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SUPERFICIES CUADRICAS
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SUPERFICIES CUADRICAS
En el espacio una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en las variables x , y , z. la forma general de esta ecuación es:
0222 JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx
Donde A ,B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes o números reales.
Las superficies que se estudiaran, son aquellas en las cuales los coeficientes de
los productos cruzados son iguales a cero. Es decir D = E = F = 0 , siendo la
ecuación de segundo grado de la forma:
0222 JIzHyGxCzByAx
La traza de la superficie en el plano es la intersección de estas dos graficas de
superficies. Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una
circunferencia de radio “r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al plano. Esto se cumplirá si las dos superficies se interceptan entre si pero no son
tangentes.
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.
SUPERFICIES CUADRICAS
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Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos
planos paralelos a estos.
Las trazas en cada uno de los planos coordenados de una superficie cuádrica
son secciones cónicas , las cuales se estudiaron en el calculo uno ( Circunferencia, parábola , elipse , hipérbola )
Existen seis tipos básicos de superficies cuádricas : ELIPSOIDE ,
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA , HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS , CONO ELÍPTICO , PARABOLOIDE ELÍPTICO , PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.
Examinemos cada uno de ellos.
1. EL ELIPSOIDE: Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos cuadráticos presenten igual signo pero valores diferentes. Es importante señalar que además de esta condición se hace necesario el estudio del término independiente que se realiza despejándolo. Si el término independiente es nulo entonces la ecuación representaría un punto en el espacio, en cambio si este es diferente de cero se debe observar que una vez despejado presente el mismo signo que los términos cuadráticos ya que en caso contrario la ecuación no representaría lugar geométrico alguno. SU ECUACION GENERAL ES:
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
La elipsoide corta a los ejes coordenados en los puntos ( a , 0 , 0 ) ; ( 0 , b , 0
) ; ( 0 , 0 , c ) .
SUPERFICIES CUADRICAS
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Su grafica se encuentra dentro de una caja rectangular definida por las
desigualdades czbyax ;; la grafica es simétrica con respecto a
cada uno de los planos coordenados porque las variables de la ecuación que la definen están elevadas al cuadrado.
Para dibujar la elipsoide a la ecuación general se le hace el siguiente análisis.
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
En la ecuación
original haciendo la variable
Se obtiene la
ecuación en dos variables
Que corresponde a
una cónica llamada
Cuya grafica es
paralela al plano
z = 0 12
2
2
2
b
y
a
x
Elipse XY
x = 0 12
2
2
2
c
z
b
y
Elipse YZ
y = 0 12
2
2
2
c
z
a
x
Elipse XZ
Si a = b = c y son diferentes de cero , la expresión representa una esfera.
SUPERFICIES CUADRICAS
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2. PARABOLIODE ELIPTICO. Su ecuación
general es:
02
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Es simétrico a los planos x = 0 , y = 0. la única intersección sobre los ejes es el origen. Excepto
por ese punto. La superficie se halla totalmente arriba o totalmente abajo del plano XY,
dependiendo del signo de c. Para graficarla se hace el siguiente análisis.
SUPERFICIES CUADRICAS
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En la ecuación
original haciendo la variable
Se obtiene la
ecuación en dos variables
Que corresponde a
una cónica llamada
Cuya grafica es
paralela al plano
z = c 12
2
2
2
b
y
a
x
Elipse XY
x = 0
c
z
b
y
2
2
Parábola YZ
y = 0
c
z
a
x
2
2
Parábola XZ
El eje de la parábola corresponde al a variable elevada a la
potencia uno.
Si a = b , se obtiene un paraboloide circular.
SUPERFICIES CUADRICAS
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3. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA. Su ecuación general es:
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Es simétrico respecto a cada uno de los tres planos coordenados.
Las secciones cortadas por los tres planos
coordenados son:
En la ecuación original haciendo
la variable
Se obtiene la ecuación en dos
variables
Que corresponde a una cónica
llamada
Cuya grafica es paralela al plano
z = 0 12
2
2
2
b
y
a
x
Elipse XY
x = 0 12
2
2
2
c
z
b
y
Hipérbola YZ
y = 0 12
2
2
2
c
z
a
x
Hipérbola XZ
SUPERFICIES CUADRICAS
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4. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS : Su ecuación general es
12
2
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z
Es simétrico respecto a los tres ejes coordenados.
SUPERFICIES CUADRICAS
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Las secciones son:
En la ecuación original haciendo
la variable
Se obtiene la ecuación en dos
variables
Que corresponde a una cónica
llamada
Cuya grafica es paralela al plano
z = 0 12
2
2
2
b
y
a
x
Elipse XY
x = 0 12
2
2
2
b
y
c
z
Hipérbola YZ
y = 0 12
2
2
2
a
x
c
z
Hipérbola XZ
SUPERFICIES CUADRICAS
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5. CONO ELEIPTICO. Su ecuación general
es:
02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
En la ecuación original haciendo
la variable
Se obtiene la ecuación en dos
variables
Que corresponde a una cónica
llamada
Cuya grafica es paralela al plano
z = kc 2
2
2
2
2
kb
y
a
x
Elipse XY
z = 0 0,0,0 Punto
x = 0 yb
cz
Recta YZ
y = 0 xa
cz
Recta XZ
Si a = b , se obtiene un cono circular recto.
SUPERFICIES CUADRICAS
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6. PARABOLOIDE HIPERBOLICO. Su ecuación general es:
2
2
2
2
a
x
b
y
c
z
tiene simetría respecto a los planos x = 0 , y = 0 .
En la ecuación
original haciendo la variable
Se obtiene la
ecuación en dos variables
Que corresponde a
una cónica llamada
Cuya grafica es
paralela al plano
X = 0 2
2y
b
cz
Parábola YZ
y = 0 2
2x
a
cz
Parábola XZ
Z= c 12
2
2
2
a
x
b
y
Hipérbola z = c
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SUPERFICIES CUADRICAS
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ACTIVIDAD.
IDENTIFICAR LAS SIGUIENTES SUPERFICIES CUADRICAS.
1. 036363216916 222 yxzyx
2. 084 222 xzyx
3. 0363649 222 zyx
4. 01616116 222 zyx
5. 091661644 222 zyxzyx
6. 01849 22 xzy