Upload
others
View
21
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Güven Aralıkları
• Nokta Tahmini – Popülasyon parametresi hakkında tek
bir rakamdan oluşan tahmindir. Popülasyon ortalaması ile
ilgili en iyi nokta tahmini örnek ortalamasıdır.
• Aralık Tahmini – Popülasyon parametresi hakkında belli
bir aralıktaki muhtemel değerlerden oluşan tahmindir.
• Güven Düzeyi, c –Aralık tahmininin popülasyon
parametresini içermesi konusundaki kesinlik düzeyi.
• Güven aralığı – Belli bir güven düzeyi ile ilişkili aralık
tahminidir.
• Hata Payı, E – Güven aralığının kapsadığı nokta
tahminden muhtemel en büyük uzaklıktır.
Tanımlar:
Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi
Öğrencilerin İstatistik final sınavından aldıkları puanlarla ilgili
rastsal olarak seçilen örneklem aşağıdaki gibidir. Popülasyon
ortalaması için en iyi nokta tahminini bulunuz.
En iyi nokta tahminini bulunuz:
Popülasyon ortalaması için en iyi nokta tahmini
örneklem ortalamasıdır.
Çözüm:
45 68 72 91 100 71
69 83 86 55 89 97
76 68 92 75 84 70
81 90 85 74 88 99
76 91 93 85 96 100
Popülasyon Ortalaması İçin Güven Aralığı:
ya da
Alt Sınır Üst Sınır
E’yi çıkar E’yi ekle
Öğrencilerin haftalık ders çalışma süreleri hakkında yapılan
bir araştırma kapsamında, rastsal olarak 250 öğrenciden
oluşan bir örneklem seçilmiştir. Örneklem ortalaması15.7
saat olarak hesaplanmıştır. %95’lik güven düzeyinde hata
payı 2.2 saat olduğuna göre %95 lik güven aralığını
oluşturunuz.
Güven aralığınız oluşturunuz:
Alt sınır:
15.7 - 2.2 = 13.5 saat
Üst sınır:
15.7 + 2.2 = 17.9 saat
Çözüm:
13.5 < < 17.9
• Belli bir büyüklükteki tüm olası örneklemlerin seçilme
olasılığı eşittir.
• Örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır (n ≥ 30).
• Popülasyonun standart sapması bilinmemektedir.
Yukarıdaki koşullar yerine getirildiğinde, popülasyon
ortalaması için hata payı hesaplanmasında kullanılacak olan
dağılım t-dağılımıdır.
Ancak, n ≥ 30 olduğunda, t-dağılımındaki kritik değerler
yaklaşık olarak normal dağılımdaki kritik değerlerle aynı
olmaktadır (karşılık gelen güven düzeyinde).
Bu nedenle, normal dağılım kullanılabilmektedir.
Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi (Büyük Örneklemler)
Kritik değeri bulunuz:
%95 güven aralığı için kritik değeri bulunuz.
Öncelikle, –z0.95 ve z0.95 değerlerinin bulunması gerekmektedir.
–z0.95 ve z0.95 arasındaki alan 0.95 olduğu için, kuyruklarda 0.05 yada tek bir kuyrukta 0.025 lik bir alan olacaktır.
Çözüm:
Kritik Değer, zc:
Güven aralıkları için kritik z-değerleri
Güven düzeyi, c zc
0.80 1.28
0.85 1.44
0.90 1.645
0.95 1.96
0.98 2.33
0.99 2.575
Büyük Örneklemler İçin Hata Payı, E:
zc = Kritik z-değeri
s = Örneklem standart sapması
n = Örneklem büyüklüğü
Örneklem büyüklüğü 100, standart sapma 15.50
ise, %99 güven aralığı için hata payını bulunuz.
Hata payını bulunuz:
n = 100, s = 15.50, c = 0.99
z0.99 =
Çözüm:
2.575
85 ev sahibi ile yapılan bir ankette, ev bakımına aylık olarak
ortalama 67$ (standart sapma = 14$) harcadıkları tespit edilmiştir.
Tüm ev sahiplerinin aylık ev bakım harcamaları için %95 güven
aralığını oluşturunuz.
Güven aralığını oluşturunuz:
c = 0.95, n = 85, s = 14, = 67
z0.95 =
Çözüm:
1.96
$64.02 < < $69.98
($64.02, $69.98)
67 – 2.98 < < 67 + 2.98
Ortalamalar İçin Minimum Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi:
zc = Kritik z-değeri
= Popülasyon standart sapması
E = Hata payı
Örnek ortalamasının, popülasyon ortalamasının 2 birim
etrafında olduğu konusunda %99 luk bir güven olduğu
belirtilmiştir ( = 6.5). Popülasyonun normal olarak
dağıldığını varsayarak minimum örneklem büyüklüğünü
belirleyiniz.
Minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz:
c = 0.99, = 6.5, E = 2
z0.99 =
Minimum örneklem büyüklüğü 71 olarak belirlenmiştir.
Çözüm:
2.575
Ortalama hane halkı elektrik tüketim miktarının 15.7 kWh ve
standart sapması 3.24 kWh olduğu tahmin edilmektedir. Hane
halkı başına düşen elektrik tüketim miktarının tahmin edilebilmesi
için seçilmesi gereken örneklem büyüklüğünü %99 güven düzeyi
ve 0.12 kWh hata payına dayanarak belirleyiniz.
Minimum örneklem büyüklüğünü belirleyiniz:
c = 0.99, = 1.8, E = 0.12, z0.99 = 2.575
Minimum örneklem büyüklüğü 1492 olarak belirlenmiştir.
Çözüm:
• Belli bir büyüklükteki tüm olası örneklemlerin
seçilme olasılığı eşittir.
• Örneklem büyüklüğü 30’dan küçüktür (n < 30).
• Popülasyonun dağılımı yaklaşık olarak normaldir.
• Popülasyon standart sapması bilinmemektedir.
Yukarıdaki koşullar yerine getirildiğinde, popülasyon
ortalaması için hata payı hesaplanmasında kullanılacak olan
dağılım t-dağılımıdır.
Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi (Küçük Örneklemler)
Küçük Örneklemler İçin Hata Payı, E:
ta/2 = Kritik t-değeri
a = 1 – c
s = Örneklem standart sapması
n = Örneklem büyüklüğü
s.d. = n - 1
Örneklem büyüklüğü 10, s = 15.5 ve güven düzeyi %95 ise,
hata payını bulunuz.
Hata payını bulunuz:
n = 10, s = 15.5, c = 0.95, a = 1 – 0.95 = 0.05
t0.05/2 = t0.025 =
Çözüm:
2.262
Rastsal olarak seçilen 20 bilgisayarın tamirat maliyeti
kaydedilmiştir. Örneklem ortalaması $216.53 ve standart sapması
$15.86 olarak hesaplanmıştır. Tüm bilgisayarların ortalama tamirat
maliyeti %98 güven aralığını oluşturunuz
Güven aralığını oluşturunuz:
n = 20, = 216.53, s = 15.86, c = 0.98, a = 1 – 0.98 = 0.02
t0.02/2 = t0.01 =
Çözüm:
2.539
$207.53 < < $225.53
($207.53, $225.53)
216.53 – 9.00 < < 216.53+ 9.00
İki Örneklem İçin Güven Aralıkları
İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Büyük ve Bağımsız Örneklemler)
• Her bir örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır (n ≥ 30).
• Veri setleri birbirinden bağımsız olmalıdır.
• Her bir popülasyon için bilinmemektedir.
İki Büyük ve Bağımsız Örneklem İçin Hata Payı, E:
zc = Kritik z-değeri
s1, s2 = Örneklem standart sapması
n1, n2 = Örneklem büyüklüğü
Kritik Değer, zc:
Güven Aralıkları İçin Kritik z-değerleri
Güven Düzeyi, c zc
0.80 1.28
0.85 1.44
0.90 1.645
0.95 1.96
0.98 2.33
0.99 2.575
İki Popülasyon Ortalaması İçin Güven Aralığı:
ya da
Bir oto tamircisi yakıt katkısının motordaki aşınmayı azalttığı
yönünde promosyon yapmaktadır. Bağımsız bir araştırmacı, yakıt
katkısını kullanan arabalardan 50 büyüklüğünde bir örneklem
seçmiş, ortalama motor tamirat masrafını 3250$ olarak
hesaplamıştır (standart sapma = 748$). Daha sonra yakıt katkısı
kullanmayan arabalardan 55 büyüklüğünde bir örneklem seçmiş,
ortalama motor tamirat masrafını 3445$ olarak hesaplamıştır
(standart sapma = 812$). Yakıt katkısı kullanan ve kullanmayan
arabaların motor tamirat masraflarının tahmin edilmesi için %85
güven aralığını oluşturunuz.
Güven aralığını oluşturunuz:
Grup 1 = yakıt katkısı kullanan araçlar
Grup 2 = yakıt katkısı kullanmayan araçlar
Çözüm:
3250 – 3445 = –195
Çözüm (devamı):
219
–195 – 219 < 1 – 2 < –195 + 219
–414 < 1 – 2 < 24
(–414, 24)
• Örneklemler bağımsızdır.
• Örneklemlerin seçildiği her bir popülasyon yaklaşık
olarak normal olarak dağılmaktadır.
• Bir yada her bir örneklem için n < 30.
• Her bir popülasyon için bilinmemektedir.
İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Küçük ve Bağımsız Örneklemler)
Küçük ve Bağımsız İki Örneklem İçin Hata Payı, E,
s.d. = n1 – 1 yada n2 – 1 den küçük olanı
ta/2 = Kritik t-değeri
a = 1 – c
s1, s2 = Örneklem standart sapması
n1, n2 = Örneklem büyüklüğü
Bir öğrenci aldığı bir dersten başarısız olmasını öğretmenin
tecrübesizliğinden kaynaklandığını, diğer sınıftaki öğrencilerin
başarısını ise tecrübeli öğretmenlerinden kaynaklandığını
düşünmektedir. Tecrübesiz öğretmenin yaptığı sınava giren 11
öğrencilik bir örneklemin sınav puanları ortalaması 75 (s.s.=8),
tecrübeli öğretmenin sınavına girenler arasından seçilen 9 öğrencilik
bir örneklemin ortalaması 82 (s.s.=5) olarak hesaplanmıştır.
Varyansların farklı olduğu varsayımı ile, sınav ortalamaları
arasındaki gerçek fark için %90 lık güven aralığını oluşturunuz.
Güven aralığını oluşturunuz:
Grup 1 = tecrübesiz öğretmen, Grup 2 = tecrübeli öğretmen,
Çözüm:
75 – 82 = –7
n1 – 1 = 8
t0.10/2 = t0.05 = 1.860
10 ve n2 – 1 =
s.d. = 8
Çözüm (devamı):
5
–7 – 5 < 1 – 2 < –7 + 5
–12 < 1 – 2 < – 2
(–12, –2)