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Desarrollo Guía preparación Prueba de Nivel
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Liceo Paula Jaraquemada Departamento de Matemática
1
Profesor: Camilo Castillo
Liceo Paula Jaraquemada Departamento de Matemática
2
OBJETIVO:
Que las alumnas puedan comprobar, resolver y operar ejercicios
propuestos en la guía de preparación de la prueba de nivel.
¿Están listas chicas?
COMENZEMOS !!!!
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3
Estamos frente a una
multiplicación de dos
binomios con un
TÉRMINO EN
COMÚN
PRODUCTOS NOTABLES
EJERCICIOS
Recuerda:
¿Cómo hacerlo?
Formaremos una expresión de 3
elementos
EN LA EXPRESIÓN
El término común es
Los términos no comunes son
Donde está M, tomaremos el término común y lo elevaremos al cuadrado:
Donde está N, sumaremos (según corresponda sus signos) los términos No
comunes (1 y 2) y los multiplicaremos con el término común (x):
Finalmente, en O multiplicaremos los términos no comunes:
OPERANDO, tenemos
Luego
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4
1)
Entonces como ya vimos nos queda:
=
=
2)
Notemos que “a” término común y (1 y 8) términos No comunes
=
=
3)
Notemos que “2x” término común y (5 y 3) términos No comunes
=
=
=
4)
Tenemos “3a” término común y (2y y 5y) términos No comunes
=
=
=
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5
Recuerda:
¿Cómo Resolverlo?
Tenemos un número que será el término en común
en este caso es “x”
Tenemos un término que se repite “a” uno es positivo y otro negativo
SOLUCIÓN:
Formará dos términos POR REGLA SIEMPRE IRÁ UN MENOS
TENEMOS QUE:
En M irá el término común al cuadrado:
Y en N ponga el término que queda y elévelo al cuadrado:
Luego
5)
Tenemos: “x” término común y el otro término es (4), entonces
= .
6)
Tenemos “x” término común y el otro término es (6), entonces
=
7)
Tenemos “2k” término común y el otro término es (5), entonces
=
Estamos frente
a una SUMA
POR SU
DIFERENCIA
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6
8)
Tenemos “4a” término común y el otro término es (3b), entonces
=
RECUERDA:
¿Cómo resolverlo?
A “X” le denominaremos EL PRIMER TÉRMINO
a “y” le denominaremos EL SEGUNDO TÉRMINO.
Tenemos que formar 3 términos:
En M. tome el primer término y elévelo al cuadrado:
En N. Multiplique 2 veces el primer término por el segundo término:
=
En O. tome el segundo término y elévelo al cuadrado:
=
Luego
9)
Tenemos “x” primer término y “ ” el segundo término, entonces
=
10)
Tenemos “x” primer término y “5” el segundo término, entonces
=
Estamos frente a
un CUADRADO DE
BINOMIO
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7
11)
Tenemos “3” primer término y “-x” segundo término, entonces
=
12)
Tenemos primer término y “3” segundo término, entonces:
=
RECUERDA:
¿Cómo hacerlo?
“x” será el primer término e “y” el segundo término.
Formaremos 4 términos:
IMPORTANTE= ELEVAR AL CUBO SIGNIFICA ELEVAR A 3
En M, tome el primer término y elévelo al cubo:
En N, multiplique 3 veces el primer término al cuadrado por el segundo
término:
En O, multiplique 3 veces el primer término por el segundo término al
cuadrado:
Finalmente en P, tome el segundo término y elévelo al cubo:
=
LUEGO
Estamos frente al CUBO DE
BINOMIO
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8
13)
Tenemos “x” primer término y “1” segundo término, entonces
= ( )
=
=
14)
Tenemos “x” primer término y “ -2” segundo término, entonces
=
=
=
=
15)
Tenemos “x” primer término y “3”segundo término, entonces
=
=
=
=
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9
16)
Tenemos “x” primer término y “4” segundo término, entonces
=
=
=
=
RECORDAR:
¿Cómo hacerlo?
Llamaremos a “x” primer término, “y” segundo término y “z” tercer
término.
Formaremos 6 términos:
En M, tome el primer término y elévelo al cuadrado
:
En N, tome el segundo término y elévelo al cuadrado, y el O tome el
tercer término y elévelo al cuadrado:
En P, multiplique dos veces el primer término por el segundo
: =
En Q, multiplique dos veces el primer término por el tercer término
: =
En S, multiplique dos veces el segundo término por el tercer término
: =
Luego
Estamos en
presencia de un
TRINOMIO AL
CUADRADO
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10
17)
Explicado anteriormente, entonces
18)
Tenemos “x” primer término, “2y” segundo término y“3z” tercer término
=
=
=
19)
Tenemos “2x” 1er término, “5y” 2do término y “7z” 3er término.
=
=
=
20)
Tenemos “6x” 1er término, “2y” 2do término y “-3z” 3er término.
=
=
SI TIENES DUDAS CONSULTALAS
OPORTUNAMENTE CON TU
PROFESOR
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11
FACTORIZACIONES
RECUERDA: c
¿Cómo hacerlo?
Vea el término común ( el que se repite)
entonces SÁQUELO de la expresión y
multiplíquelo por lo que quedo:
:
1.1. Cuando tenga algo como esto :
Deber identificar los términos comunes ( en este caso son “a” y “b”), pero
por regla debo tomar de los términos que se repiten, el término con MENOR
EXPONENTE. En el caso de “a” el a que se repite con menor exponente es
“ y en el caso de “b” el b de MENOR EXPONENTE es “b” pues esta
elevado a 1.
Sabiendo eso debemos sacarlos de la expresión y multiplicarlo por lo que
queda: . Si realizas la multiplicación puedes comprobar si
esta bueno o no.
1.2. Qué pasa si no se repiten letras, pero si existe relación entre los
números:
En este caso, sabemos que 4 es múltiplo de 2 y 6 también es múltiplo de 2,
entonces sacamos de la expresión el 2 (se repite)
: .
1)
Notemos que el término que se repite es “a” y no existe relación entre
los números, entonces al sacar el término común nos queda:
: .
Estamos frente a
una factorización
por TÉRMINO
COMÚN.
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12
2)
Tenemos que {6,9 y 12) son múltiplos de 3, y que se repite a, b y c, pero de
“a” el que posee MENOR EXPONENTE ES , de “b” el que posee MENOR
EXPONENTE ES “b” y de “c” el que posee MENOR EXPONENTE es
:
3)
Tenemos que el término común ya no es una letra específica, sino que
ahora es un POLINOMIO. Mismo procedimiento. SACAR DE LA
EXPRESIÓN LO QUE SE REPITE Y MULTIPLICARLO POR LO QUE QUEDA
:
4)
Tenemos la expresión que se repite es , entonces
= .
5)
Este es otro tipo de factorización por término común, donde debemos
AGRUPAR y sacar el factor común.
Agruparemos y , tenemos
=
=
=
=
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13
6)
Agruparemos y , entonces
=
=
=
7)
=
=
8)
=
= /Recuerde que se aplica
cambio de signo
=
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14
Luego de ese recreo que tomaste, SIGAMOS
RECORDEMOS:
¿Cómo hacer?
Debemos formar una multiplicación de binomios:
EN M, pondremos el primer término que está en la expresión original
pero NO al cuadrado: ósea luego instalamos x en M
=
EN N y O, debemos buscar dos números que sumados me den el
término de al medio y que multiplicados me den el tercer término.
Luego
9)
Primer término 𝒙𝟐 𝒙 , ahora debemos buscar dos números que 𝒙
multiplicados me den +12 y sumados o restados de acuerdo a su signo me
de -7
Posibilidades 12 = 3*4 ó 12= 6*2 ó 12= 12*1, ahora de esas posibilidades la
suma o resta debe ser -7 y como 12 es positivos, AMBOS NÚMEROS DEBEN
SER NEGATIVOS. Tomaremos el 3 y el 4, los pondremos como negativos -3;
-4 y probaremos si se cumple:
= Efectivamente se cumple, pues -4-3= -7 y -4 * -3 = +12
Estamos frente a un
TRINOMIO ORDENADO
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15
10)
Entonces y debemos encontrar dos números que sumados o
restados den +5 y multiplicados den -14, ellos son el 7 y el -2, pues 7-2=5
y 7 *-2= -14, luego nos queda
11)
Al igual que en el caso anterior, y debemos encontrar dos
números que multiplicados me den +4 y sumados o restados me den -4,
entonces ellos son el -2 y el -2, pues -2 -2 = -4 y -2 * -2 = +4, luego
Tenemos
12)
Entonces tenemos y debemos encontrar dos números que
sumados o restados según corresponda den -6 y que multiplicados den
+9. Los números deseados son -3 y -3 , pues -3 -3 = -6 y -3*-3= +9, luego
tenemos ; SE ELEVA A DOS PUES SE
ENCUENTRA REPETIDO DOS VECES Y MULTIPLICANDOSE
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16
Recordemos:
¿ Cómo lo hago?
La idea es tomar el primer término que se encuentra elevado a dos y
descomponerlo: , luego tomamos el segundo término y lo
descomponemos: , LUEGO LOS ubicamos en los siguientes
paréntesis donde uno esta con signo + y el otro con signo –
.
Nos queda entonces
13)
Pues y
14)
Pues y
15)
Pues y
16)
Pues y
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17
RECORDEMOS:
e , tomaremos solo una de ellas y las
pondremos en el primer paréntesis con el signo original, así ; donde
x será nuestro primer término e “y” será nuestro segundo término. En el
otro paréntesis pondremos el primer término “x” elevado a 2:
El término de al medio será la multiplicación del primer término por el
segundo término: y el último término será el segundo “y”
elevado a 2:
17) Y
Entonces tomamos uno de esos términos “x” y “2” y lo llevamos a la
fórmula:
18) Y
Entonces tomamos uno de esos términos un “x” y un “3” y lo llevamos a la
fórmula:
19) Y
Entonces tomamos uno de esos términos un “x” y un “4” luego tenemos
según la fórmula:
20) Y
Entonces tomemos un término de ellos, un “x” y un “5” luego llevémoslo
a la fórmula:
IMPORTANTE:
¿QUÉ PASA CON LOS SIGNOS?
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18
¿QUÉ PASA EN ESTE CASO?
Este tipo de factorización se considera de alta dificultad, PERO NO
IMPOSIBLE.
Recordemos:
Cuando usted tenía la siguiente expresión ,lo que usted hacia
era y buscaba dos números que multiplicados le dieran +6 y
sumados o restados según correspondiera le diera +5.
Ahora en el ejercicio propuesto al principio caemos en que se parecen las
expresiones, pero la diferencia a simple vista es que en el ejercicio que nos
proponen el tiene un número 2 adelante. La Dificultad de estos tipos de
ejercicios cabe en eliminar el número que se encuentre al lado del y
luego el procedimiento es igual. HAGÁMOSLO.
: TOME EL TÉRMINO QUE ACOMPAÑE A Y
MULTIPLIQUE Y DIVIDA TODO POR DICHO NÚMERO. Así:
=
, ahora el 2 que está afuera multiplicará la parte de arriba de
la expresión:
= ( )
=
¿Por qué Por una propiedad de la
multiplicación. Para que usted entienda 2*1=1*2, si cambia el orden de la
multiplicación no afectará el resultado (PROPIEDAD CONMUTATIVA)
.
=
Luego nuestra expresión es parecida a , la única diferencia es
que en vez de x ahora hay un . Por tanto resolvemos de la misma forma:
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19
Busquemos dos números que sumados me den 9 y multiplicados me den 14.
Ellos son el 7 y 2, pues 7*2= 14 y 7+2=9. Luego tenemos que:
=
=
=
21) Expuesto recién
22)
Entonces multiplicamos en este caso por 2 y dividimos todo por el mismo
número:
=
( )
=
23)
En este caso multiplicamos y dividimos por 4:
=
( )
=
24)
Multiplicaremos todo por 3 y también dividiremos todo por 3
=
( )
=
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20
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Al hablar de estadística surgen ciertos conceptos que debemos tener en
claro que son las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL que son:
LA MODA
LA MEDIANA
LA MEDIA O MEDIA ARITMÉTICA
A continuación definiremos cada una de ellas:
LA MODA: Es el término que más se repite
Ejemplo: 2,4,5,6,2,6,4,2,9,4,2,2
En este caso la moda es 2, pues es el término que más se repite
Ejemplo: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
En este caso nada se repite entonces NO HAY MODA
MEDIANA: Es el término que se ubica justo al centro. Recuerda
ordenar los términos de menor a mayor
Ejemplo: 1, 4, 3, 5, 7
Entonces ordenamos de menor a mayor nos queda 1, 3, 4, 5, 7 y
el número que se encuentra al medio es el 4. Por tanto LA
MEDIANA ES 4
Ejemplo: 1, 2, 3, 4
En este caso no hay un término al centro, así que debemos
sacar el promedio entre los dos términos centrales, entre el 2 y
3 que será 2.5
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21
Media Aritmética: Es el promedio entre todos los datos
Ejemplo: 2, 4, 6, 8
Para sacar el promedio debemos sumar todos los términos y dividirlos
por el número de término:
=
PROPIEDAD: CUANDO HAYAN NÚMEROS CONSECUTIVOS (1.2.3.4.5…..) LA
MEDIANA SIEMPRE SERÁ IGUAL A LA MEDIA ARITMÉTICA
EJEMPLO: Determine la Moda, Mediana y Media aritmética de los
siguientes datos: 4, 5, 6, 7, 8
MODA: No hay moda, pues nada se repite
Mediana= El término del centro es 6
Media aritmética=
Luego cuando los datos sean consecutivos LA MEDIANA SIEMPRE SERÁ
IGUAL A LA MEDIA ARITMÉTICA.
FRECUENCIA: Se refiere a la cantidad de veces que se repite algo
EJEMPLO: 1 tiene una frecuencia de 3 está queriendo decir EL 1 SE
REPITE 3 VECES.
VAMOS A LA GUÍA
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22
ÍTEM III:
Determine la Moda, Mediana y Media
aritmética
Para determinar todo esto, debemos basarnos
en la frecuencia, que recién dijimos que era la
cantidad de veces que se repetía algo.
Entonces si la frecuencia es la cantidad de veces
que se repite algo, y la Moda es el dato que
más se repite, debemos ir donde haya mayor
frecuencia. En este caso el 4 se repitió 4 veces, y fue el que más se repitió.
Por ello LA MODA ES 4. Es el dato que más se repite.
Sabemos que el total es 16. La mediana es el dato de al medio, entonces
bastará con el total dividirlo en la mitad o en dos para saber cuál es la
mediana. Entonces 16:2= 8.
Luego en la línea de la frecuencia si comienzas a sumar hacia abajo tienes
que ver dónde está el 8. La frecuencia 8 le corresponde al número 3, por
ello que la Mediana es 3
La media aritmética es el promedio. OJO la tabla dice que el 1 se repite 3
veces, el 2 se repite 2 veces, el 3 se repite 2 veces, el 4 se repite 4 veces, el 5
se repíte 3 veces y el 6 se repite 2 veces. Osea tenemos:
1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6.
Para sacar el promedio bastará de sumar y dividir por el total que son 16
términos.
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23
Determine la Moda, Mediana y Media aritmética con los siguientes
datos no agrupados: 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
Moda: Ningún dato se repite, entonces NO HAY MODA
Mediana: El dato que queda al centro es el 5
Media aritmética= sumar todos los datos, pero como vimos hace un
momento, los datos son consecutivos, por tanto la Mediana es igual a la
Media aritmética, entonces le Media aritmética es 5.
CONTESTE
¿QUÉ MES REPRESENTA LA MODA?
Quiere decir que mes fue donde mayor consumo hubo, si vas al gráfico
debería ser AGOSTO
¿Cuál(es) es (son) el(los) mes(es) donde el gasto se mantuvo constante?
Quiere decir cuáles son los meses donde se gastó lo mismo, si usted ve el
gráfico seria entre MARZO Y ABRIL y entre SEPTIEMBRE Y OCTUBRE.
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
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24
¿Entre qué meses la cuenta tuvo el mayor crecimiento?
Quiere decir entre qué meses se gastó más, si vas al gráfico se ve que entre
Julio y Agosto se observa el mayor crecimiento.
PROBABILIDADES:
Son una herramienta que trata de establecer la probabilidad que ocurra
algo.
Lanzar un dado= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Recuerde que la probabilidad está definida por:
Casos favorables= Lo que me preguntan
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
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25
Al lanzar un dado. Determine:
La probabilidad que salga el número 3.
Sabemos que lanzar un dado significa D= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ENTONCES me
preguntan cuál es la probabilidad que salga el 3.
Como el número 3 es una cara de las 6 caras del dado, entonces
=
Pues sólo me preguntan por 1 número, y los casos favorables es lo que
me preguntan.
La probabilidad que salgan números impares
Notemos que un dado D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y ahora nos preguntan por los
números del dado que sean impares. Los impares son 1, 3 y 5. SON 3
NÚMEROS entonces queda
SE SIMPLIFICA
Ojo que me preguntaban por 3 números de un total de 6.
La probabilidad que salgan números primos
Los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13…… Y EN UN DADO entonces son
el 2, el 3 y el 5. SON 3 NÚMEROS DE UN TOTAL DE 6 entonces:
=
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26
La probabilidad que NO salga el número 4.
Un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que no salga 4, significa que si salga el 1, el
2, el 3, el 5 y el 6. Osea 5 de un total de 6
=
La probabilidad que salgan números mayores a 3
Un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que salgan números mayores a 3, significa
que salga el 4, el 5 y el 6. Entonces son 3 números de un total de 6
=
La probabilidad que salgan números mayores o iguales a 2
Tenemos un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y nos piden números mayores o
iguales, Osea me sirve el número 3, el 4, el 5, el 6 y como dice IGUAL
también sirve el 2. Osea 5 números de un total de 6.
=
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27
LANZAR DOS DADOS SINGIFICA:
SI DEBEMOS ENCONTRAR SUMAS, DEBEMOS SUMAR CADA UNO DE LOS
PARES ORDENADOS
Al lanzar dos dados. Determine:
La probabilidad que la suma sea 7
SON 6 POSIBILIDADES DE UN TOTAL DE 36
=
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28
La probabilidad que la suma sea 4.
Son 3 casos de un total de 36 . entonces
=
La probabilidad que la suma sea mayor o igual a 5
Son 30 casos favorables de un total de 36. Entonces
=
LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS
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29
Al lanzar dos monedas. Determine:
La probabilidad que A LO MENOS salga una cara
Esto quiere decir que COMO MÍNIMO salga una cara, si sale más de una
cara también nos sirve.
ENTONCES DE LAS 4 POSIBILIDADES SON 3 LAS QUE POSEEN CARAS
ENTONCES.
La probabilidad que sólo salgan dos sellos
Entonces es ir a las 4 posibilidades y ver cuál de ellas tiene sólo dos
sellos. Tenemos 1 opción de 4. Entonces
La probabilidad que salga una cara y un sello
Esto quiere decir, que de las 4 opciones que tenemos, debemos ver cuál
tiene una cara y un sello. Vemos que son 2 opciones de un total de 4,
entonces tenemos
La probabilidad que NO salga sello
Quiere decir, ir a las 4 posibilidades y ver cuál de ella NO TIENE NINGUN
SELLO. Tenemos sólo 1 opción por tanto
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30
Se lanzar una moneda 100 veces.¿ Cuál es la probabilidad que salga
cara?
Lanzar una moneda la probabilidad que salga cara es ½. Al lanzar la
misma moneda cien veces nos alterará su resultado, pues es UNA
moneda. Así que al lanzar una moneda 100 veces la probabilidad que
salga cara es de ½.
Se tiene una caja con 8 FICHAS VERDES y 7 FICHAS ROJAS. Determine:
La probabilidad de sacar una ficha verde
Notemos que son 8 fichas verdes de un total de 15, entonces
La probabilidad de sacar una ficha roja
Notemos que son 7 fichas rojas de un total de 15, entonces
La probabilidad de sacar una ficha roja, y luego una ficha verde, SIN
REPOSICIÓN.
Notemos que sacar una ficha roja es
. Ahora como ya sacamos una
ficha y dice SIN REPOSICIÓN, osea no las volvemos a usar la ficha que
sacamos, tenemos ahora 14 fichas, entonces sacar la ficha verde sería
Entonces tenemos
=
RECUERDA QUE EN
PROBABILIDADES QUE UNA COSA SUCESA Y QUE OTRA COSA SUCEDA ES
UNA MULTIPLICACIÓN.
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31
La probabilidad de sacar una ficha verde, y luego una ficha
roja, CON REPOSICIÓN
Notemos que sacar una ficha verde es
y dice CON REPOSICÓN, asi
que debemos considerar la ficha sacada por tanto tenemos el mismo
total 15. Sacar una ficha roja es
=
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Con el triángulo adjunto. Determine:
El simétrico respecto al eje Y.
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32
El simétrico respecto al eje X
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33
La traslación con el vector
AL TRÁNGULO ORIGINAL DEBEMOS SUMARLE EL VECTOR MENCIONADO, de
la siguiente forma:
OJO QUE ALGO ASÍ, PUDIESE SALIR EN LA PRUEBA
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34
Rotación respecto al origen sentido anti horario de 90°
AL ROTAR UNA FIGURA EN 90° DEBEMOS RECORDAR QUE:
Tienes que tomar cada par ordenado (X,Y) e invertirlo y cambiarle el signo
al primero
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35
Una rotación respecto al origen sentido anti horario de 270°
Analíticamente sería TOMAR EL PAR ORDENADO, INVERTIRLO Y
CAMBIARLE EL SIGNO AL SEGUNDO TÉRMINO, pues es una rotación de
270°
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36
Determine el vector traslación que se le aplicó a:
OSEA A se le suma y como resultado da
Entonces establezcamos ecuaciones
SUME LOS PRIMEROS TÉRMINOS E IGUALELOS A -6
De igual forma sume los dos términos segundos e iguálelos a 4
Luego el vector traslación aplicado es
=
=
Luego el vector traslación es
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37
=
=
Luego el vector traslación es
=
=
Luego el vector traslación es
=
=
Luego el vector traslación es
=
=
Luego el vector traslación es
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38
Determine el vector traslación que remplaza a
Cuando hablamos de que vector remplaza a ellos, nos referimos a TOME
LOS DOS VECTORES Y SÚMELOS
=
=
=
=
=
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39
CON EL PARALELOGRAMO DETERMINE:
El simétrico respecto al eje X
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40
El simétrico respecto al eje Y
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41
Que se traslade 5 unidades a la derecha y 7 unidades hacia arriba.
Osea que utilice el vector traslación
ANALITICAMENTE:
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42
Rote la figura en 180°
ANALÍTICAMENTE: Como es una rotación de 180° debe tomar cada par
ordenado, y cambiarle los signos a ambos términos