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Chapitre 3
REGIME SINUSOIDAL PERMANENT
Prof. Mourad ZEGRARI
2Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Plan
Caractéristiques des signaux périodiques
Grandeur sinusoïdale
Étude des circuits en RSP
Puissances en RSP
Circuits résonnants
3Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Grandeur périodique -alternative
Grandeur périodique
i(t+T) = i(t) : reproduction au bout de la période T.
Grandeur alternative
Alternativement positive et négative au bout de T.
Symétrique
Égalité des aires positifs et négatifs.
4Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Valeur Moyenne
Intensité du courant continu transportant la même quantité de
charge :
Charge transportée
Courant moyen
I
t0
Q
Imoy
Régime continu
T.Idt)t(i)t(q moy
T
0
0T t
i(t)
Imoy
Régime périodique
Q
T
0moy dt)t(i
T1
I
5Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Valeur Efficace
Intensité du courant continu produisant la même puissance
électrique :
Puissance produite
Courant efficaceR p(t) = R.i²(t)
Régime périodique
v(t)
i(t)
Régime continu
+
–
R P = R.Ieff²V
Ieff
)t(pP
T
0dt).t²(i
T1
Ieff
6Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 3.1
On considère le courant suivant :
Valeur Moyenne de i : Imoy = 5 mA
Valeur Efficace de i : Ieff = 11.18 mA
i(t)
15 mA
-5 mA
0 2 4 6 8t (ms)
7Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Grandeur sinusoïdale
Courant sinusoïdal : i(t) = Im cos(t+)
i(t) : intensité instantanée (A)
Im : valeur maximale (A)
t+ : phase instantanée (rad)
: phase à l’origine, t=0 (rad)
= 2f : pulsation (rad/s)
f : fréquence (Hz)
T = 1/f : période (s)
Im cosφ
i(t)
Im
t0 T
-Im
8Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Caractéristiques
Valeur moyenne :
Valeur efficace :
Signal à composante continue : i’(t) = I0 + Imcos(t+) Valeur moyenne :
Valeur efficace :
0dttiT1
IT
0moy
2
Idtt²i
T1
I mT
0eff
0moy I'I
2
IIII'I
2m2
02eff
20eff
9Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple 3.2 : Composante continue
On considère le courant suivant :
Courant Moyen : Imoy = 30 mA
Courant Efficace : Ieff = 31.82 mA
i(t)
45 mA
15 mA
t0
10Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Représentations en RSP
Domaine temporelOn représente la forme d’onde de la grandeur en fonction du temps : i(t), v(t),..
Domaine de FresnelOn représente géométriquement les grandeurs par des vecteurs tournants : I, V,..
Domaine du phaseurOn représente symboliquement les grandeurs dans le plan complexe : I, V,..
11Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Domaine temporel : Formes d’onde
Courant : i(t) = Im cos(t+i)
Tension : v(t) = Vm cos(t+v)
Déphasage : = v – i
Le déphasage est donné par :
0t
v(t)
i(t)
v(t), i(t)
Période T
i(t)
v(t)
Dipôle
T2
12Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Déphasages
v(t)
t0
i(t)
= 0
i et v en phase.
i,vv(t)
t0
i(t)
= i et v en opposition de phase.
i,vv(t)
t0
i(t)
> 0
i en avance de phase sur v.
i,v
v(t)
t0
i(t)
= -/2
i en quadrature arrière sur v.
i,vv(t)
t0
i(t)
< 0
i en retard de phase sur v.
i,vv(t)
t0
i(t)
= +/2
i en quadrature avant sur v.
i,v
13Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Domaine géométrique : Plan de Fresnel
On représente les vecteurs à l’instant t = 0 :
i(t) = Im cos(t+i) : Vecteur I de module Im et déphasé de i.
v(t) = Vm cos(t+v) : Vecteur V de module Vm et déphasé de v.
L’écart angulaire = v - i traduit le déphasage de i par rapport à v.
X
φv
O
ω+
ImVm φ
φi
Y
I
V
14Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Domaine du Phaseur : Plan complexe
On représente les vecteurs I et V dans le plan complexe :
i(t) = Imcos(t+i) = Re {Im ej(t+i)} : I = Imcosi + j Imsini
v(t) = Vmcos(t+v) = Re {Vm ej(t+v)} : V = Vmcosv + j Vmsinv
En pratique, on note : I = Im i et V = Vm v
Re
φv
O
ImVm φ
φi
Im
I
V
15Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Impédances et admittances
Impédance : ZQuotient des valeurs efficaces : Z = Veff / Ieff
Impédance complexe : ZQuotient des valeurs complexes : Z = V / I
Admittance complexe : YL’inverse de l’impédance complexe : Y = Z-1 = I / V
Lois d’association : Association en série : Zeq = ∑ Zi
Association en parallèle : Yeq = ∑ Yi
16Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Dipôles Linéaires : Résistance
Domaine du temps :
Domaine du phaseur : V = R I
Domaine de Fresnel : les vecteurs I et V sont en phase.
Ri(t)
v(t)
ti.Rtv
IV
17Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Dipôles Linéaires : Inductance
Domaine du temps :
Domaine du phaseur : V = jL I
Domaine de Fresnel : le vecteur I est en quadrature arrière sur le vecteur
V.
Li(t)
v(t)
dt
)t(diLtv
I
V
18Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Dipôles Linéaires : Condensateur
Domaine du temps :
Domaine du phaseur : V = -( j/C) I
Domaine de Fresnel : le vecteur I est en quadrature avant sur le vecteur V.
Ci(t)
v(t)
dt)t(iC1
tv
I
V
19Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Éléments Linéaires : Résumé
Élément Impédance Admittance
Résistance R ZR = R YR = G = 1/R
Inductance L ZL = jL YL = -j/L
Condensateur C ZC = -j/C YC = jC
20Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Impédance : Expression générale
En général, une impédance s’écrit :Z = R + jX
L’impédance Z s’écrit : Z = Z
et
²X²RZZ
RX
tgArcZArg
Résistance
Réactance
i(t)
v(t) Dipôle Electrique
D
R
i(t)
v(t)jX
Z = R + jX
21Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Impédance complexe
On peut calculer : Z = Z à partir des expressions de V et I :
et
IArgVArg
ReO
I
V
Im
φ
φi
φv
ReO
Z
Im
φ
R
XZ
I
VZZ
22Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Admittance complexe
En Régime Sinusoïdal Permanent :Y = G + jB
On peut établir l’équivalence suivante :
et
R
i(t)
v(t)jB
Conductance
Susceptance
i(t)
v(t) Dipôle Electrique
D
Y = G + jB
²X²RR
G
²X²R
XB
23Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Analyse des circuits en RSP
Lois de Kirchhoff Loi des nœuds :∑Ik = 0 Loi des mailles :∑Vk = 0
Méthode des courants fictifs Théorèmes généraux
Théorème de Millman Théorème de superposition Théorème de Thévenin Théorème de Norton
24Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Étapes de synthèse
1. Transformer le circuit dans le domaine des phaseurs
Remplacer chaque élément par son impédance en RSP.
2. Établir les phaseurs des courants et des tensions
Représenter chaque grandeur par son phaseur.
3. Établir les équations d’équilibre
Appliquer les lois et les théorèmes de base de l’électrocinétique
4. Résoudre les équations des phaseurs
Déterminer le module et la phase des différentes grandeurs mises en jeu.
25Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Exemple d’étude
Phaseur du courant :Zeq = 20 + j10.48 = 22.58 27.7° ; IS = 0.44 -27.7° A
Phaseurs des tensions :VR = 8.8 -27.7° V ; VL = 22.12 62.3° V ; VC = 17.51 -62.3° V
R = 20 is
C = 10 µF
L = 20 mH
vS
vR
vC
vS(t) = 10 cos(800t)
On considère le circuit suivant :
vL
26Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Puissance instantanée
Un dipôle parcouru par i et soumis à v tel que :
i(t) = Im cos(t+i) ; v(t) = Vm cos(t+v)
La puissance instantanée p(t) est le produit des valeurs
instantanées de i et de v :
p(t) = v(t) . i(t)
En considérant les valeurs efficaces I et V on obtient :
iviv t2cosVIcosVItp
Composante continue
Puissance Moyenne
Composante alternative
Puissance Fluctuante
27Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
t
v(t)
i(t)
t
t
p(t)
Puissance moyenneVIcosφ
VI
Puissance instantanée
28Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Puissance active
C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) :
P = < p(t) >
En posant : = v - i on peut écrire :
P = V I cos La puissance P correspond à des effets observables
physiquement. La nature de fonctionnement est donné selon le signe de P :
P > 0 : le dipôle consomme de la puissance : Récepteur P < 0 : le dipôle fournit de la puissance : Générateur
29Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Puissance réactive
Elle est donnée par la relation :
Q = V I sin
La puissance réactive correspond à des effets non
observables physiquement. Elle traduit les échanges
d’énergie entre la source et une inductance ou un
condensateur.
30Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Puissance apparente
C’est le produit des valeurs efficaces du courant et
de la tension :
S = V I
La puissance apparente correspond à la puissance
maximale que peut dissiper le dipôle. Il s'agit surtout
d'une puissance de dimensionnement pour les
transformateurs et les lignes d'alimentation.
31Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Puissance complexe
Si on représente les puissances dans le plan complexe :
On en déduit :
On montre que :
jQPS
ReO
Im
φ
PPuissance
active
Puissance réactive
QPuissance complexeS
Puissance
apparenteS
²Q²PS
PQ
tg
*I.V21
S
32Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Répartition des puissances
On considère une impédance : Z = R + jX
La puissance dissipée dans l’impédance Z est :
Puissance activeP = R I²
Puissance réactiveQ = X I²
i(t)
v(t) Z = R + jXD
R
i(t)
v(t)jX
²jXI²RIjQPS
33Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Puissances en RSP : Résumé
Puissance complexe :
Puissance apparente : S = │S│ = VI (VA)
Puissance active : P = Re {S} = VI cos (W)
Puissance réactive : Q = Im {S} = VI sin
(VAR)
Facteur de puissance : Fp = P/S = cos
*I.V21
S
34Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Facteur de puissance
Pour une puissance active donnée, plus le facteur de
puissance est faible, plus la puissance apparente est
grande et plus le courant sur la ligne est élevé.
Ceci entraîne des équipements d'alimentation (ligne
de transport, transformateurs) de grande capacité
ainsi que des pertes Joule sur la ligne de transport
trop élevées.
35Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Compensation du facteur de puissance
Afin d'augmenter le facteur de puissance de l'installation, on
connecte en parallèle un condensateur de valeur appropriée.
Avant :
P , Q , S ;
Après :
P , Q’ , S’ ; ’
Le condensateur fournit la puissance réactive nécessaire pour
compenser celle absorbée par la charge inductive.
P
Q
S
QC
S’
Q’
36Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Résonance dans les circuits RLC
On considère un circuit RLC alimenté par une source de tension sinusoïdale vS de pulsation variable :
L’impédance du circuit :
Z = Z(j)
Le circuit est en résonance à la pulsation 0 si l’impédance Z(j) est purement résistive à cette fréquence :
Z(j0) = R0 = réelle
iS
vS Circuit RLC
A
B
Z(j)
37Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Facteur de qualité
Ce facteur est définit comme :
Où : Wm : valeur maximale de l’énergie emmagasinée.
Wd : énergie dissipée pendant une période :
QL : puissance réactive totale dans les inductances.
QC : puissance réactive totale dans les condensateurs.
P : puissance active totale dissipée dans les résistances.
P
Q
PQ
WW
2Q CL
d
m
00
2T
38Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Résonance série
L’impédance du circuit est :
La pulsation de résonance est :
Le facteur de résonance est :
C1
LjRjZ
C
iSR L
vS Z(j)
LC
10
0
0
CR1
R
LQ
39Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Résonance parallèle
L’impédance du circuit est :
La pulsation de résonance est :
Le facteur de résonance est :
²L²²LC1²R
²LC1²LRjR²L²jZ
C
iS
R LvS Z(j)
LC
10
00
CRLR
Q
40Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Résonance série-parallèle
L’impédance du circuit est :
La pulsation de résonance est :
Le facteur de résonance est :
²RC1
C²RLj
)²RC(1R
jZC
iS
R
L
vS Z(j)
C²RL
1LC
10
0CRQ
41Électricité de base © M. ZEGRARI 2009
Résonance parallèle-série
L’impédance du circuit est :
La pulsation de résonance est :
Le facteur de résonance est :
²RC²²LC1
C²R²LC1LjRjZ
C
iS
R
L
vSZ(j)
LC²R
1LC
10
R
LQ 0