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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
Deformação por torção de um eixo circular
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Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica.
Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal.
= tensão de cisalhamento máxima no eixo
= deformação por cisalhamento
= torque interno resultante
= raio externo do eixo
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Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,
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O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T. Determine a fração de T à qual resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio c/2 e raio externo c.
Solução:
Para toda a área sombreada mais clara, o torque é
A tensão no eixo varia linearmente, tal que .
O torque no anel (área) localizado no interior da região
sombreada mais clara é
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Usando a fórmula de torção para determinar a tensão máxima no eixo, temos
Substituindo essa expressão na Equação 1,
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O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
Exemplo 5.3
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Solução:
O momento polar de inércia para o eixo é
Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm,
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
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Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
Visto que , a equação para a potência é
Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
Transmissão de potência
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Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm.
Exemplo 5.5
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Solução:
Assim,
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
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Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
A convenção de sinal é determinada pela regra
da mão direita.
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
Ângulo de torção
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Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de
20 mm.
Exemplo 5.8
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Solução:
O ângulo de torção em C é
Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas,
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Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB causada pelo torque de 45 Nm,
A rotação da extremidade A é portanto
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O eixo cônico mostrado abaixo é feito de um material com módulo de cisalhamento G. Determine o ângulo de torção de sua extremidade B quando submetido ao torque.
Exemplo 5.10
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Solução:
Do diagrama de corpo livre, o torque interno é T.
Assim, em x,
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O eixo maciço de aço mostrado na figura abaixo tem diâmetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B.
Solução:
Visto que as extremidades do eixo são fixas, .
Usando a convenção de sinal,
Resolvendo as equações 1 e 2, obtemos TA = –345 Nm e TB = 645 Nm.
Exemplo 5.11
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são:
Eixos maciços não circulares
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O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad. Qual é a intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a mesma quantidade de material? Gal = 26 GPa.
Exemplo 5.13
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Solução:
Por inspeção, o torque interno resultante em qualquer seção
transversal ao longo da linha central do eixo também é T.
Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
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As limitações de tensão e ângulo de torção exigem
Novamente, o ângulo de torção limita o torque aplicado.
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Fluxo de cisalhamento q é produto entre a espessura do tubo e a tensão de cisalhamento longitudinal média.
A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é
Para o ângulo de torção,
τméd = tensão de cisalhamento média
T = torque interno resultante na seção transversal
t = espessura do tubo
Tubos de parede fina com seções transversais fechadas
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Calcule a tensão de cisalhamento média em um tubo de parede fina com seção transversal circular de raio médio rm e espessura t, submetido a um torque T. Calcule também o ângulo de torção relativo se o tubo tiver comprimento L.
Exemplo 5.14
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Solução:
Para ângulo de torção,
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Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.
Considere Gal = 26 GPa.
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Solução:
Para tensão de cisalhamento média,
A área sombreada é .
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Para ângulo de torção,
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. Assim,
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O fator de concentração de tensão por torção, K, é usado para simplificar a análise complexa da tensão.
A tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação:
Concentração de tensão
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O eixo em degrau está apoiado nos mancais em A e B. Determine a tensão máxima no eixo resultante dos torques aplicados. O filete na junção de cada eixo tem raio
r = 6 mm.
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Solução:
Por inspeção, o equilíbrio de momento em torno da central do eixo é satisfeito.
O fator de concentração de tensão pode ser determinado pela geometria do eixo:
Assim, K = 1,3 e a tensão máxima é
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Considerando a ação da tensão de cisalhamento sobre um elemento de área dA localizado a uma distância p do centro do eixo,
A distribuição da tensão de cisalhamento sobre uma linha radial em um eixo é sempre linear.
Comportamento perfeitamente plástico considera que a distribuição da tensão de cisalhamento seja constante e que o eixo continuará a torcer sem nenhum aumento no valor do torque.
Esse torque é denominado torque plástico.
Torção inelástica
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Um eixo maciço circular tem raio de 20 mm e comprimento de 1,5 m. A figura mostra um diagrama elástico-plástico do material. Determine o torque necessário para torcer o eixo de Φ = 0,6 rad.
Exemplo 5.20
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Solução:
A máxima deformação por cisalhamento ocorre na superfície do eixo,
Baseado na distribuição da deformação por cisalhamento, temos
O raio do núcleo elástico pode ser obtido por
J
T
J
Tc
r
t
t