Guía para la Presentación de Resultados en

Laboratorios DocentesProf. Norge Cruz Hernández

http://www.personal.us.es/norge/

Bibliografía

Bibliografía:An introduction to uncertainty in measurement using the GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). Autores: Les Kirkup y Bob Frenkel. Disponible en la Biblioteca de la Escuela Politécnica de la Universidad de Sevilla.

Bibliografía empleada en la elaboración de este material:- Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes.

Octubre de 2012.- Documentación adicional en:

http://www.personal.us.es/norge/

Los experimentos de física en los laboratorios están dirigidos a determinar el valor de alguna magnitud física o de parámetros de alguna ley física. Para ello se miden una, o varias veces magnitudes que son sometidos luego a un procesamiento matemático, que en algunos casos pueden incluir algún gráfico.

En este procesamiento resulta de tanta importancia el cálculo del valor de interés como la incertidumbre con la cual se determina el primero. Este valor no negativo llamado incertidumbre indica cuanto de confiable es nuestro experimento.

Centraremos nuestro interés en los elementos que intervienen en la medición (directa o indirecta) de una magnitud, así como en la determinación de su incertidumbre.

Al medir la masa de una manzana lo que hacemos es comparar su masa desconocida con la de un cuerpo conocido.

Vamos a suponer que medimos una magnitud usando un instrumento de laboratorio.

Magnitud: Propiedad de un fenómeno, cuerpo o sustancia, que puede expresarse cuantitativamente mediante un número y una referencia (habitualmente una unidad de medida).

Definición de errores

Error aleatorio: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas, varía de manera impredecible.

Error sistemático: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas permanece constante o varía de manera predecible.

Corrección: Compensación de un efecto sistemático estimado. Puede ser: aditiva, multiplicativa, o deducirse de una tabla.

Medición directa

Error sistemático: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas permanece constante o varía de manera predecible.

Definición de errores

Error absoluto: Si al medir una magnitud, se encuentra una magnitud distinta a la reportada como referencia, a la diferencia se denomina error absoluto. El error absoluto puede ser positivo o negativo y tiene las mismas dimensiones que la magnitud que se mide.

().

MMa

M M

Nunca podemos conocer su valor !!!!

Definición de errores

Error relativo: Se define como:

().

Ma

r

M M

nos ofrece mayor idea de la dimensión del error absoluto, al compararlo con el valor de la magnitud medida.

exactitud y precisión

Exactitud: Proximidad entre el valor medio y el valor verdadero de una medida.

Precisión: Proximidad entre las indicaciones o los valores medidos obtenidos en mediciones repetidas de un mismo objeto, o de objetos similares bajo condiciones especificadas.

Poco exacto y poco preciso Muy exacto pero poco preciso

Muy preciso pero poco exacto Muy exacto y muy preciso

Incertidumbre de medida

¿Qué valor tiene el diámetro de esta esfera?

Podemos decir que su diámetro es mayor que 16 mm y menor que 17 mm.

Incertidumbre (uncertainty): Es un parámetro no negativo asociado al resultado de una medición, que caracteriza el intervalo de los valores que podrían ser atribuidos a una medida.

mmD )5,05,16(

incertidumbre

Intentaremos medir la distancia que hay desde el centro de la diana hasta el punto donde impacta el proyectil.

Repetimos el experimento muchas veces para reducir el error aleatorio.

n

iiRn

R1

1

valor medio de nuestras mediciones

n

ii RR

nnRu

1

2

1

1

desviación típica experimental de la medida

Incertidumbre típica: Incertidumbre del resultado de una medición, expresada en forma de desviación típica.

1nAnúmero de grados

de libertad

n

iiRn

R1

1

n

ii RR

nnRu

1

2

1

1

Incertidumbre típica relativa: Se llama así al valor: R

RuRur

Incertidumbre típica relativa: El número así calculado nos indica una forma de comparación porcentual del valor de la incertidumbre típica con el valor de la medida.

Clasificación de incertidumbres

Tipo A: Aquellas que se evalúan por métodos estadísticos. Están relacionadas con magnitudes estimadas a partir de un determinado número de observaciones repetidas e independientes, y como incertidumbre típica de dicha estimación se toma la desviación típica experimental de la medida.

Tipo B: Aquellas que se evalúan por otros medios. Están relacionadas con magnitudes cuyo método de estimación no ha sido a partir de observaciones repetidas.

resultados de mediciones anteriores

experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos utilizados

especificaciones del fabricante

incertidumbres asignadas a valores de referencias o constantes naturales procedentes de libros y manuales

resolución de un instrumento

Se le llama resolución a la mínima variación de la magnitud medida que da lugar a una variación perceptible de la indicación correspondiente.

La resolución de nuestro instrumento de medida es de:

mm1

2,

2 00

DDD

mmD 5,160

12

1DuB

Incertidumbre típica, tipo B, debido a la resolución del instrumento

20

DD

2

U

B número de grados de libertad

Instrumento para medir las dimensiones de un objeto.

Instrumento para medir las dimensiones de un objeto.

mm05,0

mm01,0

Instrumento para medir magnitudes relacionadas con la corriente eléctrica.

La menor lectura que puede tener el instrumento.

En muchos instrumentos de medición eléctrica, la incertidumbre típica viene dada por un manual, y dependiendo del valor que estemos midiendo.

12

1Vures

n

iiRn

R1

1

n

iiA RR

nnRu

1

2

1

1

mm1

12

1RuB

La incertidumbre típica asociada a la determinación de R se calcula como:

RuRuRu BA222

RuRuRu BA22

?¿ efecnúmero de grados

de libertad

Fórmula de Welch-Satterthwaite

B

B

A

A

efec

RuRuRu

444

B

B

A

Aefec RuRu

Ru

44

4

número de grados de libertad efectivos

incertidumbre expandida (incertidumbre) y factor de cobertura

Incertidumbre expandida (incertidumbre): Magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición, y en el que se espera encontrar una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser atribuidos razonablemente a la medición. Habitualmente a la incertidumbre expandida de la medida se le denota U(x).

RURR RURRURR ,

¿con que confiabilidad?

Factor de cobertura: Factor numérico utilizado como multiplicador de la incertidumbre típica combinada, para obtener la incertidumbre expandida.

RkuRU Se debe indicar la confiabilidad.

mmRn

Rn

ii 0,7

1

1

mmRRnn

Run

iiA 1,0

1

1

1

2

mmRuB 29,012

1

RuRuRu BA22

mmRu 31,0mmR 00,7

mmRuA 1,0

mmRuB 29,0

mmRu 31,0

mmR 00,7

91nA

B

831efec

B

B

A

Aefec RuRu

Ru

44

4

¿Cómo calculamos el valor del factor de cobertura?

RURR RkuRU

831efecAPÉNDICE I (t-Student)

Grados de libertad

p (%)

68,27 90 95 95,45 99 99,739 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077

1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

%95p 96,1k mmRU 61,0

Debemos expresar el resultado de la forma:

El valor de R ha sido (7,00±0,61)mm, con un factor de cobertura de k=1,96 que representa el 95% de confiabilidad.

mmRU 61,0

mmR 00,7

Valor de la magnitud y de su

incertidumbre

Objeto de la medición, o mensurando

Elementos que determinan el valor de una magnitud física y su incertidumbre.

Objeto de la medición

Instrumento de medición

Instrumento de medición: aquellos mediante los cuales se operan las mediciones directas (determinados por la magnitud a medir y las características del objeto de la medición).

Valor de la magnitud y de su

incertidumbre

Velocímetro con unidades en km/h y en millas/hora.

Objeto de la medición

Instrumento de medición

Equipos auxiliares

Equipos auxiliares: aquellos que forman el sistema experimental y aseguran su correcto funcionamiento para poder realizar la medición (soportes, cables, poleas, alambres conductores, conectores eléctricos, sistemas de lentes, etc…).

Valor de la magnitud y de su

incertidumbre

El objeto de medición es la corriente eléctrica a través de un circuito, el instrumento de medición es el polímetro, los instrumentos auxiliares son los cables del polímetro.

En este experimento los instrumentos auxiliares son todos los soportes del péndulo, para el que medimos el período de las oscilaciones y posteriormente un valor de la gravedad.

Objeto de la medición

Instrumento de medición

Equipos auxiliares

Condiciones externas

Condiciones externas: condiciones ajenas al sistema de medición, pero que influyen sobre él (temperatura, presión, humedad, iluminación, corrientes de aire, voltaje de la línea, radioactividad ambiental, etc.)

Valor de la magnitud y de su

incertidumbre

Objeto de la medición

Instrumento de medición

Equipos auxiliares

Condiciones externas

Observador: el experimentador/ora (grupo de experimentadores) que lleva a cabo los ajustes del sistema y hace las mediciones.

ObservadorValor de la magnitud y de su

incertidumbre

Objeto de la medición

Instrumento de medición

Equipos auxiliares

Condiciones externas

Gráficos: se construyen a partir de las mediciones directas realizadas y permiten calcular parámetros geométricos (pendientes e interceptos de rectas, potencias, constantes, puntos extremos, etc.) que determinan la magnitud de interés.

Observador

Gráficos

Valor de la magnitud y de su

incertidumbre

VR

I1

A partir del gráfico podemos obtener la pendiente de la recta, que es la inversa de la resistencia.

Objeto de la medición

Instrumento de medición

Equipos auxiliares

Condiciones externas

Observador

Gráficos

Medición directa

Medición indirecta

Valor de la magnitud y de su

incertidumbre

Medición directa

IncertidumbreTipo B

Error sistemático.

IncertidumbreTipo A

Puede ser corregido

Estadística- Valor medio.- Desviación típica de la

media.

Incertidumbre

xuxuxu BA22

Medición indirecta

Ecuaciones. nxxxfy ,...,, 21

Medición directa

Medición indirecta

Ecuaciones: se usan para calcular la magnitud de interés a partir de las magnitudes medidas directamente y de los parámetros gráficos que obtenemos de dichas mediciones.

Las ecuaciones no constituyen fuente de error (a menos que correspondan a una teoría o hipótesis falsa).

Medición indirecta

Ecuaciones

Incertidumbre típica combinada

Incertidumbre típica combinada: Incertidumbre típica del resultado de una medición, que se obtiene a partir de los valores de otras magnitudes.

nxxxfy ,...,, 21

n

ii

ic xu

x

fyu

1

2

2

Medición indirecta

Ecuaciones

Incertidumbre típica combinada

nxxxfy ,...,, 21

incertidumbre expandida (incertidumbre)

n

ii

ic xu

x

fyu

1

2

2

ykuyU yUyY

Fórmula de Welch-Satterthwaite

n

i i

ii

efec

xux

y

yu

1

4

4

Fórmula de

Welch-Satterthwaite

Ecuaciones nxxxfy ,...,, 21

1xu 2xu nxu

n

ii

ic xu

x

fyu

1

2

2

1x

2x

nx

n

i i

ii

efec

xuxy

yu

1

4

4

Medición indirecta

Ecuaciones

Incertidumbre típica combinada

nxxxfy ,...,, 21

n

ii

ic xu

x

fyu

1

2

2

ykuyU c

yUyY

n

i i

ii

efec

xuxy

yu

1

4

4

Fórmula de Welch-Satterthwaite

Tabla I.1 APÉNDICE I

efec %95pk

Número de cifras significativas: se define como el número de cifras con el que se expresa un resultado. Por ejemplo:

2,91 mm tiene tres cifras significativas

3,1416 tiene cinco cifras significativas

0.580 m tiene tres cifras significativas

2)02385,0821,9(s

m

Se ha realizado un experimento para medir la aceleración de la gravedad y el resultado ha sido:

La forma de expresar el resultado es INCORRECTO

La incertidumbre debe ser redondeada a DOS cifras significativas.

2024,0s

mgU

2)024,0821,9(s

m

incertidumbres

Representaciones Gráficas

Eje de abcisas(v. independiente)

Eje de ordenadas

(v. dependiente)

V (102 mV)

I (mA)

Identificación de los ejes

El origen no tiene porqué ser el (0,0)

Escalasencilla

1 2 3 4 5 6 7 812

13

14

15

16

17

¡Nunca!

Puntos distribuidos por toda la gráfica

Línea deajuste

La recta que buscamos es: y = m·x + b.m Pendienteb Ordenada en el origen

Se calculan de la siguiente manera: Teniendo los puntos (x1, y1), (x2, y2), etc.:

2

11

2

111

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnm

n

xmyb

n

ii

n

ii

11

n

ii

n

iii

xxn

bmxymu

1

2

1

2

2

Ajuste por mínimos cuadrados

n

ii

n

ii

n

iii

xxnn

xbmxy

bu

1

2

1

2

1

2

2

2nm

2nb

Coeficiente de correlación (r)Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.

Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).

2

11

2

2

11

2

111

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

yynxxn

yxyxnr

Si el coeficiente de correlación lineal es mayor o igual que 0.9 y menor que 1, siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que nosea 9, redondeándola en su caso:

r = 0,9996714 0,9997