Guia 2 Integral Definida

2007

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE

VICERRECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCION DE MATEMÁTICA ASIGNATURA : MATEMÁTICA II

CAPITULO 2

INTEGRAL DEFINIDA

Lic. ELIZABETH VARGAS

CIUDAD GUAYANA 2007

CAPITULO 2. Integral Definida Lic. Elizabeth Vargas

2007

2

2.1 PARTICION DE UN INTERVALO CERRADO

El objetivo de este capítulo es definir la integral según Riemann, analizar sus

propiedades y aplicar el 7HRUHPD� )XQGDPHQWDO� GHO� &iOFXOR� ,QWHJUDO. Para ello, es

necesario realizar un trabajo previo con el cálculo de áreas de ciertas regiones en el plano,

lo cual involucra los conceptos de sumatorias, partición de un intervalo cerrado y limite. En

el Apéndice A se da un resumen sobre las sumatorias.

Definición 2.1 Partición de un intervalo cerrado

Sean el intervalo [a, b] , P ⊆ [a, b] tal que P = {x0, x1, ..., xn-1, xn}. 3�HV��XQD��SDUWLFLyQ��GH��>D��E@ si se cumple que: a = x0 < x1 < ...< xn-1 < xn = b . A los xi se les

llama QRGRV�R�HOHPHQWRV�GH�OD�SDUWLFLyQ.

NOTAS:

i) La partición P determina n subintervalos cerrados de [a, b] de la forma :

[a, x1] , [x1, x2] , ..., [xn-1, b] .

La longitud del i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] es ∆xi = xi – xi-1 , i = 1,2,..., n, además

abxi

n

i

−=∆∑=1

. La mayor de estas longitudes se le llama QRUPD�GH�OD�SDUWLFLyQ�P y se

denota por P : { }nixmáxP i ,...,2,1: =∆= .

ii) Si la participación P determina n subintervalos de igual longitud, se dice que�3�HV�XQD�SDUWLFLyQ�UHJXODU�del intervalo [a, b] y su norma es h = (b-a)/n. En este caso, los nodos se

hallan así:

x0 = a , x1 = a + h , x2 = a + 2h , ... , xi = a + i.h , ... , xn = a + nh = b.

En una partición regular los nodos están igualmente espaciados.

iii) Si los elementos de una partición de un intervalo cerrado [a, b] con 0 < a < b , forman

una progresión geométrica de razón r se cumple que:

x0 = a, x1 = ar ,..., xi-1 = ari-1

, xi = ari ,... , xn = arn = b

De arn = b se obtiene n

a

br = ( así se calcula la razón ) y la longitud de cada

subintervalo es : )1(11

1 −=−=−=∆ −−− rarararxxx iii

iii , de manera que :

.,...,2,1,1

. nir

rarx i

i =

−

=∆ Esta partición no es regular y se cumple que :


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3

∆x1<∆x2<...<∆xn , por lo que su norma es : r

rbxn

)1( −=∆ .

iv) Si P es cualquier partición del intervalo [a , b] se cumple que : nP

ab≤

−. De

modo que: si 0→P entonces n →+ ∞ . (2.1)

El reciproco de la proposición (2.1) es falso:

Si n →+∞ entonces 0→P (2.2)

Veamos un contraejemplo: sea

=−

1,2

1,

4

1,

8

1...,,

2

1,

2

1,0

1nnP una partición del

intervalo [0,1] ; el primer subintervalo es

n2

1,0 con longitud

n2

1; los demás

subintervalos son de la forma

−12

1,

2

1

kk con longitud

k2

1, k = n , n-1,..., 2 ,1 . La

norma de P es 2

1=P , cualquiera que sea n ( la norma no disminuye cuando n aumenta )

Si la partición es regular las afirmaciones (2.1) y (2.2) son equivalentes.

Definición 2.2 Si P1 y P2 son dos particiones del intervalo cerrado [a, b] tales que

P2 ⊂ P1 , entonces se dice que P1 es más fina que P2 , o que P1 es un refinamiento de P2

y además se cumple que 21 PP ≤ .

De la definición anterior se desprende que al pasar de una partición a otra más fina la

norma disminuye o permanece igual.

EJERCICIOS RESUELTOS 2.1

1) Sea

= 3

4

9

4

51

2

1,,,,P . ¿ Es P una partición del intervalo

32

1, ?

Solución: P si es una partición del intervalo

32

1, ya que P⊂

32

1, y 3

4

9

4

51

2

1<<<< .

Los subintervalos determinados por P son:

= 12

11 ,I cuya longitud es ∆x1 = 0,5 ,

=

4

512 ,I y 25,02 =∆x


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4

=

4

9

4

53 ,I y 13 =∆x ,

= 34

94 ,I y 7504 ,=∆x

Luego { } ;,;;,;, 1750125050 == máxP la partición P no es regular.

2) Determine una partición regular del intervalo [1,5] con 9 nodos.

Solución: Como la partición tiene 9 nodos entonces hay 8 subintervalos: n = 8, la norma

de la partición es 2

1

8

15=

−=P y los elementos de la partición son:

= 5,

2

9,4,

2

7,3,

2

5,2,

2

3,1P

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1

Sea { }n

iixP0== una partición del intervalo [a , b]. Decida si las siguientes proposiciones

son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) n

abP

−= b) P

n

ab≤

− c) Si +∞→n entonces 0→P

b) Si 1−−=∆ iii xxx , entonces ixP ∆≥ , para todo i = 1,2,..., n.

c) Si 0→P entonces el número de subintervalos de la partición tiende a infinito.

2.2 SUMA DE RIEMANN

Sean f una función definida en un intervalo cerrado [a,b] y { }n

iixP0== una partición del

intervalo [a,b] . Se define una VXPD� GH� 5LHPDQQ� GH� OD� IXQFLyQ� f� FRQ� UHVSHFWR� D� OD�SDUWLFLyQ�P�como: ∑

=

∆=n

i

ii xcfPfS1

).(),( (2.3)

donde [ ] nixxxxxc iiiiii ...,,,,, 2111 =−=∆∈ −− .

Observaciones:

a) f no necesariamente es continua en el intervalo [a,b].

b) La función f puede tomar valores positivos, negativos o cero en [a, b].

c) ci es cualquier punto en el subintervalo [ ] niconxx ii ,...,,,, 211 =−

d) Geométricamente de S(f, P) se interpreta así:


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5

En cada subintervalo se construyen rectángulos de base ix∆ y altura f (ci).

Si f (ci) > 0, el rectángulo queda por encima del eje X y su área es f (ci). ix∆ . Si f (ci) < 0, el

rectángulo se encuentra por debajo del eje X, entonces f (ci). ix∆ <0; luego S(f, P) es la

suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por encima del eje X menos la

suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran por debajo del eje X, como se

muestra en la siguiente figura:

Y

y = f (x)

. x2 c3 x3 c4 x4 c5

a c1 x1 c2 c6 x6 c7 b X

Figura 2.1

e) Si f es una función continua en [ ]ba, tal que 0)( ≥xf para todo [ ]bax ,∈ entonces

la sumatoria de la definición 2.3 representa la suma de las áreas de rectángulos inscritos

si ( )icf es el valor mínimo de f en cada uno de los subintervalos determinados por la

partición y representa la suma de las áreas de rectángulos circunscritos si ( )icf es el

valor máximo de f en cada uno de los subintervalos determinados por la partición. El lector

debe tener cuidado cuando 0)( ≤xf , pues las afirmaciones anteriores no son ciertas en

este caso

NOTA: Si f es continua en cada uno de los subintervalos Ii, entonces f alcanza

mínimo (mi ) y máximo (Mi ) en cada uno de estos subintervalos, es decir existen ci , di ∈

Ii tales que f(ci) = mi y f(di) = Mi . Si elegimos estos ci o los di , la suma ( 2.3 ) se

transforma en:

∑=

∆=n

iiin xdfS

1

).( 6XPD�VXSHULRU�GH�5LHPDQQ

∑=

∆=n

iiin xcfs

1

).( 6XPD��LQIHULRU�GH�5LHPDQQ


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6

Las otras sumas generadas con (2.3) se denominaran sumas intermedias de Riemann

Ejemplo 2.2 Sean 2

2

18 xxf −=)( , P = { 0; 1,5 ; 2,5 ; 4,5 ; 5 ; 6 } una partición del

intervalo [0,6]. Calcule la suma de Riemann asociada a P usando a ci como el punto medio

de cada subintervalo.

Solución En el siguiente cuadro se resumen los cálculos:

Intervalo ci f(ci) ix∆ f(ci). ix∆

[ 0, 1.5 ] 0,75 7,71875 1,5 11,578125

[ 1.5, 2.5 ] 2 6,00000 1,0 6,00000

[ 2.5, 4.5 ] 3,5 1,8750 2,0 3,7500

[ 4.5, 5 ] 4,75 -3,28125 0,5 -1,640625

[ 5, 6 ] 5,5 -7,12500 1,0 -7,12500

La gráfica de f se muestra a continuación:

Ejemplo 2.3 Sean f(x) = [I x I] +2, x ∈[-3, 3] y la partición P = {-3, -1, 0, 2, 3} del

intervalo [-3, 3]. Halle la suma de Riemann asociada a P usando los siguientes valores

para Ci : -2,5 ; -0,5 ; 1 ; 2,5 .

Solución: La siguiente figura ilustra la gráfica de f (x) =[I x I] + 2 con los correspondientes

rectángulos asociados a la partición P y a los ci :

Luego , la suma de Riemann es :

∑=

=∆=5

1

562487512i

ii xcfPfS ,).(),(

0 1.5 2.5 X

Y

5 6 4.5


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7

Ejemplo 2.3. Sea f definida por f(x) = x2 , con x en el intervalo [0,2] . Usando particiones

regulares halle :

a) Sumas inferiores b) Sumas superior c) Sumas intermedias.

Solución: Se toma una partición regular del intervalo [0,2] con n subintervalos, por lo que

nx

2=∆ y los elementos de la partición son:

221242

0 1210 ==−

==== − nii xn

ix

n

ix

nx

nxx ,...,,

)(...,,,,

Como f es creciente en [0,2] entonces f es creciente en cada uno de los subintervalos

[ ]ii xx ,1− , por lo tanto f(xi-1) es el valor mínimo y f(xi) es el valor máximo.

Cálculo de las sumas inferiores: ( ver gráfico (2.2 a) ) :

( )∑∑∑∑====

− +−=−

=

−=∆=

n

i

n

i

n

i

n

i

in iinnn

i

nn

ifxxfs

1

2

31

2

2

11

1 128214212

.)(

.)(

).(

Aplicando las fórmulas especiales de sumatoria , se obtiene la siguiente expresión para

las sumas inferiores :

+−=

2

132

3

4

nnsn (2.4)

Cálculo de las sumas superiores: ( ver gráfico (2.2b ) :

6

1218824223

1

2

31

2

2

11

))((...).(

++===

=∆= ∑∑∑∑

====

nnn

ni

nnn

i

nn

ifx

ixf

nS

n

i

n

i

n

i

n

i

Simplificando se obtiene : 2

3

44

3

8

nnSn ++= (2.5)

Tomando las sumas intermedias: en este caso vamos a tomar el punto medio de cada

subintervalo: el punto medio de cada subintervalo [xi-1, xi] es 2

1 ii

i

xxc

+= − ; pero

n

ixi

)1(21

−=− y

n

ixi

2= por lo tanto

n

ici

12 −= ; luego :

La suma de Riemann asociada a la

partición P usando los puntos dados,

es:

S(f, P) = f(-2,5)2+f(-0,5)1+f(1)2+f(2,5)1

= -2 +1 + 6 + 4

= 9

4

3

2


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8

∑ ∑= =

−=

−

=∆=n

i

n

ii

nnn

ifxcfS

1 123

2

3

8212.).( (2.6)

En particular, si n = 5 la partición regular del intervalo [0, 2] tiene 5 subintervalos

por lo tanto ∆x = 2/5 , x0= 0, x1= 2/5, x2 = 4/5, x3 = 6/5, x4 = 8/5, x5 = 2 .

Si en (2.4), (2.5) y ( 2.6) se sustituye n = 5 se obtiene 25

88

25

4855 == S,s ,

25

66=S

cumpliéndose: s5 < S < S5 . A continuación se muestran los gráficos con n=5:

Y Y

0 2/5 4/5 6/5 8/5 2 X 0 2/5 4/5 6/5 8/5 2 X

Figura 2.2.a Suma inferior Figura 2.2.b Suma superior

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES.

1) Si f es una función continua en [a, b] tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y n

iixP 0}{ ==

es una partición de [a, b] entonces: m(b-a) ≤ sp ≤ Sp ≤ M (b-a) , donde, m y M son los

valores mínimo y máximo absolutos de f en [a, b], respectivamente; sp y Sp representan

respectivamente , la suma inferior y la suma superior de la función f asociadas a la

partición P.

2) Si P y P* son dos particiones del intervalo [a, b] tal que P* es un refinamiento de P

entonces se cumple que: aumentan las sumas inferiores y disminuyen las sumas

superiores. Es decir: ps ≤ *ps ; ≤*

pS pS

2.3 INTEGRAL DEFINIDA

Definición 2.3 Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral

definida de f entre a y b , se denota por ∫b

adxxf ,).( y se define así:

∫ ∑

∆=

=→

b

a

n

iii

Pxcfdxxf

10).(lim).( (2.7)

siempre que este límite exista , n

iixP 0}{ == es una partición de [a, b] , ci ∈[xi-1, xi].


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9

NOTAS:

1) Si el límite anterior existe entonces es único y representa el valor de la integral, por lo

que se dice que “ I�HV� LQWHJUDEOH�HQ [a, b]” o “ OD� LQWHJUDO�GHILQLGD�GH�I�HQWUH�D�\�E�H[LVWH ”

2) El número a se llama OtPLWH�LQIHULRU y el número b OtPLWH�VXSHULRU. 3) La definición no exige que f sea continua en [a,b], ni que f(x)≥0 para todo x∈[a,b].

4) La igualdad (2.7 ) significa que: para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier

partición P de [a, b] para la cual δ<P y cualquier ci ∈[xi-1, xi], i = 1, 2, ..., n se cumple que:

( ) )().( ε<−∆∑ ∫=

n

i

b

aii dxxfxcf1

5) Si f es integrable en [a, b] entonces el limite de la definición 2.3 no depende de la

elección de los ci . Así, ci se puede elegir de la forma que resulten mas cómodos los

cálculos, a modo de sugerencia se dan los siguientes:

[ ]

[ ]

[ ]iiii

i

iiii

iiii

xxdemedioPuntoxx

c

xxdederechoExtremoxc

xxdeizquierdoExtremoxc

,2

,

,

11

1

11

−−

−

−−

+=

=

=

6) En (2.7) , P representa la norma de una partición P de [a, b], la cual puede ser

regular o no ; lo importante es que 0→P ya que esto implica que ∞→n .

7) Si la partición elegida es regular entonces (2.7) se transforma en:

∫ ∑

∆=

=∞→

b

a

n

i

in

xcfdxxf1

).(lim).( donde n

abx

−=∆

8) La variable de integración no influye en el valor de la integral, es decir:

∫ ∫ ∫==b

a

b

a

b

admmfdttfdxxf ).().()(

9) Para el cálculo de integrales definidas de funciones polinómicas, exponencial, seno,

coseno se pueden tomar particiones regulares.

Los pasos a seguir para calcular una integral definida son :

i) Se toma una partición P del intervalo [a, b] con n subintervalos, se determinan

los nodos y los ix∆ .

ii) Se elige ci ∈[xi-1, xi] , para cada i = 1, 2, 3, ..., n

iii) Calcular Sn = ∑=

∆n

iii xcf

1

).( iv) Luego : ( )∫ →=

b

an

PSdx).x(f Lim

0


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10

Ejemplo 2.4 Usando la definición 2.3 , calcule ( ) dxx .∫−−

2

2

31

Solución. Sea { }n

iixP0== una partición regular de intervalo cerrado [-2, 2], por lo que

nx

4=∆ ,

n

ixi

)1(421

−+−=− ,

n

ixi

42 +−= , ii xC = , luego:

( )

+−=− ∑∫

=+∞→−

n

in nn

ifdx.x Lim

1

2

2

3 4421

−

+−= ∑

=+∞→

n

in nn

iLim

1

34

14

2

Aplicando las propiedades de las sumatorias y las fórmulas especiales de sumatorias se

obtiene: ( ) 4432

12

2

3 −=

−=−

∞→−∫ n

dxx

nlim.

NOTA:

a) Si f es una función continua en [a, b] tal que tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]

entonces ∫b

adxxf )( representa el área A de la región limitada por la gráfica de f, el eje X y

las rectas x = a y x = b. Esto es: ∫=b

adxxfA ).(

b) Si f es continua en [a, b] tal que 0)( ≤xf para todo x ∈ [a, b], entonces el área de la

región limitada por la gráfica de f , el eje X y las rectas x = a y x = b viene dada por:

∫−=b

adxxfA ).(

Ejemplo 2. 5 Sea la región R acotada por la gráfica de f(x) = x2, el eje X y las rectas x=0,

x=2. Halle el área de la región R.

Solución: Como el área de la región A viene dada por ∫=b

adxxfA ).( , entonces el

proceso para calcular áreas es el mismo que el de calcular integrales definidas. En el

ejemplo 2.3 se calcularon las sumas superiores, inferiores e intermedias de f en el intervalo

[0,2] , por lo que aprovecharemos esos resultados para calcular el área usando sumas

superiores, inferiores e intermedias:

Usando las sumas inferiores:

+−=

2

132

3

4

nnsn

Luego , el área de la región R es: 3

8

3

44

3

82

1

1 =

+−=

∆=

∞→=−

∞→∑

nnLimxxfLimAn

n

i

in

).(


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11

Usando las sumas superiores: 2

3

44

3

8

nnSn ++=

Luego, el área de la región es: 3

8

3

44

3

8).(

21

=

++=

∆=

∞→=∞→∑

nnLimxxfLimAn

n

ii

n

Tomando las sumas intermedias: ∑ ∑= =

−=

−

=∆=n

i

n

ii

nnn

ifxcfS

1 123

2

3

8212.).(

De allí: el área de la región es 3

8

3

2

3

8).(

21

=

−=

∆=

∞→=∞→∑

nLimxcfLimAn

n

ii

n

En cualquier caso el área de la región es 3

8=A , esta no depende de la elección de los ci.

Definición 2.4

i) Si a > b entonces ∫ ∫−=b

a

a

bdxxfdxxf ).()( , siempre que ambas integrales existan.

ii) Si f (a) existe entonces ∫ =a

adxxf 0)(

Teorema 2.1 Integrabilidad de las funciones continuas

Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

El teorema anterior da condiciones suficientes pero no necesarias para que f sea

integrable en [a, b]. Es decir, Si f es continua en [a, b], el teorema 2.1 asegura que

∫b

adxxf )( existe. Es posible que f sea discontinua en el intervalo [a, b] pero f sea

integrable en [a, b] .

Ejemplo 2.4 Sea f definida por

=

≠=

01

012

x

xxxf

,

,)( ¿ Es f integrable en [0, 1] ?

Solución: La gráfica de f se muestra a continuación

Observe que f tiene una

discontinuidad infinita en x = 0

y f no es acotada [0, 1].

xi-1 xi


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12

Para verificar si f es o no integrable en [0, 1] se procede así: se toma una partición P

del intervalo [0, 1] : 1,...,,1

,...,1

,0 110 ==−

=== − nii xn

ix

n

ix

nxx . Luego :

∫1

0)( dxxf =

∞→nLim ∑

=∆

n

jjj xcf

1

).( =∞→n

Lim

∑=

n

j ni

n

12

2 1. =

∞→nLim

+++

2

1...

4

11

nn = ∞+ .

Esto significa que la suma de Riemann se hace arbitrariamente grande; por lo tanto f no es

integrable en el intervalo [0 , 1], ni es integrable en cualquier intervalo cerrado que

contenga al cero.

Del ejemplo anterior se deduce que:

“Sí f no es acotada en [a , b] entonces f no es integrable en [a, b]”.

Ejemplo 2.5 Sea

∈

∈=

Ix

Qxxf

,0

,1)( ¿ Es f integrable en [0, 1] ?

Solución: La función f es acotada en [0, 1]. Sea { }n

iixP 1== una partición regular de [0,

1]. Sí ci ∈ Q para i = 1, 2, ..., n, entonces f(ci) = 1, luego:

( )

∆= ∑

=

n

i

x).(fP,fS

1

ic =

∑=

n

i n1

1.1 = 1

Sí ci ∈I para i = 1, 2, ..., n , entonces f(ci ) = 0 y ( ) 0).c (,

1

=

∆= ∑

=

n

ii xfPfS

Luego +∞→n

Lim S(f , P ) no existe, por lo tanto f no es integrable en [0, 1].

Este ejemplo nos permite concluir que una función acotada en un intervalo [a, b], no

necesariamente es integrable

Teorema 2.2 . Si f es integrable en [a, b] entonces f es acotada en [a, b].

Teorema 2.3. Sí f es acotada y continua en un intervalo [a, b] , salvo en un subconjunto

numerable de [a, b] , entonces f es integrable en [a, b].

OBSERVACIONES: i) Un conjunto D es numerable si existe un subconjunto M de los Números Naturales y una función biyectiva G :M → D.

iii) El teorema 2.3 nos proporciona un grupo especial de funciones que son integrables

en un intervalo cerrado [a, b] , entre estas funciones se encuentran: la función

parte entera, la función signo, algunas funciones escalonadas, entre otras.


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13

En el siguiente diagrama se establece la relación entre las funciones integrables, las

funciones derivables , las funciones continuas y las funciones acotadas.

funciones acotadas

funciones integrables

funciones continua

funciones derivables

Ejemplo 2.6 Demuestre que f(x) = [�x�] es integrable en

2

3

2

1, , y halle ∫ 2

3

21

dx).x(f .

Solución: f tiene un solo punto de discontinuidad en

2

3

2

1, , el cual es x=1, f es acotada

en

2

3

2

1, . Se toma una partición regular de

2

3

2

1, con n subintervalos :

nx

1=∆ ,

n

ix i +=

2

1 . Se debe probar que

∆∑

=∞+→

n

i

in

x).c(fLim1

existe.

CASO 1: n es par : los nodos son 2

31

2

1

122

12

10 =<<<=<<<<=+−

nnnn x....xxx....xx

Los ci se elegirán así:

Para los ci con 12

10 −=n

...,,,i se cumple que

∈ 1

2

1,ic por lo que f(ci) = 0.

Para los ci con n...,,n

i2

= , se cumple que

∈

2

31,ic por lo tanto f(ci) = 1

Luego:

∑

=+∞→

n

i

i

nn

).c(fLim1

1

+= ∑∑+==+∞→

n)c(f)c(f

n

ni

i

n

i

i

n

Lim1

12

2

1

+= ∑+=+∞→

n

n

nin

Lim1

10

12

=

+∞→n

.n

Limn

1

2 2

1=

Funciones Acotadas

Funciones Integrables

Funciones Continuas

)XQFLRQHV�'HULYDEOHV��)XQFLRQHV�'HULYDEOHV��

Conjunto de las funciones definidas en [a, b].


2007

14

CASO 2: n impar : los nodos son 2

3

2

1

2

3

2

1

2

110 =<<<<<<= ++− nnnn x....xxx....xx donde

∈ +−

2

1

2

11 nn x;x . Luego:

∑=+∞→

n

ii

n n).c(fLim

1

1

++= +

+=

−

=+∞→∑∑

2

1

2

3

2

1

1

111n

n

ni

i

n

ii

n

cfnn

)c(fn

)c(fLim

+

+

+−+= +

+∞→ n.c

n.

nn n

nLim

111

2

310

2

1

=

=

+

−

=

=

+

−

=

+

−=

++∞→

++∞→

++∞→

12

11

2

1

02

10

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

n

n

n

n

n

ncsi

nn

n

csin

n

n.c

n

n

Lim

Lim

Lim

Por lo tanto

∑=+∞→

n

i

in n

).c(fLim1

1

2

1= .

En cualquier caso el límite

∑=+∞→

n

ii

n n).c(fLim

1

1 existe y vale

2

1 , por lo tanto f es

integrable en

2

3

2

1, y [ ]∫ =2

3

21 2

1dxx


1) Calcule las siguientes integrales definidas, usando la definición 2.3

a) ∫1

03 dxx

Solución: Si se trabaja con una partición regular del intervalo [0, 1] se tiene que:

nii x...,,n

ix,

n

ix...,,

nx,x,

nx =

−====∆ −

110

1110 =1

Luego: ∫1

03 dxx

=

∆= ∑∑

=∞→=∞→

n

in

n

ii

n n.

n

iLimx).x(fLim

1

3

1

1

Pero no existe una fórmula para calcular la sumatoria anterior .


2007

15

En este caso no conviene trabajar con particiones regulares. Para resolver este problema

se toma la partición del intervalo [0 , 1] dada por 3

3

n

ixi = , i = 0 , 1 ,2, ..., n . Note que

esta partición no es regular, la longitud de cada subintervalo se calcula así :

∆xi = 3

2

3

3

3

3

1

1331

n

ii

n

i

n

ixx ii

+−=

−−=− −

)(. Para calcular la integral se elegirá ci = xi , por lo

tanto: ∫1

03 dxx

+−

= ∑

=∞→

n

in n

ii

n

ifLim

13

2

3

3 )133(.

Simplificando se obtiene: ∫1

03 dxx

4

3

4

1

2

1

4

3lim

2=

−+=

∞→ nnn. Este valor representa el

área de la región limitada por la curva de 3)( xxf = , el eje X y las rectas X=0 y X=1.

Se deja al lector repetir los cálculos usando ci = xi-1 y ci el punto medio de [xi-1, xi].

b) Calcule :dxeb

a

x∫ para ello procedemos así:

Sea P una partición regular de [ ] hn

abxba =

−=∆:, entonces ax =0 ,

( )hiaxi 11 −+=− , bxihax ni =+= ,..., . Elegir ( ) ihaiii ecfihaxc +=+== ,

Calcular: Sn = ( )∑=

∆n

i

i xcf1

:

Sn = ( ) ( ) ( ) ∑∑∑==

+

=

−=

−=∆

n

i

ihan

i

ihan

i

i een

ab

n

abexcf

111

Sn( ) ( ) ( )( )hnhhhanhhha eeeee

n

abeeee

n

ab 122 1 −++++−

=+++−

= ��

La expresión entre paréntesis es una progresión geométrica de razón he y su primer

término es 1, nos interesa calcular : S = ( )hnh ee 11 −+++ �

Multiplicando ambos miembros por he : nhhhh eeeSe +++= �

2

Restando S - Seh y después despejando S se obtiene: h

nh

e

eS

−

−=

1

1

Luego: ( ) ( )h

nhha

n

iin

e

eee

n

abxcfS

−

−−=∆= ∑

= 1

1.

1

pero n

abh

−=


2007

16

( ) ( ) ( ) ( )( )

−

−

−=

−

−−=∆=

−−

−

−−−

=∑

n

n

ab

aba

n

abn

aba

n

i

in abab

e

e.n

ab

.ee

e

e.ee

n

abxcfS

1

1

1

1

1

Ahora vamos a calcular nn

b

a

x SLimdxe+∞→

=∫ :

( )n

ab

n

ab

aba

n

b

a

x

e

en

abee

Limdxe−

−−

+∞→−

−−

=∫1

1

( )( )

n

ab

n

n

ba

e

en

ab

Limee

ab

−+∞→−

−

−=

−

1

Para calcular este límite hacer: ,n

abz

−= por lo tanto cuando +∞→n entonces

0→z , luego :

( ) ( )z

e

eLimee

e

zeLimeedxe

z

z

z

ba

z

z

z

bab

a

x

−−=

−−=

→→∫11 00

( )( )1−−= ba ee

Así abb

a

x eedxe −=∫

c) Usando la definición calcule badxxb

a<<∫ 0

Solución: Sea { }n

iixP0== una partición del intervalo [ ]ba, tal que:

barxarxarxax nn

ii ===== ,,,,, 110 ��

Así: 11

−− −=−=∆ ii

iii ararxxx , es decir ( )11 −=∆ − rarx ii y n

a

br =

Calculo de la sumatoria : para ello elegir ci=i

i arx = :

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ −=

−=∆

==

n

i

iin

i

iin

iii

r

rarar

r

rararfxcf

11

01

=( )

∑− ni

rr

raa

1

2

31

Calculemos: ∑=n

i

n rS

1

2

3

:

×

×

×

++++= 2

3

2

33

2

32

2

3n

n rrrrS �

( )

×+

×

×

×

++++= 2

31

2

34

2

33

2

32

2

3

.n

n rrrrSr �


2007

17

Restando nS. - nSr .2

3

y luego se despeja nS obteniéndose:

( )

1

1

1 2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

31

−

−

=

−

−=

+

r

rr

r

rrS

n

n

n

Luego: ( ) ( ) ( )1

1

1

1

1

1

2

3

2

3

2

1

2

3

2

3

2

3

1−

−

−=

−

−

−=∆∑

=r

r

rraa

r

r

rr

raaxcf

nn

n

iii

( )

1

1.1

2

32

3

2

1

−

−

−=

r

rrraa

n( )

1

1.1.

2

3

2

3

2

1

−

−

−

=

r

r

a

braa

n

n

( )

1

1.1

2

3

2

1

−

−

−=

r

rr

aa

bbaa

Así ( ) ( ) ( )

1

1.

2

3

2

1

1

−

−−==∆∑

=r

rraabbxcf

n

iii . Para calcular: ( )∑

=+∞→∆

n

iii

nxcfLim

1

: se hace

22

1

trasírt == , +∞→→+∞→→= ncuandotynsía

br n 11

Luego ( ) ( ) ( )( )

( )( ) 3

2

11

11

1

1

1

1

213

2

1

2

3

2

1

=++−

+−

−

−=

−

−→→+∞→ ttt

tttLim

t

ttLim

r

rrLim

ttn

De allí que ( )∫ −=b

aaabbdxx

3

2

d) ∫ −=b

abadxxsen )cos()cos(.)( .

Solución. Sea P una partición regular de [a, b] , entonces n

abhx

−==∆ , elegir


2007

18

ci= xiaxi ∆+= . , entonces: ∑∑==

+=∆=n

ii

n

ii hhiafxcfpfS

11

)..()(),( = ∑=

+n

i

hiasenh1

).(

[ ])())((....)()(.),( nhasenhnasenhasenhasenhpfS ++−++++++= 12

Multiplicando ambos miembros por ( )2

2 hsen. resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ])()(...)(),( nhasensenhnasensenhasensenhpfSsen hhhh ++−++++=2222

21222 (2.12)

Aplicando la fórmula : 2.sen(u).sen(v) = cos(u-v) – cos(u+v) en el lado derecho de (2.12)

resulta:

( ) ( )

+

+−

−

+++

+−

+=

2

12

2

12

2

3

222

hna

hna

ha

hahpfS

hsen coscos...coscos),(.

La suma que esta entre corchetes es una suma telescópica, por lo que se obtiene:

( )

+

+−

+=

2

12

222

hna

hahpfS

hsen coscos.),(..

De donde: ( )

+

+−

+

=2

12

2

22

hna

ha

hsen

hpfS coscos

.

),(

Pero ( )

22

.12 hb

hna +=

++ , entonces :

+−

+

=22

22

hb

ha

hsen

hpfS coscos

.

),(

Tomando límite cuando ∞+→n se obtiene: )cos()cos(),( bapfSLimn

−=+∞→

, con lo que se

demuestra que: ∫ −=b

abadxxsen )cos()cos(.)( .

2) Sea la región R limitada por la gráfica de 1−= xxf )( , el eje Y, el eje X y la recta

x = 2. Halle el área de la región usando : a) Suma inferior b) Suma superior .

Solución: En la figura 2.3 observe que:

i) En el intervalo [0, 1] la región esta limitada por las rectas y = -x + 1, y = 0, x = 0 y

x = 1, además la función es decreciente.

ii) En [1,2], f es creciente y la región esta limitada por x = 1, x = 2, y = x-1, y = 0.

Por lo que el intervalo [0,2] se divide en [0,1] y [1,2] y se trabajará, por separado, en cada

uno de ellos.


2007

19

Figura 2.3

i) Cálculo de las sumas superiores e inferiores de f en [0,1]:

Sea n

ix,

n

ix,

nx ii =

−==∆ −

111 , por ser f decreciente en [0,1] entonces f(xi-1) es el

máximo y f(xi) es el mínimo en cada subintervalo [xi-1, xi]. Luego:

[ ]

[ ]( )

nn

ni

n.

n

ifx).x(fS

nn.

n

i

n.

n

ifx).x(fs

n

i

n

i

n

ii,

n

i

n

i

n

ii,

2

1

2

1111

2

1

2

111

1

1 12

1110

11 110

+=++−

=

−

=∆=

−=

+−=

=∆=

∑ ∑∑

∑∑ ∑

= ==−

== =

ii) Calculo de las sumas superiores e inferiores de f en [1,2]:

Sean )x(f;x...,,n

ix,

n

ix...,,

nx,x,

nx inii 1110 21

11

111

1−− =+=

−+=+===∆ y

f(xi) representan , respectivamente , el mínimo y el máximo de f , por lo que:

[ ]nnn

i

n.

n

ifx).x(fs

n

i

n

i

n

ii,

2

1

2

111111

1 1 1121 −=

−

=

−

+=∆= ∑ ∑ ∑= = =

−

[ ] ∑∑==

+=

+=∆=

n

i

n

ii,

nn.

n

ifx).x(fS

1121

2

1

2

111

Luego , la suma inferior viene dada por s= s[0,1] + s[1,2] = 1 – 1/n , y la suma

superior es: S = S[0,1] + S[1,2] = 1 + 1/n . En cualquier caso se cumple que :

11

11

1 =

+=

−=

∞→∞→ nLim

nLimA

nn

Suma inferior Suma superior

1 2 X

Y

Nota: La región R que se muestra en la

figura 2.3 se subdivide en dos regiones que

son congruentes, por lo que se puede

calcular el área de una sola región y

después se multiplica por dos, para

obtener el área de la región R.


2007

20


1) En cada caso , halle el área de la región indicada usando: i) Sumas inferiores ii) Sumas superiores iii) Sumas intermedias Las regiones son : a) f(x) = 100 – 3x2, x = 1, x = 5, y = 0

b) f(x) = x3 + 1, x = 1, x = -1, Eje X

c) f(x)= 12 −x , x= -1, x=1 , y=0

2) Use la definición de integral definida para demostrar que el área de un triángulo de

base b y altura h es 2

.hb.

3) Usando sumas de Riemann calcule el valor de las siguientes integrales

∫ +b

adx)xx()a

2 dx)xx()b 343

1

2 −+−∫ ∫b

adx

x)c

1 con 0<a<b

4) Usando la definición 2.3, calcule ∫b

adxx . ¿Bajo que condiciones esta integral

representa el área de la región limitada por y = x , x = a , x = b , y = 0 ?.

5) Sea la función f(x) = c para todo x ∈ [a, b] , c es una constante . Sea P cualquier partición de [a, b]. Demuestre que:

a) Cualquier Suma de Riemann es igual a c (b-a). b) ∫ −=b

a).ab(cdx.c

6) Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique .

a) La función f(x) = sen (2x + 1) + tg (x) es integrable en el intervalo

π

40, .

b) Si f no es continua en [a, b] entonces f no es integrable en [a , b]. c) Si f es acotada en [a, b] entonces f es integrable en [a , b].

d) La función f(x)= tan(x) es integrable en [ 0 , π ].

7) Usando la definición de la integral definida, demuestre que: ∫ −=b

aabdxx )sen()sen().cos(

8) Determine si las siguientes funciones son integrables en el dominio indicado. Justifique su respuesta.

[ ] [ ] [ )

[ ]

∈=−∈=

+∞∈=∈=

32

1111

1

01

41

22,x,

x)x(h)iv,,x,

x)x(h)iii

,x,x

)x(f)ii,,x,x)x(f)i

9) Sea f definida por [ ]324 2,xconx)x(f −∈−=

��Usando la definición correspondiente, calcule dx.)x(f∫−3

2

��Graficar f ��¿ El valor de la integral anterior representa el área de la región limitada por

la gráfica de y= )x(f y las rectas y =0 , x= -2 y x=3 ? Justifique su respuesta


2007

21

10) Sea f definida por f(x) = x3 – 1 ¾�Graficar f ¾�Usando la definición de integral definida, calcule el área de la región limitada por

la gráfica de la función y las rectas x = -3, x = 1, y = 0

¾�Calcule el valor de ∫−1

3dx)x(f

11) Sea f definida por [ ]012 ,xconxx)x(f −∈+=

��Graficar f

��Usando la definición correspondiente, calcule dx.)x(f∫−0

1

��Calcule el área de la región limitada por la gráfica de y= )x(f y las rectas

y =0 , x= -1 y x=0 ?

2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Teorema 2.4 Si k es cualquier constante, entonces ∫ −=b

aabkdxk ).(.

Demostración. Sean f definida por f(x) = k , para todo x ∈ [a, b] y P una partición de

[a, b], entonces:

)().(. abkxkxkxcfdxkn

ii

P

n

ii

P

n

iii

P

b

aLimLimLim −=

∆=

∆=

∆= ∑∑∑∫

=→=→=→ 101010

Luego: ∫ −=b

aabkdxk )(.

Si k > 0 entonces ∫b

adxk. representa el área del rectángulo acotado por las rectas

y = k, y = 0, x = a , x = b.

Teorema 2.5 Si f es integrable en [a, b] y c es cualquier constante real entonces cf es

integrable en [a, b] y se cumple que : ∫ ∫=b

a

b

adxxfcdxxfc ).().(

Demostración. Sea P una partición de [a, b], y ]iii xxw ,[ 1−∈ entonces

( ) ( )

∆=

∆= ∑∑∫

=→=→i

n

ii

P

n

iii

P

b

axwfLimcxwcfLimdxxfc .)(..)()(.

1010 (2.13)

Como f es integrable en [ a, b ] entonces el limite en (2.13) existe y vale ∫b

adxxf )( .

Por lo tanto ( ) ∫∫ =b

a

b

adxxfcdxxcf ).(.)( .


2007

22

Teorema 2.6 Si f y g son funciones integrables en un intervalo cerrado [a, b] entonces

f + g y f – g son integrables en [a, b] y se cumple:

( )

( )∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

−=−

+=+b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfii

dxxgdxxfdxxgxfi

).().(.)()()

).().(.)()()

El teorema anterior se puede extender a una suma de cualquier número finito de

funciones. Así: si f1 , f2 , ..., fn son integrables en [a , b] entonces (f1 + f2 + ... + fn )

es integrable en [a, b] y se cumple que:

( ) ∫∫∫ ++=++b

an

b

a

b

an

dxxfdxxfdxxfxf ).(...).(.)(...)( 11

Teorema 2.7 Si f es integrable en [a , b] y c∈[a , b] entonces

∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf ).().().(

Geométricamente esta igualdad se puede interpretar así: en la siguiente figura se

muestra la región R limitada por la gráfica de la función continua y = f(x) , f(x)>0 en [a ,

b] y las rectas x = a , x = b , y = 0:

Demostración Si a, b, c son tres números diferentes , se cumple que:

(i) a < b < c (ii) a < c < b (iii) b < a < c

(iv) b < c < a (v) c < a < b (vi) c < b < a

Y

y = f (x) La recta x = c divide a la región R en

dos regiones R1 y R2, por lo tanto el

área de la región es : 21 RRR AAA +=.

Lo cual equivale a:

∫∫ ∫ +=b

c

b

a

c

adxxfdxxfdxxf ).().().(

a c b X

R2 R1

El siguiente teorema es una generalización del teorema anterior.

Teorema 2.8 Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los números a,

b, c entonces ∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

cdx).x(fdx).x(fdx).x(f

, independientemente del orden

entre a, b y c.


2007

23

La demostración se hará para el caso (i) : sean a < b < c entonces, por el teorema 2.7

se tiene que :

∫ ∫ ∫+=c

a

b

a

c

b

dxxfdxxfdxxf ).().().(

De allí que ∫ ∫ ∫−=b

a

c

a

c

b


Lo cual equivale a ∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

c


Se deja como ejercicio los casos restantes.

Teorema 2.9 Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 para toda x ∈ [a, b] entonces

0).( ≥∫b

adxxf .

Teorema 2.10 Monotonía de la integral definida

Si las funciones f y g son integrables en [a, b] tal que f (x) ≤ g(x) para todo x∈[a , b]

entonces ∫∫ ≤b

a

b

adxxgdxxf ).().( (2.14)

Demostración. Como f y g son integrables en [a , b] entonces (g – f) es integrable en

[ a , b ]. Por hipótesis se tiene que f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [ a , b] entonces g (x) –

f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]; luego aplicando el teorema 2.9 se tiene que:

( ) 0)()( ≥−∫ dxxfxgb

a , de donde dxxgdxxf

b

a

b

a).().( ∫∫ ≤ .

Geométricamente el teorema 2.10 se puede interpretar así: si f y g son funciones

continuas en [a, b] y se cumple que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] . El área de la

región bajo la gráfica de f , entre x = a y x = b no supera el área de la región limitada

por la gráfica de g, el eje X, x = a , x = b. ( en la figura 2.8 el área de la región

sombreada es ( )dx.)x(f)x(gb

a∫ − ).

y = g (x) Y

y = f (x)

a b X

Figura 2.8


2007

24

Teorema 2.11 Propiedad de acotamiento de la integral definida.

Si f es integrable en [a, b] , m y M son respectivamente los valores mínimo y máximo

absolutos de f en [a, b], entonces se cumple que:

∫ −≤≤−b

aabMdxxfabm )().()( (2.15)

Demostración Como m y M son , respectivamente , los valores mínimo y máximo

absolutos de f en [a, b] se tiene que: m ≤ f (x) ≤ M , para todo x ∈ [a, b]. Aplicando el

teorema 2.10: ∫ ∫ ∫≤≤b

a

b

a

b

adxMdxxfdxm ).( . Aplicando el teorema 2.4 se obtiene:

∫ −≤≤−b

aabMdxxfabm )().()( .

Figura 2.9

Teorema 2.12 Teorema del valor medio para integrales

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c

en [a, b] tal que )).(().( abcfdxxfb

a−=∫ . (2.16)

Demostración.

i) Si f es constante en [a , b] entonces f (x) = d , para todo x∈[a , b]. Luego

∫ −=b

aabddxd )(. . En este caso el c que garantiza el teorema 2.12 puede ser cualquier

número en el intervalo [a, b].

ii) Supongamos que f no es constante en [a, b]: como f es continua en [a, b] entonces f

alcanza su valor máximo absoluto (M) y su valor mínimo absoluto (m) en [a, b]. Luego :

m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a , b] . Por el teorema 2.11 se concluye que:

∫ −≤≤−b

a)ab(Mdx).x(f)ab(m . De allí: M

ab

dx).x(fm

b

a ≤−

≤∫

.

El teorema 2.11 , geométricamente se

puede interpretar así: sea f continua en

[a, b] tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] ;

entonces ∫b

adxxf ).(

representa el área bajo

la curva y = f(x) entre a y b. Esta área es

mayor que el área del rectángulo abBA y

menor que el área del rectángulo abCD (ver

figura 2.9 ).

Y M

m

a b

D C

A B


2007

25

Sean m = f(xm), M = f (xM) , xm , xM ∈ [a, b] , ab

dx).x(fb

a

−=µ

∫, entonces f(xm) ≤µ ≤ f(xM)

y por el teorema del valor intermedio para funciones continuas se concluye que existe un

c comprendido entre xm y xM tal que f(c) = µ . De donde se deduce que existe c ∈ [a, b]

tal que f (c) =ab

dx).x(fb

a

−∫

. Luego se concluye que: )ab).(c(fdx).x(fb

a−=∫ .

OBSERVACIONES:

i) El valor de c referido en el teorema anterior no necesariamente es único.

Y y = f(x)

f(c)

a c b X

Figura 2.10

Definición 2.5 Si la función f es integrable en [a, b], el valor promedio o valor medio de f

en [a, b] es: ab

dx).x(fb

a

−∫

(2.17)

Observe que:

i) Si f es continua en el intervalo [a, b] , la expresión (2.17 ) representa el f (c) del

teorema del valor medio para integrales.

ii) Sea P es una partición regular del intervalo [a, b] con n subintervalos, y ci ∈[xi-1, xi],

i = 1, 2, ..., n . El valor promedio de las f (ci) es: ( ))(...)(1

1 ncfcfn

++ , multiplicando y

dividiendo por (b – a), y reordenando los términos resulta: ∑=

−−

n

!ii

n

)ab().c(f.

ab

1

Pero xn

ab∆=

− , luego x).c(f.

ab

n

ii ∆

− ∑=1

1. Tomando límite cuando n → +∞ se

obtiene :

∆

− ∑=+∞→

n

ii

nx).c(fLim.

ab1

1, lo cual equivale a ∫−

b

adx).x(f.

ab

1 .

ii) El teorema del valor medio para integrales

para el caso en que f es continua y f (x) ≥ 0

para toda x∈[a, b] se puede interpretar

geométricamente así: este teorema garantiza la

existencia de al menos un número c∈ [a, b] tal

que el área de la región limitada por y = f(x) ,

x = a , x = b e y = 0, es igual al área del

rectángulo de base (b - a) y altura f (c).


2007

26


1) Hallar un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida

dxxx )168(0

4

24 +−∫−

Solución: Sea f (x) = x4 – 8x2 +16, f '(x) = 4x (x2 – 4). Así , los números críticos de f en

[-4, 0 ] son x = 0, x = -2, luego: f (0) = 16 , f (-4) = 144 , f (-2) = 0. Por lo tanto

M = 144 , m = 0. Aplicando el teorema 2.11 resulta:

( ) 5764014416840000

4

24 =+≤+−≤+= ∫−).().( dxxx

El valor de la integral ( ) dxxx∫−+−

0

4

24168 esta comprendido entre 0 y 576.

2) a) Halle el valor promedio de la función f (x) = x3 – 1 en [-2, 2].

b) Halle el valor de c en [-2, 2] en el cual f(x) es igual a su valor promedio.

Solución: a) El valor promedio Vp de f en [-2, 2] es igual a: ( )

)( 22

12

2

3

−−

−= ∫−

dxxVp .

Pero ( )∫−−=−

2

2

3 41 dxx , luego: 14

4−=

−=pV . Así, el valor promedio de f en [-2, 2] es –1.

b) Para hallar el valor de c∈ [-2, 2] para el cual f (c) es igual a su valor promedio , se

resuelve la ecuación f (c) = -1 , esto es c3 –1 = -1 , de donde c = 0.

3) Sea f una función cuya representación gráfica se muestra a continuación

Y

2 y = f (x)

1

5 6 8

-2 1 2 4 X

-1

a) Halle ∫−

8

2)( dxxf .

b) Halle el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje X y –2≤ x≤ 8.

c) ¿Son iguales los resultados obtenidos en (a) y (b)?, ¿Por qué?.

d) Halle el valor promedio de f en [-2, 8]. ¿Existe c ∈ [-2, 8] tal que f (c) es igual al valor

promedio de f ?.

Solución:

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ +++++=−−

5

4

8

5

0

2

1

0

2

1

4

2

8

2dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f)a


2007

27

Del gráfico se tiene que:

3)(0

2=∫−

dxxf (área de un trapecio)

∫ ∫ ==1

0

2

1 2

3)()( dxxfdxxf (área de un trapecio)

∫ =4

22dxxf )( (área de un rectángulo)

∫ =5

4 2

1dxxf )( (área de un triángulo)

∫ −=8

5 2

3dxxf )( (área de un triángulo , cambiada de signo).

Luego: ∫− =−++++=8

27

2

3

2

12

2

3

2

33dxxf )(

b) El área de la región limitada por la gráfica de f y las rectas x = -2 0, x = 8 , y = 0 se

calcula así: ∫ ∫−=

−−=−=

5

2

8

510

2

3

2

17dxxfdxxfA )()(

c) Los resultados obtenidos en (a) y (b) son distintos, esto se debe a que la integral

definida ∫−

8

2)( dxxf no representa el área bajo la curva , pues f(x) toma valores positivos y

negativos en el intervalo [-2, 8] .

d) El valor promedio de f en [-2, 8] es igual a : 10

7

28

8

2 =−−

= ∫−

)(

)( dxxfVp

Sea c ∈ [-2, 8] tal que 10

7=)(cf , de allí que c ∈ (4 , 5) .

4) Sin calcular el valor de la integral , demuestre que: ∫ ≤−

≤9

52

1

10 dx

x (2.18)

Solución: Sea 312

1

1

1

)()(',)(

−−=

−=

x

xhx

xh . Note que h'(x) < 0 para todo

x∈[5, 9], por lo que h es decreciente en [5, 9]. Luego, h alcanza su valor máximo absoluto

en x = 5 y su valor mínimo absoluto en x = 9 ; así: M = h(5) = 0.5 , 22

19 == )(hm .

Aplicando el teorema 2.11 se obtiene la desigualdad ( 2.18 ):

∫ ≤−

≤9

52

1

10 dx

x


2007

28

2.5 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO INTEGRAL.

Hasta los momentos se ha trabajado con integrales definidas cuyos limites superior e

inferior son fijos. En esta sección se considera integrales definidas con uno o ambos limites

de integración variables. Por ejemplo: ∫ ∫ ∫+x

a

b

x

x

xdrrfdrrfdrrf

12

).(,).(,).( donde a, b

son fijos , x es una variable , f continua . Este tipo de integrales definen funciones reales

de variable real. Así: ∫=x

adrrfxG )()( define una función cuyo dominio es [a, b]. Note

que ∫ ==a

adrrfaG 0)()( y ∫=

b

adrrfbG ).()( .

Si f es no negativa y continua en [a, b], el valor G(x) representa la medida del área bajo la

curva y = f (r) y las rectas r = a, r = x, r = 0, la cual varia a medida que varia x.

Teorema 2.13 Primer teorema fundamental del cálculo integral.

Sean f continua en el intervalo [a, b] , x ∈[a, b]. Si G es la función definida por:

∫=x

adr)r(f)x(G entonces G'(x) = f (x).

Demostración. Se quiere calcular G’(x) : sean x , x + h en [a, b] entonces:

G’(x)=h

)x(G)hx(GLimh

−+→0

(2.19)

donde ∫=x

adr)r(f)x(G y ∫

+=+

hx

adr)r(f)hx(G , por lo que :

∫∫ −=−++ x

a

hx

adr).r(fdr)r(f)x(G)hx(G ∫

+=

hx

xdr).r(f (2.20)

Sustituyendo (2.20) en (2.19) se obtiene : G’(x)=h

dr).r(fLim

hx

x

h

∫+

→0 (2.21)

Por el teorema del valor medio para integrales existe un c en el intervalo acotado por x

y x + h tal que: ∫+

=hx

xh).c(fdr).r(f , esto se sustituye en (2.21) obteniéndose:

)(lim)('0

cfxGh→

= = )(xf ya que c está entre x y x + h , y xhxlimlimxhh

=+=→→

)(00

entonces xclimh

=→0

(por el teorema del encaje ) ; además f es continua en c entonces

)x(f)c(fLimh

=→0

. Por lo que G'(x) = f (x) .

NOTAS: i) El teorema anterior establece que la integral definida ∫x

adr)r(f , con el limite

superior variable, es una primitiva de f.


2007

29

ii) Si ∫=b

xdr).r(f)x(G ( limite inferior variable ) entonces G se puede escribir así:

∫−=x

bdr).r(f)x(G , luego G'(x) = - f (x).

iii) Sea ∫=)x(h

adr).r(f)x(G entonces G'(x) = f (h(x)) h'(x ) . En efecto: sea H la función

definida por ∫=x

adr).r(f)x(H , entonces ∫ ==

)x(h

a)x(Gdr).r(f))x(h(H

Derivando G se tiene : G'(x) = H'(h(x)) h'(x) , como H’(x)=f(x) entonces

H'(h(x)) = f(h(x)) , luego se tiene que G'(x) = f (h (x)) h'(x) .

iv) Sea ∫=)x(m

)x(qdr)r(f)x(g , donde ambos limites de integración son variables: g se

descompone así ∫∫ +=)x(m

p

p

)x(qdr).r(fdr)r(f)x(g , con p fijo , luego se deriva.

Ejemplo 2.7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

( )∫ dtt

t)x(f)cdt.e)x(N)bdt.t)x()a

x

x

)xx( txa ∫∫

+==−=φ

+ 2

3

2 22

4

6

2

2

112

Solución: En cada caso se aplica el teorema 2.13

'24')).(12()() xxxa −=φ , es decir : )12(2)( 4' −= xxxφ

( ) 2222

122 )(')(' .)(dondede),.()() xxxx exxNxxexNb ++ +=+=

c) Descomponer f así : ∫ ∫+

++

=0

0 4

6

4

6

3

2

11x

xdt

t

tdt

t

t)x(f , derivando se obtiene :

12

20

8

13

1

3

1

2

x

x

x

x)x(f '

+−

+=

Ejemplo 2.8. Encuentre una función f tal que ∫ ++=x

dttfx1

2211 .))(( .

Solución: Se derivan ambos miembros y se aplica el teorema 2.13 obteniéndose:

2

))((12 xfx += de donde 1414 22 −−=−= x)x(fyx)x(f .

Ejemplo 2.9 . En cada caso calcular f (2) , sabiendo que f es continua y satisface la

fórmula dada para todo x > 0.

∫ ∫ ∫+

=+=+=x x )x(x

xdt).t(f)c),x(xdt).t(f)b),x(xdt).t(f)a0 0

1

0

222 2

11


2007

30

Solución: En cada caso se aplica el teorema 2.13:

Para (a) : f (x) = 2x + 3x2 y f (2) = 16

Para (b) : f (x2).2x = 2x + 3x2 , con 2=x se obtiene 2

231)2( +=f .

Para (c) : f (x2 + x3) (2x + 3x2) = 1, de donde 2

32

32

1)(

xxxxf

+=+ y con x = 1

se obtiene 5

1)2( =f .

Ejemplo 2.10. Sea f definida por ∫+

++=

xdt

t

))t(sen()x(f

0 22

13 . Halle un polinomio cuadrático

tal que p(0) = f (0) , p’(0) = f ’(0) , p’’(0) = f ’’(0).

Solución: Sea p(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 , p'(x) = 2ax + b , p'' (x) = 2a.

Aplicando el teorema 2.13 a f resulta: 2

'

2

)sen(1)(

x

xxf

++

= . Luego:

22

2

2

212

)x(

x))x(sen()xcos()x()x(f ''

+

+−+= . Evaluando p, p', p'' en x = 0 resulta: p(0) = c ,

p'(0)=b , p''(0) = 2ª . Evaluando f , f ' , f'' en x = 0 se obtiene f (0) = 3 , f '(0) = ½ ,

f ''(0) = ½ . De las condiciones del problema se tiene que: p(0) = f (0) , p’(0) = f ’(0) ,

p’’(0) = f ’’(0) y de allí resulta que c = 3 , b = ½ y a = ¼ . Luego, el polinomio

buscado es 32

1

4

1)(

2 ++= xxxp .

Teorema 2.14 Segundo teorema fundamental del cálculo integral (Fórmula de

Newton – Leibniz , o Regla de Barrow )

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y G es una primitiva de f en

[a, b], entonces: ∫ −=b

a)a(G)b(Gdx).x(f

Demostración. Como G es una primitiva de f en el intervalo cerrado [a, b] y la función h

definida por ∫=x

adt).t(f)x(h también es una primitiva de f en el intervalo cerrado [a, b] , se

tiene que h(x) - G(x) = C con C constante . Luego :

∫ +=x

aC)x(Gdt).t(f (2.22)


2007

31

Evaluando (2.22) en x = a se tiene ∫ +=a

ac)a(Gdt).t(f , de donde c = - G(a) . Por

consiguiente ∫ −=x

aaGxGdttf )()().( . Evaluando en x = b se obtiene :

∫ −=b

a)a(G)b(Gdt).t(f .

NOTAS: i) El valor G(b) – G(a) no depende de la elección de la primitiva G.

ii) Para calcular ∫b

adx).x(f , usando el segundo teorema fundamental del cálculo integral, se

busca una primitiva de f: sea G dicha primitiva, entonces:

)a(G)b(G)C)a(G(C)b(GC)x(Gdx).x(fbx

ax

b

a−=+−+=+=

=

=∫

Observe que la constante C desaparece, por lo que no es necesario colocarla.


Aplicando la regla de Newton – Leibnitz, evalúe las siguientes integrales:

∫π2

021 :dx)x(sen) sea f (x) = sen(2x) la cual es continua en

20

π, y una primitiva de f

es )2cos(2

1)( xxG −= , luego:

102

1

2

12

2

122

020

=+π−=−=∫π π

=

= )cos()cos()xcos(dx).x(senx

x

∫1

0

222 ,dx).e.b.a() xxx a , b > 0 , a , b ≠ 1.

Sea h(x) = ax b2xe2x, la cual se puede expresar así h(x)= (ab2e2)x , y una primitiva de h

es )e.ab(Ln

)e.ab()x(H

x

22

22

= . Luego:

( ) ( )( ) ( )22

221

0

22

221

0

1

0

2222 1

eabLn

eab

eabLn

eabdx.eabdx).e.b.a(

x

x

xxxxx −

===

=

=

∫ ∫

3) dxxx∫ +−3

0

2 34 : Para evaluar esta integral se debe eliminar el valor absoluto del

integrando, lo cual se hace aplicando la definición de valor absoluto. Así:

( ] [ )

[ ]

∈−+−

∞+∪∞−∈+−=+−

3134

313434

2

22

,

,,

xsixx

xsixxxx


2007

32

Luego, la integral dada se puede descomponer en la suma de dos integrales :

∫ ∫ ∫ −+−++−=+−3

0

1

0

3

1

222 343434 dxxxdxxxxx )()(

3

832

332

3

3

1

23

1

0

23

=

−+−+

+−=

=

=

=

=

x

x

x

x

xxx

xxx

4) dxxx∫−−

ππ2

)sen()cos(

Recuerde:

∈≤

−∈≥

ππ

ππ

,)()cos(

,)()cos(

4

42

xsixsenx

xsixsenx

Luego:

∈−

−∈−

=−π

π

ππ

,4

),cos()sen(

4,

2),sen()cos(

)sen()cos(

xxx

xxx

xx

Ahora se integra :

( ) ( )

( ) ( ) 222

4

4

2

2

4

2 4

+=−−++=

−+−=−

ππ

=

π=

π−=

ππ

−

π

π−

ππ∫ ∫ ∫

x

x

x

)x(sen)xcos()xcos()x(sen

dx)xcos()x(sendx)x(sen)xcos(dx)x(sen)xcos(

Se deja como ejercicio repetir este problema en el intervalo

2,0π

.

5) Calcule [ ]∫ 23

21

dx. x

Recuerde que f(x) = [�x�] =

∈

∈

2

311

12

10

,xsi

,xsi

; luego :

[ ]∫ 23

21

dx. x = [ ] [ ]2

11

2

323

1

12

3

1

1

21

21

=−=+=+ ∫∫∫∫ dx. 1 dx. 0 dx. x dx. x

Esta integral se resolvió en el ejemplo 2.6 usando la definición de integral definida.


2007

33

2.6 CAMBIO DE VARIABLE PARA LA INTEGRAL DEFINIDA

Si la función u = g(x) tiene derivada continua en el intervalo cerrado [a, b] y f tiene una

primitiva F en el rango de g y du= dxxg )(' , entonces:

( ) ( ) ( ))()().()(')()(

)(agFbgFduufdxxgxgf

b

a

bg

ag−==∫ ∫ (2.23)


En cada caso, evalúe las integrales dadas:

(1) ∫−

34

45 2 1xx

dx

Hacer x

u1

= entonces 2

1

u

dudx,

ux −== . Se deben hallar los nuevos límites de

integración, así: para 4

5=x se tiene que

5

4=u , y con

3

4=x se obtiene

4

3=u .

Sustituyendo en la integral dada resulta:

+

−=

−−=

−

−=

−∫∫ ∫ 5

4

4

3

11111

43

54 2

34

45

43

54

2

2

2arcsenarcsen

u

du

u.

u

u

du

xx

dx

Otra manera de evaluar esta integral es la siguiente: se resuelve la integral indefinida

obteniéndose ∫ =−

)xsec(arc

xx

dx

12; después se evalúa la primitiva obtenida desde

4

5=x hasta

3

4=x obteniéndose: ∫

−3

4

45 2 1xx

dx

−

=

4

5

3

4secsec arcarc

2) ∫ +

4

1 42 x

dxx : Hacer xt 42 += entonces

2,

4

22

dttdx

tx =

−= . Luego: los

limites superior e inferior son, respectivamente, 618 y . Así:

( )( ) 2

2

32

8

124

2

42

18

6

24

1

18

6

2

=−=

−

=+

∫∫ ∫ dttt

dttt

x

dxx.

3) ∫− +−−

+=

0

2 2542

3

xx

dxxI

)( : completando cuadrados resulta :


2007

34

( )

( )∫∫ −− +−

+=

+−−

+=

0

2 2

0

2 2127

3

542

3

x

dxx

xx

dxxI

)( (2.24)

Hacer la sustitución )1(2 += xu , 2

2−=

ux ,

2

dudx = . Además, cuando x = -2,

2−=u , y con x = 0 , 2=u ; esto se sustituye en (2.24) obteniéndose:

∫∫∫ −−− −+

−=

−

+

=2

2 2

2

2 2

2

2 272

2

72

1

7

22

2

u

du

u

duu

u

duu

I (2.25)

Para calcular la integral : ∫− −

2

2 272

1

u

duu se hace el cambio de variable:

52522277 222 ===−=−=−=−= pupuudupdpupup ,,cony,,,,

Luego ∫ ∫−=−=

−

2

2

5

520

2

1

72

1

p

dpp

u

duu. (2.26)

Y para la segunda integral se tiene:

=

−−

=

−∫− 7

2

2

4

7

2

7

2

2

2

72

2 2

2 2arcsenarcsenarcsen

u

du ( 2.27)

Sustituyendo (2.26) y (2.27) en (2.25) se obtiene :

( )

∫−

=

+−−

+0

2 2 7

2

2

4

542

3arcsen

xx

dxx

2.8 INTEGRACION DE FUNCIONES PARES E IMPARES

Sea f integrable en [-a, a] :

a) Si f es par entonces ∫ ∫ ∫− −==

a

a

a

adxxfdxxfdxxf

0

0

)(2)(2)(

b) Si f es impar entonces ∫−=

a

adxxf 0)(

Demostración: a) Como f es par entonces f (x) = f (-x) para toda x ∈ [-a, a] :

sea u = - x , du = - dx:

∫ ∫ ∫ ∫−=−=−−=

0 0 0

0a a a

a

duufduufduufdxxf )()().()(

Así: ∫ ∫−=

0

0).()(

a

a

dxxfdxxf . Luego :

∫ ∫ ∫ ∫− −=+=

a

a a

a a

dxxfdxxfdxxfdxxf0

0 0)(2)()()(


2007

35

b) Como f es impar se tiene f (-x) = -f (x), x ∈[-a, a]. Sea u = -x, du = - dx:

∫ ∫ ∫ ∫−−==−−=

0 0 0

0)()().()(

a a a

a

duufduufduufdxxf , de donde : ∫−=

a

adxxf 0)(


1) Aplique la propiedad de acotamiento

de la integral definida para hallar un

intervalo cerrado que contenga el valor de

la integral definida dada.

dx.senx)a ∫π

π4

3

4

( )∫−−2

2

3 cos9cos4)

π

π dxxxb

∫−

2

2

3 .sen3)

π

π dxxc

2) Sin evaluar la integral definida,

demuestre que:

∫ ∫≥1

0

1

0

2dxxdxx)a

∫ ∫≤2

1

2

1

2) dxxdxxb

3) Si f es continua en [a, b], demuestre que

∫∫ ≤b

a

b

a

dxxfdxxf .)()(

4) Sea F definida por

( ) ( )∫ +=2

4

34ln

x

dttxF , halle la ecuación de

la recta tangente a la curva en 2=x .

5) Para F definida por

( ) ( )∫−++=

x

dtttxF1

2 22ln , halle la ecuación

de la recta tangente en 1−=x .

6) En cada caso , halle el valor promedio

de la función f en el intervalo dado.

Además, halle los valores de x en los

cuales f(x) iguala a su promedio.

[ ]10122 ,x,xx)x(f)a ∈+−=

[ ]21

21

2

2

,xx

x)x(f)b ∈

+=

7) Sea f una función continua en [-2, 2],

par y no negativa en [-2, 2], y g una

función continua e impar en [-2, 2].

Si ∫ ∫ ==2

0

0

25)(5)( dxxgydxxf , halle:

a) [ ]∫− +2

23 dxxgxf )()(

b) ( )∫−2

2dxxgxf )().(

8) Demuestre que f definida por

( ) ∫=x

x t

dtxf

5

2 es constante en ( )∞+,0 .

9) Demostrar que para todo x real

( ) ( )xxx

dtttx

+=+∫ 3

22

0

2

10) Sea f continua para todo x tal que

∫ +++−=x

)xcos()x(sen.xxdt).t(f0

22

2

12

2

1,

11) Sin calcular el valor de la integral, halle

( )xF ′ :

a) ( ) ( )∫+

−+−=

1

2

22

52x

dtttxF


2007

36

para todo x. Calcular

π

π

44'f,f .

12) Cierto día, la temperatura t horas

después de la medianoche era:

( ) ( )

−+= 1012

1080 tsentTπ

.

¿Cuál era la temperatura promedio entre el

mediodía y las 6 de la tarde?

c) ( ) ∫ +=5

2

2 2x

dttxF

b) ( ) ∫ +=3

21

x

xdssxF

d) ( ) ( )( )∫ −=

xsen

dttsentxF2

21

13) Demuestre que f definida por

( ) ∫=x

x t

dtxf

5

2 es constante en ( )∞+,0 .

14) La intensidad de una corriente alterna

de un circuito eléctrico viene dada por:

( ) ( ) ( )ttsentI ππ 120cos602 +=

donde I se mide en amperios, t en

segundos. Calcule la corriente promedio

para los siguientes intervalos de tiempo:

600

1≤≤ t

240

10 ≤≤ t

300

1≤≤ t

15) Sabiendo que f es impar, g par en

[ ]1,1− , ( ) ( )∫∫ ==1

0

1

03dxxgdxxf .

Calcule: a) ( )∫−

1

1dxxf

b) ( )∫−

1

1dxxg

c) ( ) ( )( )∫−−+

1

1dxxgxf

16) Existe una función f definida y

continua para todo número real x que

satisface una ecuación de la forma:

( ) ( ) cxx

dttftdttfx

x

+++= ∫∫ 98

18161

2

0

donde c es una constante. Encontrar

una fórmula explícita para ( )xf y

hallar el valor de c.

17) Calcule las siguientes integrales:

D�� dxx

x∫− +

+4

2 6

1 �� dxx)b ∫− +3

33

∫∫ ++−

−

1

0

1

1 1 xx

dx)ddxxx)c

( )∫ ∫−−+

+

−4

1

1

011

3

1dyy.y)fdx

x

x)e

∫π

−4

0 21dx

)x(sen

)x(tg)g �

18) Decida si las siguientes proposiciones

son verdaderas y cuales falsas:

a) Sí f es continua y ( ) 0≥xf para todo

[ ]bax ,∈ entonces ( ) 0≥∫b

adxxf .

b) Sí ( ) 0=∫b

adxxf entonces ( ) 0=xf

para todo [ ]bax ,∈ .

19) Calcule las siguientes integrales definidas:

��D�� dxx∫−−

4

42 ��E�� ( ) dxxx∫ −−

2

121 ��

F�� dxxx∫−−

2

22 ��G�� ( ) dx

xtg∫ +4

0 1

8π �

H�� ( ) dxxxxx∫ +++1

0

232 164 �


2007

37

c) Sí ( ) ( )xfxf −= para todo [ ]aax ,−∈ y

f es integrable en [ ]aa,− , entonces

( ) 0=∫−

a

adxxf .

d) Sí ( ) ( )xfxF =′ para toda [ ]bx ,0∈

entonces ( ) ( )bFdxxfb

=∫0.

e) Sí ( ) ( )( ) 0≥−∫b

adxxgxf entonces

( ) ( )xgxf ≥ para todo [ ]bax ,∈ .

f) Sí ( ) ( )xGxF ′=′ para todo [ ]bax ,∈

entonces ( ) ( ) ( ) ( )aGbGaFbF −=− .

g) La función ( ) xx

senxxf cos+= es

integrable en [ ]ππ ,2

.

h) El valor de la integral 01

11

1 2=

−∫ dxx

.

i) La pendiente de la recta tangente a la

curva ( ) ( )∫ +=2

3

34ln

x

dttxg , en el plano

donde 3=x es ( )2ln28 .

I�� ( )( ) ( ) dx

xsenxsen

x∫ +

2

62

1

cosπ

π�

J�� ( )( ) ( ) dy

ysenysen

y∫ −+

π

0 22

cos3 �

K�� ( )dx

x

xarcsen∫

−

5.0

0 21

3 �

L�� ( ) dxx

x∫− +

1

1 421

��M�� dxx∫−

−1

2

21 �

N�� ( ) dxxx

∫+

9

1 2

1

1 �

O�� ( ) ( ) dxsenxLnx∫ +3

01cos

π ��

20) Sí ( ) ( )xgxf ≤ para todo [ ]bax ,∈

entonces i) ( ) ( )∫∫ ≤ b

a

b

adxxgdxxf

ii) ( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

adxxgdxxf

21) Dada una función g, continua para

todo x, tal que ( ) 51 =g e ( ) 21

0=∫ dttg .

Si ( ) ( ) ( )∫ −=x

dttgtxxf0

2

2

1, demostrar

que: ( ) ( ) ( )∫∫ −=′xx

dttgtdttgxxf00

,

y calcular ( )1f ′′ y ( )1f ′′′ .

22) Encontrar una función f y un valor de la

constante c, tal que:

( ) ( ) ( ) 2

0 2

1cos xxxxsendttft

x

−−=∫ para

todo x real.

22) Calcule las siguientes integrales definidas:

( ) ∫∫ ∫

∫∫∫π

−

−−

−−+

+−

++−+

4

0 2

4

1

1

0

1

0

1

1

3

3

111

3

1

13

dx)x(sen

)x(tg)fdyy.y)edx

x

x)d

xx

dx)cdxxx)bdxx)a


2007

38

AUTOEVALUACION Nº 2

1) Usando la definición, calcule ∫ −+4

0

2 )6( dxxx . ¿ El valor de esta integral representa el

área de la región limitada por la gráfica de f (x) = x2 + x –6 y las rectas x = 0, x = 4, y = 0 ?

2) Calcule las siguientes integrales:

∫∫∫ ∫ −−+

+− 4

4

2

0

2

1

0

2

2

121

41

2π

πdxxtagxddxxxxcdx

x

xLnbdx

x

xarctgxa )()..)

)()

)()

3) Halle el polinomio P de grado 2 tal que P(1) = P(0) = 0 y ∫ =1

01)( dxxp .

4) Decida si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su

respuesta.

1. Si ∫ =a

adxxf 0)( entonces f (a) = 0.

2. Si ∫ ≥b

adxxf 0)( entonces f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].

3. Si F'(x) = f (x) para todo x ∈ [a, b] entonces ∫ =b

abFdxxf )()( .

4. Si f y g son funciones continuas en [a, b ] entonces h(x) = )(

)(

xg

xf es integrable

en [a, b ].

5. Si f es una función impar y continua en [ ]a,a− entonces ( ) b.a.dx)x(fba

a2−=+∫

−

6. El valor de dxx∫ −

1

1 1

1 es cero.

7. Si F esta definida por ( ) ∫=)x(sen

dt)t(arcsenxF4

, entonces )xcos(.x)x´(F = .

8. La función F definida por F(x)=sec(x) es integrable en [ ]π,0 .

5) La temperatura diaria en grado Fahrenheit en cierta ciudad, t meses después del

15 de Julio, viene dada por:

+=

61861

ttT

πcos)( . Encuentre la temperatura

promedio entre el 15 de septiembre y el 15 de diciembre.

6) Sea f es una función continua en [ ]b,a y P una partición de [ ]b,a . Si con la misma

partición P se calculan la suma superior S( f , p ) , la suma inferior s( f , P ) y una suma

intermedia cualquiera SP( f, p) . ¿ Que relación existe entre estas sumas ?

Documents

Guia 2 Integral Definida