HidraulickiUdar

GRAĐEVINSKI FAKULTET SARAJEVO

ODSJEK ZA HIDROTEHNIKU

II CIKLUS STUDIJA

NUMERIČKI PRORAČUN HIDRAULIČKOG UDARA NA PRIMJERU

MHE ČAJDRAŠ

Završni rad

Mentor:

Prof.dr. Zoran Milašinović, dipl.ing.građ.

Kandidat:

Semir Durić

SADRŽAJ

1 UVOD ........................................................................................................................ 4

2 OPIS SISTEMA MHE ČAJDRAŠ .................................................................................... 6

2.1 OPŠTE ................................................................................................................. 6

2.2 RAD SISTEMA PRIJE UGRADNJE TURBINE........................................................... 9

2.2.1 Određivanje Manning-ovog koeficijenta koeficijenta hrapavosti n i

koeficijenta trenja λ ........................................................................................................... 12

2.2.2 Opis rada sistema ........................................................................................ 18

2.3 RAD SISTEMA NAKON UGRADNJE TURBINE ..................................................... 23

2.3.1 Zahtjevani proticaj za bezbjedan rad Pelton-ove turbine MHE Čajdraš ........ 23

2.3.2 Mlaznice Pelton-ove turbine mHE Čajdraš ................................................... 26

3 IZVOĐENJE JEDNAČINA HIDRAULIČKOG UDARA ..................................................... 30

3.1 OPIS POJAVE HIDRAULIČKOG UDARA .............................................................. 30

3.2 OPŠTE O MATEMATIČKIM MODELIMA ZA NESTACIONARNO TEČENJE U

CIJEVIMA………………………………………………………………………………………………………………………….34

3.3 MATEMATIČKI MODEL KRUTOG UDARA .......................................................... 35

3.4 MATEMATIČKI MODEL ELASTIČNOG UDARA (HIDRAULIČKI UDAR) ................. 39

3.4.1 Promjena pritiska i pijezometarske kote...................................................... 41

3.4.2 Brzina prostiranja poremećaja .................................................................... 42

3.5 OSNOVNE JEDNAČINE HIDRAULIČKOG UDARA ................................................ 45

3.5.1 Dinamička jednačina ................................................................................... 46

3.5.2 Jednačina kontinuiteta ................................................................................ 50

3.6 OSOBINE JEDNAČINA MATEMATIČKOG MODELA ............................................ 58

3.7 POJEDNOSTAVLJENE JEDNAČINE...................................................................... 61

4 NUMERIČKO RJEŠENJE JEDNAČINA HIDRAULIČKOG UDARA METODOM

KARAKTERISTIKA ....................................................................................................................... 63

4.1 OSNOVNE JEDNAČINE U FORMI KARAKTERISTIKA ........................................... 64

4.2 NUMERIČKI MODEL .......................................................................................... 68

4.3 GRANIČNI USLOVI ............................................................................................ 72

Semir Durić Završni rad

3

4.3.1 Rezervoar, odnosno, zadat nivo na kraju cijevi ............................................ 73

4.3.2 Računanje П i Q u unutrašnjim tačkama cijevi (u presjecima koji se nalaze

između dva konturna uslova) ............................................................................................. 73

4.3.3 Čvorovi – spojevi dvije ili više cijevi ............................................................. 74

4.3.4 Zatvarač na nizvodnom kraju cijevi.............................................................. 76

4.3.5 Vodostan kao granični uslov ........................................................................ 77

4.3.6 Vazdušna komora kao granični uslov ........................................................... 78

4.4 STABILNOST NUMERIČKOG MODELA ............................................................... 80

5 RJEŠENJE SISTEMA................................................................................................... 84

5.1 OPŠTE ............................................................................................................... 84

5.2 RJEŠENJE SISTEMA KORISTEĆI SE MANIPULACIJOM NA TURBINI (BEZ

DODATNIH OBJEKATA NA SISTEMU) ..................................................................................... 89

5.2.1 Usvojeni dijagrami manipulacije iglama na turbine ..................................... 89

5.2.2.a) Rješenje sistema koristeći navedene jednačine za odgovarajuće konturne

uslove (isprogramirano u Microsoft Excelu) ....................................................................... 91

5.2.2.b) Proračun rješenja sistema sa manipulacijom na turbini u software-u Hytran

Solutions ............................................................................................................................ 97

5.3 RJEŠENJE SISTEMA POSTAVLJANJEM VAZDUŠNE KOMORE NA VRHU

VJETRENICE…………………………………………………………………………………………………………………….103

5.4 RJEŠENJE SISTEMA POSTAVLJANJEM VODOSTANA NA VRHU VJETRENICA.... 111

6 ANALIZA VARIJANTI I IZBOR RJEŠENJA .................................................................. 118

6.1 ANALIZA VARIJANTI ....................................................................................... 118

6.1.1 Rješenje manipulacijom na turbini ............................................................ 118

6.1.2 Rješenje sistema postavljanjem vazdušne komore na Vrhu Vjetrenica ...... 119

6.1.3 Rješenje sistema ugradnjom vodostana na Vrhu Vjetrenica ...................... 119

6.2 IZBOR RJEŠENJA ............................................................................................. 120

7 ZAKLJUČAK ............................................................................................................ 121

8 LITERATURA .......................................................................................................... 122


4

1 UVOD

Velike oscilacije pritiska, koje se javljaju kod hidrauličkog udara, dovode do problema u

funkcionisanju cjevovoda. Pored otežane regulacije i kontrole rada cjevovoda tokom prelaznih

režima, moguća su i oštećenja samog cjevovoda i opreme na njemu, jer ekstremne vrijednosti

pritisaka mogu višestruko prevazići radne pritiske. Sa druge strane, niski pritisci u cjevovodu

zajedno sa spoljnjim oštećenjem mogu dovesti do velikih deformacija i loma fleksibilnih cijevi.

Dakle, postoji neophodan praktični interes da se ekstremne vrijednosti pritisaka drže pod

kontrolom.

Jedno od važnijih pitanja koje se postavlja pred projektanta je vjerovatnoća i učestalost

nekog događaja, i do koje mjere treba sistem zaštititi od hidrauličkog udara. To uglavnom nije

regulisano tehničkim i zakonskim propisima. Dosta toga prepušteno je projektantu, koji treba da

identifikuje najopasnije događaje, da procijeni objektivnu ugroženost sistema i da odredi

odgovarajuću zaštitu.

Suočen sa činjenicom da se prilikom prelaznih režima javljaju pritisci u cjevovodu koji

ugrožavaju statičku sigurnost cjevovoda i opreme na njemu, projektant ima dva izbora: da

dimenzioniše cijevi i opremu na te povećane pritiske (da izabere jače cijevi) ili da ne dozvoli da

se neprihvatljivi pritisci pojave. Obično, mada ne i obavezno, bira se drugi pristup kao

ekonomičniji.

Hidrauličke analize vezane za određivanje odgovarajuće zaštite od hidrauličkog udara

mogu biti:

- Prije nego što su se problemi u radu cjevovoda pojavili: u fazi projektovanja sistema,

ili u okviru rekonstrukcije i proširenja postojećeg sistema,

- Poslije uočenih problema u funkcionisanju i, eventualno, havarija na cjevovodu.

Jednačine hidrauličkog udara primjenjene na složene probleme iz prakse ne mogu se

riješiti analitički. Za njihovo rješavanje moraju se koristiti numeričke (približne) metode. U

osnovi numeričkog modeliranja je približno rješavanje matematičkog modela. Jednačine se

transformišu do oblika na koji se neposredno može primjeniti neka od numeričkih metoda. U

slučaju rješavanja jednačina hidrauličkog udara, to je metoda karakteristika.

U inženjerskoj praksi dugo su korištene grafičke metode, i metode zasnovane na

određenim pojednostavljenjima. Pojavom računara, postalo je uobičajeno korištenje numeričkih


5

metoda za približno rješavanje diferencijalnih jednačina matematičkog modela hidrauličkog

udara.

U ovom radu obrađen je numerički proračun hidrauličkog udara kroz primjer mHE

Čajdraš, koja je izgrađena na vodovodnom sistemu grada Zenice, Viteza, i naselja Kruščica.

Hidrauličku analizu vezanu za zaštitu od hidrauličkog udara za sistem mHE Čajdraš, treba

provesti nakon što je, prilikom puštanja turbine u pogon, došlo do pojave neočekivanih

vrijednosti pritisaka, i oscilovanja istih.

Rad je podijeljen u sedam poglavlja. U prvom poglavlju su date uvodne napomene. U

drugom poglavlju je opisan sistem mHE Čajdraš (karakteristike sistema, raspoloživi podaci

mjerenja proticaja i pritisaka). Treće poglavlje obrađuje izvođenje diferencijalnih jednačina

matematičkog modela hidrauličkog udara, a u četvrtom je prikazano njihovo numeričko

rješavanje metodom karakteristika. Peto poglavlje obrađuje rješenje sistema (vrijednosti

pritisaka) mHE Čajdraš u tri moguće varijante. U rješavanju sistema, pored, u radu opisanog

načina numeričkog proračuna metodom karakteristika primjenjeno za sistem mHE Čajdraš,

korišten je i softver za analizu hidrauličkog udara, Hytran Solutions, koji također pri proračunu

koristi metodu karakteristika. U šestom poglavlju je izvršena analiza obrađene tri varijante

rješenja sistema i usvajanje najpovoljnijeg rješenja. U sedmom poglavlju su data zaključna

razmatranja.


6

2 OPIS SISTEMA MHE ČAJDRAŠ

2.1 OPŠTE

MHE Čajdraš je izgrađena na sistemu vodosnabdijevanja grada Zenice, Viteza i naselja

Šljivčica. Strojara je smještena u samom objektu rasteretne komore, odnosno na etaži iznad

rasteretne komore. U slučaju kada turbina ne radi, voda se by-pass-om odvodi u rasteretnu

komoru (slika 2.4) odakle se transportuje dalje prema gradu Zenica (rezervoar Zmajevac).

Sistem vodosnabdijevanja grada Zenice, Viteza i naselja Šljivčica sačinjavaju slijedeći

objekti (slike 2.1 i 2.2):

Slika 2.1: Shema dijela sistema vodosnabdijevanja grada Zenice, Viteza i naselja Kruščica

(dionica Rezervoar Kruščica – rasteretna komora)

1. Rezervoar Kruščica na koti 702 mn.m.

2. Mjerna stanica Vitez na koti 420 mn.m. gdje se cjevovod odvaja za grad Vitez I gdje

se obezbjeđuje konstantan protok od oko Q = 85 l/s

3. Muljni ispust na koti 398 mn.m. koji ujedno predstavlja i najnižu tačku u sistemu

4. Ogranak za naselje Šljivčica gdje se obezbjeđuje konstantan protok od oko Q = 7 l/s


7

5. Odzračno okno “Vrh Vjetrenica” na koti 675,90 mn.m., koji ujedno predstavlja I

najvišu tačku u sistemu

6. Rasteretna komora na koti 518 m.n.m. iz koje se voda gravitaciono transportuje

prema rezervoaru “Zmajevac II” na kotu 409 mn.m.,

7. Čelični transportni cjevovod čije dužine i karakteristike su predstavljene u tabeli 2.1.

Tabela 2.1: Karakteristike čeličnog cjevovoda na dionici “rezervoar Kruščica – rasteretna

komora”

ČELIČNE ŠAVNE CIJEVI

DIONICA DUŽINA UKUPNA

DUŽINA

VANJSKI

PREČNIK

CIJEVI

DEBLJINA

ČELIČNOG

LIMA

UNUTRAŠNJI

PREČNIK

CIJEVI

NAPOMENA

(m) (m) (m) (m) (mm) (mm) (mm)

0,00 2 183,80 2 183,80 2 183,80 711,20 7,00 697,20 Rezervoar

Kruščica

2 183,80 3 561,60 1 377,80 3 561,60 711,20 9,00 693,20

3 561,60 7 748,25 4 186,65 7 748,25 711,20 10,00 691,20 Odvajanje

za Vitez

7 748,25 8 974,00 1 225,75 1 225,75 609,60 9,00 591,60

8 974,00 9 031,90 57,90 1 283,65 609,60 11,00 587,60

9 031,90 10 612,00 1 580,10 2 863,75 609,60 9,00 591,60

10 612,00 13 563,75 2 951,75 5 815,50 609,60 7,00 595,60 Vrh

Vjetrenica

13 563,75 14 680,95 1 117,20 1 117,20 419,00 5,00 409,00

UKUPNA DUŽINA 14 680,95

Nazivni pritisak za sve cijevi iznosi 30 bara.

Na cjevovod kojim se voda transportovala do rasteretne komore, od tačke T0 (prema

slici 2.3) izgrađena je odvodna cijev kojom se voda transportuje do strojare. Pred strojarom se

cjevovod račva na dionicu kojom se voda transportuje dalje do turbine, i na obilazni vod (by-

pass, sifonskog oblika), kojim se voda, u slučaju kada turbina ne radi, transportuje u rasteretnu

komoru. Odvod vode iz rasteretne komore je isti kao i prije ugradnje turbine.


8

Slika 2.3: Situacija cjevovoda (dovod/odvod vode do/od rasteretne komore prije i nakon

ugradnje turbine)

Slika 2.4: Račva pred strojarom (by-pass)


9

2.2 RAD SISTEMA PRIJE UGRADNJE TURBINE

Od puštanja u rad sistem je obezbjeđivao zahtijevanih 420 l/s prema gradu Zenici uz

istovremeno snabdijevanje vodom za piće grada Viteza sa količinom od Q = 85 l/s i naselja

Šljivčica sa količinom od Q = 7 l/s. Isporučivane količine vode su se mijenjale tokom vremena

usljed oscilacija izdašnosti izvorišta i samih uslova sistema.

Maksimalna izdašnost izvorišta Kruščica iznosi 520,00 l/s, međutim izdašnost izvorišta

oscilira u vremenu. Prečnik cijevi na izlazu iz sabirnog rezervoara Kruščica iznosi D=0,700 m, pri

čemu je cjevovod u prosječnom padu od I = ∆h/L = 0,0366. Usljed oscilacija u izdašnosti izvorišta,

velikog prečnika cijevi i velikog pada, u početnom dijelu cjevovoda može doći do tečenja sa

slobodnom površinom. U neposrednoj blizini sabirnog rezervoara Kruščica nizvodno na

cjevovodu postoji regulacioni ventil čijom manipulacijom se uzvodni dio dovodi u stanje pod

pritiskom, međutim na dijelu cjevovoda poslije regulacionog ventila tečenje je ponovo na

određenoj dionici sa slobodnom površinom (pokazano u tački 2.2.1). Također, tečenje na dionici

cjevovoda “vrh Vjetrenice – rasteretna komora” usljed velikog pada cjevovoda i prečnika cijevi

D=0,400 m, prelazi u tečenje sa slobodnom površinom, koje se pred samu rasteretnu komoru

pređe u tečenje pod pritiskom (pokazani u tački 2.2.2). Može se zaključiti da je sistem prije

ugradnje turbine bio djelimično pod pritiskom, tako da rasteretna komora nije ostvarivala svoju

prvobitnu funkciju.

Maksimalni pritisci u cjevovodu javljali su se u najnižoj tački sistema, muljnom ispustu,

na koti 398,00 m.n.m. i iznosili su pmax = 29,82 (bar).

Regulacija protoka za grad Zenicu vršila se u rasteretnoj komori tablastim zatvaračem na

ručni pogon. Tokom manevra otvaranja ili zatvaranja tablastog zatvarača nisu evidentirane

pojave povećanja ili smanjenja pritiska u dovodnom cjevovodu pošto je ručno otvaranje i

zatvaranje trajalo vremenski veoma dugo.

Tokom manevra otvaranja tablastog zatvarača bilo je neophodno prvo ozračiti sistem i

ispustiti vazduh iz cjevovoda preko odzračnog ventila na Vrhu Vjetrenice. Nakon odzračivanja

sistema i uspostavljanja tečenja pod pritiskom bilo je neophodno zatvoriti ventil pošto je

dolazilo do uvlačenja vazduha. To je ukazivalo na pojavu potpritisaka na prevoju Vrha

Vjetrenice. Izmjerene vrijednosti potpritisaka na Vrhu Vjetrenica su pABS = 0,230 bar odnosno

pREL = 0,783 bar.


10

Tabela 2.2: Mjereni podaci pritisaka u karakterističnim tačkama na dionici cjevovoda “Rezervoar

Kruščica – mjerna stanica Vitez”

KRUŠČICA

(QZ+QV+QŠ)

VITEZ

QV

ŠLJIVČICA

QŠ

ZENICA

QZ

Relativni

Pritisak

u M.S.

Vitez

p

Visinska

Razlika

Kruščica

– M.S.

Vitez

HBR

Pv/ρg Prečnik

Cijevi

D

Vv2/2g Dužina

cijevi

L

(l/s) (l/s) (l/s) (l/s) (bar) (m) (m) (m) (m) (m)

1 327,00 86,30 7,00 228,00 24,50 282,00 249,75 0,700 0,0368 7700,0

2 268,00 85,60 7,00 166,00 24,10 282,00 245,67 0,700 0,0247 7700,0

3 208,00 85,00 3,50 110,00 24,00 282,00 244,65 0,700 0,0149 7700,0

4 159,00 84,80 3,50 58,00 24,00 282,00 244,65 0,700 0,0087 7700,0

5 130,00 84,80 3,40 31,80 24,00 282,00 244,65 0,700 0,0058 7700,0

Tabela 2.3.a): Mjereni proticaji u karakterističnim tačkama na dionici cjevovoda “Mjerna stanica

Vitez – odzračno okno Vrh Vjetrenica”

KRUŠČICA

(QZ+QV+QŠ)

VITEZ

QV

ŠLJIVČICA

QŠ

ZENICA

QZ

(l/s) (l/s) (l/s) (l/s)

1 327,00 86,30 7,00 228,00

2 268,00 85,60 7,00 166,00

3 208,00 85,00 3,50 110,00

4 159,00 84,80 3,50 58,00

5 130,00 84,80 3,40 31,80


11

Tabela 2.3.b): Mjereni podaci pritisaka u karakterističnim tačkama na dionici cjevovoda “Mjerna

stanica Vitez-odzračno okno Vrh Vjetrenice” za proticaje iz tabele 3.a)

Relativni

ptitisak

u

M.S.

Vitez

p

Apsolutni

pritisak

Vrh

Vjetrenica

p

Relativni

pritisak

Vrh

Vjetrenica

p

Visinska

razlika

M.S. Vitez

– Vrh

Vjetrenica

HBR

PMS/ρg Pvv/ρg Protok Q1

M.S.Vitez

- Šljivčica

Protok Q2

Šljivčica -

Vrh

Vjetrenica

Dužina

cijevi

L1

Dužina

cijevi

L2

(bar) (bar) (bar) (m) (m) (m) (m3/s) (m3/s) (m) (m)

1 24,50 0,23 -0,783 255,90 249,75 -7,98 0,2350 0,2280 3300,00 2500,00

2 24,10 0,30 -0,713 255,90 245,67 -7,27 0,1730 0,1660 3300,00 2500,00

3 24,00 0,33 -0,685 255,90 244,65 -6,99 0,1135 0,1100 3300,00 2500,00

4 24,00 0,34 -0,673 255,90 244,65 -6,86 0,0615 0,0580 3300,00 2500,00

5 24,00 0,34 -0,672 255,90 244,65 -6,85 0,0352 0,0318 3300,00 2500,00

Regulacija proticaja sa uzvodne strane (uzvodnim zatvaračem kod

rezervoara/vodozahvata Kruščica) nije moguća zbog snabdijevanja vodom Viteza i naselja

Kruščica koji su spojeni na zajednički cjevovod vodosnabdijevanja grada Zenice. Ukoliko bi se

želio zatvoriti dotok prema Zenici bez vode bi automatski ostali i Vitez i Šljivčica.

Veći problem bi nastao ako bi došlo do pražnjenja cjevovoda na cijeloj dionici što je

jedna od mogućih opcija pri ovakvom upravljanju sistemom. Punjenje sistema zahtijevalo bi

vrijeme i stručni nadzor.

Regulacija proticaja s nizvodne strane (na mjestu rasteretne komore) je jedino moguće

rješenje.


12

2.2.1 Određivanje Manning-ovog koeficijenta koeficijenta hrapavosti n i koeficijenta trenja λ

Određivanje Manning-ovog koeficijenta hrapavosti n i koeficijenta otpora λ će se

izračunati na osnovu mjerenih podataka pritisaka i proticaja. Za dionicu cjevovoda “Rezervoar

Kruščica – mjerna stanica Vitez” mjereni podaci pritisaka i proticaja sa terena u karakterističnim

tačkama predstavljeni su u tabeli 2.2.

Proračun je proveden prema shemi na slici 2.5. i pod pretpostavkom da je tokom cijele

dionice cjevovoda tečenje pod pritiskom.

Slika 2.5: Shema za proračun karakteristika cjevovoda

Ulazni podaci za proračun:

- Ukupan proticaj na Kruščici za Zenicu, Vitez i Šljivčicu

- položajna kota rez.Kruščica u odnosu na referentnu liniju

- Relativni pritisak u cijevi mjeren manometrom u mjernoj stanici Vitez

Proračun:


13

Vrijednost Manning-ovog koeficijenta hrapavosti je veoma visoka za ovu vrstu cijevi. I za

ostale mjerene rezultate pritisaka i proticaja, proračunom prema pokazanoj metodologiji

dobijaju se visoke (nekarakteristične) vrijednosti Manning-ovog koeficijenta hrapavosti. Za ovu

vrstu cijevi Manning-ov koeficijent hrapavosti se kreće u granicama od 0,010 do 0,015 (gornja

granica je za loše zahrđale cijevi).

Kao što je već navedeno, cjevovod na izlazu iz rezervoara/vodozahvata Kruščica je

prečnika Φ700 mm, pri čemu je cjevovod u velikom padu. Regulacioni ventil koji se nalazi

neposredno nizvodno od izvorišta/rezervoara Kruščica zatvoren je do određenog stepena, pri

čemu je uzvodni dio u stanju pod pritiskom, ali na dionici cjevovoda nizvodno od regulacionog

ventila tečenje je sa slobodnom površinom. To znači da prethodni proračun koeficijenta

hrapavosti nije adekvatan.


14

Ova mogućnost će se provjeriti u nastavku, tako što će se za pretpostavljeno n (λ)

sračunati visinska kota zK koja označava početak tečenja pod pritiskom.

Usvaja se vrijednost koeficijenta hrapavosti po Manningu n=0,010 za sve cijevi

(karakteristika dobrih čeličnih cijevi). Na osnovu usvojenog koeficijenta hrapavosti sračunat je

koeficijent trenja λ na osnovu relacije

Usvojeno: DN 400 mm λ = 0,017; DN 600 mm λ = 0,015; DN 700 mm λ = 0,014.

Proračun kote u cjevovodu, na dionici “r.Kruščica-M.S.Vitez,” od koje počinje tečenje pod

pritiskom :



- položajna kota rez.Kruščica

- položajna kota M.S. Vitez

- Relativni pritisak u cijevi mjeren manometrom u mjernoj stanici Vitez

DN 700 mm, λ = 0,014

Proračun prema slikama 2.5 i 2.6.

Napomena: Kota u cjevovodu od koje počinje tečenje pod pritiskom se mijenja usljed promjene

proticaja, a dobivena kota koja će ovdje biti sračunata vrijedi samo za navedene ulazne podatke

proticaja i pritiska, te pretpostavljenog koeficijenta trenja λ.


15

Slika 2.6: Hidraulička shema za proračun (sistem djelimično pod pritiskom)

Proračun:


16

Tečenje pod pritiskom u cjevovodu se ostvaruje na visini 255,45 m u odnosu na

referentnu liniju (slika 2.5), odnosno na visinskoj koti:

Tečenje od početne kote cjevovoda (702,00 m.n.m.) je sa slobodnom površinom do kote

675,45 m.n.m. nakon koje prelazi u tečenje pod pritiskom.

Visinska razlika u odnosu na kotu rezervoara Kruščica od 702,00 m.n.m. iznosi:

Da bi cjevovod od početne tačke cjevovoda (702,00 m.n.m.) bio pod pritiskom, potrebno

je na koti 675,45 m.n.m. postaviti lokalni otpor pri kojem će važiti uslov:

Ukoliko se na koti cjevovoda 675,45 m.n.m. postavi lokalni otpor ξ=721,51, uspostavit će

se tečenje pod pritiskom od početka cjevovoda.

Provjera visine zapunjenosti cijevi na dionici cjevovoda na kojoj je tečenje sa slobodnom

površinom za proticaj od Q=327,00 l/s:


- prosječan pad na dionici cjevovoda “r.Kruščica-M.S.Vitez”

- površina poprečnog presjeka dijela cijevi koji je zapunjen vodom

okvašeni obim


17

Slika 2.7: Tečenje u cijevi sa slobodnom površinom

Za poznato Q=0,327 m3/s, r=0,35 m, slijedi h=0,18 m, v=4,18 m/s.

Cijevni vod prečnika Φ700 mm, sa navedenim padom (I), može propustiti proticaj od

Q=327,00 l/s pri čemu je tečenje sa slobodnom površinom i to sa visinom zapunjenosti cijevi od

h=0,18 m.

Može se zaključiti da su veliki prečnici cjevovoda nedostatak sistema kao i nepostojanje

uzvodnog lokalnog otpora kojim bi se od samog početka cjevovoda obezbjedilo tečenje pod

pritiskom.


18

Iz razloga što tečenje u početnom dijelu cjevovoda nije pod pritiskom, za mjerene

vrijenosti pritisaka i proticaja nije moguće sračunati Manning-ov koeficijent hrapavosti n,

odnosno koeficijent trenja λ, prema prethodno prikazanoj metodologiji. Za daljnji proračun

usvojeno je n=0,010 (karakteristika dobrih čeličnih cijevi). Na osnovu usvojenog koeficijenta

hrapavosti sračunat je koeficijent trenja λ na osnovu relacije

Usvojeno: DN 300 mm λ = 0,0186; DN 400 mm λ = 0,017; DN 600 mm λ = 0,015; DN 700 mm

λ=0,014.

2.2.2 Opis rada sistema

Prethodnim proračunom pokazano je da se na početku cjevovoda zbog samih

karakteristika sistema u tom dijelu, ne uspostavlja tečenje pod pritiskom, nego da je ono u

početku sa slobodnom površinom, koje na određenoj koti prelazi u tečenje pod pritiskom.

Teoretski maksimalni proticaj koji bi se mogao transportovati prema Zenici (računa se iz

pretpostavke da se cjelokupni raspoloživi pad između rezervoara Kruščica i rasteretne komore

utroši na transport vode), ne može nikada biti realizovan zbog pojave potpritisaka (pritisaka

manjih od atmosferskog pritiska) u cijevnom vodu na Vrhu Vjetrenice. Dionica cjevovoda “Vrh

Vjetrenica - rasteretna komora” je u velikom padu, prečnik cjevovoda je DN 400, na ovoj dionici

također dolazi do promjene karaktera tečenja, tj., tečenje pod pritiskom prelazi u tečenje sa

slobodnom površinom (pokazano u nastavku).

Određivanje teoretski maksimalnog proticaja za Zenicu sa maksimalno dopuštenim

potpritiskom na Vrhu Vjetrenica:

PVAKUUMAMAX = -1,0133 bar = - 101,33 kPa (maksimalno dopušteni potpritisak)

U praksi se ne postiže vacuum veći od 60 – 70 kPa. Usvojena vrijednost vakuuma:

PVAKUUMA = - 50,00 kPa


19


KRUŠČICA = 702,00 m.n.m.

ODZRAČNO OKNO VRH VJETRENICA = 675,90 m.n.m.

HBRUTO=26,10 m

Usvojeno: DN 400 mm λ = 0,017; DN 600 mm λ = 0,015; DN 700 mm λ = 0,014.

Slika 2.8: Shema za proračun

Proračun:

Pretpostavka: pijezometarska visina u cjevovodu na Vrhu Vjetrenica pV.V./ρg=-5,0 m


20

Ako se pretpostave lokalni gubici u iznosu od 10% od linijskih gubitaka protok bi iznosio:


21

Realno je očekivati protok za Zenicu u iznosu od Q=406,41 l/s za vrijednost vakuuma na

Vrhu Vjetrenica uiznosu od pvakuuma=50 kPa.

Na terenu su izmjerene vrijednosti potpritisaka u odzračnom oknu na Vrhu Vjetrenica

pVAKUUMAREL=-0,783 bara = -7,68 m. Te vrijednosti potpritisaka održavale su se konstantnim za sve

promjene proticaja.

Mjereni podaci navode na veoma bitan zaključak o promjenama karakteristika tečenja u

cjevovodu na dionici “odzračno okno Vrh Vjetrenica – rasteretna komora.”

Za izmjerene vrijednosti potpritisaka od -7,68 m maksimalni proticaj kroz sistem (bez

uračunatih gubitaka pada na transport vode) iznosi QMAX=444,06 l/s. Ako se uzmu u obzir i gubici

pada na transportu vode maksimalni proticaj koji se može ostvariti iznosi QMAX=426,77 l/s. Ova

količina odgovara količini koja je izmjerena na rezervoaru Zmajevac II u Zenici.

Protok vode prema Zenici zavisi od veličine potpritisaka na Vrhu Vjetrenica. Mjerenja su

pokazala da se na Vrhu Vjetrenica realizuje potpritisak u vrijednosti od pVAKUUMAREL=-0,783 bara

što je maksimalno mogući potpritisak koji se realizuje u praksi (u praksi se ne postiže vakuum

veći od 60 – 70 kPa). Veća vrijednost potpritisaka prouzrokovala bi prestanak tečenja, odnosno,

tečenje bi prešlo u tečenje sa slobodnom površinom neposredno iza odzračnog ventila na Vrhu

Vjetrenice.

Do promjene karakteristika tečenja dolazi u cijevi na dionici “odzračno okno Vrh

Vjetrenica – rasteretna komora” na koti 669,85 m.n.m. što slijedi iz provedenog proračuna

(proračun izveden za vrijednost vakuuma pVAKUUMA= - 5,0 m).


22

Slika 2.9: Shematski prikaz mjesta promjene karakteristika tečenja

Na koti 669,85 m.n.m. mlaz se “kida” i tečenje pod pritiskom prelazi u tečenje sa

slobodnom površinom.

Od kote 669,85 m.n.m. pa sve do rasteretne komore (do sifonskog obilaznog voda)

tečenje u cijevi je tečenje sa slobodnom površinom. Pred sifonskim obilaznim vodom formira se

uspor kojim se obezbjeđuje pritisak od oko 0,5 bara za rad sifonskog dijela cijevi.


23

2.3 RAD SISTEMA NAKON UGRADNJE TURBINE

Ugradnjom turbine regulisanje proticaja prema gradu Zenici vrši se isključivo u

rasteretnoj komori gdje je locirana turbina i to turbinskim zatvaračima kada turbina radi ili

zatvaračem na turbinskom obilaznom vodu (by-pass-u).

Dok turbina radi pritisci na Vrhu Vjetrenice ne smiju dosegnuti negativnu vrijednost jer u

tom slučaju tečenje prelazi iz tečenja pod pritiskom u tečenje sa slobodnom površinom.

Da bi se u cijelom dovodnom cjevovodu prema turbini obezbjedilo tečenje pod pritiskom

neophodno je obezbjediti pritisak u cijevi na Vrhu Vjetrenice u minimalnom iznosu od 0,5 bara

(c.c.a. 5,1 m vodenog stuba). To se može postići jedino kontrolisanim propuštanjem vode preko

turbinskih mlaznica Peltonove turbine.

2.3.1 Zahtjevani proticaj za bezbjedan rad Pelton-ove turbine MHE Čajdraš


KRUŠČICA = 702,00 m.n.m..

ODZRAČNO OKNO VRH VJETRENICA = 675,90 m.n.m.

HBR = 26,10 m = Σhlin

DN 400 mm λ = 0,017; DN 600 mm λ = 0,015; DN 700 mm λ = 0,014.

Pretpostavka:

Pijezometarska visina u cjevovodu na Vrh Vjetrenica pV.V./ρg = 5,10 m.

Brutto pad koji je na raspolaganju od rezervoara Kruščica do odzračnog okna na Vrhu

Vjetrenica treba umanjiti za uslov bezbjednog rada turbine tj., umanjiti za vrijednost od 5,10 m i

obezbjediti pijezometarsku visinu na koti 681,00 mn.m. tj., pad od 21,00 m.


24

Slika 2.10: Hidraulička shema za proračun (cijeli sistem pod pritiskom)

Proračun:

Ako se pretpostavi da su lokalni gubici u iznosu od 10% ukupno raspoloživog pada koji je

preostao, za transport vode ostaje na raspolaganju


25

Maksimalni protok koji može da se realizuje u dovodnom sistemu a koji može da

obezbjedi bezbjedan rad turbine iznosi: Q=0,317 m3/s.


26

2.3.2 Mlaznice Pelton-ove turbine mHE Čajdraš

Pelton–ova turbina MHE Čajdraš se sastoji od dvije mlaznice, identičnih karakteristika,

kao što je prikazano na slijedećoj slici.

Slika 2.11: Mlaznice Pelton-ove turbine MHE Čajdraš


27

2.3.2.1 Otvor mlaznice prema projektu

Mlaznica Pelton-ove turbine mHE Čajdraš prema Glavnom projektu predstavljena je na

slijedećoj slici:

Slika 2.12: Mlaznica Pelton-ove turbine mHE Čajdraš prema Glavnom projektu

Turbina se sastoji od dvije identične mlaznice. Mlaznice su dimenzionirane na brutto pad

od HBRUTTO = 135,50 m protok od QTURBINE = 410 l/s. U otvorenom položaju, odnosno pri

maksimalnom protoku gubitak na mlaznici iznosi 2% ukupnog brutto pada turbine.


28

2.3.2.2 Otvor mlaznice - predloženo rješenje

Odabrani tip mlaznice treba prilagoditi graničnim uslovima rada Pelton turbine koji su

definisani sa protokom na turbini Qtur.MAX = c.c.a. 320 l/s i minimalno zahtjevanim netto padom

turbine koji obezbjeđuje pritisak u cjevovodu na Vrhu Vjetrenice u iznosu pvrhvjetr.minim. = 0,5 bar

(5,1m vodenog stuba)

Odzračno okno na Vrhu Vjetrenice 675,90 m.n.m.

Zahtjevani pritisak na Vrhu Vjetrenice p = 0,5 bara = c.c.c. 5,1 m

Kota pijezometrske linije na Vrhu vjetrenica 681,00 m.n.m.

Rasteretna komora 518,00 m.n.m.

Gubitak na mlaznici iznosi 2% od brutto pada pri potpuno otvorenom koplju. Ovaj

podatak neophodno je provjeriti za razne vrijednosti otvorenosti mlaznice i odrediti lokalni

gubitak za stvarno utvrđeni koeficijent kontrakcije mlaza na mlaznici.

Brzina vode na (jednoj) mlaznici iznosi:


29

Prečnik otvora jedne mlaznice (pod pretpostavkom da na jednu mlaznicu ide Q=160 l/s)

iznosi:

Iz čega slijedi da površina otvora mlaznice iznosi:

Prema Glavnom projektu površina otvora mlaznice iznosi 5 944,68 mm2. Smanjenje

otvora na zahtijevanu površinu (3 021,89 mm2) postiže se kontrolisanim zatvaranjem koplja

mlaznice tako što se dužina hoda igle koja iznosi 74mm (zatvara površinu od 5 994,68 mm2)

ograniči na 21 mm (zatvara potrebnu površinu od 3 021,89 mm2).

Daljnji proračun će se vršiti za usvojeno Qmax.turb=317 l/s i dužina hoda igala na

mlaznicama turbine dx=21 mm.

Postavljanjem turbine, uz navedene uslove, u cijelom sistemu se uspostavlja tečenje pod

pritiskom.


30

3 IZVOĐENJE JEDNAČINA HIDRAULIČKOG UDARA

3.1 OPIS POJAVE HIDRAULIČKOG UDARA

Hidraulički udar je pojava naglog, naizmjeničnog povećanja i smanjenja pritisaka u

cijevnim vodovima, koja nastaje kao posljedica brze promjene proticaja.

U mnogim tehničkim sistemima u kojima je voda radni fluid odigravaju se različite vrste

prelaznih procesa, tokom kojih dolazi do značajnih promjena projektovanih radnih parametara

sistema. Pod pojmom prelazni proces se podrazumijeva proces koji se odvija u nekom fizičkom

sistemu za vrijeme prelaska sistema iz jednog stacionarnog stanja u drugo stacionarno stanje.

Nagla i nekontrolisana promjena projektovanih parametara sistema može uticati na sigurnost I

pouzdanost u radu fizičkog sistema, kao i radni vijek postrojenja.

Pri nagloj promjeni režima rada hidrauličkih turbomašina usljed njihovog ispada iz

pogona (nepažljivo rukovanje, havarija ili nestanak električne energije), redovnom uključivanju i

isključivanju turbopumpi iz pogona, puštanju u rad i regulisanju vodnih turbina, pri naglom

otvaranju i zatvaranju regulacionih ventila dolazi do nagle promjene brzine strujanja fluida u

dovodnim i odvodnim cjevovodima hidroenergetskih sistema. Kao posljedica ovih promjena

formira se talas nadpritiska ili potpritiska koji se kroz protočni trakt hidrauličkog sistema prenosi

brzinom bliskoj brzini zvuka. Intenzitet talasa pritiska može biti takav da može da dovede do

ozbiljnih smetnji u radu hidropostrojenja, izazove značajna oštećenja pa čak i havariju

elemenata sistema.

Posmatra se relativno kratak horizontalno položen cjevovod (slika 3.1), na čijem

uzvodnom kraju se nalazi rezervoar, a na nizvodnom, zatvarač, koji je djelimično otvoren.

Pri početnom proticaju, Q0, i brzini, V0, gubitak energije na trenje je zanemarljiv u odnosu

na gubitak energije na zatvaraču.

Zatvarač se trenutno i potpuno zatvara, i izaziva trenutno zaustavljanje vode uzvodno od

zatvarača i povećanje pijezometarske kote za ∆П, koje se dobija na osnovu izraza Žukovskog:

Pretpostavlja se da je visina pritiska (П0 — ZC), duž cijevi u početnom trenutku, veća od

(∆П). Ovo je najjednostavniji primjer, kojim se ilustruje fenomen hidrauličkog udara.


31

Opšti matematički model koji ima širu primjenu, izvest će se u nastavku.

Slika 3.1: Početno stanje, prije naglog zatvaranja zatvarača

Poremećaj (zaustavljanje vode i povećanje pijezometarske kote) putuje uzvodno brzinom

propagacije, a. Redosljed događaja prikazan je na slici (3.2), gdje se, osim promjena na

pijezometarskoj liniji, mogu, karikirano, vidjeti i promjene na cijevi (kod povećanja

pijezometarske kote, širenje cijevi, a kod smanjenja, sužavanje).

Prva slika, (a), pokazuje trenutak (t = t0 + ξ/a), kada je poremećaj stigao do presjeka koji

je na rastojanju (ξ) uzvodno od zatvarača.

Slika (b) pokazuje momenat kada je poremećaj stigao do uzvodnog kraja cijevi. Brzina

fluida u cijeloj cijevi jednaka je nuli, a na cijeloj dužini cijevi povećana je pijezometarska kota. U

odnosu na neporemećeno stanje, masa fluida u cijevi povećana je za (ρ·L·AC ·∆V/a). Fluid je

normalno priticao u cijev, sve dok poremećaj nije stigao do rezervoara. Tada dolazi do

rasterećenja stanja napona fluida u cijevi, a zbog velike zapremine rezervoara, u njemu se ne

mijenja nivo. Pritisak na ulazu u cijev postaje jednak pritisku u rezervoaru, a višak vode počinje

da ističe iz cijevi. Zbog elastične deformacije dolazi do iste promjene brzine, ali sa promjenjenim

znakom, -V0. Talas rasterećenja (negativni talas) putuje nizvodno brzinom, a, (na slici (c)).

Na slici (d), u trenutku t = t0 + 2L/a, na cijeloj cijevi je uspostavljeno prvobitno stanje

pritisaka, ali je brzina suprotnog smjera od prvobitne. Poremećaj je stigao do zatvarača, od koga

ne može dalje. Zatvarač još jednom nameće uslov, V = 0, ali zbog različitog smjera brzine, sada

dolazi do smanjenja visine pritiska za ∆П. Negativni talas (smanjenje pritiska) odbio se od

zatvorenog zatvarača i putuje uzvodno. Prostiranje negativnog talasa u uzvodnom smjeru

prikazano je na slici (e). Slika (f) pokazuje stanje kada je V = 0, ali za razliku od slike (b), ovdje je

pijezometarska kota za (∆П) manja od početne. Kod rezervoara opet dolazi do rasterećenja

stanja napona fluida u cijevi, i fluid iz rezervoara kreće, brzinom V0, da nadoknadi manjak u

cijevi, slika (g). Na kraju, poslije (4L/a), opet se dolazi do slike sa početka analize, za t0, kada je

došlo do naglog zatvaranja cjevovoda. Zbog zanemarenja trenja i pretpostavke o elastičnim


32

deformacijama fluida i cijevi dolazi do neprigušenog periodičnog prelaska kinetičke energije

fluida u elastičnu.

Vremenski interval poslije koga se uslovi u jednom poprečnom presjeku ponavljaju,

naziva se teorijskom periodom oscilacija cjevovoda:

Slika 3.2: Propagacija i odbijanje talasa hidrauličkog udara, koji je izazvan trenutnim I

potpunim zatvaranjem zatvarača na nizvodnoj strani cjevovoda


33

Na slijedećoj slici prikazan je dijagram promjene pijezometarskih kota u karakterističnim

tačkama na cjevovodu, na sredini i na kraju cjevovoda, u funkciji vremena. Trajanje

promijenjenog pritiska najveće je kod zatvarača, a najmanje je kod rezervoara, praktično nula.

Brzina se takođe mijenja periodično, s tim, što je kod zatvarača stalno jednaka nuli, a na ulazu u

cjevovod skače sa pozitivne na negativnu vrijednost.

Slika 3.3: Promjene П – kota u karakterističnim tačkama cijevi izazvane trenutnim

zatvaranjem zatvarača

Važno je uočiti slijedeće: kod rezervoara, odnosno kod mjesta rasterećenja, talas

promjene pritiska promijenio je znak, a kod slijepog kraja cijevi odbio se bez promjene znaka.

Slučaj naglog otvaranja zatvarača na cjevovodu, mnogo je komplikovaniji. Proticaj kroz

zatvarač zavisi od pijezometarske kote uzvodno od zatvarača, što se ne može lako opisati

jednostavnim modelom.

Naziv hidraulički udar vjerovatno potiče od toga što se pri prolasku talasa povećanja

pritiska sa strmim čelom kroz cijev čuje zvuk kao da je cijev udarena čekićem. Hidraulički udar

predstavlja fenomen koji je sinonim za nestacionarno strujanje u cjevovodima.


34

3.2 OPŠTE O MATEMATIČKIM MODELIMA ZA NESTACIONARNO TEČENJE U CIJEVIMA

Stacionarno tečenje, predstavlja samo inženjersku aproksimaciju stvarnog tečenja vode u

cijevima. Čak i ako se ne posmatraju neravnomjernosti po poprečnom presjeku cijevi i ne uzima

u obzir turbulencija, kretanje vode je uvijek nestacionarno zbog stalne promjene graničnih

uslova tečenja i nemogućnosti vode da se trenutno prilagodi tim promjenama. Pored inercije

vode i viskoznosti, odnosno, trenja, često značajnu ulogu igraju i elastičnost fluida i zidova cijevi.

Detaljan opis svih relevantnih pojava dovodi do vrlo složenih jednačina.

Sa druge strane, nepotrebno je i neracionalno da u svakoj prilici koristimo najsloženiji

mogući opis tečenja vode u cijevima. Model stacionarnog tečenja predstavlja najniži nivo

složenosti, odnosno najviši stepen aproksimacije. To ne znači da je zbog toga njegova primjena

značajno ograničena. Naprotiv, većina inženjerskih analiza zasniva se na primjeni

pojednostavljenih modela, ali uz dobro poznavanje granica primjenljivosti određenih modela,

odnosno, pretpostavki koje su u njih ugrađene.

Kada je neophodno u analizama voditi računa o nestacionarnosti tečenja, bira se

odgovarajući, obično složeniji, matematički model. U zavisnosti od problema koji se rješava,

brzine promjena graničnih uslova, kao i zahtjevane tačnosti, možemo se odlučiti za neki od

modela nestacionarnog tečenja, koji se mogu svrstati u slijedeće grupe:

1. Model kvazi-stacionarnog tečenja

2. Model krutog udara (oscilacije vodenih masa)

3. Model elastičnog udara (hidraulički udar)

4. Modeli oscilatornog kretanja i vibracija.

Iako se u praksi često dešava da se stacionarno tečenje uopšte ne uspostavlja,

nestacionarno tečenje treba shvatiti kao prelaz između jednog stacionarnog tečenja u drugo.

Zbog toga se podjednako koristi naziv prelazni režimi kada se govori o nestacionarnom tečenju.


35

3.3 MATEMATIČKI MODEL KRUTOG UDARA

Kao i svako tijelo konačne mase, voda u cijevi ne može trenutno da mijenja svoju brzinu

pod dejstvom sila koje na nju djeluju. Ukoliko se zadržimo na relativno sporim promjenama na

granicama cijevi, može se pretpostaviti da se fluid u cijevi ponaša kao nestišljiv (kruto tijelo). U

tom slučaju, sile pritiska, težine i trenja, (P + G) i T, koje djeluju na fluid u cijevi (ij), nisu u

ravnoteži.

Slika 3.4: Cijev (ij) i sile koje djeluju na masu fluida u cijevi

Sila težine (G) (zapreminska sila), interesantna je samo njena komponenta u pravcu

tečenja

ZT – kota težišta poprečnog presjeka na odgovarajućem kraju cijevi

Sila pritiska (P). Dio sile pritiska po konturi cijevi uravnotežuje komponentu sile težine

koja djeluje upravno na zid. Preostali dio sile pritiska, koji djeluje u pravcu tečenja, predstavlja

razliku sila pritiska na u presjecima na uzvodnom i nizvidnom kraju cijevi.


36

pT - pritisak u težištu poprečnog presjeka

Sila trenja (T). Pretpostavlja se da je tangencijalni napon između fluida i zida cijevi

konstantan po obimu cijevi. Ukupna sila trenja koja djeluje u smjeru suprotnom od smjera

tečenja, iznosi:

- okvašeni obim cijevi. Uvodi se koeficijent tangencijalnog napona :

Da se obezbijedi da sila trenja bude u smjeru suprotnom od smjera tečenja, umjesto

piše se .

Slika 3.5: Sile koje djeluju na fluid u cijevi


37

Dok se ne dostigne stacionarno tečenje, djelovanje navedenih sila dovodi do promjene

količine kretanja fluida u cijevi.

Količina kretanja je proizvod mase i brzine, m·V. U vremenskom intervalu ∆t sile koje

djeluju na masu fluida u cijevi dovedu do promjene količine kretanja ∆(mV), odnosno, m∆V

Masa fluida u cijevi je nepromjenljiva i jednaka je ρV, odnosno ρ(AL), pa se može

napisati:

Dijeljenjem jednačine sa ∆t i pod pretpostavkom da se radi o jako malom vremenskom

intervalu (∆t → dt) i odgovarajućoj promjeni brzine, dolazi se do diferencijalnog oblika zakona

održanja količine kretanja. Sile na desnoj strani jednačine su iste kao za ustaljeno tečenje.

Korištenjem oznaka sa slike (3.4) može napisati:

Indeksi (ij), koji označavaju da se veličine odnose na cijev između čvorova (i) i (j), mogu se

izostaviti da se pojednostavi pisanje.

odnosno, preko proticaja


38

gdje je R = A/O hidraulički radijus.

Fluid u cijevi se ponaša kao kruto tijelo, pa odatle i naziv, matematički model krutog

udara. Svaka promjena na jednom kraju cijevi prenosi se trenutno kroz cijev, a brzine su iste u

svim presjecima cijevi.

Ako se uvede Darsi-Vajsbahov koeficijent trenja, i ako se radi o cijevi kružnog poprečnog

presjeka, gdje je hidraulički radijus R = D/4, dobija se:


39

3.4 MATEMATIČKI MODEL ELASTIČNOG UDARA (HIDRAULIČKI UDAR)

Svaka promjena brzine fluida u cievi za ∆V, izaziva određenu promjenu pritiska, ∆p, kao i

promjenu gustine ∆ρ.

Slika 3.6: Poremećaj (povećanje pritiska ) izazvan zatvaranjem zatvarača na nizvodnom

kraju cijevi

Kada je promjena pritiska značajna i kada se mora uzeti u obzir promjena brzine duž

cijevi, dolazi se do modela hidrauličkog udara. Ovo je pravi linijski model tečenja u cijevima.

Pretpostavlja se da su deformacije fluida i cijevi male i da je veza između napona i deformacija

linearna, pa se koristi naziv elastični udar. Kod nagle promjene brzine, poremećaj se prostire

kroz cijev kao talas sa strmim čelom, konačnom, mada dosta velikom brzinom, a. Promjene

pritiska ili brzine na granicama cijevi mogu biti jako brze.

Naziv hidraulički udar se najčešće koristi u hidrotehničkoj praksi. Sam pojam hidraulički

udar je znatno širi i obuhvata sve talase promjene pritiska fluida u cijevi.

U cilju objašnjenja fenomena, posmatra se trenutno i potpuno zatvaranje zatvarača na

nizvodnom kraju horizontalne cijevi konstantnog poprečnog presjeka (slika 3.6). Poremećaj u

vidu fronta putuje uzvodno, brzinom (-a). Ako se zanemari trenje, pokretni front razdvaja cijev

na dvije zone, sa konstantnim, a međusobno različitim veličinama.


40

Neporemećena

zona

Front Poremećena zona

Brzina: I

Pritisak: I

Gustina: I

Cijev: I

Ovaj problem može se, jednostavnom transformacijom koordinatnog sistema, značajno

pojednostaviti. U koordinatnom sistemu, koji se kreće zajedno sa poremećajem brzinom (a),

uzvodno, izdvaja se kontrolna zapremina (slika 3.7).

Slika 3.7: Pokretna kontrolna zapremina

U ovakvom koordinatnom sistemu front se ne pomjera, i problem se proučava kao

stacionaran. U dva koordinatna sistema, pokretnom i nepokretnom, razlikuju se samo brzine. U

pokretnom koordinatnom sistemu u neporemećenoj zoni brzina je jednaka (V = V0 + a), dok je u

poremećenoj (V2 = V0 + AV + a). Takođe, promjene ∆ρ i ∆A, su mnogo manje od referentnih

veličina ρ0 i A.


41

3.4.1 Promjena pritiska i pijezometarske kote

Sile koje djeluju na kontrolnu zapreminu moraju biti u ravnoteži. Od površinskih sila

uzeće se u obzir samo sile pritiska, dok se trenje zanemaruje.

Promjena količine kretanja mase fluida u kontrolnoj zapremini je:

Komponenta sile pritiska u pravcu tečenja je jednaka:

Izjednačavanjem prethodna dva izraza dolazi se do vrlo korisne relacije do koje su krajem

19-og stoljeća došli Žukovski u Rusiji I Alijevi (Alievi) u Italiji.

Iz iskustva se zna da j e brzina propagacije, a, znatno veća od brzine strujanja, V, pa se u

praksi može koristiti još jednostavniji izraz:

odnosno


42

Ovi izrazi su od velikog praktičnog značaja, jer omogućavaju približno određivanje

promjene jedne zavisno promjenljive, ako se zna promjena one druge.

Međutim, treba ukazati na to da su greške zbog nekritičke primjene ovih relacija česte.

Karakterističan je primjer djelimičnog zatvaranja zatvarača na cjevovodu, gdje se, zbog

nepoznavanja same prirode ove pojave, neosnovano pretpostavlja da je promjena brzine fluida

proporcionalna promjeni položaja zatvarača. Gornji izrazi daju pravi odgovor, ako se zna

promjena jedne veličine, a ne i ako se krene od pogrešne pretpostavke.

3.4.2 Brzina prostiranja poremećaja

Dinamička jednačina iskorištena je za određivanje veze između promjene brzine i

promjene pritiska, dok se jednačina kontinuiteta može iskoristiti za procjenu brzine prostiranja

poremećaja. Kada se pritisak u fluidu poveća, fluid se sabija a cijev širi. Usljed toga, cijev je

sposobna da primi veću količinu fluida nego pod normalnim pritiskom. Promjena brzine na

nizvodnom kraju cijevi se ne osjeti istovremeno na uzvodnom kraju cijevi. Brzina prostiranja

poremećaja zavisi od sposobnosti cijevi da primi dodatnu količinu fluida.

U pokretnom koordinatnom sistemu, nema promjene mase u kontrolnoj zapremini, a

proticaji mase kroz kontrolne površine na ulazu i izlazu su međusobno jednake.

Brzina fluida je znatno manja od brzine propagacije talasa, (V0 << a), pa se i proizvodi V0 i

∆ρ, ili ∆A, smatraju malim veličinama višeg reda, i kao takvi se mogu eliminisati.

Izjednačavanjem ulaza i izlaza iz kontrolne zapremine, dolazi se do slijedećeg izraza:

odnosno,

Radi procjene brzine prostiranja poremećaja posmatra se dionica cijevi dužine ∆L koju

poremećaj pređe za vrijeme ∆t (a je dakle jednako ∆ L /∆t ) . Gornja jednačina se može napisati

na slijedeći način


43

Članovi na lijevoj strani zajedno predstavljaju promjenu mase fluida u cijevi usljed širenja

cijevi (ρ0 ∆A ∆L) i usljed sabijanja fluida (∆ρ A ∆L) , a na desnoj strani je dodatna masa fluida koja

uđe u cijev.

Zapreminski modul stišljivosti po definiciji je jednak

odakle se dobija,

Ako je cijev slobodno oslonjena lako se dolazi do poprečne deformacije cijevi. Iz kotlovske

formule slijedi da je promjena napona u zidu cijevi jednaka ∆σT = ∆pD/(2e), a odgovarajuća

dilatacija, ∆ξT =∆σT/E, gdje je, e, debljina zida cijevi, a, E, Jangov (Young) modul elastičnosti.

Relativna promjena površine, (∆A/A), iznosi, 2∆ξT, odnosno:

∆A

A

Iz jednačina (3.18) i (3.15) dolazi se do

Odakle se dobija izraz za brzinu propagacije poremećaja kroz cijev

Na slijedećoj slici prikazana je promjena brzine propagacije talasa kroz vodu u zavisnosti

od elastičnosti zida cijevi i relativne debljine zida cijevi, odnosno, D/e. Takodje, naznačene su

oblasti koje odgovaraju pojedinim materijalima od kojih se prave cijevi. Zapreminski modul

stišljivosti vode iznosi 2.20 GPa (na temperaturi 20 0C).


44

Slika 3.8: Uticaj elastičnosti zida cijevi i odnosu D/e na brzinu propagacije talasa u void

Može se ukazati na dva ekstremna slučaja. Kada je deformacija cijevi mnogo manja od

deformacije fluida, tada je ∆A/A vrlo malo, a brzina propagacije poremećaja postaje bliska brzini

zvuka u neograničenom fluidu, odnosno:

Prema podacima iz naredne tabele, brzina propagacije u samoj vodi je oko 1450 m/s,

dok je u vodi koja se nalazi u cijevi još manja.

Kod vrlo deformabilnih provodnika (guma, krvni sudovi i slično), drugi član u imeniocu

jednačine (3.24), postaje dominantan, tako da je brzina propagacije jednaka:

U takvim slučajevima, potrebno je na drugi način definisati vezu između napona i

deformacije zidova cijevi.

Na brzinu propagacije talasa u cijevi utiču i drugi faktori, kao što su način oslanjanja

cijevi, oblik poprečnog presjeka, prethodno stanje napona u zidovima cijevi, koncentracije

rastvorenih i suspendovanih materija u vodi itd, što će se pokazati kasnije.


45

Tabela 3.1: Fizičke karakteristike vode

Temperature

Gustina

Viskoznost

Modul stišljivosti

0 999,9 1,792 2,04

5 1000,0 1,519 2,06

10 999,7 1,308 2,11

15 999,1 1,141 2,14

20 998,2 1,007 2,20

25 997,1 0,897 2,22

30 995,7 0,804 2,23

3.5 OSNOVNE JEDNAČINE HIDRAULIČKOG UDARA

Relacija Žukovskog izvedena je za naglu promjenu brzine i uz zanemarenje trenja. Može

poslužiti za procjenu ekstremnih vrijednosti pritisaka u kratkim cjevovodima ali nije dovoljna za

analizu prelaznih režima u složenijim cjevovodima.

Za izvođenje matematičkog modela, pored osnovnih pretpostavki o linijskom problemu

(varijacije brzine po poprečnom presjeku se zanemaruju, važi hidrostatička raspodjela pritisaka u

poprečnom presjeku itd.) i korištenju veličina reprezentativnih za poprečni presjek, uvode se i

dodatne pretpostavke:

- Fluid i materijal cijevi ponašaju se kao idealno elastično tijelo,

- Sila trenja se uzima kao kod stacionarnog tečenja,

- Nema diskontinuiteta u cijevi, sto je preduslov za diferencijalni pristup.

Dinamička jednačina se izvodi za elementarnu dionicu cijevi, a zbog stišljivosti fluida i

deformisanja cijevi, neophodna je i jednačina kontinuiteta.


46

3.5.1 Dinamička jednačina

Posmatra se masa fluida na dionici cijevi, elementarne dužine δx (slika 3.9), dovoljno

male da se može pretpostaviti linearna promjena svih veličina na njoj.

Slika 3.9: Sile koje djeluju na elementarnu masu fluida

Sila pritiska u pravcu strujanja koja djeluje na elementarnu masu fluida sastoji se od

razlike sila pritiska u uzvodnom i nizvodnom poprečnom presjeku

i sile kojom kontura (cijev) djeluje na elementarnu masu fluida u pravcu osovine cijevi

p p

U opštem slučaju površina poprečnog presjeka nije konstantna. Uz zanemarenje jako

malih veličina, ukupna sila pritiska u pravcu strujanja iznosi


47

p

Komponenta sile težine u pravcu osovine cijevi na elementarnu masu fluida jednaka je

Sila trenja djeluje u suprotnom smjeru od brzine i jednaka je prosječnom tangencijalnom

naponu, Τ0, pomnoženim unutrašnjom površinom cijevi koja je u kontaktu sa fluidom, O·δx,

Kod nestacionarnog tečenja, sile pritiska, težine i trenja, nisu u ravnoteži. Njihovo

djelovanje dovodi do promjene količine kretanja mase fluida na koju djeluju (Drugi Njutnov

zakon).

masa ubrzanje = Σsila

masa (elementa) = ρV = ρAδ

ubrzanje = DV

Dt


48

iz čega slijedi opšti oblik dinamičke jednačine za nestacionarno tečenje u cijevi

DV

Dt

Kod strujanja tečnosti, umjesto pritiska koristi se pijezometarska kota, p = ρg(П - z), gdje

je z visina težišta poprečnog presjeka cijevi.

Pod pretpostavkom da se gustina fluida mijenja znatno manje od pijezometarske kote i

kote položaja cijevi dobija se

Dobija se jednačina koja se u suštini ne razlikuje od one za kruti udar

odnosno,

Umjesto razlike pijezometarskih kota na početku i na kraju cijevi, ∆П/L, ovdJe stoji,

,

odnosno, to isto, ali za elementarnu dIonicu cijevi. I brzina se mijenja duž cijevi, pa se umjesto

totalnog izvoda brzine (tj. materijalnog izvoda) piše:


49

Na kraju se dolazi do dinamičke jednačine u slijedećem obliku:

Član

, obično se zanemaruje uodnosu na

, pa se jednačina koristi u obliku:


50

3.5.2 Jednačina kontinuiteta

Kod primjene uslova održanja mase fluida na elementarnoj dionici cijevi vodi se računa o

brzini kretanja fluida, V, i o brzini pomjeranja zida cijevi, u, kao i o odgovarajućim totalnim

izvodima, D/Dt, koji prati kretanje fluida i D/Dt, koji prati pomjeranje zida cijevi. Pretpostavlja se

da se zid cijevi pomjera brzinom u u pravcu ose cijevi i da kontrolna zapremina prati to

pomjeranje. Brzina fluida, V, i brzina pomjeranja cijevi, u, definisane su u spoljnom

nepokretnom koordinatnom sistemu (Wylie, Streeter, 1978).

Slika 3.10: Kontrolna zapremina za primjenu zakona o održanju mase

Razlika izlaza i ulaza mase u kontrolnu zapreminu (sa slike 3.10):


51

Odgovara promjeni mase kontrolne zapremine:

Gdje D'/Dt označava totalni izvod u odnosu na podužno pomjeranje cijevi, koji glasi:

Izjednačavanjem prethodna dva izraza I njihovim djelimičnim diferenciranjem dobija se:

Sa prethodne slike je vidljivo da je promjena dužine kontrolne (δx) zapremine jednaka:

Daljnjim pojednostavljenjem slijedi:

Parcijalnim diferenciranjem prvog člana u gornjoj jednačini dolazi se do:


52

Posljednja dva člana predstavljaju konvektivni i lokalni izvod (ρA), a zajedno, čine

materijalni izvod koji prati fluidni element:

Totalni izvod se može razdvojiti na dio koji pokazuje promjenu gustine fluida, i dio koji

pokazuje deformisanje cijevi:

Ovo je opšti oblik jednačine koja važi, kako za cilindrične, tako i za cijevi proizvoljnog

oblika i promjenljivog poprečnog presjeka. Da bi se utvrdila veza između deformacija i napona, u

prvom redu, pritiska, potrebno je uvesti dodatne pretpostavke i ograničenja. Posmatraju se

samo elastične prizmatične cijevi, kružnog presjeka.

Po definiciji zapreminskog modula stišljivosti za tečnosti i za izotermno stanje:

odnosno, preko izraza:


53

Dolazi se do:

Pretpostavka da se cijev ponaša kao elastično Hukovo (Hook) tijelo, važi čak i za cijevi

od mekih materijala kao što je PVC, PE itd., u oblasti radnih pritisaka. Postupak izvođenja

jednačine kontinuiteta svodi se na definisanje dilatacija i njihovo linearno povezivanje sa

naponima.

Promjena površine poprečnog presjeka može se dovesti u vezu sa poprečnom

dilatacijom, ξT

Povećanje obima krruga iznosi ∆ξTD0π

Slika 3.11: Veza promjene površine poprečnog presjeka cijevi i poprečne dilatacije


54

Materijalni izvod promjene površine poprečnog presjeka jednak je:

Poprečna dilatacija ξT izražava se na slijedeći način

Gdje je μ Poasonov (Poisson) koeficijent, koji vezuje dilatacije u glavnim pravcima, ξ1 I ξ2.

ξ1 I ξ2 su dilatacije u pravcima glavnih napona, σ1 i, σ2. Oni su povezani Jangovim (Young)

modulom elastičnosti:

Iz prethodno izvedenog (3.52) slijedi:

Do poprečnog napona u cijevi dolazi se primjenom kotlovske formule (slika 3.12).

Presječne sile Tf, su u ravnoteži sa silom pritiska na površinu jedinicne dužine i širine D


55

Slika 3.12: Sile koje djeluju na polovinu cijevi

Odnosno,

Napon zavisi od načina oslanjanja cijevi, odnosno, od mogućnosti podužnog

pomjeranja cijevi. Postoje tri osnovna načina oslanjanja cijevi:

1. Cijev uklještena samo na uzvodnom kraju

2. Cijev uklještena u osloncima bez aksijalnog pomjeranja


56

3. Cijev je na osloncima, koji se mogu slobodno podužno pomjerati

Kada se izrazi (3.54) i (3.50) uvrste u jednačinu (3.48), a za cijev oslonjenu na način (1),

dobija se,

Poslije sređivanja prethodnog izraza, dolazi se do opšteg oblika jednačine kontinuiteta za

nestacionarno strujanje elastičnog fluida u elastičnoj cijevi

gdje je, a2, kvadrat brzine propagacije talasa hidrauličkog udara, već određeno u

prethodnom poglavlju,

Koeficijent c1 zavisi od načina oslanjanja cijevi, i za gore pomenute načine oslanjanja,

jednak je:

1. ,

2. ,


57

3.

Za tečnosti se umjesto pritiska, obično koristi potencijalna energija po jedinici težine -

pijezometarska kota, П,

Pretpostavlja se da je pomjeranje cijevi beznačajno u odnosu na promjenu

pijezometarske kote, i da je ∂Z/∂t = 0, a umjesto ∂Z/∂x uvodi se nagib cijevi, sin α. U

prethodnom izrazu, kao i kod dinamičke jednačine, pretpostavljeno je da se gustina fluida

mijenja mnogo manje od pijezometarske kote, pa je kod diferenciranja p posmatrano kao

konstanta. To je uobičajena pretpostavka mada nije u skladu sa polaznim pretpostavkama. Kao

rezultat dobija se jednačina kontinuiteta u slijedećem obliku

U jednačini (3.65), član ∂П/∂t, je mnogo veći od članova V∂П/∂x, i sin α, pa se ova dva

obično zanemaruju. Jednačina kontinuiteta se obično koristi u slijedećem obliku


58

3.6 OSOBINE JEDNAČINA MATEMATIČKOG MODELA

Jednačine

su parcijalne diferencijalne jednačine. U njima se javljaju dvije zavisno promjenljive

veličine, pijezometarska kota, П, i srednja brzina fluida, V, u funkciji od dvije nezavisno

promenljive, x i t. I u nelinearnim članovima javljaju se parcijalni izvodi na prvi stepen, pa se radi

o kvazi-linearnim jednačinama.

Jednačine ovog tipa mogu se razvrstati u tri grupe:

- hiperboličke,

- paraboličke i

- eliptičke,

od čega zavisi način na koji će se rješavati.

Jednačine se mogu napisati u matričnoj formi

gdje je B matrica koeficijenata i C matrica slobodnih članova:


59

Sopstvene vrijednosti matrice B određuju tip jednačina.

Ako su sopstvene vrijednosti, i , realne i međusobno različite, sistem jednačina je

hiperbolički, ako su realne i međusobno jednake, sistem je parabolički, a ako su imaginarne,

sistem je eliptički. Pošto je brzina propagacije a različita od nule, jednačine su hiperboličke.

Ove jednačine su znatno komplikovanije, u odnosu na matematičke modele kvazi-

stacionarnog tečenja i krutog udara.

Od jednačina matematičkog modela hidrauličkog udara očekuje se da budu zadovoljene i

za slučaj stacionarnog tečenja. Međutim, dinamička jednačina se ne svodi na Darsi-Vajsbahovu

jednačinu, П/ = (λV2)/(D2g), jer zbog pretpostavke o deformisanju cijevi, osnovna

pretpostavka o konstantnoj brzini duž cijevi nije zadovoljena. Korištenjem pijezometarske kote

umjesto pritiska, uticaj promjene gustine zadržan je samo u brzini propagacije talasa, ali

promjena poprečnog presjeka postoji. Jednačine se u stacionarnom tečenju svode na slijedeći

oblik:

Lako se može pokazati da prva jednačina predstavlja Bernulijevu jednačinu za dionicu

cijevi elementarne dužine.


60

Gdje je, E = П + V2/2g, energija fluidne struje, a da druga da je promjenu brzine usljed

promjene pritiska, koja važi i u stacionarnom strujanju


61

3.7 POJEDNOSTAVLJENE JEDNAČINE

Jednačine matematičkog modela hidrauličkog udara mogu se daljim pojednostavljenjem

dovesti do oblika koji se može analitički riješiti. Ukoliko se u dinamičkoj jednačini, zanemari član

sa trenjem dolazi se do para linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina:

koje se, eliminacijom jedne promjenljive, mogu transformisati u jednu jednačinu:

Ili u ekvivalentnu jednačinu u kojoj se pojavljuje brzina, V

Rješenje ovih jednačina je:

gdje, F i f, koje imaju iste dimenzije kao pijezometarska kota, predstavljaju proizvoljne

funkcije veličina u zagradama. Funkcije F i f predstavljaju dvije familije poremećaja

pijezometarske kote, koji se kreću u negativnom (funkcija F) i pozitivnom (funkcija f) smjeru x

ose. Umjesto nezavisnih promjenljivih, x i t, uvedene su nove, (t + x/a) i (t — x/a). Jednačine,


62

t+x/a = const, i t — x/a = const, su dvije familije pravih linija, duž kojih se prostiru poremećaji u

negativnom i u pozitivnom smjeru x ose. Funkcije F i f se određuju na osnovu graničnih uslova i

ne mijenjaju se duž tih linija.

Promjena pijezometarske kote u proizvoljnom presjeku predstavlja zbir doprinosa

putujućih poremećaja, sadržanih u funkcijama, F i f.

Ova rješenja (zovu se Rimanova (Riemann)), koristio je Alijevi (Allievi) u definisanju

poznatih ”Alijevijevih jednačina”, koje su, od početka 20-og stoljeća pa sve do 1960-tih godina

bile glavno oruđe za analizu hidrauličkog udara. Ta rješenja su takođe i osnov za većinu grafičkih

metoda analize hidrauličkog udara, kao, na primjer, metoda Šnider-Beržerona (Schnyder-

Bergeron).

Zajednička karakteristika svih ovih metoda je da su jednostavne kod primjene na

pojedinačne cijevi sa jednostavnim graničnim uslovima, ali da praktično postaju neupotrebljive

kada su u pitanju distribucione mreže, i složeniji granični uslovi.


63

4 NUMERIČKO RJEŠENJE JEDNAČINA HIDRAULIČKOG UDARA METODOM

KARAKTERISTIKA

Kompletne jednačine hidrauličkog udara primjenjene na složene probleme iz prakse, ne

mogu se analitički riješiti. Za dobijanje rješenja moraju se koristiti približne metode.

U inženjerskoj praksi dugo su korištene grafičke metode, i metode zasnovane na

rješenjima pojednostavljenih jednačina (3.74) i (3.75). Uvođenjem računara u širu upotrebu

postalo je uobičajeno korištenje numeričkih metoda za približno rješavanje diferencijalnih

jednačina matematičkog modela hidrauličkog udara (3.38) i (3.65).

U slučajevima gdje su matematički modeli obične diferencijalne jednačine, do

numeričkog modela dolazi se aproksimacijom izvoda konačnim razlikama. Općenito, važi pravilo,

da se kraćim korakom integracije postiže i veća tačnost numeričkog rješenja.

Situacija se značajno komplikuje kod parcijalnih diferencijalnih jednačina. Pored

pojedinačnih pokušaja da se osnovne jednačine diskretizuju u osnovnom obliku, mnogo je više

onih koji smatraju, da treba iskoristiti činjenicu da se radi o hiperboličkim jednačinama i da

jednačine treba prethodno prevesti u poseban oblik običnih diferencijalnih jednačina,

karakterističan oblik, pa ih tek onda aproksimirati konačnim razlikama (kao što je to urađeno u

ovom poglavlju).


64

4.1 OSNOVNE JEDNAČINE U FORMI KARAKTERISTIKA

Kod hiperboličkih parcijalnih diferencijalnih jednačina, postoji mogućnost svođenja

parcijalnih diferencijalnih jednačina na obične, koje važe duž određenih linija u ravni ( x , t ) . U

tom slučaju postoje dvije realne sopstvene vrijednosti matrice koeficijenata i dvije familije linija,

koje se zovu karakteristike.

Osnovne jednačine, (3.38) i (3.65), označavaju se kao L1 i L2.

One se mogu linearno kombinovati na slijedeći način:

Bilo koje dvije realne vrijednosti parametra χ daće sistem od dvije jednačine, koji je

ekvivalentan jednačinama L1 = 0 i L2 = 0. Interesantne su samo one vrijednosti za koje veličine u

uglastim zagradama postaju totalni izvodi.

Obje zavisno promjenljive, V i П, funkcije su položaja i vremena, odnosno, x i t. Ako se

dozvoli da je nezavisno promjenljiva, x, funkcija vremena t, onda totalni izvodi П i V glase:

Ako je

Onda jednačina L = 0 postaje diferencijalna jednačina:


65

Rješenje jednačine (4.6) glasi:

Odnosno:

Radi se o dvjema familijama krivih, koje su praktično prave linije, jer je brzina propagacije

talasa, a, konstantna i obično mnogostruko veća od brzine tečenja, V. Da se krenulo od

pojednostavljenih jednačina (4.1) i (4.2), bez članova, V∂П/∂x i V∂V/∂x, umjesto (4.9), rezultat bi

bio

što se u najvećem broju slučajeva i koristi.

Zamjena χ u jednačini (4.7) mora da bude usklađena po znaku sa jednačinom (4.9), tako

da postoje dva para običnih diferencijalnih jednačina koje će se označiti sa C+ I C-.

Jednačine u okviru vitičastih zagrada moraju se posmatrati zajedno jer je transformacija

izvedena pod uslovom da se posmatra promjena duž određenih linija, definisanih izrazima (4.9),

odnosno, (4.10).


66

Posmatra se tačka P(xi,ti), u ravni (x,t) (slika 4.1). Ako su poznate, brzina propagacije

talasa, a, i brzina, V, kroz tu tačku mogu se povući dvije linije sa nagibima, dt/dx = 1/ ( V + a) i

dt/dx = 1 / ( V — a) , koje se zovu pozitivna i negativna karakteristika. Karakteristike odstupaju

od prave linije u onoj mjeri u kojoj je brzina fluida, V, funkcija, x i t, i, naravno, kolika je njena

veličina u odnosu na a.

Ako se u tački P, odnosno, u presjeku, x1, na cijevi, u trenutku, t1, generiše nekakav

poremećaj onda se on prostire nizvodno brzinom, V + a, odnosno +a, i uzvodno, brzinom, V - a,

odnosno, -a. Linije po kojima se prostiru poremećaji u ravni (x,t), su karakteristike. Karakteristike

označavaju maksimalni domet poremećaja stvorenog u tački P. U svakoj tački, koja se nalazi

izmedju C+ i C-, za t > t1, na slici (4.1), osjetiće se posljedice poremećaja u tački P, pa se zato ta

zona zove zona uticaja tačke P.

Slika 4.1: Linije karakteristika u ravni (x, t)

Karakteristike sijeku liniju, t = t0, u tačkama, L i D. Posmatra se šta se dešava sa

poremećajima, koji se generišu u presjecima cijevi koji leže između tačaka L i D. Ako su to tačke

X i Y, karakteristike koje polaze iz tih tačaka sijeku se u tački Z i u njoj određuju stanje. Tačka P

se nalazi u zoni uticaja tačke Z.

Stanje u tački P, određeno je jednačinama koje važe duž linija, LP i DP. Poremećaji koji

se dese između tačaka L i D, u početnom trenutku, uticaće na stanje u tački P, dok ono što se

dešava van tog intervala (recimo, tačka C) ne može da dođe do presjeka x1 za t < t1. Prostor

između tačaka P, L i D zove se zona zavisnosti tačke P.

Primjer naglog zatvaranja zatvarača na kraju cijevi, koristi se i ovdje da bi se pokazalo

prostiranje poremećaja u (x,t) ravni, (slika 4.2).


67

Slika 4.2: Putovanje poremećaja kod naglog zatvaranja zatvarača

Šrafirana površina u lijevom donjem uglu predstavlja neporemećenu zonu. Ostale

šrafirane površine predstavljaju oblasti u kojima je pritisak jednak početnom. Dio ravni (x,t) u

kojoj se traži rješenje ograničen je linijama: t = 0 , početni uslov, x = 0, granični uslov -

konstantan pritisak i x = L, granični uslov - zatvoren zatvarač. Linije koje dijele ovu

poluograničenu traku su karakteristike duž kojih se prostire početni poremećaj izazvan

zatvaranjem zatvarača.


68

4.2 NUMERIČKI MODEL

Na donjoj slici, u ravni (x, t), data je numerička mreža, na kojoj će se definisati standardni

numerički model hidrauličkog udara. Osa x se poklapa sa osom cijevi, a cjelokupna dužina cijevi,

L, podeljena je na (I — 1) dionica jednake dužine, ∆x. Osa t je izdjeljena na jednake priraštaje ∆t,

koji su izabrani tako da je, ∆t = ∆x/a. Iz praktičnih razloga, da bi se obezbjedilo da karakteristike

povezuju tačke numeričke mreže, zanemaruje se brzina, V, u jednačinama pravca karakteristika,

imajući u vidu da je, V << a.

Jednačine C+ i C-, odnosno, (4.11) i (4.12) mogu se napisati na slijedeći način:

Slika 4.3: Numerička mreža za metodu karakteristika

i integraliti duž pozitivnih i negativnih karakteristika, odnosno, duž linija AP i BP. Duž

pozitivne karakteristike, čiji pravac je jednak, (xP — xA)/(tP — tA) = a, integral od tačke A do tačke

P, glasi

Prvi član se može riješiti direktno, pa slijedi


69

gdje uglasta zagrada označava razliku veličina u tačkama P i A, na primjer,

. Daje se primjer približne integracije Ojlerovom metodom člana na desnoj strani gornje

jednačine (4.15) duž linije AP

Na isti način može se diskretizovati jednačina C- duž linije BP.

Prva jednačina se može napisati kao

Formalno, ovo je aproksimacija prvog reda tačnosti, ali u većini slučajeva ona sasvim

zadovoljava, jer se aproksimira samo član sa trenjem, dok je ostatak tačno prikazan. Kada je član

sa trenjem značajan, greška aproksimacije dolazi do izražaja. Ako je cijev horizontalna i trenje

zanemarljivo, onda jednačina (4.18) daje tačno rješenje diferencijalne jednačine (4.11)

Iz prethodne dvije jednačine slijedi da duž karakteristika postoje dvije nepromjenljive

veličine, Rimanove invarijente.


70

Jednačine (4.19) i (4.20) se svode na relaciju Žukovskog, ovdje primjenjenu mnogo

opštije nego u prethodnom poglavlju.

Smisao diskretizacije jednačina (4.19) i (4.20) je određivanje promjena proticaja i

pijezometarskih kota u izabranim presjecima duž cijevi, i u izabranim vremenskim trenucima,

polazeći od poznatog stanja u početnom trenutku. Iako je srednja brzina, V = Q/A, u direktnoj

vezi sa promjenom pritiska i u stacionarnom i u nestacionarnom tečenju, u inženjerskim

analizama češće se koriste proticaj i pijezometarska kota. Time se uvode dodatne aproksimacije

(kao na primjer, A = const).

Ako se sve posmatra u okviru mreže na slici (4.3), može se uvesti drugačije obilježavanje

gdje indeksi, i-1 , i i i+1 , označavaju presjeke na cijevi, eksponenti, n i n + 1 , tekući i

naredni vremenski nivo, a u članu sa trenjem, a∆t zamijenjeno je sa ∆x. Nepoznata

pijezometarska kota, , može se napisati eksplicitno:


71

Ako se poznate veličine na tekućem vremenskom nivou, (n), grupišu, dobija se:

Iz prethodnih jednačina eliminisanjem (sabiranjem prethodne dvije jednačine)

dolazi se do:

=

Proticaj se može odrediti iz bilo koje od gornje dvije jednačine.


72

4.3 GRANIČNI USLOVI

Na krajevima cijevi na raspolaganju je samo po jedna od jednačina karakteristika, a broj

nepoznatih je dva. Na uzvodnom kraju, važi jednačina (4.28), duž negativne karakteristike C-, a

na nizvodnom kraju, važi jednacina (4.27), duž pozitivne karakteristike C+ (donja slika)

Slika 4.4: Karakteristike na granicama

Za određivanje druge nepoznate potrebna je još jedna jednačina, odnosno još jedan

uslov. Taj dodatni uslov mora opisati šta se dešava na granici (cijevi), i kakav to ima uticaj na

tečenje u cijevi. Izborom metode i dužine vremenskog koraka (radi se o eksplicitnoj shemi),

omogućeno je da se svaki granični uslov razmatra nezavisno od ostalih, kao i nezavisno od

računanja П i Q u unutrašnjim tačkama cijevi.

Ovdje će se obraditi samo oni konturni uslovi koji su potrebni da se uradi projektni

zadatak.


73

4.3.1 Rezervoar, odnosno, zadat nivo na kraju cijevi

U velikom rezervoaru u distribucionoj mreži, obično se može pretpostaviti da je

pijezometarska kota približno konstantna tokom kratkotrajnih prelaznih režima. Ako je

rezervoar na uzvodnom kraju cijevi (slika 4.5), dodatna jednačina, odnosno, uzvodni granični

uslov glasi

Slika 4.5: Rezervoar

Ako se uzima u obzir lokalni gubitak energije na ulazu u cijev i brzinska visina u cijevi,

onda se za smjer tečenja od rezervoara ka cijevi može napisati

Proticaj se dobija iz jednačine negativne karakteristike (4.28) C- iz čega slijedi da je:

4.3.2 Računanje П i Q u unutrašnjim tačkama cijevi (u presjecima koji se nalaze između dva

konturna uslova)

Sabiranjem jednačina pozitivne i negativne karakteristike, odnosno jednačina (4.27) i

(4.28) dobiju se jdnačine za proračun pijezpmetarske kote i proticaja:


74

4.3.3 Čvorovi – spojevi dvije ili više cijevi

Promjena prečnika (hrapavosti, debljine zida i sl.)

Radi skraćenog načina pisanja koristit će se skraćenice

U čvoru se spajaju dvije cijevi, prema slici

Slika 4.6: Spoj dvije cijevi

Iz jednakosti pijezometarskih kota, zbog zanemarenja gubitka energije I brzinskih visina, I

iz jednačine kontinuiteta za čvor, slijedi:


75

Iz jednačina pozitivne I negativne karakteristike eliminiše se pijezometarska kota I dobije

se:

Spoj više cijevi – račva

Uslov jednakosti pijezometarskih kota na krajevima cijevi, koje se sustiču u račvu sa

donje slike, daje:

Slika 4.7: Spoj više cijevi u jednom čvoru

Proticaji kroz pojedine cijevi mogu se izraziti preko jednačina pozitivne karakteristike za

cijevi za koje je posmatrani čvor nizvodni (na slici cijev 1), odnosno preko jednačina negativne

karakteristike za cijevi za koje je posmatrani čvor uzvodni (na slici cijevi 2 i 3):


76

Iz jednačine kontinuiteta slijedi:

odnosno,

4.3.4 Zatvarač na nizvodnom kraju cijevi

Slika 4.8: Zatvarač na kraju cijevi

– razlika pijezometarskih kota ispred i iza zatvarača;


77

– koeficijent proticaja;

– površina otvora zatvarača

4.3.5 Vodostan kao granični uslov

Vodostan se nalazi u čvoru u kojem se spajaju dvije cijevi.

Slika 4.9: Vodostan

Jednačina kontinuiteta za taj čvor glasi

Duž pozitivne karakteristike, na kraju cijevi 1 važi

Duž negativne karakteristike, na početku cijevi 2 važi

Zbog pretpostavke o zanemarenju brzinskih visina i standardnih lokalnih gubitaka,

pijezometarske kote na kraju cijevi 1, i na početku cijevi 2 se izjednačuju

Prethodne četiri jednačine sadrže 5 nepoznatih veličina, za čije rješenje je potreban još

jedan uslov. Za obični vodostan, to je jednakost pijezometarskih kota u čvoru I nivoa vode u

vodostanu, odnosno


78

Promjena nivoa vode u vodostanu kroz vrijeme je data jednačinom kontinuiteta za

vodostan

Odnosno,

S tim, da se na prvom koraku proračuna umjesto prethodne jednačine koristi neka druga

metoda. Za sračunatu vrijednost pijezometarske kote na osnovu prethodne jednačine, iz

jednačina za pozitivnu I negativnu karakteristiku se dobijaju proticaji odnosno

, dok

se iz jednačine kontinuiteta dobija koliko vode dolazi u vodostan.

4.3.6 Vazdušna komora kao granični uslov

Slika 4.10: Vazdušna komora

Matematički (numerički) model je sličan kao i za vodostan. Jednačine za vodostan su

primjenljive i za vazdušnu komoru:


79

Pijezometarska kota vode u komori zavisi od nivoa vode u komori

i od

pritiska vazduha

Za promjenu nivoa se može koristiti:

Pritisak, zavisi od zapremine vazduha, ali I od brzine promjene zapremine I

razmjene toplote sa okolinom. Ta zavisnost se pokazuje politropskom relacijom za idealni gas:

gdje je apsolutni pritisak vazduha u komori

, , odgovarajuća

zapremina vazduha, a m, politropski koeficijent (kreće se od 1.0-1.4). Promjena zapremine

vazduha se dobije:

Čime se kompletira sistem jednačina za čvor u kome se nalazi vazdušna komora.

Postupak rješavanja jednačina numeričkog modela.

Jednačine pozitivne i negativne karakteristike se kombinuju sa jednačinom kontinuiteta,

odakle slijedi:

odnosno,


80

Gdje predstavlja vrijednost pijezometarske kote na spoju dvije cijevi, kada nema

vazdušne komore.

Iz prethodnih jednačina (4.58-4.61) eksplicitno se dobija:

Kada se jednačine (4.63) i (4.64) uvrste u jednačinu (4.57) dobija se

(4.65)

Gdje je nepoznat samo proticaj koji se dobije kao kvadratna jednačina koja ima dva

rješenja. Znak proticaja odgovara znaku lijeve strane jednačine. U jednačinama se mogu javiti

dvije vrijednosti za parameter prigušivača u zavisnosti od smjera tečenja vode.

4.4 STABILNOST NUMERIČKOG MODELA

Ovdje će biti prikazan način ispitivanja stabilnosti numeričkog modela oscilacija vode u

vodostanu, za ostale slučajeve se slično izvodi.

Posmatra se osnovna shema jezero-vodostan-turbina, sa vezom na cjevovod pod

pritiskom. Pretpostavlja se da se sve promjene na turbine trenutno prenose do vodostana.

Slika 4.11: Osnovna shema vodostana

Dinamička jednačina za vodu u tunelu glasi:


81

Gdje je proticaj kroz tunel, a površina poprečnog presjeka tunela, D je prečnik

tunela I L dužina tunela. Jednačina kontinuiteta za čvor u kome se nalazi vodostan je

Gdje je proticaj vode koja ulazi u vodostan, a proticaj koji ide prema turbine.

Promjena nivoa vode u vodostanu zavisi od proticaja

Posmatraju se jednačine (4.66) i (4.67). Trenje je zanemareno.

Primjenom razlike unaprijed za aproksimaciju izvoda u prethodne dvije jednačine, dolazi

se do jednostavnog numeričkog modela i Ojlerove metode:

Stabilnost ove metode ispituje se provjerom uticaja greške na vremenskom nivou (n) na

grešku na narednom vremenskom nivou (n+1). Ovdje postoje dvije zavisno promjenljivo veličine,

I pretpostavlja se da na vremenskom nivou, (n), znamo vrijednosti, I koje se od tačnih

razlikuju za I

. Kao rezultat toga na narednom vremenskom nivou dobiće se pogrešna

vrijednost:

Ako je numerički model zadovoljen za tačne vrijednosti zavisno promjenljivih, slijedi:


82

Odnosno,

Prethodne jednačine se mogu napisati u matričnom obliku:

Za stabilnost numeričkog modela zahtjeva se da se greška uvedena na početku

proračuna, smanjuje. Taj uslov će biti zadovoljen ako su sopstvene vrijednosti matrice

koeficijenata manje od 1. Sopstvene vrijednosti se dobijaju iz slijedeće jednačine:

Odakle slijedi:

Gdje je T sopstvena perioda oscilovanja tunela i vodostana. Kao što se vidi jedna od

sopstvenih vrijednosti je veća od 1, pa je metoda bezuslovno nestabilna.

Malom modifikacijom dinamičke jednačine dolazi se do slijedećeg numeričkog modela:


83

Na isti način dolazi se do jednačina propagacije grešaka numeričkog modela (4.72):

Prethodne jednačine se mogu napisati u matričnom obliku:

Sopstvene vrijednosti matrice koeficijenata su jednake:

Odnosno,

Modul sopstvenih vrijednosti (jer se radi o kompleksnim brojevima) je uvijek jednak 1,

što znači da se greška ne povećava tokom proračuna (ali ni ne smanjuje) bez obzira na veličinu

∆t.

Za 0 < ∆t < T, što jedino ima smisla, numerički model prikazan jednačinama (4.83) i

(4.84), može se koristiti za računanje oscilacija vode u vodostanima. Zbog potrebe proračuna,

odnosno zbog potrebe prihvatljive aproksimacije oscilatornog rješenja, vremenski priraštaj, ∆t,

treba da bude znatno manji od periode oscilovanja, T. To se kod ove metode koja je neutralno

stabilna može ostvariti, dok kod Ojlerove to nije moguće, jer je numerički model (4.72) i (4.73)

bezuslovno nestabilan.


84

5 RJEŠENJE SISTEMA

5.1 OPŠTE

Tehnike zaštite od hidrauličkog udara mogu se svrstati u dvije grupe: jedne, kojima se

utiče na brzinu propagacije poremećaja, i druge, kojima se utiče na smanjenje promjene brzine

∆V, jer promjena pijezometarske kote ∆П zavisi od te dvije veličine. To se može vidjeti iz izraza

Žukovskog:

Na brzinu propagacije poremećaja utiče se izborom materijala cjevovoda, kao i

namjernim ubacivanjem ograničenih količina vazduha.

Promjena priraštaja brzine, ∆V, postiže se konstruktivnim rješenjima na samom

cjevovodu i izborom tipa i dimenzija regulacionih elemenata, zatvarača i slično, ili postavljanjem

posebnih objekata, koji to treba da obezbjede. Broj različitih načina zaštite je izuzetno velik, ali

se većina njih može svrstati u neku od slijedećih grupa:

- Promjena (povećanje) prečnika cjevovoda;

- Izbor tipa zatvarača i zakona zatvaranja;

- Vodostani, obični, sa prigušivačem, jednosmjerni i td.;

- Vazdušne komore;

- Rasteretni ventili;

- Obilazni vodovi i dr.

U slučaju zaštite sistema mHE Čajdraš od hidrauličkog udara moguće je uticati na

smanjenje promjene brzine, ∆V, jer je sistem već izgrađen i ne može se uticati na izbor

karakteristika cjevovoda.

Rješenje sistema mHE Čajdraš, uz potreban uslov da ni u jednom trenutku ne dođe do

prekoračenja dozvoljenih vrijednosti pritisaka u sistemu, je dato u tri moguće varijante i to:

1. Rješenje sistema manipulacijom na turbini (bez dodatnih objekata na sistemu)

2. Rješenje sistema postavljanjem vazdušne komore na Vrhu Vjetrenice

3. Rješenje sistema postavljanjem vodostana na Vrhu Vjetrenice


85

Prvo rješenje je urađeno metodom karakteristika uz korištene navedene jednačine za

odgovarajuće konturne uslove (isprogramirano u Microsoft Excel-u). Ovo rješenje je urađeno i u

software-u Hytran Solutions, koji u proračunu također koristi metodu karakteristika. Drugo i

treće rješenje su urađeni u software-u Hytran Solutions.

Ulazni podaci za model su bili stalni proticaj prema naselju Vitez u kolčini od 100 l/s,

Qmax.turb = 317 l/s, te promjenljivi prečnici cijevi Φ400, Φ600 i Φ700 sa promjenljivim debljinama

stijenki čelika (tabela 2.1). Radi približno sličnih vrijednosti propagacije informacije, na osnovu

izraza

usvojena je jedinstvena vrijednost od a = 1200 m/s.

Tabela 4.1: Karakteristike cjevovoda korištene pri modeliranju sistema

ČELIČNE BEŠAVNE CIJEVI

Dionica cjevovoda Dužina (m) Prečnik (mm) Eč (Pa) PN

(bar)

R.Kruščica-Račva Vitez 7 700,00 700 210 000 000 000 30

Racva Vitez-VrhVjet. 5 700 600 210 000 000 000 30

Vrh Vjet.-Turbina 1 300,00 409 210 000 000 000 30

Ev=210·107 (Pa); ρv=1000 (kg/m3); e – debljina stijenke cijevi.


86

Konturni uslovi korišteni u proračunu:

Slika 5.1: Shema sistema sa naznačenim konturnim uslovima

Rezervoar na početku sistema

Proračun proticaja (Q) izvršen na osnovu izraza (4.30), a proračun pijezometarske kote

(П) na osnovu (4.32).

Pojava nestacionarnosti pritiska u rezervoaru Kruščica nije dodatno obrađivana kao

nestacionarni konturni uslov, a razlog tome je prelivni organ na izvorištu Kruščica, koji nivo vode

održava konstantnim bez obzira na doticaj u isti. Stoga će male oscilacije u visini prelivanja biti

zanemarive za proračun nestacionarnih pojava u sistemu.

Unutrašnji presjeci

Proračun proticaja (Q) izvršen na osnovu izraza (4.33), a proračun pijezometarske kote

(П) na osnovu (4.34).

Kao što je prikazano na gornjoj slici, proračun po ovim jednačinama izvršen je na

unutrašnjim presjecima dionica “rezervoar Kruščica-mjerna stanica Vitez,” “mjerna stanica

Vitez-Vrh Vjetrenica” i “Vrh Vjetrenica-Turbina.”


87

Račva (spoj tri cijevi)

Slika 5.2: Račva

Proračun proticaja (Q) u presjeku N-N izvršen prema izrazu (4.40), u presjeku 1-1 prema

(4.41) a u presjeku 2-2 prema (4.42), a proračun pijezometarske kote (П) u sva tri presjeka

izvršen prema (4.44)

Promjena prečnika cijevi

Prečnik cjevovoda se na Vrhu Vjetrenice smanjuje sa prečnika Φ600 mm na prečnik

Φ400 mm.

Slika 5.3: Smanjenje prečnika cijevi

Proračun proticaja (Q) u presjecima N I 1 izvršen je prema izrazu (4.37), a proračun

pijezometarske kote (П) u navedenim presjecima izvršen je prema izrazu (4.38).

Zatvarač na mlaznicama turbine

Iz jednačine pozitivne karakteristike (4.27):


88

Nakon što se dobije slijedi:

518 m.n.m. – kota turbine

Linearno otvaranje/zatvaranje mlaznica turbine u vremenu je jedna od karakteristika

turbine, koju je dostavio proizvođač opreme.

Kao što je navedeno u poglavlju 2, hod igala se ograničava na 21 mm po osovini

mlaznice, na obje mlaznice koje su modelirane da rade paralelno. Pri ovome hodu igala dobija se

maksimalni proticaj na turbini Q=317 l/s, a što predstavlja prvu aproksimaciju proticaja, jer su

nepoznati tačni podaci o koeficijentima proticaja. Stvarni proticaji će biti manji, ali i pritisci koji

će oscilovati u sistemu u stvarnosti će imati manje oscilacije od sračunatih, što je na strani

sigurnosti.


89

5.2 RJEŠENJE SISTEMA KORISTEĆI SE MANIPULACIJOM NA TURBINI (BEZ DODATNIH

OBJEKATA NA SISTEMU)

Ovim rješenjem se definiše potrebno vrijeme otvaranja/zatvaranja igala na mlaznicama

turbine mHE Čajdraš na način da ni u jednom trenutku ne dođe do prekoračenja dozvoljenih

vrijednosti pritisaka u sistemu.

Ovo rješenje je urađeno na dva načina: prvo, metodom karakteristika prema navedenim

jedanačinama za odgovarajuće konturne uslove (isprogramirano u Microsoft Excel-u), i drugo, u

software-u Hytran Solutions koji u proračunu također koristi metodu karakteristika.

Prvo je modelirano otvaranje sistema, a potom nakon uspostavljanja stacionarnog stanja

zatvaranje sistema.

5.2.1 Usvojeni dijagrami manipulacije iglama na turbine

Usvojeno vrijeme otvaranja igala na mlaznicama turbine iznosi t=170 s, a vrijeme

zatvaranja igala na mlaznicama turbine iznosi t=284 s.

Slika 5.4: Otvaranje igala na turbini (puštanje sistema u pogon) linearno za t=170 s pri

hodu po osovini igle od 0 do 21 mm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Linearno otvaranje mlaznica turbine

vrijeme (s)

ho

d ig

le (

mm

)


90

Slika 5.5: Zatvaranje mlaznica na turbini mHE Čajdraš linearno za t=284 s pri hodu po

osovini igle od 21 mm do 0 mm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Linearno zatvaranje mlaznica turbine

ho

d ig

le n

a m

lazn

ici (

mm

)

vrijeme (s)


91

5.2.2.a) Rješenje sistema koristeći navedene jednačine za odgovarajuće konturne

uslove (isprogramirano u Microsoft Excelu)

Radi lakšeg računanja model sa prikazanim jednačinama za odgovarajuće konturne

uslove (poglavlje 5.1) je isprogramiran u programu Microsoft Excel, a rezultati su predstavljeni u

nastavku.

Dužina cjevovoda od 14 700 m podijeljena je na 50 presjeka koji su međusobnog razmaka

∆x=293,1m, iz čega, na osnovu a=∆x/∆t, slijedi vremenski korak ∆t=0,24425 s. Oscilacije pritisaka

su sračunate u svim presjecima, ali su rezultati prikazani samo za tri karakteristična presjeka,

najnižu tačku u sistemu Vitez (398,00 m.n.m.), Vrh Vjetrenica (675,90 m.n.m.) i presjek

neposredno pred turbinu (518,00 m.n.m.).

Rezultati oscilovanja pritisaka i proticaja usljed manevra otvaranja mlaznica na turbini

linearno za t=170s:

Slika 5.6: Modelirani proticaji ostvareni postepenim otvaranjem igala mlaznice za slučaj

otvaranja igala na turbini za t=170s

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Kruščica

Vjetrenica

Turbina

Vrijeme (s)

Pro

tica

j (m

3/s

)


92

Pritisci na području lokaliteta turbine mHE Čajdraš, nakon manevra otvaranja igala na

turbini za dx=21mm linearno za t=170s do uspostavljanja stacionarnog stanja na Q=317 l/s:

Slika 5.7: Modelirani pritisci u cjevovodu na lokalitetu turbine mHE Čajdraš, nakon

manevra otvaranja igala na mlaznicama turbine za t=170s

Pritisci na području najniže tačke sistema u Vitezu, nakon manevra otvaranja igala na

turbini za dx=21mm linearno za t=170s do uspostavljanja stacionarnog stanja na Q=317 l/s:

Slika 5.8: Modelirani pritisci na području najniže tačke sistema u Vitezu, nakon manevra

otvaranja igala na mlaznici turbine linearno za t=170s

14.5

15

15.5

16

16.5

17

17.5

18

18.5

19

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pri

tisa

k (b

ar)

Vrijeme (s)

29.6

29.8

30

30.2

30.4

30.6

30.8

31

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Vrijeme (s)

Pri

tisa

k (b

ar)


93

Pritisci na području prevoja Vjetrenica, nakon manevra otvaranja igala na turbini za

dx=21mm linearno za t=170s do uspostavljanja stacionarnog stanja na Q=317 l/s:

Slika 5.9: Modelirani pritisci na području prevoja Vjetrenica, nakon manevra otvaranja

igala na mlaznicama turbine linearno za t=170s

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Vrijeme (s)

Pri

tisa

k (b

ar)


94

Rezultati oscilovanja pritisaka i proticaja usljed manevra zatvaranja mlaznica na turbini

linearno za t=284 s:

Slika 5.10: Modelirani proticaji kao rezultat zatvaranja mlaznica turbine linearno za

t=284 s

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560

Kruščica

Vjetrenica

Turbina

Pro

tica

j (m

3/s

)

Vrijeme (s)


95

Pritisci na lokalitetu turbine, nakon manevra zatvaranja igala na mlaznicama turbine za

dx=21 mm linearno za t=284s do uspostavljanja stacionarnog stanja na Q=0l/s:

Slika 5.11: Modelirani pritisci na području lokaliteta turbine mHE Čajdraš, nakon

manevra zatvaranja igala na mlaznicama turbine za dx=21mm linearno za t=284s

Pritisci na području najniže tačke sistema u Vitezu, nakon manevra zatvaranja igala na

mlaznicama turbine za dx=21mm linearno za t=284s do uspostavljanja stacionarnog stanja na

Q=0 l/s


zatvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=284s

15

15.5

16

16.5

17

17.5

18

18.5

19

19.5

20

240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 Vrijeme (s)

Pri

tisa

k (b

ar)

29.8

30

30.2

30.4

30.6

30.8

31

31.2

31.4

31.6

240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 Vrijeme (s)

Pri

tisa

k (b

ar)


96

Pritisci na području prevoja Vjetrenica, nakon manevra zatvaranja igala na mlaznicama

turbine za dx=21mm linearno za t=284s do uspostavljanja stacionarnog stanja na Q=0 l/s:

Slika 5.13: Modelirani pritisci na području prevoja Vjetrenica, nakon manevra zatvaranja


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 Vrijeme (s)

Pri

tisa

k (b

ar)


97

5.2.2.b) Proračun rješenja sistema sa manipulacijom na turbini u software-u Hytran

Solutions

Ulazni parametri:

Ulazni parametri za model, pored opštih karakteristika sistema navedenih u opštem

dijelu (5.1) (dužine, prečnici, debljine stijenki cjevovoda, PN, brzina propagacije elastičnog talasa

i dr.), su slijedeći:

- Vrijeme otvaranja mlaznica na turbini iznosi t=170 s,

- Vrijeme zatvaranja mlaznica na turbini iznosi t=284 s,

- Stalan proticaj prema Vitezu Q=100,00 l/s, Qmax.turb=317,00 l/s,

Konturni uslovi:

U model su unešeni slijedeći konturni uslovi (slika 5.14):

- Rezervoar Kruščica, na koti 702,00 m.n.m.;

- Odvojak za Vitez (račva), 420,00 m.n.m.;

- Slobodno isticanje vode na dionici prema Vitezu (rasteretna komora);

- Turbina (predturbinski zatvarač), 518,00 m.n.m.;

- Karakteristike cjevovoda (prema tabeli 2.1).


98

Slika 5.14: Model sisitema mHE Čajdraš


99

Otvaranje igala na mlaznicama turbine mHE Čajdraš linearno za t=170 s:

Slika 5.15: Modelirani pritisci u cjevovodu na lokalitetu turbine mHE Čajdraš, nakon

manevra otvaranja igala na mlaznicama turbine za t=170s


otvaranja igala na mlaznici turbine linearno za t=170s


100




101

Zatvaranje igala na mlaznicama turbine mHE Čajdraš linearno za t=284 s:


manevra zatvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=284s


102






103

5.3 RJEŠENJE SISTEMA POSTAVLJANJEM VAZDUŠNE KOMORE NA VRHU VJETRENICE

Princip rada vazdušne komore je isti kao i kod vodostana. Koristi se na mjestima gdje bi

vodostani bili tehnički i ekonomski neprihvatljivi.

Slika 5.21: Hidraulička shema sistema sa postavljenom vazdušnom komorom na Vrhu

Vjetrenica

Da bi se ublažile promjene brzine na cjevovodu, izazvane promjenom graničnih uslova na

cijevi, vazdušna komora prima ili dodaje u cjevovod, određenu količinu vode (slika 4.10)

Da bi se smanjila visina objekta u odnosu na visinu vodostana, iznad vode se nalazi

vazduh pod pritiskom, različitim od atmosferskog. Na taj način zaštita je efikasna u širokom

rasponu radnih pritisaka, a omogućena je i značajna elastičnost kod rada cjevovoda. Promjena

pijezometarske kote kod komore, odnosno promjena sile pritiska, je znatno brža nego kod

vodostana istih dimenzija zbog promjene zapremine vazduha.

Efikasnost rada vazdušne komore zavisi od raspoložive količine vazduha u trenutku

nastanka poremećaja. Zbog rastvaranja vazduha u vodi, količina vazduha se neprestano

smanjuje, pa je neophodno dopunjavati ga. Kompresor, koji je neophodna prateća oprema

vazdušne komore, uključuje se kada zapremina vazduha padne ispod minimalne, a isključuje se

kada zapremina dostigne maksimalnu. Postoje tehnička rješenja kod kojih je gas pod pritiskom

membranom razdvojen od vode, tako da nema gubitaka vazduha niti potrebe za kompresorom.

Većina prelaznih režima nastaje neočekivano, pri proizvoljnoj početnoj zapremini

vazduha. Zato je neophodno da se analizom obuhvate obje granične vrijednosti zapremine


104

vazduha. Minimalna, da bi se provjerilo da li je zaštita svih dijelova cjevovoda potpuna, I

maksimalna, da bi se provjerilo postoji li mogućnost pražnjenja komore i nekontrolisanog ulaska

vazduha u cjevovod.

Proračun oscilacija vrijednosti pritisaka usljed manevra otvaranja/zatvaranja mlaznica

turbine mHE Čajdraš ovim rješenjem izvršen je u software-u Hytran Solutions.

Ulazni parametri:

Ulazni podaci za model, pored opštih karakteristika sistema navedenih u opštem dijelu

(5.1) (dužine, prečnici, debljine stijenki cjevovoda, PN, brzina propagacije elastičnog talasa i dr.),

su slijedeći:

- Vrijeme otvaranja mlaznica na turbini iznosi t=40 s,

- Vrijeme zatvaranja mlaznica na turbini iznosi t=90 s,

- Početna zapremina vazduha u komori iznosi 14,13 m3, p0=160,00 kPa,

- Visina nadsloja vazduha u komori iznosi H0=2,0 m,

- Prečnik ulazne cijevi u vazdušnu komoru iznosi D=50 mm,

- Stalan proticaj prema Vitezu Q=100,00 l/s, Qmax.turb=317,00 l/s

Slika 5.22: Dimenzije vazdušne komore na Vrhu Vjetrenica


105

Konturni uslovi:





- Vazdušna komora na Vrhu Vjetrenica, 675,00 m.n.m.;


- Karakteristike cjevovod (prema tabeli 2.1).


106

Slika 5.23: Model sistema mHE Čajdraš sa vazdušnom komorom na Vrhu Vjetrenica


107

Rezultati oscilovanja pritisaka usljed manevra otvaranja igala na mlaznicama turbine linearno

za t=40 s:


manevra otvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=40s


108






109

Rezultati oscilovanja pritisaka usljed manevra zatvaranja igala na mlaznicama turbine

linearno za t=90s:


manevra zatvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=90s


110






111

5.4 RJEŠENJE SISTEMA POSTAVLJANJEM VODOSTANA NA VRHU VJETRENICA

Vodostani su objekti u vidu rezervoara sa slobodnom površinom, ograničene veličine,

koji treba da omoguće statičku i funkcionalnu sigurnost derivacione hidroelektrane.

Slika 5.30: Hidraulička shema sistema sa postavljenim vodostanom na Vrhu Vjetrenica

Uloga vodostana je slijedeća:

- Smanjuju oscilacije pritiska kod hidrauličkog udara, skraćujući dužinu cijevi u kojoj se

nagle promjene dešavaju, i ujedno, ograničavaju dejstvo hidrauličkog udara na dio cijevi

od turbine do vodostana

- Poboljšavaju regulacione karakteristike turbine na taj način što primaju višak vode kod

smanjenja opterećenja turbine, a takodje i obezbjeđuju vodu u početnom trenutku, kod

naglog povećanja opterećenja

U cilju što efikasnijeg ispunjenja njihove uloge, vodostani se postavljaju što je moguća

bliže turbinama.

Vodostan je jedno od najskupljih rješenja zaštite od hidrauličkog udara. Sa druge strane,

u pogledu funkcionisanja vodostan je vjerovatno i najpouzdanije zaštita.

Proračun oscilacija vrijednosti pritisaka usljed manevra otvaranja/zatvaranja igala na

mlaznicama turbine mHE Čajdraš ovim rješenjem izvršen je u software-u Hytran Solutions.


112

Ulazni parametri:

Ulazni podaci za model, pored opštih karakteristika sistema navedenih u opštem dijelu

(5.1) (materijal, dužine, prečnici, debljine stijenki cjevovoda, PN, brzina propagacije elastičnog

talasa i dr.), su slijedeći:

- Vrijeme otvaranja igala na mlaznicama turbine iznosi t=10 s;

- Vrijeme zatvaranja mlaznica na turbini iznosi t=30 s;

- Stalan proticaj prema Vitezu Q=100,00 l/s, Qmax.turb=317,00 l/s

Slika 5.31: Dimenzije vodostana

Konturni uslovi:





- Vodostan (dimenzija prema slici 5.30) na Vrhu Vjetrenica, 675,00 m.n.m.;


- Karakteristike cjevovoda (prema tabeli 2.1).


113

Slika 5.32: Model sistema mHE Čajdraš sa vodostanom na Vrhu Vjetrenica


114

Rezultati oscilovanja pritisaka usljed manevra otvaranje igala na mlaznicama turbine

linearno za t=10 s:


manevra otvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=10s


115


otvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=10 s


igala na mlaznicama turbine linearno za t=10 s


116

Rezultati oscilovanja vrijednosti pritisaka usljed manevra zatvaranja igala na

mlaznicama turbine linearno za t=30 s:


manevra zatvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=30 s


117


zatvaranja igala na mlaznicama turbine linearno za t=30 s


igala na mlaznicama turbine linearno za t=30 s


118

6 ANALIZA VARIJANTI I IZBOR RJEŠENJA

6.1 ANALIZA VARIJANTI

Modeli od sva tri analizirana rješenja sistema pokazuju da pritisci ni u jednom presjeku

ne dostižu vrijednosti veće od nazivnih pritisaka cijevi, osim na lokalitetu najniže kote sistema u

Vitezu, kota 398,00 m.n.m. Na ovom mjestu je već izvršeno dodatno ojačavanje cijevi, te ove

vrijednosti pritisaka ne predstavljaju opasnost.

6.1.1 Rješenje manipulacijom na turbini

Ovom varijantom se predviđa rješenje sistema manipulacijom na turbini, bez dodatnih

objekata na sistemu. Dobiveni rezultati proračuna pokazuju da otvaranje igala na mlaznicama

turbine mHE Čajdraš mora trajati minimalno t=170 s, a zatvaranje minimalno t=284 s. Prema

ovom rješenju, za varijantu proračuna isprogramiranu u programu Microsoft Excel, maksimalna

vrijednost pritiska je na lokalitetu najniže tačke sistema u Vitezu i iznosi 31,39 bara, a najniža

vrijednost pritiska je na Vrhu Vjetrenica i iznosi 0,2 bara. Rezultati iz softvera Hytran Solutions

pokazuju da je maksimalna vrijednost pritiska na lokalitetu najniže tačke sistema u Vitezu i iznosi

30,8 bara, a najniža vrijednost pritiska je na Vrhu Vjetrenica i iznosi 0,62 bara. Razlika u

rješenjima je neznatna, a pojavljuje se zbog toga što softver Hytran Solutions uzima gustinu

vode u zavisnosti od pritiska, ρ=ρ(p), dok je u proračunu isprogramiranom u M.Excelu računato

sa ρ=1000,00 kg/m3 za sve vrijednosti pritisaka.

Ova varijanta rješenja sistema, zahtjeva povećanje zapremine ulja u prigušnici da bi se

ostvarila potrebna vremena otvaranja/zatvaranja igala na turbini. To se ne može izvesti na licu

mjesta, nego isključivo kod proizvođača turbine (“Turbo Institut,” Slovenija), što iziskuje dodatne

troškove transporta.

Cijena rješenja sistema na ovaj način iznosi c.c.a. 100 000,00 Eura.


119

6.1.2 Rješenje sistema postavljanjem vazdušne komore na Vrhu Vjetrenica

Rješenjem sistema postavljanjem vazdušne komore na Vrhu Vjetrenica dobija se znatno

kraće vrijeme otvaranja/zatvaranja igala na mlaznicama turbine, u odnosu na prethodnu

varijantu. Vrijeme otvaranja igala na mlaznicama turbine, prema ovom rješenju mora iznositi

minimalno t=40 s, a vrijeme zatvaranja minimalno t=90 s. Prema ovom rješenju, maksimalna

vrijednost pritiska je na lokalitetu najniže tačke sistema u Vitezu i iznosi 31,14 bara, a najniža

vrijednost pritiska je na Vrhu Vjetrenica i iznosi 0,62 bara. Ovo rješenje je dobiveno u softveru

Hytran Solutions.

Cijena rješenja sistema postavljanjem vazdušne komore na Vrh Vjetrenica (što

podrazumijeva troškove nabavke, transporta, određenih pripremnih radova, ugradnje,

testiranja, i ostalih aktivnosti vezanih za postavljanje vazdušne komore i prateće opreme) iznosi

c.c.a. 20 000,00 Eura.

6.1.3 Rješenje sistema ugradnjom vodostana na Vrhu Vjetrenica

Modelom sistema sa postavljenim vodostanom na Vrhu Vjetrenica dobija se da vrijeme

otvaranja igala na mlaznicama turbine mora iznositi minimalno t=10 s, a zatvaranje minimalno

t=30 s. Prečnik vodostan predviđen je da iznosi D=4 m, a visina vodostana se određuje prema

maksimalnoj visini oscilovanja vode u vodostanu, (može se smanjiti postavljanjem prelivnog

organa na određenoj visini vodostana). Prema ovom rješenju, maksimalna vrijednost pritiska je

na lokalitetu najniže tačke sistema u Vitezu i iznosi 30,04 bara, a najniža vrijednost pritiska je na

Vrhu Vjetrenica i iznosi 0,62 bara. Ovo rješenje je dobiveno u softveru Hytran Solutions.

Ovo rješenje se odbacuje, iz razloga koji će se navesti u nastavku. Potrebna visina

vodostana na osnovu maksimalne visine oscilovanja vode u vodostanu iznosi 28,0 m. Prečnik

vodostana iznosi 4,0 m. Potrebno bi bilo uraditi projekat statičke stabilnosti vodostana.

Navedene dimenzije vodostana ne bi se uklopile u ambijent, a tehnički bi bile teške za izvesti.

Ukoliko bi se postavio preliv na vodostan, te pojeftinilo koštanje vodostana, suočili bi se sa

gubitkom vode a i problemom odvodnje iste sa Vrha Vjetrenica.


120

6.2 IZBOR RJEŠENJA

Kao rješenje sistema usvaja se rješenje sa postavljanjem vazdušne komore navedenih

dimenzija (slika (5.21)) na Vrhu Vjetrenica (rješenje obrađeno u tački 5.3). Od analizirana tri

načina rješenja sistema, varijanta rješenja sistema sa postavljanjem vazdušne komore na Vrhu

Vjetrenica je najjeftinije rješenje (c.c.a. 20 000,00 Eura) i pruža pouzdanu zaštitu sistema od

hidrauličkog udara. Vrijeme otvaranja igala na mlaznicama turbine ovim rješenjem iznosi

minimalno t=40 s, a vrijeme zatvaranja minimalno t=90 s. Za ova vremena moguće je podesiti

postojeću opremu na turbini te nije potrebna nikakva dodatna intervencija u tom smislu.


121

7 ZAKLJUČAK

Analiza varijanti rješenja sistema mHE Čajdraš je pokazala da je najpovoljnije rješenje,

koje je i usvojeno, rješenje sa postavljanjem vazdušne komore na Vrhu Vjetrenica jer je

najjeftinije (c.c.a. 20 000,00 Eura), a sa druge strane, daje pouzdanu zaštitu sistema od pojave

nedozvoljenih vrijednosti pritisaka. Ovom varijantom definisano je da vrijeme otvaranja igala

na turbini mora iznositi minimalno 40 s, dok zatvaranje igala na turbini mora iznositi

minimalno 90 s.

U radu je prikazano izvođenje diferencijalnih jednačina matematičkog modela

hidrauličkog udara, te način njihovog numeričkog rješavanja metodom karakteristika. Numerički

proračun je obrađen kroz primjer sistema mHE Čajdraš.

Pokazano je da se sistem mHE Čajdraš može pustiti u pogon, bez pojave nedozvoljenih

vrijednosti pritisaka, u tri varijante:

- Manipulacijom na turbini

- Postavljanjem vazdušne komore na Vrhu Vjetrenica

- Postavljanjem vodostana na Vrhu Vjetrenica

Za proračun prve varijante korišten je, u radu objašnjeni način numeričkog proračuna

hidrauličkog udara metodom karakteristika, primjenom odgovarajućih konturnih uslova za

sistem mHE Čajdraš (isprogramirano u M.Excel-u). Ova varijanta je sračunata i u softveru za

analizu hidrauličkog udara, Hytran Solutions, koji u proračunu također koristi metodu

karakteristika. Dobiveni su približno isti rezultati. Druga i treća varijanta su sračunate u softveru

Hytran Solutions.


122

8 LITERATURA

1. Ivetić, M., Računska hidraulika – tečenje u cevima, Građevinski fakultet Beograd,

1996.

2. Energoinvest, Glavni projekat MHE Čajdraš

3. Kalajdžisalihović, H., i Milišić, H., Vodni kazan kao zaštita od hidrauličkog udara, Voda

i Mi, br.72, 2011.

4. Milašinović, Z., Kalajdžisalihović, H., i Milišić, H., Uticaj trenja na pojavu hidrauličkog

udara, Voda i Mi, br.72, 2011.

5. Ćorović, A., Snabdijevanje vodom, Građevinski fakultet Sarajevo, 1989.

Documents

HidraulickiUdar