Anadolu Üniversitesi

Endüstri Mühendisliği Bölümü

İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi

2010-2011 Bahar Dönemi

Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS

2

• Bu sunu izleyen kaynaklardaki örnek ve

bilgilerden faydalanarak hazırlanmıştır. • Wayne L. Winston, OPERATIONS RESEARCH

Applications and Algorithms “Chapter 7, Transportation, Assignment, and Transshipment Problems”, 4th edition, 2004, Brooks/Cole-Thomson Learning.

Rastlayabileceğiniz hataların sorumluluğu tarafıma ait olup, beni haberdar etmenizden memnun olacağımı ifade ederim.

Doç. Dr. Nil ARAS

AÇIKLAMA

3

En kısa güzergah problemi

• Ayrıtları, iki düğüm arasındaki uzaklığı gösteren bir

serimde, başlangıç düğümden (kaynak düğüm),

verilen bir bitiş düğümüne (varış düğümü) toplam

ayrıt uzunluğu enküçük olan güzergahı bulma

problemidir.

Başlangıç düğüm: initial node

Bitiş düğümü: terminal node

En kısa yol : shortest path (path of minimum length)

4

Örnek: Powerco…

• Powerco örneğini hatırlayalım. Birinci santralden birinci şehre olan gönderimin aktarma istasyonları vasıtasıyla gerçekleştiğini ve santral ile birinci şehir arasında 4 adet aktarma istasyonu olduğunu farzedelim. Santral ve şehir arasındaki enkısa yolu bulmak için serim modellerinden faydalanabiliriz.

• Santralden gönderilecek elektrik maliyetinin uzaklıkla doğru orantılı değişmesi halinde, hangi güzergahın izleneceği problemi.

• Ayrıtlardaki yönler,hangi düğümden hangisine geçişin mümkün olduğunu, her bir ayrıtın üzerindeki sayılar ise, karşı gelen iki düğüm arasındaki uzaklığı göstermektedir.

5

Kaynak santral +4 aktarma noktası +varış noktası =6 düğüm

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

6

Dijkstra Algoritması

• Bütün ayrıt uzunluklarının negatif olmadığı

(nonnegative) varsayımıyla,

• Bir düğümden (örneğin birinci düğüm) diğer tüm

düğümlere olan en kısa güzergahları bulur.

• Başlangıçtan bitişe en kısa güzergahı belirlerken,

yanısıra da, her düğümün başlangıca göre enkısa

güzergahını da vermekte böylece, başlangıçtan tüm

düğümlere enkısa güzergahlar bulunmuş olmaktadır.

7

Dijkstra Algoritmasının Adımları

1. Başlangıç düğüm geçerli (permanent) küme öğesi olarak

ele alınıp, komşu erişilebilir düğümler kümesi belirlenir.

2. Geçerli düğümler kümesi içinden erişilebilir düğümler

kümesine enkısa olan bağlantı (ayrıt) bulunup, saklanır

(Xij=1). Bu düğüm son düğümse durulur, değilse 3. adıma

geçilir.

3. Yapılan bağlantıya karşı gelen erişilebilir küme düğümü,

geçerli kümeye aktarılır.

4. Eldeki geçerli düğümler kümesinin erişilebilir düğümler

kümesi bulunup 2. adıma geri dönülür.

8

Örnek: Powerco…

Geçerli

düğümler

kümesi

Erişilebilir

düğümler

kümesi

Saklanan

ayrıt

Toplam

uzaklık

1

1,3

1,3,2

1,3,2,5

1,3,2,5,4

2 ,3

2,5

4,5

4,6

6

(1,3)

(1,2)

(3,5)

(2,4)

(5,6)

3

4

6

7

8

9

Geçerli düğümler kümesi ={1}

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

10

Erişilebilir düğümler kümesi ={2,3}

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

11

Saklanan ayrıt=(1,3)

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

12

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Geçerli düğümler kümesi={1,3} Erişilebilir düğümler kümesi ={2,5}

13

Saklanan ayrıt =(1,2)

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

14

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Geçerli düğümler kümesi={1,2,3} Erişilebilir düğümler kümesi ={4,5}

15

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Saklanan ayrıt =(3,5), (2,5)

16

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Geçerli düğümler kümesi={1,2,3,5} Erişilebilir düğümler kümesi ={4,6}

17

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Saklanan ayrıt =(2,4)

18

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Geçerli düğümler kümesi={1,2,3,4,5} Erişilebilir düğümler kümesi ={6}

19

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

Saklanan ayrıt =(5,6)

20

1

5 3

2 4

6

4

3

3

2

3

2

2

EN KISA YOL (1): 1 3 5 6 EN KISA YOL (2): 1 2 5 6

DONANIM YENİLEME PROBLEMİNİN

EN KISA YOL PROBLEMİNE

DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

21 Anadolu Üniversitesi, IST328 Yöneylem Araştırması 2, 2011 Bahar, Doç. Dr. Nil Aras

22

(Winston, sayfa 415)

• Yeni satın alınan bir otomobilin fiyatı 12,000 $ dır (t=0 zamanında). Bir otomobilin bir yıllık bakım maliyeti, yıl başlangıcındaki yaşına bağlıdır. Otomobil eskidikçe, artan yüksek bakım maliyetlerini kabullenmek yerine, eski arabayı takas yapıp yine 12,000 $ a yeni bir araba satın alınabilir. Her yılın başında arabanın yenileneceği veya kullanılacağı kararı verilecektir.

• Hedef, izleyen 5 yıl boyunca ortaya çıkacak net maliyeti enküçükleyecek bir stratejinin belirlenmesidir. (Yeni araba satın alma fiyatının 5 yıl boyunca değişmeyeceği varsayılmaktadır.)

23

Arabanın

yaşı (yıl)

Yıllık bakım

masrafı

Arabanın

yaşı (yıl)

Takas fiyatı

0 $2,000 1 $7,000

1 $4,000 2 $6,000

2 $5,000 3 $2,000

3 $9,000 4 $1,000

4 $12,000 5 $0

Problemin serim modeli

24 Anadolu Üniversitesi, IST328 Yöneylem Araştırması 2, 2011 Bahar, Doç. Dr. Nil Aras

• Serim 6 düğümden oluşur. i, j: yıllar olmak üzere;

• (i,j) ayrıtı : i. yıl başlangıcında yeni bir araba satın alma ve i. yıl bitimi j. yıl başlangıcına kadar onu kullanma

• (i,j) ayrıtının uzunluğu: toplam net maliyet (cij)

• cij= [i. yılın başlangıcında yeni araba satın alma maliyeti] + [i, i+1, …, j-1 yılları boyunca oluşan bakım masrafı] – [j. yılın başlangıcında takas değeri]

1 6 5 4 3 2 C12 C23 C34 C45 C56

C36

C35

C24

C25

C26

C13

C14

C15

C16

C46

25

Yıl

(Arabanın yaşı)

Toplam

Bakım

masrafı

Yıl sonu

itibarıyla

Takas fiyatı

Net maliyet

(1000$)

1 2 7 (2+12-7)=7

2 6 6 (6+12-6)=12

3 11 2 (11+12-2) =21

4 20 1 (20+12-1)=31

5 32 0 (32+12-0)=44

3 yılın başında yeni araba satın alma maliyeti + 3 yıllık bakım masrafı - 3 yıl sonunda takas fiyatı

26

c12=2+12-7=7 c13=2+4+12-6=12 c14=2+4+5+12-2=21 c15=2+4+5+9+12-1=31

c16=2+4+5+9+12+12-0=44 c23=2+12-7=7 c24=2+4+12-6=12 c25=2+4+5+12-2=21

c26=2+4+5+9+12-1=31 c34=2+12-7=7 c35=2+4+12-6=12 c36=2+4+5+12-2=21

c45=2+12-7=7 c46=2+4+12-6=12 c56=2+12-7=7

27

1 6 5 4 3 2 7 7 7 7 7

21

12

12

21

31

12

21

31

44

12

Problem, artık 1. düğümden 6. düğüme olan en kısa yolun bulunması problemine dönüştüğünden,

Dijkstra algoritması ile çözüm bulunur.