GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS II

TURNO MATUTINO

ELABORO: ACADEMIA DE MATEMATICAS

1

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO

CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2

LIC: JESÚS REYES HEROLES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.

GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS II

ABRIL, 2015

Propósito:

La asignatura de Matemáticas II, tiene como propósito introducirte en el estudio de la Geometría, Trigonometría, Estadística y Probabilidad; lo cual te ayudará a visualizar y analizar geométrica y estadísticamente los problemas que se

presentan en tu entorno, así como en la construcción de modelos matemáticos para su estudio y posible solución. Desde el

punto de vista práctico, la Geometría y la Trigonometría te proporcionan herramientas útiles para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde una o ambas perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales

representaciones; por otro lado la Estadística y Probabilidad te servirán para analizar y comprender el comportamiento de

cierta información. De esta forma, posibilita que apliques dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física I y en el estudio del la Geometría Analítica del tercer semestre, así como del Cálculo Diferencial e Integral,

del V y VI semestres.

Competencias a desarrollar:

1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,

geométricos, y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.-Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales. 4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante

el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su

comportamiento. 6.- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades

físicas de los objetos que los rodean.

7.- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

TEMARIO

BLOQUE I: UTILIZAS TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS.

En el Bloque I identificarás los diferentes tipos de ángulos y triángulos, y ubicarás sus características en contextos de tu

comunidad; asimismo, podrás resolver ejercicios en torno a la aplicación de la suma de ángulos de los triángulos.

Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos.

Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad.

Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un

triángulo.

1.- Investigar los siguientes conceptos:

a) Angulo b) Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida (agudo, recto, obtuso, llano, entrante y perigonal)

c) Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios.

d) Ángulos: paralelas, perpendiculares, oblicuas y opuestos por el vértice.

2

e) Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante (correspondientes, alternos internos, alternos internos,

colaterales internos, colaterales externos y colineales).

2.- Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 23° b) 44° 24’ c) 68° 33’ 12’’ d) 82° 59’’

3.- Hallar los suplementarios de los siguientes ángulos:

a) 93° b) 19° 18’ c) 123° 47’ 33’’ d) 157° 36’’

4.- Obtener el valor de x y del ángulo que se te pide:

K N A

B

a b g h j

O P O C

Si <KON = 2x, Si <a = 2x + 15° Si: <AOB = x + 70°, Si: <g = 2x,

<NOP = 3x + 40° <b = 6x +5° <BOC = x <h = 3x, <j = 4x.

hallar x, <KON, obtener: x, <a, b. Obtener x, <g,

<NOP. <h, <j.

A B a g p j

d b i

O c m t

C D z n

Si: <AOC = x , Si: <c = 5 + 4m Si: <g = 3x + 50° Si: <j = 3x + 10°

<AOD = 2x + 15 <d = 6m – 10 <p= 4x+30° <z=2x+20°

Hallar x, <AOC, Obtener: m, <a, Hallar: x, <p Obtener: x, <j,<z

>AOD <b, <c, <d. <g, <m, <t. <i, <n. 5.- Investigar los siguientes conceptos.

a) Triángulo.

b) Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados (equilátero, isósceles y escaleno) y a la medida de sus ángulos (acutángulo, obtusángulo y rectángulo).

c) Perímetro y área del triángulo (formulas).

d) Teorema de la suma de los ángulos interiores del triángulo y ángulos exteriores.

6.- Resolver los siguientes ejercicios, aplicando los teoremas de triángulos, obtener los valores que se te piden. A Si <A = 3x x Calcular:<e A Calcular: x

<B = 5x y <x, <y, <a, <b. <A y <B.

<C = 4x Obtener <A, <B, <C.

C B a c b d

e C B

si <c = 97°, <d = 135° Si <A = 6x/2 y <B = 6x/3

7.- Mediante la fórmula de Herón de Alejandría determinar las áreas de los siguientes triángulos:

a) a = 4cm b = 5cm c = 6cm

b) a = 310cm b = 276cm c = 187cm c) a = 26.64mm b = 37.40mm c = 50.22mm

Fórmula de Herón de Alejandría: csbsassA conde s es el semiperímetro del triángulo, o sea que:

2

cbas

3

BLOQUE II: COMPRENDES LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

En el Bloque II aplicarás el criterio de congruencia de los triángulos y argumentarás su uso. Utilizas los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí.

Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia.

Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.

I. Investigar los criterios de congruencia de los triángulos. a) Lado, lado, lado.

b) Lado, ángulo, lado.

c) Ángulo, lado, ángulo.

II. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los criterios de congruencia.

J A 29

35

B d

E 4y+3

F G H I

C 5x-6

Si FG= 2x+18° Si <A= 7x-2 obtener

HI= 6x, FJ= 8x + 11 <C = 8y-3 el valor de x y y

JI = 9y-2 <d=3x+2

Obtener x y y <e= 4y-3

Obtener x y y

BLOQUE III: RESUELVES PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS

En el Bloque III resolverás ejercicios o problemas de tu entorno aplicando los teoremas de Tales y Pitágoras.

Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza. Aplica los teoremas de Tales y de Pitágoras.

Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando el teorema de Tales y Pitágoras.

I. Investigar los criterios de semejanza de triángulos.

a) Caso ángulo, ángulo, ángulo.

b) Caso: lado, ángulo, lado. c) Caso: lado, lado, lado.

II. Investigar en qué consiste el teorema de Tales.

III. Investigar el teorema de Pitágoras. IV. Determinar el valor de x, aplicando los criterios de semejanza.

R H F

15

T

I T

20

U 12 W x V F J G W O P Si: FG = 20, JG = 12, FI = x, IH = 10 Si: FT = 7, TP = 9, OT = x

WF = 5𝑥−3

2

V. Calcular el valor de x y de y en los siguientes triángulos semejantes:

4

15 10 8 10 x 15 24 12

4 x 12 y+3 x-2 4

y

6 y 20

VI. Problemas de triángulos semejantes:

a) Hallar la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4.5m, al mismo tiempo que un poste de 5m proyecta una sombra de 3m.

b) La sombra que proyecta un edificio es de 16.25m al mismo tiempo que la de un poste de 10m de altura es de 7m.

Encuentre la altura del edificio. c) La sombra de un arbusto de 123cm de altura es de 75cm; en ese momento de un árbol proyecta una sombra de

24m. ¿Cuál es su altura?

VII. Problemas aplicando el teorema de Pitágoras: Considera los valores de acuerdo al triángulo rectángulo.

a) Encuentra la hipotenusa dados los valores de los catetos. a c

i. a = 6cm b = 7cm ii. a = 4.6cm b = 7.3cm

b) Encuentra uno de los catetos dados los valores de un cateto y la hipotenusa. b

i. c = 10cm b = 8cm

ii. a = 3.24cm c = 5.31cm c) Calcular la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 30cm y cada uno de sus lados iguales mide 17cm.

d) ¿cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 7cm por lado?

e) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si la diagonal mide 8.5cm? f) Hallar la longitud del segmento x marcado en la figura correspondiente.

Figura f-1 Figura f-2 Figura f-3 B H 9

AB = x

8

15 23 23 x 8

11 13

M J P -------------14---------- Si: MP = 20, HJ = x

A

BLOQUE IV: RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS.

El Bloque IV aplicarás los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas.

Reconoce polígonos por el número de sus lados y por su forma. Aplica los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas.

I. Investigar los siguientes conceptos: a) Clasificación de los polígonos de acuerdo al número de lados, equiláteros, equiángulos, convexo, cóncavo, regular

e irregular.

b) Sus elementos de los polígonos: radio, apotema y diagonales.

c) Área y perímetro de los polígonos (fórmulas, elaborar un formulario para estudiarlo). d) Formulas para obtener la medida de los ángulos: interiores, exteriores, central y número de diagonales totales y

desde un vértice.

II. Resuelve los siguientes problemas relativos a ángulos interiores, exteriores, central y las diagonales de un polígono.

5

a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores, cuánto mide un ángulo interior y exterior, así como cuántas diagonales tiene un

polígonos regular de 16 lados? b) ¿Cuánto mide un ángulo interior y exterior de un octágono regular?

c) ¿Cuál es el polígono cuya suma de los ángulos interiores es de 1980°?

d) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 2880°. ¿Cuál es el polígono?

e) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 156°? f) ¿Cuál es el polígono que se pueden trazar 135 diagonales?

g) Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular de 19 lados.

h) Si un polígono regular uno de sus ángulos interiores mide 160°, ¿cuál es el polígono y cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono.

III. Problemas de polígonos relativos a perímetro y área.

a) Calcular el área de un hexágono regular sabiendo que su apotema es igual a cm35 , y cada uno de sus lados mide

12cm. b) Calcular el área de un eneágono regular si su radio mide 25cm y su apotema 10cm.

c) Si el área de un pentágono regular es de 1453 centímetros cuadrados y su apotema vale 20 cm, ¿qué valor tiene cada

lado?

d) En un polígono regular, el perímetro es igual a 327 , y cada uno de sus lados vale 33 , ¿cuál es el número de lados

de ese polígono?

BLOQUE V: RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA.

En el Bloque V emplearás las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas.

Asimismo, resolverás ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia.

Reconoce y distingue los diferentes tipos de rectas, segmentos y ángulos asociados a la circunferencia. Emplea las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco, secantes y

tangentes en la resolución de problemas.

Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia.

I. Investigar los siguientes conceptos: a) Círculo y circunferencia.

b) Sus elementos: radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante.

c) Ángulos: central, inscrito, semi-inscrito, externo e interno.

d) Área y perímetro.

II. Obtener el valor de los siguientes ángulos en las diversas circunferencias.

B B q

A M A C D O

O

N

C D C A B P

Fig. 1 fig.2 fig. 3 fig. 4

Si el arco CD= 70° Si el arco AB = 2x, Si el arco PN = 120° Si los arcos CD = 39° y

y <COD= 60° el arco BC = 3x, y el arco MN = 70° AB = 137° Hallar el arco AB el arco CA = 4x. Determinar <O Calcular: <q, <ACB, <CBD

Hallar: x, <A, y <AOB

<B, <C.

III. Resuelve los siguientes ejercicios sobre longitud de la circunferencia y área del círculo.

A.- Determinar la longitud de la circunferencia y el área del círculo, si su diámetro es de 15 cm.

B.- Si la circunferencia es de longitud 27 cm., determinar su radio y su área.

6

C.- Si el área del un círculo es de 2.420 m , determinar el valor de su radio y la longitud de la circunferencia.

D.- En las figuras siguientes calcular las áreas sombreadas.

23

mm

40mm Medida del rectángulo: -------27mm------

Circulo A: diámetro 16mm. 36mmde largo por 25mm Circulo B: diámetro 10 mm. de ancho.

BLOQUE VI: DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

En el Bloque VI identificarás diferentes sistemas de medida de ángulos, y describirás las razones trigonométricas

para ángulos agudos. Finalmente, aplicarás las razones trigonométricas en ejercicios teórico – prácticos.

En este bloque debes:

Describir las razones trigonométricas.

Identificar diferentes sistemas de medidas de ángulos.

Aplicar las razones trigonométricas en ejercicios teórico-prácticos

La trigonometría estudia la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

Unidades de medida de ángulos: La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir la circunferencia en 360 ángulos centrales

iguales en donde cada uno es 1/360 = 1°, por lo que la circunferencia es igual a 360° . Este sistema de medida de los

ángulos se llama sexagesimal. En éste sistema 1° = 60 minutos y un minuto es igual a 60 segundos, es decir:

1° = 60’ y 1’ = 60’’. Otra unidad de medida angular es el radian que se define como la medida de un ángulo central

en donde la longitud del arco comprendido entre sus lados es igual a la longitud de los radios que lo forman, asi:

1 Rad = 180/π = 57.3° aprox. y 1°=π/180 rad = 0.0175 rad aprox.

Dado el triángulo rectángulo ABC, establecer las funciones trigonométricas del ángulo A y del ángulo B:

B

a c

C A A

Conversión de ángulos en grados sexagesimales a radianes y viceversa Estudia con atención los ejemplos siguientes sobre la conversión de medidas angulares (de grados sexagesimales a

radianes y viceversa):

Ejemplos:

90° = 90𝜋

180=

90𝜋

180=

𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

180° = 180 ∗𝜋

180=

180𝜋

180= 𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝜋

3𝑟𝑎𝑑 =

𝜋

3∗

180

𝜋=

180

3= 60°

7𝜋

6𝑟𝑎𝑑 =

7𝜋

6∗

180

𝜋=

1260

6= 210°

A B

b

Sen A = a/c Tan A = Sen B = Tan B =

Cos A= Ctg A = Cos B = Ctg B =

Tan A= Sec A = Tan B = b/a Sec B =

7

12

15

c

C

B

A

Realizando los cálculos necesarios, completa la siguiente tabla:

N° Medida en grados

sexagesimales

Medida en

radianes

1. 15°

2. 𝝅

𝟔𝒓𝒂𝒅

3. 𝝅

𝟒𝒓𝒂𝒅

4. 60°

5. 120°

6. 𝟑𝝅

𝟓𝒓𝒂𝒅

7. 𝟑𝒓𝒂𝒅

8. 150°

9. 180°

10. 240°

a). Calcula el valor de la hipotenusa y de las funciones trigonométricas directas y recíprocas del ángulo

B en el siguiente triangulo rectángulo:

N° Función directa Función recíproca

1 Sen B = 𝟏𝟓

Csc B =

2 Cos B = 𝟏𝟐

Sec B =

3 Tan B = 𝟏𝟐

Ctg B =

b) En un triángulo rectángulo la tangente del ángulo agudo A es 𝟑

𝟒, encuentra el valor de las cinco

funciones trigonométricas restantes del ángulo A:

N° Función directa Función recíproca

1 Sen A =

Csc A =

2 Cos A =

Sec A =

3 Tan A = 𝟑

𝟒

Ctg A =

8

X

Y P(a, b)

c b

a

α

BLOQUE VII: APLICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

En el Bloque VII interpretarás y aplicarás las funciones trigonométricas en el plano cartesiano, así como en el círculo

unitario.

En este bloque debes:

Identificar e interpretar las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.

Reconocer las funciones trigonométricas en el círculo unitario.

Aplicar las funciones trigonométricas.

Una manera conveniente de representar un ángulo consiste en colocar su vértice en el origen de los ejes

coordenados, el lado inicial en el eje positivo de las "x" y el punto P(a, b) determinaría la posición del lado

terminal.

El ángulo de referencia es aquel que forma el lado terminal con el eje de las "x", sin importar el cuadrante en el que

se ubique. Para comprender mejor estas ideas, ubica los siguientes puntos en el plano utilizando tus escuadras. Una

vez realizado lo anterior, traza un segmento de recta del punto al origen e indica el ángulo de referencia:

Los signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano son como se muestran en la siguiente tabla:

A (2,3)

B (-3.2)

C (-4,-4)

D (2,-3)

9

P(-5, 12)

12

-5

A

Y

- X

c

α

8

6

c

X

Y

P(6, 8)

Ejemplo 1: Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo A, cuyo lado terminal está en el

segundo cuadrante y su tangente es −12

5. La tan A es negativa entonces al ángulo A está en el 2° cuadrante. Utiliza

el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado terminal (que equivale a la hipotenusa del triángulo).

a) Si el lado final de un ángulo pasa por P, cuyas coordenadas son (6, 8) como lo muestra la siguiente figura,

determina los valores de las razones trigonométricas del ángulo α.

Sen α = Ctg α =

Cos α = Sec α =

Tan α = Csc α =

10

X

P(√2

2,

√2

2)

45°

Y

b) Si el lado final de un ángulo pasa por P, cuyas coordenadas son (√2

2,

√2

2) 8) como lo muestra la siguiente

figura, determina los valores de las razones trigonométricas del ángulo 45°.

c). Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas seno y cosecante.

R:_______________________________________________

d). Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas coseno y secante.

R:_______________________________________________

e). Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas tangente y cotangente

R:_______________________________________________

BLOQUE VIII: APLICAS LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS.

En el Bloque VIII aplicarás las leyes de los senos y cosenos.

LEY DE SENOS Y COSENOS.

Para la aplicación de la LEY DE LOS SENOS y la LEY DE LOS COSENOS se debe tener en cuenta que

un triángulo que no tiene ángulo recto es oblicuángulo y puede ser triángulo acutángulo si tiene sus ángulos

interiores agudos y triangulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso. Obtener los elementos del triángulo es lo que se

llama resolver el triángulo.

Aplicación de la LEY DE LOS SENOS

La le de los senos permite resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:

Un lado y dos ángulos.

Dos lados y el ángulo opuesto a cualquiera de ellos.

Ley de los Senos: En cualquier triángulo oblicuángulo ABC de lados a, b, c, las longitudes de los lados

son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir:

Sen α = Ctg α =

Cos α = Sec α =

Tan α = Csc α =

11

112° a = 20

43°

C

A B c

b

a = 21 b =12

28°

c

C

A B

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶

Ejemplo: Obtener el ángulo y los lados que faltan del siguiente triángulo:

a) Obtener los elementos que faltan en el siguiente triángulo oblicuángulo:

<A =___________

< B =__________

c = _________

20

𝑠𝑒𝑛 43=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 25, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

Para obtener el < B = 180- (112+ 43)

<B = 25°

Para obtener el lado b:

b = 20 𝑠𝑒𝑛 25

𝑠𝑒𝑛 43 = 12.4

Para obtener c:

20

𝑠𝑒𝑛 43=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 112, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

c = 20 𝑠𝑒𝑛 112

𝑠𝑒𝑛 43 = 27.2

12

LEY DE LOS COSENOS.

La ley de cosenos permite resolver triángulos oblicuángulos que no es posible resolver con la Ley de Senos.

Cuando se conocen:

a) Los tres lados.

b) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente triángulo:

a) Mediante las leyes de SENOS o de COSENOS, según sea el caso, encuentra la medida de los

ángulos y de los lados desconocidos de cada triángulo ABC, si se sabe que:

1). < A = 52.4°, b = 100m, c = 120 m . <B = __________ < C = ___________ c = _____________

2) <A = 48°, < C = 57°, b = 47 m. <B = __________ a = ___________ c = ____________

3). a = 10 m, b = 9 m, c = 6 m <A = ____________ <B = ________ < C = _________

4). < B = 18°, a = 8 m, c = 12 m, < A = ____________ < C = ________ b = _________

5) < A = 76°, b = 10 m, c = 24 m < B = ___________ < C = ________ a = _________

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐶

Ley de senos.

En todo triángulo oblicuángulo ABC, de lados a, b, c, se cumple que:

120°

5

a

6

C

B A

Solución:

Sustituyendo los valores de b, c y <A:

𝑎2 = 52 + 62 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 120° Efectuando operaciones:

a2 = 25 + 36 -60(-0.5)

a = 9.5

13

BLOQUE IX: APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL.

En el Bloque IX identificarás el significado de población y muestra, además de reconocer y aplicar los conceptos de

medidas de tendencia central y de dispersión.

En este bloque IX estudiarás la estadística descriptiva, que en su función básica de reducir datos, propone una serie

de indicadores que permiten tener una percepción rápida de lo que ocurre en un fenómeno, para ésto nos

enfocaremos principalmente en dos temas:

● Medidas de Tendencia Central

● Medidas de Dispersión

Los datos o valores que tendrás que analizar se presentarán en dos formas pueden no estar agrupados, es decir,

estarán sin ningún orden o acomodo especifico; y en forma de datos agrupados, los cuales generalmente se

concentran en tablas y deberás de aprender a interpretar.

La primera gama de indicadores corresponde a las "Medidas de Tendencia Central". Existen varios procedimientos

para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media

aritmética, la moda y la mediana. Estas medidas tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor

representativo de la información que estés tratando para poder inferir e interpretar las características principales de la

información que se esté manejando.

El segundo grupo de indicadores serán "Las medidas de Dispersión" que nos dicen hasta qué punto estas medidas de

tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la

separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos

entre medidas de dispersión el rango, Varianza y Desviación Estándar.

La estadística es la rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos; ayuda a

resolver problemas como el diseño de experimentos y toma de decisiones.

Investiga los siguientes conceptos y redactalos con tus propias palabras, de acuerdo con lo que hayas.

Estadística Media Mediana Moda Datos Agrupados Datos no agrupados Tablas de frecuencia

Medidas de tendencia central

Son indicadores estadísticos que muestran hacia qué valor (o valores) se agrupan los datos. Esta primera parte la

dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central:

● La media aritmética

● La moda

● La mediana

La Media Aritmética

Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muéstrales de datos

poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la

población, este indicador será μ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será X

Media aritmética (μ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre

el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.

Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos: sin agruparlos o agrupándolos en tablas

de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética.

A) Media aritmética para datos no agrupados

Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos:

Apliquemos esta fórmula para resolver el siguiente caso.

El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase.

Las notas de los alumnos son:

3.2 3.1 2.4 4.0 3.5 3.0 3.5 3.8 4.2 4.0

¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase? Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos:

Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase

(10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.

Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media

BLOQUE X: EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD.

Lo aprendido en el Bloque X te permitirá distinguir entre eventos deterministas y aleatorios, utilizando las leyes

aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

14

En la vida cotidiana, por ejemplo cuando lanzas una moneda al aire en un "volado" con los amigos, o cuando tiras un

par de dados en un juego, cuando sacas una baraja al azar, cuando metes la mano en una ánfora para sacar un boleto

para una rifa o cuando lanzas un dardo esperando dar en el centro, etc. tienen que ver con probabilidades y

estadísticas, o en otras palabras, todos aquellos eventos en los que existan elementos aleatorios, al azar, basados en

información previa que señale patrones y similitudes que permitan predecir un suceso o resultado.

Estas dos disciplinas de las matemáticas, están íntimamente ligadas entre sí.

La probabilidad es una parte de las matemáticas que más aplicaciones en la vida cotidiana tiene y,por lo tanto, es

necesario reconocer que no sólo se trata de números , sino que también cuenta con características y propiedades que

te permitirán interpretar diversos sucesos cotidianos.

Eventos deterministas y aleatorios

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos

con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre

una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, entre

otros); aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como

aleatorios.

Experimentos o fenómenos aleatorios: son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible

enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Suceso aleatorio: es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso, entonces los

resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en

el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay

que hacer la observación de que esta definición habla en términos generales y no específicamente sobre un

experimento.

En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento determinístico porque para que suceda no

depende del azar.

Existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen

otros que nunca suceden. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos

imposibles pero a ambos se les puede reconocer como eventos determinísticos.

Menciona 5 ejemplos de eventos probabilísticos y 5 eventos determinísticos.

Espacio Muestral

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante

lo designaremos por E.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM= {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las

variables.

A aquella variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina variable aleatoria. Cuando

hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se pueden dar varios casos. Si dos o más eventos no

pueden ocurrir simultáneamente, se llaman eventos mutuamente excluyentes, es decir, ocurre el primero o el

segundo pero no los dos al mismo tiempo.

Por otro lado, en ocasiones un evento o más eventos dependen de otro previo, es decir, un evento A ocurre dado que

ocurrió un evento B. Si existe este tipo de relación entre eventos se dice que son eventos dependientes o

condicionados (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A está condicionado al resultado del

evento B). Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes.

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