H. Pleiner, H.R. Brand and P.E. Cladis- Phase Transitions in Biaxial Banana Phases

8/3/2019 H. Pleiner, H.R. Brand and P.E. Cladis- Phase Transitions in Biaxial Banana Phases

1/9

P H A S E T R A N S I T I O N S I N B I A X I A L

B A N A N A P H A S E S

H . P L E I N E R

1

, H . R . B R A N D

2

a n d P . E . C L A D I S

3

1 . M a x - P l a n c k - I n s t i t u t e f o r P o l y m e r R e s e a r c h , 5 5 0 2 1 M a i n z

2 . T h e o r e t i s c h e P h y s i k I I I , U n i v e r s i t a t B a y r e u t h , 9 5 4 4 0 B a y r e u t h

3 . A L C T , P O B 1 3 1 4 , S u m m i t , N J 0 7 9 0 2 , U S A

A b s t r a c t : W e d i s c u s s s y m m e t r y p r o p e r t i e s o f v a r i o u s p h a s e s t h a t c a n

r e s u l t w h e n b i a x i a l o b j e c t s w i t h a t l e a s t o n e p o l a r a x i s a r e o r i e n t a t i o n -

a l l y o r d e r e d a n d p a c k e d o n l a y e r s . T h e p o s s i b i l i t y o f s p o n t a n e o u s s p l a y ,

b e n d a n d t w i s t i s a l s o i n v e s t i g a t e d f o r b i a x i a l n e m a t i c , s m e c t i c b a n a n a

a n d d o l p h i n p h a s e s . W e f u r t h e r d i s c u s s a p p r o p r i a t e o r d e r p a r a m e t e r s a n d

e x p r e s s i o n s f o r G i n z b u r g - L a n d a u f r e e e n e r g i e s f o r s o m e p h a s e t r a n s i t i o n s

i n v o l v i n g t h e s e p h a s e s .

K e y w o r d s : S y m m e t r i e s . P o l a r s m e c t i c s a n d n e m a t i c s . B a n a n a s m e c t i c s .

S c a l a r i n v a r i a n t s , s p o n t a n e o u s s p l a y / b e n d / t w i s t . P h a s e t r a n s i t i o n s , o r d e r

p a r a m e t e r s , G i n z b u r g - L a n d a u f r e e e n e r g i e s .

S Y M M E T R I E S

B e c a u s e o f t h e i r u n u s u a l p h y s i c a l p r o p e r t i e s , u i d b i a x i a l s m e c t i c

p h a s e s c o m p o s e d o f b a n a n a - s h a p e d m o l e c u l e s h a v e r e c e n t l y a t t r a c t e d

i n c r e a s i n g i n t e r e s t 1 { 6 ] . I f b a n a n a - s h a p e d m o l e c u l e s ( i . e . b i a x i a l e n -

t i t i e s w i t h o n e p o l a r a x i s m ) a r e o r g a n i z e d o n l a y e r s , t h e r e s u l t i n g

p h a s e s a r e b i a x i a l a n d p o l a r i . e . t h e y d o n o t h a v e

m ! ?

m i n -

v a r i a n c e , w h i l e t h e i r o t h e r t w o d i r e c t i o n s (

n ,

l ) h a v e

n ! ?

n a n d

l ! ?

l i n v a r i a n c e . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e a s s u m e

n a n d

l

a r e p e r p e n d i c u l a r t o

m . I n t h e f o l l o w i n g , w e d i s c u s s p o s s i b l e p h a s e s

w h e n t h e s e d i r e c t i o n s a r e u n t i l t e d r e l a t i v e t o t h e l a y e r n o r m a l ,

k , o r

t i l t e d o n c e o r t w i c e r e l a t i v e t o

k 7 ] .

1 ) T h e U n t i l t e d C a s e :

n k

k ,

m

k a n d

l

k l e a d s t o t h e p o l a r

s m e c t i c C

P

p h a s e 1 ] o f o r t h o r h o m b i c C

2 v

s y m m e t r y .


2/9

H . P L E I N E R , H . R . B R A N D , P . E . C L A D I S

2 ) T w o A x e s T i l t e d :

a . I f n a n d

l a r e t i l t e d b u t m s t a y s p e r p e n d i c u l a r t o

k , t h e s m e c t i c

C

B 2

p h a s e i s o b t a i n e d . S m e c t i c C

B 2

s t i l l h a s a t w o - f o l d p o l a r

a x i s (

m ) b u t n o m i r r o r p l a n e s i . e . n o i n v e r s i o n s y m m e t r y . I t

h a s m o n o c l i n i c C

2

s y m m e t r y d e s c r i b e d b y t h e c o m b i n e d

n ,

k ,

l ! ?

n , ?

k , ?

l i n v a r i a n c e . T h e p h a s e i s c h i r a l e v e n i f t h e

m o l e c u l e s a r e a c h i r a l i . e . h a v e n o a s y m m e t r i c c a r b o n s . T h e r e

e x i s t s a p s e u d o s c a l a r ,

m (

l

n ) , w h i c h b e h a v e s l i k e a s c a l a r

u n d e r a l l o p e r a t i o n s n o t i n v o l v i n g p a r i t y a n d c h a n g e s s i g n a s

s o o n a s b e h a v i o r u n d e r p a r i t y i s i n v o k e d . T h e p r e s e n c e o f s u c h

a p s e u d o s c a l a r a l l o w s f o r t h e e x i s t e n c e o f m a n y a d d i t i o n a l c o u -

p l i n g t e r m s , s i n c e t h e b e h a v i o r u n d e r p a r i t y c a n a l w a y s b e x e d

b y i n t r o d u c i n g o d d p o w e r s o f t h e p s e u d o s c a l a r . I n t h e c o n t e x t

o f t h e C

B 2

p h a s e i t a l s o e x p r e s s e s t h e f a c t t h a t e i t h e r l e f t o r

r i g h t - h a n d e d h e l i c e s a r e p o s s i b l e . N e i t h e r t h e c h i r a l i t y n o r t h e

h e l i c a l d i r e c t i o n i n s m e c t i c C

B 2

i s x e d b y s y m m e t r y . T h e

p s e u d o s c a l a r c a n b e w r i t t e n m o r e g e n e r a l l y a s Q

( k )

i j

Q

( 2 )

j k

i k l

m

l

w i t h Q

( k )

i j

=

k

i

k

j

? ( 1 = 3 )

i j

a n d Q

( 2 )

i j

= n

i

n

j

?

l

i

l

j

t h e o r i e n -

t a t i o n a l o r d e r p a r a m e t e r o f t h e l a y e r n o r m a l a n d t h e b i a x i a l

o r d e r p a r a m e t e r o f

n =

l .

b . I f

m a n d

n a r e t i l t e d b u t

l r e m a i n s p e r p e n d i c u l a r t o

k , t h e r e

i s n o s y m m e t r y a x i s l e f t , b u t t h e r e i s a m i r r o r p l a n e f r o m t h e

l ! ?

l i n v a r i a n c e . T h u s t h e s m e c t i c C

B 1

p h a s e i s o f m o n o c l i n i c

C

1 h

s y m m e t r y , w h i c h i s n o t c h i r a l , w i t h a p o l a r d i r e c t i o n i n t h e

k -

n p l a n e .

3 ) T h r e e A x e s T i l t e d : I f a l l t h r e e a x e s a r e t i l t e d s u c h t h a t n o p a i r

o f t h e m f o r m s a p l a n e w i t h

k , t h e n n o s y m m e t r y i s l e f t a t a l l :

t r i c l i n i c C

1

s y m m e t r y . T h i s l o w e s t s y m m e t r y s m e c t i c C p h a s e ,

C

G

, h a s a p o l a r a x i s a t a n a r b i t r a r y d i r e c t i o n t o

k a n d i s c h i r a l

e v e n w h e n t h e m o l e c u l e s c o m p o s i n g t h i s p h a s e a r e a c h i r a l . A s

i n s m e c t i c C

B 2

, n e i t h e r t h e c h i r a l i t y n o r t h e h e l i c a l d i r e c t i o n i n

s m e c t i c C

G

i s x e d b y s y m m e t r y .

I l l u s t r a t i o n s o f t h e s y m m e t r i e s o f t h e s e p h a s e s c a n b e f o u n d i n 7 { 9 ]

a n d t h e i r s p e c i a l p r o p e r t i e s a r e l i s t e d i n T a b l e I .

T h e p h a s e s w i t h o u t i n v e r s i o n s y m m e t r y , C

B 2

a n d C

G

, h a v e 3

l i n e a r t w i s t c o n t r i b u t i o n s (

n c u r l

n ,

m c u r l

m ,

l c u r l

l ) i n t h e g r a d i e n t

e n e r g y g i v i n g r i s e t o s p o n t a n e o u s t w i s t ( h e l i c e s ) . T h e e x i s t e n c e o f a


3/9

P H A S E T R A N S I T I O N S I N B A N A N A P H A S E S

p o l a r a x i s i m p l i e s t h e l i n e a r s p l a y t e r m d i v

m i n t h e g r a d i e n t e n e r g y .

T h e g e n e r a l C

G

p h a s e a d m i t s , i n a d d i t i o n , t h e 2 s p l a y t e r m s d i v

n

a n d d i v

l , b u t C

B 1

o n l y o n e a d d i t i o n a l i n d e p e n d e n t o n e , (

k

m ) (

k

n ) d i v

n . I n t h e C

G

p h a s e t h e r e a r e 6 l i n e a r d i s t o r t i o n t e r m s o f t h e

' m i x e d ' t y p e ,

n c u r l

m ,

m c u r l

n ,

l c u r l

m ,

m c u r l

l ,

l c u r l

m , a n d

m c u r l

l . T h e s e t e r m s d o o r d o n o t c o n t r i b u t e t o s p l a y , b e n d o r

t w i s t d e f o r m a t i o n s , d e p e n d i n g o n t h e s p e c i c d i s t o r t i o n c o n s i d e r e d .

1

I n C

B 1

t h e r e a r e 4 m i x e d t e r m s (

n c u r l

m ,

m c u r l

n , (

m

l ) c u r l

l ,

(

m

n ) c u r l

n ) , o f w h i c h o n l y t h e t w o l a t t e r o n e s s u r v i v e t h e

l ,

n ! ?

l , ?

n i n v a r i a n c e o f t h e C

B 2

p h a s e . T h e s e t w o t e r m s a r e

n o n - z e r o f o r a h e l i c a l s t r u c t u r e .

p h a s e l o c a l u n t i l t e d c o m p . s p o n t . s p o n t . s p o n t .

c l a s s s y m . a x e s o f P s p l a y ' m i x e d ' t w i s t

C C

2 h

1 n o n e n o n o n o

C

T

C

i

0 n o n e n o n o n o

C

B 2

C

2

1 p o l a r 1 ( i n ) 1 2 3

C

B 1

C

1 h

1 2 2 4 n o

C

G

C

1

0 3 3 6 3

T a b l e I : P r o p e r t i e s o f t h e t i l t e d b a n a n a p h a s e s i n c o m p a r i s o n w i t h

t i l t e d n o n - p o l a r p h a s e s C a n d C

T

.

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t u p o n c o m p l e t e l i n e a r i z a t i o n i n d e v i a t i o n s

f r o m a g r o u n d s t a t e ( e . g .

l

l ?

l

e q

) s o m e o f t h e a b o v e t e r m s m a y

n o t b e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t f r o m o t h e r s . T h i s d o e s n o t m e a n t h a t

t h o s e t e r m s c a n b e d i s c a r d e d , s i n c e t h e e n e r g y d e n s i t y i s r e q u i r e d a t

l e a s t t o q u a d r a t i c o r d e r .

T h e e x i s t e n c e o f l i n e a r t w i s t t e r m s g e n e r a l l y l e a d s t o d e f e c t - f r e e

h e l i c a l o r c o n i c a l - h e l i c a l s t r u c t u r e s . L i n e a r s p l a y t e r m s t a k e n s e p a -

r a t e l y c a n l e a d t o i n h o m o g e n e o u s t e x t u r e s w i t h l a r g e d e f e c t a r e a s .

T h e r e f o r e s u c h t e x t u r e s m a y n o t b e e n e r g e t i c a l l y f a v o r a b l e . T a k e n

t o g e t h e r w i t h l i n e a r t e r m s o f t h e ' m i x e d ' t y p e , l i n e a r s p l a y c a n l e a d t o

b e n d - s p l a y t e x t u r e s w i t h m i n i m a l d e f e c t a r e a s 1 0 ] , s o t h a t t h e g a i n

b y t h e l i n e a r t e r m s m a y s t i l l o v e r c o m e t h e d e f e c t e n e r g y . E x a m p l e s

a r e d i s c u s s e d e l s e w h e r e 1 1 ] .

F o r c o m p a r i s o n w e h a v e a d d e d i n T a b l e I t h e o r d i n a r y s m e c t i c C

p h a s e o f C

2 h

- s y m m e t r y , o b t a i n e d b y t i l t i n g 2 a x e s o f a n o n - p o l a r t r i a d

1

N o t e : b e n d i s a v e c t o r q u a n t i t y s o c a n n o t a p p e a r a l o n e l i n e a r l y , s i n c e s c a l a r

q u a n t i t i e s a r e r e q u i r e d f o r t h e f r e e e n e r g y d e n s i t y .


4/9


w i t h r e s p e c t t o t h e s m e c t i c l a y e r i n g . I f a l l t h r e e ( n o n - p o l a r ) a x e s a r e

t i l t e d , t h e C

T

p h a s e w i t h C

i

- s y m m e t r y ( o n l y i n v e r s i o n s y m m e t r y l e f t )

r e s u l t s . W i t h o u t a n y p o l a r a x i s a n d d u e t o t h e i n v e r s i o n s y m m e t r y

l e f t , n o l i n e a r t e r m s i n t h e g r a d i e n t e n e r g y a r e a l l o w e d .

I n b i a x i a l s m e c t i c p h a s e s , l a y e r s c a n b e s t a c k e d w i t h t h e p o l a r

a x i s o r i e n t e d a l t e r n a t e l y o r h e l i c a l l y f r o m l a y e r t o l a y e r g i v i n g r i s e

t o f e r r i - a n d a n t i f e r r o e l e c t r i c i t y , t o h e l i - a n d a n t i h e l i e l e c t r i c i t y e t c .

F o r t h e c h i r a l c a s e s C

B 2

a n d C

G

t h e s t a c k i n g c a n i n v o l v e a l t e r n a t e l y

l e f t - a n d r i g h t - h a n d e d l a y e r s l e a d i n g t o g l o b a l l y a c h i r a l p h a s e s . T h u s ,

s u c h s t a c k i n g c a n s h o w a g l o b a l s y m m e t r y a n d b e h a v i o r t h a t i s q u i t e

d i e r e n t f r o m t h e l o c a l o n e o f a s i n g l e l a y e r . T i l t e d b a n a n a p h a s e s

a r e r i c h e r t h a n t h e k n o w n u s u a l b i a x i a l s m e c t i c s i n t h e i r s t a c k i n g

o p t i o n s .

p h a s e s y m - p o l a r d e f e c t s p o n t . s p o n t . s p o n t .

c l a s s m e t r y a x e s s t r e n g t h s p l a y ' m i x e d ' t w i s t

N

b x

D

2 h

0 h a l f i n t . n o n o n o

N

I

C

2 v

1 i n t e g e r 1 2 n o

N

I I

C

1 h

2 i n t e g e r 2 4 n o

N

I I I

C

1

3 i n t e g e r 3 6 3

T a b l e I I : P r o p e r t i e s o f b i a x i a l n e m a t i c p h a s e s w i t h d i e r e n t n u m b e r s o f

p o l a r a x e s .

B e s i d e s t h e s e s m e c t i c C p h a s e s ( t h e y a l l h a v e a n i n - p l a n e n e m a t i c -

l i k e d e g r e e o f f r e e d o m - i . e . a r e 2 D a n i s o t r o p i c l i q u i d s ) , s o m e o f w h i c h

h a v e b e e n d e t e c t e d e x p e r i m e n t a l l y , t h e r e a r e o t h e r , u p t o n o w h y p o -

t h e t i c a l , p h a s e s . I t i s c o n c e i v a b l e t h a t n e m a t i c - l i k e p h a s e s w i t h o u t

l a y e r i n g e x i s t . I f o n l y o n e o f t h e n o n - p o l a r a x e s i s o r d e r e d , a n o r d i -

n a r y u n i a x i a l n e m a t i c i s o b t a i n e d . I f t h e p o l a r a x i s i s o r d e r e d ( b u t

n o t t h e o t h e r t w o ) , o n e g e t s a u n i a x i a l p o l a r n e m a t i c ( N

p

) p h a s e ,

t h a t s h o w s s p o n t a n e o u s s p l a y a n d m a y f o r m n o n - h o m o g e n e o u s t e x -

t u r e s 1 2 ] . I f t w o ( a n d t h u s t h r e e ) a x e s a r e o r d e r e d , a b i a x i a l n e m a t i c

p h a s e ( N

I

) w i t h o n e p o l a r d i r e c t i o n (

m ) i s f o u n d , t h a t n o t o n l y g i v e s

r i s e t o l i n e a r s p l a y , d i v

m , b u t a l s o t o l i n e a r ' m i x e d ' - t y p e t e r m s ,

m (

n c u r l

n ) ,

m (

l c u r l

l ) 8 ] . I f b i a x i a l d o l p h i n - l i k e o b j e c t s w i t h

t w o p o l a r a x e s (

n ,

m ) a r e o r d e r e d , a p h a s e N

I I

o f C

1 h

- s y m m e t r y i s

o b t a i n e d (

l ! ?

l i n v a r i a n c e ) . T h e r e a r e 2 l i n e a r s p l a y t e r m s , d i v

m

a n d d i v

n , 4 l i n e a r b e n d - l i k e t e r m s ,

m (

l c u r l

l ) ,

n (

l c u r l

l ) ,

n ( m c u r l m ) , m ( n c u r l n ) , b u t n o l i n e a r t w i s t t e r m s , b e c a u s e


5/9


o f t h e i n v e r s i o n s y m m e t r y . T h e ( h y p o t h e t i c a l ) c a s e o f 3 p o l a r a x e s

r e s u l t s i n a g e n e r a l C

1

- s y m m e t r i c p h a s e ( N

I I I

) .

A n o t h e r p o s s i b i l i t y t o p r e p a r e p h a s e s w i t h l o w s y m m e t r y i s t o

p u t b i a x i a l o b j e c t s t h a t h a v e m o r e t h a n o n e p o l a r a x i s i n t o l a y e r s .

E v e n u n t i l t e d , t w o p o l a r a x e s r e s u l t i n C

1 h

- s y m m e t r i c C

Q

( 0 )

p h a s e s ,

w h i l e w i t h 3 p o l a r a x e s n o s y m m e t r y i s l e f t ( C

R

p h a s e ) , c f . T a b l e

I I I .

T h e r e i s a v a r i a n t o f t h e C

P

p h a s e , C

P

0

, w h e r e t h e p o l a r a x i s i s

p a r a l l e l t o t h e l a y e r n o r m a l . T h i s m a y b e h a r d t o a c h i e v e i n r e a l i t y ,

b u t i t i s a t h e o r e t i c a l p o s s i b i l i t y a n d d i s t i n c t f r o m t h e l o n g i t u d i n a l

f e r r o e l e c t r i c p h a s e s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d 1 3 ] i n t h a t C

P

0

i s b i a x i a l .

W h i l e t h e s y m m e t r y o f C

P

0

i s t h e s a m e a s t h a t o f C

P

, i t c a n l e a d t o a

d i e r e n t r e s u l t i n o n e c a s e u n d e r t h e t i l t o p e r a t i o n . T h e C

G

p h a s e i s

o b t a i n e d w h e n t i l t i n g e i t h e r C

P

o r C

P

0

t w i c e . T i l t i n g t h e p o l a r a x i s

m a n d t h e n o n p o l a r a x i s n w h i l e k e e p i n g

l x e d r e s u l t s i n t h e C

B 1

p h a s e f o r b o t h C

P

a n d C

P

0

. I n c o n t r a s t , i f t h e p o l a r d i r e c t i o n o f C

P

,

m , s t a y s i n t h e l a y e r p l a n e s , w h i l e

l a n d n a r e t i l t e d , t h e C

B 2

p h a s e

r e s u l t s , w h i l e n o t h i n g c h a n g e s f o r t h e s y m m e t r y o f t h e C

P

0

p h a s e

w h e n t h e o r i e n t a t i o n o f m i s x e d a n d t h e o r i e n t a t i o n s o f

l a n d n

a r e t i l t e d - i . e . s i m p l y r o t a t e d i n t h e l a y e r p l a n e .

p h a s e l o c a l p o l a r p o l a r i - s p o n t . s p o n t . s p o n t .

c l a s s s y m . a x e s z a t i o n s p l a y ' m i x e d ' t w i s t

C

M

D

2 h

0 n o n o n o n o

C

P

C

2 v

1 1 D i n 1 2 n o

C

P

0

C

2 v

1 1 D o u t 1 2 n o

C

Q

C

1 h

2 2 D i n 2 4 n o

C

Q

0

C

1 h

2 2 D 2 4 n o

C

R

C

1

3 3 D 3 6 3

T a b l e I I I : P r o p e r t i e s o f t h e b i a x i a l u n t i l t e d s m e c t i c p h a s e s w i t h

d i e r e n t n u m b e r s o f p o l a r a x e s .

T h e C

Q

d o l p h i n p h a s e a l s o c o m e s i n t w o v a r i a n t s : u n p r i m e d ( b o t h

p o l a r d i r e c t i o n s a r e i n - p l a n e ) a n d p r i m e d ( o n l y o n e o f t h e t w o p o l a r

a x e s i s i n - p l a n e ) . T h e y b o t h h a v e t h e s a m e s y m m e t r y . H o w e v e r , i f

t h e y a r e t i l t e d o n c e , t h e C

Q

p h a s e a l w a y s l e a d s t o a C

1

- s y m m e t r i c

p h a s e ( c a l l e d C

D G

) , w h i l e i n C

Q

0

t i l t i n g t h e t w o p o l a r a x e s a b o u t

t h e n o n - p o l a r o n e p r e s e r v e s C

1 h

s y m m e t r y ( l e a d i n g t o a C

D 1

p h a s e )


6/9


a n d o n l y t i l t i n g a b o u t t h e i n - p l a n e p o l a r v e c t o r g i v e s r i s e t o a C

1

-

s y m m e t r i c g e n e r a l C

D G

p h a s e .

F r o m a s y m m e t r y p o i n t o f v i e w t h e s e u n t i l t e d s m e c t i c p h a s e s a r e

v e r y s i m i l a r t o t h e b i a x i a l n e m a t i c c o u n t e r p a r t s ( T a b l e I I ) , a l t h o u g h

h y d r o d y n a m i c a l l y t h e y a r e d i e r e n t . T h e s m e c t i c p h a s e s a r e a l l C

p h a s e s w i t h t w o s y m m e t r y v a r i a b l e s ( l a y e r d i s p l a c e m e n t a n d i n - p l a n e

n e m a t i c r e o r i e n t a t i o n ) , w h i l e t h e b i a x i a l n e m a t i c o n e s h a v e 3 o r i e n -

t a t i o n a l h y d r o d y n a m i c d e g r e e s o f f r e e d o m .

P H A S E T R A N S I T I O N S

A m o n g t h e v a r i o u s p h a s e s d i s c u s s e d , t h e r e a r e n u m e r o u s i n t e r e s t i n g

p h a s e t r a n s i t i o n s . W e b r i e y d i s c u s s s o m e o f t h e m . F o r a p h a s e

t r a n s i t i o n , w h e r e t h e m a c r o s c o p i c p o l a r i z a t i o n P a r i s e s f o r t h e r s t

t i m e , t h e o r d e r p a r a m e t e r i s a v e c t o r : P = P

0

m . P

0

i s t h e s t r e n g t h

o f t h e o r d e r i n g , a n d

m t h e p o l a r a x i s . T h e c o r r e s p o n d i n g G i n z b u r g -

L a n d a u f u n c t i o n a l r e a d s 7 ]

=

0

+

Z

d a P

2

+ c

i j k l

P

i

P

j

P

k

P

l

+ d

i j k l

( r

i

P

j

) ( r

k

P

l

)

+ e

i j k l

P

i

P

j

r

k

P

l

+ f

i j

r

j

P

i

] ( 1 )

w h e r e t h e f o r m o f t h e m a t e r i a l t e n s o r s d e p e n d s o n t h e s y m m e t r y o f

t h e s t a r t i n g p h a s e . F o r t h e i s o t r o p i c t o N

p

t r a n s i t i o n o n e g e t s c

i j k l

=

( c = 3 ) (

i j

k l

+

i k

j l

+

i l

k j

) , d

i j k l

= d

1

i k

j l

+ ( d

2

= 2 ) (

i j

k l

+

k j

i l

) ,

f

i j

= f

i j

, w h i l e e

i j k l

i s o f t h e s a m e f o r m a s c

i j k l

.

F o r t h e s m e c t i c A t o s m e c t i c C

P

t r a n s i t i o n , P h a s t o l i e i n t h e

p l a n e P

k . A s a r e s u l t , t h e m a t e r i a l t e n s o r s a b o v e t h e K r o n e c k e r

d e l t a s i n v o l v i n g P h a v e t o b e r e p l a c e d b y

t r

i j

=

i j

?

k

i

k

j

, e . g . d

i j k l

=

( d

1

t r

i k

+ d

3

k

i

k

k

)

t r

j l

+ ( d

2

= 2 ) (

t r

i j

t r

k l

+

t r

k j

t r

i l

) . S i m i l a r l y , a t t h e N t o N

I

t r a n s i t i o n , w h e r e t h e n e w p o l a r a x i s

m o c c u r s p e r p e n d i c u l a r t o t h e

n o n - p o l a r d i r e c t o r

n , t h e t r a n s v e r s e K r o n e c k e r i s

t r

i j

=

i j

? n

i

n

j

.

2

F o r t h e p o l a r u n i a x i a l t o b i a x i a l t r a n s i t i o n ( N

p

t o N

I

) t h e o t h e r

n o n - p o l a r a x e s o r d e r . T h i s i s d e s c r i b e d b y a t w o - d i m e n s i o n a l s y m -

m e t r i c s e c o n d - r a n k t e n s o r Q

( 2 )

i j

= ( n

i

n

j

?

l

i

l

j

) , w i t h t h e s t r e n g t h

o f t h i s o r d e r i n g .

2

N o t e t h a t t h e G i n z b u r g - L a n d a u e n e r g y d o e s n o t d e p e n d o n t h e a z i m u t h a l

o r i e n t a t i o n o f

m ( w . r . t .

n o r

k f o r N o r C

P

, r e s p e c t i v e l y ) , w h i c h i s a h y d r o d y -

n a m i c G o l d s t o n e m o d e .


7/9


F o r t h e s m e c t i c p h a s e t r a n s i t i o n s i n v o l v i n g o n e a d d i t i o n a l t i l t

d i r e c t i o n , e . g . s m e c t i c C

P

t o C

B 2

, C

P

t o C

B 1

, C

B 1

t o C

G

, C

B 2

t o C

G

a n d C t o C

T

, t h e o r d e r p a r a m e t e r i s s i m p l y t h e t i l t a n g l e ( o r d e r i n g

s t r e n g t h ) , s i n c e t h e t i l t d i r e c t i o n i s a l r e a d y x e d b y s y m m e t r y ( i n

c o n t r a s t t o t h e u s u a l s m e c t i c A t o C t r a n s i t i o n ) . T h e t r a n s i t i o n i s

d e s c r i b e d b y t h e G i n z b u r g - L a n d a u f u n c t i o n a l ( w i t h r e a l )

=

0

+

Z

d a

2

+ c

4

+ d

i j

( r

i

) ( r

j

) + L

( 1 )

g

] ( 2 )

w h e r e L

( 1 )

g

c o n t a i n s t h e l i n e a r g r a d i e n t t e r m s . E q . ( 2 ) s h o w s a !

? s y m m e t r y , s i n c e t i l t i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s i s e n e r g e t i c a l l y e q u i v -

a l e n t , b u t l e a d s t o d i e r e n t s t a t e s . F o r t h e s m e c t i c C

P

t o C

B 2

t r a n -

s i t i o n , e . g . , o p p o s i t e t i l t s d e n o t e t h e d i s c r i m i n a t i o n b e t w e e n l e f t -

a n d r i g h t - h a n d e d v a r i a n t s , w h i c h a r e i n d e e d e n e r g e t i c a l l y e q u i v a l e n t .

T h u s t h e s e p h a s e t r a n s i t i o n s c a n b e o f s e c o n d o r d e r .

T h e h i g h ( l o w ) s y m m e t r y p h a s e i s o b t a i n e d f o r a > 0 ( a


8/9


u s e t w o s c a l a r t i l t a n g l e s a s o r d e r p a r a m e t e r s f o r t h a t t r a n s i t i o n , a s

t w o s c a l a r s a l w a y s c o m m u t e . S i n c e t w o s u b s e q u e n t r o t a t i o n s a b o u t

d i e r e n t a x e s c a n a l w a y s b e d e s c r i b e d a s a n e e c t i v e r o t a t i o n ( a b o u t

s o m e o t h e r a x i s ) t h e o r i e n t a t i o n o f t h e t r i a d i n C

G

i s g i v e n b y t h e

g e n e r a l o r i e n t a t i o n a l o r d e r p a r a m e t e r Q

G

i j

a n d Q

P

i j

i s t h e o r i e n t a t i o n a l

o r d e r p a r a m e t e r i n t h e C

P

p h a s e . W e c h o o s e Q

i j

Q

G

i j

? Q

P

i j

a s

o r d e r p a r a m e t e r f o r t h e C

P

? C

G

t r a n s i t i o n . I t c o n t a i n s t w o a n g l e s

d e n i n g t h e o r i e n t a t i o n o f t h e e e c t i v e r o t a t i o n a x i s ( w . r . t .

k ) , o n e

r o t a t i o n a n g l e , a n d 2 o r d e r i n g s t r e n g t h s d e n o t i n g a p o s s i b l e j u m p

i n t h e u n i a x i a l a s w e l l a s b i a x i a l o r d e r p a r a m e t e r m o d u l u s a t t h a t

t r a n s i t i o n .

W e o b t a i n f o r t h e f r e e e n e r g y

=

0

+

Z

d a Q

i j

Q

i j

+ b

i j k l m n

Q

i j

Q

k l

Q

m n

( 3 )

+ c

i j k l m n p q

Q

i j

Q

k l

Q

m n

Q

p q

+ d

i j k l m n

( r

i

Q

j k

) ( r

l

Q

m n

) + L

( 1 )

g

]

w h e r e L

( 1 )

g

c o n t a i n s a l l t h e n e w l i n e a r g r a d i e n t t e r m s , w h i c h a r e n o n -

z e r o i n C

G

.

T h e t r a n s i t i o n f r o m t h e b i a x i a l n e m a t i c p h a s e s N

I

, N

I I

, N

I I I

t o

t h e o r t h o g o n a l s m e c t i c p h a s e s C

P

, C

Q

, C

R

, r e s p e c t i v e l y , a r e c h a r a c -

t e r i z e d b y t h e o c c u r r e n c e o f l a y e r s . T h e l a y e r n o r m a l , h o w e v e r , i s

n o t a r b i t r a r y b u t x e d t o o n e o f t h e n e m a t i c a x e s ( s a y

n ) . T h u s

t h e o r d e r p a r a m e t e r i s a c o m p l e x s c a l a r ( j u s t a s f o r t h e u n i a x i a l

n e m a t i c - s m e c t i c A t r a n s i t i o n ) a n d

=

0

+

Z

d a j j

2

+ c j j

4

+ d

i j

(

~

r

i

) (

~

r

j

)

] ( 4 )

( w i t h

~

r

i

= r

i

+ 2 i d

? 1

0

n

i

, w h e r e d

0

i s t h e l a y e r s p a c i n g ) w h i c h a l -

l o w s f o r t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e s e t r a n s i t i o n s c a n b e o f s e c o n d o r d e r

i n m e a n e l d a p p r o x i m a t i o n . T h e t e n s o r d

i j

i s o f o r t h o r h o m b i c ( N

I

) ,

m o n o c l i n i c ( N

I I

) a n d t r i c l i n i c ( N

I I I

) f o r m . T h e r e a r e n o l i n e a r g r a d i -

e n t t e r m s i n ( 4 ) , s i n c e t h e p h a s e s i n v o l v e d s u p p o r t t h e s a m e t y p e s

o f l i n e a r g r a d i e n t t e r m s ( c f . T a b l e s I I a n d I I I ) .

F o r t r a n s i t i o n s i n v o l v i n g t h e m a c r o s c o p i c p o l a r i z a t i o n a s w e l l a s

t i l t a n g l e s ( s m e c t i c A t o C

B 1

a n d C

B 2

) o n e h a s t o c o m b i n e d i e r -

e n t o r d e r p a r a m e t e r s . R e g a r d i n g t h e s m e c t i c A p h a s e ( o f b a n a n a

m o l e c u l e s ) a s o n e w i t h n e m a t i c o r d e r o f

n ( k

k ) , b u t d i s o r d e r e d

l

a n d m ( b o t h i n t h e p l a n e s o f t h e l a y e r s ) , t h e t r a n s i t i o n t o C

B 2

o r


9/9


C

B 1

c o n s i s t s o f t i l t i n g

n ( w . r . t .

k ) d e s c r i b e d b y =

0

e x p ( i ) ( l i k e

a t t h e s m e c t i c A t o C t r a n s i t i o n ) a n d a d d i t i o n a l l y b y t h e o c c u r r e n c e

o f a p o l a r i z a t i o n P = P

0

m , p e r p e n d i c u l a r t o

k a n d

n (

m k

k

n )

o r i n t h e

n =

k p l a n e (

m k

k ?

n (

k

n ) ) , r e s p e c t i v e l y .

I f o n e s t a r t s f r o m t h e n e m a t i c p h a s e s , o n e n e e d s o r d e r p a r a m e t e r s

d e s c r i b i n g t h e l a y e r i n g , t h e p o l a r i z a t i o n ( b e g i n n i n g w i t h n o n - p o l a r

u n i a x i a l n e m a t i c s ) a n d t h e t i l t d i r e c t i o n s . T h e m o s t f r e q u e n t l y o b -

s e r v e d p h a s e t r a n s i t i o n i s f r o m t h e i s o t r o p i c p h a s e t o a u i d t i l t e d

s m e c t i c b a n a n a p h a s e r e q u i r i n g a l l o r d e r p a r a m e t e r s : n e m a t i c , s m e c -

t i c l a y e r i n g , p o l a r i z a t i o n a s w e l l a s t i l t d i r e c t i o n s .

S U M M A R Y

T h e b a n a n a a n d d o l p h i n p h a s e s c o n s t i t u t e a n e w c l a s s o f l i q u i d c r y s -

t a l l i n e p h a s e s w i t h u n i q u e s y m m e t r i e s a n d t h u s m a t e r i a l p r o p e r t i e s .

T h e s e l o w s y m m e t r y p h a s e s a l s o a l l o w f o r v a r i o u s t e x t u r e s i n v o l v i n g

s p o n t a n e o u s s p l a y , b e n d a n d t w i s t , a l t h o u g h t h e m o l e c u l e s a r e a c h i -

r a l . T h e r e a r e n e w t y p e s o f p h a s e t r a n s i t i o n s , o f w h i c h t h e m o s t i n t e r -

e s t i n g a r e t h e o n e s , w h e r e t h e p o l a r o r d e r i n g t a k e s p l a c e . H e r e n e w

e e c t s a n d u n u s u a l t e x t u r e s c a n b e e x p e c t e d . T h i s i s a l s o t r u e f o r

t r a n s i t i o n s i n v o l v i n g t h e n e w l i n e a r g r a d i e n t t e r m s d i s c u s s e d a b o v e .

R e f e r e n c e s

1 ] H . R . B r a n d , P . E . C l a d i s , a n d H . P l e i n e r , M a c r o m o l e c u l e s 2 5 , 7 2 2 3 ( 1 9 9 2 ) .

2 ] T . N i o r i , F . S e k i n e , J . W a t a n a b e , T . F u r u k a w a , a n d H . T a k e z o e ,

J . M a t e r . C h e m . 6 , 1 2 3 1 ( 1 9 9 6 ) .

3 ] E . A . S o t o B u s t a m e n t e , S . V . Y a b l o n s k i i , B . I . O s t r o v s k i i , L . A . B e r e s n e v ,

L . M . B l i n o v , W . H a a s e , L i q . C r y s t . 2 1 , 8 2 9 ( 1 9 9 6 ) .

4 ] D . R . L i n k , G . N a t a l e , R . S h a o , J . E . M c L e n n a n , N . A . C l a r k , E . K o r b l o v a ,

D . M . W a l b a , S c i e n c e 2 7 8 , 1 9 2 4 ( 1 9 9 7 ) .

5 ] T . S e k i n e , T . N i o r i , J . W a t a n a b e , T . F u r u k a w a , S . W . C h o i , H . T a k e z o e , J .

M a t . C h e m . 7 , 1 3 0 7 ( 1 9 9 7 ) .

6 ] D . S h e n , S . D i e l e , I . W i r t , a n d C . T s c h i e r s k e , C h e m . C o m m u n . 1 9 9 8 , 2 5 7 3

( 1 9 9 8 ) .

7 ] H . R . B r a n d , P . E . C l a d i s , a n d H . P l e i n e r , E u r . P h y s . J . B 6 , 3 4 7 ( 1 9 9 8 ) .

8 ] H . R . B r a n d , P . E . C l a d i s , a n d H . P l e i n e r , I n t . J . E n g i n . S c i . , i n p r i n t ( 1 9 9 9 ) .

9 ] P . E . C l a d i s , H . R . B r a n d , a n d H . P l e i n e r , t h e s e C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s

1 0 ] P . E . C l a d i s , M . K l e m a n , a n d P . P i e r a n s k i , C . R . A c a d . S c i . ( P a r i s ) B 2 7 3 ,

2 7 5 ( 1 9 7 1 )

1 1 ] H . R . B r a n d , P . E . C l a d i s , a n d H . P l e i n e r , s u b m i t t e d f o r p u b l i c a t i o n .

1 2 ] H . P l e i n e r a n d H . R . B r a n d , E u r o p h y s . L e t t . 9 , 2 4 3 ( 1 9 8 9 ) .

1 3 ] R . G . P e t s c h e k a n d K . M . W i e i n g , P h y s . R e v . L e t t . , 5 9 , 3 4 3 ( 1 9 8 7 ) .

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H. Pleiner, H.R. Brand and P.E. Cladis- Phase Transitions in Biaxial Banana Phases