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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
1- Régime sinusoïdal
II. LIGNES EN REGIME SINUSOIDAL
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
2- Intro
II.1. Résolution de l’équationII.1.a. Introduction
On va travailler en régime harmonique, c’est à dire avec une seule fréquence fixe f.On génère donc une onde sinusoïdale en régime permanent.On peut revenir à ce modèle de base pour toute autre forme d’onde que l’on peut décomposer en série de Fourier.
v(x,t)=V(x).cos(t+v(x))
i(x,t) = I(x).cos(t+i(x))
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
3- Complexe
II.1. Résolution de l’équation
v(x,t)=V(x).cos(t+(x))i(x,t) = I(x).cos(t+(x))
amplitude en x fréquence et déphasage
notations complexes
propriété : v(x,t)=Real(v(x,t))
v x t V x e
i x t I x e
j t
j t
,
,
avec
V x V x e
I x I x e
j x
j x
v
i
( )
( )
jωt
séparation des termes en x et en t
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
II.1.b. Télégraphistes sous forme complexe
4- télégraphistes
II.1. Résolution de l’équation
Vx
R jL I
Ix
G jC V
1 1
1 1
2
2 1 1 1 1
2
2 1 1 1 1
V
xR jL G jC V
I
xR jL G jC I
on note : 1111 jCGjLRj
2
22V
xV
2
22I
xI
Equations variationnelles complexes :
(constante de propagation)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
5- Impédance
II.1. Résolution de l’équation
V x V e V e
I x I e I e
ix
rx
ix
rx
Comme précédemment on obtient la somme de 2 ondes, l’onde incidente et l’onde réfléchie
VI
VI
R jLG jC
i
i
r
r
1 1
1 1
Impédance caractéristiquede la ligne
Zc
Constante de propagation 1111 jCGjLRj
Vx
R jL I
Ix
G jC V
1 1
1 1
On avait
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
6- onde progressive
II.1. Résolution de l’équationII.1.c. Onde progressive
est de la forme : + j
v x t V e e V e eix j t x
rx j t x, ( ) ( )
V V ei ij i V V er r
j r
v x t V e e
v x t V e e
i ix j t x
r rx j t x
i
r
,
,
( )
( )
Expression des ondes de propagation
module phase
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
7- module phase
II.1. Résolution de l’équation
)()(, xtjxr
xtjxi eeIeeItxi
ijii eII rj
rr eII
)(
)(
,
,xtjx
rr
xtjxii
r
i
eeItxi
eeItxi
Expression des ondes de propagation
module phase
De même
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
8- caractéristiques
II.2. Paramètres fondamentaux
)(, xtjxii eeVtxv
II.2.a. Caractéristiques de ces ondes
Soit l’onde de tension incidente
ji eV On pose de forme complexe
)cos(, xteVtxv xii
On a alors
En x donné, la tension est une fonction sinusoïdale du temps de périodicité :
2T
2
En t donné, la tension est une fonction sinusoïdale de x de périodicité :
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
9- vitesse de phase
II.2. Paramètres fondamentaux
Vitesse de phase : dt
dxvp
cstext Solution de :
De même, la tension réfléchie possède la même décroissance exponentielle de l’amplitude suivant x (mais ici du récepteur vers le générateur), les même périodicité en temps et en abscisse, et la même vitesse de phase mais dans le sens inverse.
Ondes progressives amorties
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
10- ondes progressives
II.2. Paramètres fondamentaux
Ondes progressives amorties
t0 t2ns
t4ns
amp
litu
de
arb
itra
ire
0 5 10 15 20 25 30
profondeur (m)
2
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
11- constante propagation
II.2. Paramètres fondamentauxII.2.b. La constante de propagation
1111 jCGjLRj
Paramètre d’affaiblissement ou atténuation en Nepers par mètre
(1dB=0.1151 Np)
Paramètre de phase exprimé en radians par mètre (1rad=57.3°)
Lignes sans pertes : 0 LC
LCvp
1
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
12- constantes secondaires
II.2. Paramètres fondamentauxII.2.c. Constantes secondaires
C
Gtan Tangente de pertes, pertes dans le diélectrique
L
RtanPar analogie, on définit
2tan
On trouve alors
tangente de pertes dans les conducteurs
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
13- sans pertes
II.3. Cas particuliersII.3.a. Ligne sans pertes
Sans pertes R=0G=0
=0=0
0
LC
LCvp
1
pas d’atténuation
x
C
LZc Impédance caractéristique
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
14- faibles pertes
II.3. Cas particuliersII.3.b. Ligne faibles pertes
R et G faibles et sont faibles également
LCvp
1 pas de dispersion car indépendant de
tan
tan
LC
revient à : LR CG et
on trouve alors :
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
15- dispersion
II.3. Cas particuliers
RcG
Rc
R
C
G
L
RLC
2
1
2
1
jXcRcL
R
C
Gj
C
LZc
21
Si G#0 (souvent le cas)LR
CLjRcZc
2
Constante de propagation
Si BF et G faible: indépendant de , donc pas de dispersion (amplitude)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
16- ligne téléphonique
II.3. Cas particuliersII.3.c. Ligne téléphonique
G négligeableC importantL faible
2
LG << RC
L/R << C/G
<<
L << R
2
tan
LRLCLCLC
vp21
tan2
tan2
tantan2
tan22
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
17- ligne téléphonique
II.3. Cas particuliers
RCvp
22 dépendant de donc dispersion en phase
2
RC
4
j
eC
G
G
RZc
4sin
j
eG
RZc
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
18- ligne bifilaire
II.3. Cas particuliersII.3.d. Ligne bifilaire
D
dtan
117
r
m1065.5
2/d3D
mm2dmm5.0
2
0r
11
1131
km.µF05.0C
0km.10G
tan1C
G
1
1
Pertes actives dans le diélectrique négligeables
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
19- ligne bifilaire
II.3. Cas particuliers
BF :R1>>L1 HF :R1<<L1
1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz1
10
100
1k
10k
100k
/km R1
L1
f
Paramètres primaires
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
20- ligne bifilaire BF
II.3. Cas particuliersLigne bifilaire en BF (fréquences vocales)
D
dtan
Paramètres primaires : m/HLLL iHF1
m/
dD2
ln
tgf2G 12
1
m/F
dD2
lnC1
m/)0f(RR MHz11 1
1 km100R
km/mH6.0L1
111 m.0G
km/µF051.0C1
R1>>L1 faibles pertes diélectriques : <<
tanφ2
tan2.
LC
1v2
p
L
R
RC
2
2tan
RC
2v2
p
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
21- ligne bifilaire BF
II.3. Cas particuliers
km/dBf034.0
s/kmf1570vp
Impédance :
21
4j
1
1
1
1C f17600e
C
R
jC
RZ
à 1kHz
49000km/s
1dB/km
556 (-45°)
Propagation
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
22- distorsion
II.3. Cas particuliersVitesse, impédance et atténuation varient avec la fréquence distorsion d’amplitude et de phase.
0.1 1 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(kHz)
Vitessede phase
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
23- étalement
II.3. Cas particuliers
f (KHz)0.1 1 10
-30
-20
-10
0Perte de gain (dB)
10km
5km
1km
0.1km
0.1 1 100
0. 1
0.2
0. 3
0. 4
0. 5
0. 6
Etalement temporel (ms)
f (KHz)0.1km
1km
5km
10km (0.03ms)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
24- Heaviside
II.3. Cas particuliersCondition de Heaviside
0α2dL
dPour que soit minimum, il faut :
022
222
222
CLLR
CGCela donne la relation :
D’où l’on déduit la condition de Heaviside :
L G =R C
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
25- pupinisation
II.3. Cas particuliers
C
G
L
R
L
CR
LC
1v,LC p
C
LRZ CC
Problème :
C
G
L
R
Solution :augmenter artificiellement L (la self linéique)= charger la ligne tout les km
‘ pupinisation ’, Procédé Pupin (1899)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
26- ligne bifilaire HF
II.3. Cas particuliersLigne bifilaire en HF (Ethernet, xDSL)
D
dtan
mHd
DL /
2ln0
1
mCG /)tan(2 1211
mF
dD
C /2
ln1
m
Dd
d
fR /
1
12
01
Paramètres primaires :
d
DZc
2ln
1 0
Zc = 100
2 à 10 /km
2 mH/km
5 nF/km
10 -5 S/km
= 1 à 5 mN/km
vp= 2.8 à 2.9. 108 m/s
Faibles pertes
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
27- ligne bifilaire HF
II.3. Cas particuliers
2tan1
1 2 LC
vp dépend de la fréquence, donc la
vitesse également!!!!
2tan
v
f2
p
L’affaiblissement dépend de la fréquence !!!!
La qualité de la ligne bifilaire en HF dépend surtout de la qualité du diélectrique
Conséquences : faibles pertes ohmiques, mais limite vers les HF >10kHz :
- l ’atténuation- l ’impédance caractéristique varie (ADSL => filtrage adaptatif)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
28- ADSL
II.3. Cas particuliersPrincipe de la technologie ADSL :
Utiliser les fréquences inutilisées par la voix.A=asymétrique
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
29- DMT
II.3. Cas particuliersModulation DMT sur la bande 26kHz-1.1MHz
1) Division de la bande de fréquences en bandes de 4kHz (256).2) Chaque sous-bande =4000 canaux de 1Hz.3) Chaque canal code jusqu’à 8 bits (256 niveaux)
1
2
3
4
5
-1
0
1
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
30- portée ADSL
II.3. Cas particuliersConclusion
Adapter le nombre de bit par canal en fonction
-de l’affaiblissement (donc de la distance parcourue)
exemples ADSL 1: - 6km 1,5 Mb/s- 4.8km 2,0 Mb/s- 4km 6,3 Mb/s- 3km 8,5 Mb/s
-du bruit tenir compte des parasites dus aux ondes
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31- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliersII.3.e. Ligne coaxiale
mHd
dL /ln
2 1
201
mdd
tgfG /
ln
4 1
1
2
21
mF
dd
C /
ln
2
1
2
1
mdd
fR /
11
21
01
10 à 70 /km
280 H/km
50 nF/km
10 -5 S/km
1
2ln2
1
d
dZc
GZcZc
R
2
1
Faibles pertes
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
32- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliers
100 1 10 100 1 10 100
1
10
102
103
104
105
106
f
/k
m
MHzkHzHz
L1
R1
Variation des pertes électriques avec la fréquence
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
33- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliersHypothèse des faibles pertes
1
11
1
11 C
LG
L
CR
2
1
11
pCL
1v
1
1
1
1
1
1C
1
1C
L
R
C
G
C
L
2
1X
C
LR
Zc
11CL
On note 0=c0/f
0
r2
r
0
r
0gp
cvv
Si l’hypothèse des faibles pertes est vérifiée, la ligne coaxialeest exempte de distorsion de phase.
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
34- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliers
0
1
221
tgf
dd
ln
1
d
1
d
1f
cd
À minimiser en choisissant d1 et d2
Affaiblissement
1 2 3 4 5 61
1.4
1.8
2.2
2.6 Minimisation de c d2/d1=3,6
d2/d1
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
35- télévision
II.3. Cas particuliersExemple de la télévision
Zr Zc=50
d2=9.5d1=2.6
r=2.3
Zc=75
r=1
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
36- vitesse de groupe
II.3. Cas particuliers
cos(2fi t +)
modulation
fi0 f-fi f0 0 f0-f f0+f
V t V t eij t
0 00( ) cos ( )
II.3.f. Vitesse de groupe
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37- vitesse de groupe
II.3. Cas particuliersPropagation de la porteuse modulée par une sinusoïde
notons : i et
L’équation de propagation de l’onde est donnée par :
v x t V e t x ex j t x, cos ( ) 0
0 0
vitesse de phase :
vitesse de groupe :
vp
0
0
v g
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38- modulation
II.3. Cas particuliersSignification de la vitesse de groupe
paquet d’ondes se déplaçantà la vitesse / .
onde se déplaçant àla vitesse
1 noeud est tel que V=I=0 (pas de transfert d’énergie possible)
l’énergie se déplace avec la vitesse de l’enveloppevg= vitesse de propagation de l’énergie