Hasonlóság

10. évfolyam

1

Hasonlóság

Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya,

és értékkészlete is ponthalmaz.

Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk. Ezt a

transzformációk szorzatának nevezzük.

1.) Milyen geometriai transzformációkat látsz?

Hasonlóság

10. évfolyam

2

3.) Az alábbi síkidomokon jelöld a tükörtengelyeket, a szimmetriaközéppontokat. Sorold fel

azoknak az alakzatoknak a sorszámát, melyek forgásszimmetrikusak!

4.

Hasonlóság

10. évfolyam

3

Középpontos hasonlósági transzformáció:

Definíció: Adott egy A pont, egy valós

szám (λ), és egy O középpont.

Ha A = O, akkor A képe önmaga.

Ha A ≠ O, és λ > 0, akkor A képe A’ az

OA’ félegyenesen van (O-ban kezdődő

félegyenes A-n túli meghosszabbításán),

és OA’=λ∙OA.

Ha A≠O, és λ < 0, akkor A képe A’ az OA-

t nem tartalmazó félegyenesen van, és

OA’=|λ|∙OA.

λ: a középpontos hasonlóság aránya

Ha |λ| > 1, akkor nagyítás; ha , akkor | λ |< 1, akkor kicsinyítés.

Definíció: Hasonlónak nevezünk két alakzatot, ha

van olyan hasonlósági transzformáció, amely

egyik alakzatot a másikba viszi át.

Jele: ~

Háromszögek hasonlósága

1.) A megfelelő oldalak hosszának aránya egyenlő

2.) Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és az általuk közbezárt szög egyenlő

3.) Két-két szögük páronként egyenlő

4.) Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és e két-két oldal közül a

hosszabbikkal szemközt lévő szögük egyenlő.

Sokszögek hasonlósága

1.) A megfelelő oldalaik és a megfelelő átlóik aránya egyenlő

2.) Megfelelő oldalaik aránya egyenlő, és megfelelő szögeik páronként

egyenlők

Hasonlóság

10. évfolyam

4

6.) Rajzolj koordinátarendszerbe derékszögű háromszöget, melynek csúcsai A(0; 4), B(6; 0)

és C(0;0).

a) Nagyítsd a háromszöget középpontosan kétszeresége úgy, hogy az origó legyen a

középpont. Színezd pirosra a kapott képet.

b) Nagyítsd az eredeti háromszöget középpontosan kétszeresére úgy, hogy a B pont legyen a

középpont! Színezd kékre a kapott képet!

c) Kicsinyítsd az eredeti háromszöget középpontosan a felére úgy, hogy az origó legyen a

középpont! Színezd zöldre a kapott képet!

d) Kicsinyítsd az eredeti háromszöget középpontosan a felére úgy, hogy a C csúcs legyen a

középpont! Színezd lilára a kapott képet!

7.) Rajzolj koordinátarendszerbe derékszögű háromszöget, melynek csúcsai A(0; 2), B(4;0) és

C(0;0). Rajzold meg a következő hasonlósági transzformációkkal megadott képeit az eredeti

háromszögnek! Mind a négy esetben olvasd le az így kapott háromszögek koordinátáit!

a) λ = - 1 és középpont az origó

b) λ = - 2 és középpont az origó

c) λ = - 3,5 és középpont az origó

d) λ = -1 és középpont D(5; 4)

5.

Hasonlóság

10. évfolyam

5

8.) Számold ki a mellékelt ábrán a hiányzó adatokat!

9.) A mellékelt ábra alapján töltsd ki a táblázatot!

a b p q x y

10 15 25 18

2 5 7 6

12 14 8,4 16

5 14,4 6 16,8

5 4 12 20

16 12 9 42

6 10 15 32

10.) Az alábbi ábrák alapján számold ki a hiányzó adatokat!

a) b)

11.) Egy szög szárait párhuzamosokkal metszettük el. Jelöljük a keletkezett

szakaszokat rendre a, b, c, d, e, f-fel. Add meg a hiányzó szakaszok hosszát, ha

4d , 7e , 10f .

12.) Az ábrán látható paralelogramma oldalai 6 és 4

cm hosszúak. Milyen hosszú a CF szakasz, ha BE = 2 cm?

12.) Az ábrán látható ABCD trapéz oldalai AB = 7,2 cm; CD = 4,8 cm és

AD = 3 cm hosszúak. Milyen hosszú a DM szakasz?

13.) Egy háromszög oldalai 5; 7; 9 centiméteresek. Mekkorák a hozzá hasonló

háromszög oldalai, ha λ = 1,5?

Hasonlóság

10. évfolyam

6

14.) a) A tervrajzon egy szoba 5 m hosszú oldala 20 cm hosszú. A szoba 3,8 méteres

szélessége hány cm-nek felel meg a tervrajzon?

b) Egy térképen két település távolsága 5,2 cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a

térkép méteraránya 1:25000?

15.) a) Amikor egy víztorony árnyéka 40 m hosszú, akkor egy 2 m-es karó árnyéka 2,5 m

hosszú. Milyen magas a víztorony?

b) Egy két méter magas bot árnyéka 2,8 m hosszú. Milyen magas az a kémény,

aminek az árnyéka 38 m hosszú?

16.) a) Egy háromszög oldalainak aránya 4: 5: 6. Egy hozzá hasonló háromszög legkisebb

oldala 8 cm-es. Mekkora a háromszög másik két oldala?

b) Egy háromszög oldalainak aránya 4: 5: 6. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete 60 cm.

mekkorák ennek a háromszögnek az oldalai?

c) Két egyenlő szárú háromszög szárszöge ugyanakkora. Az egyik háromszög oldalai 8; 10;

10 cm hosszúak. A másik háromszög alapja 5 cm-es. Mekkorák a hiányzó oldalak?

d) Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9:12:15, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 150 cm.

Mekkorák az oldalai?

e) Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló

négyszögnek az oldalait, melynek legkisebb oldala 20 cm.

f) Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló

négyszögnek az oldalait, melynek kerülete 416 cm.

17.) a) Egy trapéz oldalai a = 10 cm; b = 4 cm; c = 6 cm és d = 3 cm. Mekkorák a trapéz

kiegészítő háromszögének oldalai?

b) Egy trapéz alapjai 2 és 3 cm hosszúak. A kiegészítő háromszögének

oldalai 4 és 5 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szárai?

c) A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap

által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az

alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm?

d) Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik

alappal kezdve rendre: 10 cm, 6 cm, 3 cm, 4 cm?

e) Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik

alappal kezdve rendre: 11 cm, 5,4 cm, 6 cm, 3,5 cm?

f) Egy trapéz alapjai 15 és 20 cm, szárai 8 és 10 cm. Mekkorák a kiegészítő háromszög

oldalai?

Hasonlóság

10. évfolyam

7

18.) Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy segítségül

hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állítjuk, ahol a sisakja

legfelső pontja éppen egyvonalban látszik a piramis tetejével. A piramis

tőlünk 2,4 km távolságban van, a társunk 5,52 méterre. A szemünk 162

cm magasan, társunk sisakjának legfelső pontja 192 cm magasan van a

talaj fölött. Milyen magas a piramis?

19.) Egy trapéz alapjai 9 cm és 15 cm. Szárait felosztjuk három egyenlő részre, és az

osztópontokon keresztül párhuzamosokat húzunk az alapokkal. Milyen hosszúak ezek a

szakaszok?

20.) A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az

arányokat. Mekkorának méri az 1,2 méteres magasságot a festő, ha a fa

tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér?

21.) Egy fényképész a múzeumban egy 150 cm magas képről szeretne

fotót készíteni úgy, hogy az egész kép látható legyen a fotón. A

fényképezőgépen 35 mm magas a film, amin a kép keletkezik, és a

film az objektívtől 100 mm-re található. Milyen messze tegye a

fényképezőgép állványát a képtől?

22.) Egy 800 m magas hegy tetejéről egy vitorlázórepülő elkezd zuhanni. Hol fog földet érni a

hegyhez képest, ha éppen ki tudta kerülni a hegytől 1 km-re lévő 3 m magas villanyoszlopot?

23.) Egy egyenes csúszda 50 m hosszú. Milyen magasra kell felmásznia annak, aki le akar

csúszni, ha a csúszda a közepén egy 8 m-es acélrúddal alá van támasztva?

24.) Egy hajó a tengeren vesztegel. Mi a világítótoronytól 80 m-re vagyunk a hajó fedélzetén,

az 5 m magas árboctól 10 m-re. Ekkor pont nem látjuk az árboc tetejétől a világítótorony

tetejét. Milyen magas a világítótorony?

Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya

Tétel: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő.

𝑇′

𝑇= 𝜆2

Tétel: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő.

𝑉′

𝑉= 𝜆3

Hasonlóság

10. évfolyam

8

25.) Egy kockát 1,5-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 144 cm2 .

Mekkora volt az eredeti kocka térfogata?

26.) Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 12 : 5, átfogója 6,5 cm. Hányszorosára

nagyítottuk a háromszöget, ha területe 120 cm² lett?

27.) Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek a

kerülete 25%-kal csökkent?

Magasságtétel, befogótétel

Magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az

átfogó két szeletének.

𝑚 = √𝑝 ∙ 𝑞

Befogótétel: Derékszögű háromszögben az egyik

befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges

vetületének és az átfogónak.

𝑎 = √𝑝 ∙ 𝑐, 𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑣𝑒 𝑏 = √𝑞 ∙ 𝑐

28.) Mekkora a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága, ha befogói 6 dm és 9

dm hosszúságúak?

29.) A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 4 cm, az átfogó egyik szelete 2

cm hosszú. Mekkorák a háromszög oldalai?

30.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 m, az átfogóhoz tartozó magasság 3 m.

Mekkora a többi oldala?

31.) Egy derékszögű háromszög átfogóját az átfogóhoz tartozó magasság (amely 4 cm hosszú)

1 : 4 arányú szakaszokra bontja. Mekkora a háromszög kerülete, területe?

32.) Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság a 16 cm-es átfogót 1 : 3

arányban osztja. Mekkora a háromszög kerülete, területe?

33.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 8 és 18 cm hosszúságú

szakaszokra bontja. Mekkora a háromszög kerülete, területe?

34.) Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm, a hozzá tartozó magasság 6 cm. Milyen

hosszú szakaszokra bontja az átfogót a magasság? Mekkora a háromszög kerülete, területe?

Hasonlóság

10. évfolyam

9

35.) Egy derékszögű háromszög befogói 10 és 24 cm hosszúak. Milyen hosszú szakaszokra

bontja az átfogót a hozzá tartozó magasság? Mekkora a háromszög területe? Határozd meg a

háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugarát!

36.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 2 és 8 cm-es szakaszokra

bontja. Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát! Mekkora a háromszög területe?

Határozd meg a háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugarát!

37.) Egy derékszögű háromszög befogói úgy aránylanak egymáshoz, mint 3 : 7, az átfogóhoz

tartozó magasságvonal hossza 42 cm. Mekkora a háromszög kerülete?

Gyakorlófeladatok a „kék” könyvből: PSZT/PSZSZT: 1108; 1112-1113; 1171; 1172; 1179-

1184. Hasonlóság: 1017-1021.; 1039; 1089-1107. Magasság-és befogótétel: 1141-1146..

Kiegészítő anyag

Párhuzamos szelők tétele: (PSZT) Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok

aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

𝐴𝐵

𝐶𝐷=

𝐴′𝐵′

𝐶′𝐷′

Párhuzamos szelőszakaszok tétele: (PSZSZT) Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett

szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával.

𝐴𝐷

𝐴𝐵=

𝐷𝐸

𝐵𝐶

Adott AB szakasz x:y arányú felosztása:

1.) Az AB szakaszt felvesszük

2.) Az A pontból egy tetszőleges segédegyenest húzunk:

e egyenes

3.) Az e egyenesen felveszünk (x + y) darab egyenlő szakaszt:

P pont (Az ábrán 5 darab szakaszt mértünk fel)

4.) A P pontot összekötjük B-vel

5.) Az A ponttól leszámolunk x darab szakaszt: Q pont

6.) A Q ponton keresztül párhuzamos egyenest szerkesztünk a PB szakasszal

7.) Ahol ez az egyenes elmetszik az AB szakaszt: C pont

8.) Így AC: CB = x: y.