación que producen re sultados muy diversos y bien aplicada es una herramienta de trab ajo muy útil.
Los métodos de interpolación producen funciones con tinuas, en el rango de los datos (o bien entre los valores) conocidos, que se aproximan lo más posible a los datos.
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
0
100
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300
400
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5 7 9 11 13 15 17 19 21
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5 7 9 11 13 15 17 19 21
Las funciones más utilizadas en la interpolación so n los polinomios, y una de las dificultades en utilizarlos son oscilaci ones que son causados cuando el grado del polinomio es alto.
0
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5 7 9 11 13 15 17 19 21
Polinomio de gradodos
Polinomio de gradotres
Polinomio de gradocuatro
Polinomio de gradocinco
Polinomio de gradoseis
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
011
1)( axaxaxaxP nn
nnn ++++= −
− Λ
Polinomio de gradouno
Una solución a este problema es dividir al conjunto de datos y construir en cada subconjunto un polinomio de grado bajo, a e sta técnica se le conoce como interpolación de pedazos.
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
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5 7 9 11 13 15 17 19 21
)(xPm
)(xPn
MMÉÉTODOS DE INTERPOLACITODOS DE INTERPOLACI ÓÓNN
Mostraremos los tres métodos de interpolación más i mportantes en la interpolación de datos espaciales.
SPLINE
VECINOS NATURALES
KRIGING
El método de Spline, es una variedad de interpolac ión de pedazos y se distingue del resto por tener una cantidad determin ada de derivadas continuas.
Una función Spline está formada por varios polinomios , cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre s í obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.
t1 t2 t3 t4 t5
t1 t2 t3 t4 t5
t1 t2 t3 t4 t5
SPLINESPLINE
SPLINESPLINE
Al utilizar datos espaciales este algoritmo ajusta una curva suave a un conjunto de puntos conocidos, obligando a que pase por cada uno de los puntos y cuya formulación es:
∑∑= =
=i jn
i
n
jtjtiji vNuNPvuP
0 0
)()(),( ,,,
donde:Ni,t(u) y Nj,t(v) son los B-spline básicos de grado p y q respectivamente, Pi,json puntos de control, u y vson vectores de dirección.
SPLINESPLINE
vu
MMÉÉTODOS DE INTERPOLACITODOS DE INTERPOLACI ÓÓNN
SPLINE
VECINOS NATURALES
KRIGING
Vecinos naturales son un conjunto de técnicas para interpolar un punto contenido en una región. La región es generada a pa rtir de los datos conocidos conformando una vecindad natural al punto .
El problema es definir las regiones individuales de influencia alrededor de cada uno de los puntos sobre todo el conjunto de datos, los modelos más usados para la generación de estás son:
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
• Triangulación de Delaunay.• Diagrama o celda de Voronoi.
Este método se basa en el criterio de Delaunay, el cual garantiza que ningún vértice está en el interior de los círculos c ircunscritos de los triángulos de la red.
TriangulaciTriangulaci óón de n de DelaunayDelaunay
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
Se construye una función lineal a partir de los vér tice del triángulo, para derivar cualquier punto de la región.
TriangulaciTriangulaci óón de n de DelaunayDelaunay
),,( 111 zyx
),,( 222 zyx
),,( 333 zyx
),,( zyx
),,( zyx
Formalmente, cualquier punto en el plano se define por la función z(x,y)=a+bx+cy donde a, b y c se determinan a partir de la siguiente relación.
=
3
2
1
33
22
11
1
1
1
z
z
z
c
b
a
yx
yx
yx
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
Diagrama o celda de Diagrama o celda de VoronoiVoronoi
El método de Voronoi, asigna a cada dato la región del espacio cuyos puntos no son más cercanos a ningún otro dato. Cada región es cerrada, incluye su frontera y un punto en la frontera equid ista de dos o más datos.
VoroniDelaunay
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
Diagrama o celda de Diagrama o celda de VoronoiVoronoi
La interpolación de un punto X sigue los siguientes pasos:
• Regeneración del diagrama considerando el punto X a interpolar.• Calculo de pesos. Se basa en el área que el polígon o correspondiente a X tomó de cada uno de los datos, normalizado entre el área total del polígono correspondiente a X.
• Posteriormente se calcula la interpolación con la f ormula:
X
∑=N
ii mfwXf )()(
w1
w2
w3
w4
a
b
cd
ef
abcd
adf
A
Aw =1
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
MMÉÉTODOS DE INTERPOLACITODOS DE INTERPOLACI ÓÓNN
SPLINE
VECINOS NATURALES
KRIGING
KRIGINGKRIGING
Kriging es una técnica de estimación local la cual p roporciona el mejor estimador lineal insesgado de una características de sconocida que se estudia. Esta limitación a la clase de estimadores lineales es absolutamente natural, esto significa que solamente el momento de segundo orden de la función aleatoria (es decir, la covarianza o variograma) es requerido, y que en general, en la p ractica esto es posiblede inferir a partir de una realización de la misma.
Journel y Huijbregts,1978
KRIGINGKRIGING
Problema.Se dispone de un conjunto de valores de la variabl e aleatoria Z(xi) en Npuntos xi dentro de un área R. Se desea calcular el valor estimado de la variable Z en un punto xo no muestreado.
Los métodos de interpolación lineal consideran esti madores de la forma :
Z*(x0) = ΣΣΣΣ wn Z(xn)
donde wn son los pesos correspondientes de cada valor muestr eado.
Para estimar el valor real pero desconocido Z=Z(xo) se dispone de los valores de Z(xi) en N puntos xi y se considera
Z*(x0) = ΣΣΣΣ λλλλi ( x0 ) Z( xi )
La determinación de los pesos λλλλ se hace de tal manera que:
i. el estimador no sea sesgado, es decir, E[ Z*- Z]=0
el valor esperado del error de la estimación es ce ro.
ii. Su varianza sea mínima:Var [ Z*- Z]
KRIGINGKRIGING
Método de kriging
Las dos condiciones de Kriging,( estimador no sesga do y varianza mínima) para variables estacionarias con el valor de la med ia conocido conducen al sistema de N ecuaciones para los pesos λλλλ´s
i=1,2,…,N
Los valores se pueden determinar a partir del vari ograma.
Ecuaciones
KRIGINGKRIGING
),(),( 01
xxCovxxCov ijij
N
j
=∑=
λ
KRIGINGKRIGING
Variograma experimental y variograma teórico
( )4
)(
2
1
)()(494.0)(457.0
1)(2
−+
≡ ∑hN
ji xZxZhN
hγ
El variograma teórico γγγγ(h) que se requiere en las ecuaciones de kriging, se estima a partir de un variogramaexperimental el cual se calcula a partir de los datos obtenidos en las mediciones.
Existen diferentes estimaciones:
Journel y Huijbregts,1978
∑ −≡)(
2)()(
)(1
)(2hN
ji xZxZhN
hγ
Cressie y Hawkins, 1991
[ ]
≥∀
∈∀−=ah
aha
h
a
hh
1
,021
23
)( 3
3
γ
aheh /1)( −−=γ
22 /1)( aheh −−=γ
Esférica
Exponencial
Gaussiana
Existe diferentes variogramasteóricos γγγγ(h), los más conocidos son:
r/a321 332
γ(r)
1.00.95
0
Gaussiana
EsféricaExponencial
EJEMPLOSEJEMPLOS
MDE MDE G13D72G13D72
AleatorioAleatorio30 seg.30 seg.
EJEMPLOSEJEMPLOS
SPLINESPLINE
EJEMPLOSEJEMPLOS
SPLINESPLINE
EJEMPLOSEJEMPLOS
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
EJEMPLOSEJEMPLOS
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
SIMPLE DESVIACIÓN ESTÁNDAR
30 seg.30 seg.
EJEMPLOSEJEMPLOS
VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES
SIMPLE DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Datos AleatoriosDatos Aleatorios
EJEMPLOSEJEMPLOS
KRIGINGKRIGING
EJEMPLOSEJEMPLOS
KRIGINGKRIGING
EJEMPLOSEJEMPLOS
KRIGINGKRIGING
CONCLUSIONESCONCLUSIONES
- Análisis exploratorio de los datos.- Análisis estructural.- La estimación o simulación.
Para obtener el mejor método de interpolación es ne cesario tener en cuenta los siguientes puntos:
Siendo los dos primeros puntos los más importantes.
![ón] ÓN A BASED COSTING IN SMART AND CONNECTED …](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/61d98a1440f3246f285127c3/n-n-a-based-costing-in-smart-and-connected-.jpg)
