Hidraulica de Pozos

CAPITULO 8

HIDRAULICA DE POZOS

LEONARDO DAVID DONADO GARZON

TABLA DE CONTENIDO Pág.

1 INTRODUCCION 2

2 CONCEPTOS BASICOS 2

3 MOVIMIENTO NO PERMANENTE 3

3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO 4 3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO 20

4 MOVIMIENTO PERMANENTE 23

4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS 23 4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS 26 4.3 ACUÍFEROS LIBRES 30

5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 34

5.1 CASO DE DOS POZOS 34 5.2 MÉTODO DE LAS IMÁGENES 35

6 APLICACIONES 38

6.1 USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS 38 6.2 USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB 39 6.3 USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN 39 6.4 USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER 39 6.5 USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM 40 6.6 USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB 40 6.7 USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER 41

7 REFERENCIAS 41

2 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS

111 IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCCCCIIIOOONNN Una vez determinadas las posibilidades de producción de agua subterránea en una determinada zona, el siguiente proceso es determinar su adecuada explotación. Para una adecuada producción de los pozos de explotación de los acuíferos fuente, es necesario determinar el uso y así caracterizar de manera económica el beneficio de la explotación del recurso. A continuación, se presentan los diferentes métodos de análisis de pozos en los diferentes tipos de acuíferos existentes. La intención es mostrar el desarrollo matemático de todas las ecuaciones que gobiernan el movimiento del agua subterránea en explotación, ya sea bombeo o recarga de acuíferos. La principal aplicación planteada en este capítulo es la de determinar los radios de influencia de los pozos para así se necesita determinar que interferencia pueden tener entre ellos. Además con los conceptos explicados, se tendrá la capacidad de determinar el abatimiento del nivel freático del acuífero en cualquier punto cuando se esta extrayendo agua.

222 CCCOOONNNCCCEEEPPPTTTOOOSSS BBBAAASSSIIICCCOOOSSS La Figura 1 ilustra un pozo en una formación acuífera. En ella se detallan cada uno de los conceptos definidos a continuación: Nivel Estático

Es el nivel de agua presente en la formación acuífera antes de comenzar el bombeo. Este nivel se ve afectado por efectos meteorológicos (precipitación, infiltración) estacionales o por cargas adicionales (edificaciones), o por la descarga producida por pozos cercanos. Nivel Dinámico

También llamada nivel de bombeo, por que es producido cuando comienza la descarga de l acuífero por el pozo. Este nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de las características hidrogeológicas del acuífero. También se debe tener en cuenta la técnica desarrollada en el diseño de pozo. Abatimiento

Bajo condiciones de extracción o inyección de un pozo, la carga hidráulica inicial en cualquier punto del acuífero cambia. En condiciones de extracción de un pozo, la distancia vertical entre la carga hidráulica inicial en un punto en el acuífero y la posición baja de la carga hidráulica para el mismo punto es llamado abatimiento. Para un acuífero libre el nivel del agua en el nivel freático está determinado por la distancia s(x,y,z,t), la cual es el abatimiento. Para el caso del acuífero confinado, el abatimiento es definido con respecto a la superficie piezométrica. Este descenso de niveles, define la curva de abatimiento, por lo tanto es claro que el abatimiento presente su menor valor en lejanías del pozo y el mayor valor en el pozo. La dimensión del abatimiento es la longitud [L]. El abatimiento es generalmente expresado en metros de agua

CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3

Figura 1 Esquema representativo del bombeo de un pozo.

Pozo Superficie piezométrica antes del bombeo

Superficie piezométrica al tiempo t

z

Superficie piezométrica al tiempo t +∆t

Superficie del terreno

Capa filtrante confinate

Acuífero confinado

2rw

r ∆r

Q(r+∆r) Q(r)

Datum Lecho impermeable

h0

h(r,t)

b

Q

Acuífero libre

Abatimiento

Cono de depresión Al producirse el descenso del nivel estático del pozo, se establece un gradiente hidráulico entre cualquier punto de la formación y el pozo, originándose un movimiento radial desde todas las direcciones hacia el pozo en una forma simétrica y de tal manera que el caudal Q que se extrae del pozo es igual al caudal que pasa por cualquier sección del acuífero. A medida que la velocidad aumenta mayor será el gradiente hidráulico ya que aumenta la fricción existente entre el fluido y las partículas sólidas en contacto; es por eso que lo que se forma alrededor del pozo se le conoce como cono de depresión que sobre un plano vertical presenta una curva conocida con el nombre de curva de abatimiento. La forma, alcance y profundidad de este cono de depresión dependerá de las condiciones

hidrogeológicas (transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero), del caudal y el tiempo de bombeo o inyección. En el acuífero confinado el cono de depresión es la representación de la variación de los niveles piezométricos en tanto que en el acuífero libre es además la forma real de la superficie piezométrica. Capacidad Específica

Es la relación que existe entre el caudal que se obtiene de un pozo y el abatimiento producido y se expresa en unidades de caudal por longitud, [L3/T/L]. Este valor es contante para acuíferos confinados y variables para los acuíferos libres; es un término que representa el grado de eficiencia de un pozo ya que de dos pozos perforados en una misma formación acuífera, el de menor capacidad específica tendrá menos eficiencia. El grado de eficiencia de un pozo lo determinaremos con base en la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de la formación acuífera, (con la cual podremos calcular un valor de la capacidad específica teórica) el valor de la capacidad específica real medida en el pozo.

333 MMMOOOVVVIIIMMMIIIEEENNNTTTOOO NNNOOO PPPEEERRRMMMAAANNNEEENNNTTTEEE En 1935 Theis planteó el modelo matemático para describir el movimiento de agua subterránea en acuíferos homogéneos e isotrópicos. Este modelo describe el flujo transiente en acuíferos bajo condiciones constantes de extracción de un pozo en acuíferos. A pesar de sus limitaciones tiene muchas aplicaciones en la hidráulica de pozos. Trata el pozo como una línea origen y no toma en consideración el agua obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Papadopulos y Cooper generalizaron la ecuación de Theis considerando los efectos de almacenamiento.


33..11 PPOOZZOOSS DDEE PPEEQQUUEEÑÑOO DDIIÁÁMMEETTRROO

3.1.1 Acuíferos confinados

3.1.1.1 Consideraciones Básicas Para el cumplimiento del Modelo de Theis hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones esquematizadas en la Figura 2. Acuífero homogéneo e isotrópico Acuífero horizontal y de espesor constante, b Descarga contante, Q No hay goteo Acuífero de extensión infinita El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo El pozo penetra todo el acuífero Antes del bombeo la carga piezométrica en el acuífero en la misma en cada punto del acuífero La descarga del pozo es obtenida exclusivamente del almacenamiento del acuífero El agua es inmediatamente liberada del almacenamiento del acuífero al declinar la carga hidráulica El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica

3.1.1.2 Ecuación de Movimiento Utilizando la Ecuación de Movimiento que gobierna en flujo en acuíferos isotrópicos:

th

TS

zh

Kyh

xh

K 2

2

2

2

2

2

∂∂

=∂∂

+

∂∂

+∂∂

[3.1]

Donde T es la transmisividad, S el coeficiente de almacenamiento y K es la conductividad hidráulica.

Figura 2. Flujo inestable en un pozo que penetra totalmente en un acuífero confinado. Sección transversal vertical.

Pozo Superficie piezométrica antes del bombeo

Superficie piezométrica al tiempo t

z



Capa confinate

Acuífero confinado

2rw

r ∆r

Q(r+∆r) Q(r)

Datum Lecho impermeable

h0

h(r,t)

b

Q


Sabiendo que bSSybKT s== , analizando el problema bidimensional, se obtiene la siguiente ecuación:

th

TS

yh

xh

2

2

2

2

∂∂

=∂∂

+∂∂

[3.2]

Utilizando coordenadas polares, donde 22 yxr += y considerando la ley de Darcy, que en términos de

caudal es definida por ( ) ( )r

tz,r,hKtz,r,vv rr ∂∂

−== , donde K es la conductividad hidráulica en dirección

radial. La tasa total del flujo a una distancia r del pozo es:

( ) ( )rh

Tr 2q br 2vArQ rrr ∂∂

π=π−==

[3.3]

La carga piezométrica una distancia r es h(r,t); luego de un tiempo ∆t, la carga piezométrica es será h(r,t+∆t) y la disminución de la carga piezométrica es:

( ) ( )tr,h - ttr,hh ∆+=∆ [3.4]

Usando la figura 3.1, y aplicando la ecuación de continuidad:

( ) ( )[ ] S hr r 2trrQrQ ∆∆=∆∆+− π [3.5]

y como 0ty0r →∆→∆ th

Sr 2rQ

∂∂

=∂∂ π

[3.6]

Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, se obtiene:

th

TS

rh

r1

rh

th

TS

rh

rrr

1

2

2

∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

[3.7]

Si el abatimiento está definido por: hhs 0 −=

ts

TS

rs

r1

rs2

2

∂∂

=∂∂

+∂∂

[3.8]

Que es la ecuación de movimiento en flujo transitorio radial.

3.1.1.3 Condiciones de Frontera Según las suposiciones de Theis, las condiciones son las siguientes:


Para el Abatimiento Cuando no se está extrayendo agua en cualquier punto del acuífero el abatimiento es nulo; es decir: ∀ r, en t=0, s(r,t) = s(r,0) = 0 En condiciones de extracción de agua, se supone que en la distancia más lejana del pozo, el abatimiento es nulo; es decir: ∀ t>0, en un radio r = ∞ , s(r,t) = s(r,∞ ) = 0. Descarga

Si se tiene que en cuenta que sólo se produce abatimiento cuando se extrae agua, se concluye que: Cuando t < 0, Q = 0 Cuando t ≥ 0, Q = constante Ahora, como la tasa de bombeo es constante en el pozo, de la ecuación 3.6, se tiene que para 0t ≥ :

T 2Q

rs

rlim0r π

−=

∂∂

→

[3.9]

3.1.1.4 Solución de la Ecuación de Movimiento Para encontrar la solución se aplica el método de separación de variables (Piskunov, 1977); es decir se busca la solución particular de la ecuación 3.8 en forma de un producto de dos funciones:

( ) ( ) ( )tgrftr,s ⋅= [3.10]

Remplazando está función en la ecuación 3.8 se obtiene:

gg

TS

ff

r1

ff

gfTS

gfr1

gf

′=

′+′′

′=′+′′

[3.11]

Al demostrar que son separables, estás funciones son iguales a una constante, que se llamará λ . Entonces igualando λ al lado izquierdo de la ecuación 3.11:

λ=′

+′′

ff

r1

ff

λ=′+′′ ffr1

f

0ffr1

f =λ−′+′′

Al solucionar por operador cuadrático:

0Dr1

D2 =λ−+


[ ]2r411r2

1D λ+±−=

Pero dependiendo del valor que tome el discriminante, se obtendrán las diferentes raíces, así:

i) Si 0r41 2 >λ+ , existen 2 raíces reales diferentes: [ ]2r411r2

1D λ+±−= .

Entonces la solución particular es: ( )

λ+−−

λ++−

+=2

r212

r21 r411

2

r411

1 eCeCrf

ii) Sí 0r41 2 =λ+ , existen 2 raíces reales iguales: r2

1D −=

Entonces la solución particular es: ( ) r21

r21

erCeCrf 21−− += .

iii) Si 0r41 2 <λ+ , existen 2 raíces imaginarias diferentes: ( )[ ]2r41i1r2

1D λ+−±−=

Entonces la solución particular es:

( ) ( ) ( )

λ+−−+

λ+−−= − 2

22

1 r41r2

1senCr41

r21

cosCerf r21

.

Igualando ahora al lado izquierdo de la ecuación 3.11 a λ: λ

λ=′

gg

TS

,

Integrando: ∫∫ λ=

′gg

TS

, y luego despejando g(t) se llega a:

( ) MtglnTS

+λ=

( ) STt

ePtgλ

= , donde constanteeP M == Por lo tanto, como de f se obtienen tres soluciones, la solución de la ecuación 3.8 puede tener tres formas:

i) ( ) ( ) ( ) STt2

r212

r21

eeCeCt,rsr411

2

r411

1

λ

λ+λ=

λ+−−

λ++−

ii) ( ) ( ) ( )( ) STt

r21

r21

eerCeCt,rs 21

λ−− λ+λ=

iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

λ+−−λ+

λ+−−λ= −λ

22

21 r41

r21

senCr41r2

1cosCet,rs r2

1STt

Para cada valor de λ , las constantes arbitrarias C1, C2 y P tienen valores determinado; por eso C1 y C2; son funciones de λ y absorben el valor de P. También se aclara que la suma de las tres formas de solución son soluciones de la ecuación 3.8, debido a su linealidad..


3.1.1.5 Solución de Theis Para encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera en las anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor en sólidos:

( ) uetA

tr,s −=

[3.12]

Donde A es una constante y 4tT

Sru

2

= . Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es:

∫∞

π=0

dr S sr 2 V [3.13]

Reemplazando 3.12 en 3.13:

∫

∫∞ −

∞ −

π=

π=

04tT

sr

0

u

dr S etA

r 2 V

dr S etA

r 2 V

2

[3.14]

Al solucionar esta integral se tiene que:

∫∞ −

π=0

4tTsr

drr etA

S 2 V2

−

−π=

∞=

=

eTt S2 4tT

s2r

tA

S 2

r

0r

[3.15]

De donde:

T 4V

A

AT 4V

π=

π=

[3.16]

Reemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:

( )

−

π= 4Tt

Sr2

e t T 4

Vtr,s

[3.17]

El Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, y entonces:


( )

−

π= 4Tt

Sr2

e t T 4

dVtr,ds

[3.18]

Si el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración se obtiene:

( ) e tdt

T 4Q

tr,ds 4TtSr2

−

π=

[3.19]

( ) e tdt

T 4Q

tr,s 4TtSrt

0

2

−

∫π=

[3.20]

Reemplazando: 4Tt

Sru

2

= , entonces:

( ) ( ) du u

eT 4

Qtr,h-htr,s

u

-u

0 ∫∞

π==

[3.21]

Donde:

( ) ( )uWuEiduu

e

u

u

=−−=∫∞ −

[3.22]

La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie de potencias:

( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∞

=

−−−−=

+−+−+−−=

1n

nn

432

n.n!u

1uln0.5772uW

4.4!u

3.3!u

2.2!u

uuln0.5772uW K

[3.23]

Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis:

( ) ( )uWT 4

Qtr,s

π=

[3.24]

La Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferos confinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando el abatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.


La ecuación es aplicable a acuíferos libres si el abatimiento es pequeño comparado con el espesor b de la formación. (Batu, 1998)

La ecuación se cumple para la siguiente condición: Tr

250t2

c> , donde rc es el radio del pozo, por no tener en

cuenta el almacenamiento en el pozo. Si los parámetros K, b, S y Q son conocidos, se puede determinar el abatimiento de la carga hidráulica en el acuífero confinado a cualquier distancia r del pozo, en cualquier tiempo. Lo único necesario es determinar el valor del parámetro u y así encontrar el valor de la función del pozo de Theis, W(u).

Figura 3 Curva de Theis. (Batu, 1998)

Figura 4 Isolíneas de tiempo y de radio en función del abatimiento. (Batu, 1998)


3.1.1.6 Ecuación de Jacob Cooper & Jacob, 1946, tomaron en cuenta que cuando u,u < 0.01, la suma de los términos más allá de ln (u), en la ecuación 3.23, no es significativa. Los valores de u decrecen cuando el tiempo se incrementa y cuando la distancia radial r decrece. Bajo esas condiciones:

( ) ( )[ ]uln0.5772T4

Qtr,s −−

π≅

[3.25]

( ) ( ) ( )[ ] ( )

π=−

π≅

u0.5614

lnT4

Quln0.5614ln

T4Q

tr,s

[3.26]

Reemplazando, Tt4Sr

u2

=

( ) ( )

π=

π≅

SrTt2.25

lnT4

Q

4TtSr

0.5614ln

T4Q

tr,s 22

[3.27]

La ecuación 3.27 es conocida como la ecuación de Jacob. Que expresada en términos del logaritmo en base 10 es igual a:

( )

π≅

SrTt2.25

logT4

Q 2.302tr,s 2

[3.28]

Como primera aplicación de la ecuación de Jacob se puede usar para obtener el radio se influencia, cuando el abatimiento es nulo. Entonces despejando el Radio se obtiene

SRTt2.25

ln0

SRTt2.25

lnT4

Q0

2

2

=

π=

21

STt

1.5R

=

[3.29]

La ecuación de Jacob tiene la ventaja, respecto a la ecuación de Theis, de no requerir la consulta o tablas de la función de pozo de Theis.

3.1.1.7 Capacidad Específica y Estimación de Transmisividad La capacidad específica, CE de un pozo es definida como la relación de su descarga con su abatimiento total [CE=Q/s]; en otras palabras es el caudal por unidad de abatimiento. Se puede desarrollar una muy simple ecuación para estimar la transmisividad a partir de la capacidad específica, usando la ecuación de Jacob. Esta derivación está basada en un diámetro medio del pozo en un período promedio de bombeo, y valores típicos del coeficiente de almacenamiento y producción específica.


Para acuíferos confinados, Driscoll en 1986 (Batu, 1998) asumió los siguientes valores típicos:

Tabla 1 Valores típicos para acuíferos confinados según Driscoll. (Batu, 1998)

Parámetro Valor Unidades Tiempo, t 1 Día

Radio del pozo, rw 0.152 m Producción, S 0.001 Adimensional

Transmisividad, T 373 m2/día

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Jacob, se obtiene:

[ ][ ] [ ] [ ]

1.385día

m Tdía

m CEm ss

m Q2

2

w

3

==

[3.30]

[ ] [ ]díam CE 1.385día

m T22

= [3.31]

Para un acuífero libre, con producción específica Sy=0.075, como valor típico, y el resto de valores mostrados en la tabla 1, se produce la siguiente relación:

[ ][ ] [ ] [ ]

1.042día

m T día

m CEm ss

m Q2

2

w

3

==

[3.32]

[ ] [ ]díam CE 1.042día

m T22

= [3.31]

Si se tienen múltiples pozos, la información obtenida de las anteriores ecuaciones puede usarse para estimar la conductividad hidráulica promedio (Kmed [m/d]) del acuífero, mediante la siguiente relación:

∑∑=

n

nnmed L

LKK

[3.32]

Donde K es la conductividad de cada pozo, n es el número del pozo y L es la longitud del filtro.

3.1.1.8 Ecuación de Chen En 1984, Chen extendió la ecuación de Theis, para acuíferos de extensión lateral finita, como islas o meandros. Determinó que la distancia en la cual el abatimiento es nulo, en condiciones de bombeo, es conocida, y la llama R. Es decir: s(R,t) = 0, donde R es la es la distancia radial donde la energía es cero. La solución encontrada se conoce como la Ecuación de Chen (Batú, 1998):

( ) ( ) ( )[ ]2IUWuWT 4

Qtr,s +−=

π

[3.33]

Donde:

4TtSR

U2

=


( )

( )

∑ ∫∞

=

−χ−−

χχ

χ

=0n

1

0

4Ux1

xU

n1n

n

21

0

xdx

eJ

Uu

J

I

2n

nn R βχ = Donde: J0, J1: función de Bessel de orden cero y uno. βn: es la enésima raíz que satisface J0(R χn) = 0.

La Figura 5 muestra la gráfica u contra Qs T 4 π

, que es la usada para efectos prácticos. Se nota que cuando

U ≥ 4, la solución es igual a la de Theis. En otras palabras, sólo cuando 16T

SRt

2

≤ , se justifica usar este

modelo.

3.1.2 Acuíferos Semiconfinados Hantush y Jacob en 1955 (Batu, 1998), desarrollaron el modelo aplicable a acuíferos semiconfinados, isotrópicos y homogéneos, ilustrado en la Figura 6. Estos dos investigadores tuvieron en cuenta las siguientes suposiciones:

Figura 5 Curva de Chen. (Batu, 1998)

Solución de Theis


Acuífero homogéneo e isotrópico Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y una

conductividad hidráulica vertical K’. Descarga contante, Q Acuífero de extensión infinita El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo El pozo penetra todo el acuífero La capa confinante no almacena agua El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h0.

La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna el movimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene:

( ) ( )[ ] ( ) Shrr2tQtrrQrQ v ∆∆π=∆+∆∆+− [3.34]

( ) vv vrbr2vAQ ∆π== [3.35]

Usando la Ley de Darcy: b'

hhK'v 0

v

−=

[3.36]

Figura 6. Acuífero semiconfinado

Nivel Estático

Superficie piezométrica durante el bombeo (cono de depresión)

z



Capa confinante

Acuífero confinado

2rw

r

Lecho impermeable

s

Q

sw

Superficie piezométrica antes del bombeo

b

hw H

Qv


Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) hrSr2t'bhh

'Krr2trrQrQ 0 ∆∆π=∆−

∆π+∆∆+−

[3.37]

Como ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a:

( ) ( )th

Sr2'bhh

'Kr2rQ 0

∂∂

π=−

π+∂∂

[3.38]

Y sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h0-h y que el caudal en el acuífero está dado por:

( )rh

rT2rQ∂∂

= π

[3.39] La ecuación es igual a:

ts

TS

s'Tb'K

rs

r1

rs2

2

∂∂

=−∂∂

+∂∂

[3.40]

Y sí se reemplaza: 'K'Tb

B = , la ecuación toma la forma:

ts

TS

Bs

rs

r1

rs

22

2

∂∂

=−∂∂

+∂∂

[3.41]

Las condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son: ( ) 0h0,rh = , para todo r ( ) 00,rs = , para todo r

( ) 0ht,h =∞ , para todo t ( ) 0t,s =∞ , para todo t

Las condiciones de descarga son: Q = 0, cuando t=0 Q = constante, cuando t≥ 0

T2Q

rh

rlim0r π

=

∂∂

→ , para t≥ 0

T2Q

rh

slim0r π

−=

∂∂

→ , para t≥ 0 Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es:

( )

π=

Br

,uWT4

Qt,rs

[3.42]


Donde

Br,uW

es la función de pozo para acuíferos semiconfinados de Hantush y Jacob. Está función describe una serie, cuya expresión es:

∫∞

−−

=

u

uBr

u

dueu1

Br,u

2

[3.43]

Además, Tt4Sr

u2

= . La Figura 7 tabula los valores de la función de pozo, que también están en tablas en libros

de matemáticas avanzadas e hidráulica de pozos.

3.1.3 Acuíferos Libres En 1972, Neuman, aprovechando desarrollos realizados por Boulton (1954), (Batu, 1998) simplifico la ecuación de movimiento en acuíferos libre, ilustrados en la Figura 8. Las consideraciones que él tuvo en cuenta son:

Figura 7. Curva de Hantush y Jacob. (Batu, 1998)


La tasa de bombeo es contante, Q El diámetro del pozo es infinitamente pequeño El pozo penetra completamente en el acuífero En la zona saturada del acuífero , la ley de Darcy se cumple siempre El acuífero tiene extensión lateral infinita El material del acuífero es homogéneo pero anisotrópico, y su principal conductividad hidráulica está

orientada paralela a los ejes coordenados El agua es bombeada por compactación del acuífero, expansión del aguay drena por gravedad de la

superficie libre El pozo puede ser tratados como una línea hundida El abatimiento de la tabla de agua es pequeño comparado con el espesor de la zona saturada Los efectos de capilaridad son despreciables

La ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y es:

ξ<<∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

z0,ts

TS

zs

Krs

rK

rs

K 2

2

zr

2

2

r

[3.44]

La posición de la superficie libre de los acuíferos libres cambia en el espacio bajo condiciones de flujo transiente, por este motivo, la superficie libre es tratada como una frontera en movimiento. Bajo esta concepción, la frontera de la región de flujo, consiste de tres partes complementarias, mostradas en la Figura 8: La frontera de carga prescrita, A1, la frontera de flujo prescrito, A2 y frontera de la superficie libre, FS. Las otras fronteras tienden al infinito. La pared del pozo se incluye en A1. Las condiciones iniciales para abatimiento, s(r,z,t) y espesor saturado ξ(r,t), respectivamente son:

Figura 3.7 Flujo a un pozo en un acuífero libre infinito

Nivel Estático


z



Acuífero libre

2rw

r

Lecho impermeable

s

Q

sw


b ξ H

Datum

Kz

Kr

A 1

A 2

FS


s(r,z,0) = 0 ξ(r,0) = b

La condición de frontera del abatimiento en el infinito es ( ) 0t,z,s =∞ y en la frontera A2 es ( )0

zt,0,rs=

∂∂ .

La condición de tasa de bombeo constante Q en el pozo está dada por la siguiente expresión:

r00r K2

Qdz

rs

rlimπ

−=∂∂

∫∞

→

[3.45]

Neuman, simplificó la ecuación de movimiento, llegando a la siguiente expresión:

bz0,ts1

zs

Krs

r1

rs

s2

2

D2

2

<<∂∂

α=

∂∂

+∂∂

+∂∂

[3.46]

Donde:

y

zy

s

rs

r

zD S

K,

SK

,KK

K =α=α=

[3.47]

( ) ( )t

t,b,rs1z

t,b,rs

y ∂∂

α−=

∂∂

[3.48]

La solución encontrada por Neuman, para el abatimiento es:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) dxxxKxxJ4T4

Qt,z,rs

0 1nn0D0

21

∫ ∑∞ ∞

=

ω+ω

π=

[3.49]

Donde J0 es la función de Bessel de primera clase de orden cero y

( ) ( )[ ]{ } ( )

( ) ( ) ( )D0

2D

220

220

2

DD02

02

Ds0

bcoshb

x1x

bzcoshxKtexp1x

β

σβ+−βσ+−

ββ−−−=ω

( ) ( )[ ]{ } ( )

( ) ( ) ( )Dn

2D

22n

22n

2

DDn2

n2

Ds0

bcoshb

x1x

bzcoshxKtexp1x

β

σβ+−βσ+−

ββ−−−=ω

yDD2

yy2s S

S,

bz

z,rb

b,rS

Ttt,

SrTt

t =σ====

Las Figura 9 y 10 muestran la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento relativo y el tiempo relativo.


Curva de Theis

Cu

rva d

eTh

eis

Figura 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)

Figura 10 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)


33..22 PPOOZZOOSS DDEE GGRRAANN DDIIÁÁMMEETTRROO Los pozos de pequeño diámetro generalmente varían entre 0.05 m y 0.25 m. Como se mostró anteriormente, esos son representados por una línea en los modelos matemáticos. Esta aproximación es válida para los pozos en este rango de diámetros, pero inapropiada para pozos con un diámetro mayor. En particular, los radios de

pozos excavados pueden ser de 0.5 m a 2 m o más. La teoría de Theis asume que el pozo es una línea en el origen. Esta suposición no tiene en cuenta los efectos significativos de almacenamiento. Los efectos de este almacenamiento en el pozo, llegan a ser importantes cuando la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento del acuífero son pequeños o cuando diámetro del pozo de bombeo es grande. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron soluciones analíticas en y alrededor de pozos de gran diámetro en acuíferos confinados homogéneos e isotrópicos, tomando en cuenta los efectos del almacenamiento dentro del pozo. Después, Moensch (1985) presentó modelos matemáticos que combinaron los acuíferos semiconfinados de Hantush (1985) con la teoría antes

mencionada del flujo en pozos de gran diámetro.

3.2.1 Consideraciones Básicas La Figura 11 muestra la sección transversal de un pozo de gran diámetro que penetra totalmente un acuífero confinado. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron una solución analítica bajo condiciones de explotación con las siguientes suposiciones: El acuífero es un homogéneo e isotrópico El acuífero es horizontal y tiene un espesor constante (b) La tasa de descarga (Q) del pozo es constante El acuífero no tiene goteo y es horizontalmente infinito El pozo penetra totalmente el acuífero Las pérdidas en el pozo son despreciables Antes del bombeo, la carga hidráulica en el acuífero es la misma en todos los puntos del acuífero La descarga de los pozos es derivada exclusivamente del volumen almacenado en el acuífero El agua es inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decaer la carga hidráulica El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica

Figura 11 Esquema representativa de un pozo de gran diámetro.

Nivel Estático


z



Capa confinante

Acuífero confinado

2rw

r

Lecho impermeable

b

s

Q

sw


rc


La Ecuación de Movimiento es la misma ecuación 3.8, con la condición de que el radio, wrr ≥ .

ts

TS

rs

r1

rs2

2

∂∂

=∂∂

+∂∂

[3.34]

Donde s es el abatimiento en el acuífero a una distancia r en un tiempo t; r es la distancia radial desde el centro del pozo; S es el coeficiente de almacenamiento del acuífero; T es la transmisividad y rw es el radio efectivo de la pared del pozo. Las condiciones iniciales en el acuífero y el pozo, respectivamente, son: wrr ≥ , cuando s(r,0) = 0, sw (0) = 0

Las condiciones de frontera son: s(rw,t) = sw(t) s(∞ ,t)= 0

Almacenamiento dentro del pozo: ( ) ( )

0t Qtts

rt

t,rsTr2 w

cw

w ≥−=∂

∂−

∂∂ 2ππ

Donde sw(t) es el abatimiento en el pozo a un tiempo t y rc el radio del pozo en el intervalo sobre el cual el nivel de agua decae. Las condiciones iniciales muestran que en un comienzo el abatimiento en el acuífero y en el pozo es cero. La primera condición de frontera indica que el abatimiento en el acuífero, en una cara del pozo es igual al abatimiento en el pozo. La segunda señala que el abatimiento en el acuífero en el infinito es cero. Finalmente, se expresa el efecto que tiene la tasa de descarga del pozo, que es iguala la suma de la tasa de flujo de agua del pozo y la tasa de descenso en el volumen de agua dentro del pozo.

3.2.2 Ecuación de Papadopulos & Cooper El problema planteado fue resuelto por Papadopulos & Cooper, mediante la transformada de Laplace (Batu, 1998).

( ) ( )ραπ

= ,u,FT4

Qtr,s

[3.35]

Donde

( ) ( )( ) ββββ

πα

=ρα ∫∞

dDC8

,u,F0

2

[3.36]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ββρ−ββρ

−=β

ρβ−

BYAJe1C 004u

22

[3.37]

( ) ( ) ( )βα−ββ=β 10 Y2YA [3.38]

( ) ( ) ( )βα−ββ=β 10 J2JB [3.39]

( ) ( )[ ] ( )[ ] −β+β=β 22 BAD [3.40]

4TtSr

u2

= , 2c

2w

r

Sr=α ,

wrr

=ρ

[3.41]

J0 y Y0 son las funciones de Bessel de orden cero y primera clase. Y1 es la función de Bessel de primer orden y de segunda clase.


Abatimiento dentro del Pozo

El abatimiento dentro del pozo es obtenido cuando r = rw y puede ser expresado como:

( ) ( )απ

= ,uFT4

Qtr,s w

[3.42]

Donde: ( ) ( ),1u,F,uF w α=α [3.43]

4TtS r

u2

ww =

[3.44]

Los valores de ( )ρα,u,F son tabulados por integración numérica de la ecuación 3.36. En la Figura 12, los

valores son representados como una familia de cinco curvas de T4

Qsw

π contra 1/uw; una curva para cada uno

de los cinco valores del parámetro α. La curva de Theis, es también mostrada en la Figura 12, de la que se obtienen importantes características de ( )ρα,u,F : El abatimiento predicho por la ecuación de Theis, se aproxima al abatimiento en el pozo de diámetro finito sólo para valores de tiempo relativamente grandes. Papadopulos (1967) comparó su aproximación con la Theis, así:

( ) ( )uW,u,F ≈ρα para 4c3

10u

,T

r102.5t >>

2αρ

[3.45]

( ) ( )ww uW,uF ≈α para 3

w

c2

10u

,T

r102.5t >>

α

[3.46]

Las aproximaciones en las ecuaciones 3.38 y 3.39, son válidas para ambas condiciones: Para pozos que tienen un pequeño diámetro o acuíferos de transmisividad relativamente alta, el período definido en las anteriores ecuaciones es muy pequeño. Así pues, para pozos de gran diámetro y acuíferos de baja transmisividad, este período es considerablemente largo. Sí 1/uw llega a ser suficientemente pequeño, las curvas se aproximan a líneas rectas que satisfacen la ecuación:

w2

c

w uT4Q

pozo del Áreadescargada agua de Volumen

rQt

sα

π==

π=

[3.47]

o

( )w

w u,uF

αα =

[3.48]


Curva de Theis

En los primeros períodos, las líneas rectas representan las condiciones bajo la cual todo el agua bombeada es obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Como resultado, los datos que están dentro del tramo de línea recta, de las curvas tipo, no dan información acerca de las características hidrogeológicas del acuífero.

444 MMMOOOVVVIIIMMMIIIEEENNNTTTOOO PPPEEERRRMMMAAANNNEEENNNTTTEEE Después de largos períodos de bombeo o recarga de un pozo, el flujo de aguas subterráneas alrededor de un pozo se aproxima al estado estable. Esto significa que la carga hidráulica del pozo en cualquier punto del acuífero no cambia con el tiempo. El período requerido para alcanzar el estado estable depende de las características hidráulicas del acuífero. Para los acuíferos menos permeables el período es más largo que para los altamente permeables. Las soluciones de estado estable juegan un papel muy importante en el análisis de datos de abatimiento para la determinación de las características hidráulicas del acuífero y hacer el avalúo de la zona de influencia de un pozo o una batería de pozos.

44..11 AACCUUÍÍFFEERROOSS CCOONNFFIINNAADDOOSS

4.1.1 Consideraciones Básicas Thiem (1906) fue el primero en derivar una solución para el flujo hacia un pozo en condiciones estables para acuíferos confinados con base en las siguientes suposiciones:

Figura 12. Curvas de Papadopulos y Cooper (Batu, 1998)


Acuífero horizontal y con espesor constante Acuífero homogéneo e isotrópico y de extensión lateral infinita La carga hidráulica tiene una superficie horizontal antes del bombeo La ley de Darcy es válida en el acuífero El agua es instantáneamente removida del almacenamiento proporcionalmente con el decaimiento de la

carga hidráulica La tasa del bombeo del pozo es contante El flujo es simétrico con respecto al eje del pozo La ecuación de movimiento (3.8), en flujo estable se reduce a:

bKT th

TS

rh

r1

rh

r2

2

=∂∂

=∂∂

+∂∂

[4.1]

Para condiciones de flujo estable, el término de la derecha tiende a cero, entonces:

0=∂∂

+∂∂

rh

r1

rh2

2

[4.2]

Figura 13 Esquema representativa de un pozo en un acuífero confinado

Nivel Estático

Superficie piezométrica durante el bombeo (cono de depresión) z



Capa confinante

Acuífero confinado

2rw

r

Lecho impermeable

s

Q

sw


hw H

b K


Es necesario conocer las condiciones de frontera de Dirichlet (primer tipo), con referencia en la Figura 13: h = hw Carga piezométrica conocida en la frontera del pozo r = rw Radio del pozo h = H Nivel de la carga piezométrica antes del bombeo r = R Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento es cero

4.1.2 Ecuación de Thiem Utilizando la ecuación de continuidad, a cualquier anillo concéntrico al pozo y teniendo en cuenta que se analiza el proceso de bombeo, el caudal es negativo (si el pozo fuera de inyección el caudal sería positivo), se tiene que:

( ) r vrb2AVQ π==− [4.3]

Donde vr es la velocidad radial dada por la Ley de Darcy:

( ) ( )r

t,z,rh-Ktz,r,vv rr ∂

∂==

[4.4]

Entonces:

rh

rbK2Q∂∂

π=

[4.5]

Resolviendo por variables separables:

rrb2

QhK ∂

π=∂

[4.6]

( ) ( )C

T 2rln Q

rh +π

=

[4.7]

Para evaluar C, se aplican las condiciones de frontera: Si h = hw, entonces r = rw; por lo tanto:

( )C

T 2rln Q

h ww +

π=

( )T 2rln Q

hC ww π−=

Reemplazando la ecuación 4.5, se obtiene la Ecuación de Thiem

( ) ( ) ( )T 2rln Q

hT 2rln Q

rh ww ππ−+=

( ) ( ) ( )[ ]ww rlnrln T 2

Qhrh −=−

π

( )

=−

ww r

rln

T 2Q

hrhπ

[4.8]

Analizando la Ecuación de Thiem se puede concluir que:


La carga piezométrica h se incrementa asintóticamente con el incremento de la distancia radial r La superficie piezométrica no puede ascender sobre h(r). Es válida sólo en la proximidad de un pozo donde el flujo estable ha sido definido.

Con la Ecuación de Thiem, se puede predecir el Radio de Influencia de un pozo, en términos del abatimiento en el mismo cuando h = H, r = R,

( )

=−

ww r

Rln

T 2Q

hRhπ

∴

=−

ww r

Rln

T 2Q

hHπ

( ) ( )

=−=

ww r

Rln

T 2Q

rhRhsπ

[4.9]

Esta forma de la ecuación de Thiem, posee las siguientes características: La distancia R, para la cual el abatimiento es cero, es el radio de influencia del pozo. El parámetro R tiene que ser estimado antes de la predicción de los abatimientos.

44..22 AACCUUÍÍFFEERROOSS SSEEMMIICCOONNFFIINNAADDOOSS La Figura 14 muestra un pozo que penetra totalmente un acuífero semiconfinado, a través del cual la filtración proviene de un acuitardo superior. La solución propuesta independientemente por De Glee & Jacob, se basa en las siguientes suposiciones: El acuífero es limitado abajo por un lecho impermeable, y arriba por una capa semiconfinate. Sobre la capa semiconfinante, existe un acuífero libre que tiene una tabla de aguas horizontal, cuya carga

hidráulica es constante (h0). El suministro de agua al acuífero libre es suficiente para mantener h0 constante. El flujo en la capa semiconfinante es vertical Las mismas suposiciones del acuífero confinado

Aplicando la ecuación de continuidad a cualquier anillo de radio r, mostrado en la Figura 14 se tiene que:

( ) ( ) ( ) 0vrr2rQrrQ v =∆π+−∆+ [4.10]

Donde vv es la velocidad de goteo desde la capa semiconfinate. Si se divide por ∆r y como ∆r tiende a cero, se llega a:

( ) ( ) ( ) 0vr2r

rQrrQlim v0r

=

π+

∆−∆+

→∆

0rv2rQ

v =π+∂∂

[4.11]

La Ley de Darcy por el acuífero semiconfinado, conduce a:


( ) ( ) ( ) 0vr2r

rQrrQv =π+

∆−∆+

( ) ( )rh

Krb2rQ∂∂

= π

( )rh

rT2rQ∂∂

= π

[4.12] La Ley de Darcy también controla la velocidad de goteo:

b'hh

K'v 0v

−=

[4.13]

Figura 14. Esquema representativa de un pozo en un acuífero semiconfinado.

Nivel Estático

Superficie piezométrica durante el bombeo (cono de depresión) z



Capa semiconfinante

Acuífero semiconfinado

2rw

r

Lecho impermeable

s

Q

sw


b hw

H0

b’

Datum

K

K’ vv


Donde K’ y b’ son la conductividad hidráulica y el espesor de la capa confinante (acuitardo). Reemplazando 4.12 y 4.13 en 4.10, se obtiene:

0b'

hhK'r2r

hrT2

0 =

−

+∂

∂∂

∂π

π

r ∴

0B

hhr

rh

rr 2

0 =

−+

∂∂

∂∂

∴ 0B

hhrh

rrr

12

0 =−

+

∂∂

∂∂

[4.14]

Donde K'

Kb'bB2 ⋅⋅

= , es llamado factor de filtración. En la misma ecuación b'/K' es conocida como la

resistencia hidráulica. La ecuación puede ser escrita como una Ecuación de Movimiento ordinaria porque h sólo depende del radio r. Reemplazando s = h - h0,, en la ecuación:

0B

hhdrdh

rdrd

r1

20 =−

+

∴0

Bs

drds

rdrd

r1

2 =+

∴0

Bs

drsd

drds

r1

22

2

=−+∴

0Bs

rdrds

rdr

sdr 2

22

22 =−+

[4.15]

Si r/B=x, entonces r = B x, y dr = B dx,

( ) 0Bs

xBBdxds

BxdxBsd

Bx 222

22

22 =−+ ∴ 0sx

dxds

xdx

sdx 2

2

22 =−+

[4.16]

4.2.1.1 Ecuación de De Glee - Jacob La ecuación 4.16 es un a ecuación diferencial no lineal no homogénea que se puede solucionar por el método de Cauchy – Euler. Este método consiste en aplicar la regla de la cadena luego de hacer el siguiente reemplazo:

( )xlnu = . Entonces:

xeu = ∴ 2u2 xe = Ahora se encontrarán las derivadas:

x1

dxdu

=

duds

x1

dxdu

duds

dxds

==

dxdu

dusd

x1

duds

x1

duds

x1

dxd

dxsd

2

2

22

2

+−=

=

−=+−=

duds

dusd

x1

dusd

x1

duds

x1

dxsd

2

2

22

2

222

2

Reemplazando en la ecuación 4.16, se llega a:


seduds

duds

dusd u22

2

=+− ∴ 0sxs 2 =−′′

[4.17]

Ahora se soluciona esta ecuación por medio del operador cuadrático, explicado en el numeral 3.1.1.4, obteniendo las raíces xD ±= . Entonces, la solución es igual a:

x2

x1 eCeCs −+=

Que al reemplazar el valor de Br

x = , se obtiene: Br

2Br

1 eCeCs−

+= . Para encontrar el valor de las

constantes, se sabe que cuando el radio tiende al infinito, el abatimiento es nulo, y que cuando el radio es igual al radio del pozo, el caudal es constante. Entonces: si s(r) = s(∞ ) = 0, entonces ( )∞= 1C0 , pero esto es indeterminado, lo cual no permite concluir el valor de C1. Es decir que la solución planteada no es compatible con las condiciones de frontera dadas. Sólo se sabe que las soluciones son linealmente independientes, por lo que usando las función de Bessel se pueda encontrar la solución compatible.

−+

=

Br

ICBr

ICs 0201

[4.18]

Donde:

Br

I0 : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de primera clase.

=

−

Br

KBr

I 00 : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de segunda clase, así que la

solución queda definida como:

+

=

Br

KCBr

ICs 0201

[4.19]

Los valores de los modificadores de Bessel están ya tabulados, y se pueden encontrar en libros de Cálculo Avanzado. Con las condiciones de frontera antes mencionadas, se concluye que: ( ) ( ) 0K,I 00 =∞∞=∞ , así que C1 es igual a cero. Ahora cuando r = rw:

drs

bKr2Q w∂

π−=

Si ( )

=Br

KCrs 02 entonces,

=

∂∂

=∂∂

Br

KB1

CBr

Kr

Crs

1202 , donde

BrK1 , es el operador de

la función de Bessel de primer orden de segunda clase.


π=Br

KCB1

Tr2Q w12w ∴

π=

Br

KB1

Tr2

QC

w1w

2

Y reemplazando el valor de la constante, se tiene que:

π=

Br

KBr

Br

K

T2Q

sw

1w

0

[4.20]

La ecuación 4.20 representa la Ecuación de DeGlee – Jacob, para acuíferos semiconfinados. Está ecuación

puede simplificarse para usos prácticos; si 01.0Brw < , se puede aproximar el factor: 1

Br

KBr w

1w ≅

, y

entonces la ecuación 4.18 se puede escribir como:

π=

Br

KT2

Qs 0

[4.21]

Según Hantush (Batu, 1998), si 0.05Br≤ la ecuación de De Glee - Jacob se puede escribir como:

( )

π≅

rB 1.12

logT 2Q 2.303

rs

[4.22]

44..33 AACCUUÍÍFFEERROOSS LLIIBBRREESS Dupuit y Forchheimer derivaron la expresión sin reconocer quien la hizo primero, por esta razón lleva ambos nombres. Esta ecuación es la simple ecuación para acuíferos libres.

4.3.1 Consideraciones Básicas La Figura 15 muestra un pozo que penetra completamente el acuífero libre. Dupuit y Forchheimer encontraron independientemente la solución para la carga piezométrica con base en las siguientes suposiciones: El acuífero es homogéneo e isotrópico y de extensión infinita La tabla de aguas es horizontal antes del bombeo La ley de Darcy es valida para el flujo en el acuífero El agua es instantáneamente removida del almacenamiento, como la carga piezométrica decae. La tasa de bombeo del pozo es constante Las condiciones de Dupuit son validas. El flujo es simétrico, respecto al eje del pozo. La filtración de las paredes del pozo es despreciable y el

acuífero recibe una tasa constante de recarga. Se desprecian las pérdidas en el pozo, H0 =Hw


Dupuit en 1863 (Batu, 1998) indicó que la pendiente de la tabla de aguas, de un acuífero libre bajo condiciones de no extracción a lo largo de una sección transversal vertical es muy pequeña. El rango de valores típicos va de 1/1000 a 1/10000. Alrededor de un pozo de extracción en un acuífero libre la pendiente es muy alta, con el descenso de la distancia radial del pozo dependiendo de las conductividades hidráulicas verticales y horizontales del acuífero. La condición de una pendiente geométrica pequeña significa que el flujo es esencialmente horizontal y la carga hidráulica (h) es igual a la elevación de la tabla de aguas.

Realizando el análisis de continuidad, en un anillo de radio r, se tiene que: .

( ) ( ) ( ) 0Irr2rQrQ =∆+−∆+ πr [4.23] Donde I [L/T] representa el volumen de agua entrando en una unidad de área horizontal del acuífero por unidad de tiempo, debido a la recarga por infiltración. Los valores positivos y negativos de I, representan la recarga y la evaporación respectivamente. Al dividir por ∆r, y haciendo tender este a cero:

0rI2rQ

=+∂∂ π

[4.24]

Figura 15 Flujo a un pozo en un acuífero libre infinito con filtración

Nivel Estático


z



Acuífero libre

2rw

r

Lecho impermeable

s

Q

sw


Hw H

Datum

Ho


La velocidad radial de Darcy está dada por: rh

Kvr ∂∂

−=

Entonces:

( ) ( ) ( )rh

K rh2qrh2rQ r ∂∂

−=−= ππ ∴ ( ) ( ) ( )rh

21

K r2rQ2

∂∂

= π

[4.25]

Y reemplazando 4.25 en 4.24:

( )0

K2I

rh

rrr

1 2

=+

∂

∂∂∂

[4.26]

Las condiciones de primer tipo o de Dirichlet son: Cuando h = Hw, entonces r = rw. Carga piezométrica en la cara del pozo Cuando h = H, entonces r = R. Carga piezométrica del acuífero antes del bombeo. R es el radio de influencia en el cual el abatimiento es cero.

La ecuación 4.26 puede ser escrita de la forma: ( ) ( ) 2

2

2

222 r

KI2

rh

rrh

r −=∂

∂+

∂∂ , y ser solucionada por el

método de Cauchy – Euler, ya que es una ecuación no homogénea. Realizando la siguiente cambio de variable, se tiene que:

( )

2u2

u

xe

xe

xlnu

=

=

=

Y las derivadas son:

( ) ( )uh

r1

rh 22

∂∂

=∂

∂ y ( ) ( ) ( )

∂∂

−∂∂

=∂

∂uh

uh

r1

rh 2

2

22

22

22

remplazando estas en la ecuación 4.26, se llega a que:

( ) u22

22

eKI2

rh

−=∂

∂

Integrando dos veces:

( )1

u22

CeKI

rh

+−=∂

∂

( ) 21u22 Cu Ce

2KI

rh ++−=

Reemplazando u por ln (r):

( ) ( ) ( ) 2122 Crln Cr

2KI

rh ++−=

[4.27]

Reemplazando las condiciones de frontera se obtienen C1 y C2.


( ) ( ) ( )

−+−−+=

Rr

ln

Rr

lnrR

2KI

H-HrR2KI

Hrhw

2w

22w

22222

[4.28]

La descarga Q del pozo puede ser determinada por continuidad y la ley de Darcy:

( )w

2

wwrw rr drhd

Krrh

hKr2hqr-2Q ==∂∂

== ,πππ

[4.29]

Derivando 4.28 y reemplazando en 4.29:

( )

−+−−=

Rr

ln

KrR

2KI

H-HrIQw

2w

22w

22w

ππ

[4.30]

Teniendo en cuenta que:

2wrIπ− : es la recarga en el pozo mismo y es despreciablemente pequeño comparado con los demás términos:

( )

−+−=

Rr

ln

KrR

2KI

H-HQw

2w

22w

2 π

[4.31]

Reemplazando 4.31 en 4.29:

( )

+−+=Rr

lnKQ

rR2KI

Hh 222

π2

[4.32]

En el caso particular, en el que I = 0:

+=Rr

lnKQ

Hh 2

π2

[4.33]

Las ecuaciones 4.32 y 4.33 representan la distribución de la carga piezométrica con recarga y sin recarga respectivamente. Para la condición descrita en las condiciones de frontera, la tasa de descarga Q, puede ser representada como:

( )

−π

=

w

2w

2

rR

ln

HHKQ

[4.34]

La ecuación 4.34 es la llamada ecuación de descarga de Dupuit - Forchheimer. Esta ecuación es obtenida con base en las condiciones de Dupuit. Estas suposiciones no toman en cuenta la forma curvilínea del flujo en un plano radial. Los componentes del flujo vertical son despreciados. La ecuación da un resultado con razonable aproximación, si la distancia radial r es suficientemente grande y los efectos curvilíneos son despreciables. Luego, la aplicación de métodos numéricos (Boulton, 1951 (Batu, 1998)) e investigaciones experimentales ((Babbit y Cantwell, 1948) (Peterson et al, 1952) Batu, 1998) muestran que la ecuación representa la superficie libre para valores de r≥ 1.5H, siempre y cuando el nivel de agua del pozo (Ho) sea cero en la Figura 4.3.


Adicionalmente ocurre que para valores pequeños de r, H0 se incrementa. Estas investigaciones también muestran que la superficie libre cercana y a la misma distancia alrededor del pozo no es correctamente modelada por la ecuación 4.34 y que la superficie libre cruza la pared del pozo a alguna distancia sobre el nivel del agua en el pozo. Hantush (1962) (Batu, 1998) analizó la validez de la ecuación 4.34, tomando en cuenta el nivel de agua en el pozo (Ho) y el nivel del agua en la pared del pozo (Hw) y obtuvo la misma ecuación 4.32 con la excepción de que Hw = H0. Esto significa que al tomar en cuenta la naturaleza curvilínea del flujo, a lo largo de la pendiente de filtración, virtualmente se obtiene la misma ecuación.

555 PPPRRRIIINNNCCCIIIPPPIIIOOO DDDEEE SSSUUUPPPEEERRRPPPOOOSSSIIICCCIIIOOONNN Este principio (Quintero, 1994) se encarga de analizar la interferencia entre una batería de pozos en una formación acuífera, y el efecto que presenta este en la producción de los mismos. Como en la realidad, se encuentran los acuíferos con limitaciones hidrogeológicas definidas, que restringen la aplicabilidad de los métodos analíticos, que suponen la extensión infinita de los acuíferos, como lo muestra las Figuras 16, 17 y 18. El método de las imágenes se utiliza par resolver teóricamente estos casos, aproximando una extensión finita de los acuíferos, con un pozo real y otro imagen. Basado en la linealidad de la Ecuación de Laplace (Para acuíferos libres, se mantiene si sí la variable de estado es h2 y no h), suponiendo el trabajo de cada pozo y luego superponerlos, para así obtener la resultante de todos los pozos trabajando en conjunto.

55..11 CCAASSOO DDEE DDOOSS PPOOZZOOSS Suponiendo que en un acuífero confinado se tienen dos pozos, separados a una distancia 2 a, como lo muestra la Figura 19. Los pozos están diseñados en igual forma, y están localizados en forma tal que a una distancia radial el potencial permanece constante. El caudal que se extrae de ambos, es el mismo, Q. De acuerdo al principio de superposición el abatimiento total producido en un punto P(x,y) será la suma de los abatimientos que produce cada pozo en su operación individual, por lo tanto:

=

+

=+=

21

20

2

0

1

021

rrR

logTQ

366.0s

rR

logTQ

366.0rR

logTQ

366.0sss

[5.1]

Por lo tanto el abatimiento total en cada pozo será:

=

a2rR

logTQ

366.0sp

0p

[5.2]

El caudal que produce cada uno será

=

a2rR

log366.0

sTQ

p

p0

[5.3]

Como lo muestra la ecuación 5.3, el caudal disminuye a medida que disminuye la distancia 2 a, entre pozos.


55..22 MMÉÉTTOODDOO DDEE LLAASS IIMMÁÁGGEENNEESS

5.2.1 Pozo cerca de una zona de recarga Este es el comportamiento típico de un pozo situado en cercanías de un río y perforando un acuífero que está en contacto directo con el río el cual se extiende linealmente en una gran distancia. La Figura 19, representa la zona de recarga como una línea que se extiende a lo largo del eje Y y a una distancia a se encuentra un pozo del cual se bombea un caudal determinado, Q. La zona de recarga se puede simular con dos pozos separados a una distancia 2 a, y en forma tal que uno de ellos, el pozo imagen, es un pozo de recarga. Estos dos pozos producen a lo largo del eje y, la condición s=0. La solución está dada por la ecuación:

π

=1

20

rrln

T2Qs

[5.4]

Si r2 = 2a y r1 = rp, se tiene que el caudal Q, es igual a:

π

=

p

p

ra2

ln

Ts2Q . Aplicando el teorema del coseno, se

encuentra el abatimiento.

β−+=

β−+=

cosar4a4rr

cosar4a4rr

12

12

12

12

2

Por lo tanto, reemplazando en 5.4, se obtiene:

β−+π

=1

122

10

rcosar4a4r

lnT2

Qs

[5.5]

Para los puntos paralelos a la línea de recarga, es decir cuando β=90º, el cos (90) = 0, y la ecuación 5.5 se simplifica:

+π

=1

2210

ra4r

lnT2

Qs

[5.6]

Para los punto situados sobre la línea perpendicular a la zona de recarga, cuando β=0 o 180ª, el cos (β) es igual a ± 1, y la expresión se simplifica:


Acuífero

Barrera Impermeable

Material Impermeable

Nivel Freático

Superficie del Terreno

Figura 16. Acuífero limitado por una barrera impermeable. Quintero, 1994

Acuífero


Acuífero

Nivel Freático

Figura 17. Acuífero limitado por dos barreras impermeables. Quintero, 1994

Figura 18. Acuífero limitado por una zona de recarga. Quintero, 1994

Acuífero


Nivel Freático

Corriente


( ) ( )

( ) ( )º180,

ra2r

lnT2

Qr

a2rln

T2Q

s

0,r

a2rln

T2Q

ra2r

lnT2

Qs

rar4a4r

lnT2

Qs

1

10

1

210

1

10

1

210

1

122

10

=β

+π

=

+π

=

=β

−π

=

−π

=

±+π

=

[5.7]

De estas ecuaciones se puede concluir que la pendiente de la curva de abatimiento de la parte que queda hacia el río es más fuerte que la que va tierra adentro.

5.2.2 Pozo construido en un acuífero que está limitado por una barrera impermeable

En la Figura 19, se representa un pozo construido en un acuífero que está limitado por una barrera impermeable y la cual no puede contribuir al bombeo, por lo tanto cuando el cono de abatimiento alcanza la barrera impermeable y ante la imposibilidad de extenderse más allá de este límite se produce una caída más acelerada de la curva de abatimiento. Como se estudió en anterior numeral, el efecto que producen los pozos separados una distancia 2ª, sobre la línea que los divide, es que el abatimiento no varía con la distancia, y por lo tanto la línea divisoria se comporta como impermeable. Así también se puede decir que el sistema analizado, es equivalente a dos pozos de descarga, funcionando en un acuífero infinito. La solución está dada por:

π

=21

2

rrR

lnT2

Qs

[5.8]

En donde r2 es la distancia desde el pozo imagen al punto, considerando r1 la distancia del punto considerado al pozo de bombeo

5.2.3 Ley de los tiempos Cuando se tiene un piezómetro de monitoréo a una distancia r0 del pozo de bombeo y sobre la línea perpendicular a la barrera impermeable. Como en los dos casos anteriores, el sistema es equivalente al mostrado en la Figura 19. El tiempo a partir del comienzo del bombeo para el cual se siente algún abatimiento en el piezómetro de monitoréo es cuando:

P (x,y)

r 1 r 2

2a

x

y

Pozo 1 Pozo 2

Figura 19. Esquema de la ubicación de dos pozos. Quintero, 1994


T25.2S

rt

0.1SrTt25.2

20

02

0

=∴=

[5.9]

El tiempo que se necesita para que el pozo imagen tenga alguna influencia en el de monitoréo es cuando

T25.2S

rt

0.1SrTt25.2

2i

i2

0

=∴=

[5.10]

Igualando las dos expresiones, se tiene que:

2i

i2

0

0

rt

rt

=

[5.11]

Que se conoce como la ley de los tiempos de Ingersoll (Quintero, 1994) en donde: t0: Tiempo transcurrido desde el comienzo del bombeo hasta que comienza a sentirse el abatimiento en el

pozo de monitoréo. r0: Distancia desde el pozo de monitoréo la pozo de bombeo. t1: Tiempo a partir del cual existe una influencia del pozo imagen (o sea de la berrera impermeable) r1 Distancia desde el pozo imagen al pozo de observación. Si el sistema está compuesto de varios pozos situados en una cierta distancia de la zona de recarga, el problema se resuelve como en los casos anteriores utilizando el método de la imágenes y el principio de superposición.

666 AAAPPPLLLIIICCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS La principal aplicación de la hidráulica de pozos está en determinar las características hidrogeológicas del acuífero, mediante el análisis de pruebas de bombeo, tema que discutirá en el próximo capítulo. Se ilustrará aquí la aplicación práctica de ñas diversas ecuaciones desarrolladas mediante los siguientes ejemplos.

66..11 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE TTHHEEIISS En una formación acuífera que tiene un espesor promedio de 12 m, una transmisividad de 8.64 m/d y un coeficiente de almacenamiento de 0.001. El caudal de producción es de 4 L/s. Se necesita conocer el abatimiento a una distancia de 25 m, 8 horas después de comenzar la extracción de agua. El primer paso es determinar el parámetro u:

( ) ( )( )( )( )

3-

dm

2

10 x 4.5h 24

d 1h 88.6440.00125m

4TtSr

u ===2

[Adimensional]

A continuación se determina la función del pozo de Theis W(u), mediante la curva de Theis (Figura 2) o en tablas, la cual en este punto posee un valor de 4.83. Ahora con estos valores sólo resta aplicar la ecuación de Theis, para encontrar el abatimiento.


( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) m 1.284.83m 12 8.64 4

0.004h 8 , m 25s

KbT uWT 4

Qtr,s

s 86400d 1

dm

sm3

==

==

π

π,

66..22 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE JJAACCOOBB A manera de comparación se puede resolver el mismo ejemplo que fue resuelto con la ecuación de Theis, en el numeral anterior.

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) m28.182.4m26.0tr,s

001.0m25

día248

m128.6425.2ln

m128.6444

SrTt25.2

lnT4

Qtr,s 2

dm

dm

sL

2

=≅

π=

π≅

El Radio de Influencia es igual a:

( )( )( ) m2790.001

día248

m128.641.5

STt1.5R

21

dm

21

=

=

=

66..33 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE CCHHEENN En el acuífero descrito en el ejemplo anterior se tiene una frontera exterior a aproximadamente 80 m de distancia. Determinar el período durante el cual el acuífero puede ser analizado como un acuífero infinito.

( ) ( )( )( ) min56.5días10x5.38

m1264.816001.0m80

16TSR

t 3

dm

22

===≤ −

Físicamente, esto significa que el acuífero puede ser analizado como un acuífero infinito durante aproximadamente cinco minutos y medio, desde que comienza el bombeo.

66..44 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE PPAAPPAADDOOPPUULLOOSS && CCOOOOPPEERR En un acuífero se excava un pozo de 0.2 m de radio, en toda su profundidad, (rw =r c). Se pretende obtener un caudal de 432 m3/día. La formación acuífera tiene una transmisividad de 86.4 m2/día y una capacidad de almacenamiento de 0.01. Determinar el abatimiento después de 1 hora después de comenzar el bombeo, a una distancia de 20 m. Usando la ecuación de Papadopulos y Cooper, se tiene que:


( ) ( )( )( ) 27.0

4.144

d2414.864

01.0m20Tt4Sr

udía

m

22w

2====

( )( )

22

2

2c

2w 10101.0

m2.0m2.0

Sr

r −×=×==α

100m2.0m20

rr

w

===ρ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m48.02.1m397.0m2.17.1085

432100,101,27.0F

4.864432

min60,m20s

,,uFT4

Qt,rs

2

díam

díam

2

3

=×==×π

=

ραπ

=

−

66..55 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE TTHHIIEEMM A manera de ejemplo, se puede suponer un acuífero con un espesor de 6 m y una conductividad hidráulica de 10-

4 m/s, encontrar el abatimiento a una distancia de 100 m del pozo, si el radio del pozo es de 0.1 m y la descarga es de 5 L/s.

( ) ( )

( )( )m16.9s

m0.1m100

ln0001.0m62

005.0s

rr

ln T 2

Qrhrhs

sm

sm

ww

3

=

π

=

π

=−=

66..66 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE DDEE GGLLEEEE -- JJAACCOOBB Tomando el ejemplo de un acuífero confinado con espesor de 10 m, conductividad de 0.0002 m/s, y con una capa semiconfinante de espesor 4 m y una conductividad hidráulica de 2 x 10-8 m/s; se pìde determinar el abatimiento en condiciones estables a 400 metros de distancia de un pozo de 0.2 m de diámetro con una descarga de 5 L/s, y en la pared del mismo. Para usar la ecuación simplificada de De Glee - Jacob, se necesita conocer el factor B:

( )( )( )m45.632

10x20002.0m4m10

K'Kb'b

B21

sm8

sm2

1

=

=

⋅⋅

= −

Ahora si se reemplaza en la ecuación de De Glee - Jacob, y se llega a:

( )( ) ( )( ) m29.07397.m39.0m45.632

m400K

m100002.02005.0

s 0s

m

sm3

==

π

=

El valor de la función de Bessel se encuentra en tablas, en libros de Cálculo


Y en la pared del pozo es de:

( )( ) ( )( ) m26.3303.2m39.0m45.632

m2.0K

m100002.02005.0

s 0s

m

sm3

==

π

=

66..77 UUSSOO DDEE LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN DDEE DDUUPPUUIITT -- FFOORRCCHHHHEEIIMMEERR Para un acuífero libre con H = 20m, radio del pozo 0.1 m y K = 0.0003 m/s, determinar la tasa máxima de bombeo para crear un abatimiento de 2 m. Aplicando la ecuación de descarga de Dupuit – Fochheimer, se llega a:

( ) ( ) ( )( )[ ]( ) s

mm10Rln

0716.0

m 0.1R

ln

m18m200003.0Q

322

sm

=

−π= . Donde R es el radio de influencia del pozo.

777 RRREEEFFFEEERRREEENNNCCCIIIAAASSS BATU, Vedat. AQUIFER HYDRAULICS. John Wiley & Sons, Inc. USA. 1998. PISKUNOV, N. CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL. Editorial Mir. Moscú, Rusia. 1977. QUINTERO SAGRE, Jorge. HIDRÁULICA DE POZOS. Curso internacional de manejo y protección de

acuíferos. Universidad Nacional de Colombia. Santafé de Bogotá. Agosto de1994.

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Hidraulica de Pozos