Hand out
( 3 SKS)PENYUSUN :Drs. PURWANTO WAKIDI
SEKOLAHTINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN ( STKIP )KUSUMANEGARA
JAKARTA2011Mata kuliah Nilai Awal dan Syarat Batas ditujukan untuk
membekali para mahasiswa dengan pengetahuan yang berkaitan dengan
penyelesaian penyelesaian Persamaan Diferensial lanjutan selain
yang pernah diperolehnyadi dalamperkuliahanPersamaanDiferensial.
Pengembangan pemahaman mahasiswa tentang model matematika dari
suatu masalah nyatasederhanayangberbentukPersamaanDiferensial
biasaatauparsial dengan atau tanpa nilai awal dan nilai/syarat
batas serta mampu memecahkannya.Oleh karena itu, pemahaman
mahasiswa mengenai solusideret dalam penyelesaian Persamaan
diferensial adalah topik pertama dalam pembahasan perkuliahan
ini.Lingkup bahasansecara umummeliputi: Metode Aproksimasi untuk
menyelesaikan PDOrder satu, Deret Faurier, Integral Faurier,
Transformasi Faurier, dan Transformasi Laplace. Kompetensi Dasar
yang harus dimiliki oleh mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan
adalah:1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde satu
dengan metode aproksimasi.2. Menentukan deret Fourier dari suatu
fungsi.3. Menghitung nilai integral suatu fungsi dalam fungsi
Gamma.4. Menghitung nilai integral suatu fungsi dalam fungsi
Beta.5. Menggunakan transformasi laplace untuk menyelesaikan
persamaan diferensial.Persyaratan/Prerequisit perkuliahan
adalahKalkulus, Aljabar Linear, dan Persamaan Diferensial Biasa.A.
KALKULUS DIFERENSIAL (MateriPengulangan)1. Definisi turunan:
Turunan fungsi f(x) ditulis f'(x) didefinisikan sebagaif '(x) = 0(
) ( )limxf x x f xx +
Definisi diferensial:Perhatikan fungsi dinyatakan dengan y =
f(x) diferensiabel (dapat diturunkan) pada interval yang mengandung
x. diferensial x ditulis dx, dan diferensial y ditulis dy
didefinisikan dengandy = f '(x) dx. y f(x+ x) f(x) y f '(x) xUntuk
x sangat kecil dinyatakan dengan dx, diperoleh y = f '(x) dx. Dan
aproksimasi pertama dapat ditulis menjadi f '(x) dx f(x+ x) f(x).
dapat pula ditulis menjadif(x+ x) f '(x) dx +
f(x)Contoh:Aproksimasikan nilai fungsi Menggunakan diferensial
hitunglah pendekatan 16,5Solusi: Gunakan f(x) = x f(x + x) f(x) + f
'(x) dx = 12x dxx+Sekarang pilihlah x = 16, dan dx = 0,5, diperoleh
pendekatan berikutf(16,5) = 16,5 f(16+0,5) f(16) + f '(16) dx = 116
(0,5)2 16+ = 4 + 0,0625 = 4,06252. RUMUS RUMUS TURUNAN[ ] 0dCdx[
]dkx kdx[ ( )] ( )ldkf x kf xdx[ ( ) ( )] ( ) ( )l ldf x g x f x g
xdxt t[ ]n n ldx nxdx[sin ] cosdx xdx[cos ] sindx xdx 2[tan ] secdx
xdx[sec ] sec .tandx x xdx2[ t ] cscdco x xdx [csc ] csc .cotdx x
xdx 3. RUMUS RUMUS DIFERENSIALMisalkan u dan v adalah fungsi fungsi
x yang dapat diturunkan, makad(cu) = c dud(u t v) = du t dvd(u.v) =
udv + vduduv _ ,=2vdu udvv4. ATURAN RANTAI: (1). d(un) = nun 1
du(2)..dy dy dudx du dxContoh:Carilah dydx, jika diberikan 2211uyu+
dan 3 22 u x +Penyelesaian:Bila 2211uyu+ maka 2 22 22 ( 1) 2 ( 1)(
1)dy uu uuduu+ + dan bila 3 22 u x += ( )1/322 x+maka 2 2/31( 2) (2
)3dux xdx +=2 2/32( 2)3xx+sehingga dydx, jika diberikan 2211uyu+
dan 3 22 u x + adalah .dy dy dudx du dx2 22 2/32 22 ( 1) 2 ( 1) 2.
( 2)3( 1)dy uu uu xxdxu+ ++3 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2/33 2 2 22 2(( 2)
1) 2 2(( 2) 1) 2. ( 2)3(( 2) 1)dy x x x x xxdxx+ + + + + ++
+LATIHAN:Pada soal soal 1 sampai dengan 18, carilah turunan 1.2.5 4
25 10 6 y x x x + +3.1/2 3/2 1/23 2 y x x x +4.21 42yx x +5.2 2 y x
x +6.32 6( ) f tt t +7.6(1 5 ) y x 8.3 4( ) (3 1) f x x x +9.2
1/2(3 4 ) y x x + 10.3 22 3rr++11.51xyx _ + ,12.22 2 y x x 13.2( )
3 2 f x x x 14.2( 1) 2 2 y x x x +15.21 4wzz16.1 y x +17.1( )1xf
xx+18.2 4 3 3( 3) (2 5) y x x + 19.2223tst+20.42312 1xyx _ + ,1.
TURUNAN FUNGSI EKSPONENDefinisi :fungsi eksponen dengan basis e =
1lim 1tt t _+ ,adalah f(x) = xe. Domainf(x)
adalahsemuabilanganreal, sedangkanrangef(x) adalah semua bilangan
real positif. Persamaan grafik y = = xe akan mempunyai invers y =
ln |x|, lihat grafiknya berikut.Turunan fungsi f(x) = xeadalah f '
(x) = xe.Dalam notasi diferensial menjadi d(ue)=ue duFungsi
eksponen lain adalah f(x)= xa.y = xa ln y = x ln |a| menjadiy =
.ln( ) x ae, sehingga turunannya adalah y ' = ln( )xea. Dalam
notasi diferensiald(xa) = ln( )xedxaLatihan:Tentukan turunan fungsi
yang persamaannya sebagai berikut1.2.5xy e 3.tan3xy e 4.cos x xy
e5.23xy6.1sin ( )xy e7.xey e 8.xy x 9.2log(3 5) y x 1.TURUNAN
FUNGSI HIPERBOLIK1.1. Definisi fungsi hiperbolik: Fungsi sinus
hiperbolik dalam x ditulis sinh x didefinisikan f(x) = sinh x = 2x
xe e dan fungsi cosinus hiperbolik dalam x ditulis cosh x adalah
f(x)=cosh x = 2x xe e+ Domain fungsi fungsi tersebut adalah semua
bilangan real, dan grafiknya adalah Definisi fungsi fungsi
hiperbolik secara lengkap adalah 1.2. Turunan fungsi hiperbolik:
Turunan fungsi hiperboliksepertiy =sinh xdapat ditentukan dengan
sederhana dengan menggunakan rumus turunan, yaitu:
(sinh ) ( ) cosh2 2x x x xd d e e e ex xdx dx + + Jadi (sinh )
coshdx xdxDengancarayangsamamudahdibuktikanpulaturunanfungsi
hiperbolik yang lain, yaitu: Latihan: Carilah dy/dx 1.2.sinh3 y x
3.1cosh2y x 4.2tanh(1 ) y x +5.1coth yx6.2sec y x hx 7.1 1sinh24 2y
x x 8.2 2csc ( 1) y h x +9.ln.tanh2 y x 1. INVERS FUNGSI
HIPERBOLIKDEFINISI:Invers fungsi hiperbolik adalah fungsi fungsi
yang di definisikan sebagai berikut.Dengan mengingat sinh y = 1(
)2y ye e dan cosh y = 1( )2y ye e+, dapat di definisikan pula
invers fungsi hiperbolik sebagai berikut.Grafik grafik invers
fungsi hiperbolik dapat dilihat sebagai berikutRumus rumus turunan
invers fungsi hiperbolik.Latihan:selesaikan latihan berikut dengan
menggunakan rumus rumus di atas. Tentukan turunan invers fungsi
hiperbolik di bawah dengan menggunakan rumus rumus di atas.2.
TURUNAN LEBIH TINGGIBila fungsi y = f(x) selalu dapat diturunkan
dalam selang a x b, maka turunannya adalahdydx = f ' (x); 22d ydx =
f '' (x) ; 33d ydx= f ''' (x); ... ; nnd ydx= f n (x)Turunan
tersebut adalah turunan pertama; turunan ke-2; turunan ke-3; ...;
turunan ke-n. Hubungan f(x) dengan turunan turunannya pada sebuah
titik x c adalah f(x) = f(c) + f'(c) (x-c) + ( )2!llf c(x-c)2 + (
)3!lllf c(x-c)3 + ( )4!lvf c(x-c)4 + ... .Disebut deret Taylor.Bila
nilai c pada deret Taylor bernilai 0 , yaitu c = 0 diperoleh deret
maclaurin, yaituf(x) = f(0) + f'(0) x + (0)2!llfx2 + (0)3!lllfx3 +
(0)4!lvfx4 + ... .3. Deret Taylor dan deret
MaclaurinPolinomaljabaradalah f(x)= a0+a1x+ a2x2+ a3x3+...+
anxn,bila dikaitkan dengan turunan- turunannya dalam selang yang
mengandung c, akan diperoleh deret Taylor. Nilaic disebut pusat.
Untuk c = 0 bentuk deret tersebut adalah deret Maclaurin.Perhatikan
definisi berikut.Beberapa contoh fungsi yang dinyatakan oleh deret
fungsi aljabar tersebut4. V5.A.KALKULUS
INTEGRAL(MateriPengulangan)1. INTEGRAL SEBAGAI ANTI TURUNAN.2.
ILUSTRASI SEDERHANASelesaikanlah:1). Bila f ' (x) = 2x , maka f(x)
= ...2). Bila dy/dx = x3 4x + 7 , maka y = 3. RUMUS DASAR
INTEGRALRumus dasar integral: Contoh:Secara umum rumus dasar
integral adalahLatihan:4. RUMUS RUMUS UMUM INTEGRALLatihan:5.
TEKNIK INTEGRASI1). Metode substitusi:Pola teknik integrasi dengan
metode substitusi adalahContoh:2). Integral parsial Pola teknik
integrasi dengan integral parsial adalahContoh contoh:(1). Carilah:
Jawab: (2). Carilah: Jawab: 3). Teknik Integrasi dengan substitusi
fungsi trigonometriContoh:Jawab:Latihan:selesaikanlah6. Integral
tertentu:Contoh:Latihan:7. RUMUS RUMUS INTEGRAL LANJUTAN1). RUMUS
FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRILATIHAN:8. RUMUS REDUKSI(1). (2).
(3).(4). 9. B10.B11.B12.B. DERET PANGKAT DAN PENYELESAIAN PD ORDE
SATUDERET SEBAGAI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)1. Metode
deret kuasaDefinisi : Deret kuasa adalah deret tak hingga dalam ( x
- x0 )yang berbentuk :(1)00) (mmmx x a= a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2 +
.dengan a0, a1, a2, adalah konstan dan merupakan koefisien deret
itu.x0 adalah konstan pula dan disebut pusat deretxdisebut variabel
deret.Bila pusat deret x0 = 0, maka deret kuasa disebut deret kuasa
dalam x (2)0.mmm x a= a0 + a1 x + a2 x2 + a 3 x3 .Bahasan ini
dibatasi dengan mengasumsikan bahwa semua konstanta dan variabel
adalah bilangan riel.Contoh contoh deret kuasa yang telah dikenal
adalah deret Maclaurin x 1 1 = 0 mmx = 1 + x + x2+x3+ .( | x | <
1 , deret geometri )ex = 0!mmmx = 1 + x + ! 22x+ ! 33x + ,2xe= 20(
)!mmxm = 1 + x2 + x42! + 63!x + ,cos x = 02)! 2 () 1 (mm mmx = 1 -
! 22x+ 44!x- ... + , sin x = ++01 2)! 1 2 ( ) 1 (mm mm x = x - !
33x+ ! 55x-+ .Gagasan Metode Deret Kuasa (pangkat)Bila deret pada
(2) di atas merupakan nilai persamaan (3)y =0.mmm x a= a0 + a1 x +
a2 x2 + a 3 x3Dan diturunkan tiap tiap sukunya menjadi (4) y = 11.
.mmm x a m = a1 + 2.a2 x + 3.a3 x2 + 4.a4 x3 + Dan dilanjutkan
ymenjadi (5)y = 22. ). 1 (mmm x a m m= 2a2 + 3.2a3.x + 4.3.a4 x2 +
dan seterusnya .2. Metode deret kuasa sebagai penyelesaian
persamaan diferensial.Gagasan penurunan persamaan (3) dan (4)
diatas dapat dimanfaatkan untuk penyelesaian persamaan
diferensial.Perhatikan contoh berikut :Contoh 1 : Selesaikan
persamaan diferensial y y = 0Penyelesaian :Apabilay sesuai
persamaan (4) dan y sesuai persamaan (3) disubstitusikan ke
persamaan, maka diperoleh ( a1 + 2.a2 x + 3.a3 x2 + 4.a4 x3 + ) (a0
+ a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = 0Kumpulkan suku suku yang sederajat,
diperoleh ( a1 a0) + (2a2 a1)x + ( 3a3 a2 ) x2 + ( 4a4 a3 )x3 + . =
0Persamaan terakhir pasti benar apa bila tiap konstan dan koefisien
bernilai nol, menjadi a1 a0 = 0 ,2a2 a1 = 0, 3a3 a2 = 0, 4a4 a3 = 0
, .dengan memecahkan persamaan persamaan tersebut akan diperoleh a1
=a0 ,a2= 21 a0 = ! 21 a0,a3 = 61 a0 = ! 31 a0,a4= 241a0 = ! 41a0,
.Penyelesaian persamaan diferensial tentu berbentuk umum y = a0 +
a1 x + a2 x2 +a3 x3, dan bila disubstitusi hasil terakhir menjadi
:y =a0 + a0 x + ! 21 a0 x2 + ! 31 a0 x3 + y = a0 ( 1 + x +! 21 x2 +
! 31 x3 + ) = a0 e x. Contoh lain :selesaikanlah persamaan
persamaan diferensial 1.y = 2xy.Penyelesaian
:..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2.y
+ y = 0Penyelesaian
:..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Latihan
:Latihlah pemahaman yang sudah diperoleh untuk menguatkan keyakinan
terhadap penggunaan deret kuasa untuk pemecahan persamaan
diferensial.1.y = 3 y2.y= xy 3. y = 2xy 4. ( 1 + x ) y = y5. y+ 2 y
= 06. ( 1 x ) y= y7.(1 x2) y= y8. y= ky,untukk R.9. y = y10. y = 4
y11. y + 9y = 012. y = y.A. DERET FOURIERDERET FOURIER1. Fungsi
periodikDefinisi:Fungsi yang berbentukf( x + A) = f(x) disebut
fungsi periodikNilai positif terkecil A disebut periode
f(x)Teorema:Bila fungsi fungsi periodik f1 , f2, f3 , ... ,
memiliki periode periode A1, A2, A3, ... . maka periode fungsi f1 +
f2 + f3 + ....adalah KPK dari A1, A2, A3, ... .Ilustrasi -
ilustrasi:1). Fungsi f(x) = 2 3 sin (2x -300) Untuk f(x + ) maka
diperoleh pula f(x + ) = 2 3 sin ( 2(x +) 30o)= 2 3sin(2x 30o + 2)
= 2 3 sin(2x 30o)= f(x) Jadi f(x) = 2 3 sin (2x -30o)adalah fungsi
periodik 2). Fungsi didefinisikan dengan f(x) = 11( cos sin )2o n
nna a nx b nx+ +dengan an dan bn adalah konstanta sembarang.Fungsi
itu dapat ditulis sebagai 1 1 2 21( ) cos sin cos 2 sin 2 ... cos3
sin ...2 + + + + + + + +o n nfx a a x b x a x b x a x b nx
Periodenya adalah KPK dari 2 2. Deret trigonometriDeret yang
ditulis sebagai jumlahan bentuk:1 1 2 21cos sin cos 2 sin 2 ...
cos3 sin ...2+ + + + + + + +o n na a x b x a x b x a x b nxApabila
an dan bn pada deret tersebut konstan maka deret disebut sebagai
deret trigonometri.3. Deret FourierDeret trigonometri 1 1 2 21cos
sin cos 2 sin 2 ... cos sin ...2+ + + + + + + +o n na a x b x a x b
x a nx b nxDeret tersebut adalah konvergen, dan dapat dinyatakan
dengan:1 1 2 21( ) cos sin cos 2 sin 2 ... cos sin ...2 + + + + + +
+ +o n nfx a a x b x a x b x a nx b nxAtau ditulis dalam notasi
sigma menjadi:11( ) ( cos sin )2 + + o n nnfx a a nx b nxDengan
kooefisien an dan bn konstan memenuhi syarat tertentu disebut deret
Fourier.Untuk menentukan kostanta:01( ) a f xdx1( )cosna f x nx dx;
untuk n = 1, 2, 3, 4...1( )sinnb f x nx dx ; untuk n = 1, 2, 3, 4
...Contoh: Fungsi f periodik dengan periode2ditentukan oleh f(x) =
- x dalam selang
